导数的概念与运算
导数的概念、几何意义及其运算
导数的概念、几何意义及其运算
导数是微积分中一个重要的概念，它描述函数在某一点处变化的速率。
它也被称为微分系数或变化率。
一般来说，导数用来表示函数在特定点处发生变化的速率或斜率。
从几何意义上讲，导数可以看作是函数图像的斜率，即函数在某一点的切线的斜率。
例如，当函数y=f(x)的图像在某一点x=x_0时的斜率是k，那么在x=x_0处的导数就是k。
在运算上，导数可以用导数定义式来求解，该定义式如下：
$$f'(x)=\lim_{h \to 0}{\frac {f(x+h)-
f(x)}{h}}$$
此外，还有一种常用的求导法叫做链式法则，其可以把复杂的函数表达式分解成多个简单的函数，然后把每个简单函数分别求导，最后再把每个简单函数的导数相加。
更具体地说，对于函数$f(x)=g(h(x))$，链式法则表明：
$$f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$$。
导数的概念及运算课件
Δx
.
如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x 都是可导的，则称 f(x)
在区间(a，b)内可导．在区间(a，b)内，f ′(x)构成一个新的函
数，这个函数称为函数 f(x)的导数．
第三章 第一节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
4．导数的几何意义：函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f ′(x0)，就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的_切__线__的__斜__率__． 导数的物理意义：物体的运动方程 s＝s(t)在点 t0 处的导数 s′(t0)，就是物体在 t0 时刻的__瞬__时__速__度____．
答案：A
第三章 第一节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
点评：求曲线在某点处的切线方程，应先求该点处的导数 值，得到切线斜率．再写出切线方程．
第三章 第一节
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导数公式及运算法则 [例 3] 设 f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…， fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则 f2013(x)等于( ) A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx
A．2
B．－1
C．1
D．－2
第三章 第一节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
解析：lim x→0
f1－2fx1－2x＝lxi→m0
f1－－2x2－x f1＝－1，
即y′|x＝1＝－1，
则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B.
答案：B
第三章 第一节
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(一)导数的概念及运算
2.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则 等于_______.
3.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是 ，则点P横坐标的取值范围为_______.
4.若点P在曲线y=x3-3x2+(3- )x+ 上移动，经过点P的切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是_______.
5.（2008南通调研）给出下列的命题：①若函数 ；②若函数 图像上P(1,3)及邻近点Q(1+ 则 ；③加速度是动点位移函数 对时间t的导数；④ ，其中正确的命题是_______.
6.（2009南通调研）曲线C： 在x=0处的切线方程为_______.
7.（2009徐州调研）.已知函数f(x)= sinx+cosx，则 =.
8．（2009全国卷Ⅰ理9福建卷理）若曲线 存在垂直于 轴的切线，则实数 取值范围是_____________.
10．(2009陕西卷理)设曲线 在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为 ,令 ，则 的值为.
11．设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________
（第一讲）导数的概念及运算
一、导数的概念：函数y＝ 的导数 ，就是当Δ 0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δ 的比 的，即 ＝＝．
二、导函数：函数y＝ 在区间(a, b)内的导数都存在，就说 在区间( a, b )内，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做 的，记作 或 ，函数 的导函数 在 时的函数值，就是 在 处的导数.
（4） =
导数的概念及运算
解析答案
命题点3 和切线有关的参数问题
例 4 已知 f(x)＝ln x，g(x)＝12x2＋mx＋72(m<0)，直线 l 与函数 f(x)， g(x)的图象都相切，且与 f(x)图象的切点为(1，f(1))，则 m＝_－__2_. 解析 ∵f′(x)＝1x， ∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1.
跟踪训练1
解析答案
(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝－__2__. 解析 f′(x)＝4ax3＋2bx， ∵f′(x)为奇函数，且f′(1)＝2， ∴f′(－1)＝－2.
解析答案
题型二 导数的几何意义
命题点1 已知切点的切线方程问题
例2
(1)函数
ln f(x)＝
解析答案
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易错警示系列
易错警示系列 4.求曲线的切线方程条件审视不准致误
典例 (14分)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a 都相切，求a的值.
易错分析 由于题目中没有指明点O(0,0)的位置情况，容易忽略点O在
曲线y＝x3－3x2＋2x上这个隐含条件，进而不考虑O点为切点的情况.
温馨提醒
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思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数， 而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0. 2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.在实施化简时， 首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误. 3.未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义 表示切线的斜率建立方程.
导数概念与运算
导数概念与运算知识清单 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x xy ∆∆=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，xy ∆∆有极限。
如果xy ∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； （2）求平均变化率xy ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xy x ∆∆→∆0lim。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x'=; ⑧()1l g log a a o x ex'=.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''vuv v u -（v ≠0）。
导数定义运算知识点总结
导数定义运算知识点总结一、导数的定义在微积分中，导数是描述函数变化率的一个重要概念。
具体来说，如果一个函数在某一点处的导数存在，那么这个导数就描述了函数在该点处的变化速率。
导数的定义可以通过极限的概念来给出，具体来说，对于函数y=f(x)，如果在某一点x处函数f(x)的变化率为：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x)) / h其中f'(x)表示函数f(x)在x处的导数，lim表示极限运算，h表示自变量x的增加量。
上面的定义是导数的一般形式，通过这个定义可以得到一些常用的导数计算方法。
比如对于幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等一些基本函数，我们可以通过导数的定义来计算它们在某一点处的导数。
另外，还可以通过导数的定义来证明某一函数在某一点处的导数的存在性和计算导数的值。
二、导数的基本运算法则导数的基本运算法则是微积分中的一个重要内容，它包括导数的四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数、隐函数的导数等方面的内容。
1. 导数的四则运算法则对于两个函数y=f(x)和y=g(x)，它们的导数满足一些基本运算法则。
具体来说，如果函数f(x)和函数g(x)分别在某一点x处的导数存在，那么它们的和、差、积、商的导数可以通过以下公式求得：- (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]^2这些公式可以帮助我们在实际计算中求解复合函数的导数、隐函数的导数等问题。
2. 复合函数的导数复合函数是指一个函数中包含了另一个函数。
如果函数y=f(g(x))是一个复合函数，那么它的导数可以通过链式法则来求解。
导数的概念及其运算
5.(2010·新课标全国)曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为
()
A.y=x-1
B.y=-x+1
C.y=2x-2
D.y=-2x+2
解析:由题可知,点(1,0)在曲线y=x3-2x+1上,求导可得y′=3x2-2, 因此在点(1,0)处的切线的斜率k=1,切线过点(1,0),根据直线 的点斜式可得切线方程为y=x-1,故选A.
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3
y
(lnx)( x 2
1) (x2
lnxo(x2 1)2
1)
1 (x2 1) lnx 2x x (x2 1)2
x2 1 2x2 lnx x(x2 1)2 ;
4 y 3sin2x 2 ?sin2x 6sin2 2xcos2x.
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类型三
导数的几何意义及应用
式求导. (2)以根式或分式形式出现的函数求导问题,先化成指数的形
式再运用公式求导. (3)比较复杂的函数,往往需要先化简再求导. (4)对于某些没有给出求导公式的函数,能够先化为有求导公
式的函数表达再求导.
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补充作业：
1.求下列函数的导数 :
(1) y 1 1 ;(2) y sin x (1 2 cos2 x );(3) y e x 1.
解题准备:求曲线切线方程的环节是:
①求导数f′(x);
②求斜率k=f′(x0);
③写出切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0).但是要注意,当函数 f(x)在x=x0处不可导时,曲线在该点处并不一定没有切 线,同时还必须明确P(x0,y0)为切点.
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导数的概念及运算
x0 x x0
x
存在，则称f(x)在点x0处可导，并称此极限为函数
y＝f(x)在点x0处的导数，记为f (x)或y |x=x0.
说明：
1．导数是一个特殊的极限；
2． f (x)为函数所表示的曲线在相应点M(x0, f(x0))处的切线
斜率， 其切线方程为：y- f(x0)= f (x0)(x-x0)；
v2
3．复合函数的导数:
设函数 u=(x) 在点 x 处有导数 ux=(x)，函数 y=f(u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 yu=f (u)，则复合函数y=f((x)) 在点 x 处有导数, 且 yx=yu·ux 或写作 fx((x))=f(u)(x)。
即复合函数对自变量的导数, 等于已知函数对中间变 量的导数, 乘以中间变量对自变量的导数.
导数的概念及运算
麻城一中 彭稳章
一、基本内容
（一）导数的概念：
y
y=f(x)
Q
y 就是割线PQ的斜率
△y
x
P △x
0
M x
lim y 就是过P点切线的斜率 x0 x
概念：
如果函数y＝f(x)在x0处增量△y与自变量的增
量△x的比值 y ，当△x→0时的极限 x
lim y lim f (x0 x) f (x0)
切线的方程为y 11x 18或y 17 (x 3) 15 4
即为：11x y 18 0或17x 4 y 8 0.
说明：
求切线方程应注意： ①判断点A是否在函数图象上； ②审题:在A(x0,f(x0))处切线
y-f(x0)=f(x0)(x-x0)过A(x0,f(x0)),先设切 点，再按上述方法求解。
导数的概念与运算
导数的概念与运算
导数（Derivative）是微积分中的一个重要概念，用于描述一
个函数在某一点处的变化率。
在实际应用中，导数可以用来描述一个变量相对于另一个变量的变化情况，例如速度、加速度、温度、利润等。
导数的定义是函数在某一点处的变化率与自变量变化量之比，通常表示为 f'(x) 或 df(x)/dx。
如果函数在某一点处可导，那么
它在该点处存在切线，并且 f'(x) 就是在该点处的切线斜率。
导数的运算包括求导和求偏导数。
求导是指求一个函数关于某个自变量的导数，例如 f(x) 对 x 求导就是 f'(x)。
求偏导数是指求一个多元函数的某个变量的导数，例如 f(x,y) 对 x 求偏导就
是 f'x(x,y)。
在具体计算中，导数可以通过极限的概念来计算，即 f'(x) = limit [f(x + dx) - f(x)]/dx，其中 dx 是一个无穷小的量。
此外，
导数还可以通过各种求导法则进行计算，例如链式法则、乘法法则、复合法则等。
导数在微积分中有着广泛的应用，它可以用于求解函数的极值、曲线的切线、函数的形态、变化率等，是现代科学研究和工程应用中非常重要的数学工具之一。
求导数公式及运算法则
求导数公式及运算法则求导数公式及运算法则导数是微积分中非常重要的概念，它用来描述函数在某一点的变化率。
在实际应用中，求导数可以帮助我们确定函数的最大值、最小值、驻点等，因此对求导数的理解和掌握是非常重要的。
本文将介绍一些常见的求导数公式及运算法则。
一、求导数的定义假设函数f(x)在区间[a,b]内可导，则函数在某一点x的导数表示为：f'(x) = lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h其中，lim表示极限，h表示x自变量的增量。
二、求导数常用的公式1. 常数函数的导数：若c是常数，则f(x)=c的导数为0。
2. 幂函数的导数：对于任意实数n，f(x)=x^n的导数为：f'(x) = nx^(n-1)特别地，当n=1时，f(x)=x的导数为1。
3. 指数函数的导数：f(x)=e^x的导数为：f'(x) = e^x4. 对数函数的导数：f(x)=log_a(x)的导数为：f'(x) = 1/(x*log_a)其中a为常数，且a>0且a≠1。
5. 三角函数的导数：sin(x)' = cos(x)cos(x)' = -sin(x)tan(x)' = sec^2(x)这里的sec(x)表示secant（正割）函数。
三、四则运算法则求导数不仅可以针对单个函数进行，还可以对多个函数之间进行四则运算。
下面介绍求导数的四则运算法则。
1. 和差法则：若f(x)和g(x)都可导，则有：[f(x)+g(x)]' = f'(x) + g'(x)[f(x)-g(x)]' = f'(x) - g'(x)即求和或求差的导数等于各自的导数之和或差。
2. 乘法法则：若f(x)和g(x)都可导，则有：[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + g'(x)f(x)即求两个函数相乘的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第二个函数的导数乘以第一个函数。
导数的概念及运算
探究二
例2 求下列函数的导数 (1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (2)y＝x2sinx； (3)y＝3xex－2x＋e； lnx (4)y＝ 2 x ＋1 (5)y＝e2xcos3x； (6)y＝ln x2＋1
导数运算
【解析】 (1)方法一 y＝(3x3－4x)(2x＋1) ＝6x4＋3x3－8x2－4x，∴y′＝24x3＋9x2－16x－4. 方法二 y′＝(3x3－4x)′· (2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋ 1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)· 2 ＝24x3＋9x2－16x－4. (2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.
1 3 4 ∴切线方程为y－( x0＋ )＝x2(x－x0)， 0 3 3 2 3 4 2 即y＝x0· x0＋ . x－ 3 3 2 3 4 2 ∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x0－ x0＋ ， 3 3
3 即x0－3x2＋4＝0，解得x0＝－1或x0＝2. 0
故所求切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0；
题型三
导数的几何意义
1 3 4 例3 已知曲线y＝3x ＋3. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．
【解析】 (1)∵y′＝x2， ∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝22＝4， ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0； 1 3 4 (2)设曲线y＝ x ＋ 与过点P(2,4)的切线相切于点 3 3 1 3 4 2 A(x0，3x0＋3)，则切线的斜率k＝y′| x＝x0＝x0.
s′(t0)
表
3.1 导数的概念及几何意义、导数的运算
∴x2=-2x1,∴f
'(x2)=3 x22=12 x12.∴
f f
'(x1) = 1 .
'(x2 ) 4
(2)由题意,得f '(x)=2x.
设直线与曲线相切于点(x0,y0), 则所求切线的斜率k=2x0,
由题意知2x0= y0 0 = y0 ①.
x0 1 x0 1
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12
又y0= x02 ②,所以由①②解得x0=0或x0=-2, 所以k=0或k=-4, 所以所求切线方程为y=0或y=-4(x+1), 即y=0或4x+y+4=0. 答案 (1) 1 (2)y=0或4x+y+4=0
2
2
(4)y'
=
cos ex
x
'=(cos
x)
'ex cos (ex )2
x(ex
)'
=-
sin
x cos ex
x.
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9
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方法二 求曲线y=f(x)的切线方程
1.求“在”曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程,则点P(x0,y0)为切点,
'(x1)(x0 x1),
点A(x1,y1),代入方程y-y1=f '(x1)(x-x1),化简即得所求的切线方程.
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10
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例2 (1)(2018江苏淮安高三期中)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,
f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2, f(x2)),记f '(x)为函数f(x)的导
导数的概念几何意义与运算
导数的概念几何意义与运算一、导数的概念导数是微积分的重要概念之一，是描述函数变化速度的衡量工具。
对于一条曲线上的任意一点，其导数值表示了该点处的切线斜率。
导数的定义为：若函数f(x)在点x0处有定义，那么函数在该点的导数为：f'(x0) = lim(h→0) [f(x0+h) - f(x0)] / h其中 lim 表示极限，h 表示的是 x 的增加量。
导数的概念可以推广到函数的各种高阶导数，分别表示函数变化的速率、加速度、变化的变化率等。
二、导数的几何意义1.切线斜率：导数可以看作是函数曲线在其中一点处切线的斜率。
特定点处的切线斜率表示了函数在该点的变化速度。
2.函数的增减性：若函数在其中一区间内的导数恒大于0，则函数在该区间上是递增的；若导数恒小于0，则函数在该区间上是递减的。
导数的正负性能够直观地反映函数的增减趋势。
3.极值点：若函数在其中一点的导数为0，那么这个点称为函数的极值点。
导数为0相当于切线水平，函数在这一点上由增转为减或由减转为增。
三、导数的运算法则1.常数乘法：对于常数k，(k*f(x))'=k*f'(x)。
2.求和与差：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
3.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
4.商法则：(f(x)/g(x))'=[f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)]/[g(x)]^25.复合函数求导：对于复合函数y=f(g(x))，若g(x)在点x处可导，而f在g(x)处可导，则y也在点x处可导，且y'=f'(g(x))*g'(x)。
四、应用举例1.速度和加速度：对于一个物体的位移函数s(t)，其导数s'(t)表示在时间t的瞬时速度。
二次导数s''(t)则表示在时间t的瞬时加速度。
4.1 导数的概念及其运算
复合函数及其求导： 四.复合函数及其求导： 复合函数及其求导
高考总复习·数学 高考总复习 数学 (3) 复合函数的求导法则：复合函数y=f[g(x)]对自变量x的导数 y 'x 复合函数的求导法则： ，等于外函数y=f(u)对中间变量u的导数y’u,乘以中间变量u对自变 ′ x 量x（即内函数）的导数 u’x,即 y′ = yu ⋅ u ′ x
高考总复习·数学 高考总复习 数学
导数的基本运算
求下列函数的导数：
1 1 （1） y = x ( x + + 3 ) x x 1 （3） = ( x + 1)( y − 1) x
2
3
x x ；（2）y = x − sin cos 2 2
；
1 2 ' 2 Q 【解析】（1） y = x + 1 + 2 ∴ y = 3 x − 3 . x x x x 1 （2）先使用三角公式进行化简，得 y = x − sin cos = x − sin x 2 2 2
复合函数求导步骤：分解——求导——回代。 复合函数求导步骤： 法则的推广：若函数y=f(u)在u点处可导，u=g(v)在v 点处可导， 法则的推广 v=h(x)在x点处可导，则复合函数y=f{g[h(x)]}在x点处可导，并且
y ' = f '(u ) ⋅ g '(v) ⋅ h '( x) = y 'u ⋅ u 'v ⋅ v 'x .
高考总复习·数学 高考总复习 数学 2.导数四则运算法则： 导数四则运算法则： 导数四则运算法则
[u ( x) ± v( x)]' = u ' ( x) ± v ' ( x) ①和、差的导数：
高考数学导数专题1：导数的概念及运算
导数的概念及运算1．导数的概念及几何意义(1)了解导数概念的实际背景．(2)理解导数的几何意义．2．导数的运算(1)能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x(1)，y＝x2，y＝x3，y＝的导数．(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．(3)能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．一导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0Δx(f(x0＋Δx)－f(x0))＝limΔx→0Δx(Δy)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0Δx(Δy)＝limΔx→0Δx(f(x0＋Δx)－f(x0)).(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝limΔx→0Δx(f(x＋Δx)－f(x))为f(x)的导函数．易错点1．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．二导数的运算1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则2．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．3．复合函数的导数复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为yx ′＝yu ′·ux ′，即y 对x的导数等于y 对u 的导数与 u 对x 的导数的乘积． 易误提醒1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)′＝nxn －1中n ≠0且n ∈Q ，(cos x)′＝－sin x.2．注意公式不要用混，如(ax)′＝axln a ，而不是(ax)′＝xax －1. 3．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆易误提醒1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x n)′＝nxn －1中n ≠0且n ∈Q ，(cosx )′＝－sin x .2．注意公式不要用混，如(a x)′＝a xln a ，而不是(a x)′＝xax －1.3．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 题型一 导数的概念1.已知函数f(x)＝2ln 3x ＋8x ， 求f(1－2Δx)－f(1)Δx的值.解析f(1－2Δx)－f(1)Δx＝－2f(1－2Δx)－f(1)－2Δx＝－2f ′(1)＝－20.【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx →0时， 平均变化率ΔyΔx2.某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可以近似地表示为f(t)＝t2100，则在时刻t ＝10 min 的降雨强度为( ) A.15 mm/min B.14 mm/min C.12mm/minD.1 mm/min【解析】选A.3．(2015·陕西一检)已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为( )A ．0B ．2C ．1D ．3解析：因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的切线，所以令y ′＝2x －3x ＝－1，得x ＝1，x ＝－32(舍)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2，故选B.4．(2015·洛阳期末)函数f (x )＝e xsin x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A.3π4 B.π3 C.π4D.π6解析：因为f ′(x )＝e xsin x ＋e xcos x ，所以f ′(0)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为1， 题型二 导数运算 1. 求下列函数的导数. (1)y ＝ln(x ＋1＋x2)； (2)y ＝(x2－2x ＋3)e2x ；(3)y ＝3x 1－x. 【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则.(1)y ′＝1x ＋1＋x2(x ＋1＋x2)′＝1x ＋1＋x2(1＋x 1＋x2)＝11＋x2. (2)y ′＝(2x －2)e2x ＋2(x2－2x ＋3)e2x ＝2(x2－x ＋2)e2x.Δlim →x 0Δlim →x 0Δlim →x(3)y ′＝13(x 1－x 1－x ＋x(1－x)2＝13(x 1－x1(1－x)2＝13x (1－x) 2. 如下图，函数f(x)的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝（ ）；f(1＋Δx)－f(1)Δx＝（ ） (用数字作答).【解析】f(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2， 由导数定义f(1＋Δx)－f(1)Δx＝f ′(1).当0≤x ≤2时，f(x)＝4－2x ，f ′(x)＝－2，f ′(1)＝－2.3．(2015·济宁模拟)已知f (x )＝x (2 014＋ln x )，f ′(x 0)＝2 015，则x 0＝( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：由题意可知f ′(x )＝2 014＋ln x ＋x ·1x＝2 015＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 015，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.答案：B4．若函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________.解析：∵f ′(x )＝1x－2f ′(－1)x ＋3，∴f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，解得f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：85．下列求导运算正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3xlog 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x 2；(log 2x )′＝1x ln 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故选B.32)-32)-32-34-0Δlim →x 0Δlim →x6．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．6．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.103解析：选D 因为f ′(x )＝3ax 2＋6x ， 所以f ′(－1)＝3a －6＝4， 所以a ＝103.4．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析：因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：3题型三 导数的几何意义导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前几问，难度较低．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．求切线方程问题． 2．确定切点坐标问题． 3．已知切线问题求参数． 4．切线的综合应用．求切线方程问题1．(2015·云南一检)函数f (x )＝ln x －2xx的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )已知切线求参数范围3．(2015·河北五校联考)若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，则a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 28，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 28C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 24 解析：结合函数y ＝ax 2(a >0)和y ＝e x的图象可知，要使曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，只要ax 2＝e x在(0，＋∞)上有解，从而a ＝ex x 2.令h (x )＝e x x 2(x >0)，则h ′(x )＝e x ·x 2－e x·2xx4＝x －2e x x 3，令h ′(x )＝0，得x ＝2，易知h (x )min ＝h (2)＝e 24，所以a ≥e 24.答案：C 切线的综合应用4．(2015·重庆一诊)若点P 是函数f (x )＝x 2－ln x 图象上的任意一点，则点P 到直线x －y －2＝0的最小距离为( )A.22B. 2C.12D ．3解析：由f ′(x )＝2x －1x＝1得x ＝1(负值舍去)，所以曲线y ＝f (x )＝x 2－ln x 上的切线斜率为1的点是(1,1)，所以点P 到直线x －y －2＝0的最小距离为|1－1－2|2＝2，故选B.答案：B导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下三个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解．易错题：混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误1. 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[解析] 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1，所以选A.[答案] A2.(2015·兰州一模)已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则实数b 的值为________．解析：因为函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋a ＝2，3＝1＋a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.答案：3[易误点评] 没有对点(1,0)的位置进行分析，误认为是切点而失误． [防范措施]对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．(2)对于已知的点，应首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解． 随堂测试1、已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)的值是( ) A.12 B ．1 C ．32D ．2【答案】D【解析】∵函数y ＝f (x )的图象在点(1, f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，∴f (1)＝1, f ′(1)＝12.∴f (1)＋2f ′(1)＝2.故选D.2、曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．3x －y ＋1＝0 【答案】C【解析】y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率为k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0.3、.已知奇函数y=f (x )在区间(-∞,0]上的解析式为f (x )=x 2+x ,则曲线y=f (x )在横坐标为1的点处的切线方程是( ) A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=0【答案】B【解析】由函数y=f (x )为奇函数,可得f (x )在[0,+∞)内的解析式为f (x )=-x 2+x ,故切点为(1,0). 因为f'(x )=-2x+1, 所以f'(1)=-1,故切线方程为y=-(x -1), 即x+y -1=0.4、已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是( )A ．－23B ．－43C ．43D ．34【答案】D【解析】因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x1－tan 2x ＝－61－9＝34.故选D.5、过函数f (x )＝13x 3－x 2图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，3π4 B ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D ．⎝⎛⎦⎤π2，3π4 【答案】B【解析】设切线的倾斜角为α.由题意得k ＝f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，即k ＝tan α≥－1，解得0≤α<π2或3π4≤α<π，即切线倾斜角的范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.故选B. 6．(2015·长春二模)若函数f (x )＝ln xx ，则f ′(2)＝________.解析：由f ′(x )＝1－ln x x 2，得f ′(2)＝1－ln 24.答案：1－ln 247．如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任意一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．解析：根据已知可得f ′(x )≥ 3，即曲线y ＝f (x )上任意一点的切线的斜率k ＝tan α≥ 3，结合正切函数的图象，可知α∈⎣⎡⎭⎫π3，π2.答案：⎣⎡⎭⎫π3，π28．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0， ∴a ≠－12.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 94．(2016·临沂一模)已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围． 解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k <0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。
第一节 导数的概念及运算
第一节导数的概念及运算高考概览：1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．[知识梳理]1．导数的概念(1)f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0ΔyΔx，称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x，即f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)导函数当x变化时，f′(x)称为f(x)的导函数，则f′(x)＝y′＝limΔx→0 f(x＋Δx)－f(x)Δx.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f _′(x 0)(x －x 0)．3．基本初等函数的导数公式4.导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f _′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f _′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f [g (x )]的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝f _′(u )u ′(x )，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的积．[辨识巧记]1．三个注意点(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．(2)f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；[f (x 0)]′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即[f (x 0)]′＝0.(3)对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数，参数是常量，其导数为零．2．两个结论(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．(2)函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( )(2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( )(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )(4)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x .( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．下列求导运算正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln2 C ．(3x )′＝3x ·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x [解析] 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x 2，所以选项A 不正确；因为(log 2x )′＝1x ln2，所以选项B 正确；因为(3x )′＝3x ln3，所以选项C 不正确；因为(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，所以选项D 不正确．故选B.[答案] B3．(2019·陕西安康模拟)设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( )A ．e 2B ．e C.ln22 D ．ln2 [解析] f ′(x )＝1·ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1＝2，得x 0＝e.故选B. [答案] B4．(2019·商丘二模)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2[解析] 设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0.又y ′＝1x ＋a ，所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a＝1，即x 0＋a ＝1.又y 0＝ln(x 0＋a )，所以y 0＝0，则x 0＝－1，所以a ＝2.[答案] B5．(选修2－2P 3例题改编)在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________，加速度a ＝________.[解析] 由导数的物理意义可知，v ＝h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，a ＝v ′(t )＝－9.8.[答案] －9.8t ＋6.5 －9.8考点一 导数的基本运算【例1】 求下列各函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(2)y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4； (3)y ＝11－x ＋11＋x； [思路引导] 先化简解析式→再求导[解] (1)y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(2)由题可得：y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2＝－12sin x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x . (3)y ＝11－x ＋11＋x ＝1＋x ＋1－x (1－x )(1＋x )＝21－x， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2.导数的运算要点(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．[对点训练]分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝x －sin x 2cos x 2；(4)y ＝ln 1＋2x .[解] (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x·1x ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3. (3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .(4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，∴y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x. 考点二 导数的几何意义导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度较低，属中、低档题．常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)确定切点坐标；(3)已知切线求参数值或范围．角度1：求切线方程【例2－1】 (1)曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( )A ．x －3y ＋3＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0(2)曲线y ＝13x 3＋43在点P (2,4)处的切线方程为________．[思路引导] 已知点为切点→求该点处的导数值→利用点斜式求得切线方程[解析] (1)∵y ＝sin x ＋e x ，∴y ′＝cos x ＋e x ，∴y ′|x ＝0＝cos0＋e 0＝2，∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.故选C.(2)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为k 1＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.[答案] (1)C (2)4x －y －4＝0[拓展探究] 若本例(2)中“在点P (2,4)处”改为“过点P (2,4)”，如何求解？[解] 设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为k 2＝x 20. ∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.过点P (x 0，y 0)的切线方程的2种求法(1)点P (x 0，y 0)是切点时：第一步：求导数f ′(x )；第二步：求切线斜率k ＝f ′(x 0)；第三步：写切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)当点P (x 0，y 0)不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)·(x －x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程．角度2：确定切点坐标【例2－2】曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y －1＝0，则点P0的坐标是()A．(0,1) B．(1，－1)C．(1,3) D．(1,0)[解析]由题意知y′＝3x＋1＝4，解得x＝1，则有4×1－y－1＝0，解得y＝3，所以点P0的坐标是(1,3)故选C.[答案] C已知斜率k，求切点P(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k，得出横坐标x1，再确定纵坐标．角度3：已知切线求参数值或范围【例2－3】已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a 的值为()A．1 B．2 C．－1 D．－2[思路引导]设出切点坐标→得出方程→求出k[解析]设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)．因为曲线的导函数y′＝1x＋a，所以y′|x＝x0＝1x0＋a＝1，即x0＋a＝1.又y 0＝ln(x 0＋a )，所以y 0＝0，则x 0＝－1，所以a ＝2.故选B.[答案] B求参数或参数范围的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程或者参数满足的不等式，注意不要忽略曲线上横坐标的取值范围及切点既在切线上又在曲线上．[对点训练]1．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12[解析] 因为y ＝x 24－3ln x ，所以y ′＝x 2－3x .再由导数的几何意义，令x 2－3x ＝－12，解得x ＝2或x ＝－3(舍去)．故选B.[答案] B2．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2018π3，－1在函数f (x )＝a cos x 的图象上，则该函数图象在x ＝3π4处的切线方程是( )A ．2x ＋2y ＋4－3π2＝0B ．2x －2y ＋4－3π2＝0C ．2x －2y －4－3π2＝0D ．2x ＋2y －4－3π2＝0[解析] 由点P 在函数f (x )＝a cos x 的图象上可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2018π3＝－1，即a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2018π3＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫672π＋2π3＝－a 2＝－1，解得a ＝2.故f (x )＝2cos x .所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝2cos 3π4＝－2，f ′(x )＝－2sin x . 由导数的几何意义可知，该函数图象在x ＝3π4处的切线斜率k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝－2sin 3π4＝－ 2. 所以切线方程为y －(－2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4，即2x ＋y ＋2－32π4＝0，即2x ＋2y ＋4－3π2＝0.故选A.[答案] A3．(2019·银川一中一模)已知函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则实数m 的取值范围________．[解析][答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ 考点三 切线的综合应用【例3】 (2019·宁夏育才中学月考)点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1 B.32 C.52 D. 2[思路引导] 求y ′→令y ′＝1得切点横坐标 [解析] 由y ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x ＝2x 2－1x ，令y ′＝1，则x ＝1，故曲线y ＝x 2－ln x 斜率为1的切线的切点横坐标x ＝1，纵坐标为y ＝1.切点(1,1)到直线y ＝x －2的距离d ＝|－2|2＝2为所求．故选D.[答案] D求直线与曲线上点的最短距离，前提是曲线位于直线的同一侧，且曲线也位于与该直线平行的切线的同一侧，然后求切点到直线的距离即可．[对点训练]分别在曲线y ＝e x 与直线y ＝e x －1上各取一点M 与N ，则线段MN 长度的最小值为________．[解析] 设曲线y ＝e x 在某点处的切线为l ，当切线l 与直线y ＝e x －1平行时，这两条平行直线间的距离就是所求的最小值．因为切线l 与直线y ＝e x －1平行，故切线l 的斜率为e.由y ′＝e x ＝e ，得x ＝1.故点(1，e)到直线y ＝e x －1的距离为线段MN 长度的最小值，其距离为|e －e －1|e 2＋1＝e 2＋1e 2＋1. [答案] e 2＋1e 2＋1纠错系列③——混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线” 素养解读：求曲线的切线方程有两种情况：一是求曲线在某点处的切线方程，该点即为切点，只要求出该点的导函数值即斜率；二是求曲线过某点的切线方程，该点不一定是切点，求解时需设出切点．【典例】 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x－9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564 B ．－1或214 C ．－74或－2564 D ．－74或7[易错分析] 没有对点(1,0)是否为切点进行分析，误认为是切点而出错．[规范解答] 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，所以x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，切线方程为y ＝0.由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.综上，a 的值为－1或－2564.故选A. [答案] A(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”，即“求曲线在点P 处的切线方程”和“求曲线过点P 的切线方程”，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．(2)若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P (x 0，y 0)的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．[感悟体验]1．求曲线y ＝x ln x 在点P (e ，e)处的切线方程． [解] ∵y ′＝ln x ＋1，∴切线的斜率k ＝lne ＋1＝2， ∴所求切线方程为y －e ＝2(x －e)，即2x －y －e ＝0.2．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，83，求过点P 的切线方程． [解] ①当P 为切点时，由y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，得y ′|x ＝2＝4，即过点P 的切线方程的斜率为4.则所求的切线方程是y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0. ②当P 点不是切点时，设切点为Q (x 0，y 0)， 则切线方程为y －13x 30＝x 20(x －x 0)，因为切点过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，83，把P 点的坐标代入以上切线方程，求得x 0＝－1或x 0＝2(即点P ，舍去)，所以切点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13，即所求切线方程为3x －3y ＋2＝0，综上所述，过点P 的切线方程为12x －3y －16＝0或3x －3y ＋2＝0.课后跟踪训练(十四)基础巩固练一、选择题1．已知f (x )＝13x 3＋2xf ′(3)＋ln x ，则f ′(3)＝( ) A.283 B ．－283 C ．9 D ．－9[解析] 因为f ′(x )＝x 2＋2f ′(3)＋1x ，所以f ′(3)＝32＋2f ′(3)＋13＝283＋2f ′(3)，解得f ′(3)＝－283，故选B.[答案] B2．f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( ) A.193 B.163 C.133 D.103[解析] 因为f ′(x )＝3ax 2＋6x ，所以f ′(－1)＝3a －6＝4，解得a ＝103.故选D.[答案] D3．函数f (x )＝e x ln x 在点(1，f (1))处的切线方程是( ) A ．y ＝2e(x －1) B ．y ＝e x －1 C ．y ＝e(x －1)D ．y ＝x －e[解析] f (1)＝0，∵f ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ，∴f ′(1)＝e ，∴切线方程是y ＝e(x －1)．故选C.[答案] C4．(2019·广州市高三调研测试)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( )A ．ln2B ．1C ．1－ln2D ．1＋ln2[解析] 由y ＝x ln x 知y ′＝ln x ＋1，设切线为(x 0，x 0ln x 0)，则切点方程为y －y 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)，因为切线y ＝kx －2过定点(0，－2)，所以－2－x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(0－x 0)，解得x 0＝2，则k ＝1＋ln2，故选D.[答案] D5．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4[解析] 由题图得f (3)＝1，k ＝f ′(3)＝－13，∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.故选B.[答案] B 二、填空题6．已知函数f (x )＝3x ＋cos2x ＋sin2x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝__________.[解析] f ′(x )＝3－2sin2x ＋2cos2x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1.[答案] 17．设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．[解析] y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m >0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．[答案] (1,1)8．已知直线l 与曲线f (x )＝x 2－3x ＋2＋2ln x 相切，则直线l 倾斜角的最小值为________．[解析] 函数的定义域为(0，＋∞)．由导数的几何意义可知，曲线上任意一点P (x ，y )处的切线l 的斜率为f ′(x )＝2x －3＋2x ，因为x >0，故2x ＋2x ≥22x ×2x ＝4(当且仅当2x ＝2x ，即x ＝1时取等号)，所以f ′(x )＝2x －3＋2x ≥4－3＝1，即切线l 的斜率的最小值为1，此时直线的倾斜角取得最小值π4.[答案] π4 三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．[解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.10．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解] (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.能力提升练11．(2019·河南开封模拟)函数f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] 直线2x －y ＝0的斜率为2，且f ′(x )＝1x ＋a (x >0)，令1x ＋a ＝2得a ＝2－1x .因为x >0，则1x >0，所以a <2，故选B.[答案] B12．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( )A ．x ＋4y －2＝0B ．x －4y ＋2＝0C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0[解析] y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x ＋1e x ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x≥2e x ×1e x ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，则e x ＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1e x ＋2≥－14且y ′<0，当(x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.故选A.[答案] A13．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝________.[解析] ∵函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，∴f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′， ∴f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝84＝4096. [答案] 409614．(2019·安徽淮南一模)已知函数f (x )＝x 2－ln x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)在函数f (x )＝x 2－ln x 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上？若存在，求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)∵f (1)＝1，又f ′(x )＝2x －1x ， ∴f ′(1)＝2－1＝1，故所求切线方程为y －1＝1×(x －1)，即y ＝x . (2)存在．求解如下：设所求两点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，不妨设x 1<x 2，∵f ′(x )＝2x －1x ，∴由题意得⎝⎛⎭⎪⎫2x 1－1x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x2＝－1. ∵f ′(x )＝2x －1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，∴－1≤2x 1－1x 1≤1，－1≤2x 2－1x 2≤1.又x 1<x 2，∴f ′(x 1)<f ′(x 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－1x 1＝－1，2x 2－1x 2＝1，解得x 1＝12(x 1＝－1舍)，x 2＝1⎝⎛⎭⎪⎫x 2＝－12舍，∴存在满足题意的两点，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，ln2＋14，(1,1)．拓展延伸练15．(2019·黑龙江伊春质检)曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是( )A ．2 5B ．2C ．2 3 D. 3[解析] 设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在M 点处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，M 点到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离．∵y ′＝22x －1，∴22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴M (1,0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离为d ，则d ＝|2＋8|4＋1＝25，故选A.[答案] A16．(2018·河南商丘二模)设曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．(3，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23 [解析] 由f (x )＝－e x －x ，得f ′(x )＝－e x －1，∵e x ＋1>1， ∴1e x ＋1∈(0,1)．由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ，又－2sin x ∈[－2,2]，∴3a －2sin x ∈[－2＋3a,2＋3a ]．要使过曲线f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线l 1，总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.故选D. [答案] D。
导数的概念及运算-2025高考数学复习
第三章 导数及其应用
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2．(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ___y_＝__1e_x___y_＝__－__1e_x________.
[解析] 先求当 x>0 时，曲线 y＝ln x 过原点的切线方程，设切点坐 标为(x0，y0)，则由 y′＝1x，得切线斜率为x10，又切线的斜率为yx00，
xx′＝－sin
x·sin x－cos sin2x
x·cos
x＝－sin12x，C
错误；
(x23x)′＝(x2)′·3x＋x2×(3x)′＝2x3x＋x23xln 3，D 正确．
第三章 导数及其应用
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2．求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x； (2)y＝ln x＋1x； (3)y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2； (4)f(x)＝ 2x＋1.
导数的概念及运算
知识梳理·双基自测 考点突破·互动探究 名师讲坛·素养提升 提能训练 练案[15]
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知识梳理 知识点一 导数的概念与导数的运算 1．函数的平均变化率 一般地，已知函数 y＝f(x)，把式子fxx22－－fx1x1称为函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率，还可以表示为ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1.
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(4)sin
π3′＝cos
π 3.(×)来自(5)(2x)′＝x·2x－1．( × )
(6)[ln(－x)]′＝(ln x)′.( × )
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第三章 导数及其应用
高考一轮总复习 • 数学
导数的概念与基本运算
导数的概念与基本运算导数是微积分学中的重要概念，用以描述函数在某一点的变化率。
导数的概念和基本运算是学习微积分的基础，本文将介绍导数的定义、求导法则以及一些常见函数的导数，帮助读者掌握导数的概念与基本运算。
一、导数的定义函数的导数描述了函数在某一点附近的变化率，可以用数学符号表示为f'(x)。
在微积分中，导数的定义是：f'(x) = lim[∆x→0] (f(x+∆x) - f(x))/∆x其中，∆x表示自变量x的一个增量。
这个定义意味着当∆x无限趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化率就可用导数f'(x)来表示。
二、求导法则对于常见的函数形式，可以利用求导法则来求导。
以下是一些常见的求导法则：1. 常数法则：如果f(x)是一个常数，那么它的导数f'(x)等于0。
2. 幂函数法则：如果f(x) = x^n (n为实数)，那么它的导数f'(x) =nx^(n-1)。
3. 指数函数法则：如果f(x) = a^x (a>0, a≠1)，那么它的导数f'(x) =a^x ln(a)。
4. 对数函数法则：如果f(x) = ln(x)，那么它的导数f'(x) = 1/x。
5. 三角函数法则：如果f(x) = sin(x)，那么它的导数f'(x) = cos(x)，同样适用于cos(x)和tan(x)等三角函数。
6. 反函数法则：如果g(x)是函数f(x)的反函数，那么g'(x) =1/f'(g(x))。
以上是一些常见的求导法则，通过应用这些法则，可以求得更复杂函数的导数。
三、常见函数的导数除了常见的求导法则，还有一些特殊函数的导数需要记住。
以下列举了一些常见函数及其导数：1. 多项式函数：- f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n，其中a0, a1, ..., an为常数。
- f'(x) = a1 + 2a2x + 3a3x^2 + ... + nanx^(n-1)2. 指数函数：- f(x) = e^x- f'(x) = e^x3. 对数函数：- f(x) = ln(x)- f'(x) = 1/x4. 三角函数：- f(x) = sin(x)- f'(x) = cos(x)- f(x) = cos(x)- f'(x) = -sin(x)- f(x) = tan(x)- f'(x) = sec^2(x)通过记住这些函数的导数公式，可以简化函数的求导过程。
第三章 第1讲 导数的概念及运算
第1讲导数的概念及运算基础知识整合1．导数的概念(1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的□01瞬时变化率，记作：y′|x＝x0或f′(x0)，即f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝□02limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.2．导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点□03P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为□04y －y0＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式(1)C′＝□050(C为常数)；(2)(x n)′＝□06nx－(n∈Q*)；(3)(sin x)′＝□07cos x；(4)(cos x)′＝□08－sin x；(5)(a x)′＝□09a ln_a；(6)(e x)′＝□10e；(7)(log a x)′＝1x ln a；(8)(ln x)′＝□111x.4．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝□12f′(x)±g′(x)．(2)[f (x )·g (x )]′＝□13f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． 特别地：[C ·f (x )]′＝□14Cf ′(x )(C 为常数)． (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝□15f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．5．复合函数的导数设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数y ′x ＝f ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．f ′(x 0)与x 0的值有关，不同的x 0，其导数值一般也不同． 2．f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．1．(2019·海南模拟)曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线方程为( )A ．x －y －2＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x ＋4y －5＝0D ．x －4y －5＝0答案 B 解析 y ′＝2x －1－2x (2x －1)2＝－1(2x －1)2，当x ＝1时，y ′＝－1，所以切线方程是y －1＝－(x －1)，整理得x ＋y －2＝0.故选B.2．函数f (x )＝x (2017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2018，则x 0的值为( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e 答案 B解析 f ′(x )＝2017＋ln x ＋x ·1x ＝2018＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2018，得2018＋ln x 0＝2018，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.故选B.3．若曲线y ＝e x ＋ax ＋b 在点(0,2)处的切线l 与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a ＋b ＝( )A ．3B ．－1C ．1D ．－3 答案 A解析 因为直线x ＋3y ＋1＝0的斜率为－13，所以切线l 的斜率为3，即y ′|x＝0＝e 0＋a ＝1＋a ＝3，所以a ＝2；又曲线过点(0,2)，所以e 0＋b ＝2，解得b ＝1.故选A.4．(2019·河北质检)已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值是( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e 答案 C解析 依题意，设直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 切于点(x 0，kx 0)，则有⎩⎨⎧kx 0＝ln x 0，k ＝1x 0，由此得ln x 0＝1，x 0＝e ，k ＝1e .故选C.5．f (x )＝2x ＋3x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为________． 答案 x －y ＋4＝0解析 f ′(x )＝－2x 2＋3，f ′(1)＝1，即切线的斜率为1，又f (1)＝5，即切点坐标为(1,5)，故切线方程为y －5＝x －1，即x －y ＋4＝0.6．(2019·郑州模拟)直线x －2y ＋m ＝0与曲线y ＝x 相切，则切点的坐标为________．答案 (1,1)解析 ∵y ＝x ＝x12 ，∴y ′＝12x －12 ，令y ′＝12x －12 ＝12，则x ＝1，则y ＝1＝1，即切点坐标为(1,1)．核心考向突破考向一 导数的基本运算 例1 求下列函数的导数：(1)y ＝cos x e x ；(2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝sin 3x ＋sin3x ；(4)y ＝1(2x －1)3.解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x.(2)因为y ＝x 3＋1x 2＋1，所以y ′＝3x 2－2x 3. (3)y ′＝(sin 3x )′＋(sin3x )′＝3sin 2x cos x ＋3cos3x . (4)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(2x －1)3′＝[(2x －1)－3]′＝－3(2x －1)－4×2＝－6(2x －1)－4. 触类旁通导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导.(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导. (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导.(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导. (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导.即时训练 1.求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)；(2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝11－2x；(4)y ＝ln xx 2＋1.解 (1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ，所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(3)y ′＝[(1－2x ) －12]′＝－12(1－2x )－32 ×(－2)＝(1－2x ) －32 .(4)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x (x 2＋1)－2x ln x(x 2＋1)2＝x 2＋1－2x 2ln x x (x 2＋1)2.考向二 导数的几何意义角度1 求切线的方程例2 (1)(2019·四川成都模拟)曲线y ＝x sin x 在点P (π，0)处的切线方程是( )A ．y ＝－πx ＋π2B ．y ＝πx ＋π2C ．y ＝－πx －π2D ．y ＝πx －π2答案 A解析 因为y ＝x sin x ，所以y ′＝sin x ＋x cos x ，在点P (π，0)处的切线斜率为k ＝sinπ＋πcosπ＝－π，所以曲线y ＝x sin x 在点P (π，0)处的切线方程是y ＝－π(x －π)＝－πx ＋π2.故选A.(2)曲线y ＝f (x )＝e 2x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1处的切线方程为________．答案 2x －y ＋2＝0解析 ∵f ′(x )＝e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2e 0＝2，∴曲线y ＝e 2x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1处的切线方程为y －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即2x －y ＋2＝0.角度2 求切点的坐标例3 (1)(2019·陕西模拟)设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(1，－1)D ．(－1,1)答案 A解析 对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－1x 2＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以点P 的坐标为(1,1)．故选A.(2)(2018·江西模拟)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．答案 (e ，e)解析 设点P (x 0，y 0)，∵y ＝x ln x ，∴y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ．∴曲线y ＝x ln x 在点P 处的切线斜率k ＝1＋ln x 0.又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e ，y 0＝eln e ＝e.∴点P 的坐标是(e ，e)． 角度3 求公切线的方程例4 (1)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2 答案 D解析 ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，于是解得m ＝－2.故选D.(2)若直线l 与曲线y ＝e x及y ＝－14x 2都相切，则直线l 的方程为________．答案 y ＝x ＋1解析 设直线l 与曲线y ＝e x 的切点为(x 0，e x 0)，直线l 与曲线y ＝－14x 2的切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，－x 214，因为y ＝e x 在点(x 0，e x 0)处的切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝e x0，y ＝－x 24在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，－x 214处的切线的斜率为y ′|x ＝x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2| x ＝x 1＝－x 12，则直线l 的方程可表示为y ＝e x 0x －x 0e x 0＋e x0或y ＝－12x 1x ＋14x 21，所以⎩⎪⎨⎪⎧e x0＝－x 12，－x 0e x 0＋e x0＝x 214，所以e x 0＝1－x 0，解得x 0＝0，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.触类旁通(1)求曲线切线方程的步骤①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(2)求曲线f (x )，g (x )的公切线l 的方程的步骤,①设点求切线，即分别设出两曲线的切点的坐标(x 0，f (x 0))，(x 1，g (x 1))，并分别求出两曲线的切线方程；,②建立方程组，即利用两曲线的切线重合，则两切线的斜率及在y 轴上的截距都分别相等，得到关于参数x 0，x 1的方程组，解方程组，求出参数x 0，x 1的值；,③求切线方程，把所求参数的值代入曲线的切线方程中即可.即时训练 2.(2019·衡水调研)已知曲线y ＝x 22－3ln x 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12 答案 A解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0>0，由y ′＝x －3x ，得k ＝x 0－3x 0＝2，∴x 0＝3.故选A.3．曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2答案 A 解析 ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2，∴y ′＝x ＋2－x(x ＋2)2＝2(x ＋2)2，y ′|x ＝－1＝2， ∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝________.答案 1－ln 2解析 直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2，y ＝ln (x ＋1)均相切，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y ＝ln x ＋2得y ′＝1x ，由y ＝ln (x ＋1)得y ′＝1x ＋1，∴k ＝1x 1＝1x 2＋1，∴x 1＝1k ，x 2＝1k －1，∴y 1＝－ln k ＋2，y 2＝－ln k .即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，－ln k ＋2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1，－ln k ，∵A ，B 在直线y ＝kx ＋b 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－ln k ＝k ·1k ＋b ，－ln k ＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＋b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－ln 2，k ＝2.考向三 求参数的范围例5 (1)(2019·沈阳模拟)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．1B ．2C ．5D ．－1 答案 A解析 由题意可得3＝k ＋1,3＝1＋a ＋b ，则k ＝2.又曲线的导函数y ′＝3x 2＋a ，所以3＋a ＝2，解得a ＝－1，b ＝3，所以2a ＋b ＝1.故选A.(2)已知函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞解析 由题意知，方程f ′(x )＝－1e 有解，即e x －m ＝－1e 有解，即e x＝m －1e 有解，故只要m －1e >0，即m >1e 即可．故填⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.触类旁通处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.即时训练 5.已知函数f (x )＝ax 2＋2b ln x ，若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝x ＋2－6ln 2，则a ＋b ＝( )A ．－2B ．－1C ．2D ．1 答案 A解析 由切线方程，得f (2)＝4－6ln 2，f ′(2)＝1. ∵f (x )＝ax 2＋2b ln x ，∴f ′(x )＝2ax ＋2bx ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ln 2＝4－6ln 2，4a ＋b ＝1，解得a ＝1，b ＝－3， ∴a ＋b ＝－2.故选A.6．若曲线y ＝13x 3＋ax 2＋x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．(－∞，－1]∪[0，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ 答案 B解析 令y ＝f (x )＝13x 3＋ax 2＋x ，则f ′(x )＝x 2＋2ax ＋1，∵曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )＝0有解，即x 2＋2ax ＋1＝0有解，∴Δ＝(2a )2－4≥0，∴a ≥1或a ≤－1，即实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故选B.。
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导数的概念与运算一、基础知识1．导数的概念一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim→Δ0x ΔyΔx＝lim→Δ0xf(x0＋Δx)－f(x0)Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim→Δ0x ΔyΔx＝lim→Δ0xf(x0＋Δx)－f(x0)Δx.f′(x)与f′(x0)的区别与联系f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，所以[f′(x0)]′＝0.2．导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线是指以P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线.3．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝lim→Δ0x f(x＋Δx)－f(x)Δx为f(x)的导函数．4．导数的运算(1)几种常见函数的导数①(C)′＝0(C为常数)；②(x n)′＝nx n－1(n∈Q*)；③(sin x)′＝cos_x；④(cos x)′＝－sin_x；⑤(e x)′＝e x；⑥(a x)′＝a x ln_a(a>0，a≠1)；⑦(ln x)′＝1 x；⑧(log a x )′＝1x ln a (a >0，a ≠1)． (2)导数的四则运算法则 ①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )； ②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③⎣⎢⎡⎦⎥⎤u (x )v (x )′＝u ′(x )v (x )－u (x )v ′(x )[v (x )]2(v (x )≠0)．熟记以下结论： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)； (3)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )；(4)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．考点一 导数的运算[典例] 求下列函数的导数． (1)y ＝ln x ＋1x ； (2)y ＝(2x ＋1)·e x ； (3)y ＝1＋x5x2； (4)y ＝x －sin x 2cos x2.[解] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x 2. (2)y ′＝[(2x ＋1)·e x ]′＝(2x ＋1)′·e x ＋(2x ＋1)·(e x )′＝2e x ＋(2x ＋1)·e x ＝(2x ＋3)·e x .(3)∵1＋x 5x2＝x 35＋x -25，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋x 5x 2′＝(x 35)′＋(x -25)′＝35x -25－25x -75. (4)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝1－12cos x .[专题训练]1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e解析：选B 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ， 得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x .所以f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 2．求下列函数的导数． (1)y ＝cos x －sin x ； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln xx 2＋1. 解：(1)y ′＝(cos x )′－(sin x )′＝－sin x －cos x . (2)∵y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)y′＝(ln x)′(x2＋1)－ln x(x2＋1)′(x2＋1)2＝1x(x2＋1)－2x·ln x(x2＋1)2＝x2(1－2ln x)＋1x(x2＋1)2.考点二导数的几何意义考法(一)求曲线的切线方程[典例](优质试题·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝x[解析]∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.[答案] D[解题技法]若已知曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程的方法(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．考法(二)求切点坐标[典例]曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()A．(1,3) B．(－1,3)C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)[解析]f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)．经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.[答案] C[解题技法]求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．考法(三)求参数的值(范围)[典例]函数f(x)＝ln x＋ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．[解析]函数f(x)＝ln x＋ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，而f′(x)＝1x＋a，即1x＋a＝2在(0，＋∞)上有解，a＝2－1x在(0，＋∞)上有解，因为x>0，所以2－1x<2，所以a的取值范围是(－∞，2)．[答案](－∞，2)[解题技法]1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．[专题训练]1.曲线y＝e x在点A处的切线与直线x－y＋3＝0平行，则点A的坐标为()A．(－1，e－1) B．(0,1)C．(1，e) D．(0,2)解析：选B∵y′＝e x，令e x＝1，得x＝0.当x＝0时，y＝1，∴点A的坐标为(0,1)．2.设曲线y＝a(x－1)－ln x在点(1,0)处的切线方程为y＝2x－2，则a＝()A．0 B．1C．2 D．3解析：选D∵y＝a(x－1)－ln x，∴y′＝a－1 x，∴y′|x＝1＝a－1.又∵曲线在点(1,0)处的切线方程为y＝2x－2，∴a－1＝2，解得a＝3.3.已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为()A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0解析：选B因为点(0，－1)不在曲线y＝f(x)上，所以设切点坐标为(x0，y0)．又因为f ′(x )＝1＋ln x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0.所以切点坐标为(1,0)，所以f ′(1)＝1＋ln 1＝1，所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.[课时跟踪检测]A 级1．设f (x )＝x e x 的导函数为f ′(x )，则f ′(1)的值为( ) A ．e B ．e ＋1 C ．2eD ．e ＋2解析：选C 由题意知f (x )＝x e x ，所以f ′(x )＝e x ＋x e x ，所以f ′(1)＝e ＋e ＝2e.2．曲线y ＝sin x ＋e x 在x ＝0处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0解析：选C ∵y ′＝cos x ＋e x ，∴当x ＝0时，y ′＝2.又∵当x ＝0时，y ＝1，∴所求切线方程为y －1＝2x ，即2x －y ＋1＝0.3．设f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 019＋ln x ＋1＝2 020＋ln x ，由f ′(x 0)＝2 020，得2 020＋ln x 0＝2 020，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.4．已知函数f (x )＝a ln x ＋bx 2的图象在点P (1,1)处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D 由已知可得P (1,1)在函数f (x )的图象上， 所以f (1)＝1，即a ln 1＋b ×12＝1，解得b ＝1， 所以f (x )＝a ln x ＋x 2，故f ′(x )＝ax ＋2x .则函数f (x )的图象在点P (1,1)处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝a ＋2， 因为切线与直线x －y ＋1＝0垂直， 所以a ＋2＝－1，即a ＝－3.5．(优质试题·合肥第一次教学质量检测)已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( )A.12 B ．1 C ．2D ．e解析：选B 由题意知y ′＝a e x ＋1，令a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.6．设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)解析：选D 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，所以f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0＝－1.又因为切点P 的坐标为(x 0，－x 0)，所以x 30＋ax 20＝－x 0.联立两式得⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋2ax 0＝－1，x 30＋ax 20＝－x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝1.所以点P 的坐标为(－1,1)或(1，－1)． 7．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x 图象的切线，则实数a ＝________.。