现代高等工程数学1(1)

• 矩法估计 假设样本为简单随机样本，则
X , X 2 ,, X n 独立同分布,且与总体X 的分布相同
k 1 k k k
由大数定律，有
1 k k lim X i E ( X ) n n i 1
n
• 其中
1 k X i 为样本k阶原点矩 n i 1
n
E ( X )为总体k阶原点矩
• （３）可以证明
lim f ( x)
n
1 e 2
x2 2
这是标准正态分布的分布密度，即当n充分大 时，T近似服从标准正态分布
• Ｆ分布 构造性的方式定义 定义1.７ 设 X ~ 2 (m) ，Y ~ 2 (n) 与Y相互独立，记 X m F Y n
，且X
则Ｆ也是一个随机变量，它所服从的分布称为 自由度为(m,n)的F分布，记为
2
（１）
( X Y ) ( 1 2 )
12
m

22
n
~ N (0,1)
（２）
SX
2 2
SY
2 2
1
2
~ F (m 1, n 1)
（３）若 1 2
则
( X Y ) ( 1 2 ) Sw
其中
Sw
2
1 1 m n
2
~ t (m n 2)
•
数理统计其实质就是利用样本对总体进行统计推 断，而总体可以看作是一个随机变量，要知道一个随 机变量的取值规律性就是要对它的分布作出一个推断。 当我们对总体一无所知的时候，可以利用样本对分布 作出估计，通常可以用频率分布表来估计离散型总体 的分布率；用直方图估计连续性总体的分布密度；用 经验分布函数估计总体的分布函数。当我们对总体的 分布类型有了一定的了解，但分布中含有未知参数时， 可以利用参数估计方法对参数的取值作出估计，其中 包括点估计和区间估计。当我们对总体已经有了比较 全面的了解，但实际中可能出现一些大的改变，这些 改变会不会影响总体的分布，那就需要进行假设检验 了。估计理论与假设检验是数理统计中两个最基本和 最重要的内容
• 它的密度函数为
n 1 ( ) n 1 2 x 2 f ( x) (1 ) 2 , x n n n ( ) 2
与参数n有关，不同的n其图形也有差异．
• 性质 若 T ~ t ( n) 则 （１）当 n 1 时，t分布是柯西分布，柯西分布 不存在数学期望和方差．参数为2的t分布也不 存在数学期望和方差． （２） n 2 时， n (T ) 0, D(T ) n2
X ~ 2 (n1 ), Y ~ 2 (n2 ，并且X和Y ) （２） 如果
相互独立，有
X Y ~ (n1 n2 )
2
Baidu Nhomakorabea
卡方分布也具有可加性
• t 分布 构造性的方式定义 定义1.6 设 X ~ N (0,1)， Y ~ 2 (n) ，且X 与Y相互独立，记 X T Y n 则Ｔ也是一个随机变量，它所服从的分布称为 自由度为n的t分布，记为 T ~ t (n)
X Y ~ (1 2 , )
这个性质称为可加性,即伽玛分布具有可加性.
• 卡方分布 用构造性的方式定义是 定义1.5 设X 1 , X 2 , , X为相互独立的随机变量， n N，则它们的平方和 (0,1) 且均服从 2 2 2 2 X1 X 2 X n 也是一个随机变量，它所服从的分布称为自由度 2 分布，记为 2 ~ 2 (n) 为n的
F ~ F (m, n)
• 它的密度函数为
mn m n ( 2 ) m m m 1 m 2 ( ) 2 x 2 (1 x) , x0 f ( x) m n n n ( ) ( ) 2 2 0, x0
它与m,n有关，其图形也有一定差异．
• 容易得到 若 F ~ F (m, n)，则
1.参数点估计 参数点估计是对参数取哪一个值作出估计． 定义：设总体的分布已知，但其中含有未知参数 （可以是一个向量），点估计就是依据某种原 理，根据样本来构造统计量 T （可以是一个向 量）作为 的估计量，记为
ˆ T ( X 1 , X 2 , , X n )
• 当样本取定一个观察值时，估计量也有一个值， 这个值称为估计值，不同的抽样，有不同的估 计值，它与真值会有差异，这种差异除了抽样 带来的误差外，与估计量的形式有关．因此， 选取统计量也是非常重要的．我们介绍两种统 计量的方法：矩法与极大似然法
(m 1) S X (n 1) S Y mn2
2
• 定理8.2.3 设总体X为任意总体，存在有限的数 E ( X ) , D( X ) 2 ， 1 , X 2 , X n ) (X 学期望与方差 为X的一个样本，当n充分大时（称之为大样 本），有 （１） X 近似
/ n
~ N (0,1)
（２）
X S/ n
近似
~ N (0,1)
• 定理8.2.4 设事件A发生的概率为p,在n次重复 试验中事件A发生的次数为m，当n充分大时， 近似地有 m np 近似 ~ N (0,1) （１）
m m(1 ) n
（２）
m np 近似 ~ N (0,1) np(1 p)
现代高等工程数学电子教案
第8章 估计理论与假设检验
数学学院应用数学系 王国富
2010年3月
问题提出 某厂有一批产品，须经检验后方可出厂。 按规定标准，次品率不得超过1%。今在其中随 机抽取100件进行检查，结果发现有2件次品， 问这批产品的次品率是多少？能否出厂？
引进变量X，当抽取一件产品是次品，记为X=1，当抽取一 件产品不是次品，记为X=0；P{X=1}=p， P{X=0}=1-p P就是产品的次品率。这批产品的次品率是多少就是对p的取 值作出一个推断，称为估计。能不能出厂，就看p的值是超 过1%还是没有超过1%，这就是检验。
其中 为未知参数，现从中抽取一个样本，试 求 的矩法估计量． 解：
• 由于
E ( X ) 0与参数 无关,E ( X 2 ) 2 2
2
(2)
2
~ 2 (n 1);
(3) (4)
X 与S 2 相互独立；
X S n ~ t (n 1)
X • 定理8.2.2 设有两个总体Ｘ与Ｙ， ~ N ( 1 , 1 ) 2 Y ~ N ( 2 , 2 )，从两个总体Ｘ与Ｙ中分别独立 抽取容量为m，n的简单随机样本( X 1 , X 2 , X m ) 2 (Y1 , Y2 ,Yn ) 记 X , S X 为样本( X 1 , X 2 , X m ) 2 的样本均值与方差， Y , S Y 为样本(Y1 , Y2 ,Yn ) 的样本均值与方差，则
• 伽玛分布的性质 (1)

E( X k )

0
x 1 x ( k ) k x e dx k ( ) ( )
由此可得
E ( X ) , D( X ) 2
• (2) 如果 X ~ (1 , ), Y ~ ( 2 , ) ，并且X和Y相互 独立，容易求得
• 伽玛分布 定义1.4 如果连续型随机变量X的密度函数为
x 1 x e , x0 f ( x) ( ) , 0, x0
0, 0
其中
( )

x 1e x dx
0
为 函数，则称X为服从参数是 , 的伽玛分布， 记为 X ~ ( , )
• 它的密度函数为
n x 1 1 x2 e 2, x 0 n f ( x) 2 n 2 ( 2 ) 0, x0
其密度函数与参数n有关，它的图形也有一定差 异．
• 卡方分布的性质 2 2 若 ~ (n) ，则 n 1 2 ~ ( , ) 2 2 即卡方分布是一种伽玛分布，因此具有伽玛 分布的性质 E ( 2 ) n D ( 2 ) 2n （１）
t (n) Z , n 2nZ
2
•
例:查表求下列分位数的值
Z 0.05 , Z 0.975

2 0.05
(10),
2 0.99
(10),
2 0.05
(50)
t0.05 (10), t0.99 (10), t0.05 (100) F0.05 (9,10), F0.99 (9,10),
1 ~ F (n, m) F
• 分位数： 定义1.6 设X为连续型随机变量，其分布函数 为 f (x) ，对 0 1，如果存在数 x 满足
P( X x )

x
f ( x)dx
则称 x 为此分布的 分位数 分位数的几何意义 可用图形表示，它的值可查 表得到，不同的分布有不同的分位数，有不同 的表可查．
• 定理8.2.5 设总体X服从参数为 ( X 1 , X 2 , , X n ) 为X的一个简单随机样本， X 为样本均值，则
2n X ~ 2 (2n)
的指数分布，
• 例1.8 设总体 X ~ N (20,3) ，分别从X中抽取 容量为10与15的两个独立样本，求它们的均值 之差的绝对值大于0.3的概率
k
当n比较大时
1 n k k X i E( X ) n i 1
• 利用这种近似相等关系的思想，得到矩法估计 的定义． 定义：用样本原点矩去代替总体相应的原点矩得 到的参数的估计量的方法称为矩法，称这种估 计为矩法估计量．
• 例1总体Ｘ的分布密度为
1 | x| f ( x; ) exp( ) 2
• 常见的统计量 1.样本均值 2.样本方差 3.k 阶原点矩 4.k 阶中心矩
最小顺序统计量:X(1) 5.顺序统计量 最大顺序统计量:X(n) 第K顺序统计量:X (k)
6.样本极差 与中位数
•
抽样分布 我们称统计量的分布为抽样分布 ,不同的统计 量其分布不一定相同. 常见的分布类型有: 正态分布 伽玛分布 卡方分布 t 分布 F分布
• 例1.９ 设总体 X ~ N (0,1) ，( X 1 , X 2 ,, X 5 ) 是从总体中抽取的简单随机样本，选取常数c,d使 得
c ( X 1 X 2 X 3 ) 2 d ( X 4 X 5 ) 2 ~ 2 ( n) 并求出n.
一、估计理论
经验分布函数 直方图 非参数估计 分布估计 估计理论 矩法估计 点估计 极大似然估计 参数估计 区间估计
• 常见的分位数有
Z , (n), t (n), F (m, n)
2
它们的值可以通过附表1、附表2、附表3、附表4 查得
• 分位数具有性质 (1) Z Z1 , t (n) t1 (n)
(2)
1 F1 (m, n) F (n, m)
(3)当n 足够大时（一般n > 45）有近似公式
• 统计量 • 统计量的定义 定义1.2 设( X1 , X 2 ,, X n )为总体X的一个样本， T T ( X 1 , X 2 ,, X n ) X 1 , X 2 , X n 的连续函数，且不 为 含有任何未知参数，则称T为一个统计量。 注:1.统计量是完全由样本确定的一个量，即样 本有一个观测值时,统计量就有一个唯一确定的 值; 2.统计量是一个随机变量，它将高维随机变 量问题转化为一维随机变量来处理 ,但不会损 失所讨论问题的信息量.
• 抽样分布定理 2 X ~ N ( , ， ( X 1 , X 2 , , X n ) ) 定理8.2.1 设总体 为 2 X X的一个简单随机样本，, S 为样本均值与样 本方差，则有： 2 X (1) X ~ N ( , )或 ~ N (0,1) n n
(n 1) s