湖北省武汉市武昌区高二数学下学期期末考试试题理(含解析)
湖北省武昌区1112高二数学下学期期末考试 理 新人教A
武昌区2011 -2012学年度第二学期期末调研考试．高二数学（理）试卷本试卷共5页，共21题．满分150分．考试用时120分钟．★祝考试舰利★注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、挂名、准考证号填写在答题卷指定位！，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码拈贴在答题卷上的指定位里．2.选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题券上对应题目的答案标号涂黑，如常改动，用株皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效．3.非选择题的作答：用黑色基水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内．答在试题卷上或答题卷指定区域外无效．4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，监考人员将答题卡和试题卷一并收回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有 一项是符合要求的．1.如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD uuu r等于A. －BC uuu r ＋12BA u u u rB. －BC uuu r －12BA u u u rC 、BC uuu r －12BA u u u rD 、BC uuu r ＋12BA u u u r2、全集U=R 集合M ＝{x ｜｜x －12｜≤52}，P ＝{x ｜－1≤x≤4}，则()U C M B I 等于A 、{x ｜－4≤x≤－2}B 、{x ｜－1≤x≤3}C 、{x ｜3≤x≤4}D 、{x ｜3＜x≤4} 3．设i 是虚数单位．复数z ＝－12tan45°－isin60°，则z 2等于 A 、－12＋32i B 、－12－32i C 、12－32i D 、12＋32i 4.执行如图所示的程序框图，若输人的x 的值为2，则输出的x 的值为A. 23B. 16C. 11D. 55.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm ），则该几何体的表面积及体积分别为 A. 24πcm 2，12πcm 3B. 15πcm 2，12πcm3C. 24πcm 2，36πcm3D.以上都不正确6.已知等比数列{na｝的前n项和为Sn，公比为q，且 .S3 ,4S9 ,7S6成等差数列，则q为A、18B、－18C、12D、－127.下列命题中正确的是A、若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B、“x＞1”是“x2＋x一2＞0”的充分不必要条件C、命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0”D、命题“若x2>1，则x＞1”的否命题为“若x2>1，则x≤1”8.已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x3一8，h（x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c则A. a＜b＜cB. a＜c＜bC. b＜a＜cD. c＜a＜b9.若将一个真命题中的“平面”换成“直线”，“直线”换成“平面”后仍是真命题，则称该命题为“可换命题”．下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是A.①②B.③④C.①③D. ①④10.已知函数f（x）＝，函数g（x）＝asin（6xπ）一2a＋2（a＞0），若存在x1，x2∈［0，1］，使得f（x1）＝f（x2）成立，则实数a的取值范围是A、14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B、1(0,]2C、24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D、1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11.已知角α的终边经过点P（－13），则cosα＝＿＿＿＿＿12.曲线y=3x2与x轴及直线x＝1所围成的图形的面积为＿＿＿＿．13.若变量x，y满足约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则x2＋y2的最大值和最小值的和为＿＿＿．14.双曲线2222x ya b-＝1的－条渐近线的倾斜角为3π，离心率为e，则2a cb+的最小值为＿＿15.给出下列说法：①从匀速传递的产品生产线上每隔20分钟抽取一件产品进行某种检测，这样的抽样 为系统抽样；②若随机变量若ξ－N （1，4），(0)p ξ≤＝m ，则(01)p ξ<<＝12一m ； ③在回归直线^y =0. 2x ＋2中，当变量x 每增加1个单位时，^y 平均增加2个单位； ④在2×2列联表中，K 2＝13.079，则有99.9%的把握认为两个变量有关系． 附表：其中正确说法的序号为＿＿＿＿（把所有正确说法的序号都写上）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75“，距离为126n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西300，距离为83 n mile ，货轮由A 处向正北方向经过2小时航行到达D 处，再看灯塔B 在北偏东1200.求：（I ）货船的航行速度（II ）灯塔C 与D 之间的距离（精确到1 n mile)．17.（本小题满分12分） 已知数列｛｝的前n 项和为n S 、且n S ＝1－12n a （*n N ∈）． （I ）求数列｛n a ｝的通项公式；（II ）已知数列｛n b ｝的通项公式b n ＝2n 一1，记n n n c a b =，求数列｛n c ｝的前n 项和n T ..18．（本小题满分12分）（III）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）19.（本小题满分12分）如图，在四梭锥P -ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,AD =2，AB＝1.点M线段PD的中点．（I）若PA＝2，证明：平面ABM ⊥平面PCD；（II）设BM与平面PCD所成的角为θ，当棱锥的高变化时，求sinθ的最大值．20.（本小题满分13分）设椭圆C ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，离心率为12， 在x 轴负半轴上有一点B ，且2BF u u u u r ＝21BF u u u r．（I ）若过A ，B ，F 2三点的圆恰好与直线x －3y －3 ＝0相切，求椭圆C 的方程；（II ）在（I ）的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在 x 轴上是否存在点P （m ，0），使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果 存在，求出。
湖北省武汉市武昌区2022-2023学年高二下学期期末数学试题(教师版)
2022-2023学年度武昌区高二年级期末质量检测数学试卷考试时间：2023年6月28日满分：150分考试用时：120分钟★祝考试顺利★★项注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}13,0,1,2A x x B =<<=∣，则A B = （）A.{2}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}【答案】A 【解析】【分析】求交集可得答案.【详解】因为集合{}{}13,0,1,2A xx B =<<=∣，所以{}2A B ⋂=.故选：A.2.若2i i(i)(,R)a b a b +=+∈，其中i 是虚数单位，则a b +=（）A.1-B.1C.3- D.3【答案】B 【解析】【分析】利用复数乘法及相等求,a b ，即可得结果.【详解】由题设2i i 1a b +=-，故1,2a b =-=，所以1a b +=.故选：B3.某地GDP 的年平均增长率为6.5%，按此增长率，（）年后该地GDP 会翻两番（lg1.0650.0273≈，lg 20.301≈，结果精确到整数）A.20B.21C.22D.23【答案】D 【解析】【分析】根据增长率可构造指数方程，由指数与对数互化，结合对数运算法则可求得结果.【详解】设n 年后该地的GDP 会翻两番，则()1 6.5%4n+=，1.0652lg 220.301log 422.1lg1.0650.0273n ⨯∴==≈≈.故选：D.4.已知圆锥的表面积为2 m a ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（）A.m 3πB.m 3πC.m πD.m π【答案】B 【解析】【分析】设圆锥的母线为l ，底面半径为R .由已知可得2l R =，进而根据圆锥的面积公式可求出3π3πR =，即可得出答案.【详解】设圆锥的母线为l ，底面半径为R .圆锥的侧面展开图为扇形，该扇形的半径为l ，弧长为2πR ，由已知可得，π2πl R =，所以2l R =.所以，圆锥的表面积22ππ3πS Rl R R a =+==，所以3π3πR ==，所以，这个圆锥的底面直径为23π23πR =.故选：B.5.已知直线y x m =+与圆22:4O x y +=交于A ，B 两点，且AOB 为等边三角形，则m 的值为（）A. B. C.2± D.【答案】D【解析】【分析】根据圆的方程求出圆心坐标以及半径，由等边三角形的性质可得到圆心到直线的距离d ，结合点到直线的距离公式列出方程求出m 的值即可.【详解】圆22:4O x y +=的圆心为(0,0)O ，半径2r =，若直线y x m =+与圆O 交于A ，B 两点，且AOB 为等边三角形，则圆心O 到直线y x m =+的距离d =又由点到直线的=m =，故选：D.6.购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续两天购买该物品，第一天物品的价格为1p ，第二天物品的价格为2p ，且12p p ≠，则以下选项正确的为（）A.第一种方式购买物品的单价为1212+p p p p B.第二种方式购买物品的单价为122p p +C.第一种方式购买物品所用单价更低D.第二种方式购买物品所用单价更低【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得第一种策略平均价格为122p p +，第二种策略平均价格为12122p p p p +，利用作差法比较大小即可求解.【详解】第一种策略：设每次购买这种物品的数量均为m ，则平均价格为121222mp mp p p m ++=，故A 不正确；第二种策略：设每次购买这种物品所花的钱为n ，第一次能购得该物品的数量为1n p ，第二次能购得该物品的数量为2np ，则平均价格为1212121222211p p n nnp p p p p p ==+++，B 错误；因为()()()()221212121212121212420222p p p p p p p p p p p p p p p p +--+-==>+++，所以12121222p p p p p p +>+，C 错误，D 正确.故选：D.7.已知函数ππ()sin 2sin 236f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则该函数的单调递增区间是（）A.5π7ππ,π2424k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z B.7π5ππ,π2424k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z C.π11ππ,π2424k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z D.π13ππ,π2424k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 【答案】B 【解析】【分析】根据三角恒等变换以及正弦函数的性质求解.【详解】πππππsin 2sin 2sin 2cos 233233y x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π212x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当πππ2π22π2122k x k -≤+≤+，k ∈Z ，得7π5πππ2424k x k -≤≤+，k ∈Z ，则函数单调递增区间为7π5ππ,π2424k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故选：B.8.设0.02e 1a =-，()0.012e 1b =-，sin 0.01tan 0.01c =+，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.c a b >>D.b c a>>【答案】A 【解析】【详解】因为()20.020.010.01e 2e 1e 10a b -=-+=->，所以a b >．设()()2e 1sin tan xf x x x =---，则()f x '=212e cos cos xx x--，令()()g x f x '=，则32sin ()2e sin cos xxg x x x'=+-．当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2e 2x >，sin 0x >，33π2sin2sin 62πcos 9cos 6x x <=<，所以()0g x '>，所以当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()(0)0f x f ''>=，所以()f x 在π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()(0)0f x f >=，因此(0.01)0f >，即b c >．综上可得a b c >>．故选：A【点睛】比较函数值的大小，要结合函数值的特点，选择不同的方法，本题中，,a b 可以作差进行比较大小，而,b c 的大小比较，则需要构造函数，由导函数得到其单调性，从而比较出大小，有难度，属于难题.二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.已知[0,π]α∈，则方程22cos 1x y α+=表示的曲线的形状可以是（）A.两条直线B.圆C.焦点在x 轴上的椭圆D.焦点在x 轴上的双曲线【答案】ABD 【解析】【分析】分类讨论0α=，π02α<<，π2α=与ππ2α<≤四种情况，结合直线、圆、椭圆与双曲线方程的特点即可判断.【详解】对于方程22cos 1(0π)x y αα+=≤≤，当0α=时，cos 1α=，方程为221x y +=表示圆心在原点，半径为1的圆；当π02α<<时，0cos 1α<<，则11cos α>，此时方程22cos 1x y α+=，即2211cos y x α+=表示焦点在y 轴的椭圆；当π2α=时，cos 0α=，此时方程21x =，即1x =±，表示两条直线；当ππ2α<≤时，1cos 0α-≤<，则11cos α-≥，此时方程22cos 1x y α+=，即2211cos y x α-=-表示焦点在x 轴的双曲线.综上可得符合依题意的有ABD.故选：ABD.10.已知平面向量(1,3)a =，(2,1)b =-，则（）A.a =B.(2)a b b -⊥C.a 与b夹角为锐角D.a 在b上的投影为15b【答案】AC 【解析】【分析】根据数量积及模的坐标表示计算可得.【详解】对于A：a ==r，故A 正确；对于B ：()()()221,32,14,5a b -=--= ，故(2)241530a b b -⋅=-⨯+⨯=-≠，所以2a b -与b不垂直，故B 错误；对于C：2cos ,010||||a b a b a b ⋅〈〉====>⋅，所以a与b的夹角为锐角，故C 正确；对于D ：21311a b ⋅=-⨯+⨯= ，b == 所以a 在b上的投影为5a b b⋅= ，故D 错误；故选：AC11.在A 、B 、C 三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为5：7：8，现从这三个地区中任意选取一个人，则（）A.这个人患流感的概率为0.0485B.此人选自A 地区且患流感的概率为0.06C.如果此人患流感，此人选自A 地区的概率为3097D.如果从这三个地区共任意选取100人，则平均患流感的人数为4人【答案】AC 【解析】【分析】设事件D ：选取的这个人患了流感，事件E ：此人来自A 地区，事件F ：此人来自B 地区，事件G ：此人来自C 地区，则D E F G = ，且E ，F ，G 彼此互斥，然后根据条件依次可得()P E 、()P F 、()P G 、(|)P D E 、()P D F ∣、()P D G ∣的值，然后根据全概率公式、条件概率公式、二项分布的知识逐一判断即可.【详解】记事件D ：选取的这个人患了流感，记事件E ：此人来自A 地区，记事件F ：此人来自B 地区，记事件G ：此人来自C 地区，则D E F G = ，且E ，F ，G 彼此互斥，由题意可得5()0.2520P E ==，7()0.3520P F ==，8()0.420P G ==，()0.06P D E =∣，()0.05P D F =∣，()0.04P D G =∣，对于A.由全概率公式可得()()()()()()()P D P E P DE PF P D F PG P D G =⋅+⋅+⋅∣∣∣0.25=⨯0.060.350.050.40.040.0485+⨯+⨯=，故A 正确；对于B.5()0.2520P E ==，()0.06P DE =∣，选自A 地区且患流感的概率为()()()0.015P DE P D E P E ==∣，故B 错误；对于C.由条件概率公式可得()()()0.250.0630()()()0.048597P DE P E P D E P ED P D P D ⋅⨯====∣∣，故C 正确；对于D.从这三个地区中任意选取一个人患流感的概率为0.0485，任意选取100个人，患流感的人数设为X ，则~(100,0.0485)X B ，即()1000.0485 4.85E X =⨯=，故D 错误.故选：AC.12.如图，已知二面角l αβ--的棱上有不同两点A 和B ，若C l ∉，D l ∉，AC α⊂，BD β⊂，则（）A.直线AC 和直线BD 为异面直线B.若2AC AB BD ===，则四面体ABCD 体积的最大值为2C.若3AC =，6AB =，4BD =，7CD =，AC l ⊥，BD l ⊥，则二面角l αβ--的大小为3πD.若二面角l αβ--的大小为3π，6AC AB BD ===，AC l ⊥，BD l ⊥，则过A 、B 、C 、D 四点的球的表面积为84π【答案】ACD 【解析】【分析】由异面直线的定义可判断A ；AC ⊥面ADB 且AB BD ⊥，此时四面体ABCD 体积的最大值，求出即可判断B ；在平面β内过A 作BD 的平行线AE ，且使得AE BD =，连接,CE ED ，四边形AEDB 是一个矩形，CAE ∠是二面角l αβ--的一个平面角，由余弦定理求出cos CAE ∠即可判断C ；取AD 的中点1O ，BC 的中点2O ，取AB 的中点M ，连接12,MO MO ，易知21O MO ∠是二面角l αβ--的一个平面角，则213O MO π∠=，过2O 作平面ABC 的垂线和1O 平面ABD 的垂线，交于点O ，O 即为外接球球心，求出1OO ，即可求出R ，可判断D.【详解】对于A ，由异面直线的定义知A 正确；对于B ，要求四面体ABCD 体积的最大值，则AC ⊥面ADB 且AB BD ⊥，此时四面体ABCD 体积的最大值：11142223323ADB V S AC =⋅=⨯⨯⨯⨯= ,故B 不正确；对于C ，在平面β内过A 作BD 的平行线AE ，且使得AE BD =，连接,CE ED ，四边形AEDB 是一个矩形，CAE ∠是二面角l αβ--的一个平面角，且AB ⊥面AEC ，所以ED ⊥面AEC ，从而2222227613CE CD ED CD AB =-=-=-=在AEC △中，由余弦定理可知：2222234131cos ,22342AC AE CE CAE AC AE +-+-∠===⨯⨯⨯所以3CAE π∠=.故C正确；对于D ，因为二面角l αβ--的大小为3π，6AC AB BD ===，AC l ⊥，BD l ⊥，如下图，所以平面ABC 与平面ABD 所成角的大小为3π，,CA AB AB BD ⊥⊥，取AD 的中点1O ，BC 的中点2O ，12,O O 为△,ABD △ABC 的外心，取AB 的中点M ，连接12,MO MO ，则21,,O M AB O M AB ⊥⊥所以21O MO ∠是二面角l αβ--的一个平面角，则213O MO π∠=，过2O 作平面ABC 的垂线和过1O 作平面ABD 的垂线，交于点O ，O 即为外接球球心，所以2OO ⊥面CAB ，1OO ⊥面DAB ，连接OM ，123O M O M ==，所以易证得：1O MO 与2O MO 全等，所以126OMO OMO π∠=∠=，所以在直角三角形1O MO，1111tan 3033OO OO OO MO ︒===⇒=OD R ====，则过A 、B 、C 、D 四点的球的表面积为2484S R ππ==.故D 正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.()()10211x x x ++-展开式中含4x 项的系数为___________.【答案】135【解析】【分析】先写出()101x -的展开式通式，然后根据x 的次数选择对应的系数计算即可.【详解】对于()101x -，其展开式的通式为()()1010C 1C rrr rr x x -=-，则展开式中含4x 项的系数为()()()4324321010101C 1C 1C 135-+-+-=故答案为：135.14.某次体检中，甲班学生体重检测数据的平均数是55kg ，方差为16；乙班学生体重检测数据的平均数是60kg ，方差为21.又甲、乙两班人数之比为3：2，则甲、乙两班全部学生体重的方差为__________.【答案】24【解析】【分析】根据题意结合平均数、方差的计算公式运算求解.【详解】甲、乙两班全部学生的平均体重为3255605755x =⨯+⨯=；甲、乙两队全部学生的体重方差为()()222321657552157602455s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦.故答案为：24.15.已知直线与抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点，且,OA OB OD AB ⊥⊥交AB 于点D ，点D 的坐标为()1,2，则AOB 的面积=__________.【答案】【解析】【分析】求出直线AB 的方程，与抛物线联立，得到两根之和，两根之积，由OA OB ⊥得到方程，然后求出p 的值，再求出12y y -，最后求出面积即可.【详解】点D 的坐标为()1,2，则2OD k =，又OD AB ⊥，且直线AB 过点()1,2D ，则直线AB 的方程为()1212y x -=--，整理得250y x +-=，设点A 的坐标为()11,x y ，点B 的坐标为()22,x y ，由OA OB ⊥，得0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，直线AB 的方程为52xy =-，()()()1212121212125252102505x x y y y y y y y y y y ∴+=--+-+=+=，()1212250y y y y ∴-++=①，联立52x y =-与22(0)y px p =>，消去x 得24100y py p +-=，则1212410y y p y y p +=-⎧⎨=-⎩②，把②代入①，解得52p =，故12y y -===，又直线AB 与x 轴的交点为()5,0，所以12152ABO S y y =⨯⨯-=.故答案为：.16.已知函数2()e 1=-x f x x ，0x >时，()ln f x mx x ≥+，则实数m 的范围是__________.【答案】2m ≤【解析】【分析】先应用参数分离，构造新函数2e ln 1()x x x g x x--=，把恒成立转化为求()g x 最小值，二次求导根据单调性求最值即可.【详解】由题可得()ln f x mx x ≥+对任意,()0x ∈+∞恒成立，等价于2e ln 1x x x m x--≤对任意,()0x ∈+∞恒成立，令2e ln 1()x x x g x x --=，则2222e ln ()x x xg x x+'=，令22()2e ln x h x x x =+，则()221()4e 0xh x x x x'=++>，()h x ∴在(0,)+∞单调递增，1e 2ln2048h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭ ，1e ln2022h ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()h x ∴存在唯一零点0x ，且011,42x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得022002e ln 0x x x +=，()g x ∴在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增，()0200min00e ln 1()x x x g x g x x --∴==，22002e ln 0x x x += ，即01ln 2000000ln 1112e ln ln e x x x x x x x x =-==⋅，令()e xx x ϕ=，显然()ϕx 在(0,)+∞单调递增，则0012lnx x =，即0201e x x =，则()000000012122x x x x g x x x ⋅+-===，2m ∴≤.故答案为：2m ≤四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤17.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的上底面内有一点E ，点F 为线段1AA的中点.（1）经过点E 在上底面画一条直线l 与CE 垂直，并说明画出这条线的理由；（2）若112A E EC =，求CE 与平面11FB D 所成角的正切值.【答案】（1）连接1C E ，在上底面过点E 作直线l⊥1C E 即可,作图见解析.（2）【解析】【分析】（1）、连接1C E ，在上底面过点E 作直线l ⊥1C E 即可，推导出1CC l ⊥，l ⊥1C E ，得到l ⊥平面1CC E ，从而l⊥CE .（2）、以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出CE 与平面11FB D 所成角的正切值.【小问1详解】连接1C E ，在上底面过点E 作直线l⊥1C E 即可，则l ⊥CE .理由：1CC ⊥ 平面1111D C B A ，且l ⊂平面1111D C B A ，1CC l∴⊥又1l C E ⊥ ，111C E CC C = ，l ∴⊥平面1CC E ，CE ⊂ 平面1CC E ，l CE ∴⊥；【小问2详解】以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()0,2,0C ，24(,,2)33E 22(,,2)33CE ∴=- .又(2,0,1)F ，1(2,2,2)B ，1(0,0,2)D ，则()10,2,1FB = ，()12,0,1FD =-设平面11FB D 的一个法向量为(),,m x y z = ,则1100m FB m FD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩2020y z x z +=⎧∴⎨-+=⎩()1,1,2m ∴=-设CE 与平面11FB D 所成角为θ，则sin cos ,CE m CE m CE m θ⋅===CE ∴与平面11FB D所成角的正切值为.18.给出以下条件：①tan tan 1A C A C -=+；②(2)cos cos c B A -=；③()sin sin sin a A c C b B -+=.请在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.问题：在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且__________.（1）求角B 的大小；（2）已知1c b =+，且角A 只有一解，求b 的取值范围.【答案】（1）π6B =（2）1b =.【解析】【分析】（1）若选①，由两角和的正切公式化简即可求出求角B 的大小；若选②，利用正弦定理统一为角的三角函数，再由两角和的正弦公式即可求解；若选③，由余弦定理代入化简即可得出答案；（2）将1c b =+代入正弦定理可得1sin 2b C b +=，要使角A 有一解，即11022b b +<<或112b b+=，解出b 即可得出答案.【小问1详解】若选①：整理得1tan tan tan )A C A C -=+，因为πA B C ++=，所以tan tan 3tan tan()1tanAtanC 3A CB AC +=-+=-=-，因为()0,πB ∈，所以π6B =；若选②：因为()2cos cos =c B A，由正弦定理得()2sin cos cos =C A B B A ，则()2sin cos =+=C B A B C ，sin 0C >，则3cos 2B =，因为()0,πB ∈，所以π6B =；若选③：由正弦定理得222a cb +-=，所以222322a cb ac +-=，即3cos 2B =，因为()0,πB ∈，所以π6B =；【小问2详解】将1c b =+代入正弦定理sin sinC b c B =，得1sin sin b b B C +=，所以1sin 2b C b+=，因为π6B =，角A 的解只有一个，所以角C 的解也只有一个，所以10sin 2C <<或sin 1C =，即11022b b +<<或112b b+=，又0b >，所以1b =.19.在数列{}n a 中，已知132nn n a a ++=⋅，11a =．（1）求证：{}2nn a -是等比数列．（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）证明详见解析（2）()11522nn nS+--=+【解析】【分析】（1）通过凑配法证得{}2nn a -是等比数列.（2）利用分组求和法求得n S .【小问1详解】由132nn n a a ++=⋅，得11123222n n n n n n a a +++-+=⋅-=，即()1122n n n n a a ++-=--，所以{}2nn a -是首项为1121a -=-，公比为1-的等比数列.【小问2详解】由（1）得()()()()12111,21n n nn n n n a a --=-⨯-=-=+-.所以()()()122222111nn n S =++++-+-++- ()()()()()11112121115222121122n n n nn n ++⎡⎤--------⎣⎦=+=-+=+---.20.中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y ℃关于时间()min x 的回归方程模型，通过实验收集在25℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的数据，并对数据做初步处理得到如下所示散点图．yω()()71iii x x y y =--∑()()71iii x x ωω=--∑73.53.8595- 2.24-表中：()711ln 25,7i i ii y ωωω==-=∑（1）根据散点图判断，①y a bx =+与②25x y d c =⋅+哪一个更适宜作为该茶水温度y 关于时间x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y 关于时间x 的回归方程：（3）已知该茶水温度降至60℃口感最佳，根据（2）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?附：①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆˆ,niii nii u u v v av u u u ββ==--==--∑∑：②参考数据：0.08 4.09e 0.92,e 60,ln 7 1.9,ln 3 1.1,ln 20.7-≈≈≈≈≈．【答案】（1）②25x y d c =⋅+（2） 4.090.08e 25x y -=+（3）7.5分钟【解析】【分析】（1）根据散点图的走势即可对回归方程作出判断和选择；（2）把非线性回归方程25x y d c =⋅+化为线性回归直线方程，根据题中表格所给的数据计算求解即可；（3）由已知当茶水温度降至60℃口感最佳，即把60y =代入（2）中的回归方程，化简可得大约需要放置的时间；【小问1详解】根据散点图判断，其变化趋势不是线性的，而是曲线的，因此，选②25x y d c =⋅+更适宜此散点的回归方程.【小问2详解】由25x y d c =⋅+有：25x y d c -=⋅，两边取自然对数得：ln(25)ln()ln ln x y d c d x c -=⋅=+⋅，设()ln 25y ω=-，ln a d =，ln b c =，则ln(25)ln ln y d x c -=+⋅化为：bx a ω=+，又012345637x ++++++==，()72128i i x x =∴-=∑，()()()717212.240.0828iii ii x x b x x ωω==---∴===--∑∑，3.850.083 4.09a bx ω∴=-=+⨯=，-0.080.08ln e b c c ∴=-==由得:， 4.094.09ln e a d d ==由＝得：∴回归方程为： 4.090.08 4.090.0825e e 25e 25x x x y d c --=⋅+=⋅+=+，即 4.090.08e 25x y -=+.【小问3详解】当60y =时，代入回归方程 4.090.08e 25x y -=+得： 4.090.0860e 25x -=+，化简得： 4.090.0835e x -=，即4.090.08ln 35x -=，又0.08 4.09e 0.92,e 60,ln 7 1.9,ln 3 1.1,ln 20.7-≈≈≈≈≈，4.090.08ln 35x ∴-=约化为：ln 600.08ln 35x -=，即()120.08ln 60ln 35lnln12ln 72ln 2ln 3ln 720.7 1.1 1.90.67x =-==-=+-≈⨯+-=0.67.50.08x ∴≈=∴大约需要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，点1F ，2F 为C 的左、右焦点，经过1F 且垂直于椭圆长轴的弦长为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1F 分别作两条互相垂直的直线1l ，2l ，且1l 与椭圆交于A ，B 两点，2l 与直线1x =交于点P ，若11AF F B λ= ，且点Q 满足QA QB λ=，求线段PQ 的最小值.【答案】（1）22143x y +=（2）5【解析】【分析】（1）由通径性质、离心率和椭圆参数关系列方程求参数，即可得椭圆方程；（2）讨论直线斜率，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Q x y ，1l 为1x my =-，注意0m =情况，联立椭圆方程应用韦达定理求12y y +，12y y ，结合11AF F B λ= 、QA QB λ=坐标表示得到101220y y y y y y λ-=-=-，进而有120122y y y y y =+求Q ，再求P 坐标，应用两点距离公式得到PQ 关于m 的表达式求最值，注意取值条件.【小问1详解】对于方程22221x y a b +=，令x c =，则22221c ya b+=，解得2b y a =±，由题意可得22222312b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎪⎩，解得24a =，23b =，所以椭圆的方程为22143x y +=．【小问2详解】由（1）得()11,0F -，若直线1l 的斜率为0，则2l 为=1x -与直线1x =无交点，不满足条件．设直线1l ：1x my =-，若0m =，则1λ=，则不满足QA QB λ=，所以0m ≠．设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Q x y ，由2234121x y x my ⎧+=⎨=-⎩得：()2234690m y my +--=，()223636340m m ∆=++>，所以122634m y y m +=+，122934y y m =-+．因为11AF F B QA QBλλ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即()()()()1122101020201,1,,,x y x y x x y y x x y y λλ⎧---=+⎪⎨--=--⎪⎩，则12y y λ-=，()1020y y y y λ-=-，所以101220y y y y y y λ-=-=-，解得1201223y y y y y m ==-+，则04x =-，即Q 34,m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线2l ：11x y m =--，联立111x y m x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，解得12x y m =⎧⎨=-⎩，即()1,2P m -，∴5PQ ==≥，当且仅当2=m或2m =-时,等号成立，∴PQ 的最小值为5．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.22.已知1()sin 1)1f x a x x x x =-+>-+，且0为()f x 的一个极值点．（1）求实数a 的值；（2）证明：①函数()f x 在区间(1,)-+∞上存在唯一零点；②22111sin 121nk n k=-<<+∑，其中*N n ∈且2n ≥．【答案】（1）2a =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得()21cos 1(1)f x a x x =--+'，由0为()f x 的一个极值点，可得()00f '=，进而求解；（2）①当10-<≤x 时，由()0f x '≤，可得()f x 单调递减，由(]1,0x ∀∈-，可得()()01f x f =≥，此时函数()f x 无零点；当π02x <<时，设()21cos 1(1)g x a x x =--+，结合其导数分析单调性，结合()00g '>，π02g ⎛⎫'< ⎪⎝⎭和零点存在性定理，可知存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g x '=，进而得到()f x '单调性，结合()00f '=得到()f x 在()00,x 上单调递增；结合()00fx '>，π02f ⎛⎫'<⎪⎝⎭，存在10π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得到函数()f x 的单调性，可得而()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由()0f x '<，可得()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭单减，再结合零点存在定理，可得函数()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点；当πx ≥时，由()0f x <，此时函数无零点，最后综合即可得证.②由（1）中()f x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单增，所以π0,4x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，有()()01f x f >=，可得11sin 121x x x ⎛⎫>+- ⎪+⎝⎭.令()212x k k =≥，利用放缩法可得2111sin 1k k k >-+，再结合sin x x <，分别利用累加发可得22111sin 21nk k n =>-+∑，2211sin 11n k k n =<-<∑，即可求证.【小问1详解】由1()sin (1)1f x a x x x x =-+>-+，则()21cos 1(1)f x a x x =--+'，因为0为()f x 的一个极值点，所以()020f a '=-=，所以2a =．当2a =时，()212cos 1(1)f x x x =--+'，当10x -<<时，因为函数()f x '在()1,0-上单调递减，所以()2110f x <--='，即()f x 在()1,0-上单调递减；当π02x <<时，()212cos 1(1)g x x x =--+，则()322sin (1)g x x x '=-++，因为函数()g x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且()020g '=>，3π2202π12g ⎛⎫'=-+< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由零点存在定理，存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g x '=，且当()00,x x ∈时，()0g x '>，即()f x '单调递增，又因为()00f '=，所以()00,x x ∀∈，()0f x ¢>，()f x 在()00,x 上单调递增；.综上所述，()f x 在()1,0-上单调递减，在()00,x 上单调递增，所以0为()f x 的一个极值点，故2a =.【小问2详解】①当10-<≤x 时，()2110f x ≤--='，所以()f x 单调递减，所以对(]1,0x ∀∈-，有()()01f x f =≥，此时函数()f x 无零点；当π02x <<时，设()212cos 1(1)g x x x =--+，则()322sin (1)g x x x '=-++，因为函数()g x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且()020g '=>，3π2202π12g ⎛⎫'=-+< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由零点存在定理，存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g x '=，且当()00,x x ∈时，()0g x '>，即()f x '单调递增，当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，即()f x '单调递减．又因为()00f '=，所以()00,x x ∀∈，()0f x ¢>，()f x 在()00,x 上单调递增；因为()00f x '>，2π1102π12f '⎛⎫=--< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以存在10π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当()01,x x x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当1π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减．所以，当()10,x x ∈时，()f x 单调递增，()()01f x f >=；当1π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，()ππ120π2212f x f ⎛⎫>=-+> ⎪⎝⎭+，此时()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()212cos 10(1)f x x x =-+'-<，所以()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭单减，又π02f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()1π0π0π1f =-+<+，由零点存在定理，函数()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一零点；当πx ≥时，()12sin 2π101f x x x x =-+<-+<+，此时函数无零点；综上所述，()f x 在区间()1,-+∞上存在唯一零点．②因为2π1104π14f ⎛⎫=-'> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由（1）中()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性分析，知1π4x >，所以()f x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单增，所以对π0,4x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，有()()01f x f >=，即12sin 11x x x -+>+，所以11sin 121x x x ⎛⎫>+- ⎪+⎝⎭．令()212x k k =≥，则2222211111111sin 2111k k k k k k k k ⎛⎫>+>>=- ⎪++++⎝⎭，所以22111111111sin 2334121n k k n n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ ，设()sin h x x x =-，10,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()cos 10h x x '=-<，所以函数()sin h x x x =-在10,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递减，则()()sin 00h x x x h =-<=，即sin x x <，10,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以2211111sin(1)1k k k k k k <<=---，所以221111111sin1112231n k k n n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ ，所以22111sin 121n k n k=-<<+∑.【点睛】关键点睛：本题第（2）②，关键在于先证明11sin 121x x x ⎛⎫>+- ⎪+⎝⎭，令()212x k k =≥，利用放缩法可得2111sin 1k k k >-+，再结合累加法即可得证.。
经典文档〖真题〗2017-2018学年湖北省武汉市武昌区高二第二学期期末数学试卷和答案(理科)
百度文库——让每个人平等地提升自我2017-2018学年湖北省武汉市武昌区高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{y|y＝，x∈[1，4]}，B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则A∩B＝（）A．[1，]B．（1，2]C．[1，2]D．?2．（5分）已知复数z＝，则|z|＝（）A．1B．C．D．23．（5分）已知点P（x，y）满足|x|+|y|≤2，则到坐标原点O的距离d≤1的点P的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．5B．C．4D．35．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n＝4，则输出的结果是（）A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：。
2017-2018学年湖北省武汉市武昌区高二(下)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年湖北省武汉市武昌区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={y|y=，x∈[1，4]}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．[1，]B．（1，2]C．[1，2]D．∅2．（5分）已知复数z=，则|z|=（）A．1B．C．D．23．（5分）已知点P（x，y）满足|x|+|y|≤2，则到坐标原点O的距离d≤1的点P的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．5B．C．4D．35．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=4，则输出的结果是（）A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x ∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）=asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：①f（x）的图象过点（0，1）；②f（x）在[，]上单调递减；③f（x）的一个对称中心是（，）；④f（x）的一条对称轴是x=﹣．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．410．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的顶点都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，BD ⊥CD，AB=CD=1，BD=，则球O的表面积为（）A．B．πC．2πD．4π11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标的取值范围为（）A．B．[0，1]C．D．12．（5分）已知F为抛物线y2=4x的焦点，M点的坐标为（4，0），过点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A、B两点，延长AM、BM交抛物线于C、D两点．设直线CD的斜率为k2，则=（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）下面的数据是关于世界20个地区受教育程度的人口百分比与人均收入的散点图，样本点基本集中在一个条型区域，因此两个变量呈线性相关关系利用散点图中的数据建立的回归方程为=3.193x+88.193，若受教育的人口百分比相差10%，则其人均收入相差．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．15．（5分）二项式（x2+）6的展开式中，含x7的系数为．16．（5分）已知函数f（x）=x2e x与g（x）=2xe x+a的图象有且只有三个交点，则实数a的取值范围为．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=2a n﹣n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）对某班50名学生的数学成绩和对数学的兴趣进行了调查，统计数据如表所示：合计对数学感兴趣对数学不感兴趣数学成绩好17825数学成绩一般52025合计222850（1）试运用独立性检验的思想方法分析：学生学习数学的兴趣与数学成绩是否有关系，并说明理由；（2）从数学成绩好的同学中抽取4人继续调查，设对数学感兴趣的人数为x，求x的分布列和数学期望．附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828K2=19．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=2，且=2．（1）求角A的大小；（2）若c=，求△ABC的面积．20．（12分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为3，底面边长为，点D、E分别为棱B1C1和AA1的中点．（1）求证：直线DE⊥平面BCE；（2）求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别是其左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且|PF1|+|PF2|=4（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1作直线l与椭圆C交于A、B两点，点Q（m，0）在x轴上，连结QA、QB分别与直线x=﹣2交于点M、N，若MF1⊥NF1，求m的值．22．（12分）已知函数f（x）=ln（ax+b）﹣x（a，b∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣2x+1，求a，b的值；（2）已知当a＞0时，f（x）≤0恒成立，求ab的最大值．2017-2018学年湖北省武汉市武昌区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={y|y=，x∈[1，4]}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．[1，]B．（1，2]C．[1，2]D．∅【分析】分别求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={y|y=，x∈[1，4]}={y|1≤y≤2}，B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}，∴A∩B={x|1＜x≤2}=（1，2]．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（5分）已知复数z=，则|z|=（）A．1B．C．D．2【分析】直接由复数商的模等于模的商求解．【解答】解：∵z=，∴|z|=||=．故选：C．【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．3．（5分）已知点P（x，y）满足|x|+|y|≤2，则到坐标原点O的距离d≤1的点P的概率为（）A．B．C．D．【分析】作出图象，得到点P的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为2正方形，到坐标原点O的距离d≤1的点P围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，由此利用几何概型能求出到坐标原点O的距离d≤1的点P的概率．【解答】解：∵点P（x，y）满足|x|+|y|≤2，∴当x≥0，y≥0时，x+y≤2；当x≥0，y≤0时，x﹣y≤2；当x≤0，y≥0时，﹣x+y≤2；当x≤0，y≤0时，﹣x﹣y≤2．作出图象，得到点P的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为2正方形，到坐标原点O的距离d≤1的点P围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，∴到坐标原点O的距离d≤1的点P的概率为：p===．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．5B．C．4D．3【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，可得A（1，2），化目标函数z=x+2y为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为1+2×2=5．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=4，则输出的结果是（）A．B．C．D．【分析】根据题意运行程序得S=1+=从而得答案．【解答】解：执行程序得S=1++=故选：C．【点评】本题考查程序框图的运行．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）【分析】由题意知函数f（x）是奇函数，且在[1，a]上是个增函数，要比较2个函数值的大小，先看自变量的范围，再利用函数的单调性得出结论．【解答】解：①函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0；②对任意x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，∴函数f（x）在区间[1，a]上是单调增函数；又a＞1，∴f（a）＞f（0），选项A一定成立；∵a≥＞≥1，∴f（）＞f（），选项B一定成立；∵﹣（﹣a）=＞0，∴＞﹣a，∴a＞=3﹣≥1，∴f（a）＞f（），两边同时乘以﹣1可得﹣f（a）＜﹣f（），即f（）＞f（﹣a），选项D一定成立；﹣（﹣3）=＞0，∴＞﹣3，∴3＞＞0，但不能确定3和是否在区间[1，a]上，∴f（3）和f（）的大小关系不确定，∴f（）与f（﹣3）的大小关系不确定，即选项C不正确．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用问题，也考查了抽象函数应用问题，是中档题．7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x ∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】条件M：，⇔=0．条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，化为：x2﹣x+2﹣≥0．进而判断出结论．【解答】解：条件M：，⇔=0．条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，化为：x2﹣x+2﹣≥0．≠0时，∴△=﹣4（2﹣）≤0，∴≤0，即=．可知：由M推不出N，反之也不成立．故选：D．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与c之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率【解答】解：如图，OM⊥PF1，ON⊥PF1，依题意|OM|=a，|NF2|=2a，∵且∠F1PF2=45°，可知三角形PF2N是一个等腰直角三角形，∴|PF2|=2a，|PF1|=2a+2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得：（2c）2=（2a+2a）2+（2a）2﹣2×，化简得c2=3a2，∴该双曲线的离心率为．故选：B．【点评】本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．9．（5分）已知函数f（x）=asinωx+co sωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：①f（x）的图象过点（0，1）；②f（x）在[，]上单调递减；③f（x）的一个对称中心是（，）；④f（x）的一条对称轴是x=﹣．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】运用三角函数的辅助角公式和周期公式，可得a，ω，再由正弦函数的单调性和对称性，计算可得正确结论的个数．【解答】解：函数f（x）=asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，可得=，可得a=1，π=可得ω=2，则f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），则f（0）=sin=1，①正确；当x∈[，]，可得2x+∈[，]，可得f（x）在[，]上单调递减，②正确；由f（）=sin（+）=，则③错误；由f（﹣）=sin（﹣+）=﹣，可得④正确．其中正确结论的个数为3．故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，注意运用辅助角公式和周期公式，考查正弦函数的单调性和对称性，考查运算能力，属于中档题．10．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的顶点都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，BD ⊥CD，AB=CD=1，BD=，则球O的表面积为（）A．B．πC．2πD．4π【分析】根据题意画出图形，结合图形把三棱锥A﹣BCD补充为长方体，则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，计算长方体的对角线，求出外接球的直径和表面积．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，以AB、BD和CD为棱，把三棱锥A﹣BCD补充为长方体，则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，且长方体的对角线是外接球的直径；∴（2R）2=AB2+BD2+CD2=1+2+1=4，∴外接球O的表面积为4πR2=4π．故选：D．【点评】本题考查了三棱锥外接球表面积计算问题，将三棱锥补成长方体，是求外接球直径的关键．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标的取值范围为（）A．B．[0，1]C．D．【分析】设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．【解答】解：设点M（x，y），由MA=2MO，知：，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，化简可得0≤a≤，故选：A．【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的判定，两点间的距离公式，圆和圆的位置关系的判定，属于中档题．12．（5分）已知F为抛物线y2=4x的焦点，M点的坐标为（4，0），过点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A、B两点，延长AM、BM交抛物线于C、D两点．设直线CD的斜率为k2，则=（）A．1B．2C．3D．4【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与抛物线方程可得y1y2，设C （x3，y3），D（x4，y4），则k1=，k2=，设AC，BD所在的直线方程可得y1y3=﹣16，y2y4=﹣16，由此可得的值．【解答】解：设过点F作斜率为k1的直线方程为：y=k1（x﹣1），联立抛物线C：y2=4x4可得：设A，B两点的坐标为：（x1，y1），（x2，y2），则y1y2=﹣4，设C（x3，y3），D（x4，y4），则k1==，同理k2=，设AC所在的直线方程为y=m（x﹣4），联立，得my2﹣4y﹣16m=0，∴y1y3=﹣16，同理，y2y4=﹣16，则==．故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）下面的数据是关于世界20个地区受教育程度的人口百分比与人均收入的散点图，样本点基本集中在一个条型区域，因此两个变量呈线性相关关系利用散点图中的数据建立的回归方程为=3.193x+88.193，若受教育的人口百分比相差10%，则其人均收入相差120.123美元．【分析】利用回归方程计算x=10求得的值即可．【解答】解：根据回归方程为=3.193x+88.193，令x=10，得=3.193×10+88.193=120.123，即受教育的人口百分比相差10%，则其人均收入相差120.123美元．故答案为：120.123美元．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．【分析】判断三视图对应的几何体的形状，然后求解几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，几何体是以侧视图为底面的五棱柱，底面是直角梯形，底面直角边长为2，1，高为1，棱柱的高为3，几何体的体积为：=．故答案为：．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．15．（5分）二项式（x2+）6的展开式中，含x7的系数为6．=C6r（x2）6﹣r（）【分析】根据题意，由二项式定理分析可得展开式的通项T r+1r=C6r x12﹣5r，令12﹣5r=7，可得r=1，将r=1代入通项计算可得答案．=C6r（x2）6﹣r 【解答】解：根据题意，二项式（x2+）6的展开式的通项为T r+1（）r=C6r x12﹣5r，令12﹣5r=7，可得r=1，此时T2=C61x7=6x7，即含x7的系数为6，故答案为：6．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式．16．（5分）已知函数f（x）=x2e x与g（x）=2xe x+a的图象有且只有三个交点，则实数a的取值范围为（2（1﹣），2（1+））．【分析】令a=h（x）=x2e x﹣2xe x，求导h′（x），从而确定函数的单调性及极值，从而求出a的范围．【解答】解：由题意得，x2e x=2xe x+a，∴a=h（x）=x2e x﹣2xe x，h′（x）=2xe x+x2e x﹣2e x﹣2xe x=e x（x2﹣2）令h′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣，令h′（x）＜0，解得：﹣＜x＜，∴h（x）在（﹣∞，﹣）上是增函数，在（﹣，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，∴h（x）极大值=h（﹣）=2（1+），h（x）极小值=h（）=2（1﹣），函数f（x）=x2e x与g（x）=2xe x+a的图象有且只有三个交点，则只需y=a和y=h（x）图象有且只有三个零点，故a∈（2（1﹣），2（1+）），故答案为：（2（1﹣），2（1+））．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=2a n﹣n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=2a n﹣n．①当n≥2时，S n=2a n﹣1﹣（n﹣1）②，①﹣②得：a n=2a n﹣1+1，整理得：a n+1=2（a n﹣1+1），所以数列{a n+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．则：，整理得：，当n=1时，a1=1符合通项．故：．（2）由（1）得：，所以：S n=a1+a2+a3+…+a n，=（21+22+23+…+2n）﹣（1+1+1+…+1），=，=2n+1﹣2﹣n．【点评】本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列的通项公式，等比数列的前n项和公式及分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18．（12分）对某班50名学生的数学成绩和对数学的兴趣进行了调查，统计数据如表所示：对数学感兴趣对数学不感兴合计趣数学成绩好17825数学成绩一般52025合计222850（1）试运用独立性检验的思想方法分析：学生学习数学的兴趣与数学成绩是否有关系，并说明理由；（2）从数学成绩好的同学中抽取4人继续调查，设对数学感兴趣的人数为x，求x的分布列和数学期望．附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828K2=【分析】（1）根据表中数据计算观测值K2，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列和数学期望值．【解答】解：（1）根据表中数据，计算观测值K2=≈11.7＞10.828，∴有99.9%的把握认为学生学习数学的兴趣与数学成绩有关系；（2）由题意知数学成绩好的同学有25人，其中对数学感兴趣的有17人，从中抽取4人，设对数学感兴趣的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4；计算P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，∴X的分布列为，X01234P（X）数学期望为EX=0×+1×+2×+3×+4×=2.72．【点评】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列应用问题，是中档题．19．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=2，且=2．（1）求角A的大小；（2）若c=，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知及正弦定理可得sinA=，结合范围A∈（0，π），利用特殊角的三角函数值可求A的值．（2）由（1）利用同角三角函数基本关系式可得cosA，由余弦定理可求b的值，进而根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵=2，a=2，∴由正弦定理，可得：===2，可得：sinA=，∵A∈（0，π），∴A=，或．（2）∵由（1）可得：c=，a=2，cosA=，或﹣．∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：4=b2+2﹣2×，整理可得：b2±2b﹣2=0，解得：b=1+，或﹣1．=bcsinA=或．∴S△ABC【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．20．（12分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为3，底面边长为，点D、E分别为棱B1C1和AA1的中点．（1）求证：直线DE⊥平面BCE；（2）求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．【分析】（1）取BC中点O，连接OE，OD，可证BC⊥平面AODE，则BC⊥DE，求解三角形证明DE⊥OE，再由线面垂直的判定可得直线DE⊥平面BCE；（2）以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，分别求出平面BED与平面BCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣BD﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：如图，取BC中点O，连接OE，OD，∵ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，∴AO⊥BC，OD⊥BC，又AO∩OD=O，∴BC⊥平面AODE，则BC⊥DE，由AA1=3，AB=BC=AC=，可得AO=，∴OE=DE=，又OD=3，∴DE2+OE2=OD2，即DE⊥OE，又OE∩BC=O，∴直线DE⊥平面BCE；（2）解：以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则B（，0，0），D（0，0，3），E（0，﹣，），∴，，设平面BED的一个法向量为，由，取x=，得．取平面BCD的一个法向量为，∵cos＜＞=．且二面角E﹣BD﹣C为锐角，∴二面角E﹣BD﹣C的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的余弦值，是中档题．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别是其左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且|PF1|+|PF2|=4（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1作直线l与椭圆C交于A、B两点，点Q（m，0）在x轴上，连结QA、QB分别与直线x=﹣2交于点M、N，若MF1⊥NF1，求m的值．【分析】（1）由题意可得：=，|PF1|+|PF2|=4=2a，a2=b2+c2．联立解得即可得出．（2）如图所示，设直线l的方程为：ty=x+，A（x1，y1），B（x2，y2）．直线l 的方程与椭圆方程联立化为：（t2+2）y2﹣2ty﹣2=0，直线QA的方程为：y=（x﹣m），直线QB的方程为：y=（x﹣m），可得M，N的坐标．根据MF1⊥NF1，可得•=0．又F1（﹣，0）．再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：=，|PF1|+|PF2|=4=2a，a2=b2+c2．联立解得：a=2，c==b．∴椭圆C的标准方程为：+=1．（2）如图所示，设直线l的方程为：ty=x+，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（t2+2）y2﹣2ty﹣2=0，∴y1+y2=，y1y2=．直线QA的方程为：y=（x﹣m），可得：M．直线QB的方程为：y=（x﹣m），可得N．∵MF1⊥NF1，∴•=0．又F1（﹣，0）．∴+•=0，化为：2[x1x2﹣m（x1+x2）+m2]+=0，∵x1+x2=t（y1+y2）﹣2，x1x2=（ty2﹣）=t2y1y2﹣t（y1+y2）+2．∴（2t2+8+4m+m2）y1y2﹣（2+2mt）（y1+y2）+4+4m+2m2=0，∴（2t2+8+4m+m2）•﹣（2+2mt）+4+4m+2m2=0，化为：（m2﹣4）（t2﹣1）=0．∵∀t∈R上式都成立，∴m2﹣4=0，解得m=±2．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（12分）已知函数f（x）=ln（ax+b）﹣x（a，b∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣2x+1，求a，b的值；（2）已知当a＞0时，f（x）≤0恒成立，求ab的最大值．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由已知切线方程可得a，b 的值；（2）由y=ln（x+1）﹣x求得导数和单调性、最值，可得ln（x+1）≤x，由题意可得ln（ax+b）≤ln（x+1）恒成立，即有a，b的范围，进而得到ab的最大值．【解答】解：（1）函数f（x）=ln（ax+b）﹣x的导数为f′（x）=﹣1，可得y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣1，切线方程为y=﹣2x+1，可得ln（a+b）﹣1=﹣1，﹣1=﹣2，解得a=﹣1，b=2；（2）由y=ln（x+1）﹣x的导数为y′=﹣1=，当x＞0时，函数y递减；当﹣1＜x＜0时，函数y递增；可得y的最大值为0，即ln（x+1）≤x，当a＞0时，f（x）≤0恒成立，即x≥ln（ax+b）恒成立，只要ln（ax+b）≤ln（x+1）恒成立，即a=1，b≤1，可得ab≤1，即ab的最大值为1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、最值，考查方程思想和转化思想，以及运算能力，属于中档题．。
湖北省武汉市武昌区2017-2018学年度第二学期期末调研考试 高二数学(理)含答案
武昌区2017-2018学年度第二学期期末调研考试高二数学（理）本试卷共5页，22题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷答题卡相应位置上． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|[1,4]},{|lg(1)}A y y x B x y x ==∈==-，则A B =∩（ ）A．B ．(1,2]C ．[1,2]D ．φ2．已知复数21z i=+，则||z =（ ） A ．1BCD ．23．已知点(,)P x y 满足||||2x y +≤，则到坐标原点O 的距离1d ≤的点P 的概率为（ ） A ．16π B ．8π C ．4π D ．2π 4．若,x y 满足约束条件,2,3,y x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．92C ．4D ．35．执行如图所示的程序框图，如果输入4n =，则输出的结果是（ ）A ．32B ．116C ．2512D ．137606．设函数()f x 满足下列条件：①()f x 是定义在R 上的奇函数；②对任意的12,[1,]x x a ∈，当21x x >时，有()()210f x f x >>，则下列不等式不一定．．．成立的是（ ）A ．()(0)f a f >B ．12a f f +⎛⎫>⎪⎝⎭C ．13(3)1a f f a -⎛⎫>-⎪+⎝⎭D ．13()1a f f a a -⎛⎫>-⎪+⎝⎭7．已知,a b r r 为非零不共线向量，设条件:()M b a b ⊥-r r r，条件:N 对一切x ∈R ，不等式||||a xb a b -≥-r r r r恒成立，则M 是N 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，点P 是双曲线右支上的点，且1245F PF ∠=︒，若坐标原点O 到直线1PF 的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D9．已知函数()sin cos (0,0)f x a x x a ωωω=+>>，周期为π，给出以下结论： ①()f x 的图象过点(0,1)； ②()f x 在5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；③()f x 的一个对称中心是8π⎛⎝； ④()f x 的一条对称轴是38x π=-． 其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知三棱锥A BCD -的顶点都在球O 的球面上，AB ⊥平面,,1,BCD BD CD AB CD BD ⊥===O 的表面积为（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π11．在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:240l x y --=．设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上，若圆C 上存在点M ，使得||2||MA MO =，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为（ ）A ．12,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1212,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．120,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知F 为抛物线24y x =的焦点，M 点的坐标为(4,0)，过点F 作斜率为1k 的直线与抛物线交于A 、B 两点，延长AM 、BM 交抛物线于C 、D 两点设直线CD 的斜率为2k ，则12k k =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．下面的数据是关于世界20个地区受教育程度的人口百分比与人均收入的散点图，样本点基本集中在一个条型区域，因此两个变量呈线性相关关系．利用散点图中的数据建立的回归方程为ˆ 3.19388.193yx =+，若受教育的人口百分比相差10%，则其人均收入相差_________．14．一个几何体的三视图如上图所示，则这个几何体的体积为_________．15．二项式6231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含7x 的系数为_______．16．已知函数2()e xf x x =与()2e xg x x a =+的图像有且只有三个交点，则实数a 的取值范围为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,2n n a S a n ==-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．18．对某班50名学生的数学成绩和对数学的兴趣进行了调查，统计数据如下表所示：（1）试运用独立性检验的思想方法分析：学生学习数学的兴趣与数学成绩是否有关系，并说明理由． （2）从数学成绩好的同学中抽取4人继续调查，设对数学感兴趣的人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19．在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2a =，且sin sin b cB C+=+．（1）求角A 的大小；（2）若c =ABC △的面积．20．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的高为3,D E 分别为棱11B C 和1AA 的中点．（1）求证：直线DE ⊥平面BCE ； （2）求二面角E BD C --的余弦值．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是其左，右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且124PF PF +=． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 作直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，点(,0)Q m 在x 轴上，连结,QA QB 分别与直线x =-交于点,M N ，若11MF NF ⊥，求m 的值．22．已知函数()ln()(,)f x ax b x a b R =+-∈．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为21y x =-+，求,a b 的值； （2）已知当0a >时()0f x ≤恒成立，求ab 的最大值．武昌区2017-2018学年度第二学期期末调研考试高二理科数学参考答案及评分细则一、选择题：二、填空题： 13．31.93 14．9215．6 16．0(2a e <<+三、解答题：17．解：（1）因为2n n S a n =-，所以112(1)(2)n n S a n n --=--≥， 所以1122(1)n n n n n a S S a n a n --=-=--+-，即121n n a a -=+， 所以()1121n n a a -+=+，又112a +=所以{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．所以12n n a +=，即21nn a =-．（2）因为21nn a =-，所以()()()1212212121222n n n S n =-+-+⋯+-=+++-L()12122212n n n n +-=-=---．18．解：（1）22()50(172085)11.688()()()()25252228n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯===++++⨯⨯⨯． 因为()20.001P K k ≥=，所以有99.9%的把握认为有关系． （2）由题意知，X 的取值为0,1,2,3,4．因为413228178178444252525(0),(1),(2)C C C C C P X P X P X C C C ======，31417817442525(3),(4)C C C P X P X C C ====．所以，分布列为所以，41322314817817817817444442525252525()01234CC C C C C C C E X C C C C C =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯132231417817817817425234178(75612070)252322C C C C C C C C +++⨯+++==⨯⨯ 17425368 2.7225231125⨯⨯===⨯⨯．19．解：（1）因为sinsin sin a b c A B C ==，所以sin sin sin b c aB C A +==+所以2sin A=，即sin 2A = 所以，4A π=或34A π=． （2）因为2222cos a b c bc A =+-，所以2422b b =+±， 所以2220b b ±-=，解得1b =．所以1sin 2ABC S bc A ==△ 另解：（2）1sin ,sin 26a C C A π====或56C π=（舍去）． 20．解：（1）如图，取BC 的中点F ，连结1,,AF DF A D ． 由题意知，四边形1A DFA 为矩形，且1133,2A A A D ==． 因为E 为棱1AA 的中点，所以DE EF == 因为3DF =，所以DE EF ⊥， 因为1,AF BC A A BC ⊥⊥，所以BC ⊥平面1A AFD ，所以BC DE ⊥．所以DE ⊥平面BCE ．（2）取DF 的中点H ，连结EH ，则EH AF ∥．因为AF ⊥平面11B BCC ，所以EH ⊥平面11B BCC ，所以EH BD ⊥． 在Rt BFD △中，作BG BD ⊥于G ，连结EG ， 则BD ⊥平面EGH ，从而BD EG ⊥． 所以，EGH ∠为所求二面角的平面角． 在BDE △中，由1122BE DE BD EG ⋅=⋅，求得EG =在Rt EHG △中，sin EH EGH EG ∠==cos 14EGH ∠=． 所以，所求二面角E BD C --另解：（空间向量法）以AC 的中点为坐标原点,O OB 为x 轴，OC 为y轴建立空间直角坐标系，求得333,0,0,,,0,242B C D E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （1）证明0,0DE EB DE EC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r；（2）求出平面EBD的法向量(5,2)m =-r 和平面BDC的法向量m =r；求出余弦值cos ,14m n <>=-r r（取正值）． 21．解：（1）由题意，知24,a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩考虑到222a b c =+，解得2,a b ==所以，所求椭圆的标准方程为22142x y +=． （2）1(F ，设直线l的方程为x y λ=-，代入椭圆C 的方程，并消去x ，得()22220y y λ+--=，显然0∆>．设()()1122,,,A x y B x y，则1212222,22y y y y λλ-+==++， 于是()(2121212122244,22x x y y x x y y λλλλλλ--+=+-==-=++．设()()34,M y N y --，由M A Q 、、共线，得110y x m -=-，所以131)m y y x m -=-，同理，242)m y y x m-=-．因为))131411,,MF y NF y MF NF =-=-⊥u u u u ru u u r，所以()()()22121211342121212)2)222m y y y y MF NF y y x m x m x x m x x m ⋅=+=+=+---++u u u u r u u u r ，220==恒成立，解得2m =±． 22．解：（1）因为()1a f x ax b '=-+，所以(1)12,(1)ln()11,a f a bf a b ⎧'=-=-⎪+⎨⎪=+-=-⎩ 解得1,2a b =-=．（2）当0a >时，函数()f x 的定义域为,,()1a b a x b a a f x a ax b ax b-⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭'-+∞=-= ⎪++⎝⎭．当b a b x a a --<<时，()0f x '>；当a bx a->时，()0f x '<． 所以()f x 在,b a b a a -⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数，在,a b a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数． 所以max ()ln a b a b f x f a a a --⎛⎫==-⎪⎝⎭．由题意，知ln 0a ba a--≤恒成立，即ln b a a a ≤-恒成立． 于是22ln ab a a a ≤-在0a >时恒成立．记22()ln g a a a a =-，则()2(2ln )(12ln )g a a a a a a a '=-+=-．当0a <<()0g a '>；当a >()0g a '<．所以()g a 在上为增函数，在)+∞上为减函数．所以()g a 的最大值为22e e g e =-=．所以当2a b ==时，ab 取得最大值2e ．。
2022-2023学年湖北省武汉市高二年级下册学期期末数学试题【含答案】
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.()812x -展开式中第4项的二项式系数为（）A.448- B.1120C.56D.70【答案】C【分析】根据二项式定理结合二项式系数的定义即可得解.【详解】()812x -展开式中第4项的二项式系数为38C 56=.故选：C .2.对于变量Y 和变量x 的成对样本观测数据，用一元线性回归模型2()0,()Y bx a eE e D e σ=++⎧⎨==⎩得到经验回归模型ˆˆˆy bx a =+，对应的残差如下图所示，模型误差（）A.满足一元线性回归模型的所有假设B.不满足一元线性回归模型的()0E e =的假设C.不满足一元线性回归模型的2()D e σ=假设D.不满足一元线性回归模型的()0E e =和2()D e σ=的假设【答案】C【分析】根据用一元线性回归模型2()0,()Y bx a eE e D e σ=++⎧⎨==⎩有关概念即可判断.【详解】解：用一元线性回归模型2()0,()Y bx a e E e D e σ=++⎧⎨==⎩得到经验回归模型ˆˆˆy bx a =+，根据对应的残差图，残差的均值()0E e =可能成立，但明显残差的x 轴上方的数据更分散，2()D e σ=不满足一元线性回归模型，正确的只有C.故选：C.3.设随机变量X 的概率分布列如图所示，则()27D X +=（）X 1234P0.20.30.40.1A.0.84B.3.36C.1.68D.10.36【答案】B【分析】由均值和方差的公式求出(),()E X D X ，再由方差的性质求解即可.【详解】因为()10.220.330.440.1 2.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，则2222()(1 2.4)0.2(2 2.4)0.3(3 2.4)0.4(4 2.4)0.10.84D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，所以2(27)2()40.84 3.36D X D X +==⨯=.故选：B.4.命题：“R x ∀∈，*N n ∃∈，使得2n x ≥”的否定是（）A.R x ∃∈，*N n ∃∈，使得2n x <B.R x ∃∈，*N n ∀∈，使得2n x <C.R x ∀∈，*N n ∀∈，使得2n x <D.以上结论都不正确【答案】B【分析】改量词，否结论即可.【详解】“R x ∀∈，*N n ∃∈，使得2n x ≥”的否定是“R x ∃∈，*N n ∀∈，使得2n x <”，故选：B5.如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（）A.120B.180C.221D.300【答案】B【分析】分Ⅰ，Ⅳ同色和不同色两种情况讨论，结合分布乘法原理即可得解.【详解】当Ⅰ，Ⅳ同色时，则Ⅰ有5种涂色方法，Ⅱ有4种涂色方法，Ⅲ有3种涂色方法，此时共有543160⨯⨯⨯=种涂色方法；Ⅰ，Ⅳ不同色时，则Ⅰ有5种涂色方法，Ⅳ有4种涂色方法，Ⅱ有3种涂色方法，Ⅲ有2种涂色方法，此时共有5432120⨯⨯⨯=种涂色方法，综上共有60120180+=种不同的着色方法.故选：B .6.设随机变量()~0,1X N ，则X 的密度函数为（）A .()221e 2πx f x -=B.()()2121e 2πxf x --=C.()221e2πx f x -= D.()()2121e2πx f x --=【答案】A【分析】根据正态分布的定义可求得0,1μσ==，从而可求X 的密度函数.【详解】因为()~0,1X N ，所以20,1μσ==，即1σ=，所以X 的密度函数为A.故选：A7.设随机变量(),X B n p ，记()C 1n kk kk n p p p -=-，0,1,2,,k n =L ，下列说法正确的是（）A.当k 由0增大到n 时，k p 先增后减，在某一个（或两个）k 值处达到最大.二项分布当0.5p =时是对称的，当0.5p <时向右偏倚，当0.5p >时向左偏倚B.如果()1n p +为正整数，当且仅当()1k n p =+时，k p 取最大值C.如果()1n p +为非整数，当且仅当k 取()1n p +的整数部分时，k p 取最大值D.()()1E X np p =-【答案】C【分析】由11k k kk p p p p -+≥⎧⎨≥⎩可得()()111n p k n p +-≤≤+，分析可判断BC 选项，进而根据二项分布的图象性质可判断A 选项；根据二项分布的期望公式可判断D 选项.【详解】因为(),X B n p ，()C 1n kk kk n p p p -=-，0,1,2,,k n =L ，由11k k k k p p p p -+≥⎧⎨≥⎩，得()()()()111111C 1C 1C 1C 1n k n k k k k k n n n k n k k k k k n n p p p p p p p p --+-----++⎧-≥-⎪⎨-≥-⎪⎩，解得()()111n p k n p +-≤≤+，若()1n p +为正整数，则()1k n p =+或()11k n p =+-时，k p 取最大值，故B 错误；若()1n p +为非整数，则k 取()1n p +的整数部分时，k p 取最大值，故C 正确；综上所述，当k 由0增大到n 时，k p 先增后减，在某一个（或两个）k 值处达到最大.根据二项分布的图象性质可得，当0.5p =时是对称的，当0.5p <时向左偏倚，当0.5p >时向右偏倚，故A 错误；而()E X np =，故D 错误.故选：C.8.已知函数()21exx x f x +-=，则方程()()1f f x =-的根的个数是（）A.2B.4C.5D.6【答案】B【分析】对()f x 求导，判断单调性画出图象，令()f x t =，则()1f t =-，结合图象方程()1f t =-有两解，12151,02t t --<<-=，结合图象可知方程1()f x t =有两解，2()f x t =也有两解，从而可解.【详解】对()f x 求导得：22(1)(2)()e e x xx x x x f x '--+-=-=-，所以当1x <-或2x >时，()0f x '<，当12x -<<时，()0f x '>，则函数()f x 在(,1),(2,)-∞-+∞上单调递减，在(1,2)-上单调递增，因此，函数()f x 在=1x -处取得极小值(1)e f -=-，在2x =处取得极大值25(2)e f =，作出曲线()y f x =，如图，由()0f x =得210x x +-=，解得152x -±=，令()f x t =，则()1f t =-，结合图象方程()1f t =-有两解，12151,02t t --<<-=，所以1()f x t =或2()f x t =，因为152e +<，所以15e 2-->-,结合图象可知方程1()f x t =有两解，又因为20t =，结合图象可知2()f x t =也有两解，所以方程(())1f f x =-共有4个根.故选：B【点睛】方法点睛:求函数零点(方程根)的常用的方法:（1）直接法:直接求解方程得到方程的根；（2）数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）9.设离散型随机变量X ，非零常数a ，b ，下列说法正确的有（）A.()b E aX b aE X a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B.()2b D aX b a D X a ⎛⎫+=+⎪⎝⎭C.()()()2D XE X E X =- D.()()()()22D X E X E X=-【答案】ABD【分析】根据均值与方差的性质即可判断AB ；根据均值与方差的关系即可判断CD.【详解】对于A ，()()()(),b b E aX b aE X b aE X a E X aE X b a a ⎛⎫⎛⎫+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()b E aX b aE X a ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，()()()222,b D aX b a D X a D X a D X a ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以()2b D aX b a D X a ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，故B 正确；对于CD ，根据均值与方差的关系可得()()()()22D X E X E X =-，故C 错误，D 正确.故选：ABD.10.下列说法正确的有（）A.命题：“R x ∀∈，10x >”的否定是：“R x ∃∈，10x≤”B.命题：“若1x >，则215x +>”的否定是：“若1x >，则215x +≤”C.已知x ，R y ∈，则“x 或y 为有理数”是“xy 为有理数”的既不充分也不必要条件D.如果x ，y 是实数，则“x y ≠”是“cos cos x y ≠”的必要不充分条件【答案】CD【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可判断AB ；根据充分条件和必要条件的定义即可判断CD.【详解】对于A ，命题：“R x ∀∈，10x>”即R x ∀∈，0x >，其否定是：“R x ∃∈，0x ≤”，故A 错误；对于B ，命题：“若1x >，则215x +>”的否定是：“1x ∃>，则215x +≤”，故B 错误；对于C ，当1,3x y ==时，3xy =，故充分性不成立，当3x y ==时，3xy =，故必要性不成立，所以“x 或y 为有理数”是“xy 为有理数”的既不充分也不必要条件，故C 正确；对于D ，当π3π,22x y ==时，cos cos 0x y ==，故充分性不成立，若x y =，则cos cos x y =，故当cos cos x y ≠时，x y ≠，故必要性成立，所以“x y ≠”是“cos cos x y ≠”的必要不充分条件，故D 正确.故选：CD .11.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：对(),0,x y ∀∈+∞，都有()()()f xy f x f y =+，则对于(),0,x y ∀∈+∞，*N n ∈，下式成立的有（）A.()()()f x y f x f y +=B.()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()()nf xnf x = D.()()1nfx f x n=【答案】BCD【分析】设函数()ln f x x =判断A 选项,结合()()()f xy f x f y =+判断B,C,D 选项.【详解】()(),xx y x f x f f y y y ⎛⎫⨯=∴=+ ⎪⎝⎭ ,()()x f f x f y y ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭,B 选项正确;1,n n x x x x x x -=⨯=⨯⨯⨯ ()()()()()()()()()()12n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x nf x --∴=+=++=+++= ()()n f x nf x ∴=,C 选项正确;()nnn n nx xx x x ==⨯⨯⨯ ,()()()()()n n n nf x f x f x f x nf x ∴=+++= ()()1nf x f x n∴=,D 选项正确;定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：对(),0,x y ∀∈+∞，都有()()()f xy f x f y =+，设()ln f x x =()()()()()ln ,ln ln f xy f x f y xy f x f y x y =+==⨯,()()()f x y f x f y ∴+≠,A 选项错误.故选:BCD.12.下列不等式中成立的有（）A.46log 3log 5>B.当0x >时，()12e22ln 2x x x x -+≥++C.当x m >-且2m ≤时，()e ln xx m >+D.当x ∈R 时，sin x x ≤【答案】BC【分析】A 选项构造函数()()ln ln 1xf x x =+，其中1x >，利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断A 选项；证明出1e x x -≥、ln 1x x ≥+，可判断B 选项；利用B 选项中的两个不等式可判断C选项；构造函数()sin p x x x =-，利用导数分析该函数的单调性，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，令()()ln ln 1xf x x =+，其中1x >，则()()()()()()()22ln 1ln 1ln 1ln 1ln 11ln 1x xx x x x x x f x x x x x +-++-+'==++⋅+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当1x >时，10x x +>>，()ln 1ln 0x x +>>，则()()1ln 1ln 0x x x x ++>>，此时，()()()()()21ln 1ln 01ln 1x x x x f x x x x ++-'=>+⋅+⎡⎤⎣⎦，故函数()f x 在()1,+∞上为增函数，故()()46log 335log 5f f =<=，A 错；对于B 选项，令()1e x g x x -=-，其中x ∈R ，则()1e 1x g x -'=-，当1x <时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，所以，()()10g x g ≥=，即1e x x -≥，令()ln 1h x x x =--，其中0x >，则()111x h x x x-'=-=，当01x <<时，()0h x '<，此时函数()h x 单调递减，当1x >时，()0h x '>，此时函数()h x 单调递增，所以，()()10h x h ≥=，即ln 1x x ≥+，故当0x >时，()()122e2222ln 2x x x x x x x x -+≥+=+≥++，当且仅当1x =时，两个等号同时成立，故()12e22ln 2x x x x -+≥++，B 对；对于C 选项，由B 选项可知，当0x >时，1e x x -≥，ln 1x x ≥+，上述两个不等式当且仅当1x =时，等号成立，所以，当x m >-且2m ≤时，()()()e 121ln 2ln xx x x x m ≥+=+-≥+≥+，e 1x x ≥+，当且仅当0x =时等号成立，()1ln 2x x +≥+，当且仅当=1x -时等号成立，不等式()()()e 121ln 2ln xx x x x m ≥+=+-≥+≥+中等号不能同时成立，即当x m >-且2m ≤时，()e ln xx m >+，C 对；对于D 选项，令()sin p x x x =-，其中x ∈R ，则()1cos 0p x x ='-≥且()p x '不恒为零，则函数()p x 在R 上单调递增，所以，当0x ≥时，()()00p x p ≥=，即sin x x ≥，当0x <时，()()00p x p <=，即sin x x <，D 错.故选：BC.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.函数()()e 211x x f x x -=-的单调减区间为______.【答案】3(0,1),1,2⎛⎫⎪⎝⎭【分析】求导后，令导数小于0，求解即可.【详解】()()e 211x x f x x -=-的定义域为()(),11,-∞+∞ ，2(21)(1)e (21)e ()(1)x xx x x f x x '+---=-()2223e (1)x x x x -=-，令()0f x '<，可得2230x x -<，可得302x <<，又1x ≠，则01x <<或312x <<，所以()f x 的单调递减区间是3(0,1),1,2⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：3(0,1),1,2⎛⎫⎪⎝⎭14.1260有__________个不同的正因数.（用数字作答）【答案】36【分析】将1260分解，然后根据分步乘法计数原理计算即可.【详解】2212602357=⨯⨯⨯，第一步，2可以取0122,2,2，共3种，第二步，3可以取0123,3,3，共3种，第三步，5可以取015,5，共2种，第四步，7可以取017,7，共2种，所以一共有332236⨯⨯⨯=种取法，对应36个不同的正因数.故答案为：3615.已知某商品进价为a 元/件，根据以往经验，当售价是43b b a ⎛⎫≥⎪⎝⎭元/件时，可卖出c 件，市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%.现决定一次性降价，为获得最大利润，售价应定为______元/件.（用含a ，b 的式子表示）【答案】458a b+【分析】设销售价为x ，则降价相对于售价是b 时，降低了10%b x b -个10%，从而销量提高了10%b xb-个40%，从而求得可获得的利润为y ，求导，由导数求得函数最大值，此时取得的x 的值即为销售价.【详解】设销售价为x ，可获得的利润为y ，则2(140%)()(54)()[4(45)5]10%b x c cy c x a b x x a x a b x ab b b b-=+⨯⋅-=--=-++-，求导得[8(45)]cy x a b b'=-++，令[8(45)]0c y x a b b '=-++=，解得458a b x +=，由0y >知，5(,)4x a b ∈，又3454554884b ba b b b ⨯++≤=<，4454543883a a ab a a +⨯+≥=>，所以当45(,)8a bx a +∈时，0'>y ，函数单增；当455(,)84a b x b +∈时，0'<y ，函数单减；因此458a bx +=是函数的极大值点，也是最大值点；故当销售价为458a b+元/件时，可获得最大利润.故答案为：458a b+16.已知*N n ∈，2n ≥，计算122232C 2C 3C C nn n n n n ++++= ______.【答案】2(1)2n n n -+【分析】根据组合数公式可得2211!(1)!C C ()!!()!(1)!k k n n n n k knk nk n k k n k k ---===---，()1121!(2)!C(1)(1)C (1)!!(1)!(1)!kk n n n n k kn n n k k n k k -----==-⋅=------，再结合二项式系数和公式即可求解.【详解】根据组合数公式可得2211!(1)!C C ()!!()!(1)!kk n n n n k knk nk n k k n k k ---===---，()1121!(2)!C(1)(1)C (1)!!(1)!(1)!kk n n n n k kn n n k k n k k -----==-⋅=------，所以原式()011111C 2C C n n n n n n ----=+++ ()011121111111C C C C 2C 1C n n n n n n n n n n --------⎡⎤=+++++++-⎣⎦ ()()101222221C C C n n n n n n n -----⎡=+-+++⎣ 1222(1)2(1)2n n n n n n n ---⎡⎤=+-=+⎣⎦.故答案为：2(1)2n n n -+.【点睛】关键点睛：这道题的关键能够根据组合数公式可得2211!(1)!C C ()!!()!(1)!k k n n n n k knk nk n k k n k k ---===---，()1121!(2)!C (1)(1)C (1)!!(1)!(1)!k k n n n n k kn n n k k n k k -----==-⋅=------，再结合二项式系数和公式即可求解.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.如图，ABC 和DBC △所在平面垂直，且AB BC BD ==，120CBA DBC =∠=∠︒，求：（1）直线AD 与平面BDC 所成角的大小；（2）平面ABD 和平面BDC 夹角的余弦值.【答案】（1）π4（2）55【分析】（1）过点A 作AE BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接DE ，证得,,ED EB EA 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的公式即可求出结果；（2）利用向量法求解即可.【小问1详解】过点A 作AE BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接DE ，因为AB BC BD ==，120CBA CBD ∠=∠=︒，所以CBA CBD ≅ ，因此DE BC ⊥，又因为平面ABC⊥平面BCD ，且平面ABC ⋂平面BCD BC =，AE ⊂平面ABC ，所以⊥AE 平面BCD ，又DE ⊂平面BCD ，EB ⊂平面BCD ，所以AE DE ⊥,AE BE ⊥，因此,,ED EB EA 两两垂直，以E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设2AB BC BD ===，则1,3BE AE DE ===，则()()()0,0,3,3,0,0,0,0,0A DE ，则()3,0,3AD =-，由于⊥AE 平面BCD ，所以平面BCD 的一个法向量为()0,0,3EA =，设直线AD 与平面BCD 所成的角为α，则()0300332sin cos ,23303EA AD EA AD EA ADα⨯+⨯+⨯-⋅====⨯++⋅，又因为线面角的范围是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以π4α=，因此直线AD 与平面BCD 所成的角为π4；【小问2详解】()()0,1,0,0,3,0B C ，则()0,1,3AB =-,设平面ABD 的法向量为(),,n x y z =，所以30330n AB y z n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1z =,可得1,3x y ==，则()1,3,1n =r，则35cos ,535EA n EA n EA n⋅===⨯⋅ ，故平面ABD 和平面ABC 的夹角的余弦值为55.18.（1）设集合(){}210,A x x a x a a =-++=∈R ，{}2540B x x x =-+=，求：A B ⋂，A B ⋃；（2）已知x 、y 、z 都是正数，且满足33322232x y z ++=，求证：34x y z y z z x x y xyz++≤+++.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）分1a =、4a =、1a ≠且4a ≠三种情况讨论，求出集合A 、B ，利用交集和并集的定义可求得集合A B ⋂，A B ⋃；（2）利用基本不等式可得出2x x y z yz ≤+、2y yz x zx ≤+，2z z x y xy≤+，利用不等式的基本性质可证得结论成立.【详解】解：（1）因为(){}()(){}210,10,A x x a x a a x x x a a =-++=∈=--=∈R R ，{}()(){}{}25401401,4B x x x x x x =-+==--==.①当1a =时，则{}1A =，则{}1A B ⋂=，{}1,4A B ⋃=；②当4a =时，则{}1,4A =，则{}1,4A B ⋂=，{}1,4A B ⋃=；③当1a ≠且4a ≠时，则{}1,A a =，则{}1A B ⋂=，{}1,,4A B a = .综上所述，当1a =时，{}1A B ⋂=，{}1,4A B ⋃=；当4a =时，{}1,4A B ⋂=，{}1,4A B ⋃=；当1a ≠且4a ≠时，{}1A B ⋂=，{}1,,4A B a = .（2）因为x 、y 、z 都是正数，则2x x y z yz≤+，当且仅当y z =时，等号成立，同理可得2y yz x zx ≤+，2z z x y xy≤+，所以，333222322224x y z x y z x y z y z z x x y yz zx xy xyz xyz++++≤++==+++，当且仅当2312x y z ⎛⎫=== ⎪⎝⎭时，等号成立，因此，34x y z y z z x x y xyz++≤+++.19.已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，若332a =，392S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 是等差数列，12b =，如果等差数列{}n c 的通项n c 满足()2N n n b c n n +=∈.令()N n nn na b x n c +⋅=∈，求数列{}n x 的前n 项和n T .【答案】（1）1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭或32n a =（2）116162nn T ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭或6n【分析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，化简3a 和3S 为基本量1a 和q 的关系，进而解出1a 和q ，从而求解；（2）设数列{}n b 的公差为d ，可得2n b dn d =+-，22n c d n n d =+-，进而根据等差数列{}n c 的前三项成等差数列，可得2d =，从而得到n b ，n c ，进而分1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭或32n a =两种情况得到n x ，进而求解即可.【小问1详解】设数列{}n a 的公比为q ，则231312311323922a a q S a a a a a q ⎧==⎪⎪⎨⎪=++=++=⎪⎩，解得16a =，12q =-或132a =，1q =，所以1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭或32n a =.【小问2详解】设数列{}n b 的公差为d ，则()212n b n d dn d =+-=+-，所以222n n dn n c b dn ==+-，即112c =，242c d =+，3922c d =+，又数列{}n c 为等差数列，所以1322c c c +=，即1982222d d +=++，解得2d =，即2n b n =，2n nc =，当1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭时，11162122422n n nnx n --⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭==⨯-⎪⎝⎭，所以111241221242nn n nx x +-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，124x =，即数列{}n x 是以24为首项，12-为公比的等比数列，所以12412116161212n nn T ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭；当32n a =时，32262n nx n ⨯==，所以6n T n =.综上所述，116162nn T ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭或6n .20.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.（1）求()N n n +∈次传球后球在甲手中的概率；（2）求()N n n +∈次传球后球在乙手中的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110i i i P X P X q ==-==，1,2,,i n = ，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑，记前n 次传球后（即从第1次传球到第n 次传球后）球在甲手中的次数为Y ，求()E Y .【答案】（1）111132n n P -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）()111132n n nQ -⎡⎤-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦（3）()211392nn E Y ⎡⎤⎛⎫=---⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【分析】（1）记n A 表示事件“经过n 次传球后，球在甲手中”，设n 次传球后球在甲手中的概率为n P ，N n +∈，分析可得10P =，11n n n A A A ++=，由此可得()1112n n P P +=-⋅，变形可得1111323n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，可得数列13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以11133P -=-为首项，12-为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可；（2）记n B 表示事件“经过n 次传球后，球在乙手中”，设n 次传球后球在乙手中的概率为n Q ，N n +∈，分析可得112Q =，11n n n B B B ++=，由此可得()1112n n Q Q +=-⋅，变形可得1111323n n Q Q +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，可得数列13n Q ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以11136Q -=为首项，12-为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可；（3）结合第（1）问结论和题设条件，运用等比数列求和公式分组求和即可求解.【小问1详解】记n A 表示事件“经过n 次传球后，球在甲手中”，设n 次传球后球在甲手中的概率为n P ，N n +∈，若1n A +发生，即经过1n +次传球后，球再次回到甲手中，那么第n 次传球后，球一定不在甲手中，即事件n A 一定不发生，则有10P =，11n n n A A A ++=，必有()1112n n P P +=-⋅,即11122n n P P +=-+，即1111323n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以数列13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以11133P -=-为首项，12-为公比的等比数列，所以1111332n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，即111132n n P -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】记n B 表示事件“经过n 次传球后，球在乙手中”，设n 次传球后球在乙手中的概率为n Q ，N n +∈，若1n B +发生，即经过1n +次传球后，球在乙手中，那么第n 次传球后，球一定不在乙手中，即事件n B 一定不发生，则有112Q =，11n n n B B B ++=，必有()1112n n Q Q +=-⋅,即11122n n Q Q +=-+，即1111323n n Q Q +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以数列13n Q ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以11136Q -=为首项，12-为公比的等比数列，所以1111362n n Q -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，即()111132n n nQ -⎡⎤-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦.【小问3详解】由题意i 次传球后球在甲手中的次数i Y 服从两点分布，且()()110i i i P Y P Y P ==-==，所以()11n ni i i i E Y E Y P ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑，N i +∈，由（1）得111132i i P -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，则()111111112121132339212ni n n n i i i n E Y P n n -==⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎢⎥==--=-=---⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑.21.平面内与两定点()1,0A a -，()()2,00A a a >连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A ，2A 两点所成的曲线记为曲线C .（1）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系；（2）若1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的()()1,00,m ∈-+∞ ，对应的曲线为2C .设1F ，2F 是2C 的两个焦点，试问：在1C 上是否存在点N ，使得12F NF △的面积2S m a =，并证明你的结论.【答案】（1）222mx y ma -=；答案见解析（2）存在；证明见解析【分析】（1）设动点为M ，其坐标为(,)x y ，根据题意可得y ym x a x a⋅=-+，整理可得曲线C 的方程为222mx y ma -=，再把方程化为标准方程即可判断曲线的类型；（2）对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞ ，1C 上存在点()()000,0N x y y ≠，使得12F NF △的面积2S m a=的充要条件为22200201212x y a a m y m a⎧+=⎪⎨⨯+=⎪⎩，从而求得1502m -≤<或1502m +<≤，进而解决问题.【小问1详解】设动点为M ，其坐标为(,)x y ，当x a ≠±时，由条件可得12MA MA y y k k m x a x a⋅=⋅=-+，即222()mx y ma x a -=≠±，又12(,0),(,0)A a A a -的坐标满足222mx y ma -=.所以曲线C 的方程为222mx y ma -=.当1m <-时，曲线C 的方程为22221,x y C a ma+=-是焦点在y 轴上的椭圆；当1m =-时，曲线C 的方程为222,x y a C +=是圆心在原点的圆；当10m -<<时，曲线C 的方程为22221,x y C a ma +=-是焦点在x 轴上的椭圆；当0m >时，曲线C 的方程为22221,x y C a ma-=是焦点在x 轴上的双曲线.【小问2详解】在1C 上存在点N ，使得12F NF △的面积2S m a =，证明如下：由（1）知，当1m =-时，曲线1C 的方程为222x y a +=，当(1,0)(0,)m ∈-+∞ 时，2C 的焦点分别为()12(1,0),1,0F a m F a m -++，对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞ ，1C 上存在点()()000,0N x y y ≠，使得12F NF △的面积2S m a =的充要条件为2220020(1)121(2)2x y a a m y m a ⎧+=⎪⎨⨯+=⎪⎩由(1)得00||y a <≤，由(2)得0||||1m a y m=+，所以||01m aa m <≤+，解得1502m -≤<或1502m +<≤，满足(1,0)(0,)m ∈-+∞ ，所以存在点N 使得2S m a =.【点睛】关键点睛：第二问的关键是确定对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞ ，1C 上存在点()()000,0N x y y ≠，使得12F NF △的面积2S m a =的充要条件为22200201212x y a a m y m a ⎧+=⎪⎨⨯+=⎪⎩，从而求得1502m -≤<或1502m +<≤，进而解决问题.22.已知矩形()ABCD AB AD >的周长为6.（1）把ABC 沿AC 向ADC △折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，求ADP △的最大面积；（2）若2AB =，1AD =，如图，AB ，AD 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形ABCD 折叠，使A 点落在线段DC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，问当k 为何值时，折痕的长度取最大值.【答案】（1）279242-（2）23-+【分析】（1）设AB x =，PC a =，由题意可知，,DP x a AP a =-=，由ADP △为直角三角形得932a x x=+-，再用三角形的面积公式求得ADP △的面积关于x 的函数，再利用基本不等式即可求得最大值；（2）对折痕所在直线的斜率分类讨论，斜率为0时，易得结论，斜率不为0时，又要分析折痕所在直线与矩形两边的交点在左右两边、上下两边、左下两边三种情况讨论，最后可解.【小问1详解】设AB x =，由题意可知，矩形()ABCD AB CD >的周长为6，所以3AD x =-，由题意可知DCA BAC B AC '∠=∠=∠，所以PC PA =，设PC a =，则,DP x a AP a =-=，而ADP △为直角三角形，222(3)()x x a a ∴-+-=，932a x x ∴=+-，则932DP x=-，119(3)3222ADP S AD DP x x ⎛⎫∴=⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭27273272732792244244242x x x x =--≤-⋅=-，当且仅当27342x x =时，即322x =，等号成立，此时3232AD =-满足AB AD >，所以当322AB =，3232AD =-时，ADP △取最大面积为279242-.【小问2详解】①当0k =时，此时A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程12y =，折痕的长为2②当0k ≠时，将矩形折叠后A 点落在线段CD 上的点为(,1)(02)G a a <≤，所以A 与G 关于折痕所在的直线对称，有11,1.OG k k k a k a⋅=-=-⇒=-故G 点坐标为(,1)(20)G k k --≤<.从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标（线段OG 的中点）为1,22k M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以折痕所在的直线方程122k y k x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即21(20)22k y kx k =++-≤<.记2PN y =，当折痕所在的直线过点D 时，21122k =+，解得1k =-（舍去1k =-），当折痕所在的直线过点B 时，210222k k =++，解得23k =-+（舍去23k =--），如图（1），折痕所在的直线与边AD 、BC 的交点坐标为2102k N ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,，212,22k P k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，这时230k -+<<，()224441(4,16(23))y k k =+=+∈-如图（2），折痕所在的直线与边AD 、AB 的交点坐标为22110,,,022k k N P k ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.这时，123k -≤≤-+，()3222222111224k k k y k k +⎛⎫⎛⎫++=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()()()2322222243312418121162k k k k kk k y k k '+⋅⋅-+⋅+-==，令0y '=，得22k =-，所以当212k -≤<-时，0'>y ，函数单调递增，当2232k -<≤-+时，0'<y ，函数单调递减，当1k =-时，2y =；当22k =-时，2716y =；当23k =-+时，16(23)y =-，27,16(23)16y ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，如图（3），折痕所在的直线与边CD 、AB 的交点坐标为2211,1,,022k k N P k k ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.这时21k -≤<-，2151,24y k ⎛⎫⎡⎫=+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭.综上所述，max 16(23)y =-，即折痕的长度取最大值2(62)-此时23k =-+.【点睛】关键点睛：。
湖北武汉武昌区2024年高二下学期6月期末考试数学试题+答案
武昌区2023~2024学年度高二年级期末质量检测数学命题单位：武昌区教研培训中心 考试时间：2024年6月27日 本试题卷共5页，共19题.满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{3},21,A x x B x x n n =<==+∈Z ∣∣，则A B ∩=（ ）A.()1,1−B.()3,3−C.{}1,1−D.{}3,1,1,3−−2.在复平面内，复数12,z z 对应的点关于直线0x y −=对称，若11i z =−，则12z z =（ ）A.i− B.i C.-1 D.13.已知向量,a b满足1,1a b b === ，则a 在b 上的投影向量为（）A.12b−B.12−C.12b D.124.现将,,,,,A B C D E F 六名学生排成一排，要求,D E 相邻，且,C F 不相邻，则不同的排列方式有A.144种B.240种C.120种D.72种5.已知角π0,2θ ∈，点()2cos ,cos2θθ在直线y x =−上，则πtan 4θ −=（）A.3−−B.-1C.3−D.3+6.已知数列{}n a 满足120,1a a ==.若数列{}()1,2n n a a n n −+∈≥N 是公差为2的等差数列，则2024a =（）A.2022B.2023C.2024D.20257.摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮等距离设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min .已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度()m H 关于时间t（min ）的函数关系式为()π6550cos 03015H t t =−≤≤若甲､乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲､乙两人座舱高度差的最大值为（ ）A. B.50m C.)251m − D.25m −8.如图，在棱长为2的正四面体ABCD 中，,M N 分别为棱,AD BC 的中点，O 为线段MN 的中点，球O 的球面正好经过点M ，则下列结论中正确的是（ ）A.AB MN ⊥B.球O 的的体积与四面体ABCD 外接球的体积之比为1:C.直线MN 与平面BCDD.球O 被平面BCD 截得的截面面积为4π3二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（ ）A.一组数据5,9,7,3,10,12,20,8,18,15,21,23的第25百分位数为7B.若随机变量()22,X N σ∼，且(4)0.75P X <=，则(04)0.5P X <<= C.袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回地依次抽取2个球，则第二次取到红球的概率为23D.在对高二某班学生物理成绩的分层随机抽样调查中，抽取男生12人，其平均数为75，方差为893；抽取女生8人，其平均数为70，方差为23，则这20名学生物理成绩的方差为3310.在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，任意两条互相垂直的切线的交点必在同一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”已知长方形ABCD 的四条边均与椭圆22:163x y E +=相切，则下列说法正确的有（ ） A.椭圆E 的离心率为12B.椭圆E 的“蒙日圆”的方程为229x y +=C.长方形ABCD 的面积的最大值为18D.若椭圆E 的上下顶点分别为M N ､，则其蒙日圆上存在两个点P 满足PM PN =11.已知函数()cos ln cos f x x x =+，则（ ）A.函数()f x 的一个周期为πB.函数()f x 在区间π,π2上单调递增 C.函数()f x 在区间ππ0,,π22∪上没有零点 D.函数()f x 的最大值为1三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.()51(2)x x +−的展开式中，3x 的系数为__________.（用数字填写答案）13.已知直线1:2l y x =和2:2l y x =−，过动点M 作两直线的平行线，分别交12l l ､于,A B 两点，其中点A 在第一象限，点B 在第四象限.若平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的面积为3，记动点M 的轨迹为曲线E ，若曲线E 与直线()2y k x =−有且仅有两个交点，则k 的取值范围为__________. 14.已知函数()(),f x g x 的定义域为(),g x ′R 为()g x 的导函数，且()()10f x g x ′+−=，()()2410f x g x −−−′−=，若()g x 为偶函数，则20241()n f n ==∑__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数()1πsin 2,23f x x ABC=+的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()31cos sin cos 22B fC B B C =+=−. （1）求角B ；（2）设D 为边AC 的中点，且ABC ，求BD 的长. 16.（15分）如图，四棱台1111ABCD A B C D −中，下底面ABCD 为平行四边形，1DD ⊥平面ABCD ，11122,8,AB A B BC AA M ====为BC 的中点，平面11CDD C ⊥平面1D DM .（1）求四棱台1111ABCD A B C D −的体积； （2）求平面1D DM 与平面11BCC B 夹角的余弦值. 17.（15分）甲､乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲､乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得-10分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分.根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为12，乙答对的概率为23，且甲､乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响.（1）求在一局比赛中，甲的得分X 的分布列与数学期望；（2）设这次比赛共有4局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求乙最终获胜的概率. 18.（17分）已知圆22:(1)16A x y ++=和点()1,0B ，点P 是圆上任意一点，线段PB 的垂直平分线与线段PA 相交于点Q ，记点Q 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）若过原点的两条直线分别交曲线C 于点,A C 和,B D ，且34AC BD k k ⋅=−（O 为坐标原点）.判断四边形ABCD 的面积是否为定值？若为定值，求四边形ABCD 的面积；若不为定值，请说明理由. 19.（17分）帕德近似是法国数学家亨利･帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数,m n ，函数()f x 在0x =处的[],m n 阶帕德近似定义为：()0111mm n n a a x a x R x b x b x +++=+++ 且满足：()()()()()()()()()()00,00,00,,00m n m n f R f R f R f R ++′′′′=′=′= .注：()()()()()()()()()()()454,,,,f x f x f x f x f x f x f x f x ′ ==== ′′′′′′′′′′ ''''. 已知函数()()ln 1f x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德近似()R x . （1）求()R x 的表达式；（2）记()()()()22F x x x R x f x =+−，当0x ≥时，证明不等式()320F x x −≤； （3）当*n ∈N ，且2n ≥时，证明不等式33311111111ln 111232321n n n +++++++>− + .武昌区2023-2024学年度高二年级期末质量检测高二数学参考答案及评分细则选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案CCAACBDCBCDBCDBD填空题：12.-40 13.2k >或2k <− 14.2024解答题：15.（13分）解：（1）因为()1πsin 223f x x =+，所以1πsin 223B f B=+=.所以πsin 3B +因为0πB <<，所以π2π33B +=，所以π3B =.（2）因为()sin 1cos sin cos C B B C+=−， 所以3sin sin cos cos sin sin 2C C B C B B ++=. 所以()3sin sin sin 2C B C B ++=.因为πA B C ++=， 所以3sin sin sin 2C A B +=.所以32c a b +=. 由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+−，而π3B =， 所以222b a c ac =+−，即22()3b a c ac =+−.所以22332b b ac =−，即2512ac b =.因为11πsin sin223ABC S ac B ac === ，所以5ac =.所以25512b =，即212,b b ==.所以ac +因为()12BD BA BC =+ ，所以()2221||||||24BD BA BC BA BC =++⋅ . 所以22221π111||2cos ()4342BD c a c a a c ac =++⋅=+−= ，所以BD =. 16.（15分）解：（1）取AD 的中点N ，则11A D ∥11,ND A D ND =， 所以，四边形11A D DN 为平行四边形.因为1DD ⊥平面ABCD ，所以1A N ⊥平面ABCD ，即梯形的高为1D D （或1A N ）. 在直角三角形1A NA中，求得14A N=.因为1DD ⊥平面,ABCD CD ⊂平面ABCD ，所以1DD CD ⊥. 因为平面11CDD C ⊥平面1D DM ，交线为1D D ， 因为1CD D D ⊥，所以CD ⊥平面1D DM . 所以CD MD ⊥，所以DM =.在直角三角形CDM 中，求得边CM的高DM DC MC ⋅=，所以，底面ABCD的面积ABCD S BC ==.同理求得上底面面积111114A B B C S =×. 由1DD ⊥平面ABCD ，知梯形的高为114DD A N==，所以(143V =×+. （2）以D 为坐标原点，分别以1,,DM DC DD 所在直线为x 轴，y 轴和z 轴建立空间直线坐标系.则()()()()10,0,0,,0,2,0,0,1,4D M C C .由（1）知，平面1D DM 的一个法向量为()0,2,0DC =.设平面11BCC B 的一个法向量为(),,n x y z =，因为()()10,1,4,2,0CC CM =−−， 所以10,0,n CC n CM ⋅=⋅=所以40,20.y z y −+=−= 令1x =，则yz=.所以n = . 设平面1D DM 和平面11BCC B 的夹角为θ，则cos cos ,n DC n DC n DCθ⋅===⋅17.（15分）解：（1）X 的取值可能为10,0,10−.()121101233P X =−=−×= ，()12110112322P X ==×+−×= ， ()121101236P X ==×−= ，所以，X 的分布列为所以()()1115100103263E X =−×+×+×=−. （2）由（1）知，在一局比赛中， 乙获得10分的概率为2111323×−= ， 乙获得0分的概率为121211123232×+−×−= ，乙获得-10分的概率为1211236×−= . 在4局比赛中，乙获得40分的概率为4111381P ==， 在4局比赛中，乙获得30分的概率为3324112C 3227P =×= ，在4局比赛中，乙获得20分的概率为32232344111121C C 3632816P =×+×=+ ， 在4局比赛中，乙获得10分的概率为2321144241111111C C C 3623396P =××+×=+， 所以，乙最终获胜的概率为123459P P P P P =+++=. 18.（17分）解：（1）由题意知，圆心为()1,0A −，半径为4，且,2QP QB AB ==.因为42QA QB QA QP PA AB +=+==>=， 所以，点Q 的轨迹为以A B ､为焦点的椭圆.设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则24,22a c ==，解得2,1a c ==， 所以，2223b a c =−=.所以，曲线C 的方程为22143x y +=.（2）四边形ABCD 的面积为定值，理由如下：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB x ⊥轴，此时四边形ABCD 为矩形，且AC BD k k =−.因为121234AC BD y y k k x x ⋅==−，不妨设AC k =，则BD k =.取,A A ， 则四边形ABCD的面积1442AAB S S ==×= . 当直线AB 的斜率存在时，设:AB y kx m =+，且()()1122,,,A x y B x y .联立直线AB 与椭圆C 的方程，消去y 并整理，得()2224384120k x kmx m +++−=. 由()()222Δ(8)4434120km k m =−+−>，得22430k m −+>. 所以21212228412,4343km m x x x x k k −+=−=−++. 所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.所以22222122224128312434343m km m k y y k km m k k k −− =×+×−+= +++. 因为121234AC BDy y k k x x ⋅==−，所以22231234124m k m −=−−，即22432k m +=.因为2AB x =−=，所以AB ==. 因为原点O 到直线AB的距离d =ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD的面积1442OABS S ==×=.所以，四边形ABCD 的面积为定值19.（17分）解：（1）由题意，()0111a a xR x b x+=+.因为()()00f R =，所以00a =，所以()111a xR x b x=+.因为()()()1211,11a f x R x xb x ′+′==+，且()()00f R ′=′，所以11a =.因为()()()32112,(1)1b f x R x x b x ′′−′=−=+′+，且()()00f R =′′′′，所以112b =. 所以()22x R x x=+. （2）因为()()()()2222ln 122ln 12xF x x x x x x x=+×−+=−++，所以()()32322ln 1F x x x x x −=−−+ . 记()()23ln 1G x x x x =−−+，则()32213(1)2311x x G x x x x x −−−=−−=++′， 因为0x ≥，所以()0G x ′<，所以()G x 在[)0,∞+单调递减.所以()()00G x G ≤=，所以()320F x x −≤. （3）由（2）得，当0x ≥时，()32ln 1x x x ++≥. 所以，当*n ∈N 时，32111ln 1n nn ++≥ . 又因为()2111111n n n n n >=−++，所以31111ln 11n n n n ++≥− + . 所以，当2n ≥时，31111ln 12223 ++≥− ， 31111ln 13334++≥− ，……， 31111ln 11n nn n ++≥− + ， 以上各式两边相加，得。
湖北省武汉市武昌区2020-2021学年高二下学期期末数学(理)试题
，
．
故选：B.
【点睛】
本题考查交集的求法，不等式解法等基础知识，考查运算求解能力，属于容易题．
2．C
【分析】
直接由复数商的模等于模的商求解．
【详解】
，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查复数模的求法，复数模的性质，属于容易题．
3．B
【分析】
作出图象，得到点P的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为 正方形，到坐标原点O的距离 的点P围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，由此利用几何概型能求出到坐标原点O的距离 的点P的概率．
8．B
【分析】
因为 ，所以 ;
因为 ，所以 ，即 即 ;
当 时， 与 大小不定，所以选C.
7．C
【分析】
条件M： 条件N：对一切 ，不等式 成立，化为： 进而判断出结论．
【详解】
条件M： ．
条件N：对一切 ，不等式 成立，化为： ．
因为 ，
，
，
即 ，
可知：由M推出N，反之也成立．
故选：C．
【点睛】
本题考查了向量数量积运算性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
A． B． C． D．
4．若 满足约束条件 则 的最大值为（）
A．5B． C．4D．3
5．执行如图所示的程序框图，如果输入 ，则输出的结果是（）
A． B． C． D．
6．设函数 满足下列条件：（1） 是定义在 上的奇函数；（2）对任意的 ，其中，常数 ，当 时，有 .则下列不等式不一定成立的是（ ）.
湖北省武汉市武昌区2020-2021学年高二下学期期末数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
2020-2021学年湖北省武汉市武昌区高二下学期期末考试质量检测数学试卷及解析
2020-2021学年湖北省武汉市武昌区高二下学期期末考试质量检测数学试卷★祝考试顺利★（含答案）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|＞0}，则A∩B＝（）A．（1，2）B．[1，2）C．（﹣∞，0]∪[1，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，2）【分析】求出集合B，利用交集定义能求出结果．解：集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|＞0}＝{x|x＜0或x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x＜2}＝（1，2）．故选：A．2．复数的共轭复数是（）A．﹣2﹣i B．2﹣i C．2+i D．﹣2+i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．解：∵＝，∴复数的共轭复数是2﹣i．故选：B．3．若tanα＝2，则sin（2α﹣）的值为（）A．B．﹣C．D．【分析】由同角三角函数的关系式可推出cos2α＝，再结合诱导公式与二倍角公式，得解．解：∵tanα＝2，∴sinα＝2cosα，又sin2α+cos2α＝1，∴cos2α＝，∴sin（2α﹣）＝﹣cos2α＝1﹣2cos2α＝1﹣2×＝．故选：D．4．设a＝20.2，b＝，c＝log0.20.3，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】可以根据指数函数和对数函数的单调性得出，然后即可得出a，b，c的大小关系．解：∵，log0.20.3＜log0.20.2＝1，∴c＜a＜b．故选：D．5．如图是函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，给出下列四种说法：①函数f（x）的周期为π；②函数f（x）图象的一条对称轴方程为；③函数f（x）的递减区间为；④当时，函数f（x）的值域为．其中，正确的说法是（）A．①②B．①③C．②③D．③④【分析】直接利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用函数的图象判断①②③④的结论．解：根据函数的图象：A＝1，，故T＝π，所以ω＝2，当x＝时，f（）＝sin（φ）＝0，故φ＝kπ（k∈Z），故φ＝kπ﹣（k∈Z），当k＝0时，φ＝﹣，k＝1时，φ＝，根据函数的图象，φ＝﹣，故f（x）＝sin（2x﹣），对于①，函数f（x）的周期为π，故①正确；对于②，当x＝时，f（）＝，故②错误；对于③，令（k∈Z），整理得：，故函数f（x）的递减区间为，故③正确；④当时，故，函数f（x）的值域为，故④错误．故选：B．6．已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线ax+by﹣2ab＝0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay﹣2ab＝0相切，可得原点到直线的距离＝a，化简即可得出．解：以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点（0，0），半径为r＝a，圆的方程为x2+y2＝a2，直线bx﹣ay﹣2ab＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得a2＝3b2，即a2＝3（a2﹣c2），即2a2＝3c2，从而，则椭圆的离心率，故选：A．7．三棱锥P﹣ABC的顶点均在一个半径为4的球面上，△ABC为等边三角形且其边长为6，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出图形，求出等边△ABC外接圆的半径，计算△ABC外接圆的圆心与球心的距离，判断点P的位置，再计算三棱锥P﹣ABC体积的最大值．解：三棱锥P﹣ABC是半径为4的球面上四点，△ABC为等边三角形，所以×AB2•sin60°＝×6×6×＝9，球心为O，三角形ABC的外心为O′，显然P是O′O的延长线与球的交点，如图所示：计算O′C＝××6＝2，OO′＝＝2，所以三棱锥P﹣ABC高的最大值为2+4＝6，所以三棱锥P﹣ABC体积的最大值为×9×6＝18．故选：B．8．已知a﹣4＝ln≠0，b﹣5＝ln≠0，c﹣6＝ln≠0，则（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b【分析】通过构造函数f（x）＝x﹣lnx，求导可推得，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，结合已知条件和构造函数的单调性，即可求解．解：设f（x）＝x﹣lnx，求导可得f'（x）＝，∴f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∵a﹣4＝ln≠0，∴a﹣lna＝4﹣ln4，∴f（a）＝f（4），同理可得f（b）＝f（5），f（c）＝f（6），∵当x→0+时，f（x）→+∞，且f（x）在（0，1）单调递减，∴0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1，又∵f（4）＜f（5）＜f（6），∴f（a）＜f（b）＜f（c），又∵f（x）在（0，1）单调递减，∴c＜b＜a．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故A错误；年接待游客量逐年增加，故B正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；故选：A．10．对于非零向量，下列命题中错误的是（）A．若，则B．若，则C．D．【分析】根据平面向量数量积的性质和运算判断即可．解：A选项，＝＝0，由是非零向量，所以，，故cosθ＝0，所以，即，故A错误；B选项，＝，，∴＝，不能得到，故B错误；C选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，故C错误；D选项，由平面向量数量积运算律可知，D正确；故选：ABC．11．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面的一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，以下命题正确的是（）A．有水的部分始终呈棱柱形B．水面EFGH所在四边形的面积为定值C．棱A1D1始终与水面所在平面平行D．当容器倾斜如图（3）所示时，BE•BF是定值【分析】根据棱柱的特征，结合图形对四个选项逐一进行分析判断即可．解：由棱柱的特征：有两个平面时相互平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形，故选项A正确；因为睡眠EFGH所在四边形的面积，从图2，图3可以发现，有条边长不变，而另外一条长随着倾斜度变化而变化，所以EFGH所在四边形的面积是变化的，故选项B错误；因为棱A1D1始终与BC是平行的，BC与平面始终平行，故选项C正确；因为水的体积是不变的，高始终是BC也不变，则底面也不变，即BE•BF是定值，故选项D正确．故选：ACD．12．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，过双曲线C上的一点M作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若|F1F2|2＝16|MA|•|MB|，则（）A．双曲线C的离心率为B．四边形AMBO的面积为（O为坐标原点）C．双曲线C的渐近线方程为D．直线MA与直线MB的斜率之积为定值【分析】先根据|F1F2|2＝16|MA|•|MB|可得到，进而可判断A，B，C，D四个选项．解：双曲线C的两条渐近线分别为bx+ay＝0和bx﹣ay＝0，设M（x0，y0），则所以，又M点在双曲线上，则，所以，因为，所以，即c4＝4a2b2⇔c4＝4a2（c2﹣a2）⇔e4＝4（e2﹣1）⇔（e2﹣2）＝0，又e＞1，所以，故A正确；因为，所以，所以OA⊥OB，所以四边形OABM是矩形，故四边形OABM的面积为，故B正确；因为a＝b，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，故C错误；k⋅k MB＝k OB⋅k OA＝（﹣1）⋅1＝﹣1，故D正确．MA故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式中x2的系数为60 ．（用数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式，求出x的指数，通过指数为2，求出所求数值．解：的通项公式为：＝．令，得r＝2．可得x2项的系数为C62（﹣2）2＝60，故答案为：60．14．甲、乙、丙等5位同学随机站成一排合影留念，甲、乙两人相邻且甲站在丙的左侧，则不同的站法共有24 种．（用数字作答）【分析】根据题意，分2步进行分析：①将除甲乙丙之外的2人全排列，②将甲乙看成一个整体，和丙一起安排在空位中，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①将除甲乙丙之外的2人全排列，有A22＝2种情况，②将甲乙看成一个整体，和丙一起安排在空位中，有2（C32+A31）＝12种情况，则有2×12＝24种不同的站法；故答案为：24，15．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，给出下列命题：①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥γ，b∥γ，则a∥b；③若α∥c，β∥c，则α∥β；④若α∥γ，β∥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是①④．【分析】由平行公理判断①；由平行于同一平面的两直线的位置关系判断②；由平行于同一直线的两平面的位置关系判断③；由平面平行的传递性判断④．解：①若a∥c，b∥c，由平行公理可得a∥b，故①正确；②若a∥γ，b∥γ，则a∥b或a与b相交或a与b异面，故②错误；③若α∥c，β∥c，则α∥β或α与β相交，故③错误；④若α∥γ，β∥γ，由平面与平面平行的传递性可得α∥β，故④正确．故答案为：①④．16．设函数f（x）＝x3﹣4x2+ax+b，x∈R，其中a，b∈R．若f（x）存在极值点x0，且f（x1）＝f（x0），其中x1≠x0，则x1+2x0＝ 4 ．【分析】利用f′（x0）＝0，f（x1）＝f（x0），联立化简即可得结果．解：f（x）＝x3﹣4x2+ax+b，f′（x）＝3x2﹣8x+a，因为x0是极值点，所以f′（x0）＝0，即，又即，因为f（x1）＝f（x0），所以，即，因为x1≠x0，所以，把代入化简得（x1﹣x0）（x1+2x0﹣4＝0），因为x1≠x0，所以x1+2x0﹣4＝0，即x1+2x0＝4．故答案为：4．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，A，B两点都在河的对岸（不可到达），为了测量A，B两点间的距离，在A，B两点的对岸选定两点C，D，测得CD＝20m，并且在点C，D两点分别测得∠BCA＝45°，∠ACD ＝60°，∠BDC＝30°，∠BDA＝60°，试求A，B两点间的距离（精确到0.1m）．附：，，．【分析】由已知可得△ADC是直角三角形，从而可求得AC，在△BCD中，利用正弦定理可求得BC，在△ABC中，由余弦定理可求得AB．解：在△ADC中，CD＝30，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°+30°＝90°，所以，△ADC是直角三角形，求得．在△BCD中，∠BDC＝30°，∠BCD＝45°+60°＝105°，所以∠CBD＝45°．由正弦定理，得，所以．在△ABC中，∠ACB＝45°，由余弦定理，得，所以，A，B两点间的距离为31.6m．18．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，（Ⅰ）记甲击中目标的次数为X，求X的概率分布及数学期望；（Ⅱ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．【分析】（Ⅰ）根据题意看出变量的可能取值，根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，写出变量对应的概率，写出分布列，做出期望值．（Ⅱ）甲恰比乙多击中目标2次，包括甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次，这两种情况是互斥的，根据公式公式得到结果．解：（Ⅰ）由题意知X的可能取值是0，1，2，3P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，X的概率分布如下表：X0 1 2 3PEX＝，（或EX＝3•＝1.5）；（Ⅱ）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B2，则A＝B1+B2，B1，B2为互斥事件．∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为19．已知数列{a n}是递增的等比数列，前3项和为7，且a1+2，2a2，a3+1成等差数列．数列{b n}的首项为1，其前n项和为S n，且2S n＝（n+1）b n．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；＝a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．（2）设cn【分析】（1）先利用利用等比数列的通项公式求出公比q，从而求出数列{a n}的通项公式，利用前n项和与第n项之间的关系，求出数列{b n}的递推公式，然后利用叠乘法求解数列{b n}的通项公式即可；（2）利用（1）中的结论，得到数列{c}的通项公式，然后由错位相减法求和即可．n解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，因为前3项和为7，且a1+2，2a2，a3+1成等差数列，所以，（其中舍去），所以数列{a n}的通项公式为；因为2S n＝（n+1）b n，所以2S n﹣1＝nb n﹣1（n≥2），两式相减，得2b n＝（n+1）b n﹣nb n﹣1，化简得，于是，所以b n＝n；（2）由（1）知，，则，所以，故，所以．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∠ABC＝60°，侧面PAD是等边三角形，AD＝2AB，点P在平面ABCD上的射影恰是线段BC的中点E．求：（1）二面角P﹣AD﹣E的大小；（2）异面直线PA与CD所成角的余弦值．【分析】（1）可设AB＝a，则AD＝2a，然后取AD的中点F，连接EF，PF，然后可说明∠PFE是二面角P﹣AD﹣E的平面角，根据条件可得出△PEF是Rt△PEF，且得出，从而得出∠PFE＝60°；（2）可过A作AG∥CD，从而得出∠PAG为异面直线PA与CD所成的角，可求出，从而可求出，并得出AG＝a，PA＝2a，然后根据余弦定理即可求出cos∠PAG的值．解：设AB＝a，则AD＝2a，（1）如图，取AD的中点F，连接EF，PF，因为ABCD是等腰梯形，且E为BC的中点，所以EF⊥AD于F．因为PAD是等边三角形，F为AD的中点，所以PF⊥AD于F．所以∠PFE是二面角P﹣AD﹣E的平面角．∵点P在平面ABCD上的射影为E，∴PE⊥EF，∠PEF＝90°．于是Rt△PEF中，，所以∠PFE＝60°．即二面角P﹣AD﹣M的大小是60°．（2）过A作CD的平行线交BC于G，则∠PAG等于异面直线PA与CD所成的角．由GADC是平行四边形，得．在Rt△PEF中，．在Rt△PEG中，．在△PAG中，由余弦定理得，∴异面直线PA与CD所成角的余弦值为．21．抛物线C的方程为y＝﹣x2，过抛物线C上一点P（x0，y0）（x0≠0）作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（P，A，B三点互不相同），且满足k1+k2＝0．（1）若线段AB的中点为M，证明线段PM的中点在y轴上；（2）若点P的坐标为（1，﹣1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围．【分析】（1）设直线PA，PB的方程，联立直线PA与抛物线方程，求出k1＝﹣x1﹣x0，同理可得k2＝﹣x2﹣x0，利用中点坐标公式，得到x M+x P＝0，即可证明；（2）利用（1）中的结论，得到y1和y2，求出A、B的坐标，利用，求出k1的范围，再求出y1的范围．解：（1）证明：设直线PA的方程为y﹣y0＝k1（x﹣x0），直线PB的方程为y﹣y0＝k2（x ﹣x0），点P（x0，y0）和点A（x1，y1）的坐标是方程组的解，消去y，整理得x2+k1x﹣k1x0+y0＝0，于是x1+x0＝﹣k1，即k1＝﹣x1﹣x0，同理可得，k2＝﹣x2﹣x0，因为k1+k2＝0，所以2x0+x1+x2＝0，因为线段AB的中点为M，所以，因为x M+x P＝0，所以线段PM的中点在y轴上；（2）由（1）知，当点P的坐标为（1，﹣1）时，x1＝﹣k1﹣1，代入y＝﹣x2，求得，同理可得，，因此直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为，，于是，，所以，因为∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，所以，即k1（k1+2）（2k1+1）＜0，解得k1＜﹣2或，又，所以当k1＜﹣2时，y1＜﹣1；当时，，综上所述，∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围为．22．已知函数f（x）＝x﹣e x+a．（1）讨论函数f（x）零点的个数；（2）若函数f（x）恰有两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：2x1+x2＜0．【分析】（1）求导得f'（x）＝1﹣e x，分析导数的正负，f（x）的单调区间，进而可得f （x）有最大值f（0）＝a﹣1，分三种情况：当a＜1时，当a＝1时，当a＞1时，f（x）的零点个数．（2）由（1）知，函数f（x）恰有两个零点时，a＞1，且﹣a＜x1＜0＜x2＜a，要证2x1+x2＜0，只需证x2＜﹣2x1，结合f（x）单调性，推出只需证f（x2）＞f（﹣2x1），只需证f （x1）＞f（﹣2x1），其中﹣a＜x1＜0．令g（x）＝f（x）﹣f（﹣2x），﹣a＜x＜0，求导分析单调性，推出g（x）＞g（0）＝0，即可得出答案．解：（1）f'（x）＝1﹣e x．当x＜0时，f'（x）＞0；当x＞0时，f'（x）＜0．所以，函数f（x）在（﹣∞，0）单调递增；在（0，+∞）单调递减．所以，当x＝0时，f（x）有最大值f（0）＝a﹣1．当a＜1时，f（0）＝a﹣1＜0，函数f（x）无零点；当a＝1时，f（0）＝a﹣1＝0，函数f（x）有1个零点：当a＞1时，f（0）＝a﹣1＞0，f（﹣a）＝﹣e﹣a＜0，f（a）＝2a﹣e a，f'（a）＝2﹣e a．当a＜ln2时，f'（a）＞0；当a＞ln2时，f'（a）＜0．所以，f（a）在（﹣∞，ln2）单调递增，在（ln2，+∞）单调递减．所以，即f（a）＜0．所以f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）各有一个零点，即f（x）有两个零点．综上，当a＜1时，函数f（x）无零点；当a＝1时，函数f（x）有1个零点；当a＞1时，f（x）有两个零点．（2）证明：由（1）知，函数f（x）恰有两个零点时，a＞1，且﹣a＜x1＜0＜x2＜a．要证2x1+x2＜0，只需证x2＜﹣2x1．因为f（x）在（0，+∞）单调递减，所以只需证f（x2）＞f（﹣2x1）．因为f（x1）＝f（x2）＝0，所以只需证f（x1）＞f（﹣2x1），其中﹣a＜x1＜0．令g（x）＝f（x）﹣f（﹣2x），﹣a＜x＜0，则g（x）＝（x﹣e x+a）﹣（﹣2x﹣e﹣2x+a）＝3x﹣e x+e﹣2x，所以g'（x）＝3﹣e x﹣2e﹣2x，因为g''（x）＝4e﹣2x﹣e x＞g''（0）＞0，所以g'（x）在（﹣∞，0）单调递增，从而g'（x）＜g'（0）＝0，所以g（x）在（﹣∞，0）单调递减，所以g（x）＞g（0）＝0，即f（x）＞f（﹣2x），于是f（x2）＞f（﹣2x1），所以2x1+x2＜0．。
湖北省武汉市武昌区2020学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)
湖北省武汉市武昌区2020学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已如集合{}20A x x =->，{}3B x =≤，则A B =I （ ）A. (]2,3B. [)2,3C. ()2,3D. []2,3【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】由题意，集合{}{}{}20,333A x x B x B x =->=≤==-≤≤，∴集合(2,3]A B =I ．故选：A ．【点睛】本题主要考查了描述法、区间表示集合的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 2.13i1i+=+ （ ） A. 2i - B. 2i -+C. 2i +D. 2i --【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，即可得到答案． 【详解】由()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2+-++===+++-，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.设x ，y 满足约束条件4100,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则z 2x 3y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 5D. 6-【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可． 【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 由z 2x 3y =-得到233z yx =-， 平移直线233zy x =-，当过A 时直线截距最小，z 最大， 由04100y x y =⎧⎨--=⎩ 得到5(,0)2A ，所以z 2x 3y =-的最大值为max 523052z =⨯-⨯=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．4.某公司在20142018-年的收入与支出情况如下表所示：收入x （亿元） 2.22.6 4.0 5.3 5.9支出y y （亿元） 0.21.52.02.53.8根据表中数据可得回归直线方程为$$0.8y x a=+，依此名计，如果2019年该公司的收入为7亿元时，它的支出为（ ） A. 4.5亿元 B. 4.4亿元C. 4.3亿元D. 4.2亿元【答案】B 【解析】2.2 2.6 4.0 5.3 5.945x ++++== ，0.2 1.5 2.0 2.5 3.825y ++++== ，代入回归直线方程，ˆ20.84a =⨯+ ，解得：ˆ 1.2a =- ，所以回归直线方程为：0.8.2ˆ1y x =- ，当7x = 时，支出为4.4 亿元，故选B.5.在长方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点，设,,AB a AD b ==u u u r r u u u r r 则BF =u u u r（ ）A. 3142a b -+r rB. 3142a b -r rC. 1324a b -r rD.1324a b +r r 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量线性运算及平面向量基本定理，即可化简，得到答案． 【详解】如图所示，由平面向量线性运算及平面向量基本定理可得：1113122442BF AF AB AE AB AD DE AB a b =-=-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r．【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则和平面向量的基本定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.若函数()21()2x x f x a a+=∈-R 是奇函数，则使得()4f x >成立的x 的取值范围是（ ）A. 25,log 3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 25log ,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 250,log 3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 25log ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】()f x 的定义域为{}|20x x a -≠，它应该关于原点对称，所以1a =，又1a =时，()2121x x f x +=-，()()21212121x x x x f x f x --++-==-=---，()f x 为奇函数.又原不等式可以化为()521203xx⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以5123x<<，所以250log 3x <<，选C. 点睛：如果一个函数为奇函数或偶函数，那么它的定义域必须关于原点对称，我们可以利用这个性质去求奇函数或偶函数中的参数的值.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（ ）A.13B.23C.43D. 2【答案】B 【解析】【分析】由三视图得到该几何体为三棱锥，底面ABC ∆是等腰直角三角形，且2AB BC ==，三棱锥的高为1．再由棱锥体积公式求解．【详解】由三视图还原原几何体，如图所示，该几何体为三棱锥，底面ABC ∆是等腰直角三角形，且2AB BC ==，三棱锥的高为1． ∴该三棱锥的体积112221323V =⨯⨯⨯⨯=． 故选：B ．【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解．8.命题：[]:1,1p x ∀∈-，220x ax --<成立的一个充分但不必要条件为（ ） A. 112a -<< B. 11a -<< C. 1a 2-<< D. 11a -≤≤【答案】A 【解析】 【分析】命题p 的充分不必要条件是命题p 所成立的集合的真子集，利用二次函数的性质先求出p 成立所对应的集合，即可求解．【详解】由题意，令()22f x x ax =--是一个开口向上的二次函数，所以()0f x <对x [1,1]x ∈-恒成立，只需要(1)120(1)120f a f a -=+-<⎧⎨=--<⎩，解得(1,1)a ∈-，其中只有选项A 是(1,1)-的真子集． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的应用，以及二次函数的性质的应用，其中解答中根据二次函数的性质，求得实数a 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.已知圆22(2):1E x y -+=与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线相切，则C 的离心率为（ ）D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，根据圆心到切线的距离等于半径，求出,a b 的关系，进而得到双曲线的离心率，得到答案．【详解】由题意，根据双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=．根据圆22(2):1E x y -+=的圆心(2,0)到切线的距离等于半径1，1=a =，即223b a =，又由222c a b =+，则2234c a =，可得3c e a ==． 故选：B ．【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．10.已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2，体积为3，则球O 的表面积为（ ） A.53π B. 5π C.253πD. 25π【答案】C 【解析】 【分析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积． 【详解】由题意可知，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为223333r =⨯=， 设正三棱柱的高为h ，由12332h ⨯⨯=，得3h =， ∴外接球的半径为2223325()()3212R =+=，∴外接球的表面积为：2252544123S R πππ==⨯=． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．11.已知函数()3cos (0)f x wx wx w =+>在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围是（ ） A. 8,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 8,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 20,73⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】由题意，函数()cos 2sin()6f x x x x πωωω=+=+，令6x t πω+=，所以()2sin f x t =，在区间上,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦恰有一个最大值点和最小值点， 则函数()2sin f x t =恰有一个最大值点和一个最小值点在区间,[436]6πωππωπ+-+，则3246232362ππωππππωππ⎧-<-+≤-⎪⎪⎨⎪≤+<⎪⎩，解答8203314ωω⎧≤<⎪⎨⎪≤<⎩，即834ω≤<，故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．12.已知函数1()e ln(1)1x x f x ae x -=-+-存在零点0x ，且01x >，则实数a 的取值范围是（ ）A. (),1eln2-∞+B. ()-eln 2,+∞C. (),eln2-∞-D. ()1eln2,++∞【答案】D 【解析】 【分析】令()0f x =，可得1ln(1)xa e e x -=++，设()1ln(1),1xg x ee x x -=++>，求得导数，构造1x y e x =--，求得导数，判断单调性，即可得到()g x 的单调性，可得()g x 的范围，即可得到所求a 的范围．【详解】由题意，函数1()e ln(1)1x x f x aex -=-+-，令()0f x =，可得1ln(1)xa e e x -=++，设()1ln(1),1xg x ee x x -=++>，则()111(1)x xx e e x g x ee x e x ---'=-+=⋅++， 由1xy e x =--的导数为1x y e =-，当1x >时，110x e e ->->，则函数1xy e x =--递增，且10x y e x =-->，则()g x (1,)+∞递增，可得()()11ln 2g x g e >=+，则1ln 2a e >+， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了函数的零点问题解法，注意运用转化思想和参数分离，考查构造函数法，以及运用函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．二、填空题。
武汉市2023-2024学年下学期期末联考高二数学试卷与答案
武汉市2023-2024学年下学期期末联考高二数学试卷一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.从含有3件正品，2件次品的产品中随机抽取2件产品，则抽取出的2件产品中恰有1件次品的概率为（）A.35B.310C.15D.1102.已知随机变量X 服从正态分布()()20,,30.1N P X σ= ，则()33P X -= （）A.0.1B.0.2C.0.4D.0.83.若函数()()32132f x x a x ax =+++在1x =-处取得极值，则实数a 的取值范围是（）A.()3,∞+ B.(),3∞- C.()(),33,∞∞-⋃+ D.[]0,34.函数()1ln f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致为（）A.B.C.D.5.若函数()1,01ln 2,0x x xf x x x x⎧--<⎪⎪=⎨+⎪+>⎪⎩的图象与y a =的图象恰好有四个交点，则实数a 的取值范围是（）A.()1,∞+ B.(){}0,22⋃- C.()2,3 D.[)2,36.设某人在n 次射击中击中目标的次数为X ，且(),0.7X B n ~，记(),0,1,2,,k P P X k k n === ，若7P 是唯一的最大值，则()E X 的值为（）A.7B.7.7C.8.4D.9.17.已知32e e ,ln2,217ln72a b c ===-，则（）A.a c b>> B.a b c>> C.b c a>> D.c a b>>8.设函数()()()()e 1,1ln xf x xg x x x =+=+，若存在实数12,x x ，使得()()12f x g x =，则12x x -的最小值为（）A.eB.2C.1D.1e二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.下列说法中，正确的命题是（）A.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1B.()()()()2323,232E X E X D X D X+=++=C.用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好D.随机变量X 服从两点分布，且()10.3P X ==，设21Y X =-，则()10.7P Y =-=10.甲乙两人参加三局两胜制比赛（谁先赢满两局则获得最终胜利且比赛结束）.已知在每局比赛中，甲赢的概率为0.6，乙贏的概率为0.4，且每局比赛的输赢相互独立.若用M 表示事件“甲最终获胜”，N 表示事件“有人获得了最终胜利时比赛共进行了两局”，Q 表示事件“甲赢下第三局”.则下列说法正确的是（）A.()913P MN =∣ B.()1P N Q =∣ C.N 与Q 互斥 D.N 与Q 独立11.若直线y ax =与曲线()e xf x =，相交于不同两点()()1122,,,A x y B x y ，曲线()e xf x =在A ，B 点处切线交于点()00,M x y ，则（）A.ea > B.1201x x x +-= C.2AM BM ABk k k +< D.不存在a ，使得135AMB ∠=三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知离散型随机变量ξ的分布列为ξ0123Pm4929n若()1E ξ=，则()D ξ=__________.13.已知函数()ln f x ax b x =+-，若()0f x恒成立，则22a b +的最小值为__________.14.从1,2,3,,10 这10个数中随机抽一个数记为X ，再从1,2,,X 中随机抽一个数记为Y ，则()E Y =__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.（本题满分13分）已知命题:p x ∀∈R ，不等式22470x x m ++->恒成立；命题:q x ∃∈R ，使2220x mx m -++<成立.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题,p q 中恰有一个为真命题，求实数m 的取值范围.随着社会经济的发展，越来越多的人在抵达目的地后选择租车游玩，拉动了许多租车公司的业务，某租车公司为继续开拓市场，提升服务质量，迎接暑假旅游旺季的到来，对近5年的暑假的租车业务量y （单位：十万元）进行了汇总研究，情况如下：年份2019年2020年2021年2022年2023年业务量2024364352经过数据分析，已知年份与业务量具有线性相关关系.（1）假设2019年为第1年，求第x 年的业务量y 关于x 的经验回归方程，并预测2024年暑假的业务量；（2）该公司从2023年暑假租车的客户中随机抽取了100名客户进行调研，现将100名客户的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将22⨯列联表补充完整并根据小概率值0.01α=的独立性检验，分析青年群体和中老年群体对租车服务的评价是否有差异.好评差评合计青年20中老年15合计45100附：经验回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，其中()()()1122211ˆˆˆ,n niii ii i nni i i i x x y y x y nxybay bx x x x nx ====---===---∑∑∑∑独立性检验中的()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：()20P x χ 0.0500.0100.001x 3.841 6.63510.82817.（本题满分15分）在数列{}n a 中，15a =，且()*121n n a a n +=-∈N .（1）求{}n a 的通项公式；（2）令(1)nn n b a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .已知函数()e e sin xxf x x =-.（1）求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；（2）若不等式()a f x b对任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数a b -的最大值；（3）证明：()214e sin (e)2xf x x x >---.（参考数据：0.7e 2.014,e 2.718≈≈）19.（本题满分17分）Catalan 数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圜密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（Catalan ，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第n 个Catalan 数，其通项公式为()()22!11C 1!2!1n n n n C n n n n n =⋅=+-+.在组合数学中，有如下结论：由n 个+1和n 个-1构成的所有数列12,a a ，32,,n a a 中，满“对任意1,2,,2k n = ，都有120k a a a +++ ”的数列的个数等于n C .已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为12.（1）设粒子第3秒末所处的位置为随机变量X （若粒子第一秒末向左移一个单位，则位置为-1；若粒子第一秒末向右移一个单位，则位置为1），求X 的分布列和数学期望()E X ；（2）记第n 秒末粒子回到原点的概率为n p .（i ）求4p 及2n p ；（ii ）设粒子在第n 秒末第一次回到原点的概率为n Q ，求2n Q .武汉市2023-2024学年下学期期末联考高二数学试卷答案题号1234567891011答案AD C DCAACACDABCABD12.2313.-114.13415.（1）若命题p 为真命题，则()1Δ16878400m m =--=-<，(),5m ∞∴∈-.（2）当q 为真命题时：()222Δ4424480m m m m =-+=-->，()(),12,m ∞∞∴∈--⋃+.当命题,p q 中恰有一个为真命题时，1P为真命题，q 为假命题，即512m m <⎧⎨-⎩[]1,2m ∴∈-.2p为假命题，q 为真命题，即521m m m ⎧⎨><-⎩或[)5,m ∞∴∈+.综上：][)1,25,m ∞⎡∈-⋃+⎣.16.（1）3,35x y ==，515215608525ˆ8.3, 55455iii ii x yx yyxx ==-⋅-∴===--∑∑，ˆ358.3310.1, a=-⨯=.8.310.1ˆyx ∴=+.6x ∴=时，ˆ59.9y=，∴预测2024年暑假的业务量约为59.9十万元.（2）列联表如下：好评差评合计青年203050中老年351550合计554510022100(20153035)1009.091 6.6355545505011χ⨯⨯-⨯∴==≈>⨯⨯⨯，∴根据小概率值0.01α=的独立性检验，青年群体和中老年群体对租车服务的评价有差异.17.（1）()112221n n n a a a +-=-=-，{}1n a ∴-是公比为2的等比数列.15a = ，114a ∴-=，111422n n n a -+∴-=⋅=，1*21,n n a n +∴=+∈N .（2）()11*(1)21(1)2(1),nn n n n n b n ++=-⋅+=-⋅+-∈N ，法1：奇偶讨论1n 为偶数()()()12341n n n S b b b b b b -∴=++++++ 24222n=+++ 241414n⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=-44233n =⋅-.2n 为奇数1n n nS S b -∴=+114422133n n -+=⋅---47233n =-⋅-综上：442,33472,33n n n n S n ⎧⋅-⎪⎪=⎨⎪-⋅-⎪⎩为偶数为奇数.法2：等比数列*2(2)(1),n n n b n =⋅-+-∈N ()()()()21(2)11(1)21211n nn S ⎡⎤⎡⎤-⋅---⋅--⎣⎦⎣⎦∴=⋅+----114211(2)(1)3322n n ++=--⋅---⋅-111121(2)(1)632n n ++=--⋅--⋅-11*1121(2)(1),632n n n S n ++∴=--⋅--⋅-∈N 18.（1）()e e sin e cos xxxf x x x =-⋅-⋅'，()()01,00f f ='∴=，()y f x ∴=在0x =处的切线为1y =.（2）()πe 14x f x x ⎡⎤⎛⎫=⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()0,f x f x ∴' 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，π0,2x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦时()[]0,1f x ∈，a b ∴-的最大值为-1.（3）设()()214e sin (e)2xg x f x x x =-++-，()e ex g x x ='∴+-()e e x g x x ='+- 在R 上单调递增，()()0.70.7e 0.7e 2.0140.7e 0,110g g ''=+-≈+-<=>，()00.7,1x ∴∃∈，使()000e e 0x g x x =+-='，()g x ∴在()0,x ∞-上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，()()0g x g x ∴ ()0201e e 42x x =+--()021e e 42x x =+-00.7e e 2x >> ，()()20122402g x g x ∴>⋅+-= ，()214e sin (e)2x f x x x ∴>---.19.（1）()311328P X ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，()313131C 28P X ⎛⎫=-=⋅=⎪⎝⎭，()313131C 28P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()311328P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，X ∴的分布列如下：X -3-113P18383818()()()1331311308888E X ∴=-⨯+-⨯+⨯+⨯=.（2）（i ）2444C 328p ==，222C 2n nn np =（ii ）设事件A ：粒子在第2n 秒末第一次回到原点，事件B ：粒子第1秒末向右移动一个单位.2()()()2()n Q P A P AB P AB P AB ∴==+=，记粒子往左移动一个单位为-1，粒子往右移动一个单位为+1，以下仅考虑事件AB .设第n 秒末粒子的运动方式为n a ，其中1n a =±；沿用（1）中对粒子位置的假设X ，则粒子运动方式可用数列{}n a 表示，如：1,1,1,1--表示粒子在前4秒按照右､右､左､左的方式运动.由粒子在第2n 秒末第一次回到原点，可知数列{}n a 的前2n 项中有n 个1和n 个-1.11a = ，21n a ∴=-，∴粒子在余下22n -秒中运动的位置满足1X ，即()230,2,3,,22k a a a k n +++=-，∴粒子在余下22n -秒中运动方式的总数为1n C -，()122n nC P AB -∴=，()22n Q P AB ∴=12222C 2n n n n --=⋅12221C 2n n n n ---=⋅。
高二数学下学期期末考试试题理含解析试题_2 5
武昌区2021-2021学年高二数学下学期期末考试试题 理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.{}20A x x =->，{}3B x =≤，那么A B =〔 〕A. (]2,3B. [)2,3C. ()2,3D. []2,3【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A ，B ，然后进展交集的运算即可． 【详解】由题意，集合{}{}{}20,333A x x B x B x =->=≤==-≤≤，∴集合(2,3]A B =．应选：A ．【点睛】此题主要考察了描绘法、区间表示集合的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算，着重考察了推理与运算才能，属于根底题． 2.13i1i+=+ 〔 〕 A. 2i - B. 2i -+C. 2i +D. 2i --【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，即可得到答案．【详解】由()()()()13i1i13i42i2i1i1i1i2+-++===+++-，应选C．【点睛】此题主要考察了复数代数形式的乘除运算，着重考察了运算与求解才能，属于根底题．x，y满足约束条件4100,20,0,0,x yx yx y--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩那么z2x 3y的最大值为〔〕A. 10B. 8C. 5D. 6-【答案】C【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目的函数的几何意义，求目的函数的最大值即可．【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如下图，由z2x 3y得到233zy x=-，平移直线233zy x=-，当过A时直线截距最小，z最大，由4100yx y=⎧⎨--=⎩得到5(,0)2A，所以z2x 3y的最大值为max52305 2z=⨯-⨯=，应选：C．【点睛】此题主要考察简单线性规划求解目的函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求〞，确定目的函数的最优解是解答的关键，着重考察了数形结合思想，及推理与计算才能，属于根底题．20142018-年的收入与支出情况如下表所示：收入x 〔亿元〕 2.22.6 4.0 5.3 5.9支出y y 〔亿元〕 0.21.52.02.53.8根据表中数据可得回归直线方程为0.8y x a =+，依此名计，假如2019年该公司的收入为7亿元时，它的支出为〔 〕 A. 4.5亿元 B. 4.4亿元C. 4.3亿元D. 4.2亿元 【答案】B 【解析】2.2 2.6 4.0 5.3 5.945x ++++== ，0.2 1.5 2.0 2.5 3.825y ++++== ，代入回归直线方程，ˆ20.84a =⨯+ ，解得：ˆ 1.2a =- ，所以回归直线方程为：0.8.2ˆ1y x =- ，当7x =时，支出为4.4 亿元，应选B.ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点，设,,AB a AD b ==那么BF =〔 〕A. 3142a b -+ B.3142a b - C.1324a b - D.1324a b + 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量线性运算及平面向量根本定理，即可化简，得到答案． 【详解】如下图，由平面向量线性运算及平面向量根本定理可得：1113122442BF AF AB AE AB AD DE AB a b =-=-=+-=+．【点睛】此题主要考察了平面向量的线性运算，以及平面向量的根本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法那么和平面向量的根本定理是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．()21()2x x f x a a+=∈-R 是奇函数，那么使得()4f x >成立的x 的取值范围是〔 〕A. 25,log 3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 25log ,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 250,log 3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 25log ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】()f x 的定义域为{}|20x x a -≠，它应该关于原点对称，所以1a =，又1a =时，()2121x x f x +=-，()()21212121x x x x f x f x --++-==-=---，()f x 为奇函数.又原不等式可以化为()521203xx⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以5123x<<，所以250log 3x <<，选C. 点睛：假如一个函数为奇函数或者偶函数，那么它的定义域必须关于原点对称，我们可以利用这个性质去求奇函数或者偶函数中的参数的值.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，那么该三棱锥的体积是〔 〕A.13B.23C.43D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由三视图得到该几何体为三棱锥，底面ABC ∆是等腰直角三角形，且2AB BC ==，三棱锥的高为1．再由棱锥体积公式求解． 【详解】由三视图复原原几何体，如下图，该几何体为三棱锥，底面ABC ∆是等腰直角三角形，且2AB BC ==，三棱锥的高为1．∴该三棱锥的体积112221323V =⨯⨯⨯⨯=． 应选：B ．【点睛】此题考察了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图复原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规那么，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的外表积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解．8.命题：[]:1,1p x ∀∈-，220x ax --<成立的一个充分但不必要条件为〔 〕 A. 112a -<< B. 11a -<< C. 1a 2-<< D. 11a -≤≤【答案】A 【解析】 【分析】命题p 的充分不必要条件是命题p 所成立的集合的真子集，利用二次函数的性质先求出p 成立所对应的集合，即可求解．【详解】由题意，令()22f x x ax =--是一个开口向上的二次函数，所以()0f x <对x [1,1]x ∈-恒成立，只需要(1)120(1)120f a f a -=+-<⎧⎨=--<⎩，解得(1,1)a ∈-，其中只有选项A 是(1,1)-的真子集． 应选：A ．【点睛】此题主要考察了充分不必要条件的应用，以及二次函数的性质的应用，其中解答中根据二次函数的性质，求得实数a 的取值范围是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．22(2):1E x y -+=与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线相切，那么C 的离心率为〔 〕D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，根据圆心到切线的间隔 等于半径，求出,a b 的关系，进而得到双曲线的离心率，得到答案．【详解】由题意，根据双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=．根据圆22(2):1E x y -+=的圆心(2,0)到切线的间隔 等于半径1，1=a =，即223b a =，又由222c a b =+，那么2234c a =，可得c e a ==． 应选：B ．【点睛】此题考察了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或者范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．O 的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2，体积为3，那么球O 的外表积为〔 〕A.53π B. 5π C.253πD. 25π【答案】C 【解析】 【分析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的外表积． 【详解】由题意可知，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的间隔 为223333r =⨯=， 设正三棱柱的高为h ，由12332h ⨯⨯=，得3h =， ∴外接球的半径为2223325()()3212R =+=，∴外接球的外表积为：2252544123S R πππ==⨯=． 应选：C ．【点睛】此题主要考察了正三棱柱的外接球的外表积的求法，找出球的球心是解题的关键，考察空间想象才能与计算才能，是中档题．()cos (0)f x wx wx w =+>在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有一个最大值点和一个最小值点，那么实数ω的取值范围是〔 〕 A. 8,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 8,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.20,73⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】由题意，函数()cos 2sin()6f x x x x πωωω=+=+，令6x t πω+=，所以()2sin f x t =，在区间上,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦恰有一个最大值点和最小值点， 那么函数()2sin f x t =恰有一个最大值点和一个最小值点在区间,[436]6πωππωπ+-+，那么3246232362ππωππππωππ⎧-<-+≤-⎪⎪⎨⎪≤+<⎪⎩，解答8203314ωω⎧≤<⎪⎨⎪≤<⎩，即834ω≤<，应选：B ．【点睛】此题主要考察了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算才能和转换才能，属于根底题型．1()e ln(1)1x x f x ae x -=-+-存在零点0x ，且01x >，那么实数a 的取值范围是〔 〕A. (),1eln2-∞+B. ()-eln 2,+∞C. (),eln2-∞-D. ()1eln2,++∞【答案】D 【解析】 【分析】令()0f x =，可得1ln(1)xa e e x -=++，设()1ln(1),1xg x ee x x -=++>，求得导数，构造1xy e x =--，求得导数，判断单调性，即可得到()g x 的单调性，可得()g x 的范围，即可得到所求a 的范围． 【详解】由题意，函数1()e ln(1)1x x f x aex -=-+-，令()0f x =，可得1ln(1)xa e e x -=++，设()1ln(1),1xg x ee x x -=++>，那么()111(1)x xx e e x g x ee x e x ---'=-+=⋅++， 由1xy e x =--的导数为1x y e =-，当1x >时，110x e e ->->，那么函数1xy e x =--递增，且10xy e x =-->，那么()g x 在(1,)+∞递增，可得()()11ln 2g x g e >=+，那么1ln 2a e >+， 应选：D ．【点睛】此题主要考察了函数的零点问题解法，注意运用转化思想和参数别离，考察构造函数法，以及运用函数的单调性，考察运算才能，属于中档题．二、填空题。
数学-2023年6月28日武昌区高二下期末考试数学试卷
2022-2023学年度武昌区高二年级期末质量检测数学试卷考试时间：2023年6月28日满分：150分考试用时：120分钟★祝考试顺利★注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8个小题，每小题5分共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
8.已知()0.020.01121sin0.01tan0.01a eb ec =−=−=+，，则（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. a c b >>D. b c a >>二、选择题:本题共4个小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分10.已知平面向量()()1321a b ==−，，，，则（ ） A. 10a =B. ()2a b b −⊥C. a b 与夹角为锐角D. 15a b b 在上的投影为三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分16.已知函数()()210ln x f x xe x f x mx x =−>≥+，时，，则实数m 的范围是 . 四、解答题:本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤19.已知数列{}n a 的首项11a =，且满足132n n n a a −+=⨯. (1) 求证:{}2n n a −是等比数列; (2) 求数列{}n a 的前项和n S20.中国茶文化博大精深,饮茶深受大众喜爱,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关。
某数学建模小组为了获得茶水温度y ℃关于时间x min 的回归方程模型，通过实验收集在25℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的数据，并对数据做初步处理得到下面的散点图及一些统计量的值.。
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湖北省武汉市武昌区高二数学下学期期末考试试题理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已如集合{}20A x x =->，{}3B x =≤，则AB =（ ）A. (]2,3B. [)2,3C. ()2,3D. []2,3【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】由题意，集合{}{}{}20,333A x x B x B x =->=≤==-≤≤，∴集合(2,3]A B =．故选：A ．【点睛】本题主要考查了描述法、区间表示集合的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 2.13i1i+=+ （ ） A. 2i - B. 2i -+C. 2i +D. 2i --【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，即可得到答案． 【详解】由()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2+-++===+++-，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.设x ，y 满足约束条件4100,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则z2x 3y 的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 5D. 6-【答案】C【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可．【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由z2x3y得到233zy x=-，平移直线233zy x=-，当过A时直线截距最小，z最大，由4100yx y=⎧⎨--=⎩得到5(,0)2A，所以z2x3y的最大值为max52305 2z=⨯-⨯=，故选：C．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．4.某公司在20142018-年的收入与支出情况如下表所示：收入x（亿元） 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9支出y y（亿元）0.2 1.5 2.0 2.5 3.8根据表中数据可得回归直线方程为0.8y x a =+，依此名计，如果2019年该公司的收入为7亿元时，它的支出为（ ） A. 4.5亿元 B. 4.4亿元C. 4.3亿元D. 4.2亿元【答案】B 【解析】2.2 2.6 4.0 5.3 5.945x ++++== ，0.2 1.5 2.0 2.5 3.825y ++++== ，代入回归直线方程，ˆ20.84a =⨯+ ，解得：ˆ 1.2a =- ，所以回归直线方程为：0.8.2ˆ1y x =- ，当7x = 时，支出为4.4 亿元，故选B.5.在长方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点，设,,AB a AD b ==则BF =（ ） A. 3142a b -+ B.3142a b - C.1324a b - D.1324a b + 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量线性运算及平面向量基本定理，即可化简，得到答案． 【详解】如图所示，由平面向量线性运算及平面向量基本定理可得：1113122442BF AF AB AE AB AD DE AB a b =-=-=+-=+．【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则和平面向量的基本定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.若函数()21()2x x f x a a+=∈-R 是奇函数，则使得()4f x >成立的x 的取值范围是（ ）A. 25,log 3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 25log ,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 250,log 3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 25log ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】()f x 的定义域为{}|20x x a -≠，它应该关于原点对称，所以1a =，又1a =时，()2121x x f x +=-，()()21212121x x x x f x f x --++-==-=---，()f x 为奇函数.又原不等式可以化为()521203xx⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以5123x<<，所以250log 3x <<，选C. 点睛：如果一个函数为奇函数或偶函数，那么它的定义域必须关于原点对称，我们可以利用这个性质去求奇函数或偶函数中的参数的值.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（ ）A.13B.23C.43D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由三视图得到该几何体为三棱锥，底面ABC ∆是等腰直角三角形，且2AB BC ==，三棱锥的高为1．再由棱锥体积公式求解．【详解】由三视图还原原几何体，如图所示，该几何体为三棱锥，底面ABC ∆是等腰直角三角形，且2AB BC ==，三棱锥的高为1． ∴该三棱锥的体积112221323V =⨯⨯⨯⨯=． 故选：B ．【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解．8.命题：[]:1,1p x ∀∈-，220x ax --<成立的一个充分但不必要条件为（ ） A. 112a -<< B. 11a -<< C. 1a 2-<< D. 11a -≤≤【答案】A 【解析】 【分析】命题p 的充分不必要条件是命题p 所成立的集合的真子集，利用二次函数的性质先求出p 成立所对应的集合，即可求解．【详解】由题意，令()22f x x ax =--是一个开口向上的二次函数，所以()0f x <对x [1,1]x ∈-恒成立，只需要(1)120(1)120f a f a -=+-<⎧⎨=--<⎩，解得(1,1)a ∈-，其中只有选项A 是(1,1)-的真子集． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的应用，以及二次函数的性质的应用，其中解答中根据二次函数的性质，求得实数a 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属9.已知圆22(2):1E x y -+=与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线相切，则C 的离心率为（ ）A.3B.3D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，根据圆心到切线的距离等于半径，求出,a b 的关系，进而得到双曲线的离心率，得到答案．【详解】由题意，根据双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=．根据圆22(2):1E x y -+=的圆心(2,0)到切线的距离等于半径1，1=a =，即223b a =，又由222c a b =+，则2234c a =，可得3c e a ==即双曲线的离心率为3． 故选：B ．【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．10.已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2，体积为3，则球O 的表面积为（ ） A.53π B. 5π C.253πD. 25π【答案】C【分析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积． 【详解】由题意可知，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为223333r =⨯=， 设正三棱柱的高为h ，由12332h ⨯⨯=，得3h =， ∴外接球的半径为2223325()()3212R =+=，∴外接球的表面积为：2252544123S R πππ==⨯=． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．11.已知函数()3cos (0)f x wx wx w =+>在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围是（ ） A. 8,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 8,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 20,73⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦。