河北省邯郸市重点中学高三数学规范性课时作业(二十八)(教师版)
河北省邯郸市重点中学高三数学规范性课时作业(三十六)(学生版)
课时作业(三十六)一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |<1的点(x ，y )的集合用阴影表示为下列图中的( )2．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－33．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0y >0x ＋2y －4<0x ＋2y －2>0，则目标函数z ＝x 2＋y 2的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫45，165B.⎝⎛⎭⎫45，16 C ． (1,16) D.⎝⎛⎭⎫165，44．已知变量x 、y 满足⎩⎨⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝3x ＋yx ＋1的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤52，145B.⎣⎡⎦⎤－12，－15C.⎣⎡⎦⎤－12，52D.⎣⎡⎦⎤－52，1455．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．166．某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告费标准分别是500元/分钟和200元/分钟，假设甲、乙两个电视台为该公司做的广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，那么该公司合理分配在甲、乙两个电视台的广告时间，能使公司获得最大的收益是( )A ．90万元B ．80万元C ．70万元D ．60万元二、填空题7．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为________．8．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧1≤x ≤3，－1≤x －y ≤0，则z ＝2x －y 的最大值为________．9．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎨⎧x ≥0y ≥xx ＋y ≤4上(含边界)，过点P 任作直线l ，设直线l与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以 AB 为直径的圆的面积的最大值为________．三、解答题10．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，求实数m的值．11．某研究所计划利用“神九”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A 、B ，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：是多少？[热点预测]12．(1)已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x ＋|y |≤1x ≥0，则z ＝OA →·OP →的最大值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2(2)已知函数f (x )的定义域为[－2，＋∞)，部分对应值如下表，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如右图所示：若两正数a ，b 满足f (2a ＋b )<1，则b ＋3a ＋3的取值范围是________．。
高中数学试题含答案-课时规范练28 数列的概念
课时规范练28数列的概念基础巩固组1.已知数列√5,√11,√17,√23,√29,…,则5√5是它的()A.第19项B.第20项C.第21项D.第22项2.记S n为数列{a n}的前n项和.“任意正整数n,均有a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(多选)已知数列{a n}满足a n+1=1-1a n(n∈N*),且a1=2,则()A.a3=-1B.a2 019=12C.S6=3D.2S2 019=2 0194.(2020河北保定高三期末)在数列{a n}中,若a1=1,a2=3,a n+2=a n+1-a n(n∈N*),则该数列的前100项之和是() A.18 B.8 C.5 D.25.(多选)已知数列{a n}:12,13+23,14+24+34,…,110+210+310+…+910,…,若b n=1a n·a n+1,设数列{b n}的前n项和为S n,则()A.a n=n2B.a n=nC.S n=4nn+1D.S n=5nn+16.(2020湖南益阳高三期末)已知{a n}是等差数列,且满足:对∀n∈N*,a n+a n+1=2n,则数列{a n}的通项公式a n=() A.n B.n-1C.n-12D.n+127.已知数列{a n}的首项a1=21,且满足(2n-5)a n+1=(2n-3)a n+4n2-16n+15,则数列{a n}的最小的一项是()A.a5B.a6C.a7D.a88.已知每项均大于零的数列{a n},首项a1=1且前n项和S n满足S n√S n-1-S n-1√S n=2√S n S n-1(n∈N*且n≥2),则a81=()A.638B.639C.640D.6419.设S n为数列{a n}的前n项和,且a1=4,a n+1=S n,n∈N*,则S4=.10.在数列{a n}中,a1=2,a n+1n+1=a nn+ln1+1n,则a n=.11.已知数列{a n}的通项公式为a n=n+13n-16(n∈N*),则数列{a n}的最小项是第项.12.已知数列{a n}满足a1=3,a n+1=4a n+3.(1)写出该数列的前4项,并归纳出数列{a n}的通项公式;公众号：一枚试卷君(2)证明:a n+1+1a n+1=4.综合提升组13.(2020广东中山期末)设数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,{S n+na n}为常数列,则a n=()A.13n-1B.2 n(n+1)C.1(n+1)(n+2)D.5-2n314.(2020安徽江淮十校第三次联考)已知数列{a n}满足a n+1-a nn =2,a1=20,则a nn的最小值为()A.4√5B.4√5-1C.8D.915.(多选)(2020江西赣州教育发展联盟2月联考)已知数列{a n}的前n项和为S n(S n≠0),且满足a n+4S n-1S n=0(n≥2),a1=14,则下列说法正确的是()A.数列{a n}的前n项和为S n=14nB.数列{a n}的通项公式为a n=14n(n+1)C.数列{a n}为递增数列D.数列1S n为递增数列创新应用组16.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=a,a n+1=S n+3n,若a n+1≥a n对∀n∈N*成立,则实数a的取值范围是.17.已知二次函数f(x)=x2-ax+a(a>0,x∈R)有且只有一个零点,数列{a n}的前n项和S n=f(n)(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设c n=1-4a n (n∈N*),定义所有满足c m·c m+1<0的正整数m的个数,称为这个数列{c n}的变号数,求数列{c n}的变号数.参考答案课时规范练28 数列的概念1.C 数列√5,√11,√17,√23,√29,…,中的各项可变形为√5,√5+6,√5+2×6,√5+3×6,√5+4×6,…,所以通项公式为a n =√5+6(n -1)=√6n -1,令√6n -1=5√5,得n=21.2.A ∵a n >0,∴数列{S n }是递增数列,∴“a n >0”是“数列{S n }是递增数列”的充分条件.如数列{a n }为-1,1,3,5,7,9,…,显然数列{S n }是递增数列,但是a n 不一定大于零,还有可能小于零, ∴数列{S n }是递增数列不能推出a n >0.∴“a n >0”是“数列{S n }是递增数列”的不必要条件. ∴“任意正整数n ,均有a n >0”是“数列{S n }是递增数列”的充分不必要条件.3.ACD 数列{a n }满足a 1=2,a n +1=1-1a n(n ∈N *),可得a 2=12,a 3=-1,a 4=2,a 5=12,…,所以a n+3=a n ,数列的周期为3,a 2 019=a 672×3+3=a 3=-1,S 6=3,S 2 019=2 0192. 4.C ∵a 1=1,a 2=3,a n +2=a n +1-a n (n ∈N *),∴a 3=3-1=2, a 4=2-3=-1, a 5=-1-2=-3, a 6=-3+1=-2, a 7=-2+3=1, a 8=1+2=3, a 9=3-1=2, …∴{a n }是周期为6的周期数列,∴S 100=S 16×6+4=16×(1+3+2-1-3-2)+(1+3+2-1)=5.故选C. 5.AC 由题意得a n =1n+1+2n+1+…+nn+1=1+2+3+…+nn+1=n2,∴b n =1n 2·n+12=4n (n+1)=41n −1n+1,∴数列{b n }的前n 项和S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =41-12+12−13+13−14+…+1n −1n+1=41-1n+1=4nn+1.故选AC.6.C 由a n +a n+1=2n ,得a n+1+a n+2=2n+2,两式相减得a n+2-a n =2=2d ,∴d=1,又a n +a n +d=2n ,∴a n =n-12.故选C .7.A ∵4n 2-16n+15=(2n-3)(2n-5),∴(2n-5)a n+1=(2n-3)a n +(2n-3)(2n-5), 等式两边同时除以(2n-3)(2n-5),可得a n+12n -3=a n2n -5+1, 可设b n =a n 2n -5,则b n+1=an+12n -3, ∴b n+1=b n +1,即b n+1-b n =1.∵b 1=a 12×1-5=21-3=-7, ∴数列{b n }是以-7为首项,1为公差的等差数列. ∴b n =-7+(n-1)×1=n-8,n ∈N *.∴a n =(n-8)(2n-5)=2n 2-21n+40.可把a n 看成关于n 的二次函数,则根据二次函数的性质,可知其对称轴n=10.52=5.25. ∴当n=5时,a n 取得最小值.故选A .8.C 已知S n √S n -1-S n-1√S n =2√S n S n -1,数列{a n }的每项均大于零,故等号两边同时除以√S n S n -1,可得√S n −√S n -1=2,∴{√S n }是以1为首项,2为公差的等差数列,故√S n =2n-1,S n =(2n-1)2,∴a 81=S 81-S 80=1612-1592=640.故选C .9.32 因为S n 为数列{a n }的前n 项和,且a 1=4,a n+1=S n ,n ∈N *, ① 则当n ≥2时,a n =S n-1, ②由①-②得a n+1-a n =a n ,∴an+1a n=2,则数列{a n }是从第二项起,公比为2的等比数列,又a 2=S 1=4,∴a n =4·2n-2=2n (n ≥2),故a n ={4(n =1),2n (n ≥2).所以S 4=a 5=25=32.10.2n+n ln n 由题意得a n+1n+1−a n n =ln(n+1)-ln n ,a n n −an -1n -1=ln n-ln(n-1)(n ≥2). ∴a 22−a 11=ln 2-ln 1,a 33−a22=ln 3-ln 2,…,a n n−an -1n -1=ln n-ln(n-1)(n ≥2). 累加得a n n −a 11=ln n ,又a 1=2,∴a nn =2+ln n (n ≥2),当n=1时,a 1=2,上式成立,故a n =2n+n ln n. 11.5 a n =n+13n -16=131+193n -16.当n>5时,a n >0,且单调递减, 当n ≤5时,a n <0,且单调递减. ∴当n=5时,a n 最小.12.(1)解 a 1=3,a 2=15,a 3=63,a 4=255.因为a 1=41-1,a 2=42-1,a 3=43-1,a 4=44-1,…, 所以归纳得a n =4n -1. (2)证明 因为a n +1=4a n +3,所以a n+1+1a n +1=4a n +3+1a n +1=4(a n +1)a n +1=4. 13.B ∵数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,∴S 1+1×a 1=1+1=2.∵{S n +na n }为常数列,∴S n +na n =2.当n ≥2时,S n-1+(n-1)a n-1=2,∴(n+1)a n =(n-1)a n-1,从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n -1=13·24·35·…·n -1n+1,∴a n =2n (n+1)(n ≥2),当n=1时上式成立,∴a n =2n (n+1).故选B . 14.C 由a n +1-a n =2n ,知a 2-a 1=2×1,a 3-a 2=2×2,…,a n -a n -1=2(n-1),n ≥2.以上各式相加得a n -a 1=n 2-n ,n ≥2,所以a n =n 2-n+20,n ≥2, 当n=1时,a 1=20符合上式,所以a n n =n+20n-1,n ∈N *, 所以当n ≤4时,a n n单调递减,当n ≥5时,a n n单调递增.因为a 44=a55=8,所以ann 的最小值为8.故选C .15.AD 由题意,可知数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0),且满足a n +4S n-1S n =0(n ≥2),则S n -S n-1=-4S n-1S n (n ≥2),即1S n−1S n -1=4(n ≥2).又因为a 1=14,所以1S 1=4,所以数列1S n是以4为首项,4为公差的等差数列,所以数列1S n为递增数列,且1S n=4+(n-1)×4=4n ,则S n =14n .又因为当n ≥2时,a n =S n -S n-1=14n −14(n -1)=-14n (n -1),a 1=14,所以数列{a n }的通项公式为a n ={14,n =1,-14n (n -1),n ≥2.故选AD. 16.[-9,+∞) 据题意,得a n+1=S n+1-S n =S n +3n ,∴S n+1=2S n +3n ,∴S n+1-3n+1=2(S n -3n ).又S 1-31=a-3,∴数列{S n -3n }是以a-3为首项,2为公比的等比数列,∴S n -3n =(a-3)·2n-1即S n =3n +(a-3)·2n-1.当n=1时,a 1=a ;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=3n +(a-3)×2n-1-3n-1-(a-3)×2n-2=2×3n-1+(a-3)×2n-2,∴a n+1-a n =4×3n-1+(a-3)×2n-2.又当n ≥2时,a n+1≥a n 恒成立,∴a ≥3-12×(32)n -2对∀n ∈N *,且n ≥2成立,∴a ≥-9.又a 2=a 1+3,∴a 2≥a 1成立.综上,所求实数a 的取值范围是[-9,+∞).17.解 (1)依题意,得Δ=a 2-4a=0,所以a=0或a=4.又由a>0得a=4,所以f (x )=x 2-4x+4. 所以S n =n 2-4n+4. 当n=1时,a 1=S 1=1-4+4=1; 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n-5.所以数列{a n }的通项公式为a n ={1,n =1,2n -5,n ≥2.(2)由题意得c n ={-3,n =1,1-42n -5,n ≥2.由c n =1-42n -5可知,当n ≥5时,恒有c n >0. 又因为c 1=-3,c 2=5,c 3=-3, c 4=-13,c 5=15,即c 1·c 2<0,c 2·c 3<0,c 4·c 5<0, 所以数列{c n }的变号数为3.。
河北省邯郸市重点中学高三数学规范性课时作业(十五)(学生版)
课时作业(十五)一、选择题1．若函数f (x )＝(x ＋1)·e x ，则下列命题正确的是( )A ．对任意m <－1e 2，都存在x ∈R ，使得f (x )<mB ．对任意m >－1e 2，都存在x ∈R ，使得f (x )<mC ．对任意m <－1e 2，方程f (x )＝m 只有一个实根D ．对任意m >－1e 2，方程f (x )＝m 总有两个实根2．设函数f (x )＝13x －ln x ，则y ＝f (x )( ) A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 3．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．2154．设函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]是单调减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，＋∞)B ．(－∞，－3]∪[－5，＋∞)C ．(－∞，－3]D ．[－5，5]5．函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意的x ∈R ，都有2f ′(x )>f (x )成立，则( )A ．3f (2ln 2)>2f (2ln 3)B ．3f (2ln 2)<2f (2ln 3)C ．3f (2ln 2)＝2f (2ln 3)D ．3f (2ln 2)与2f (2ln 3)的大小不确定6．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( )A ．1百万件B ．2百万件C ．3百万件D ．4百万件二、填空题7．已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )> 0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．8．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．9．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时， f (x )＝e x －ax ，若函数在R 上有且仅有4个零点，则a 的取值范围是________．三、解答题10．已知函数f (x )＝x ln x .(1)若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋ax ＋2有零点，求实数a 的最大值；(2)若∀x >0，f (x )x ≤x －kx 2－1恒成立，求实数k 的取值范围．11．设函数f (x )＝c ln x ＋12x 2＋bx (b ，c ∈R ，c ≠0)，且x ＝1为f (x )的极值点．(1)若x ＝1为f (x )的极大值点，求f (x )的单调区间(用c 表示)；(2)若f (x )＝0恰有两解，求实数c 的取值范围．12．在淘宝网上，某店铺专卖当地某种特产，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1<x≤5)满足：当1<x≤3时，y＝a(x－3)2＋bx－1，(a，b为常数)；当3<x≤5时，y＝－70x＋490，已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产700千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出该特产150千克．(1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；(2)若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大(x精确到0.01元/千克)．[热点预测]13．已知函数f(x)＝1x·sin θ＋ln x在[1，＋∞)上为增函数，且θ∈(0，π)，g(x)＝tx－t－1＋2ex－ln x，t∈R.(1)求θ的值；(2)当t＝0时，求函数g(x)的单调区间和极大值；(3)若在[1，e]上至少存在一个x0，使得g(x0)>f(x0)成立，求t的取值范围．。
河北省邯郸市重点中学高三数学规范性课时作业(二十)(教师版)
课时作业(二十)一、选择题1．函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数为( C )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈RB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈RC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，x ∈RD ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6，x ∈R解析：函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈R 的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，x ∈R 的图象，故选C.2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( D )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2C ． y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2解析：函数的最大值为4，最小值为0，∴A ＝2，k ＝2，由最小正周期为π2得ω＝4，又因x ＝π3是其一条对称轴，∴43π＋φ＝π2＋kπ，φ＝kπ－56π，k ∈Z ，所以选D.3．把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( A )解析：把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数y ＝cos x ＋1，然后向左平移1个单位得到y ＝cos(x ＋1)＋1再向下平移1个单位得到函数y ＝cos(x ＋1)其对应的图象为A.4．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图象如图所示f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( A ) A ．－23 B ．－12 C.23 D.12解析：由图象知T ＝23π，ω＝3，f ⎝⎛⎭⎫π2＝A cos ⎝⎛⎭⎫32π＋θ＝A sin θ＝-23.f ⎝⎛⎭⎫π6＝A cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－A sin θ＝23，选A.5．已知函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的最小正周期为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，则函数y ＝f (x )的图象向左平移13个单位所得图象的函数解析式为( B )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫πx －π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋13D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫πx －13解析：函数f (x )周期T ＝2πω＝2，得ω＝π，又∵f ⎝⎛⎭⎫16＝A sin π6＝1，∴A ＝2.∴f (x )＝2sin πx ，将f (x )图象向左平移13个单位所得图象解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3.6．要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( A )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析：因为要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x 的图象向左平移π12个单位得到 y ＝sin 2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，故选A.7．已知函数f (x )＝sin(x －π)，g (x )＝cos(x ＋π)，则下列结论中正确的是( D )A ．函数y ＝f (x )·g (x )的最小正周期为2πB ．函数y ＝f (x )·g (x )的最大值为1C ．将函数y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位后得g (x )的图象D ．将函数y ＝f (x )的图象向左平移π2个单位后得g (x )的图象解析：f (x )＝sin(x －π)＝－sin x ，g (x )＝cos(x ＋π)＝－cos x ， f (x )·g (x )＝12sin 2x ，T ＝π最大值为12，A 、B 均不正确．f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos x ≠g (x )，故C 错．f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－cos x ，故D 正确，选D.8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0) 的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π；②将f (x )的图象向左平移π6个单位，所得到的函数是偶函数；③f (0)＝1；④f ⎝⎛⎭⎪⎫12π11<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14π13；⑤f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x . 其中正确的是( C )A ．①②③B ．②③④C ．①④⑤D ．②③⑤ 解析：由图可知：A ＝2，T 4＝712π－π3＝π4⇒T ＝π，∴ω＝2,2×712π＋φ＝2kπ＋3π2，φ＝2kπ＋π3，k ∈Z . f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3⇒f (0)＝3， f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3， f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π3＝2cos π3＝1，对称轴为直线x ＝kπ2＋π12，k ∈Z ，一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π6，0，所以②、③不正确；因为f (x )的图象关于直线x ＝13π12对称，且f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫13π12，12π11－13π12＝π11×12>13π12－14π13＝π13×12，所以f ⎝⎛12π11<f ⎝⎛⎭⎫14π13，即④正确；设[x ，f (x )]为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上任意一点，其关于对称中心⎝⎛⎭⎫5π6，0的对称点⎝⎛⎭⎫5π3－x ，－f (x )还在函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上，即f ⎝⎛⎭⎫5π3－x ＝－f (x )⇒f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫5π3－x ，故⑤正确，综上所述，①④⑤正确，选C.解法二：判断出①正确，②不正确之后，选C. 二、填空题9.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如右图，则f ⎝⎛⎭⎪⎫π24＝________.解析：从图可看出周期T ＝π2，∴πω＝π2，ω＝2又f (x )＝A tan(2x ＋φ) x ＝38π时，A tan ⎝⎛⎭⎫34＋φ＝0tan ⎝⎛⎭⎫34π＋φ＝0，|φ|<π2，∴φ＝π4. ∴f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.取x ＝0，A tan π4＝1，∴A ＝1，∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫π12＋π4＝tan π3＝ 3.答案： 310．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3(x >0)的图象与x 轴的交点从左到右依次为(x 1,0)，(x 2,0)，(x 3,0)，…，则数列{x n }的前4项和为________．解析：令f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π3＝0，则π3x ＋π3＝k π，∴x ＝3k －1(k ∈N *)，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝3(1＋2＋3＋4)－4＝26. 答案：2611．点A (x ，y )在单位圆上从A 0⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32出发，沿逆时针方向做匀速圆周运动，每12秒运动一周，则经过时间t 后，y 关于t 的函数解析式为________．解析：由题意知∠xOA 0＝π3，点A 每秒旋转2π12＝π6，所以t 秒旋转π6t ，∠A 0OA ＝π6t ，∠xOA ＝π6t ＋π3，则y ＝sin ∠xOA ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π3.答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π3三、解答题12.设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π.且f ⎝⎛⎭⎪⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象；(3)若f (x )>22，求x 的取值范围． 解：(1)周期T ＝2πω，∴ω＝2，∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32， ∵－π2<φ<0，∴φ＝－π3.(2)∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，列表如下：(3)cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3>22，∴2kπ－π4<2x －π3<2kπ＋π42kπ＋π12<2x <2kπ＋712π，kπ＋π24x <kπ＋724π，k ∈Z ，∴x 的取值范围是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫kπ＋π24<x <kπ＋724π，k ∈Z .13．已知函数f (x )＝2sin(ωx )，其中常数ω>0； (1)若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；(2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解：(1)因为ω>0，根据题意有⎩⎨⎧－π4ω≥－π22π3ω≤π2⇒0<ω≤34.(2)f (x )＝2sin(2x )，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1g (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.[热点预测]14．(1)定义区间[a ，b ]的长度为b －a .若⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的一个长度最大的单调递减区间，则( D )A ．ω＝8，φ＝π2B ．ω＝8，φ＝－π2C ．ω＝4，φ＝π2D ．ω＝4，φ＝－π2(2)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( D )A ．－32B ．－62C. 3 D ．－ 3解析：(1)若⎣⎡⎦⎤π4，π2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个长度最大的单调减区间，则函数f (x )的周期为2⎝⎛⎭⎫π2－π4＝π2，∴ω＝4，且函数f (x )在x ＝π4时取得最大值．所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ()π＋φ＝1，∴φ＝－π2，故选D.(2)f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数得φ＝π2，△EFG 为边长为2的等边三角形，所以T ＝4，∴ω＝π2，A ＝3，∴f (x )＝－3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ，∴f (1)＝－ 3. 答案：(1)D (2)D。
河北省邯郸市重点中学高三数学规范性课时作业(十五)(学生版)
课时作业(十五)一、选择题1．若函数f (x )＝(x ＋1)·e x ，则下列命题正确的是( )A ．对任意m <－1e 2，都存在x ∈R ，使得f (x )<mB ．对任意m >－1e 2，都存在x ∈R ，使得f (x )<mC ．对任意m <－1e 2，方程f (x )＝m 只有一个实根D ．对任意m >－1e 2，方程f (x )＝m 总有两个实根2．设函数f (x )＝13x －ln x ，则y ＝f (x )( ) A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 3．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．2154．设函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]是单调减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，＋∞)B ．(－∞，－3]∪[－5，＋∞)C ．(－∞，－3]D ．[－5，5]5．函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意的x ∈R ，都有2f ′(x )>f (x )成立，则( )A ．3f (2ln 2)>2f (2ln 3)B ．3f (2ln 2)<2f (2ln 3)C ．3f (2ln 2)＝2f (2ln 3)D ．3f (2ln 2)与2f (2ln 3)的大小不确定6．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( )A ．1百万件B ．2百万件C ．3百万件D ．4百万件二、填空题7．已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )> 0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．8．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．9．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时， f (x )＝e x －ax ，若函数在R 上有且仅有4个零点，则a 的取值范围是________．三、解答题10．已知函数f (x )＝x ln x .(1)若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋ax ＋2有零点，求实数a 的最大值；(2)若∀x >0，f (x )x ≤x －kx 2－1恒成立，求实数k 的取值范围．11．设函数f (x )＝c ln x ＋12x 2＋bx (b ，c ∈R ，c ≠0)，且x ＝1为f (x )的极值点．(1)若x ＝1为f (x )的极大值点，求f (x )的单调区间(用c 表示)；(2)若f (x )＝0恰有两解，求实数c 的取值范围．12．在淘宝网上，某店铺专卖当地某种特产，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1<x≤5)满足：当1<x≤3时，y＝a(x－3)2＋bx－1，(a，b为常数)；当3<x≤5时，y＝－70x＋490，已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产700千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出该特产150千克．(1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；(2)若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大(x精确到0.01元/千克)．[热点预测]13．已知函数f(x)＝1x·sin θ＋ln x在[1，＋∞)上为增函数，且θ∈(0，π)，g(x)＝tx－t－1＋2ex－ln x，t∈R.(1)求θ的值；(2)当t＝0时，求函数g(x)的单调区间和极大值；(3)若在[1，e]上至少存在一个x0，使得g(x0)>f(x0)成立，求t的取值范围．。
高中数学必修一课时作业28
课时作业28 指数函数的概念时间：45分钟一、选择题1．若函数f (x )＝(m 2－m －1)a x (a >0，且a ≠1)是指数函数，则实数m ＝( D )A ．2B ．1C ．3D ．2或－1解析：由指数函数的定义，得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或－1，故选D.2．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝( A ) A ．(2)xB ．2xC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22x解析：由题意，设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则由f (2)＝a 2＝2，得a ＝2，所以f (x )＝(2)x .3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a×2x，x≥0，2－x ，x<0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( A )A.14 B.12 C ．1D ．2解析：∵f (－1)＝2，∴f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝4a ＝1，∴a ＝14.故选A.4．设函数f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，若f (2)＝4，则( A ) A ．f (－2)>f (－1) B ．f (－1)>f (－2) C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)解析：f (2)＝a －2＝4，a ＝12，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|x | ＝2|x |，得f (－2)>f (－1)．故选A.5．知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝4，则f (2a )＝( D ) A ．10 B ．12 C ．13D ．14解析：∵f (x )＝2x ＋2－x ，f (a )＝4，∴f (a )＝2a ＋2－a ＝4，∴f (2a )＝22a ＋122a ＝⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋12a 2－2＝16－2＝14.6．已知f (x )＝a x ＋b ，a >0，且a ≠1的图象如图所示，则f (3)等于( C )A ．22－2B ．39－3C ．33－3D ．33－3或－33－3解析：由题中图象知，f (0)＝1＋b ＝－2，所以b ＝－3.又f (2)＝a 2－3＝0，所以a ＝3(负值舍去)，故f (x )＝(3)x －3，f (3)＝33－3.7．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝( B )A ．2B ．154C.174D ．a 2解析：由已知得f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2 ①. f (－2)＋g (－2)＝a －2－a 2＋2， 由f (x )与g (x )的奇偶性可得 －f (2)＋g (2)＝a －2－a 2＋2 ②.由①②解得g (2)＝2，f (2)＝a 2－a －2. 又g (2)＝a ，所以a ＝2， 则f (2)＝22－2－2＝154. 8．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x 年后，若人均一年占有y 千克粮食，则y 关于x 的解析式为( D )A ．y ＝360⎝⎛⎭⎪⎫1.041.012x －1 B ．y ＝360×1.04xC ．y ＝360×1.04x1.012D ．y ＝360⎝⎛⎭⎪⎫1.041.012x 解析：设该乡镇现在人口数为M ，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M 千克，1年后，该乡镇粮食总产量为360M (1＋4%)千克，人口数为M (1＋1.2%)，则人均占有粮食产量为错误!千克， 2年后，人均占有粮食产量为错误!千克， ……经过x 年后，人均占有粮食产量为错误!千克，即所求解析式为y ＝360⎝⎛⎭⎪⎫1.041.012x . 二、填空题 9．给出下列函数：①y ＝4x ；②y ＝x 4；③y ＝－4x ；④y ＝(－4)x ；⑤y ＝πx ；⑥y ＝4x 2；⑦y ＝x x；⑧y ＝(2a －1)x(a >12且a ≠1)．其中为指数函数的有①⑤⑧(填序号)．解析：本题主要考查指数函数的概念．②中不是指数函数，因为底数不能是自变量；③中是－1与4x 的乘积，不是指数函数；④中底数－4<0，故不是指数函数；⑥中指数不是自变量x ，而是x 2；⑦中底数x 不是常数．由指数函数的概念可知，①⑤⑧中是指数函数．10．已知函数f (x )＝13x ＋1＋a 为奇函数，则a 的值为－12.解析：因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0，则13－x ＋1＋a ＋13x ＋1＋a ＝0，所以2a ＝－13x ＋1－13－x ＋1＝－3x ＋13x ＋1＝－1，所以a ＝－12. 三、解答题11．设f (x )＝3x，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x .计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？解：f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，f (π)＝3π，g (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－π＝3π，f (m )＝3m，g (－m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ＝3m .结论：从以上计算的结果看，当两个函数的自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．12．某车间产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (mg/L)与时间t (h)之间的关系为P ＝P 02－kt (其中P 0表示初始废气中污染物数量)．经过5个小时后，经测试，消除了20%的污染物．问：(1)15小时后还剩百分之几的污染物？ (2)污染物减少36%需要花多长时间？ 解：(1)由题意得，P ＝P 02－5k ＝(1－20%)P 0， 则2－5k ＝0.8，故当t ＝15时，P ＝P 0·2－15k ＝P 0·(2－5k )3＝(80%)3P 0＝51.2%P 0. 故15个小时后还剩51.2%的污染物． (2)由题意，P 02－kt ＝(1－36%)P 0，即(2－5k ) t5 ＝0.64，所以0.8t5＝0.64，所以t5＝2，即t ＝10，故污染物减少36%需要花10 h.13．(多选题)设指数函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，则下列等式中正确的是( ABD )A ．f (x ＋y )＝f (x )f (y )B ．f (x －y )＝错误!C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )D ．f (nx )＝[f (x )]n (n ∈Q )解析：f (x ＋y )＝a x ＋y ＝a x a y ＝f (x )f (y )，故A 中的等式正确；f (x －y )＝a x－y ＝a x a －y ＝axay＝错误!，故B 中的等式正确；f 错误!＝a 错误!＝(a x )错误!，f (x )－f (y )＝a x－a y≠(a x)1y，故C 中的等式错误；f (nx )＝a nx ＝(a x )n ＝[f (x )]n ，故D中的等式正确．14．如图所示，面积为8的平行四边形OABC 的对角线AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E .若指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点E ，B ，则a 等于( A )A.2 B ．3 C ．2D ．3解析：设点C (0，m )(m >0)，则由已知可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫8m ，m ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ，m ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8m ，2m .②③联立，得m 2－2m ＝0，所以m ＝0(舍)或m ＝2，所以a ＝2.15．已知函数f (x )＝22x 2＋22x ，则f (x )＋f (1－x )＝1；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1101＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2101＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫3101＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫98101＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫99101＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫100101＝50. 解析：因为f (1－x )＝22－2x 2＋22－2x ＝222×22x＋22＝222x ＋2，所以f (x )＋f (1－x )＝1.则原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1101＋f ⎝⎛⎭⎪⎫100101＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2101＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫99101＋… ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫50101＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫51101＝50. 16．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始溶液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13.(1)写出杂质含量y 与过滤次数n 的函数关系式；(2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？解：(1)过滤1次后的杂质含量为2100×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝2100×23；过滤2次后的杂质含量为⎝⎛⎭⎪⎫2100×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝2100×⎝ ⎛⎭⎪⎫232； 过滤3次后的杂质含量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2100×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝2100×⎝ ⎛⎭⎪⎫233； ……过滤n 次后的杂质含量为2100×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n (n ∈N *)．故y 与n 的函数关系式为y ＝2100×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n (n ∈N *)．(2)由(1)知，当n ＝7时，y ＝2100×⎝ ⎛⎭⎪⎫237＝6454 675.当n ＝8时，y ＝2100×⎝ ⎛⎭⎪⎫238＝128164 025，因为6454 675>11 000，128164 025<11 000，所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．。
河北省邯郸市重点中学高三数学规范性课时作业(十八)(教师版)
课时作业(十八)一、选择题1．sin 2 014°＝( B )A ．sin 34°B ．－sin 34°C ．sin 56°D ．－sin 56° 解析：sin 2 014°＝sin(5×360°＋214°) ＝sin 214°＝sin(180°＋34°)＝－sin 34°.故选B.2．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( B )A ．sin θ<0，cos θ>0B ．sin θ>0，cos θ<0C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0解析：sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0，∴cos θ<0.3．已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ的值为( B )A.23 B ．－23 C.13 D ．－13解析：∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝169，∴sin 2θ＝79，又0<θ<π4，∴sin θ<cos θ.∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2 ＝－1－sin 2θ＝－23.4．已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是( A )A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2解析：由同角三角函数关系式1－sin 2α＝cos 2α及题意可得cos α≠0，且1－sin α≠0，∴1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，∴cos α1－sin α＝－12，即cos αsin α－1＝12. 5.1－2sin (π＋2)cos (π＋2)等于( A )A ．sin 2－cos 2B ．cos 2－sin 2C ．±(sin 2－cos 2)D ．sin 2＋cos 2解析：原式＝1－2sin 2cos 2＝|sin 2－cos 2| ∵2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin 2>cos 2，原式＝sin 2－cos 2.6．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( B )A.32 B.12 C.22 D ．－12解析：f (α)＝sin αcos α(－cos x )(－tan α)＝sin αcos αsin α＝cos α∴f ⎝⎛⎭⎫－253π＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos π3＝12.二、填空题7.1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________. 解析：原式＝(sin 40°－cos 40°)2cos 40°－cos 50°＝cos40°－sin 40°cos 40°－sin 40°＝1.答案：18．已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－x ＝________.解析：cos ⎝⎛⎭⎫5π6－x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π3－x＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝－35.答案：－359．设f (x )＝sin x ＋cos x, f ′(x )是f (x )的导函数，若f (x )＝2f ′(x )，则sin (π－x )·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x cos xcos 2x＝________. 解析：f ′(x )＝cos x －sin x ，由f (x )＝2f ′(x )得sin x ＋cos x ＝2cos x －2sin x∴tan x ＝13，原式＝sin 2x ＋sin x cos x cos 2x ＝tan 2x ＋tan x ＝19＋13＝49. 答案：49三、解答题10．已知cos (π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π－α)；(2)sin [α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)cos (α－2n π)(n ∈Z )．解：∵cos(π＋α)＝－12，∴－cos α＝－12，cos α＝12.又∵α是第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－32.(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32； (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)·cos (α－2n π)＝sin (2n π＋π＋α)＋sin (－2n π－π＋α)sin (2n π＋α)·cos (－2n π＋α)＝sin (π＋α)＋sin (－π＋α)sin α·cos α＝－sin α－sin (π－α)sin α·cos α ＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.11．已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2－x ＋2a ＝0的两根．(1)求角A ； (2)若1＋2sin B cos Bcos 2B －sin 2B＝－3，求tan B .解：(1)由已知可得，3sin A －cos A ＝1. 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin 2A ＋(3sin A －1)2＝1， 即4sin 2A －23sin A ＝0，得sin A ＝0(舍去)或sin A ＝32，则A ＝π3或2π3， 将A ＝π3或2π3代入①知A ＝2π3时不成立，故A ＝π3. (2)由1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2B ＝－3，得sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0， ∵cos B ≠0，∴tan 2B －tan B －2＝0， ∴tan B ＝2或tan B ＝－1.∵tan B ＝－1使cos 2B －sin 2B ＝0，舍去， 故tan B ＝2.12．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在角α，β满足条件，则⎩⎨⎧ sin α＝2sin β3cos α＝2cos β①②.由①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22. ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α＝±π4.当α＝π4时，cos β＝32，∵0<β<π，∴β＝π6；当α＝－π4时，cos β＝32，∵0<β<π，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件． [热点预测]13．(1)已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( B ) A ．－104 B ．－64 C.64 D.104(2)(2013·河北高三质量监测)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( C )A.355B.377C.31010D.13 解析：(1)根据题意得cos α＝x 5＋x 2＝24x ， 解得x ＝3或x ＝－ 3. 又α是第二象限角，∴x ＝－ 3.即cos α＝－64，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－64，故选B.(2)由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010.答案：(1)B(2)C。
河北省邯郸市重点中学高三数学规范性课时作业(三十八)(教师版)
课时作业(三十八)一、选择题1．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误是( A )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提错都导致结论错解析：y ＝a x 是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错，故选A.2．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( A )解析：该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.3．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( C )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：利用归纳法：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4＝3＋1，a 4＋b 4＝4＋3＝7，a 5＋b 5＝7＋4＝11，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123. 规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．4．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( D )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．5．如下图所示，由若干个小圆圈组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个小圆圈，每个图形总的小圆圈数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a5＋…＋9a2 013a 2 014＝( C )A.2 0102 011B.2 0112 012C.2 0122 013D.2 0132 014解析：由已知条件知a 1＝3，a 2＝6，a 3＝9，a 4＝12，归纳得出a n ＝3(n －1)，因此9a 2a3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 013a 2 014＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋12 012－12 013＝2 0122 013. 6．一个赛跑机器人有如下特性：①步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，0.3米，…，1.8米或1.9米； ②发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成；③当设置的步长为a 米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒． 则这个机器人跑50米(允许超出50米)所需的最少时间是( A )A ．48.6秒B ．47.6秒C ．48秒D ．47秒解析：由题意可得当设置步长为1.9米，需跑27步，此时共跑51.3米，用时为(27－1)×1.9＝49.4秒；当a ＝1.8米时，需28步，共跑50.4米，用时为(28－1)×1.8＝48.6秒，当a ＝1.7米时，需跑30步，此时共跑51米，用时49.3秒．……由此可知当步长a 在减小时，所用时会超过49秒，舍去，故选A.二、填空题7．观察下列一组等式：①sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34； ②sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34； ③sin 245°＋cos 275°＋sin 45°cos 75°＝34，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是：________.解析：由①②③，可知sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β＝34成立，须β－α＝30°即可，即β＝30°＋α，所以一般结果是sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.答案：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34，答案不惟一，等价的均可8．挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如下图)，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式—阿贝尔公式：a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝L 1(b 1－b 2)＋L 2(b 2－b 3)＋L 3(b 3－b 4)＋…＋L n －1(b n－1－b n )＋L n b n则其中：(1)L 3＝________；(2)L n ＝________.解析：由题意知面积恒等关系进行等价转化(b 3－b 4)对应矩形的长为(a 1＋a 2＋a 3)；(b 2－b 3)对应矩形的长为(a 1＋a 2)…b n 对应矩形的长为(a 1＋a 2＋…＋a n )．故得结论．答案：(1)a 1＋a 2＋a 3 (2)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n9．设S 、V 分别表示面积和体积，如△ABC 面积用S △ABC 表示，三棱锥O －ABC 的体积用V O －ABC 表示．对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB→＋S △OBA ·OC →＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O 是三棱锥A －BCD 内一点，则有________．解析：由类比思想可得结论．答案：V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝010．将集合{2s ＋2t |0≤s ≤t 且s ，t ∈Z }中的元素按上小下大，左小右大的顺序排成如图的三角形数表，将数表中位于第i 行第j 列的数记为b ij (i ≥j >0)，则b 43＝________.解析：由数表归纳可知b 43＝24＋22＝20. 答案：20 三、解答题11．已知数列{a n }是递增的等比数列，满足a 1＝4，且54a 3是a 2、a 4的等差中项，数列{b n }满足b n ＋1＝b n ＋1，其前n 项和为S n ，且S 2＋S 6＝a 4(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为T n ，若不等式n log 2(T n ＋4)－λb n ＋7≥3n 对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，则q >1，a n ＝4q n －1 ∵54a 3是a 2和a 4的等差中项 ∴2×54a 3＝a 2＋a 4即2q 2－5q ＋2＝0 ∵q >1，∴q ＝2 ∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1依题意，数列{b n }为等差数列，公差d ＝1 又S 2＋S 6＝32，∴(2b 1＋1)＋6b 1＋6×52＝32， ∴b 1＝2，∴b n ＝n ＋1. (2)∵a n ＝2n ＋1，∴T n ＝4(2n －1)2－1＝2n ＋2－4.不等式n log 2(T n ＋4)－λb n ＋7≥3n 化为n 2－n ＋7≥λ(n ＋1)∵n ∈N *∵λ≤n 2－n ＋7n ＋1对一切n ∈N *恒成立．而n 2－n ＋7n ＋1＝(n ＋1)2－3(n ＋1)＋9n ＋1＝(n ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9n ＋1－3≥2(n ＋1)·9(n ＋1)－3＝3当且仅当n ＋1＝9n ＋1即n ＝2时等式成立．∴λ≤3.12．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14. [热点预测]13．(1)对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23⎩⎪⎨⎪⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为________．(2)已知数列{a n }为11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为( A )A.3724B.76C.1115D.715(3)已知向量OA →，AB →，O 是坐标原点，若|AB →|＝k |OA →|，且AB →方向是沿OA →的方向绕着A 点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称OA →经过一次(θ，k )变换得到AB →.现有向量OA →＝(1,1)经过一次(θ1，k 1)变换后得到AA 1→，AA 1→经过一次(θ2，k 2)变换后得到A 1A 2→，…，如此下去，A n －2A n －1经过一次(θn ，k n )变换后得到A n －1A n .设A n －1A n ＝(x ，y )，θn ＝12n －1，k n ＝1cos θn，则y －x 等于( B )A.2sin ⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫12n －1sin 1sin 12…sin 12n －1 B.2sin ⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫12n －1cos 1cos 12…cos 12n －1C.2cos ⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫12n －1sin 1sin 12…sin 12n －1D.2cos ⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫12n －1cos 1cos 12…cos 12n －1解析：(1)由题可以看出m 3分裂成m 个连续奇数，59为第30个奇数，7×82<30<8×92，所以59应在83的分裂中，∴m ＝8.(2)由给出的数列{a n }的10项得出规律，此数列中，分子与分母的和等于2的有1项，等于3的有2项，等于4的有3项，…，等于n 的有n －1项，且分母由1逐渐增大到n －1，分子由n －1逐渐减小到1(n ≥2)，当n ＝14时即分子与分母的和为14时，数列到91项，当n ＝15即分子与分母的和为15时，数列到104项，所以a 99与a 100是分子与分母和为15中的第8项与第9项，分别为78，69，∴a 99＋a 100＝78＋69＝3724，选A.(3)由归纳推理知识易知B 正确． 答案：(1)8 (2)A (3)B。
河北省邯郸市重点中学高三数学规范性课时作业(六十四)(教师版)
课时作业(六十四)一、选择题1．执行下边的框图，若输出的结果为12，则输入的实数x 的值是( D )A.14B.32C.22 D. 2解析：x >1时，log 2x ＝12得x ＝2成立，而x <1时，x －1＝12得x ＝32>1与x <1矛盾，故选D.第1题图 第2题图2．阅读上边的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出S 的值为( B )A ．64B ．73C ．512D ．585解析：第1次循环，S ＝1，不满足判断框内的条件，x ＝2；第2次循环，S ＝9，不满足判断框内的条件，x ＝4；第3次循环，S ＝73，满足判断框内的条件，跳出循环，输出S ＝73.3．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则( A )A ．a ＝4B ．a ＝5C ．a ＝6D ．a ＝7解析：k ＝1，S ＝1＋1－12＝32；k ＝2，S ＝1＋1－13＝53；k ＝3，S ＝1＋1－14＝74；k ＝4，S ＝1＋1－15＝95.输出结果是95，这时k ＝5>a ，故a ＝4.第3题图 第4题图4．已知全集U ＝Z ，Z 为整数集，如上图程序框图所示，集合A ＝{x |框图中输出的x 值}，B ＝{y |框图中输出的y 值}；当x ＝－1时，(∁U A )∩B ＝( D )A ．{－3，－1,5}B ．{－3，－1,5,7}C ．{－3，－1,7}D ．{－3，－1,7,9}解析：由程序框图的运行程序可知，集合A ＝{0,1,2,3,4,5,6}，B ＝{－3，－1,1,3,5,7,9}，所以(∁U A )∩B ＝{－3，－1，7,9}，故选D.5．如图是用模拟方法估计椭圆x 24＋y 2＝1面积的程序框图，S 表示估计的结果，则图中空白处应该填入( D )A ．S ＝N250B ．B ．S ＝N125 C ．C ．S ＝M250 D ．D ．S ＝M125解析：区间0～2构成边长为2的正方形，其面积为4，由程序框图的运行程序可知在2 000个点中落在椭圆第一象限内的点共有M 个，而椭圆自身是关于x 轴、y 轴、原点对称的，故空白处应填入M 2 000×4×4＝M125，故选D.6．执行如图所示的程序框图，若输入n ＝10，则输出S ＝( A )A.511B.111C.3655D.7255解析：S ＝122－1＋142－1＋162－1＋182－1＋1102－1＝511.第6题图 第7题图7．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为910，则判断框内应填入的条件是( A )A ．i >9B ．i ≥9C ．i >10D ．i ≥8解析：S ＝11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1，由S ＝910，得n ＝9，故选A.8．执行如图所示的程序框图，输入m ＝1 173，n ＝828，则输出的实数m 的值是( B )A ．68B ．69C ．138D ．139 解析：1 173÷828＝1…345,828÷345＝2…138， 354÷138＝2…69,138÷69＝2…0， ∴m ＝n ＝69，n ＝r ＝0. ∴输出的实数m 的值为69.9．定义min{a 1，a 2，…，a n }是a 1，a 2，…，a n 中的最小值，执行程序框图(如图)，则输出的结果是( C )A.15B.14C.13D.23解析：n ＝2时，a 2＝2， n ＝3时，a 3＝1a 2＝12；n ＝4时，a 4＝a 2＋1＝3，n ＝5时，a 5＝1a 4＝13；n ＝6时，a 6＝a 3＋1＝32，n ＝7时，a 7＝1a 6＝23；n ＝8时，a 8＝a 4＋1＝4，T ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，12，3，13，32，23，4＝13.第9题图 第10题图10．某班有24名男生和26名女生，数据a 1，a 2，…，a 50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成绩不为0)，如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数：A ，男生平均分：M ，女生平均分：－W .为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的( D )A ．T >0？，A ＝M ＋W50 B ．T <0？，A ＝M ＋W50 C ．T <0？，A ＝M －W50D ．T >0？，A ＝M －W50解析：依题意得，全班成绩的平均数应等于班级中所有的学生的成绩总和除以总人数，注意到当T >0时，输入的成绩表示的是某男生的成绩；当T <0时，输入的成绩表示的是某女生的成绩的相反数．因此结合题意得，选D.二、填空题11．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为________．解析：第1次循环：s ＝1＋(1－1)＝1，i ＝1＋1＝2；第2次循环：s ＝1＋(2－1)＝2，i ＝2＋1＝3；第3次循环：s ＝2＋(3－1)＝4，i ＝3＋1＝4；第4次循环：s ＝4＋(4－1)＝7，i ＝4＋1＝5.循环终止，输出s 的值为7.答案：7第11题图 第12题图12．执行上面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为________．解析：逐次计算的结果是F 1＝3，F 0＝2，n ＝2；F 1＝5，F 0＝3，n ＝3，此时输出，故输出结果为3.答案：313．(1)运行下图所示的程序，输入3,4时，则输出________．INPUT a ，b IF a >b THENm ＝aELSEm ＝bEND IFPRINT mENDS ←0n ←0While S ≤1 023S ←S ＋2n n ←n ＋1End While Print n第(1)题图 第(2)题图(2)根据上图所示的算法，可知输出的结果为________．解析：(1)程序的功能是比较两个数的大小且输出较大的数，所以输入3,4时输出4. (2)根据算法语句可知这是一个循环结构，S n 是一个以1为首项，2为公比的等比数列的前n 项和，即：S n ＝1－2n 1－2＝2n－1，可见n ＝10时，S 10＝1 023，所以n ＝10时进行最后一次循环，故n ＝11.答案：(1)4 (2)11 [热点预测]14．(1)下图是寻找“徽数”的程序框图．其中“S mod 10”表示自然数S 被10除所得的余数，“S /10”表示自然数S 被10除所得的商．则根据上述程序框图，输出的“徽数S ”为( D )A ．18B ．16C ．14D ．12第(1)题图 第(2)题图(2)如图所示的程序框图中，令a ＝tan θ，b ＝sin θ，c ＝cos θ，若在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|－π4<θ<3π4，θ≠0，π4，π2中，给θ取一个值，输出的结果是sin θ，则θ的值所在范围为( C )A.⎝⎛⎭⎫－π4，0B.⎝⎛⎭⎫0，π4C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫π4，π2解析：(1)法一：S ＝10，则x ＝S MOD 10＝10，y ＝S /10＝1,3(x ＋y ＋1)＝6，不符合判断条件，S ＝11，则x ＝1，y ＝1，3(x ＋y ＋1)＝9，不符合判断条件．S ＝12，则x ＝2，y ＝1，3(x ＋y ＋1)＝12，符合判断条件，输出S ＝12，选D.法二：由题意知，此程序的功能是寻找“徽数”，所谓“徽数”的定义是个位数与S 被10除所得的商的和加1后，再乘以3等于这个数本身，所以从选项验证可知D 正确．(2)由程序框图可知，本程序的功能是输入的三个数中输出最大的一个，现在tan θ，sin θ，cos θ，输出了sin θ，所以sin θ是最大的，在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪－π4<θ<3π4，θ≠0，π4，π2中θ的取值范围是⎝⎛⎭⎫π2，34π.答案：(1)D (2)C。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时作业(二十八)
一、选择题
1．若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于( A )
A ．－1－i
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．1＋i
解析：z ＝1－i i ＝i ＋1
－1
＝－1－i ，故选A.
2．已知i 是虚数单位，且复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，z 1·z 2是实数，则实数b 的值为( A )
A ．－6
B ．6 C.32
D.16
解析：z 1·z 2＝(3－b i)·(1－2i)＝(3－2b )－(b ＋6)i 为实数，∴b ＋6＝0，∴b ＝－6.
3．方程x 2＋6x ＋13＝0的一个根是( A )
A ．－3＋2i
B ．3＋2i
C ．－2＋3i
D ．2＋3i
解析：Δ＝62－4×13＝－16，∴x ＝－6±4i 2
＝－3±2i.故选A.
4．i 是虚数单位，复数
2i
1＋i
的实部为( C ) A ．2 B ．－2 C ．1
D ．－1
解析：2i
1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )
＝1＋i ，实部为1，选C.
5．在复平面内复数z ＝
3＋4i
1－i
对应的点在( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：z ＝3＋4i 1－i ＝(3＋4i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－12＋7
2i ，在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫－12，72在第二象
限，选B.
6．复数z ＝
3＋i
1－i
的共轭复数z ＝( B ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i
D ．2－i
解析：z ＝3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )
(1－i )(1＋i )
＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，选B.
7．已知
m
1＋i
＝1－n i ，其中m ，n ∈R ，i 为虚数单位，则m ＋n i ＝( B ) A ．1＋2i B ．2＋i C ．1－2i
D ．2－i
解析：由m
1＋i ＝1－n i 得m ＝(1－n i)(1＋i)＝1＋n ＋(1－n )i 得m ＝1＋n,1－n ＝0得m ＝
2，n ＝1.∴m ＋n i ＝2＋i ，选B.
8．复数z 满足z (1－i)＝2i ，则复数z 的实部与虚部之和为( D )
A ．－2
B ．2
C ．1
D ．0
解析：z (1－i)＝2i ⇒z ＝2i
1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )
＝－1＋i.则实部与虚部和为0.
9．已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则实数x ，y 分别为( D )
A ．x ＝－1，y ＝1
B ．x ＝－1，y ＝2
C ．x ＝1，y ＝1
D ．x ＝1，y ＝2
解析：采用展开计算的方法，得x ＋1＋(1－x ) i ＝y ，因为x ，y 均为实数，所以x ＝1，y ＝2，故选D.
10．设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1) i 为纯虚数”的( C )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数，则x 2－1＝0且x ＋1≠0，即x ＝1，所以“x ＝1”是“复数z 为纯虚数”的充要条件，选C.
11．在复平面内，复数5＋4i ，－1＋2i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数的模是( B )
A ．13 B.13 C ．213
D ．210
解析：由题意知点A (5,4)，点B (－1,2)，故其中点C (2,3)，所以复数的模为13，故选B.
12．若1－i(i 是虚数单位)是关于x 的方程x 2＋2px ＋q ＝0(p 、q ∈R )的一个解，则p ＋q ＝( C )
A ．－3
B ．－ 1
C ．1
D ．3
解析：将方程的解1－i 代入二次方程可得(1－i)2＋2p (1－i)＋q ＝0，化简得(2p ＋q )－
(2＋2p )i ＝0，由复数相等⎩⎨⎧
2p ＋q ＝0
2＋2p ＝0
解得p ＝－1，q ＝2，所以p ＋q ＝1，故选C.
13．若复数z ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋i 1－i 2 013
，则ln |z |＝( B ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．4
解析：复数z ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋i 1－i 2 013
＝i ，所以ln|z |＝0，故选B. 14．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝i 2 012＋3z 2z 1－1
－i 2 013
的模等于( C )
A.552 B ．2 5 C.29
D ．221
解析：将z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i 代入z ＝i 2 012＋3z 2z 1－1－i 2 013
化简得z ＝5－2i ，所以|z |＝52＋22
＝29，故选C.
15．已知复数z 1＝cos 23°＋isin 23°和复数z 2＝sin 53°＋isin 37°，则z 1·z 2( A )
A.12＋32i
B.32＋12i
C.12－32i
D.32－12i
解析：z 1·z 2＝(cos 23°＋isin 23°)·(sin 53°＋isin 37°)＝cos 23°sin 53°－sin 23°sin 37°＋
(sin 23°sin 53°＋cos 23°sin 37°)i
＝(cos 23°sin 53°－sin 23°cos 53°)＋(sin 23°cos 37°＋cos 23°sin 37°)i ＝sin 30°＋isin
60°＝12＋32i.
二、填空题
16．i 为虚数单位，计算3＋i 1＋i
＝________.
解析：复数z ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )
＝4－2i
2＝2－i.
答案：2－i
17．若复数a ＋i
1－i
是纯虚数，则实数a 的值为________．
解析：复数z ＝a ＋i 1－i ＝(a ＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝(a －1)＋(a ＋1)i
2为纯虚数，故a ＝1. 答案：1
18．设复数z 满足i (z ＋i)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的虚部是________．
解析：由已知z ·i ＝－2＋2i ，得z ＝－2＋2i i ＝－2＋2i ，故虚部为2. 答案：2
19．若复数z ＝
1＋i
1－i
(i 为虚数单位)，则|z |＝________. 解析：z ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2
2＝i ，∴|z |＝1.
答案：1 [热点预测]
20．(1)设复数z ＝a ＋i
1＋i
，其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为( )
A ．－i
B ．i
C ．－1
D ．1
(2)已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，若x －1＋y i ＝
2i
1＋i
，则x ＋y 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
解析：(1)z ＝a ＋i 1＋i ＝(a ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a ＋1＋(1－a )i 2，由已知实部为a ＋1
2＝2得a ＝3，所
以虚部为1－a
2＝－1，故选C.
(2)x －1＋y i ＝2i (1－i )
2＝1＋i ，由复数相等可得x ＝2，y ＝1，故x ＋y ＝3. 答案：(1)C (2)B。