纳维-斯托克斯方程
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导
针对非牛解方法 ，以揭示其复杂的流动行为和机理。
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N-S方程的改进和发展
数值方法
为了解决N-S方程的求解问题， 研究者们发展出了许多数值方法，
如有限差分法、有限元法、谱方 法等。
近似模型
针对某些特定流动，研究者们提出 了许多近似模型，如雷诺平均N-S 方程、湍流模型等，以简化求解过 程。
多物理场耦合
随着计算技术的发展，多物理场耦 合成为研究流体流动的重要方向， 如流固耦合、流热耦合等。
应力张量
01
应力张量是描述流体内部应力的二阶张量，包括正应力和剪切 应力。
02
正应力表示流体在单位面积上受到的压力，而剪切应力表示流
体在单位面积上受到的切向力。
应力张量是流体的状态函数，其值取决于流体的状态和所处的
03
边界条件。
03 纳维-斯托克斯方程的推 导
纳维方程的推导
01
02
03
从质量守恒、动量守恒 和牛顿第二定律出发， 推导出描述流体运动的
考虑流体的粘性和惯性
02
N-S方程中包含了流体的粘性和惯性力，能够描述粘性流体在运
动过程中的受力情况和运动规律。
涉及到复杂的数学处理
03
N-S方程的推导涉及到复杂的数学处理，包括微积分、线性代数
和偏微分方程等。
02 流体的基本性质
流体的定义和分类
流体是能够流动的物质，具有连续性和 不可压缩性。根据其流动特性，流体可 分为牛顿流体和非牛顿流体两大类。
04 N-S方程的应用和限制
N-S方程的应用领域
流体力学
N-S方程是描述流体运动的基本方程，广泛应用于航空、航海、 气象、环境等领域。
纳维斯托克斯方程研究现状
纳维斯托克斯方程研究现状纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）是描述流体运动的偏微分方程，在流体力学中有重要地位。
目前，纳维-斯托克斯方程的研究现状主要表现在以下几个方面：1. 数学上的挑战：尽管纳维-斯托克斯方程在理论上很重要，但在数学上却一直无法找到它的精确解。
这是因为该方程是高度非线性和非凸的，导致其解存在许多复杂的动力学行为，如湍流等现象。
这为数学家和流体力学家带来了很大的挑战。
2. 计算方法的改进：由于直接求解纳维-斯托克斯方程非常困难，研究者们一直在寻找更有效的数值计算方法。
近年来，随着计算机技术的不断发展，人们已经开发出了许多高效的数值计算方法，如有限元方法、有限体积方法和谱方法等。
这些方法在模拟流体运动方面取得了很大的进展，尤其是在处理复杂的湍流现象方面。
3. 应用领域的拓展：纳维-斯托克斯方程最初被应用于牛顿流体的运动，但随着研究的深入，其应用领域已经得到了拓展。
如今，纳维-斯托克斯方程被广泛应用于描述各种复杂流体的运动，如非牛顿流体、液晶和软物质等。
这些领域的深入研究将有助于更好地理解自然界中的流体运动现象，并为工程应用提供更准确的模型和算法。
4. 物理机制的揭示：尽管纳维-斯托克斯方程能够描述流体运动的许多现象，但对其物理机制的完全揭示仍然是一个挑战。
近年来，随着实验技术的发展和先进数值计算方法的出现，研究者们开始更深入地研究流体运动的细节和机制。
例如，对湍流现象的研究已经深入到了微观尺度，对其产生和维持机制有了更深入的理解。
总的来说，纳维-斯托克斯方程的研究现状是富有挑战性和机遇性的。
虽然该方程的数学解仍是一个未解之谜，但随着计算方法和实验技术的不断进步，我们有望更深入地了解流体运动的本质，并为其在工程和科学中的应用提供更准确的模型和算法。
volume force field 纳维-斯托克斯方程
volume force field 纳维-斯托克斯方程
体积力场纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的基本方程之一。
它是将流体运动和流体力学的基本规律表达为数学方程形式的一种方式。
该方程式可以用以下形式来表示：
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0
ρ[(∂v/∂t)+ (v·∇)v] = -∇p + f
其中，ρ表示流体的密度，v是速度矢量，p是压强，f是体积力场，如重力和电磁力等。
具体来讲，第一项表示质量守恒，即流体密度的变化率等于体积流量的发散。
第二项表示动量守恒，即流体的加速度受到内部和外部力的影响。
该方程式在流体力学研究和工程实践中得到广泛应用，如工业过程控制、地下水流动模拟、天气和气候模拟等。
N-S(纳维斯托克斯)方程推导过程
很多人一听到N-S 方程就有点头皮发麻，因为涉及到流体力学的知识比较多，如果没有一个完整有逻辑的思路，理解N-S 方程是有点困难。
其中涉及到欧拉法，场论，随体导数，流体力学连续性方程（即质量守恒方程），流体力学N-S 方程（即动量方程），动量方程在流体力学中有两种，一种是理想流体动量方程，一种是粘性流体动量方程，粘性流体的动量方程也叫纳维-斯托克斯方程，也简称N-S 方程。
我试图想把N-S 方程弄清楚点，所以写了一点东西，分享一下。
首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。
我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。
欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。
设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。
如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。
欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，其中x,y,z 是该空间的坐标，t 是此刻时间。
u,v,w 是这一空间点的三个方向速度。
p,ρ,T 是这一空间点的压力，密度和温度。
这样就有了每一个点的速度，压力，密度，温度，就可以描述运动流体的状态。
这里需要强调一点的是下面这六个式子，可以换一个角度把他们看成方程，对后面理解连续性方程和N-S 方程有帮助，比如u=x+2y+3z),,,();,,,();,,,();,,,();,,,();,,,(t z y x T T t z y x t z y x p p t z y x w w t z y x v v t z y x u u ======ρρ因为后面需要随体导数的概念，还需要把速度函数表示成矢量的形式。
前面u,v,w 是标量，是ν在(x,y,z,t)直角坐标系三个方向的速度。
),(t rνν=M 点（x,y,z,t ），速度为),(t M ν ，过了t ∆之后，在M '点，速度为),(t t M ∆+'ν。
有滑移边界条件的纳维-斯托克斯方程
有滑移边界条件的纳维-斯托克斯方程1.概述纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的基本方程之一，广泛应用于工程、物理和地球科学等领域。
在一些特定情况下，流体与固体边界之间存在滑移现象，这时需要考虑有滑移边界条件的纳维-斯托克斯方程。
本文将重点讨论有滑移边界条件的纳维-斯托克斯方程的基本理论和应用。
2.纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是描述不可压缩流体运动的方程，通常写作：$$\rho(\frac{\partial \textbf{v}}{\partialt}+(\textbf{v}\cdot\nabla)\textbf{v})=-\nablap+\mu\nabla^2\textbf{v}+\textbf{f}$$其中，$\rho$为流体密度，$\textbf{v}$为流体速度矢量，$t$为时间，$p$为压强，$\mu$为动力粘度，$\textbf{f}$为外力。
方程右侧的第一项$-\nabla p$表示压力梯度力，第二项$\mu\nabla^2\textbf{v}$表示粘性力，第三项$\textbf{f}$表示外力。
3.有滑移边界条件在实际情况中，流体与固体边界处的运动情况不同，通常存在滑移现象。
滑移边界条件是指当流体与固体边界接触时，流体粒子在边界处的速度不等于固体表面的速度，而是存在一个滑移速度。
这一现象在纳米尺度、微流体等领域尤为显著。
4.有滑移边界条件的纳维-斯托克斯方程考虑有滑移边界条件的纳维-斯托克斯方程可以写作：$$\rho(\frac{\partial \textbf{v}}{\partialt}+(\textbf{v}\cdot\nabla)\textbf{v})=-\nablap+\mu\nabla^2\textbf{v}+\textbf{f}+\mu_s(\textbf{v}_s-\textbf{v})$$其中，$\mu_s$为滑移系数，$\textbf{v}_s$为固体表面速度。
ns方程对流项
NS方程，即纳维-斯托克斯方程，是描述流体运动的基本方程。
在NS方程中，对流项是由拉格朗日描述法转为欧拉法而衍生出来的项，即从material derivative到spatial derivative的转变。
这一转变代表着从质量守恒的研究角度转为体积守恒的研究角度，或者可以看做是从粒子的角度向场的角度转变。
从物理的角度讲，对流项通俗来说就是速度运输速度自己，其具体作用为加大速度梯度。
对流项的存在是由于流体中不同部分的速度差异导致的，这种速度差异会使得流体中产生一种内部力，从而影响流体的运动状态。
在NS方程中，对流项和其他项（如压力项、粘性项等）一起描述了流体的运动状态。
需要注意的是，NS方程是一个复杂的非线性偏微分方程，其解的存在性和唯一性等问题一直是数学和物理学领域的研究热点。
以上信息仅供参考，如需了解更多关于NS方程对流项的信息，建议查阅相关书籍或咨询专业人士。
不可压缩流体的纳维斯托克斯方程
纳维斯托克斯方程是描述流体运动的基本方程之一，它适用于不可压缩流体。
在工程、地球科学和大气科学等领域中，不可压缩流体的运动是一个重要的研究课题。
在本文中，我将按照深度和广度的要求，探讨不可压缩流体的纳维斯托克斯方程，以更好地理解该领域的知识。
一、不可压缩流体的概念不可压缩流体是指在流体运动过程中密度基本保持不变的流体。
在实际的流体运动中，许多流体可以近似地看作是不可压缩的。
不可压缩流体的性质在实际应用中具有重要意义，因此研究不可压缩流体的运动规律尤为重要。
二、纳维斯托克斯方程的推导纳维斯托克斯方程是描述不可压缩流体运动的基本方程之一。
它由质量守恒方程和动量守恒方程组成，可以用来描述流体的速度场和压力场随时间和空间的变化规律。
1. 质量守恒方程质量守恒方程描述了流体的密度随时间和空间的变化规律。
对于不可压缩流体来说，密度可以近似地看作是常数，因此质量守恒方程可以简化为一个关于速度场的方程。
2. 动量守恒方程动量守恒方程描述了流体的速度场随时间和空间的变化规律。
通过施加牛顿第二定律和流体静压力的概念，可以推导出不可压缩流体的纳维斯托克斯方程。
三、纳维斯托克斯方程的数学性质纳维斯托克斯方程是一个非常复杂的偏微分方程组，它描述了流体的速度场和压力场之间的复杂关系。
在数学上，纳维斯托克斯方程往往需要借助数值方法或者解析方法来求解，因此它具有一定的数学难度。
四、个人观点和理解不可压缩流体的纳维斯托克斯方程是描述流体运动的重要方程之一，它在工程和科学领域具有广泛的应用。
通过学习和研究纳维斯托克斯方程，我们可以更好地理解不可压缩流体的运动规律，从而为工程和科学领域的实际问题提供有效的解决方案。
总结回顾本文从不可压缩流体的概念出发，对纳维斯托克斯方程进行了深入的探讨。
通过对质量守恒方程和动量守恒方程的推导，我们可以更好地理解不可压缩流体的运动规律。
纳维斯托克斯方程的数学性质也给我们在实际应用中提出了挑战，需要我们进一步深入研究。
navier-stokes方程数学基础
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-斯托克斯方程
-斯托克斯方程
纳维-斯托克斯方程（英文名：Navier-Stokes equations），简称N-S方程。
N-S方程是用于描述流体运动的方程，可以看作是流体运动的牛顿第二定律。
对于可压缩的牛顿流体，可以得到
其中，u是流体速度，p是流体压力，ρ是流体密度，μ是流体动力黏度。
式中各项分别对应于惯性力（1）、压力（2）、黏性力（3），以及作用在流体上的外力（4）。
纳维-斯托克斯方程是由纳维、泊松、圣维南和斯托克斯于1827年到1845年之间推导出来的。
这些方程总是要与连续性方程同时进行求解：
纳维-斯托克斯方程表示动量守恒，而连续性方程则表示质量守恒。
三维空间中的n-s方程组
三维空间中的n-s方程组
纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程，简称N-S方程。
此方程是由法国力学家、工程师C.-L.-M.-H.纳维于1821年创立，经英国物理学家G.G.斯托克斯于1845年改进而确定的。
在三维空间中，N-S方程组描述了流体的受力情况以及流动表现，其中F代表流体所受的力，包括粘滞力、压力和重力等；m代表流体的密度；a代表流体的加速度，受到时间和空间变化的影响。
N-S方程组光滑解的存在性问题被美国克雷数学研究所设定为七个千禧年大奖难题之一，目前尚未从数学上阐明是否存在N-S方程的通解。
各种模拟软件在处理这类问题上已经相当成熟。
纳维一斯托克斯方程
纳维一斯托克斯方程
纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的基本方程之一，它是由
欧拉方程引申而来。
纳维-斯托克斯方程可以写成以下形式：
∂u/∂t + u · ∇u = -1/ρ ∇p + v ∇²u + f
其中：
- u是速度矢量（u = (u, v, w)表示流体在x、y和z轴方向上的
速度分量）
- t是时间
- p是压力
- ρ是流体的密度
- v是流体的动力黏度
- f是外力的矢量（例如重力）
纳维-斯托克斯方程描述了流体的加速度（∂u/∂t + u · ∇u），
即速度的变化率，与压力、黏度和外力之间的关系。
通过求解这个方程，可以预测流体在给定边界条件下的运动情况。
纳维-斯托克斯方程在流体力学、气象学、工程学等领域有广
泛的应用。
它是研究流体运动和流体力学现象的重要理论基础。
纳维-斯托克斯方程
牛顿流体： zx
v x z
yx
v x y
xx
v x x
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
⑶ 作用力的总和
z
x方向：PA x方向合压力为 x方向的总压力为
PB
PA
P x
dx
PA
P
A
PA PB x dx
y
P dx dy dz x
ax
2vx x 2
2vx y2
2vx z 2
P x
gx
ay
2vy x 2
2vy y2
2vy z 2
P y
gy
az
2vz x 2
2vz y2
2vz z 2
P z
gz
惯
压重
性 力
黏性力
力力
流体在运动中以作用力及动量形式表现能量平衡 关系是统一的
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
1.动量平衡的定义
流体在流动过程中遵守能量守恒定律，称为能量平衡
作用力形式 动量形式
根据牛顿第二定律：
F ma mdv d
F 0，静止，静力平衡 F 0，运动，动力平衡
作用力的合力 = 单位时间内动量的变化量
⒋ 动量平衡方程的推导
建立方法 元体分析法
建立依据 牛顿第二定律分析法
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
Y
纳维-斯托克斯方程
纳维－斯托克斯方程纳维－斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名，是一组描述像液体和空气这样的流体物质的方程。
这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及引力之间的关系。
这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。
这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。
他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。
它们可以用于模拟天气，洋流，管道中的水流，星系中恒星的运动，翼型周围的气流。
它们也可以用于飞行器和车辆的设计，血液循环的研究，电站的设计，污染效应的分析，等等。
纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。
这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。
用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。
这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度（速度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。
这表示对于给定的物理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。
实用上，只有最简单的情况才能用这种方法解答，而它们的确切答案是已知的。
这些情况通常涉及稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）。
对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必须借助计算机。
这本身是一个科学领域，称为计算流体力学。
虽然湍流是日常经验中就可以遇到的，但这类问题极难求解。
一个$1,000,000的大奖由克雷数学学院于2000年5月设立，奖给对于能够帮助理解这一现象的数学理论作出实质性进展的任何人。
纳维斯托克斯方程各项的物理意义
纳维斯托克斯方程各项的物理意义
马尔科夫-纳维斯托克斯方程是用来描述物质流动和物体
运动的重要方程之
一。
它是由俄国物理学家马尔科夫-纳维斯托克斯提出的，他在1900年发表于《苏联科学院报告》上。
这个方程是物理
学中最重要的方程之
一，因为它描述了物质在空间和时间上的运动。
马尔科夫-纳维斯托克斯方程的主要内容是：它用了七个
符号来描述物质的变化，分别为物质的流动强度（U）、物质
的压强（ρ）、物质的速度（V）、物质的温度（T）、物质的
湿度（H）、物质的磁场强度（B）和物质的热导率（K）。
总体来说，马尔科夫-纳维斯托克斯方程是一个用来描述
物质的运动和变化的重要方程，它可以用来表示物质的流动强度、压力、速度、温度、湿度、磁场强度和热导率的变化。
它的准确性和实用性，使它在物理学、化学和工程等领域得到了广泛的应用。
血液的纳维-斯托克斯方程
血液的纳维-斯托克斯方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：血液的纳维-斯托克斯方程是描述血液流动行为的数学模型。
在生物医学领域，研究人员通常使用这种方程来分析血液在血管内的流动特性，了解血液在动脉和静脉内的运动规律。
纳维-斯托克斯方程是流体动力学中的基本方程之一，描述了流体的运动状态。
在血液流动的情况下，纳维-斯托克斯方程可以表示为：∂v/∂t + (v·∇)v = -∇p + μΔv + f其中v是速度矢量，p是压力，μ是黏性系数，f是体积力。
在血管内部，血液在压力的作用下流动，因此压力梯度是血液流动的驱动力。
黏性系数μ表示了血液的黏性，它会影响血液流动的速度和方向。
体积力f可以考虑重力和心脏收缩等因素对血液流动的影响。
在这个方程中，第一项∂v/∂t表示速度随时间的变化率，第二项(v·∇)v表示速度矢量v在流动方向上的加速度。
第三项-∇p表示压力梯度对流速的影响，当管道内部的血液在不同的区域受到不同的压力作用时，就会产生流动。
第四项μΔv表示了黏性系数对速度梯度的影响，当血液受到摩擦力时，会减缓速度。
最后一项f表示了外部力对血液流动的影响，例如心脏的跳动和身体运动。
纳维-斯托克斯方程可以通过数值模拟和实验研究来验证。
研究人员可以通过计算机模拟的方法，输入不同的参数和初始化条件，模拟血液在不同情况下的流动行为，从而揭示血液流动的规律。
实验研究通过观察血管内的血液流动情况，测量流速和压力等参数，来验证数学模型的准确性。
血液的纳维-斯托克斯方程对于研究心血管疾病和血液病理生理学等方面具有重要意义。
通过建立血液流动的数学模型，可以更好地理解心血管系统的功能和异常，为相关疾病的诊断和治疗提供更有效的方法。
今后的研究工作可以进一步深入探讨血液流动的机理和调控机制，为生物医学领域的发展做出更大的贡献。
第二篇示例：血液是人体内不可或缺的液体之一，其流动性质对人体的健康起着至关重要的作用。
ns方程的谱形式
纳维-斯托克斯方程（NS方程）是一组描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。
在谱形式下，NS方程通常采用傅里叶级数或类似的方法展开，将物理量表示为频率或波数的函数。
这种形式允许我们分析流体的频率和波数特性，从而更好地理解流体运动的本质。
在谱形式下，NS方程可以表示为：
1. 连续性方程：ρ(u·∇)u = 0
2. 动量方程：ρ(u·∇)u + ∇p = μ∇²u
其中，ρ是流体密度，u是速度矢量，p是压力，μ是动力粘度。
在谱形式下，这些方程的解可以通过傅里叶分析或类似的方法找到。
值得注意的是，NS方程的谱形式求解非常复杂，通常需要高性能计算资源和数值方法。
在实际应用中，通常采用离散化方法，如有限差分法、有限元法等，将连续的物理量离散化后进行求解。
这些离散化方法可以在计算机上实现高效的数值模拟和计算。
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2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
⒍ 动量平衡方程的讨论
2 v x 2 v x 2 v x P v x v x v x v x vx vy vz gx 2 2 2 x y z y z x x
动量蓄积量
对流动量
黏性动量
压 力
重 力
（1）方程的物理意义：运动的流体能量守恒的表现
动量形式 作用力形式
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations） 全微分 v v( ,x, y,z)
v v v v dv d dx dy dz x y z
作用力的合力 = 单位时间内动量的变化量
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
稳定流动系统：
[动量传入量] [动量传出量] + [系统作用力的总和] = 0
动量收支差量
不稳定流动系统：
[动量传入量] [动量传出量] +[系统作用力的总和] = [动量蓄积量] 动量收支差量
以vx为准，元体对流动量收支差量为
同理，以vy、vz为准，元体对流动量收支差量为 vx vy、vz
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
⑵ 黏性动量收支差量 黏性动量通量同样由九个分量组成 以vx为准，C、D面上的黏性动量通量为 zx
x方向的速度、x方向的动量通量
对流动量收支差量为
( v x v x ) dx dy dz x x x
同理，以vx为准，y方向、z方向的对流动量收支差量：
( v y v x ) y dx dy dz
xy
( v z v x ) dx dy dz z x z
( v x v x ) ( v y v x ) ( v z v x ) dx dy dz x y z
Y
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
⑴ 对流动量收支差量 在直角坐标系中由于有三个方向的分速度，所以共有九 个动量通量。
v x v x v y v x v z v x
vx vy vy vy vz vy
表面力 作用力 体积力
压力
重力
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
⒋ 动量平衡方程的推导
建立方法 元体分析法
建立依据
牛顿第二定律分析法
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
vx vx vx vx 2vx 2vx 2vx p ( vx vy vz ) ( 2 2 2 ) g x x y z x y z x
⑵ 适用条件 黏性流体、不稳定流动、不可压缩流体(元体范围 内)、层流流动
2.4 理想流体动量平衡方程欧拉方程 （Eular equations）
理想流体： 没有黏性的流体
0
思 考
①
实际流体都具有黏性，提出理想流体 的意义何在？
简化：
0
时，N-S方程简化为欧拉方程
v 0
② 稳定流动， ③ 单位质量流体
适用条件
理想流体、稳定流动、不可
压缩流体(元体范围内)
总 结
一、本课的基本要求 1．了解N-S方程的建立依据、推导方法、适用条件。 2．掌握N-S方程的物理意义。 3．了解欧拉方程的适用条件。 二、本课的重点、难点 重点：N-S方程的物理意义。 难点：N-S方程的推导方法。 三、作业 思考题：N-S方程对紊流流动是否适用？
黏性动量通量收支差量 黏性动量收支差量
zx dz z
C
zx D zx
C
zx dz z
yx dx dy dz xx dx dy dz 同理，vx在y、x方向的黏性动量收支差量分别为 y x
zx dx dy dz z
以vx为准，元体黏性动量收支差量为 牛顿流体： zx v x
z
xx yx zx dx dy dz z y z
同理，以vy、vz为准的黏性动量收支差量为x y、z
yx
v x y
xx
v x x
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
2 v x 2 v x 2 v x P ax gx 2 2 2 y z x x
2 v y 2 v y 2 v y P ay gy 2 2 2 y z y x
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
⒉ 动量传递方式
1 黏性动量传输 黏性动量通量
yx
dvx dy
2 对流动量传输
对流动量传输
vv
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations） ⒊ 作用力的形式
vx vz vy vz vz vz
动量通量收支差量
以vx为准：动量通量
vx vx
A
( v x v x ) vx vx dx x B
( v x v x ) dx x x x
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
dv v v v v vx v y vz d x y z
a v v v v vx v y vz x y z
v x v x v x v x ax vx vy vz x y z
g z dx dy dz
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations） ⑷ 动量蓄积量
x方向
( v x ) dx dy dz
单位时间内元体动量的变化量
( v y )
y方向
dx dy dz
z方向
( vz ) dx dy dz
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
⒌ 动量平衡方程式
将以上式子代入下式，整理得：N-S方程 [动量传入量] [动量传出量] +[系统作用力的总和] = [动量蓄积量] 动量收支差量
简化：
⑴ ⑵
const
，牛顿黏性定律
const ，连续性方程
⑶ 作用力的总和 x方向：PA
P PB PA dx x
z B A y o x
PA
P PA dx x
x方向合压力为Βιβλιοθήκη x方向的总压力为PA PB
P dx x
P dx dy dz x
同理，y、z方向的总压力为x y、z 重力
g x dx dy dz
g y dx dy dz
p ( vx vy vz ) ( 2 2 2 ) g y x y z x y z x v y v y v y v y 2v y 2v y 2v y
vz vz vz vz 2vz 2vz 2vz p ( vx vy vz ) ( 2 2 2 ) g z x y z x y z x
2 v z 2 v z 2 v z P az gz 2 2 2 y z z x
惯 性 力 黏性力 压 力 重 力
流体在运动中以作用力及动量形式表现能量平衡 关系是统一的
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations） 1.动量平衡的定义
流体在流动过程中遵守能量守恒定律，称为能量平衡
作用力形式
动量形式 根据牛顿第二定律：
mdv F ma d
F 0，静止，静力平衡 F 0，运动，动力平衡