16总复习：导数的概念和运算知识梳理
数学导数知识点高中总结
数学导数知识点高中总结一、导数的定义及几何意义1. 导数的定义导数的定义是陈述了函数在某一点处的变化率，即函数在该点的切线的斜率。
对于函数f(x)，它在 x 点处的导数定义为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h2. 几何意义导数的几何意义即为函数在某一点处的切线斜率。
导数可以用来描述函数在某一点的瞬时变化率，即函数曲线在该点的切线的斜率。
二、导数的求法1. 导数的基本求导公式常见的导数的求法包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等的基本求导公式。
例如：- (常数函数)' = 0- (x^n)' = nx^(n-1)- (e^x)' = e^x- (lnx)' = 1/x- (sinx)' = cosx- (cosx)' = -sinx- (tanx)' = sec^2x2. 导数的高阶导数高阶导数即为对函数进行多次求导得到的结果，表示函数的多次变化率。
例如二阶导数表示函数的二阶变化率，表示函数斜率的变化率。
3. 隐函数求导隐函数求导即为对含有变量的方程进行求导，通过对方程两边求导，可以求得所求的变量的导数。
4. 参数方程求导参数方程求导即为对由参数方程表示的函数进行求导，通过对参数方程中的各个方程分别求导，可以得到参数方程对应的函数的导数。
三、导数的应用1. 函数的极值导数可以用来判断函数的极值，即通过求导得到函数的导数，再令导数等于零求得函数的极值点。
2. 函数的凹凸性与拐点通过对函数的二阶导数求解，可以判断函数的凹凸性和拐点，即确定函数的临界点和拐点的位置。
3. 切线与法线通过函数的导数可以求得函数在某一点处的切线斜率，再通过函数的导数的倒数求得法线的斜率。
4. 最优化问题导数可以用来解决最优化问题，即通过求导得到函数的导数，再通过求导等于零的条件求得函数的最大值或最小值。
四、常见的导数公式1. 常数函数的导数常数函数 f(x) = C 的导数为 f'(x) = 0。
总结导数的知识点归纳
总结导数的知识点归纳一、导数的概念1. 导数的定义导数是描述函数在某一点处的变化率的概念。
如果函数f(x)在点x处可导，那么它的导数表示为f'(x)，即函数f(x)在点x处的导数为f'(x)。
导数可以理解为函数曲线在该点处的切线的斜率，它描述了函数在该点附近的变化情况。
2. 函数的可导性函数在某一点可导，意味着该点处函数曲线存在切线，并且切线的斜率存在有限值。
如果函数在某一点处可导，那么该点也称为函数的导数存在的点。
函数在某一点处可导的充分必要条件是该点处函数的左极限和右极限存在且相等。
3. 导数的图像解释函数的导数可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。
当函数曲线上升时，导数为正；当函数曲线下降时，导数为负；当函数曲线水平时，导数为零。
函数曲线的凸凹性可以通过导数的正负来判断。
二、导数的性质1. 可导函数与连续函数可导函数必定是连续函数，但是连续函数不一定可导。
可导函数的导数在其定义域内连续，也就是说，可导函数的导数也是连续函数。
2. 导数的四则运算函数的导数满足四则运算的性质。
设函数f(x)和g(x)在点x处可导，那么它们的和、差、积、商的导数分别为(f+g)' = f' + g'，(f-g)' = f'-g'，(fg)' = f'g + fg'，(f/g)' = (f'g - fg') / g^2。
3. 复合函数的导数复合函数的导数可以通过链式法则来求导。
设函数y=f(u)和u=g(x)都可导，那么复合函数y=f(g(x))的导数为f'(g(x))g'(x)。
4. 高阶导数函数的导数也可以再求导，得到的导数称为原函数的高阶导数。
高阶导数的符号表示一阶导数的凸凹性。
三、导数的计算方法1. 导数的基本求导法则导数的基本求导法则包括幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、三角函数的导数以及反三角函数的导数等。
函数的导数知识点总结
函数的导数知识点总结一、导数的定义1. 导数的概念导数是函数在某一点的切线斜率，也是函数在某一点的瞬时变化率。
在几何角度上，导数是函数图像上一点的切线的斜率。
2. 导数的定义对于函数f(x)，如果函数在点x处的导数存在，则导数定义如下：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h3. 导数的几何意义导数表示函数图像上某一点的切线斜率，即表示函数在该点的瞬时变化率。
二、导数的求法1. 导数的基本求法导数的基本求法有三种：（1）使用导数的定义进行求解；（2）使用导数的基本公式进行求解（如幂函数的导数公式、三角函数的导数公式等）；（3）使用导数的运算法则进行求解（如和差积商的导数、复合函数的导数等）。
2. 不定导数当函数是一般函数形式时，可以使用导数的定义进行求解，也可以根据函数的具体形式使用导数的基本公式进行求导。
3. 定导数当函数是特定的函数形式时，可以根据函数的具体形式使用导数的基本公式进行求导。
三、导数的性质1. 导数的性质导数具有以下性质：（1）可加性：[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)（2）可乘性：[f(x) * g(x)]' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)（3）常数倍性：[c * f(x)]' = c * f'(x)，其中c为常数（4）导数的乘积法则：(f * g)' = f' * g + f * g'2. 高阶导数高阶导数是指对于一个函数的导数再求导数的过程。
如果函数f(x)的导数存在，那么f(x)的导数又称为一阶导数，记作f'(x)。
如果f(x)的一阶导数再求导数，得到的导数称为二阶导数，记作f''(x)。
以此类推，可得到高阶导数。
3. 隐函数导数隐函数是指方程中包含了隐含变量的函数。
导数知识点归纳总结
导数知识点归纳总结一、导数的定义1. 导数的几何意义导数描述了函数在某一点的切线斜率，即函数曲线在该点的瞬时变化率。
在几何上，导数可以理解为函数曲线在某一点的切线斜率，它表示了函数在该点的瞬时变化情况。
2. 导数的代数定义设函数y=f(x)，在x=a处可导的充分必要条件是改点的柯西收敛序列极限为相同的值。
这个值就是在点a处的导数。
它是一个数值，常常用f'(a)表示。
3. 导数的表示导数通常用f'(x)、dy/dx或y'表示。
4. 导数的图形意义导数的图形意义是函数在某点处的导数等于该点处的切线的斜率，即在该点函数的线性增长率。
二、导数的性质1. 导数存在性函数在某点可导的充分必要条件是函数在该点连续，连续函数一定可以导。
2. 导数的基本性质导数满足加法性、乘法性、常数法则、幂法则、反函数法则、复合函数法则、分段函数法则等性质。
三、求导法则1. 基本函数的导数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的导数。
2. 导数的四则运算导数的四则运算包括两个导数相加、导数与常数相乘、导数的乘积法则、导数的商法则。
3. 高阶导数函数的二阶导数为对其一阶导数进行求导，即f''(x)=(f'(x))'，依次类推，得到高阶导数。
四、导数的应用1. 导数在最值问题中的应用y=f(x)在[a,b]上可导，且在[a,b]的端点不可导，则y=f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，它们一般在驻点或者在区间的端点。
2. 导数在凹凸性与拐点判别中的应用y=f(x)的凹凸性和拐点以及弯曲率的研究，主要利用f''(x)的正负性和零点。
3. 导数在函数图形的创作中的应用利用导数的计算公式，可以绘制函数的图形，描绘函数的特点，掌握图形的整体特征。
4. 导数在微分中的应用微分可以看作函数的变化量，它与导数之间有着密切的联系。
微分和导数的关系可以帮助我们求解函数的变化率、近似值、极限值等问题。
高中是导数知识点总结
高中是导数知识点总结一、导数的概念导数是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在几何上来看，导数是函数曲线在某一点处的切线斜率。
导数也可以理解为一个函数在某一点处的瞬时速度或瞬时增长率。
导数的符号通常用 f'(x) 或 dy/dx 表示，其中 f(x) 是函数，x 是自变量，f'(x) 表示函数 f(x) 在 x 点处的导数。
二、导数的计算1. 导数的定义函数 f(x) 在点 x0 处的导数定义为：f'(x0) = lim (h->0) [f(x0+h)-f(x0)]/h其中 h 是变化量，当 h 趋近于 0 时，表示函数 f(x) 在点 x0 处的斜率，即导数。
这是导数的最基本定义，通过它可以计算任何函数在任何一点处的导数。
2. 基本导数公式导数的计算通常涉及到基本的导数公式，例如：- 常数函数的导数为 0- 幂函数的导数为 nx^(n-1)- 指数函数的导数为 a^xln(a) (a 为常数)- 对数函数的导数为 1/x这些基本导数公式对于导数的计算提供了重要的参考。
3. 导数的运算法则导数的运算法则包括了常用的导数运算法则，例如：- 常数倍法则：f'(ax) = af'(x)- 和差法则：(f+g)' = f'+g'- 乘积法则：(fg)' = f'g + fg'- 商法则：(f/g)' = (f'g - fg')/g^2这些导数的运算法则在求解导数的过程中起到了重要的作用，能够简化导数的计算过程。
4. 高阶导数高阶导数是指导数的次数大于一次的情况，例如 f''(x) 表示函数 f(x) 的二阶导数，即对 f'(x) 再次求导数。
高阶导数的计算通常可以利用导数的定义和运算法则来进行，它描述了函数曲线的更加细致的变化情况。
三、导数的应用1. 函数的极值点导数的一个重要应用是求函数的极值点，即函数的最大值和最小值所对应的点。
(完整版)高中数学导数知识点归纳总结
高中导数知识点归纳一、基本概念1. 导数的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。
()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000 2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-3．基本常见函数的导数:①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 二、导数的运算1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ).())((''x Cf x Cf =(C 为常数)法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。
导数知识点归纳汇总
导数知识点归纳汇总导数是微积分中的重要概念，它可以被理解为函数其中一点处的变化率。
导数的概念和性质在微积分中应用广泛，无论是求解方程、研究函数的性质，还是研究物理、经济等现象，都离不开导数。
下面我将归纳汇总一些导数的重要概念和性质。
1.导数的定义：导数表示函数在其中一点处的变化率，用数学表示为：f'(x) =lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h。
这个极限表示当自变量x的变化趋于0时，函数值的变化率。
2.导数的几何意义：导数可以用来描述函数的切线，函数在其中一点的导数等于其切线的斜率。
当导数为正时，函数在该点上升；当导数为负时，函数在该点下降；当导数为0时，函数在该点达到极值。
3.导数的基本性质：-求导法则：常数的导数为0，幂函数的导数为幂次减一乘以原函数的导数，指数函数的导数等于自然对数e的指数乘以原函数的导数，对数函数的导数等于原函数的导数除以x。
-和与积的求导法则：对于两个函数的和、差或积，可以通过对每个函数分别求导后再相加、相减或相乘得到导数。
-乘积法则和商积法则：对于两个函数的乘积或商，可以通过乘积法则和商积法则得到导数的计算方法。
-链式法则：对于复合函数y=f(g(x))，可以通过链式法则将其导数转化为两个函数的导数的乘积。
4.高阶导数：高阶导数是指导数的导数，可以用f"(x)、f'''(x)等符号表示。
高阶导数描述函数的曲率，即函数的弯曲程度。
5.隐函数求导：对于由x和y之间的关系式表示的函数，有时y无法用显式函数表示。
通过隐函数求导可以求得函数y对x的导数。
6.参数方程求导：参数方程表示的函数可以通过对参数分别求导得到对应的x和y的导数。
7.反函数求导：如果函数y=f(x)的反函数存在且可导，则反函数的导数可以通过对原函数的导数求倒数得到。
8.微分：微分是导数的一个应用，用于近似描述函数值的变化。
微分可以用来求函数在其中一点的增量及变量之间的微小变化关系。
导数定义运算知识点总结
导数定义运算知识点总结一、导数的定义在微积分中，导数是描述函数变化率的一个重要概念。
具体来说，如果一个函数在某一点处的导数存在，那么这个导数就描述了函数在该点处的变化速率。
导数的定义可以通过极限的概念来给出，具体来说，对于函数y=f(x)，如果在某一点x处函数f(x)的变化率为：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x)) / h其中f'(x)表示函数f(x)在x处的导数，lim表示极限运算，h表示自变量x的增加量。
上面的定义是导数的一般形式，通过这个定义可以得到一些常用的导数计算方法。
比如对于幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等一些基本函数，我们可以通过导数的定义来计算它们在某一点处的导数。
另外，还可以通过导数的定义来证明某一函数在某一点处的导数的存在性和计算导数的值。
二、导数的基本运算法则导数的基本运算法则是微积分中的一个重要内容，它包括导数的四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数、隐函数的导数等方面的内容。
1. 导数的四则运算法则对于两个函数y=f(x)和y=g(x)，它们的导数满足一些基本运算法则。
具体来说，如果函数f(x)和函数g(x)分别在某一点x处的导数存在，那么它们的和、差、积、商的导数可以通过以下公式求得：- (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]^2这些公式可以帮助我们在实际计算中求解复合函数的导数、隐函数的导数等问题。
2. 复合函数的导数复合函数是指一个函数中包含了另一个函数。
如果函数y=f(g(x))是一个复合函数，那么它的导数可以通过链式法则来求解。
导数知识点总结大全
导数知识点总结大全一、基本概念1.1 导数的定义对于函数y = f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)，它定义为函数在该点的变化率。
导数可以用极限的概念来定义：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]其中，h表示自变量x的小变化量，当h趋近于0时，这个极限就表示了函数在点x处的导数。
导数也可以表示为函数的微分形式，即dy = f'(x)dx。
1.2 导数的几何意义导数有着重要的几何意义，它表示了函数在某一点上的切线斜率。
对于函数y = f(x)，在点(x, f(x))处的切线的斜率恰好等于函数在该点的导数f'(x)。
这意味着导数可以描述函数在某一点的变化速率和方向。
1.3 导数的物理意义在物理学中，导数也有着重要的物理意义。
对于物理量s关于时间t的函数s(t)，它的导数s'(t)表示了速度的变化率，即s'(t) = ds/dt。
类似地，速度关于时间的函数v(t)的导数v'(t)表示了加速度的变化率，即v'(t) = dv/dt。
因此，导数在描述物理过程中的变化率和速度方面也有着重要的应用。
1.4 导数的符号表示导数的符号表示通常有几种形式，常见的包括f'(x)、dy/dx、y'等。
它们都表示对函数y =f(x)的自变量x求导所得到的结果，即函数在某一点上的变化率或者斜率。
二、导数的性质2.1 导数存在性对于一个函数f(x)，它在某一点上的导数可能存在也可能不存在。
如果函数在某一点上导数存在，那么称该函数在该点上可导。
对于大多数常见的函数，它们在定义域内是可导的，例如多项式函数、三角函数、指数函数等。
但也存在一些特殊的函数，在某些点上导数可能不存在，例如绝对值函数在原点处的导数就不存在。
2.2 导数的连续性如果一个函数在某一点上导数存在，并且它在该点上是连续的，那么称该函数在该点上是可微的。
导数的概念与运算知识点及题型归纳总结
导数的概念与运算知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 1、导数的概念设函数()x f y =在0x x =附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限，即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数()x f y = 在0x x =处的导数，记作()0x f '或.0x x y ='即()()()()().0000000lim lim lim0x x x f x f x x f x x f x yx f x x x x --=∆-∆+=∆∆='→→∆→∆ 2、导数的几何意义函数()x f y =在0x 处的导数()0x f '，表示曲线()x f y =在点()()00,x f x P 处的切线PT 的斜率，即()0tan x f '=α，其中α为切线的倾斜角，如图3—1所示，过点P 的切线方程为()().000x x x f y y -'=-同样，可以定义曲线()x f y =在0x x =的法线为过点()()00,x f x P 与曲线()x f y =在0x x =的切线垂直的直线.过点P 的法线方程为=-0y y()()()().010≠'-'-x f x x x f3、导数的物理意义:设0=t 时刻一车从某点出发，在t 时刻车走了一定的距离().t S S =在10~t t 时刻，车走了()(),01t S t S -这一段时间里车的平均速度为()(),0101t t t S t S --当1t 与0t 很接近时，该平均速度近似于0t 时刻的瞬时速度.若令~1t 0t ，则可以认为()()0101lim1t t t S t S t t --→，即()0t S '就是0t 时刻的瞬时速度.二、基本初等函数的导数公式 基本初等函数的导数公式如表3—1表3—1注：()().1ln ,11,212x x x x x x ='-='⎪⎭⎫ ⎝⎛='三、导数的运算法则（和、差、积、商） 设()()x v v x u u ==,均可导，则（1）();v u v u '±'='± （2）()();R k u k ku ∈'='（3）();v u v u uv '+'='（4）().02≠'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛v v v u v u v u 注：()()()().R c x f c x cf ∈'='四、复合函数的导数复合函数()[]x g f y =的导数与函数()()x g u u f y ==,的导数之间具有关系,x u x u y y '⋅'='该关系用语言表述就是“y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积”，也就是先把()x g 当作一个整体，把()[]x g f y =对()x g 求导，再把()x g 对x 求导，这两者的乘积就是复合函数()[]x g f y =对x 的导数，即()[]()()[]()x g x g f x g f '⋅'='.题型归纳及思路提示题型1 导数的定义思路提示：对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出.例3.1 设()0x f '存在，求下列各极限. (1)()();3000limx x f x x f x ∆-∆+→∆ (2) ()();000lim h x f h x f h --→分析 ()()()xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆0000lim0，导数的定义中，增量x ∆的形式是多样的，但不论x ∆选择哪种形式，y ∆必须选择相应的形式.利用函数()x f 在点0x 处可导的条件，可以将已知极限变形转化为导数定义的结构形式. 解析 （1）()()()()().333330000000lim limx f x x f x x f x x f x x f x x '=⋅∆-∆+=∆-∆+→∆→∆（2）()()()()()()00000001lim limx f h x f h x f h x f h x f h h '-=-•---=--→→评注 ()()()xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆0000lim0的几种等价形式：()()()=--='→000limx x x f x f x f x x ()()=-+→hx f h x f h 000lim()()hh x f x f h --→000lim等.变式1 若()(),132000lim0=∆-∆+→∆xx f x x f x 则()='0x f （ ）Ａ、32 B 、23C 、3D 、2 变式2 设()x f 在0x 处可导，则()()xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆3000lim0=（ ）A 、2()0x f 'B 、()0x f 'C 、()03x f 'D 、()04x f '题型2 求函数的导数思路提示 ：对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题.例3.2 求下列函数的导数.(1);5x y = (2);14xy =(3);53x y = (4);10x y = (5);log 2x y = (6)x y sin =. 解析 （1）;55415x x y =='- （2）();44455144xx x x y -=-=-='='----（3）;5353525253x x x y =='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='- （4）;10ln 10xy =' （5）;2ln 1x y =' （6）().cos sin x x y ='=' 评注 对于基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数），可以直接根据导数公式求解其导数，这是整个导数运算的基础，一定要熟练掌握基本初等函数的导数公式.根式一般化成分数指数幂求导. 变式1 求下列函数的导数.（1）;3x y = （2）;21xy ⎪⎭⎫⎝⎛= （3）;log 3x y = （4）.cos x y =（3）3log y x =； （4）cos y x =. 例3.3 求下列函数的导数（1）432432x x x y x =+-+；（2）1ln y x x =+；（3）(21)xy x e =+⋅；（4）cos x x y e=. 分析 按照导数的运算法则计算即可，注意常用导数公式的正确使用.解析 （1）()432432321432432x x x x x x y x x x x x ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+-+=+-+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）()22111111ln ln y x x x x x x x x''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）(21)(21)(21)()2(21)(23)x x x x x xy x e x e x e e x e x e ''''⎡⎤=+⋅=+⋅++⋅=++⋅=+⋅⎣⎦； （4）22cos (cos )cos ()sin cos sin cos ()()x x x x x x x xx x e x e x e x e x x y e e e e '''⋅-⋅-⋅-⋅+⎛⎫'====- ⎪⎝⎭. 评注 利用导数的运算法则求导数时，要根据法则逐步进行，不要跳步，熟练以后可适当简化运算过程.变式1 求下列函数的导数.（1）41y x x =-；（2）ln y x x =；（3）x x y e=； （4）sin xy e x =⋅；（5）sin 2y x =；（6）231x y x -=+.变式2 求下列函数的导数. （1）2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）2cos y x x =；（3）sin x y x=；（4）tan y x =. 例3.4 求下列函数的导数. （1）32x y e+=；（2）2log (21)y x =+；（3）sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π；（4）11y x=-. 分析 设出中间变量，按照复合函数求导法则进行.解析 （1）设32u x =+，则uy e =，由复合函数求导法则，有()(32)3u u y e x e '''=+=，再把32u x =+代入得323x y e+'=；（2）设21u x =+，则2log y u =，所以22(log )(21)ln 2y u x u '''=+=，再把21u x =+代入，可得2(21)ln 2y x =+；（3）设23u x =+π，则sin y u =，所以(sin )22cos 2cos 233y u x u x '⎛⎫⎛⎫''=+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ；（4）设1u x =-，则1y u =，所以2221111(1)(1)(1)y x u u u x '⎛⎫''=-=-⨯-== ⎪-⎝⎭. 评注 新课标的考试大纲只要求掌握对复合函数()y f ax b =+型的求导.这里设中间变量u ax b =+，按照复合函数求导法则，()()()y f ax b ax b af ax b ''''=+⨯+=+，只要理解并记住这个公式，在解题时直接套用即可.变式1 求下列函数的导数.（1）ln(21)y x =+；（2）sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π； （3）212ln(35)x y x +=++；（4）22(21)xy x x e -=+-.题型3 导数的几何意义思路提示函数()y f x =在点0x 处的导数，就是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率.这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.（1）已知()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-.（2）若求曲线()y f x =过点(,)a b 的切线方程，应先设切点坐标为00(,())x f x ，由000()()y y f x x x '-=-过点(,)a b ，求得0x 的值，从而求得切线方程.另外，要注意切点既在曲线上又在切线上.例 3.5 设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，则点P 横坐标的取值范围为（ ）A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,0- C ．[]0,1 D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦分析 根据曲线的倾斜角和斜率的关系可得，曲线C 在P 处切线的斜率的范围是[]0,1，根据导数的几何意义，只要函数223y x x =++的导数在这个范围即可.解析 22y x '=+，由于曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，所以其切线的斜率的范围为[]0,1，根据导数的几何意义，得0221x ≤+≤，即112x -≤≤-.故选A. 评注 函数()y f x =在某点处的导数、曲线()y f x =在某点处的切线的斜率和倾斜角这三者之间是相互关联的，可以相互转化，在解题时要善于在这三者之间转化.变式1 设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的斜率为1，则该曲线在点(1,(1))f --处的切线的斜率为 .例3.6 （1）曲线3y x =在点(1,1)处的切线方程为 ；过点(1,1)的切线方程为 .（2）过点(1,1)-的直线l 与曲线3221y x x x =--+相切，且(1,1)-不是切点，则直线l 的斜率是（ ） A ．2 B ．1 C ．1- D ．2-分析 若求曲线在点00(,())x f x 处的切线方程，则点00(,())x f x 为切点；若求曲线过点00(,())x f x 处的切线方程，则该点不一定为切点，应先设切点坐标，求其切线方程，代入00(,())x f x ，求其切点坐标.解析 （1）曲线3y x =在点(1,1)处的切线的斜率为1|3x y ='=，切线方程为13(1)y x -=-，即320x y --=.设过点(1,1)的切线的切点坐标为300(,)x x ，则切线方程为320003()y x x x x -=-，代入点(1,1)得，3200013(1)x x x -=-，即2000(1)(1)x x x -++= 2003(1)x x -，得200(1)(21)0x x --+=，解得01x =或012x =-，所以切线方程为13(1)y x -=-或131()()842y x --=+，即320x y --=或3410x y -+=.（2）依题意，设切点坐标为320000(,21)x x x x --+，则切线方程为32000(21)y x x x ---+2000(322)()x x x x =---，代入点(1,1)-，得3220000001(21)(322)(1)x x x x x x ---+=----，即200(1)(1)0x x +-=，得01x =-或01x =，又01x ≠-，所以01x =，直线l 的斜率为01|1x y ='=-，故选C.变式1 （2012安徽理19）设函数1()(0)x x f x ae b a ae=++>，设曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为32y x =，求,a b 的值. 变式2 （2012北京理18）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+，若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值.变式3 已知函数32()3611f x ax x ax =+--，2()3612g x x x =++和直线:9m y kx =+，又(1)0f '-=.（1）求a 的值；（2）是否存在k ，使直线m 既是曲线()y f x =的切线，又是曲线()y g x =的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.例3.7 在平面直线坐标系xOy 中，已知点P 是函数()(0)xf x e x =>的图像上的动点，该图像在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是 .分析 先设切点坐标00(,)xx e ，根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出切线方程，从而求出M 的纵坐标，同理可求出N 的纵坐标，将t 表示成0x 的函数，最后借助导数的方法求出函数的最大值. 解析 设00(,)xP x e ，00()|x x x k f x e='==，l 的方程为000()x x y ee x x -=-，令0x =，得00(0,(1))x M e x -.PN 的方程为0001()x x y e x x e -=--，令0x =，得0000,x x x N e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故00001(2)2x x x t e x e ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，设()(2)(0)x x g x x e xe x -=-+>，则()(1)()x xg x x e e -'=-+，令()0g x '=，得1x =，当01x <<时，()0()g x g x '>⇒在(0,1)上单调递增；当1x >时，()0()g x g x '<⇒在(1,)+∞上单调递减，故2max1()(1)e g x g e +==，所以的最大值是212e e+.评注 利用切点横坐标0x 可以表示曲线上任一点处切线的方程为：000()()()y f x f x x x '-=-. 变式1 （2012新课标理12）设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 的最小值为（ ）A ．1ln2-B ln 2)-C ．1ln2+D ln 2)+最有效训练题1．设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =（ ） A ．2e B ．ln 2 C ．ln 22D ．e 2．若函数()f x 满足321()(1)3f x x f x x '=-⋅-，则(1)f '的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．1 D ．1-3．曲线21xy e -=+在点(0,2)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为（ ）A ．13 B ．12 C ．23D ．14．()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0f x xf x '+<，且(4)0f -=，则不等式()0xf x >的解集为（ ）A ．(4,0)(4,)-⋃+∞B ．(4,0)(0,4)-⋃C ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞D ．(,4)(0,4)-∞-⋃5．正弦曲线sin y x =上一点P ，以点P 为切点的切线l ，则直线l 的倾斜角的范围是（ ） A ．30,,44⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭πππ B ．[)0,π C ．3,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ D ．30,,424⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦πππ 6．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（ ）A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+7．已知函数()2ln(3)8f x x x =+，则0(12)(1)lim x f x f x∆→-∆-∆的值为 ．8．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t 秒内列车前进的距离为2270.45s t t =-米，则列车刹车后 秒内停下来，期间列车前进了米．9．如图3-2所示，函数()f x 的图像是折线段ABC ，其中,,A B C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(4,4)，那么(3)(3)limx f x f x∆→+∆-∆ （用数字作答）．10．已知()(1)(2)(3)()(2,)f x x x x x n n n N *=+++⋅⋅⋅+≥∈，其导函数为()f x '，设(2)(0)n f a f '-=，则100a = ．11．已知曲线32:32C y x x x =-+. （1）求曲线在1x =处的切线1l 的方程；（2）若2:l y kx =，且直线2l 与曲线C 相切于点000(,)(0)x y x ≠，求直线2l 的方程及切点坐标； （3）在（1），（2）条件下，设1l 与2l 相交于A ，1l 与x 轴的交点为B ，求ABO ∆的面积. 12．已知三次曲线32:C y x bx cx d =+++的图像关于点(1,0)A 中心对称. （1）求常数b ；（2）若曲线C 与直线:412l y x =+相切，求曲线C 的方程.图3-2。
导数的概念及运算知识点讲解(含解析)
导数的概念及运算一、知识梳理1.函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim x ∆→ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0limx ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.3.导数公式表4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1) [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2) [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0).5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 y x ′＝y u ′·u x ′.知识点小结：1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2. 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) 解析 (1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错.(3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A.－9B.－3C.9D.15解析 因为y ＝x 3＋11，所以y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线方程为y －12＝3(x －1).令x ＝0，得y ＝9. 答案 C3.在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________ m/s ，加速度a ＝______ m/s 2.解析 v ＝h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，a ＝v ′(t )＝－9.8. 答案 －9.8t ＋6.5 －9.84.(2019·青岛质检)已知函数f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A.e 2B.1C.ln 2D.e解析 f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x .由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1. 答案 B5.(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________.解析 由题意得f ′(x )＝e xln x ＋e x·1x ，则f ′(1)＝e.答案 e6.(2017·全国Ⅰ卷)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1，2)处的切线方程为________.解析 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x 2， 所以f ′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)， 即y ＝x ＋1. 答案 y ＝x ＋1考点一 导数的运算角度1 根据求导法则求函数的导数 【例1－1】 分别求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)f (x )＝ln 1＋2x .解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e xx ＝e x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .(2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x 3. (3)因为y ＝ln1＋2x ＝12ln ()1＋2x ，所以y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x .角度2 抽象函数的导数计算【例1－2】 (2019·天津河西区调研)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x ，则f (1)＝( ) A.－eB.2C.－2D.e解析 由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2. 答案 B【训练1】 (1)若y ＝x －cos x 2sin x2，则y ′＝________. (2)已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析 (1)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .(2)∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2.∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 答案 (1)1－12cos x (2)－4考点二 导数的几何意义 角度1 求切线方程【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y ＝－2x B.y ＝－x C.y ＝2xD.y ＝x解析 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以a －1＝0，则a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x . 答案 D角度2 求切点坐标【例2－2】 (1)(2019·聊城月考)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A.3B.2C.1D.12(2)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________. 解析 (1)设切点的横坐标为x 0(x 0>0)，∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12， ∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3. (2)∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x ，∴曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0>0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20，由题意知k 1k 2＝－1，即1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 20＝－1，解得x 20＝1，又x 0>0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y ＝1x (x >0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1，1). 答案 (1)A (2)(1，1)角度3 求参数的值或取值范围【例2－3】 (1)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)(2)(2019·河南六市联考)已知曲线f (x )＝x ＋ax ＋b (x ≠0)在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋5，则a －b ＝________.解析 (1)由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解. ∴f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x . 因为x ＞0，所以2－1x ＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2). (2)f ′(x )＝1－ax 2，∴f ′(1)＝1－a ，又f (1)＝1＋a ＋b ，∴曲线在(1，f (1))处的切线方程为y －(1＋a ＋b )＝(1－a )(x －1)，即y ＝(1－a )x ＋2a ＋b ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝2，2a ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝7，∴a －b ＝－1－7＝－8. 答案 (1)B (2)－8规律方法 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【训练2】 (1)(2019·东莞二调)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( ) A.(0，0)B.(1，－1)C.(－1，1)D.(1，－1)或(－1，1)(2)(2018·全国Ⅱ卷)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________.解析 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2，得f ′(x )＝3x 2＋2ax . 根据题意可得f ′(x 0)＝－1，f (x 0)＝－x 0，可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 20＝－x 0， ①3x 20＋2ax 0＝－1， ②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，a ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，a ＝2.当x 0＝1时，f (x 0)＝－1，当x 0＝－1时，f (x 0)＝1. ∴点P 的坐标为(1，－1)或(－1，1). (2)由题意得y ′＝2x ＋1.在点(0，0)处切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝2.∴曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x . 答案 (1)D (2)y ＝2x三、课后练习1.(2019·深圳二模)设函数f (x )＝x ＋1x ＋b ，若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处的切线经过坐标原点，则ab ＝( ) A.1B.0C.－1D.－2解析 由题意可得，f (a )＝a ＋1a ＋b ，f ′(x )＝1－1x 2，所以f ′(a )＝1－1a 2，故切线方程是y －a －1a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1a 2(x －a )，将(0，0)代入得－a －1a －b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2(－a )，故b ＝－2a ，故ab ＝－2. 答案 D2.已知函数f (x )＝|x 3＋ax ＋b |(a ，b ∈R )，若对任意的x 1，x 2∈[0，1]，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立，则实数a 的取值范围是________. 解析 当x 1＝x 2时，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立；当x 1≠x 2时， 由f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|得f （x 1）－f （x 2）|x 1－x 2|≤2，故函数f (x )在[0，1]上的导函数f ′(x )满足|f ′(x )|≤2，函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，其中[0，1]上的值域为[a ，a ＋3]，则有⎩⎪⎨⎪⎧|a |≤2，|a ＋3|≤2，解得－2≤a ≤－1.综上所述，实数a 的取值范围为[－2，－1]. 答案 [－2，－1]3.函数g (x )＝ln x 图象上一点P 到直线y ＝x 的最短距离为________. 解析 设点(x 0，ln x 0)是曲线g (x )＝ln x 的切线中与直线y ＝x 平行的直线的切点，因为g ′(x )＝(ln x )′＝1x ，则1＝1x 0，∴x 0＝1，则切点坐标为(1，0)，∴最短距离为(1，0)到直线y ＝x 的距离， 即为|1－0|1＋1＝22. 答案 224.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号).答案 [2，＋∞)。
导数知识点归纳总结高三
导数知识点归纳总结高三高三导数知识点归纳总结导数是微积分的重要概念之一，对于高三学生来说，掌握导数的相关知识点对于解题和理解数学的深层意义十分重要。
本文将对高三阶段需要掌握的导数知识点进行归纳总结，帮助学生们更好地掌握这一知识。
一、导数的定义和求导法则1. 导数的定义在数学中，函数在某一点处的导数可以表示该点切线的斜率。
导数的定义可以表示为：函数f(x)在点x处的导数为该点处函数的增量与自变量增量的比值的极限（即：f'(x) = lim[f(x+△x) - f(x)]/△x，其中△x 表示自变量的增量）。
2. 导数的基本求导法则- 常数函数的导数恒为0：(k)' = 0；- 幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)；- 指数函数的导数：(a^x)' = ln(a) * a^x；- 对数函数的导数：(logₐx)' = 1/(x ln a)；- 三角函数的导数：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec²x。
二、导数的运算法则1. 导数和常数的乘法法则若f(x)可导，k为常数，则有(kf(x))' = kf'(x)。
2. 导数和加减法的法则若f(x)和g(x)都可导，则有(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)。
3. 导数和乘法的法则若f(x)和g(x)都可导，则有(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
4. 导数和除法的法则若f(x)和g(x)都可导，且g(x)≠0，则有(f(x)/g(x))' = [f'(x)g(x) -f(x)g'(x)]/[g^2(x)]。
5. 导数和复合函数的法则若f(x)和g(x)都可导，则有(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)。
16总复习：导数的概念和运算知识梳理
∴所求切线方程为 y 7 5 (x 4) ，整理得 5x+16y+8=0。 4 16
例 2、求曲线 y=x3+2x 在 x=1 处的切线方程.
【解析】设 f (x) x3 2x .
f '(1) lim f (1 x) f (1) lim (1 x)3 2(1 x) (13 2 1)
时，割线
PQ
的极限位置直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线。
若切线的倾斜角为 ，则当△x→0 时，割线 PQ 斜率的极限，就是切线的斜率。
即： tan = lim y = lim f ( x0 x ) - f ( x0 ) 。
x x0
x0
x
(2)导数的几何意义：
函数 9;(x0 ) 是曲线 y f (x) 上点（ x0 , f (x0 ) ）处的切线的斜率。
例 4．求下列各函数的导函数
（1） f (x) (x2 1)(2x 3) ；（2）y=x2sinx;
（３）y=
ex ex
1； 1
（４）y= x cos x x sin x
【解析】 （1）法一：去掉括号后求导.
f (x) 2x3 3x2 2x 3
f '(x) 6x2 6x 2
法二：利用两个函数乘积的求导法则
x
4
【答案】
（1）
f
'(4)
lim
f (4 x)
f (4)
lim
1 4 x
4 x (1 2) 4
x0
x
x0
x
lim
1 4 x
1 4
(
4 x 2)
lim
x 4(4 x)
导数的概念及运算-2025高考数学复习
第三章 导数及其应用
高考一轮总复习 • 数学
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2．(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ___y_＝__1e_x___y_＝__－__1e_x________.
[解析] 先求当 x>0 时，曲线 y＝ln x 过原点的切线方程，设切点坐 标为(x0，y0)，则由 y′＝1x，得切线斜率为x10，又切线的斜率为yx00，
xx′＝－sin
x·sin x－cos sin2x
x·cos
x＝－sin12x，C
错误；
(x23x)′＝(x2)′·3x＋x2×(3x)′＝2x3x＋x23xln 3，D 正确．
第三章 导数及其应用
高考一轮总复习 • 数学
2．求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x； (2)y＝ln x＋1x； (3)y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2； (4)f(x)＝ 2x＋1.
导数的概念及运算
知识梳理·双基自测 考点突破·互动探究 名师讲坛·素养提升 提能训练 练案[15]
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知识梳理 · 双基自测
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知识梳理 知识点一 导数的概念与导数的运算 1．函数的平均变化率 一般地，已知函数 y＝f(x)，把式子fxx22－－fx1x1称为函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率，还可以表示为ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1.
高考一轮总复习 • 数学
(4)sin
π3′＝cos
π 3.(×)来自(5)(2x)′＝x·2x－1．( × )
(6)[ln(－x)]′＝(ln x)′.( × )
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第三章 导数及其应用
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导数复习知识点总结
高考数学复习详细资料——导数概念与运算知识清单 1．导数的概念函数y=fx,如果自变量x 在x 0处有增量x ∆,那么函数y 相应地有增量y ∆=fx 0+x ∆－fx 0,比值x y∆∆叫做函数y=fx 在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率,即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00;如果当0→∆x 时,x y∆∆有极限,我们就说函数y=fx 在点x 0处可导,并把这个极限叫做fx 在点x 0处的导数,记作f’x 0或y’|0x x =;即fx 0=0lim→∆x x y∆∆=0lim→∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00;说明：1函数fx 在点x 0处可导,是指0→∆x 时,x y ∆∆有极限;如果x y∆∆不存在极限,就说函数在点x 0处不可导,或说无导数;2x ∆是自变量x 在x 0处的改变量,0≠∆x 时,而y ∆是函数值的改变量,可以是零; 由导数的定义可知,求函数y=fx 在点x 0处的导数的步骤可由学生来归纳： 1求函数的增量y ∆=fx 0+x ∆－fx 0；2求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；3取极限,得导数f’x 0=x yx ∆∆→∆0lim;2．导数的几何意义函数y=fx 在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=fx 在点px 0,fx 0处的切线的斜率;也就是说,曲线y=fx 在点px 0,fx 0处的切线的斜率是f’x 0;相应地,切线方程为y －y 0=f/x 0x －x 0; 3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();xxe e '=⑥()ln x xa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x ex '=.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和或差的导数,等于这两个函数的导数的和或差,即：.)'''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方：⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -v ≠0;形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数;复合函数求导步骤：分解——求导——回代;法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X2010高考数学复习详细资料——导数应用 知识清单单调区间：一般地,设函数)(x f y =在某个区间可导,如果'f )(x 0>,则)(x f 为增函数； 如果'f 0)(<x ,则)(x f 为减函数；如果在某区间内恒有'f 0)(=x ,则)(x f 为常数；2．极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正； 3．最值：一般地,在区间a,b 上连续的函数f )(x 在a,b 上必有最大值与最小值; ①求函数ƒ)(x 在a,b 内的极值； ②求函数ƒ)(x 在区间端点的值ƒa 、ƒb ；③将函数ƒ )(x 的各极值与ƒa 、ƒb 比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值;4．定积分1概念：设函数fx 在区间a,b 上连续,用分点a ＝x0<x1<…<xi －1<xi<…xn ＝b 把区间a,b 等分成n 个小区间,在每个小区间xi －1,xi 上取任一点ξii ＝1,2,…n 作和式In ＝∑ni f1＝ξi △x 其中△x 为小区间长度,把n→∞即△x→0时,和式In 的极限叫做函数fx 在区间a,b 上的定积分,记作：⎰badxx f )(,即⎰badxx f )(＝∑=∞→ni n f1lim ξi △x;这里,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间a,b 叫做积分区间,函数fx 叫做被积函数,x 叫做积分变量,fxdx 叫做被积式; 基本的积分公式：⎰dx 0＝C ；⎰dx x m＝111++m x m ＋Cm ∈Q, m≠－1；⎰x 1dx ＝ln x ＋C ；⎰dx e x＝xe＋C ；⎰dx a x ＝a a xln ＋C ；⎰xdx cos ＝sinx ＋C ；⎰xdx sin ＝－cosx ＋C 表中C 均为常数;2定积分的性质 ①⎰⎰=babadxx f k dx x kf )()(k 为常数；②⎰⎰⎰±=±bab ab adxx g dx x f dx x g x f )()()()(；③⎰⎰⎰+=ba ca bc dxx f dx x f dx x f )()()(其中a ＜c ＜b );3定积分求曲边梯形面积由三条直线x ＝a,x ＝ba<b,x 轴及一条曲线y ＝fxfx≥0围成的曲边梯的面积⎰=badxx f S )(;如果图形由曲线y1＝f1x,y2＝f2x 不妨设f1x≥f2x≥0,及直线x ＝a,x ＝ba<b 围成,那么所求图形的面积S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝⎰⎰-babadxx f dx x f )()(21;课前预习1．求下列函数导数 1)11(32x x x x y ++= 2)11)(1(-+=x x y 32cos 2sin x x x y -= 4y=x x sin 25y ＝x x x x x 9532-+-2．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=3．过点－1,0作抛物线21y x x =++的切线,则其中一条切线为A 220x y ++=B 330x y -+=C 10x y ++=D 10x y -+=4．半径为r 的圆的面积Sr ＝πr2,周长Cr=2πr,若将r 看作0,＋∞上的变量,则πr2`＝2πr 错误!,错误!式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数;对于半径为R 的球,若将R 看作0,＋∞上的变量,请你写出类似于错误!的式子： ；错误!式可以用语言叙述为： ;5．曲线1y x =和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 ;6．对于R 上可导的任意函数fx,若满足x －1f x '（）≥0,则必有 A ．f0＋f2<2f1 B. f0＋f2≤2f1 C ．f0＋f2≥2f1 D. f0＋f2>2f17．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示,则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个 8．已知函数()11axx f x e x -+=-;Ⅰ设0a >,讨论()y f x =的单调性；Ⅱ若对任意()0,1x ∈恒有()1f x >,求a 的取值范围;9．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 A －2 B0 C2 D410．设函数fx=3223(1)1, 1.x a x a --+≥其中 Ⅰ求fx 的单调区间；Ⅱ讨论fx 的极值;11．设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,）,该平面上动点P 满足•4PA PB =,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点.求I 求点A B 、的坐标； II 求动点Q 的轨迹方程.12．请您设计一个帐篷;它下部的形状是高为1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥如右图所示;试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时,帐篷的体积最大 13．计算下列定积分的值 1⎰--312)4(dxx x2⎰-215)1(dxx ； 3dxx x ⎰+2)sin (π；4dxx ⎰-222cos ππ；14．1一物体按规律x ＝bt3作直线运动,式中x 为时间t 内通过的距离,媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时,阻力所作的功;2抛物线y=ax2＋bx 在第一象限内与直线x ＋y=4相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S ．求使S 达到最大值的a 、b 值,并求Smax ． 典型例题一 导数的概念与运算EG ：如果质点A 按规律s=2t3运动,则在t=3 s 时的瞬时速度为A. 6m/sB. 18m/sC. 54m/sD. 81m/s 变式：定义在D 上的函数)(x f ,如果满足：x D ∀∈,∃常数0M >,都有|()|f x ≤M 成立,则称)(x f 是D 上的有界函数,其中M 称为函数的上界.文1若已知质点的运动方程为at t t S ++=11)(,要使在[0,)t ∈+∞上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数,求实数a 的取值范围.理2若已知质点的运动方程为at t t S -+=12)(,要使在[0,)t ∈+∞上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数,求实数a 的取值范围. EG ：已知x f x f x x f x ∆-∆+=→∆)2()2(lim ,1)(0则的值是A.41-B. 2C. 41D. －2变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim,430--='→A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3 D ．1变式2：()()()00003,limx f x x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆设在可导则等于A ．()02x f ' B ．()0x f ' C ．()03x f ' D ．()04x f '根据所给的函数图像比较012(),,h t t t t 曲线在附近得变化情况。
导数综合运算知识点总结
导数综合运算知识点总结一、导数的定义及意义：1. 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)，定义为极限$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$其中f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数。
2. 导数的几何意义：函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的切线斜率。
也即在点x=a处，函数f(x)的变化率。
3. 导数的物理意义：如果函数f(x)表示某一物理量y关于另一物理量x的变化规律，那么函数f'(x)表示物理量y关于物理量x的变化率。
4. 导数的符号：函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)的符号表示函数f(x)在点x=a处的增减情况。
当f'(a)>0时，函数f(x)在点x=a处是增加的；当f'(a)<0时，函数f(x)在点x=a处是减小的；当f'(a)=0时，函数f(x)在点x=a处是不变的。
二、导数的运算法则：1. 基本导数法则：(常数函数规则、幂函数规则、指数函数规则、对数函数规则、三角函数规则、反三角函数规则、双曲函数规则)。
2. 复合函数的导数法则：函数f(g(x))的导数等于f'(g(x))g'(x)。
链式法则。
3. 反函数的导数法则：如果函数y=f(x)在区间I上单调、可导，并且在区间I上f'(x)≠0，则有反函数x=f^(-1)(y)在区间J上也可导，并且在区间J上f^(-1)'(y)=1/f'(f^(-1)(y))。
4. 参数方程的导数：如果x=f(t)、y=g(t)是参数方程，且函数f(t)、g(t)在t处可导，则参数方程x=f(t)、y=g(t)的导数dx/dt=f'(t)、dy/dt=g'(t)。
5. 隐函数的导数：若函数F(x，y)=0表示隐函数，且F(x,y)在点P(x0,y0)的邻域内具有连续偏导数，则隐函数y=f(x)的导数dy/dx可用偏导数表示：dy/dx=-∂F/∂x/∂F/∂y。
完整版)高中数学导数知识点归纳总结
完整版)高中数学导数知识点归纳总结导数的定义：对于函数y=f(x)，在点x处的导数f'(x)定义为：f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Deltax}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}其中，$\Delta x$表示自变量的增量，$\Delta y$表示函数值的增量。
函数的连续性和可导性的关系：如果函数y=f(x)在点x处可导，则它在该点处必然连续。
但是，反过来并不成立，即函数在某点处连续并不一定可导。
导数的几何意义：函数y=f(x)在点x处的导数f'(x)表示曲线在该点处的切线的斜率。
因此，切线方程为：y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)其中，$y_0=f(x_0)$表示曲线在点$(x_0,y_0)$处的纵坐标。
导数的四则运算法则：对于任意可导函数f(x)和g(x)，有以下四则运算法则：1.$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$2.$(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)$3.$(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$4.$\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$其中，除法的分母$g(x)$不能为0.导数的应用：导数可以用来求函数的单调性、极值和最值。
函数单调递增的条件是导数大于0，函数单调递减的条件是导数小于0.函数在极值点处的导数为0，但反之不一定成立。
函数的最值可以通过求导数来确定。
注①：若点x是可导函数f(x)的极值点，则f'(x)=0.但反过来不一定成立。
对于可导函数，其一点x是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零。
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函数的导数与在点 x0 处的导数不是同一概念， f '(x0 ) 是常数，是函数 f '(x) 在 x x0 处的函数值，反
映函数 f (x) 在 x x0 附近的变化情况。
要点诠释：
函数的导数与在点 x0 处的导数不是同一概念， f '(x0 ) 是常数，是函数 f '(x) 在 x x0 处的函数值，反
要点诠释：
①若曲线 y f (x) 在点 P(x0, f (x0 )) 处的导数不存在，但有切线，则切线与 x 轴垂直。 ② f '(x0 ) 0 ，切线与 x 轴正向夹角为锐角； f '(x0 ) 0 ，切线与 x 轴正向夹角为钝角； f '(x0 ) 0 ， 切线与 x 轴平行。
(3)曲线的切线方程
要点诠释：
①增量 x 可以是正数，也可以是负数；
②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。 2．导函数：
如果函数 y f (x) 在开区间 (a,b) 内的每点处都有导数，此时对于每一个 x (a,b) ，都对应着一个
确定的导数 f / (x) ，从而构成了一个新的函数 f / (x) , 称这个函数 f / (x) 为函数 y f (x) 在开区间内的
x
4
【答案】
（1）
f
'(4)
lim
f (4 x)
f (4)
lim
1 4 x
4 x (1 2) 4
x0
x
x0
x
lim
1 4 x
1 4
(
4 x 2)
以中间变量 u 对自变量 x 的导数 u 'x 。
要点诠释： 选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把 中间变量转换成自变量的函数。 【典型例题】 类型一：导数概念的应用
例 1、用导数的定义，求函数 y f (x) 1 在 x=1 处的导数。 x
【解析】∵ y f (1 x) f (1) 1 1 1 x
时，割线
PQ
的极限位置直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线。
若切线的倾斜角为 ，则当△x→0 时，割线 PQ 斜率的极限，就是切线的斜率。
即： tan = lim y = lim f ( x0 x ) - f ( x0 ) 。
x x0
x0
x
(2)导数的几何意义：
函数 y f (x) 在点 x0 的导数 f '(x0 ) 是曲线 y f (x) 上点（ x0 , f (x0 ) ）处的切线的斜率。
lim x0
f (x0
x) x
f
(x0 )
存在，则此极限称为
f
(x)
在点
x0 处的导数，记作
f
'(x0 ) 或
y ' |xx0 ，此时也称 f (x) 在点 xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 处可导。
即：
f
'
(x0
)
lim
x0
y x
lim x0
f (x0
x) x
f (x0 ) （或
f
'
(x0 )
lim
x x0
f (x) - f (x0) ） x - x0
如果 y f (x) 在点 x0 可导，则曲线 y f (x) 在点（ x0 , f (x0 ) ）处的切线方程为： y f (x0 ) f / (x0 )(x x0 ) 。
考点二：常见基本函数的导数公式
（1） f (x) C （C 为常数）， f '(x) 0 （2） f (x) xn （n 为有理数）， f '(x) n xn1 （3） f (x) sin x ， f '(x) cos x （4） f (x) cos x ， f '(x) sin x （5） f (x) ex ， f '(x) ex （6） f (x) a x ， f '(x) a x ln a （7） f (x) ln x ， f '(x) 1
导数的概念和运算
【考纲要求】
1.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。 2.掌握常函数 y=C，幂函数 y=xn（n 为有理数），三角函数 y=sinx，y=cosx，指数函数 y=ex，y=ax，对 数函数 y=lnx，y=logax 的导数公式； 3.掌握导数的四则运算法则；并能解决一些简单的数学问题。 4.掌握复合函数的求导法则，会求某些简单复合函数的导数。
1 1 x
11 x
1 x (1 1 x) 1 x
x
(1 1 x) 1 x
∴ y
1
x (1 1 x) 1 x
∴ f '(1) lim y 1 。
x0 x
2
举一反三：
【变式】已知函数 y 1 x x
（1）求函数在 x=4 处的导数.
3
（2）求曲线 y 1 x 上一点 P(4, 7) 处的切线方程。
x
2
（8）
f
(x)
log a
x
，
f
'(x)
1 x
log
a
e
考点三：函数四则运算求导法则
设 f (x) ， g(x) 均可导
（1）和差的导数：[ f (x) g(x)]' f '(x) g '(x)
（2）积的导数：[ f (x) g(x)]' f '(x)g(x) f (x)g '(x)
【知识网络】
导数的概念和运算
【考点梳理】 考点一：导数的概念： 1．导数的定义：
导数的概念 导数的运算
初等函数的求导公式 导数的运算法则 复合函数求导
对函数 y f (x) ，在点 x x0 处给自变量 x 以增量 x ，函数 y 相应有增量 y f (x0 x) f (x0 ) 。
若极限 lim y x0 x
映函数 f (x) 在 x x0 附近的变化情况。
3．导数几何意义：
1
（1）曲线的切线
曲线上一点 P(x0，y0)及其附近一点 Q(x0+△x,y0+△y)，经过点 P、Q 作曲线的割线 PQ，其倾斜角为
，则有kPQ
=
tan
=
y x
.
当点
Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点
P(x0，y0)，即△x→0
（3）商的导数：[ f (x)]' g(x)
f
'(x) g(x) f (x) g '(x) [ g ( x)] 2
（ g(x) 0 ）
考点四：复合函数的求导法则
y 'x y 'u y 'x 或 f 'x[(x)] f '(u) '(x)
即复合函数 y f [(x)] 对自变量 x 的导数 y 'x ，等于已知函数 y 对中间变量 u (x) 的导数 y 'u ，乘