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(易错题精选)初中数学四边形难题汇编及答案

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(易错题精选)初中数学四边形专项训练解析含答案(1)

(易错题精选)初中数学四边形专项训练解析含答案(1)

（易错题精选）初中数学四边形专项训练解析含答案(1)一、选择题1．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）A ．7B ．7或8C ．8或9D ．7或8或9【答案】D【解析】试题分析：设内角和为1080°的多边形的边数是n ，则（n ﹣2）•180°=1080°，解得：n=8． 则原多边形的边数为7或8或9．故选D ．考点：多边形内角与外角．2．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )．A ．180°B ．360°C ．540°D ．720°【答案】C【解析】【分析】 根据多边形内角和公式2180()n -⨯︒即可求出结果．【详解】解：黑色正五边形的内角和为：5218540(0)-⨯︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．3．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，D （P ，D 两点不重合）两点间的最短距离为（ ）A ．12B ．1C 3D 31【答案】D【解析】【分析】分三种情形讨论①若以边BC为底．②若以边PC为底．③若以边PB为底．分别求出PD 的最小值，即可判断．【详解】解：在菱形ABCD中，∵∠ABC=60°，AB=1，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P与点A重合时，PD值最小，最小值为1；②若以边PC为底，∠PBC为顶角时，以点B为圆心，BC长为半径作圆，与BD相交于一点，则弧AC（除点C外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在BD上时，PD1③若以边PB为底，∠PCB为顶角，以点C为圆心，BC为半径作圆，则弧BD上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点D重合时，PD最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；上所述，PD的最小值为1故选D．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．4．在平面直角坐标系中，A，B，C三点坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（）.A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】A点在原点上，B点在横轴上，C点在第一象限，根据平行四边形的性质：两组对边分别平行，可知第四个顶点可能在第一、二、四象限，不可能在第三象限，故选C5．一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为( )A．540°B．720°C．900°D．1080°【答案】A【解析】【详解】解：∵多边形的每一个外角都是72°，∴多边形的边数为：360572=，∴该多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．故选A．【点睛】外角和是360°，除以一个外角度数即为多边形的边数．根据多边形的内角和公式可求得该多边形的内角和．6．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O，下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③CE=DF，④tan∠OCD=43，⑤S△DOC=S四边形EOFB中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】分析：由正方形ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC=90°正确，③CE=D F正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD=∠DFC，即可求得④正确；由①易证得⑤正确．详解：∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°．∵AE=BF=1，∴BE=CF=4﹣1=3．在△EBC和△FCD中，BC CDB DCFBE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBC≌△FCD（SAS），∴∠CFD=∠BEC，CE=DF，故③正确，∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，∴∠DOC=90°；故①正确；连接DE，如图所示，若OC=OE．∵DF⊥EC，∴CD=DE．∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误；∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC，∴tan∠OCD=tan∠DFC=DCFC=43，故④正确；∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD，∴S△EBC﹣S△FOC=S△FCD﹣S△FOC，即S△ODC=S四边形BEOF．故⑤正确；故正确的有：①③④⑤．点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．7．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为()A．4 B．8 C．6 D．10【答案】B【解析】【分析】【详解】解：设AG与BF交点为O，∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，∴可证△ABO≌△AFO，∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，AB=5，∴AO=4，∵AF∥BE，∴可证△AOF≌△EOB，AO=EO，∴AE=2AO=8，故选B．【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质．8．下列说法中正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D．两条对角线相等的菱形是正方形【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键.A. 有一个角是直角的四边形是矩形,错误；B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误；D. 两条对角线相等的菱形是正方形，正确.故选D.【点睛】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键，考查了学生熟练运用知识解决问题的能力.9．如图，11,,33AB EF ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠∥，已知60FCD ∠=︒，则P ∠的度数为（ ）A ．60︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒【答案】B【解析】【分析】 延长BC 、EF 交于点G ，根据平行线的性质得180ABG BGE +=︒∠∠，再根据三角形外角的性质和平角的性质得60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠，最后根据四边形内角和定理求解即可．【详解】延长BC 、EF 交于点G∵//AB EF∴180ABG BGE +=︒∠∠∵60FCD ∠=︒∴60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠ ∵11,33ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠ ∴360P PBC BCF PFC =︒---∠∠∠∠2236012033ABG EFC =︒---︒∠∠ ()223606012033ABG BGE =︒--︒+-︒∠∠223604012033ABG BGE =︒--︒--︒∠∠ ()22003ABG BGE =︒-+∠∠ 22001803=︒-⨯︒ 80=︒故答案为：B ．【点睛】本题考查了平行线的角度问题，掌握平行线的性质、三角形外角的性质、平角的性质、四边形内角和定理是解题的关键．10．如图，ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AD BD ⊥，30ABD ∠=︒，若23AD =．则OC 的长为（ ）A ．3B ．3C 21D ．6【答案】C【解析】 【分析】 先根据勾股定理解Rt ABD △求得6BD =，再根据平行四边形的性质求得3OD =，然后根据勾股定理解Rt AOD △、平行四边形的性质即可求得21OC OA ==【详解】解：∵AD BD ⊥∴90ADB ∠=︒∵在Rt ABD △中，30ABD ∠=︒，23AD =∴243AB AD ==∴226BD AB AD =-=∵四边形ABCD 是平行四边形∴132OB OD BD ===，12OA OC AC ==∴在Rt AOD △中，AD =3OD =∴OA =∴OC OA ==故选：C【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．11．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要使四边形ABCD 是平行四边形，可添加的条件不正确的是（ ）A ．AB ∥CDB ．∠B ＝∠DC ．AD ＝BC D ．AB ＝CD【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的判定解答即可．【详解】∵AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故A 正确；∵AD ∥BC ，AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故C 正确；∵AD ∥BC ，∴∠D+∠C=180°，∵∠B=∠D ，∴∠B+C=180°，∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故B 正确；故选：D ．【点睛】此题考查平行四边形的判定，解题关键是根据平行四边形的判定解答．12．如图，菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （0，DOB =60°，点P 是对角线OC 上的一个动点，已知A （﹣1，0），则AP +BP 的最小值为（ ）A．4 B．5 C．33D．19【答案】D【解析】【分析】点B的对称点是点D，连接AD，则AD即为AP+BP的最小值，求出点D坐标解答即可．【详解】解：连接AD，如图，∵点B的对称点是点D，∴AD即为AP+BP的最小值，∵四边形OBCD是菱形，顶点B（0，23），∠DOB=60°，∴点D的坐标为（3，3），∵点A的坐标为（﹣1，0），∴AD=22+=，(3)419故选：D．【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据两点坐标得出距离．13．如图，四边形ABCD的对角线为AC、BD，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD 为矩形的是（）A．BA=BCB．AC、BD互相平分C．AC⊥BDD．AB∥CD【答案】B【解析】试题分析：根据矩形的判定方法解答．解：能判定四边形ABCD是矩形的条件为AC、BD互相平分．理由如下：∵AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴▱ABCD是矩形．其它三个条件再加上AC=BD均不能判定四边形ABCD是矩形．故选B．考点：矩形的判定．14．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则AMMD等于（）A．35B．23C．38D．45【答案】A【解析】试题分析：设AB=a,根据题意知AD=2a，由四边形BMDN是菱形知BM=MD，设AM=b,则BM=MD=2a-b.在Rt△ABM中，由勾股定理即可求值.试题解析：∵四边形MBND是菱形，∴MD=MB．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．设AB=a，AM=b，则MB=2a-b，（a、b均为正数）．在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即a2+b2=（2a-b）2，解得a=4b3，∴MD=MB=2a-b=53 b，∴3553AM bMD b==.故选A.考点：1.矩形的性质；2.勾股定理；3.菱形的性质．15．如图，在菱形ABCD 中，60BCD ∠=︒，BC 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接BF 、DF ，则DFC ∠的度数是（ ）A ．130︒B ．120︒C ．110︒D ．100︒【答案】A【解析】【分析】 首先求出∠CFB=130°，再根据对称性可知∠CFD=∠CFB 即可解决问题；【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACD ＝∠ACB ＝12∠BCD=25°， ∵EF 垂直平分线段BC ，∴FB=FC ，∴∠FBC=∠FCB=25°，∴∠CFB=180°-25°-25°=130°，根据对称性可知：∠CFD=∠CFB=130°，故选：A ．【点睛】此题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．如图，在 ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连结EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③S 四边形DEBC =2S △EFB ；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】分析：如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．证明△DFE ≌△FCG 得EF=FG ，BE ⊥BG ，四边形BCFH 是菱形即可解决问题；详解：如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE=S△CFG，∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选D．点睛：本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．17．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm【答案】D【解析】分析：根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB，然后根据CE=BC-BE，代入数据进行计算即可得解．详解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC-BE=8-6=2cm．故选：D．点睛：本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．18．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．110°B．120°C．140°D．150°【答案】B【解析】【详解】解：∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=20°，图b中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，故选B．19．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形一定是矩形B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上C．如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6D．“用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件【答案】D【解析】【分析】根据矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义依次判断即可.【详解】A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该项错误；B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，故该项错误；C. 一组数据为5，3，6，4，2，它的中位数是4，故该项错误；D. “用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形” 这一事件是不可能事件，正确，故选：D.【点睛】此题矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义，综合掌握各知识点是解题的关键.20．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则DE的长为（）A．65B．85C．125D．245【答案】D【解析】【分析】连接AD，根据已知等腰三角形的性质得出AD⊥BC和BD=6，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：连接AD∵AB=AC，D为BC的中点，BC=12，∴AD⊥BC，BD=DC=6，在Rt△ADB中，由勾股定理得：22221068AB BD=+=，∵S△ADB=12×AD×BD＝12×AB×DE，∴DE=8624105 AD BDAB⨯⨯==，故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD的长是解此题的关键．。

四边形易错题汇编含答案

四边形易错题汇编含答案

四边形易错题汇编含答案一、选择题1．四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝20°，则∠CAD的度数是（）.A．25°B．20°C．30°D．40°【答案】B【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴OH=OB=12BD，∵∠DHO=20°，∴∠OHB=90°-∠DHO=70°，∴∠ABD=∠OHB=70°，∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°．故选A．2．若菱形的对角线分别为6和8，则这个菱形的周长为（）A．10 B．20 C．40 D．48【答案】B【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．【详解】如图所示，根据题意得AO=12×8=4，BO=12×6=3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴△AOB 是直角三角形，∴AB=22169AO BO +=+=5，∴此菱形的周长为：5×4=20．故选：B ．【点睛】 此题考查菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键.3．正九边形的内角和比外角和多（ ） A ．720︒B ．900︒C ．1080︒D ．1260︒【答案】B【解析】【分析】根据多边形的内角和公式求出正九边形的内角和，减去外角和360°即可.【详解】∵正九边形的内角和是(92)1801260-⨯=o o ，∴1260360-=o o 900︒，故选：B.【点睛】此题考查多边形的内角和公式、外角和，熟记公式是解题的关键.4．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接CF ，DG ，则DG CF=（ ）A ．23B ．22C ．33D ．32【答案】B【解析】【分析】连接AC 和AF ，证明△DAG ∽△CAF 可得DG CF的值． 【详解】连接AC 和AF ，则2 AD AGACAF==，∵∠DAG=45°-∠GAC，∠CAF=45°-GAC，∴∠DAG=∠CAF．∴△DAG∽△CAF．∴22DG ADCF AC==．故答案为：B.【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形．5．在平面直角坐标系中，A，B，C三点坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（）.A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】A点在原点上，B点在横轴上，C点在第一象限，根据平行四边形的性质：两组对边分别平行，可知第四个顶点可能在第一、二、四象限，不可能在第三象限，故选C6．如图，已知矩形ABCD中，BC＝2AB，点E在BC边上，连接DE、AE，若EA平分∠BED，则ABECDESSVV的值为（）A23-B233-C233-D23-【答案】C【解析】【分析】过点A 作AF ⊥DE 于F ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB ，利用全等三角形的判定和性质以及矩形的性质解答即可．【详解】解：如图，过点A 作AF ⊥DE 于F ，在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，∵AE 平分∠BED ，∴AF ＝AB ，∵BC ＝2AB ，∴BC ＝2AF ，∴∠ADF ＝30°，在△AFD 与△DCE 中∵∠C=∠AFD=90°,∠ADF=∠DEC,AF=DC,，∴△AFD ≌△DCE （AAS ），∴△CDE 的面积＝△AFD 的面积＝2113AF DF AF 3AF 22⨯== ∵矩形ABCD 的面积＝AB •BC ＝2AB 2，∴2△ABE 的面积＝矩形ABCD 的面积﹣2△CDE 的面积＝（23AB 2，∴△ABE 的面积＝(2232AB , ∴2323323ABE CDE S S --==V V 故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB ．7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，且BE∥AC，CE∥DB，连接DE，则tan∠EDC＝（）A．14B．16C．26D．310【答案】B【解析】【分析】过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF=12x，CF=x．再由锐角三角函数定义作答即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，∴BC＝AD，设AB＝2x，则BC＝x．如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形BOCE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∴四边形BOCE是菱形．∴OE与BC垂直平分，∴EF＝12AD＝12x，OE∥AB，∴四边形AOEB是平行四边形，∴OE＝AB＝2x，∴CF＝12OE＝x．∴tan∠EDC＝EFDF＝122xx x＝16．故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．8．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是()A．8 B．9 C．10 D．12【答案】A【解析】试题分析：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x=180，解可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数．解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，由题意得：x+3x=180，解得x=45，这个多边形的边数：360°÷45°=8，故选A．考点：多边形内角与外角．9．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24 B．18 C．12 D．9【答案】A【解析】【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．【详解】∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周长是4×6=24，故选A．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.10．如图，菱形ABCD 中，对角线BD 与AC 交于点O ， BD =8cm ，AC =6cm ，过点O 作OH ⊥CB 于点H ，则OH 的长为( )A ．5cmB ．52cm C ．125cm D ．245cm 【答案】C【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB 、OC ，再利用勾股定理列式求出BC ，然后根据△BOC 的面积列式计算即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，111163,842222OC AC OB BD ==⨯===⨯= 在Rt △BOC 中，由勾股定理得，2222345BC OB OC ++=∵OH ⊥BC ，1122BOC S OC OB CB OH ∴=⋅=⋅V ∴1143522OH ⨯⨯=⨯ ∴125OH =故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于利用两种方法表示△BOC 的面积列出方程．11．如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（ ）A ．2B ．322C ．52D ．3【答案】A【解析】【分析】 根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标，结合题意进一步可以得出BC 长为5，利用三角形中位线性质可知OE=12BD ，而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，据此进一步求解即可.【详解】 ∵2119y x =-， ∴当0y =时，21019x =-， 解得：=3x ±，∴A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)，即：AO=BO=3，∴O 点为AB 的中点，又∵圆心C 坐标为(0，4)，∴OC=4，∴BC 长度2205OB C +=，∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点，∴OE 为△ABD 的中位线，即：OE=12BD ， ∵D 点是圆上的动点，由图可知，BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，∴BD 的最小值为4，∴OE=12BD=2，即OE 的最小值为2，故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.12．如图，△ABC 中，AB=4，AC=3，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ）A ．1B ．34C ．23D ．12【答案】D【解析】【分析】 由等腰三角形的判定方法可知△AGC 是等腰三角形，所以F 为GC 中点，再由已知条件可得EF 为△CBG 的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF 的长．【详解】∵AD 是△ABC 角平分线，CG ⊥AD 于F ，∴△AGC 是等腰三角形，∴AG=AC=3，GF=CF ，∵AB=4，AC=3，∴BG=1，∵AE 是△ABC 中线，∴BE=CE ，∴EF 为△CBG 的中位线，∴EF=12BG=12， 故选：D ．【点睛】 此题考查等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理，解题关键在于掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．13．如图，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，点E H ，在ADCD ，边上，点F G ，在对角线AC 上，若6AB ，则EFGH 的面积是( )A．6 B．8 C．9 D．12【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质得到∠DAC＝∠ACD＝45°，由四边形EFGH是正方形，推出△AEF与△DFH是等腰直角三角形，于是得到DE＝22EH＝22EF，EF＝22AE，即可得到结论．【详解】解：∵在正方形ABCD中，∠D＝90°，AD＝CD＝AB，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∵四边形EFGH为正方形，∴EH＝EF，∠AFE＝∠FEH＝90°，∴∠AEF＝∠DEH＝45°，∴AF＝EF，DE＝DH，∵在Rt△AEF中，AF2＋EF2＝AE2，∴AF＝EF 2 AE，同理可得：DH＝DE＝22EH又∵EH＝EF，∴DE 2EF22AE＝12AE，∵AD＝AB＝6，∴DE＝2，AE＝4，∴EH2DE＝2，∴EFGH的面积为EH2＝（2）2＝8，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，熟练掌握图形的性质及勾股定理是解决本题的关键．14．如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，如果用直尺画一条直线将其剩余部分分割成面积相等的两部分，这样的不同的直线一共可以画出（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质分割平行四边形即可．【详解】解：如图所示，这样的不同的直线一共可以画出三条，故答案为：3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性．15．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB＝12∠CGE．其中正确的结论是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；②∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误；④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+12（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，∴∠DFB=45°=12∠CGE，，正确．故选B．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．16．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则AMMD等于（）A．35B．23C．38D．45【答案】A【解析】试题分析：设AB=a,根据题意知AD=2a，由四边形BMDN是菱形知BM=MD，设AM=b,则BM=MD=2a-b.在Rt△ABM中，由勾股定理即可求值.试题解析：∵四边形MBND是菱形，∴MD=MB．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．设AB=a，AM=b，则MB=2a-b，（a、b均为正数）．在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即a2+b2=（2a-b）2，解得a=4b3，∴MD=MB=2a-b=53b，∴3553AM bMD b==.故选A.考点：1.矩形的性质；2.勾股定理；3.菱形的性质．17．如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．下列结论中：①DE＝DF；②AG＝GF；③AF＝DF；④BG＝GC；⑤BF＝EF，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】由AAS证明△ABF≌△DEF，得出对应边相等AF=DF，BF=EF，即可得出结论，对于①②④不一定正确．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，即AB∥CE，∴∠ABF=∠E，∵DE=CD，∴AB=DE，在△ABF和△DEF中，∵===ABF E AFB DFE AB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴△ABF ≌△DEF （AAS ），∴AF=DF ，BF=EF ；可得③⑤正确，故选：B ．【点睛】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．18．如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ，且MC=2，▱ABCD 的周长是在14，则DM 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】 试题分析：∵BM 是∠ABC 的平分线，∴∠ABM=∠CBM ，∵AB ∥CD ，∴∠ABM=∠BMC ，∴∠BMC=∠CBM ，∴BC=MC=2，∵▱ABCD 的周长是14，∴BC+CD=7，∴CD=5，则DM=CD ﹣MC=3，故选C ．考点：平行四边形的性质．19．如图，ABC V 中，5AB AC ==，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．5【答案】B【解析】【分析】 根据等腰三角形三线合一可得AE ⊥BC ，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE 的长度．【详解】解：∵5AB AC ==，AE 平分BAC ∠，∴AE ⊥BC ，又∵点D 为AB 的中点，∴1 2.52DE AB ==， 故选：B ．【点睛】 本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．20．如图，在边长为8的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是 （ ）A ．183π-B ．183πC ．32316πD ．1839π-【答案】C【解析】【分析】由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，∵DF 是菱形的高，∴DF ⊥AB ，∴DF=AD •sin60°=82⨯= ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积=2120816360ππ⨯⨯=． 故选：C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．。

人教备战中考数学培优 易错 难题(含解析)之平行四边形含答案

人教备战中考数学培优 易错 难题(含解析)之平行四边形含答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为62或23.【解析】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=12EK=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，3AE=CK，∴FK=2，在Rt△EFK中，tan∠3∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，∴EK=2FK=4，OF=12EK=2，∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，在Rt△PHF中，PH=12PF=1，3OH=23∴()2212362+-=如图4中，点P 在线段OC 上，当PO=PF 时，∠POF=∠PFO=30°，∴∠BOP=90°，∴OP=33OE=233， 综上所述：OP 的长为62 或233. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.2．已知AD 是△ABC 的中线P 是线段AD 上的一点（不与点A 、D 重合），连接PB 、PC ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、PB 、PC 的中点，AD 与EF 交于点M ；（1）如图1，当AB ＝AC 时，求证：四边形EGHF 是矩形；（2）如图2，当点P 与点M 重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与△BPE 面积相等的三角形（不包括△BPE 本身）．【答案】（1）见解析；（2）△APE 、△APF 、△CPF 、△PGH ．【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理得出EG ∥AP ，EF ∥BC ，EF=12BC ，GH ∥BC ，GH=12BC ，推出EF ∥GH ，EF=GH ，证得四边形EGHF 是平行四边形，证得EF ⊥AP ，推出EF ⊥EG ，即可得出结论；（2）由△APE 与△BPE 的底AE=BE ，又等高，得出S △APE =S △BPE ，由△APE 与△APF 的底EP=FP ，又等高，得出S △APE =S △APF ，由△APF 与△CPF 的底AF=CF ，又等高，得出S △APF =S △CPF ，证得△PGH 底边GH 上的高等于△AEF 底边EF 上高的一半，推出S△PGH=12S△AEF=S△APF，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，∴EG∥AP，EF∥BC，EF＝12BC，GH∥BC，GH＝12BC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EGHF是平行四边形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴EF⊥AP，∵EG∥AP，∴EF⊥EG，∴平行四边形EGHF是矩形；（2）∵PE是△APB的中线，∴△APE与△BPE的底AE＝BE，又等高，∴S△APE＝S△BPE，∵AP是△AEF的中线，∴△APE与△APF的底EP＝FP，又等高，∴S△APE＝S△APF，∴S△APF＝S△BPE，∵PF是△APC的中线，∴△APF与△CPF的底AF＝CF，又等高，∴S△APF＝S△CPF，∴S△CPF＝S△BPE，∵EF∥GH∥BC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，∴△AEF底边EF上的高等于△ABC底边BC上高的一半，△PGH底边GH上的高等于△PBC 底边BC上高的一半，∴△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，∵GH＝EF，∴S△PGH＝12S△AEF＝S△APF，综上所述，与△BPE面积相等的三角形为：△APE、△APF、△CPF、△PGH．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．3．如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′处．AB′与CD交于点E．（1）求证：△AED≌△CEB′；（2）过点E作EF⊥AC交AB于点F，连接CF，判断四边形AECF的形状并给予证明．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得AD=BC=B'C，∠B=∠D=∠B'，且∠AED=∠CEB'，利用AAS证明全等，则结论可得；（2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，则可证四边形AECF是菱形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D∵平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠∴BC＝B'C，∠B＝∠B'∴∠D＝∠B'，AD＝B'C且∠DEA＝∠B'EC∴△ADE≌△B'EC（2）四边形AECF是菱形∵△ADE≌△B'EC∴AE＝CE∵AE＝CE，EF⊥AC∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF∴AF＝CF∵CD∥AB∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF∴∠AEF＝∠EFA∴AF＝AE∴AF＝AE＝CE＝CF∴四边形AECF是菱形【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键．4．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC．（1）求证：△AEF≌△DCE．（2）若DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6cm.【解析】分析：（1）根据EF⊥CE，求证∠AEF=∠ECD．再利用AAS即可求证△AEF≌△DCE．（2）利用全等三角形的性质，对应边相等，再根据矩形ABCD的周长为32cm，即可求得AE的长.详解：（1）证明：∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，∴∠AEF=∠ECD．在Rt△AEF和Rt△DEC中，∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=EC．∴△AEF≌△DCE．（2）解：∵△AEF≌△DCE．AE=CD．AD=AE+4．∵矩形ABCD的周长为32cm，∴2（AE+AE+4）=32．解得，AE=6（cm）．答：AE的长为6cm．点睛：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形的性质等知识点的理解和掌握，难易程度适中，是一道很典型的题目．5．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的关系是___；（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．【答案】（1）FG=CE，FG∥CE；（2）成立；（3）成立.【解析】试题分析：（1）只要证明四边形CDGF是平行四边形即可得出FG=CE，FG∥CE；（2）构造辅助线后证明△HGE≌△CED，利用对应边相等求证四边形GHBF是矩形后，利用等量代换即可求出FG=C，FG∥CE；（3）证明△CBF≌△DCE后，即可证明四边形CEGF是平行四边形．试题解析：解：（1）FG=CE，FG∥CE；（2）过点G作GH⊥CB的延长线于点H．∵EG⊥DE，∴∠GEH+∠DEC=90°．∵∠GEH+∠HGE=90°，∴∠DEC=∠HE．在△HGE与△CED中，∵∠GHE=∠DCE，∠HGE=∠DEC，EG=DE，∴△HGE≌△CED（AAS），∴GH=CE，HE=CD．∵CE=BF，∴GH=BF．∵GH∥BF，∴四边形GHBF是矩形，∴GF=BH，FG∥CH，∴FG∥CE．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=BC，∴HE=BC，∴HE+EB=BC+EB，∴BH=EC，∴FG=EC；（3）∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°．在△CBF与△DCE中，∵BF=CE，∠FBC=∠ECD，BC=DC，∴△CBF≌△DCE（SAS），∴∠BCF=∠CDE，CF=DE．∵EG=DE，∴CF=EG．∵DE⊥EG，∴∠DEC+∠CEG=90°．∵∠CDE+∠DEC=90°，∴∠CDE=∠CEG，∴∠BCF=∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形CEGF平行四边形，∴FG∥CE，FG=CE．6．如图1，矩形ABCD中，AB=8，AD=6；点E是对角线BD上一动点，连接CE，作EF⊥CE 交AB边于点F，以CE和EF为邻边作矩形CEFG，作其对角线相交于点H．（1）①如图2，当点F与点B重合时，CE=，CG=；②如图3，当点E是BD中点时，CE=，CG=；（2）在图1，连接BG，当矩形CEFG随着点E的运动而变化时，猜想△EBG的形状？并加以证明；（3）在图1，CGCE的值是否会发生改变？若不变，求出它的值；若改变，说明理由；（4）在图1，设DE的长为x，矩形CEFG的面积为S，试求S关于x的函数关系式，并直接写出x 的取值范围．【答案】（1）245，185 ，5，154 ；（2）△EBG 是直角三角形，理由详见解析；（3）34 ；（4）S=34x 2﹣485x+48（0≤x≤325）． 【解析】【分析】（1）①利用面积法求出CE ，再利用勾股定理求出EF 即可；②利用直角三角形斜边中线定理求出CE ，再利用相似三角形的性质求出EF 即可；（2）根据直角三角形的判定方法：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形即可判断；（3）只要证明△DCE ∽△BCG ，即可解决问题；（4）利用相似多边形的性质构建函数关系式即可；【详解】（1）①如图2中，在Rt △BAD 中，BD=22AD AB +=10， ∵S △BCD =12•CD•BC=12•BD•CE ， ∴CE=245．CG=BE=2224186()=55-． ②如图3中，过点E 作MN ⊥AM 交AB 于N ，交CD 于M ．∵DE=BE，∴CE=12BD=5，∵△CME∽△ENF，∴CM ENCE EF=，∴CG=EF=154，（2）结论：△EBG是直角三角形．理由：如图1中，连接BH．在Rt△BCF中，∵FH=CH，∴BH=FH=CH，∵四边形EFGC是矩形，∴EH=HG=HF=HC，∴BH=EH=HG，∴△EBG是直角三角形．（3）F如图1中，∵HE=HC=HG=HB=HF，∴C、E、F、B、G五点共圆，∵EF=CG，∴∠CBG=∠EBF，∵CD∥AB，∴∠EBF=∠CDE，∴∠CBG=∠CDE，∵∠DCB=∠ECG=90°，∴∠DCE=∠BCG，∴△DCE∽△BCG，∴6384CG BCCE DC===．（4）由（3）可知：34CG CDCE CB==，∴矩形CEFG∽矩形ABCD，∴2264CEFGABCDS CE CES CD==矩形矩形（），∵CE2=（325-x）2+245）2，S矩形ABCD=48，∴S矩形CEFG=34[（325-x）2+（245）2].∴矩形CEFG的面积S=34x2-485x+48（0≤x≤325）．【点睛】本题考查相似三角形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质、相似多边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形或直角三角形解决问题，属于中考压轴题．7．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．【答案】（1）证明见试题解析；（2）．【解析】试题分析：（1）由折叠的性质，可以得到DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，再证明 FG=FE，即可得到四边形DEFG为菱形；（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出的值．试题解析：（1）由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，∵FG∥CD，∴∠2=∠3，∴FG=FE，∴DG=GF=EF=DE，∴四边形DEFG为菱形；（2）设DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8﹣x，在Rt△EFC中，，即，解得：x=5，CE=8﹣x=3，∴=．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．勾股定理；3．菱形的判定与性质；4．矩形的性质；5．综合题．8．如图1，若分别以△ABC的AC、BC两边为边向外侧作的四边形ACDE和BCFG为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形．（1）发现：如图2，当∠C=90°时，求证：△ABC与△DCF的面积相等．（2）引申：如果∠C 90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；（3）运用：如图3，分别以△ABC的三边为边向外侧作的四边形ACDE、BCFG和ABMN为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形．已知△ABC中，AC=3，BC=4．当∠C=_____°时，图中阴影部分的面积和有最大值是________．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）18.【解析】试题分析：（1）因为AC=DC，∠ACB=∠DCF=90°，BC=FC，所以△ABC≌△DFC，从而△ABC与△DFC的面积相等；（2）延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q．得到四边形ACDE，BCFG均为正方形，AC=CD，BC=CF，∠ACP=∠DCQ．所以△APC≌△DQC．于是AP=DQ．又因为S△ABC=12BC•AP，S△DFC=12FC•DQ，所以S△ABC=S△DFC；（3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．所以S阴影部分面积和=3S△ABC=3×12×3×4=18．（1）证明：在△ABC与△DFC中，∵{AC DCACB DCF BC FC∠∠＝＝＝，∴△ABC ≌△DFC ．∴△ABC 与△DFC 的面积相等；（2）解：成立．理由如下：如图，延长BC 到点P ，过点A 作AP ⊥BP 于点P ；过点D 作DQ ⊥FC 于点Q ． ∴∠APC=∠DQC=90°．∵四边形ACDE ，BCFG 均为正方形，∴AC=CD ，BC=CF ，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，∴∠ACP=∠DCQ ．∴{APC DQCACP DCQ AC CD∠∠∠∠＝＝＝，△APC ≌△DQC （AAS ），∴AP=DQ ．又∵S △ABC =12BC•AP ，S △DFC =12FC•DQ ， ∴S △ABC =S △DFC ；（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC 的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC 的面积最大，∴当△ABC 是直角三角形，即∠C 是90度时，阴影部分的面积和最大．∴S 阴影部分面积和=3S △ABC =3×12×3×4=18． 考点：四边形综合题9．已知边长为1的正方形ABCD 中， P 是对角线AC 上的一个动点（与点A 、C 不重合），过点P 作PE ⊥PB ，PE 交射线DC 于点E ，过点E 作EF ⊥AC ，垂足为点F ．（1）当点E 落在线段CD 上时（如图），①求证：PB=PE ；②在点P 的运动过程中，PF 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点E 落在线段DC 的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P 的运动过程中，△PEC 能否为等腰三角形？如果能，试求出AP 的长，如果不能，试说明理由．【答案】（1）①证明见解析；②点PP 在运动过程中，PF的长度不变，值为2；（2）画图见解析，成立 ；（3）能，1.【解析】 分析：（1）①过点P 作PG ⊥BC 于G ，过点P 作PH ⊥DC 于H ，如图1．要证PB=PE ，只需证到△PGB ≌△PHE 即可；②连接BD ，如图2．易证△BOP ≌△PFE ，则有BO=PF ，只需求出BO 的长即可．（2）根据条件即可画出符合要求的图形，同理可得（1）中的结论仍然成立．（3）可分点E 在线段DC 上和点E 在线段DC 的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的AP 的长．详解：（1）①证明：过点P 作PG ⊥BC 于G ，过点P 作PH ⊥DC 于H ，如图1．∵四边形ABCD 是正方形，PG ⊥BC ，PH ⊥DC ，∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°．∴PG=PH ，∠GPH=∠PGB=∠PHE=90°．∵PE ⊥PB 即∠BPE=90°，∴∠BPG=90°﹣∠GPE=∠EPH ．在△PGB 和△PHE 中，PGB PHE PG PHBPG EPH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△PGB ≌△PHE （ASA ），∴PB=PE ．②连接BD ，如图2．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOP=90°．∵PE ⊥PB 即∠BPE=90°，∴∠PBO=90°﹣∠BPO=∠EPF ．∵EF ⊥PC 即∠PFE=90°，∴∠BOP=∠PFE ．在△BOP 和△PFE 中，PBO EPF BOP PFE PB PE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△BOP ≌△PFE （AAS ），∴BO=PF ．∵四边形ABCD 是正方形，∴OB=OC ，∠BOC=90°，∴BC=2OB ．∵BC=1，∴OB=22， ∴PF=22． ∴点PP 在运动过程中，PF 的长度不变，值为2． （2）当点E 落在线段DC 的延长线上时，符合要求的图形如图3所示．同理可得：PB=PE ，2 （3）①若点E 在线段DC 上，如图1．∵∠BPE=∠BCE=90°，∴∠PBC+∠PEC=180°．∵∠PBC＜90°，∴∠PEC＞90°．若△PEC为等腰三角形，则EP=EC．∴∠EPC=∠ECP=45°，∴∠PEC=90°，与∠PEC＞90°矛盾，∴当点E在线段DC上时，△PEC不可能是等腰三角形．②若点E在线段DC的延长线上，如图4．若△PEC是等腰三角形，∵∠PCE=135°，∴CP=CE，∴∠CPE=∠CEP=22.5°．∴∠APB=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°．∵∠PRC=90°+∠PBR=90°+∠CER，∴∠PBR=∠CER=22.5°，∴∠ABP=67.5°，∴∠ABP=∠APB．∴AP=AB=1．∴AP的长为1．点睛：本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知识，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键．10．倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径．下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”的问题．习题如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，说明理由．解答：∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′，点F、D、E′在一条直线上．∴∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF，又∵AE′=AE，AF=AF∴△AE′F≌△AEF（SAS）∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF．类比猜想：（1）请同学们研究：如图（2），在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当∠BAD=120°，∠EAF=60°时，还有EF=BE+DF吗？请说明理由．（2）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=∠BAD时，EF=BE+DF吗？请说明理由．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：（1）把△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADE′，如图（2），连结E′F，根据菱形和旋转的性质得到AE=AE′，∠EAF=∠E′AF，利用“SAS”证明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F；由于∠ADE′+∠ADC=120°，则点F、D、E′不共线，所以DE′+DF＞EF，即由BE+DF＞EF；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数至△ADE′，如图（3），根据旋转的性质得到AE′=AE，∠EAF=∠E′AF，然后利用“SAS”证明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F，由于∠ADE′+∠ADC=180°，知F、D、E′共线，因此有EF=DE′+DF=BE+DF；根据前面的条件和结论可归纳出结论．试题解析：（1）当∠BAD=120°，∠EAF=60°时，EF=BE+DF不成立，EF＜BE+DF．理由如下：∵在菱形ABCD中，∠BAD=120°，∠EAF=60°，∴AB=AD，∠1+∠2=60°，∠B=∠ADC=60°，∴把△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADE′，如图（2），连结E′F，∴∠EAE′=120°，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B=60°，∴∠2+∠3=60°，∴∠EAF=∠E′AF，在△AEF和△AE′F中，∴△AEF≌△AE′F（SAS），∴EF=E′F，∵∠ADE′+∠ADC=120°，即点F、D、E′不共线，∴DE′+DF＞EF∴BE+DF＞EF；（2）当AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=∠BAD时，EF=BE+DF成立．理由如下：如图（3），∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数至△ADE′，如图（3），∴∠EAE′=∠BAD，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B，∵∠B+∠D=180°，∴∠ADE′+∠D=180°，∴点F、D、E′共线，∵∠EAF=∠BAD，∴∠1+∠2=∠BAD，∴∠2+∠3=∠BAD，∴∠EAF=∠E′AF，在△AEF和△AE′F中，∴△AEF≌△AE′F（SAS），∴EF=E′F，∴EF=DE′+DF=BE+DF；归纳：在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=∠BAD时，EF=BE+DF．考点：四边形综合题．。

(易错题精选)初中数学四边形难题汇编含答案(1)

(易错题精选)初中数学四边形难题汇编含答案(1)

（易错题精选）初中数学四边形难题汇编含答案(1)一、选择题1．如图，平行四边形ABCD 的周长是26,cm 对角线AC 与BD 交于点,,O AC AB E ⊥是BC 中点，AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则AE 的长度为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．8cm【答案】B【解析】【分析】 根据题意，由平行四边形的周长得到13AB AD +=，由AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则3AD AB -=，求出AD 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵平行四边形ABCD 的周长是26cm ， ∴126132AB AD +=⨯=， ∵BD 是平行四边形的对角线，则BO=DO ，∵AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，∴()()3AO OD AD AO OB AB AD AB ++-++=-=，∴5AB =，8AD =，∴8BC AD ==，∵AC AB ⊥，点E 是BC 中点， ∴118422AE BC ==⨯=； 故选：B ．【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题．2．若菱形的对角线分别为6和8，则这个菱形的周长为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．48【答案】B【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．【详解】如图所示，根据题意得AO=12×8=4，BO=12×6=3，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=DA ，AC ⊥BD ，∴△AOB 是直角三角形，∴AB=22169AO BO +=+=5，∴此菱形的周长为：5×4=20．故选：B ．【点睛】此题考查菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键.3．如图，11,,33AB EF ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠∥，已知60FCD ∠=︒，则P ∠的度数为（ ）A ．60︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒【答案】B【解析】【分析】 延长BC 、EF 交于点G ，根据平行线的性质得180ABG BGE +=︒∠∠，再根据三角形外角的性质和平角的性质得60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠，最后根据四边形内角和定理求解即可．【详解】延长BC 、EF 交于点G∵//AB EF∴180ABG BGE +=︒∠∠∵60FCD ∠=︒∴60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠ ∵11,33ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠ ∴360P PBC BCF PFC =︒---∠∠∠∠2236012033ABG EFC =︒---︒∠∠ ()223606012033ABG BGE =︒--︒+-︒∠∠ 223604012033ABG BGE =︒--︒--︒∠∠ ()22003ABG BGE =︒-+∠∠ 22001803=︒-⨯︒ 80=︒故答案为：B ．【点睛】本题考查了平行线的角度问题，掌握平行线的性质、三角形外角的性质、平角的性质、四边形内角和定理是解题的关键．4．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，D （P ，D 两点不重合）两点间的最短距离为（ ）A ．12B ．1C 3D 31【答案】D【解析】【分析】分三种情形讨论①若以边BC 为底．②若以边PC 为底．③若以边PB 为底．分别求出PD 的最小值，即可判断．【详解】解：在菱形ABCD 中，∵∠ABC=60°，AB=1，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，①若以边BC 为底，则BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P 与点A 重合时，PD 值最小，最小值为1；②若以边PC 为底，∠PBC 为顶角时，以点B 为圆心，BC 长为半径作圆，与BD 相交于一点，则弧AC （除点C 外）上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形，当点P 在BD 上时，PD 最小，最小值为31-③若以边PB 为底，∠PCB 为顶角，以点C 为圆心，BC 为半径作圆，则弧BD 上的点A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形，当点P 与点D 重合时，PD 最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；上所述，PD 的最小值为 31-故选D ．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．5．如图，在矩形ABCD 中， 4,6,AB BC ==点E 是AD 的中点，点F 在DC 上，且1,CF =若在此矩形上存在一点P ，使得PEF V 是等腰三角形，则点P 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】【分析】 根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，③当EF 为底，P 为顶角顶点时，分别确定点P 的位置，即可得到答案．【详解】∵在矩形ABCD 中，461AB BC CF ===，，，点E 是AD 的中点，32184EF ∴==>．∴PEF V 是等腰三角形，存在三种情况：①当EF为腰，E为顶角顶点时，根据矩形的轴对称性，可知：在BC上存在两个点P，V是等腰三角形；在AB上存在一个点P，共3个，使PEF②当EF为腰，F为顶角顶点时，Q<186,∴在BC上存在一个点P，使PEFV是等腰三角形；③当EF为底，P为顶角顶点时，点P一定在EF的垂直平分线上，∴EF的垂直平分线与矩形的交点，即为点P，存在两个点．综上所述，满足题意的点P的个数是6．故选D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，矩形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义和矩形的性质，学会分类讨论思想，是解题的关键．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】【详解】图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P 在BO 上和P 在OD 上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．解：设AC 与BD 交于O 点，当P 在BO 上时，∵EF ∥AC ， ∴EF BP AC BO =即43y x =， ∴43y x =； 当P 在OD 上时，有643DP EF y x DO AC -==即， ∴y=483x -+．故选C ．7．如图所示，点E 是矩形ABCD 的边AD 延长线上的一点，且AD=DE ，连结BE 交CD 于点O ，连结AO ，下列结论不正确的是（ ）A ．△AOB ≌△BOCB ．△BOC ≌△EOD C ．△AOD ≌△EOD D ．△AOD ≌△BOC【答案】A【解析】根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形应用排它法求欠妥 即可： ∵AD=DE ，DO ∥AB ，∴OD 为△ABE 的中位线．∴OD=OC ．∵在Rt △AOD 和Rt △EOD 中，AD=DE ，OD=OD ，∴△AOD ≌△EOD （HL ）．∵在Rt △AOD 和Rt △BOC 中，AD=BC ，OD=OC ，∴△AOD ≌△BOC （HL ）．∴△BOC ≌△EOD ．综上所述，B 、C 、D 均正确．故选A ．8．如图，在矩形ABCD 中，AB m =，6BC =，点E 在边CD 上，且23CE m =．连接BE ，将BCE V 沿BE 折叠，点C 的对应点C '恰好落在边AD 上，则m =（ ）A ．33B ．3C 3D ．4【答案】A【解析】【分析】设AC′=x ，在直角三角形ABC′和直角三角形DEC′中分别利用勾股定理列出关于x 和m 的关系式，再进行求解，即可得出m 的值.【详解】解：设AC′=x ，∵AB=m ，BC=6，23CE m =， 根据折叠的性质可得：BC′=6，EC′=23CE m =， ∴C ′D=6-x ，DE=13m ，在△ABC ′中，AB 2+AC′2=BC′2，即2226x m +=，在△DEC ′中，C′D 2+DE 2=C′E 2，即()22212633x m m ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得：()2236x m -=，代入2226x m +=中，得：()222366x x -=-，解得：x=3或x=6，代入2226x m +=，可得：当x=3时，m=333-当x=6时，m=0（舍），故m 的值为3故选A.【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解一元二次方程，有一定难度，解题的关键是根据折叠的性质运用勾股定理求解.9．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，若P 是BD 上的一个动点，则PB PC PD ++的最小值是（ ）A ．16B ．15.2C ．15D ．14.8【答案】D【解析】【分析】 根据题意，当PC ⊥BD 时，PB PC PD ++有最小值，由勾股定理求出BD 的长度，由三角形的面积公式求出PC 的长度，即可求出最小值.【详解】解：如图，当PC ⊥BD 时，PB PC PD BD PC ++=+有最小值，在矩形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，AB=CD=6，AD=BC=8，由勾股定理，得226810BD +=，∴=10PB PD BD +=，在△BCD 中，由三角形的面积公式，得11=22BD PC BC CD ••， 即1110=8622PC ⨯⨯⨯⨯， 解得： 4.8PC =， ∴PB PC PD ++的最小值是：10 4.814.8PB PC PD BD PC ++=+=+=； 故选：D.【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，最短路径问题，垂线段最短，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确确定点P 的位置，得到PC 最短.10．一个多边形的每个内角均为108º，则这个多边形是（ ）A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形【答案】C【解析】试题分析：因为这个多边形的每个内角都为108°，所以它的每一个外角都为72°，所以它的边数=360÷72=5（边）.考点：⒈多边形的内角和；⒉多边形的外角和.11．下列命题中是真命题的是（）A．多边形的内角和为180°B．矩形的对角线平分每一组对角C．全等三角形的对应边相等D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和公式可对A进行判定；根据矩形的性质可对B进行判定；根据全等三角形的性质可对C进行判定；根据平行线的性质可对D进行判定．【详解】A.多边形的内角和为(n-2)·180°（n≥3），故该选项是假命题，B.矩形的对角线不一定平分每一组对角，故该选项是假命题，C.全等三角形的对应边相等，故该选项是真命题，D.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项是假命题，故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．熟练掌握矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及多边形的内角和公式是解题关键．12．如图，在▱ABCD中，E为边AD上的一点，将△DEC沿CE折叠至△D′EC处，若∠B＝48°，∠ECD＝25°，则∠D′EA的度数为（）A．33°B．34°C．35°D．36°【答案】B【解析】【分析】由平行四边形的性质可得∠D＝∠B，由折叠的性质可得∠D'＝∠D，根据三角形的内角和定理可得∠DEC，即为∠D'EC，而∠AEC易求，进而可得∠D'EA的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝48°，由折叠的性质得：∠D'＝∠D＝48°，∠D'EC＝∠DEC＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝107°，∴∠AEC=180°﹣∠DEC=180°﹣107°＝73°，∴∠D'EA＝∠D'EC﹣∠AEC＝107°﹣73°=34°.故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．13．如图，菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（0，23），∠DOB=60°，点P是对角线OC上的一个动点，已知A（﹣1，0），则AP+BP的最小值为（）A．4 B．5 C．33D．19【答案】D【解析】【分析】点B的对称点是点D，连接AD，则AD即为AP+BP的最小值，求出点D坐标解答即可．【详解】解：连接AD，如图，∵点B的对称点是点D，∴AD即为AP+BP的最小值，∵四边形OBCD是菱形，顶点B（0，23DOB=60°，∴点D的坐标为（33∵点A的坐标为（﹣1，0），∴AD=22(3)419+=，故选：D．【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据两点坐标得出距离．14．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40 B．24 C．20 D．15【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO=∠DAO，得到AD=CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO=3，于是得到结论．【详解】∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO12=BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积12=⨯6×8＝24，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．15．如图，点E F G H、、、分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.则下列说法：①若AC BD =，则四边形EFGH 为矩形；②若AC BD ⊥，则四边形EFGH 为菱形；③若四边形EFGH 是平行四边形，则AC 与BD 互相平分；④若四边形EFGH 是正方形，则AC 与BD 互相垂直且相等.其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】【分析】 因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线AC ⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD ，且AC ⊥BD 时，中点四边形是正方形.【详解】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线AC ⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD ，且AC ⊥BD 时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选A ．【点睛】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线AC ⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD ，且AC ⊥BD 时，中点四边形是正方形．16．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AE 平分BAD 交BC 于点E ，且∠ADC ＝60°，AB ＝12BC ，连接OE ．下列结论：①AE ＝CE ；②S △ABC ＝AB•AC ；③S △ABE ＝2S △AOE ；④OE ＝14BC,成立的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE=BE=12BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，∵AB=12 BC，∴AE=BE=12 BC，∴AE=CE，故①正确；∴∠EAC=∠ACE=30°∴∠BAC=90°，∴S△ABC=12AB•AC，故②错误；∵BE=EC，∴E为BC中点，O为AC中点，∴S△ABE=S△ACE=2 S△AOE，故③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=CO，∵AE=CE，∴EO⊥AC，∵∠ACE=30°，∴EO=12 EC，∵EC=12 AB，∴OE=14BC，故④正确；故正确的个数为3个，故选：C．【点睛】此题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是解题关键．17．如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，如果用直尺画一条直线将其剩余部分分割成面积相等的两部分，这样的不同的直线一共可以画出（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质分割平行四边形即可．【详解】解：如图所示，这样的不同的直线一共可以画出三条，故答案为：3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性．18．在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（）A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AD＝BC D．AB＝CD【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的判定解答即可．【详解】∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故A正确；∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD 是平行四边形，故C 正确；∵AD ∥BC ，∴∠D+∠C=180°，∵∠B=∠D ，∴∠B+C=180°，∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故B 正确；故选：D ．【点睛】此题考查平行四边形的判定，解题关键是根据平行四边形的判定解答．19．如图，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，连接AD ，过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于点E ，下列说法错误的是（ ）A ．△ABD ≌△ECDB ．连接BE ，四边形ABEC 为平行四边形 C ．DA ＝DED ．CE ＝CD【答案】D【解析】【分析】 根据平行线的性质得出∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，然后根据AAS 证得△ABD ≌△ECD ，得出AD=DE ，根据对角线互相平分得到四边形ABEC 为平行四边形，CE=AB ，即可解答．【详解】∵CE ∥AB ，∴∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，在△ABD 和△ECD 中，===B DCE BAD E BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABD ≌△ECD （AAS ），∴DA=DE ，AB=CE ，∵AD=DE ，BD=CD ，∴四边形ABEC 为平行四边形，故选：D ．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的性判定，解题的关键是证明△ABD≌△ECD．20．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O，下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③CE=DF，④tan∠OCD=43，⑤S△DOC=S四边形EOFB中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】分析：由正方形ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC=90°正确，③CE=D F正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD=∠DFC，即可求得④正确；由①易证得⑤正确．详解：∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°．∵AE=BF=1，∴BE=CF=4﹣1=3．在△EBC和△FCD中，BC CDB DCFBE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBC≌△FCD（SAS），∴∠CFD=∠BEC，CE=DF，故③正确，∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，∴∠DOC=90°；故①正确；连接DE，如图所示，若OC=OE．∵DF⊥EC，∴CD=DE．∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误；∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC，∴tan∠OCD=tan∠DFC=DCFC=43，故④正确；∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD，∴S△EBC﹣S△FOC=S△FCD﹣S△FOC，即S△ODC=S四边形BEOF．故⑤正确；故正确的有：①③④⑤．故选D．点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．。

人教中考数学 平行四边形 培优 易错 难题练习(含答案)及答案

人教中考数学 平行四边形 培优 易错 难题练习(含答案)及答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．（1）①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由．（3）在第（2）题图4中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求BE2+DG2的值．【答案】（1）①BG⊥DE，BG=DE；②BG⊥DE，证明见解析；（2）BG⊥DE，证明见解析；（3）16.25．【解析】分析：（1）①根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；②结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论；（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；（3）连接BE、DG．根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和．详解：（1）①BG⊥DE，BG=DE；②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE，∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，∴BC CG b==，DC CE a又∵∠BCG=∠DCE，∴△BCG∽△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（3）连接BE、DG．根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=90°∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25．点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理．2．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然成立【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．【详解】（1）CG=EG．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF=90°．在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=12FD，同理．在Rt△DEF中，EG=12FD，∴CG=EG．（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG=CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG （ASA），∴MG=NG．∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，∴四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN．在△AMG与△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG=EG，∴EG=CG．证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC．在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG，∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，∠MFE=∠EBC=90°，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB，∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=12MC，∴EG=CG．（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，∴△MEC是等腰直角三角形．∵G为CM中点，∴EG=CG，EG⊥CG【点睛】本题是四边形的综合题．（1）关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；（2）关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质解答．3．如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE＝AC，连接AE，点F是AE的中点，连接BF、DF，求证：BF⊥DF．【答案】见解析.【解析】【分析】延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD，进而求证△AFM≌△EFB，得AM=BE，FB=FM，即可求得BC+BE=AD+AM，进而求得BD=BM，根据等腰三角形三线合一的性质即可求证BF⊥DF．【详解】延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD．∵四边形ABCD是矩形，∴MD∥BC，∴∠AMF=∠EBF，∠E=∠MAF，又FA=FE，∴△AFM≌△EFB，∴AM=BE，FB=FM．∵矩形ABCD中，∴AC=BD，AD=BC，∴BC+BE=AD+AM，即CE=MD．∵CE=AC，∴AC=CE= BD =DM．∵FB=FM，∴BF⊥DF．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，本题中求证DB=DM是解题的关键．4．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在Rt△PFE中，∠EPF=90°，点E、F分别在边AD、AB上．（1）如图1，若点P与点O重合：①求证：AF=DE；②若正方形的边长为23，当∠DOE=15°时，求线段EF的长；（2）如图2，若Rt△PFE的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP 时，证明：PE=2PF．【答案】（1）①证明见解析，②2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质和旋转的性质即可证得：△AOF≌△DOE根据全等三角形的性质证明；②作OG⊥AB于G，根据余弦的概念求出OF的长，根据勾股定理求值即可；（2）首先过点P作HP⊥BD交AB于点H，根据相似三角形的判定和性质求出PE与PF的数量关系．【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OD，∠OAF=∠ODE=45°，∠AOD=90°，∴∠AOE+∠DOE=90°，∵∠EPF=90°，∴∠AOF+∠AOE=90°，∴∠DOE=∠AOF，在△AOF和△DOE中，OAF ODE OA ODAOF DOE ＝＝＝∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩， ∴△AOF ≌△DOE ，∴AF=DE ；②解：过点O 作OG ⊥AB 于G ，∵正方形的边长为23， ∴OG=12BC=3， ∵∠DOE=15°，△AOF ≌△DOE ，∴∠AOF=15°，∴∠FOG=45°-15°=30°，∴OF=OG cos DOG∠=2， ∴EF=22=22OF OE +；（2）证明：如图2，过点P 作HP ⊥BD 交AB 于点H ，则△HPB 为等腰直角三角形，∠HPD=90°，∴HP=BP ，∵BD=3BP ，∴PD=2BP ，∴PD=2HP ，又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°，∴∠HPF=∠DPE ，又∵∠BHP=∠EDP=45°，∴△PHF ∽△PDE ， ∴12PF PH PE PD ==， ∴PE=2PF ．【点睛】 此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．5．如图①，在矩形ABCD 中，点P 从AB 边的中点E 出发，沿着E B C --速运动，速度为每秒2个单位长度，到达点C 后停止运动，点Q 是AD 上的点，10AQ =，设PAQ ∆的面积为y ，点p 运动的时间为t 秒，y 与t 的函数关系如图②所示.(1)图①中AB = ，BC = ，图②中m = .(2)当t =1秒时，试判断以PQ 为直径的圆是否与BC 边相切?请说明理由:(3)点p 在运动过程中，将矩形沿PQ 所在直线折叠，则t 为何值时，折叠后顶点A 的对应点A '落在矩形的一边上.【答案】(1)8,18,20;(2)不相切，证明见解析；（3）t=12、5、173. 【解析】【分析】 （1）由题意得出AB=2BE ，t=2时，BE=2×2=4，求出AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11时，2t=22，得出BC=18，当t=0时，点P 在E 处，m=△AEQ 的面积=12AQ×AE=20即可； （2）当t=1时，PE=2，得出AP=AE+PE=6，由勾股定理求出34PQ 为直径的圆的圆心为O'，作O'N ⊥BC 于N ，延长NO'交AD 于M ，则MN=AB=8，O'M ∥AB ，MN=AB=8，由三角形中位线定理得出O'M=12AP=3，求出O'N=MN-O'M=5＜圆O'的半径，即可得出结论；（3）分三种情况：①当点P 在AB 边上，A'落在BC 边上时，作QF ⊥BC 于F ，则QF=AB=8，BF=AQ=10，由折叠的性质得：PA'=PA ，A'Q=AQ=10，∠PA'Q=∠A=90°，由勾股定理求出22AQ QF '-，得出A'B=BF-A'F=4，在Rt △A'BP 中，BP=4-2t ，PA'=AP=8-（4-2t ）=4+2t ，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当点P 在BC 边上，A'落在BC 边上时，由折叠的性质得：A'P=AP ，证出∠APQ=∠AQP ，得出AP=AQ=A'P=10，在Rt△ABP中，由勾股定理求出BP=6，由BP=2t-4，得出2t-4=6，解方程即可；③当点P在BC边上，A'落在CD边上时，由折叠的性质得：A'P=AP，A'Q=AQ=10，在Rt△DQA'中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理求出DA'=6，得出A'C=CD-DA'=2，在Rt△ABP和Rt△A'PC中，BP=2t-4，CP=BC-BP=22-2t，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）∵点P从AB边的中点E出发，速度为每秒2个单位长度，∴AB=2BE，由图象得：t=2时，BE=2×2=4，∴AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11时，2t=22，∴BC=22-4=18，当t=0时，点P在E处，m=△AEQ的面积=12AQ×AE=12×10×4=20；故答案为8，18，20；（2）当t=1秒时，以PQ为直径的圆不与BC边相切，理由如下：当t=1时，PE=2，∴AP=AE+PE=4+2=6，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴PQ=2222106234AQ AP+=+=，设以PQ为直径的圆的圆心为O'，作O'N⊥BC于N，延长NO'交AD于M，如图1所示：则MN=AB=8，O'M∥AB，MN=AB=8，∵O'为PQ的中点，∴O''M是△APQ的中位线，∴O'M=12AP=3，∴O'N=MN-O'M=534∴以PQ为直径的圆不与BC边相切；（3）分三种情况：①当点P在AB边上，A'落在BC边上时，作QF⊥BC于F，如图2所示：则QF=AB=8，BF=AQ=10，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，CD=AB=8，AD=BC=18，由折叠的性质得：PA'=PA，A'Q=AQ=10，∠PA'Q=∠A=90°，∴A'F=22AQ QF'-=6，∴A'B=BF-A'F=4，在Rt△A'BP中，BP=4-2t，PA'=AP=8-（4-2t）=4+2t，由勾股定理得：42+（4-2t）2=（4+2t）2，解得：t=12；②当点P在BC边上，A'落在BC边上时，连接AA'，如图3所示：由折叠的性质得：A'P=AP，∴∠APQ'=∠A'PQ，∵AD∥BC，∴∠AQP=∠A'PQ，∴∠APQ=∠AQP，∴AP=AQ=A'P=10，在Rt△ABP中，由勾股定理得：22108-，又∵BP=2t-4，∴2t-4=6，解得：t=5；③当点P在BC边上，A'落在CD边上时，连接AP、A'P，如图4所示：由折叠的性质得：A'P=AP ，A'Q=AQ=10，在Rt △DQA'中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理得：DA'=22108-=6，∴A'C=CD-DA'=2，在Rt △ABP 和Rt △A'PC 中，BP=2t-4，CP=BC-BP=18-（2t-4）=22-2t ，由勾股定理得：AP 2=82+（2t-4）2，A'P 2=22+（22-2t ）2，∴82+（2t-4）2=22+（22-2t ）2，解得：t=173； 综上所述，t 为12或5或173时，折叠后顶点A 的对应点A′落在矩形的一边上． 【点睛】 四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、函数图象、直线与圆的位置关系、三角形中位线定理、等腰三角形的判定、以及分类讨论等知识.6．△ABC 为等边三角形，AF AB =．BCD BDC AEC ∠=∠=∠．(1)求证：四边形ABDF 是菱形．(2)若BD 是ABC ∠的角平分线，连接AD ，找出图中所有的等腰三角形．【答案】(1)证明见解析；(2)图中等腰三角形有△ABC ，△BDC ，△ABD ，△ADF ，△ADC ，△ADE ．【解析】【分析】（1）先求证BD ∥AF ，证明四边形ABDF 是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）先利用BD 平分∠ABC ，得到BD 垂直平分线段AC ，进而证明△DAC 是等腰三角形，根据BD ⊥AC,AF ⊥AC ，找到角度之间的关系,证明△DAE 是等腰三角形，进而得到BC ＝BD ＝BA ＝AF ＝DF ，即可解题,见详解.【详解】(1)如图1中，∵∠BCD＝∠BDC，∴BC＝BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∵AB＝AF，∴BD＝AF，∵∠BDC＝∠AEC，∴BD∥AF，∴四边形ABDF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABDF是菱形．(2)解：如图2中，∵BA＝BC，BD平分∠ABC，∴BD垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴△DAC是等腰三角形，∵AF∥BD，BD⊥AC∴AF⊥AC，∴∠EAC＝90°，∵∠DAC＝∠DCA，∠DAC+∠DAE＝90°，∠DCA+∠AEC＝90°，∴∠DAE＝∠DEA，∴DA＝DE，∴△DAE是等腰三角形，∵BC＝BD＝BA＝AF＝DF，∴△BCD，△ABD，△ADF都是等腰三角形，综上所述，图中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．【点睛】本题考查菱形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，属于中考常考题型，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．7．点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A ，C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E ，F ，点O 为AC 的中点．（1）如图1，当点P 与点O 重合时，请你判断OE 与OF 的数量关系；（2）当点P 运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P 在射线OA 上运动，恰好使得∠OEF ＝30°时，猜想此时线段CF ，AE ，OE 之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．【答案】（1）OE ＝OF ．理由见解析；（2）补全图形如图所示见解析，OE ＝OF 仍然成立；（3）CF ＝OE+AE 或CF ＝OE ﹣AE ．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质以及垂线，即可判定()AOE COF AAS ∆≅∆，得出OE =OF ； （2）先延长EO 交CF 于点G ，通过判定()AOE COG ASA ∆≅∆，得出OG =OE ，再根据Rt EFG ∆中，12OF EG =，即可得到OE =OF ； （3）根据点P 在射线OA 上运动，需要分两种情况进行讨论：当点P 在线段OA 上时，当点P 在线段OA 延长线上时，分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计算即可．【详解】（1）OE =OF ．理由如下：如图1．∵四边形ABCD 是矩形，∴ OA =OC ．∵AE BP ⊥，CF BP ⊥，∴90AEO CFO ∠=∠=︒．∵在AOE ∆和COF ∆中，AEO CFO AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AOE COF AAS ∆≅∆，∴ OE =OF ；（2）补全图形如图2，OE =OF 仍然成立．证明如下：延长EO 交CF 于点G ．∵AE BP ⊥，CF BP ⊥，∴ AE //CF ，∴EAO GCO ∠=∠．又∵点O 为AC 的中点，∴ AO =CO ．在AOE ∆和COG ∆中，EAO GCO AO CO AOE COG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，∴()AOE COG ASA ∆≅∆，∴ OG =OE ，∴Rt EFG ∆中，12OF EG =，∴ OE =OF ； （3）CF =OE +AE 或CF =OE -AE ． 证明如下：①如图2，当点P 在线段OA 上时．∵30OEF ∠=︒，90EFG ∠=︒，∴60OGF ∠=︒，由（2）可得：OF =OG ，∴OGF ∆是等边三角形，∴ FG =OF =OE ，由（2）可得：AOE COG ∆≅∆，∴ CG =AE ．又∵ CF =GF +CG ，∴ CF =OE +AE ；②如图3，当点P 在线段OA 延长线上时．∵30OEF ∠=︒，90EFG ∠=︒，∴60OGF ∠=︒，同理可得：OGF ∆是等边三角形，∴ FG =OF =OE ，同理可得：AOE COG ∆≅∆，∴ CG =AE ．又∵ CF =GF -CG ，∴ CF =OE -AE ．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角形的性质和判定，解决问题的关键是构建全等三角形和证明三角形全等，利用矩形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，根据线段的和差关系使问题得以解决．8．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将该矩形沿AE 折叠，使点D 落在边BC 上的点F 处，过点F 作FG ∥CD ，交AE 于点G ，连接DG ．（1）求证：四边形DEFG 为菱形；（2）若CD =8，CF =4，求的值．【答案】（1）证明见试题解析；（2）．【解析】试题分析：（1）由折叠的性质，可以得到DG=FG ，ED=EF ，∠1=∠2，由FG ∥CD ，可得∠1=∠3，再证明 FG=FE ，即可得到四边形DEFG 为菱形；（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出的值．试题解析：（1）由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，∵FG∥CD，∴∠2=∠3，∴FG=FE，∴DG=GF=EF=DE，∴四边形DEFG为菱形；（2）设DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8﹣x，在Rt△EFC中，，即，解得：x=5，CE=8﹣x=3，∴=．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．勾股定理；3．菱形的判定与性质；4．矩形的性质；5．综合题．9．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，求证：△PDH的周长是定值；（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长．【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）2．【解析】试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB，证明△EFM≌△BPA，设AP=x，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF，结合二次函数的性质求出最值．试题解析：（1）解：如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．（2）证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，在△ABP和△QBP中，，∴△ABP≌△QBP（AAS），∴AP=QP，AB=BQ，又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∠C=∠BQH=90°，BH=BH，在△BCH和△BQH中，，∴△BCH≌△BQH（SAS），∴CH=QH．∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．∴△PDH的周长是定值．（3）解：如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．又∵EF为折痕，∴EF⊥BP．∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，∴∠EFM=∠ABP．又∵∠A=∠EMF=90°，在△EFM和△BPA中，，∴△EFM≌△BPA（AAS）．∴EM=AP．设AP=x在Rt△APE中，（4-BE）2+x2=BE2．解得BE=2+，∴CF=BE-EM=2+-x，∴BE+CF=-x+4=（x-2）2+3．当x=2时，BE+CF取最小值，∴AP=2．考点：几何变换综合题．10．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）．将正方形ABCO 绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．（1）求证：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式；（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）∠PAG =45°，PG=OG+BP．理由见解析（3）y=x﹣3．（4）、．【解析】试题分析：(1)由AO=AD，AG=AG，根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，判断出△AOG≌△ADG即可．(2)首先根据三角形全等的判定方法，判断出△ADP≌△ABP，再结合△AOG≌△ADG，可得∠DAP=∠BAP，∠1=∠DAG；然后根据∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，求出∠PAG的度数；最后判断出线段OG、PG、BP之间的数量关系即可．(3)首先根据△AOG≌△ADG，判断出∠AGO=∠AGD；然后根据∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，判断出当∠1=∠2时，∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，求出∠1=∠2=30°；最后确定出P、G两点坐标，即可判断出直线PE的解析式．(4)根据题意，分两种情况：①当点M在x轴的负半轴上时；②当点M在EP的延长线上时；根据以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形，求出M点坐标是多少即可．试题解析：(1)在Rt△AOG和Rt△ADG中，（HL）∴△AOG≌△ADG．(2)在Rt△ADP和Rt△ABP中，∴△ADP≌△ABP，则∠DAP=∠BAP；∵△AOG≌△ADG，∴∠1=∠DAG；又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，∴2∠DAG+2∠DAP=90°，∴∠DAG+∠DAP=45°，∵∠PAG=∠DAG+∠DAP，∴∠PAG=45°；∵△AOG≌△ADG，∴DG=OG，∵△ADP≌△ABP，∴DP=BP，∴PG=DG+DP=OG+BP．(3)解：∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD，又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，∴∠AGO=∠PGC，又∵∠AGO=∠AGD，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=180°÷3=60°，∴∠1=∠2=90°﹣60°=30°；在Rt△AOG中，∵AO=3，∴OG=AOtan30°=3×=，∴G点坐标为（，0），CG=3﹣，在Rt△PCG中，PC===3（﹣1），∴P点坐标为：（3，3﹣3 ），设直线PE的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴直线PE的解析式为y=x﹣3．(4)①如图1，当点M在x轴的负半轴上时，，∵AG=MG，点A坐标为（0，3），∴点M坐标为（0，﹣3）．②如图2，当点M在EP的延长线上时，，由（3），可得∠AGO=∠PGC=60°，∴EP与AB的交点M，满足AG=MG，∵A点的横坐标是0，G点横坐标为，∴M的横坐标是2，纵坐标是3，∴点M坐标为（2，3）．综上，可得点M坐标为（0，﹣3）或（2，3）．考点：几何变换综合题．。

(易错题精选)初中数学四边形易错题汇编含答案(1)

(易错题精选)初中数学四边形易错题汇编含答案(1)

（易错题精选）初中数学四边形易错题汇编含答案(1)一、选择题1．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，且ABE △是以AB 为底的等腰三角形，则AEH △的面积为（ ）A ．2B ．169C ．32D ．2【答案】C【解析】【分析】【详解】 解：如图，连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ，连结HF ，∵四边形EFGH 为正方形，∴EG FH =，∵ABE △是以AB 为底的等腰三角形，∴AE BE =，则点E 在AB 的垂直平分线上，∵ABE △≌CDG V ，∴CDG V 为等腰三角形，∴CG DG =，则点G 在CD 的垂直平分线上，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合，∴MN 即为AB 或CD 的垂直平分线，则,EM AB GN CD ^^，EM GN =，∵正方形ABCD 的边长为4，即4AB CD AD BC ====，∴4MN =，设EM GN x ==，则42EG FH x ==-，∵正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等， 即2114(42)22x x ?-，解得：121,4x x ==， ∵4x =不符合题意，故舍去，∴1x =，则S 正方形EFGH 14122==⨯⨯=V ABE S ， ∵ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，∴2====V V V V ABE BCF CDG DAH S S S S ，∵正方形ABCD 的面积4416=⨯=，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等， ∴1(4=V AEH S S 正方形ABCD − S 正方形EFGH 134)(16242)42-=⨯--⨯=V ABE S ， 故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得ABE △的面积．2．如图 ，矩形 ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点 M ，CN ⊥AN 于点 N .则 DM +CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )A ．aB ．45 aC 2D 3 【答案】C【解析】【分析】 根据“AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°=DM CN DE CE= ，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD ，AB=CD=a ，DM+CN 的值即可求出．【详解】∵AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ，∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°， ∴00cos 4545D CNMcos +=CD ，在矩形ABCD 中，AB=CD=a ，∴DM+CN=acos45°=2a. 故选C.【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=DM CN DE CE =3．在平面直角坐标系中，A ，B ，C 三点坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A ，B ，C 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】A 点在原点上，B 点在横轴上，C 点在第一象限，根据平行四边形的性质：两组对边分别平行，可知第四个顶点可能在第一、二、四象限，不可能在第三象限，故选C4．如图所示，点E 是矩形ABCD 的边AD 延长线上的一点，且AD=DE ，连结BE 交CD 于点O ，连结AO ，下列结论不正确的是（ ）A ．△AOB ≌△BOCB ．△BOC ≌△EOD C ．△AOD ≌△EOD D ．△AOD ≌△BOC【答案】A【解析】根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形应用排它法求欠妥 即可：∵AD=DE ，DO ∥AB ，∴OD 为△ABE 的中位线．∴OD=OC ．∵在Rt △AOD 和Rt △EOD 中，AD=DE ，OD=OD ，∴△AOD ≌△EOD （HL ）．∵在Rt △AOD 和Rt △BOC 中，AD=BC ，OD=OC ，∴△AOD ≌△BOC （HL ）．∴△BOC ≌△EOD ．综上所述，B 、C 、D 均正确．故选A ．5．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ＝8，BD ＝6，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE ＋PF 的最小值，则这个最小值是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF 的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8，∴AB=22=5，34作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，∴E′在AD上，且E′是AD的中点，∵AD=AB，∴AE=AE′，∵F是BC的中点，∴E′F=AB=5．故选C．6．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为()A．4 B．8 C．6 D．10【答案】B【解析】【分析】【详解】解：设AG与BF交点为O，∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，∴可证△ABO≌△AFO，∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，AB=5，∴AO=4，∵AF∥BE，∴可证△AOF≌△EOB，AO=EO，∴AE=2AO=8，故选B．【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质．7．在四边形ABCD中，两对角线交于点O，若OA=OB=OC=OD，则这个四边形( )A．可能不是平行四边形B．一定是菱形C．一定是正方形D．一定是矩形【答案】D【解析】【分析】根据OA=OC, OB=OD，判断四边形ABCD是平行四边形．然后根据AC=BD，判定四边形ABCD是矩形．【详解】解：这个四边形是矩形，理由如下：∵对角线AC、BD交于点O，OA= OC, OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵OA=OC=OD=OB，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．故选D．【点睛】本题考查了矩形的判断，熟记矩形的各种判定方法是解题的关键．8．下列说法中正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D ．两条对角线相等的菱形是正方形【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键.【详解】A. 有一个角是直角的四边形是矩形,错误；B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误；D. 两条对角线相等的菱形是正方形，正确.故选D.【点睛】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键，考查了学生熟练运用知识解决问题的能力.9．如图1，点F 从菱形ABCD 的项点A 出发，沿A －D －B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ．图2是点F 运动时，△FBC 的面积y (m 2)随时间x (s)变化的关系图象，则a 的值为( )A ．5B ．2C ．52D ．5【答案】C【解析】【分析】 过点D 作DE BC ⊥于点E 由图象可知，点F 由点A 到点D 用时为as ，FBC ∆的面积为2acm ．求出DE=2，再由图像得5BD =BE=1，再在DEC Rt △根据勾股定理构造方程，即可求解．【详解】解：过点D 作DE BC ⊥于点E由图象可知，点F 由点A 到点D 用时为as ，FBC ∆的面积为2acm ．AD BC a ∴== ∴12DE AD a =g 2DE ∴=由图像得，当点F 从D 到B 时，用5s5BD ∴=Rt DBE V 中，2222(5)21BE BD DE =-=-=∵四边形ABCD 是菱形，1EC a ∴=-，DC a =DEC Rt △中，2222(1)a a =+-解得52a =故选：C ．【点睛】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，要注意函数图象变化与动点位置之间的关系，解答此题关键根据图像关键点确定菱形的相关数据．10．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别交AB ，CD 于E 、F ，连接PB 、PD ．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（ ）A ．10B ．12C ．16D ．18【答案】C【解析】【分析】 首先根据矩形的特点，可以得到S △ADC =S △ABC ，S △AMP =S △AEP ，S △PFC =S △PCN ，最终得到S 矩形EBNP = S 矩形MPFD ,即可得S △PEB =S △PFD ，从而得到阴影的面积．【详解】作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN∴S矩形EBNP= S矩形MPFD ,又∵S△PBE= 12S矩形EBNP，S△PFD=12S矩形MPFD，∴S△DFP=S△PBE=12×2×8=8，∴S阴=8+8=16，故选C．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．11．下列命题中是真命题的是（）A．多边形的内角和为180°B．矩形的对角线平分每一组对角C．全等三角形的对应边相等D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和公式可对A进行判定；根据矩形的性质可对B进行判定；根据全等三角形的性质可对C进行判定；根据平行线的性质可对D进行判定．【详解】A.多边形的内角和为(n-2)·180°（n≥3），故该选项是假命题，B.矩形的对角线不一定平分每一组对角，故该选项是假命题，C.全等三角形的对应边相等，故该选项是真命题，D.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项是假命题，故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．熟练掌握矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及多边形的内角和公式是解题关键．12．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40 B．24 C．20 D．15【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO=∠DAO，得到AD=CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO=3，于是得到结论．【详解】∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO12=BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积12=⨯6×8＝24，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．13．如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD 于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．1 B．34C．23D．12【答案】D【解析】【分析】由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F为GC中点，再由已知条件可得EF为△CBG的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF的长．【详解】∵AD是△ABC角平分线，CG⊥AD于F，∴△AGC是等腰三角形，∴AG=AC=3，GF=CF，∵AB=4，AC=3，∴BG=1，∵AE是△ABC中线，∴BE=CE，∴EF为△CBG的中位线，∴EF=12BG=12，故选：D．【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理，解题关键在于掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．14．为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2）观察所得到的四边形，下列判断正确的是（）A．∠BCA＝45°B．AC＝BDC．BD的长度变小D．AC⊥BD【答案】B【解析】【分析】根据矩形的性质即可判断；【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD．故选B．【点睛】本题考查平行四边形的性质．矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．如图，在ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】分析：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．证明△DFE≌△FCG 得EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题；详解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE=S△CFG，∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选D．点睛：本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．16．如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．下列结论中：①DE＝DF；②AG＝GF；③AF＝DF；④BG＝GC；⑤BF＝EF，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】由AAS证明△ABF≌△DEF，得出对应边相等AF=DF，BF=EF，即可得出结论，对于①②④不一定正确．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，即AB∥CE，∴∠ABF=∠E，∵DE=CD，∴AB=DE，在△ABF 和△DEF 中，∵===ABF E AFB DFE AB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴△ABF ≌△DEF （AAS ），∴AF=DF ，BF=EF ；可得③⑤正确，故选：B ．【点睛】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．17．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要使四边形ABCD 是平行四边形，可添加的条件不正确的是（ ）A ．AB ∥CDB ．∠B ＝∠DC ．AD ＝BC D ．AB ＝CD【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的判定解答即可．【详解】∵AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故A 正确；∵AD ∥BC ，AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故C 正确；∵AD ∥BC ，∴∠D+∠C=180°，∵∠B=∠D ，∴∠B+C=180°，∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故B 正确；故选：D ．【点睛】此题考查平行四边形的判定，解题关键是根据平行四边形的判定解答．18．如图，ABC V 中，5AB AC ==，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D 5【答案】B【解析】【分析】 根据等腰三角形三线合一可得AE ⊥BC ，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE 的长度．【详解】解：∵5AB AC ==，AE 平分BAC ∠，∴AE ⊥BC ，又∵点D 为AB 的中点， ∴1 2.52DE AB ==， 故选：B ．【点睛】 本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．19．如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（ ）A ．2B ．322C ．52D ．3【答案】A【解析】【分析】 根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标，结合题意进一步可以得出BC 长为5，利用三角形中位线性质可知OE=12BD ，而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，据此进一步求解即可.【详解】 ∵2119y x =-， ∴当0y =时，21019x =-， 解得：=3x ±，∴A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)，即：AO=BO=3，∴O 点为AB 的中点，又∵圆心C 坐标为(0，4)，∴OC=4，∴BC 长度2205OB C +=，∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点，∴OE 为△ABD 的中位线，即：OE=12BD ， ∵D 点是圆上的动点，由图可知，BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，∴BD 的最小值为4，∴OE=12BD=2，即OE的最小值为2，故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.20．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则DE的长为（）A．65B．85C．125D．245【答案】D【解析】【分析】连接AD，根据已知等腰三角形的性质得出AD⊥BC和BD=6，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：连接AD∵AB=AC，D为BC的中点，BC=12，∴AD⊥BC，BD=DC=6，在Rt△ADB中，由勾股定理得：22221068AB BD=+=，∵S△ADB=12×AD×BD＝12×AB×DE，∴DE=8624105 AD BDAB⨯⨯==，故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD的长是解此题的关键．。

备战中考数学平行四边形培优易错难题练习(含答案)含详细答案

备战中考数学平行四边形培优易错难题练习(含答案)含详细答案

备战中考数学平行四边形培优易错难题练习(含答案)含详细答案一、平行四边形1．在四边形ABCD中，BD180，对角线AC平分BAD.〔1〕如图1，假设DAB120，且B90，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.2〕如图2，假设将〔1〕中的条件“B90〞去掉，〔1〕中的结论是否成立？请说明理由. 〔3〕如图3，假设DAB 90，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.【答案】〔1〕ACAD AB.证明见解析；〔2〕成立；〔3〕ADAB2AC.理由见解析.【解析】11试题分析：〔1〕结论：AC=AD+AB，只要证明AD=AC，AB=AC即可解决问题；22〔2〕〔1〕中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；3〕结论：AD+AB＝2AC．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题；试题解析：解：〔1〕AC=AD+AB．理由如下：如图1中，在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，∴∠D=90，°∵∠DAB=120，°AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC=60，°∵∠B=90，°11∴AB＝AC，同理AD＝AC．22AC=AD+AB．2〕〔1〕中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，∵∠BAC=60，°∴△AEC为等边三角形，AC=AE=CE，∵∠D+∠ABC=180，°∠DAB=120，°∴∠DCB=60，°∴∠DCA=∠BCE，∵∠D+∠ABC=180，°∠ABC+∠EBC=180，°∴∠D=∠CBE，∵CA=CE，∴△DAC≌△BEC，AD=BE，AC=AD+AB．〔3〕结论：AD+AB＝2AC．理由如下：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，DCB=90，°∵∠ACE=90，°∴∠DCA=∠BCE，又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB=45，°∴∠E=45．°∴AC=CE．又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE，∴△CDA≌△CBE，AD=BE，AD+AB=AE．在Rt△ACE中，∠CAB=45°，∴AE AC＝2AC＝cos45ADAB＝2AC.2．如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，那么图中的两个三角形就是互补三角形．〔1〕用尺规将图1中的△ABC分割成两个互补三角形；〔2〕证明图2中的△ABC分割成两个互补三角形；〔3〕如图3，在图2的根底上再以BC为边向外作正方形BCHI．①三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4的网格中〔网格中每个小正方形的边长为1〕画出边长为、、的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积．②假设△ABC的面积为2，求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积．【答案】〔1〕作图见解析〔2〕证明见解析〔3〕①62；②6【解析】试题分析：〔1〕作BC边上的中线AD即可．2〕根据互补三角形的定义证明即可．3〕①画出图形后，利用割补法求面积即可．②平移△CHG到AMF，连接EM，IM，那么AM=CH=BI，只要证明S△EFM=3S△ABC即可．试题解析：〔1〕如图1中，作BC边上的中线AD，△ABD和△ADC是互补三角形．〔2〕如图2中，延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH．∵四边形ABDE，四边形ACGF是正方形，AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90，°∴∠EAF+∠BAC=180，°∴△AEF和△ABC是两个互补三角形．∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90，°∴∠EAH=∠BAC，∵AF=AC，AH=AB，在△AEH和△ABC中，∴△AEH≌△ABC，∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．〔3〕①边长为、、的三角形如图4所示．∵S△ABC=3×4﹣2﹣﹣，∴S六边形=17+13+10+4×5.5=62．②如图3中，平移△CHG到AMF，连接EM，IM，那么AM=CH=BI，设∠ABC=x，∵AM∥CH，CH⊥BC，∴AM⊥BC，∴∠EAM=90+90°﹣°x=180﹣°x，∵∠DBI=360﹣°90°﹣90°﹣x=180﹣°x，∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD，∴△AEM≌△DBI，∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180，°∴△DBI和△ABC是互补三角形，∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2，∴S△EFM=3S△ABC=6．考点：1、作图﹣应用与设计，2、三角形面积3．：在菱形ABCD中，E，F是BD上的两点，且AE∥CF．求证：四边形AECF是菱形．【答案】见解析【解析】【分析】由菱形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，由“SAS〞可证△ADF≌△CDF，可得AF＝CF，由△ABE≌△CDF，可得AE＝CF，由平行四边形的判定和菱形的判定可得四边形AECF是菱形．【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB∥CD，AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，∵AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，DF＝DF∴△ADF≌△CDF〔SAS〕AF＝CF，∵AB∥CD，AE∥CF∴∠ABE＝∠CDF，∠AEF＝∠CFE∴∠AEB＝∠CFD，∠ABE＝∠CDF，AB＝CD∴△ABE≌△CDF〔AAS〕∴AE＝CF，且AE∥CF∴四边形AECF是平行四边形又∵AF＝CF，∴四边形AECF是菱形【点睛】此题主要考查菱形的判定定理，首先要判定其为平行四边形，这是菱形判定的根本判定. 4．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°. (1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG≌△AEF；(2)假设直线EF与AB，AD的延长线分别交于点222；M，N(如图②)，求证：EF=ME+NF(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，假设其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析；〔3〕EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析：〔1〕根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；〔2〕将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由〔1〕知△AEG≌△AEF，那么EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；〔3〕将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到ADF≌△ABG，那么DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．试题解析：〔1〕∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，AF=AG，∠FAG=90，°∵∠EAF=45，°∴∠GAE=45，°在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE〔SAS〕；〔2〕设正方形ABCD的边长为a．将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．那么△ADF≌△ABG，DF=BG．由〔1〕知△AEG≌△AEF，EG=EF．∵∠CEF=45，°∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，CE=CF，BE=BM，NF=DF，a﹣BE=a﹣DF，BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45=90°°，222EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；3〕EF2=2BE2+2DF2．如下列图，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由〔1〕知△AEH≌△AEF，那么由勾股定理有〔GH+BE〕2+BG2=EH2，即〔GH+BE〕2+〔BM﹣GM〕2=EH2又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有〔GH+BE〕2+〔BE﹣GH〕2=EF2，即2〔DF2+BE2〕=EF2考点：四边形综合题5．Rt△ABD中，边AB=OB=1，∠ABO=90°问题探究：〔1〕以AB为边，在Rt△ABO的右边作正方形 ABC，如图〔1〕，那么点 O与点D的距离为．〔2〕以AB为边，在Rt△ABO的右边作等边三角形ABC，如图〔2〕，求点O与点C的距离．问题解决：〔3〕假设线段DE=1，线段DE的两个端点D，E分别在射线OA、OB上滑动，以DE为边向外作等边三角形DEF，如图〔3〕，那么点O与点F的距离有没有最大值，如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．【答案】(1)、5；(2)、62；(3)、321. 22【解析】【分析】试题分析：(1)、如图1中，连接OD，在Rt△ODC中，根据OD=OC2CD2计算即可．(2)、如图2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，连接OC．在Rt△OCE中，根据OC=OE2CE2计算即可．(3)、如图3中，当OF⊥DE时，OF的值最大，设OF交DE 于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DM．分别求出MH、OM、FH即可解决问题．【详解】试题解析：(1)、如图1中，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=1，∠C=90°在Rt△ODC中，∵∠C=90，°OC=2，CD=1，∴OD=OC2CD222125(2)、如图2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，连接OC．1，CF=BE=3，∵∠FBE=∠E=∠CFB=90，°∴四边形BECF是矩形，∴BF=CF=222在Rt△OCE中，OC=OE2CE213122262 =．(3)、如图3中，当OF⊥DE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DM．1FD=FE=DE=1，OF⊥DE，∴DH=HE，OD=OE，∠DOH=∠，°∵OM=DM，2∴∠MOD=∠，°∴∠DMH=∠MDH=45°，∴DH=HM=1，∴DM=OM=2，22∵FH=DF2DH23，∴OF=OM+MH+FH=213=321．22222∴OF的最大值为321．2考点：四边形综合题．6．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．〔1〕在图1中画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON=90°；〔2〕在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD，使正方形ABCD面积等于〔1〕中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余〔画出一种即可〕．【答案】〔1〕作图参见解析；〔2〕作图参见解析.【解析】试题分析：〔1〕过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N，连接MN即可；〔2〕根据勾股定理画出图形即可．试题解析：〔1〕过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N，连接MN，如图1所示；〔2〕等腰直角三角形MON面积是5，因此正方形面积是20，如图2所示；于是根据勾股定理画出图3：考点：1.作图﹣应用与设计作图； 2.勾股定理.7．菱形ABCD中、∠BAD＝120°，点O为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．〔1〕如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，请直接写出CE，CF，CA三条段段之间的数量关系；〔2〕如图②，点O在CA的延长线上，且OA＝1AC，E，F分别在线段BC的延长线和线3段CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；〔3〕点O 在线段AC 上，假设AB ＝6，BO ＝2 7，当CF ＝1时，请直接写出BE 的长．【答案】〔1〕CA=CE+CF ．〔2〕CF-CE=4AC ．〔3〕BE 的值为3或5或1．（ 3 （ 【解析】 （ 【分析】（ 1〕如图①中，结论：CA=CE+CF ．只要证明△ADF ≌△ACE 〔SAS 〕即可解决问题；2〕结论：CF-CE=4AC ．如图②中，如图作OG ∥AD 交CF 于G ，那么△OGC 是等边三角3形．只要证明△FOG ≌△EOC 〔ASA 〕即可解决问题； 〔3〕分四种情形画出图形分别求解即可解决问题 .【详解】〔1〕如图①中，结论：CA=CE+CF ．理由：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD=120°AB=AD=DC=BC ，∠BAC=∠DAC=60°∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，∵∠DAC=∠EAF=60，°∴∠DAF=∠CAE ，∵CA=AD ，∠D=∠ACE=60，°∴△ADF≌△ACE〔SAS〕，DF=CE，CE+CF=CF+DF=CD=AC，CA=CE+CF．〔2〕结论：CF-CE=4 AC．3理由：如图②中，如图作OG∥AD交CF于G，那么△OGC是等边三角形．1∵∠GOC=∠FOE=60，°2∴∠FOG=∠EOC，3∵OG=OC，∠OGF=∠ACE=120，°4∴△FOG≌△EOC〔ASA〕，5∴CE=FG，6∵OC=OG，CA=CD，7∴OA=DG，4∴C F-EC=CF-FG=CG=CD+DG=AC+AC=AC，33〕作BH⊥AC于H．∵AB=6，AH=CH=3，BH=33，如图③-1中，当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．OB=27，∴OH=OB2BH2=1，OC=3+1=4，由〔1〕可知：CO=CE+CF，OC=4，CF=1，∴CE=3，∴BE=6-3=3．如图③-2中，当点O在线段AH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．由〔2〕可知：CE-CF=OC，CE=4+1=5，BE=1．如图③-3中，当点O在线段CH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．同法可证：OC=CE+CF，∵OC=CH-OH=3-1=2，CF=1，CE=1，BE=6-1=5．如图③-4中，当点O在线段CH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴同法可知：CE-CF=OC，∴CE=2+1=3，∴B E=3，综上所述，满足条件的BE的值为3或5或1．【点睛】此题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形〞．性质：如果两个三角形是“友好三角形〞，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形〞，并且S△ACD=S△BCD．应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．1〕求证：△AOB和△AOE是“友好三角形〞；2〕连接OD，假设△AOE和△DOE是“友好三角形〞，求四边形CDOF的面积．探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形〞，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，假设△A′CD与△ABC重合局部的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．【答案】〔1〕见解析；〔2〕12；探究：2或2．【解析】试题分析：〔1〕利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；〔2〕△AOE和△DOE是“友好三角形〞，即可得到E是AD的中点，那么可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．试题解析：〔1〕∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴OE=OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．〔2〕∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，∵△AOB与△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE，∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE=S△FOB，∴S△AOD=S△ABF，∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2×4×3=12．探究：解：分为两种情况：①如图1，∵S△ACD=S△BCD．AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD与△ABC重合局部的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OB，A′O=CO，∴四边形A′DCB是平行四边形，BC=A′D=2，过B作BM⊥AC于M，∵AB=4，∠BAC=30，°∴BM=AB=2=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90，°由勾股定理得：AC=，∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2；②如图2，∵S△ACD=S△BCD．AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD与△ABC重合局部的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OA′，BO=CO，∴四边形A′BDC是平行四边形，∴A′C=BD=2，过C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′∠C=BAC=30，°∴CQ=A′C=1，∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；即△ABC的面积是2或2．考点：四边形综合题．9．猜想与证明：如图1，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，假设M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：〔1〕假设将〞猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，那么DM和ME的关系为．〔2〕如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF 的中点，试证明〔1〕中的结论仍然成立．【答案】猜想： DM=ME，证明见解析；〔 2〕成立，证明见解析.【解析】试题分析：延长EM交AD于点H，根据ABCD和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和HM=DE，那么可以得到答案；〔1〕、延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，那么可以得到答案；〔2〕、连接AE，根据正方形的性质得出∠FCE=45°，∠FCA=45°，根据RT△ADF中AM=MF得出DM=AM=MF，根据RT△AEF中AM=MF得出AM=MF=ME，从而说明DM=ME.试题解析：如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH〔ASA〕∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=DE，∴DM=HM=ME，∴DM=ME．〔1〕、如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH〔ASA〕∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=EM∴DM=HM=ME，∴DM=ME，〔2〕、如图2，连接AE，∵四边形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE=45，°∠FCA=45，°∴AE和EC在同一条直线上，在RT△ADF中，AM=MF，∴DM=AM=MF，在RT△AEF中，AM=MF，∴AM=MF=ME，∴DM=ME．考点：〔1〕、三角形全等的性质；〔2〕、矩形的性质.10．问题情境在四边形ABCD中，BA＝BC，DC⊥AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E，M是边AD的中点，连接特例探究MB，ME.(1)如图(2)如图1，当∠ABC＝90°时，写出线段MB2，当∠ABC＝120°时，试探究线段与MEMB与的数量关系，位置关系；ME的数量关系，并证明你的结论；拓展延伸(3)如图3，当∠ABC＝α时，请直接用含α的式子表示线段MB 与ME之间的数量关系．【答案】(1)MB＝ME，MB⊥ME；(2)ME＝3MB．证明见解析；(3)ME＝MB·tan. 2【解析】【分析】1〕如图1中，连接CM．只要证明△MBE是等腰直角三角形即可；2〕结论：EM=3MB．只要证明△EBM是直角三角形，且∠MEB=30°即可；3〕结论：EM=BM?tan．证明方法类似；2【详解】如图1中，连接CM．∵∠ACD=90，°AM=MD，∴MC=MA=MD，BA=BC，∴BM垂直平分AC，∵∠ABC=90，°BA=BC，1∴∠MBE=∠ABC=45，°∠ACB=∠DCE=45，°2∵AB∥DE，∴∠ABE+∠DEC=180，°∴∠DEC=90，°∴∠DCE=∠CDE=45，°∴EC=ED，∵MC=MD，∴EM垂直平分线段CD，EM平分∠DEC，∴∠MEC=45，°∴△BME是等腰直角三角形，∴BM=ME，BM⊥EM．故答案为BM=ME，BM⊥EM．(2)ME＝3MB．证明如下：连接CM，如解图所示．∵DC⊥AC，M是边AD的中点，∴MC＝MA＝MD．∵BA＝BC，∴BM垂直平分AC．∵∠ABC＝120，°BA＝BC，∴∠MBE＝1∠ABC＝60°，∠BAC＝∠BCA＝30°，∠DCE＝60°. 2∵AB∥DE，∴∠ABE＋∠DEC＝180°，∴∠DEC＝60°，∴∠DCE＝∠DEC＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴EC＝ED．∵MC＝MD，∴EM垂直平分CD，EM平分∠DEC，1∴∠MEC＝∠DEC＝30°，2∴∠MBE＋∠MEB＝90°，即∠BME＝90°.在Rt△BME中，∵∠MEB＝30°，∴ME＝3MB．(3)如图3中，结论：EM=BM?tan．2理由：同法可证： BM ⊥EM ，BM 平分∠ABC ，所以EM=BM?tan．2【点睛】此题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．11．如图1，矩形 ABCD 中，AB=8，AD=6；点 E 是对角线BD 上一动点，连接CE ，作EF ⊥CE 交AB 边于点F ，以CE和EF 为邻边作矩形CEFG ，作其对角线相交于点 H ．〔1〕①如图2，当点F 与点B 重合时，CE= ，CG= ；②如图3，当点E 是BD 中点时，CE= ，CG= ；（ 2〕在图1，连接BG ，当矩形CEFG 随着点E 的运动而变化时，猜想△EBG 的形状？并加以证明；3〕在图1，CG的值是否会发生改变？假设不变，求出它的值；假设改变，说明理由；CE4〕在图1，设DE 的长为x ，矩形CEFG 的面积为S ，试求S 关于x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围．【答案】〔1〕24，18 ，5， 15 ；〔2〕△EBG 是直角三角形，理由详见解析；〔3〕55 43 3 248 32〕．；〔4〕S=x ﹣5x+48〔0≤x ≤445【解析】【分析】〔1〕① 利用面积法求出 CE ，再利用勾股定理求出 EF 即可；②利用直角三角形斜边中线定理求出 CE ，再利用相似三角形的性质求出 EF 即可；2〕根据直角三角形的判定方法：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形即可判断；3〕只要证明△DCE ∽△BCG ，即可解决问题； 4〕利用相似多边形的性质构建函数关系式即可；【详解】〔1〕①如图2中，在Rt△BAD中，BD=AD2AB2=10，11∵S△BCD= ?CD?BC=?BD?CE，22∴CE=24．CG=BE=62(24)2=18．555②如图3中，过点E作MN⊥AM交AB于N，交CD于M．DE=BE，1∴C E=BD=5，2∵△CME∽△ENF，CM EN∴，CE EF15CG=EF=，42〕结论：△EBG是直角三角形．理由：如图1中，连接BH．在Rt△BCF中，∵FH=CH，∴BH=FH=CH，∵四边形EFGC是矩形，∴EH=HG=HF=HC，∴BH=EH=HG，∴△EBG 是直角三角形． 3〕F 如图1中，∵HE=HC=HG=HB=HF ， ∴C 、E 、F 、B 、G 五点共圆，∵EF=CG ， ∴∠CBG=∠EBF ， ∵CD ∥AB ， ∴∠EBF=∠CDE ， ∴∠CBG=∠CDE ， ∵∠DCB=∠ECG=90，° ∴∠DCE=∠BCG ， ∴△DCE ∽△BCG ，∴CGBC6 3 ． CE DC 8 4〔4〕由〔3〕可知：CGCD3，CE CB 4∴矩形CEFG ∽矩形ABCD ，S矩形CEFG〔CE 2CE 2∴CD 〕，S矩形ABCD64∵CE 2=〔 32 -x 〕2+24〕2，S 矩形ABCD =48，55∴S 矩形CEFG =33222424[〔5-x 〕+〔5〕].3248 32〕．∴矩形CEFG 的面积S=x-x+48〔0≤x ≤455【点睛】此题考查相似三角形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质、相似多边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形或直角三角形解决问题，属于中考压轴题．12．：在矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE ＝2．〔1〕如图①，当四边形 EFGH 为正方形时，求 △GFC 的面积；2〕如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF＝a时，求△GFC的面积〔用a表示〕；3〕在〔2〕的条件下，△GFC的面积能否等于2？请说明理由．【答案】〔1〕10；〔2〕12－a；〔3〕不能【解析】解：〔1〕过点G作GM⊥BC于M．在正方形EFGH中，HEF＝90°，EH＝EF，∴∠AEH＋∠BEF＝90°．∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠AHE＝∠BEF．又∵∠A＝∠B＝90°，∴△AHE≌△BEF．同理可证△MFG≌△BEF．∴GM＝BF＝AE＝2．∴FC＝BC－BF＝10．∴．2〕过点G作GM⊥BC交BC的延长线于M，连接HF．∵AD∥BC，∴∠AHF＝∠MFH．∵EH∥FG，∴∠EHF＝∠GFH．∴∠AHE＝∠MFG．又∵∠A＝∠GMF＝90°，EH＝GF，∴△AHE≌△MFG．∴GM＝AE＝2．∴．〔3〕△GFC的面积不能等于2．说明一：∵假设S△GFC＝2，那么12－a＝2，∴a＝10．此时，在△BEF中，．在△AHE中，，∴AH＞AD，即点H已经不在边AD上，故不可能有S＝．2△GFC说明二：△GFC的面积不能等于2．∵点H在AD上，∴菱形边EH的最大值为，∴BF的最大值为．又∵函数S△GFC＝12－a的值随着a的增大而减小，∴S△GFC的最小值为．又∵，∴△GFC的面积不能等于2．13．如图①，在△ABC中，AB=7，tanA=，∠B=45°．点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动〔不与点 A、B重合〕，过点P作PQ⊥AB．交折线AC-CB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设点P的运动时间为t〔秒〕，正方形PQMN与△ABC重叠局部图形的面积为S〔平方单位〕．1〕直接写出正方形PQMN的边PQ的长〔用含t的代数式表示〕．2〕当点M落在边BC上时，求t的值．3〕求S与t之间的函数关系式．4〕如图②，点P运动的同时，点H从点B出发，沿B-A-B的方向做一次往返运动，在B-A上的速度为每秒2个单位长度，在A-B上的速度为每秒4个单位长度，当点H停止运动时，点P也随之停止，连结MH．设MH将正方形PQMN分成的两局部图形面积分别为S1、S2〔平方单位〕〔0＜S1＜S2〕，直接写出当S2≥3S1时t的取值范围．【答案】(1)PQ=7-t．(2)t=．(3)当0＜t≤时，S=．当＜t≤4，．当4＜t＜7时，．〔4〕或或．【解析】试题分析：〔1〕分两种情况讨论：当点Q在线段AC上时，当点Q在线段BC上时．〔2〕根据AP+PN+NB=AB，列出关于t的方程即可解答；〔3〕当0＜t≤时，当＜t≤4，当4＜t＜7时；〔4〕或或．试题解析：〔1〕当点Q在线段AC上时，PQ=tanAAP=t．当点Q在线段BC上时，PQ=7-t．〔2〕当点M落在边BC上时，如图③，由题意得：t+t+t=7，解得：t=．∴当点M落在边BC上时，求t的值为．〔3〕当0＜t≤时，如图④，S=当．＜t≤4，如图⑤，．当4＜t＜7时，如图⑥，．〔4〕或或．．考点：四边形综合题.14．：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N．〔1〕求证：△ABM≌△CDN；〔2〕矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形AMCN是菱形，证明你的结论．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形．证明见解析；【解析】试题分析：〔1〕由条件可得四边形AMCN是平行四边形，从而可得AM=CN，再由AB=CD，∠B=∠D=90°，利用HL即可证明；2〕假设四边形AMCN为菱形，那么有AM=AN，从可得∠BAM=∠FAN，又∠B=∠F=90°，所以有△ABM≌△AFN，从而得AB=AF，因此当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形．试题解析：〔1〕∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD∥BC．∵四边形AECF是矩形，∴AE∥CF．∴四边形AMCN是平行四边形．∴AM＝CN．在Rt△ABM和Rt△CDN中，AB＝CD，AM＝CN，∴Rt△ABM≌Rt△CDN．〔2〕当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形．∵四边形ABCD、AECF是矩形，∴∠B＝∠BAD＝∠EAF＝∠F＝90°．∴∠BAD－∠NAM＝EAF－∠NAM，即∠BAM＝∠FAN．又∵AB＝AF，∴△ABM≌△AFN．∴AM＝AN．由〔1〕知四边形AMCN是平行四边形，∴平行四边形AMCN是菱形．考点：1．矩形的性质；2．三角形全等的判定与性质；3．菱形的判定．15．如图1，在菱形ABCD中，ABC=60°，假设点E在AB的延长线上，EF∥AD，EF=BE，点P是DE的中点，连接FP并延长交AD于点G．〔1〕过D作DH AB,垂足为H，假设DH=，BE=AB,求DG的长；〔2〕连接CP，求证：CP FP；F在〔3〕如图2，在菱形ABCD中，ABC=60°，假设点E在CB的延长线上运动，点AB的延长线上运动，且BE=BF，连接DE,点P为DE的中点，连接FP、CP，那么第〔2〕问的结论成立吗？假设成立，求出的值；假设不成立，请说明理由．【答案】〔1〕1；〔2〕见解析；〔3〕．【解析】试题分析：〔1〕根据菱形得出DA∥BC，CD=CB，∠CDG=∠CBA=60°，那么∠DAH=∠ABC=60，°根据DH⊥AB得出∠DHA=90，°根据Rt△ADH的正弦值得出AD的长度，然后得出BE的长度，然后证明△PDG≌△PEF，得出DG=EF，根据EF∥AD，AD∥BC得出EF∥BC，那么说明△BEF为正三角形，从而得出DG的长度；〔2〕连接CG、CF，根据△PDG≌△PEF得出PG=PF，然后证明△CDG≌△CBF，从而得到CG=CF，根据PG=PF得出垂直；〔3〕过D作EF的平行线，交FP延长于点G，连接CG、CF证△PEF≌△PDG，然后证明△CDG≌△CBF，从而得出∠GCE=120°，根据Rt△CPF求出比值．试题解析：〔1〕解：∵四边形ABCD为菱形∴DA∥BCCD="CB"∠CDG=∠CBA=60°∴∠DAH=∠ABC=60°∵DH⊥AB∴∠DHA=90°在Rt△ADH中sin∠DAH=∴AD=∴BE= AB=×4=1∵EF∥AD∴∠PDG=∠PEB∵P为DE的中点∴PD=PE∵∠DPG=∠EPF∴△PDG≌△PEF∴DG=EF∵EF∥ADAD∥BC∴EF∥BC∴∠FEB=∠CBA=60°∵BE=EF∴△BEF为正三角形∴EF=BE=1∴DG=EF=1、证明：连接CG、CF由〔1〕知△PDG≌△PEF∴PG=PF在△CDG与△CBF中易证：∠CDG=∠CBF=60°CD=CBBF=EF=DG∴△CDG≌△CBF∴CG=CF∵PG=PF∴CP⊥GF〔3〕如图：CP⊥GF仍成立理由如下：过D作EF的平行线，交FP延长于点G连接CG、CF证△PEF≌△PDG∴DG=EF=BF∵DG∥EF∴∠GDP=∠EFP∵DA∥BC∴∠ADP=∠PEC ∴∠GDP－∠ADP=∠EFP－∠PEC∴∠GDA=∠BEF=60∴°∠CDG=∠ADC+∠GDA=120°∵∠CBF=180－°∠EBF=120∴°∠CBF=∠CDG∵CD=BCDG=BF∴△CDG≌△CBF∴CG=CF∠DCG=∠FCE∵PG=PF∴CP⊥PF∠GCP=∠FCP∵∠DCP=180－∠ABC=120∴°∠DCG+∠GCE=120∴°∠FCE+∠GCE=120即°∠GCE=120°∴∠FCP=∠GCE=60在°Rt△CPF中tan∠FCP=tan60=°=考点：三角形全等的证明与性质．。

2020-2021初中数学四边形易错题汇编含答案

2020-2021初中数学四边形易错题汇编含答案

2020-2021初中数学四边形易错题汇编含答案一、选择题1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △PAB ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB 的最小值为（ ）A ．29B ．34C ．52D ．41【答案】D【解析】 解：设△ABP 中AB 边上的高是h ．∵S △PAB =13S 矩形ABCD ，∴12 AB •h =13AB •AD ，∴h =23AD =2，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 就是所求的最短距离．在Rt △ABE 中，∵AB =5，AE =2+2=4，∴BE =22AB AE + =2254+=41，即PA +PB 的最小值为41．故选D ．2．如图，若OABC Y 的顶点O ，A ，C 的坐标分别为(0,0)，(4,0)，(1,3)，则顶点B 的坐标为（ ）A ．(4,1)B ．(5,3)C ．(4,3)D ．(5,4)【答案】B【解析】【分析】 根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点B 的坐标.【详解】解：∵四边形OABC 是平行四边形，∴OC ∥AB ，OA ∥BC ，∴点B 的纵坐标为3，∵点O 向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点C ，∴点A 向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点B ，∴点B 的坐标为：（5，3）；故选：B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题.3．如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，30BE ADBCE ⊥∠=︒，.若2AE =，则边BC 的长为( )A 5B 6C 7D ．22【答案】B【解析】【分析】 由菱形的性质得出AD ∥BC ，BC=AB=AD ，由直角三角形的性质得出3，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE 2+22=3）2，解得：2，即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AD BC BC AB =，∥.∵BE AD ⊥.∴BE BC ⊥.∴30BCE ∠=︒，∴2EC BE =， ∴223AB BC EC BE BE ==-=.在Rt ABE △中，由勾股定理得)22223BE BE +=， 解得2BE =，∴36BC BE ==故选B.【点睛】 此题考查菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．4．如图，在平行四边形ABCD 中，2=AD AB ，CE 平分BCD ∠交AD 于点E ，且8BC =，则AB 的长为（ ）A ．4B ．3C ．52D ．2【答案】A【解析】【分析】 利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE=DE=AB 即可得出答案．【详解】∵CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，∴∠ECD=∠ECB ，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，∴∠DEC=∠ECB ，∠DEC=∠DCE ，∴DE=DC ，∵AD=2AB ，∴AD=2CD ，∴AE=DE=AB ．∵8AD BC ==，2=AD AB∴AB=4，故选：A ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，得出∠DEC=∠DCE 是解题关键．5．若菱形的对角线分别为6和8，则这个菱形的周长为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．48【答案】B【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．【详解】如图所示，根据题意得AO=12×8=4，BO=12×6=3，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=DA ，AC ⊥BD ，∴△AOB 是直角三角形，∴AB=22169AO BO +=+=5，∴此菱形的周长为：5×4=20．故选：B ． 【点睛】此题考查菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键.6．如图1，点F 从菱形ABCD 的项点A 出发，沿A －D －B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ．图2是点F 运动时，△FBC 的面积y (m 2)随时间x (s)变化的关系图象，则a 的值为( )A ．5B ．2C ．52D ．5【答案】C【解析】【分析】 过点D 作DE BC ⊥于点E 由图象可知，点F 由点A 到点D 用时为as ，FBC ∆的面积为2acm ．求出DE=2，再由图像得5BD =BE=1，再在DEC Rt △根据勾股定理构造方程，即可求解．【详解】解：过点D 作DE BC ⊥于点E由图象可知，点F 由点A 到点D 用时为as ，FBC ∆的面积为2acm ．AD BC a ∴==∴12DE AD a =g 2DE ∴=由图像得，当点F 从D 到B 时，用5s5BD ∴=Rt DBE V 中，2222(5)21BE BD DE =-=-=∵四边形ABCD 是菱形，1EC a ∴=-，DC a =DEC Rt △中，2222(1)a a =+- 解得52a =故选：C ．【点睛】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，要注意函数图象变化与动点位置之间的关系，解答此题关键根据图像关键点确定菱形的相关数据．7．如图，点M 是正方形ABCD 边CD 上一点，连接AM ，作DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，连接BE ，若AF ＝1，四边形ABED 的面积为6，则∠EBF 的余弦值是（ ）A ．21313B ．31313C ．23D ．1313【答案】B【解析】【分析】首先证明△ABF ≌△DEA 得到BF=AE ；设AE=x ，则BF=x ，DE=AF=1，利用四边形ABED 的面积等于△ABE 的面积与△ADE 的面积之和得到12•x•x+•x×1=6，解方程求出x 得到AE=BF=3，则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE ，最后利用余弦的定义求解．【详解】∵四边形ABCD 为正方形，∴BA ＝AD ，∠BAD ＝90°，∵DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，∴∠AFB ＝90°，∠DEA ＝90°，∵∠ABF+∠BAF ＝90°，∠EAD+∠BAF ＝90°，∴∠ABF ＝∠EAD ，在△ABF 和△DEA 中BFA DEA ABF EAD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△DEA （AAS ），∴BF ＝AE ；设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝1，∵四边形ABED 的面积为6， ∴111622x x x ⋅⋅+⋅⨯=，解得x 1＝3，x 2＝﹣4（舍去）， ∴EF ＝x ﹣1＝2， 在Rt △BEF中，BE∴cos BF EBF BE ∠=== 故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．8．正九边形的内角和比外角和多（ ）A ．720︒B ．900︒C ．1080︒D ．1260︒【答案】B【解析】【分析】根据多边形的内角和公式求出正九边形的内角和，减去外角和360°即可.【详解】∵正九边形的内角和是(92)1801260-⨯=o o ，∴1260360-=o o 900︒，故选：B.【点睛】此题考查多边形的内角和公式、外角和，熟记公式是解题的关键.9．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150∠=o，则AEF∠=（）A．110°B．115°C．120°D．130°【答案】B【解析】【分析】根据翻折的性质可得∠2=∠3，再求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【详解】∵矩形ABCD沿EF对折后两部分重合，150∠=o，∴∠3=∠2=180-502︒︒=65°，∵矩形对边AD∥BC，∴∠AEF=180°-∠3=180°-65°=115°．故选：B．【点睛】本题考查了矩形中翻折的性质，两直线平行的性质，平角的定义，掌握翻折的性质是解题的关键．10．如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接CF，DG，则DGCF=（）A 2B2C3D3【解析】【分析】连接AC和AF，证明△DAG∽△CAF可得DGCF的值．【详解】连接AC和AF，则2 AD AGAC AF==∵∠DAG=45°-∠GAC，∠CAF=45°-GAC，∴∠DAG=∠CAF．∴△DAG∽△CAF．∴22 DG ADCF AC==．故答案为：B.【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形．11．下列命题中是真命题的是（）A．多边形的内角和为180°B．矩形的对角线平分每一组对角C．全等三角形的对应边相等D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和公式可对A进行判定；根据矩形的性质可对B进行判定；根据全等三角形的性质可对C进行判定；根据平行线的性质可对D进行判定．【详解】A.多边形的内角和为(n-2)·180°（n≥3），故该选项是假命题，B.矩形的对角线不一定平分每一组对角，故该选项是假命题，C.全等三角形的对应边相等，故该选项是真命题，D.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项是假命题，【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．熟练掌握矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及多边形的内角和公式是解题关键．12．如图，在边长为8的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是 （ ）A ．183π-B ．183πC ．32316πD ．1839π-【答案】C【解析】【分析】 由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，∵DF 是菱形的高，∴DF ⊥AB ，∴DF=AD •sin60°=3832⨯= ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积 =2120(43)84332316360ππ⨯⨯=． 故选：C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．13．如图，平行四边形ABCD 的周长是26,cm 对角线AC 与BD 交于点,,O AC AB E ⊥是BC 中点，AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则AE 的长度为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．8cm【答案】B【解析】【分析】 根据题意，由平行四边形的周长得到13AB AD +=，由AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则3AD AB -=，求出AD 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵平行四边形ABCD 的周长是26cm ， ∴126132AB AD +=⨯=， ∵BD 是平行四边形的对角线，则BO=DO ，∵AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，∴()()3AO OD AD AO OB AB AD AB ++-++=-=，∴5AB =，8AD =，∴8BC AD ==，∵AC AB ⊥，点E 是BC 中点，∴118422AE BC ==⨯=； 故选：B ．【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题．14．如图1，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，动点P 从点B 开始沿边BA 、AC 向点C 以恒定的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以恒定的速度移动，两点同时到达点C ，设△BPQ 的面积为y （cm 2）．运动时间为x （s ），y 与x 之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC 的中点时，PQ 的长为（ ）A．2 B．4 C．23D．43【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为3：3，根据x＝2，y＝63，确定P、Q运动的速度，即可求解．【详解】解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC＝3a，设P、Q同时到达的时间为T，则点P的速度为3aT，点Q的速度为3a，故点P、Q的速度比为3：3，故设点P、Q的速度分别为：3v、3v，由图2知，当x＝2时，y＝63，此时点P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝2×3v＝23v，y＝12⨯AB×BQ＝12⨯6v×23v＝63，解得：v＝1，故点P、Q的速度分别为：3，3，AB＝6v＝6＝a，则AC＝12，BC＝63，如图当点P在AC的中点时，PC＝6，此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ＝3x＝43，CQ＝BC﹣BQ＝63﹣43＝23，过点P作PH⊥BC于点H，PC＝6，则PH＝PC sin C＝6×12＝3，同理CH＝3，则HQ＝CH﹣CQ＝333，PQ22PH HQ+39+3，故选：C．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．15．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD ＝∠CDB ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．40B ．24C ．20D ．15 【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到AC ⊥BD ，∠BAO=∠DAO ，得到AD=CD ，推出四边形ABCD 是菱形，根据勾股定理得到AO=3，于是得到结论．【详解】∵AB ＝AD ，点O 是BD 的中点，∴AC ⊥BD ，∠BAO ＝∠DAO ，∵∠ABD ＝∠CDB ，∴AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD ，∴∠DAC ＝∠ACD ，∴AD ＝CD ，∴AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形，∵AB ＝5，BO 12=BD ＝4， ∴AO ＝3，∴AC ＝2AO ＝6，∴四边形ABCD 的面积12=⨯6×8＝24， 故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．16．如图，在ABCD Y 中，8AC =，6BD =，5AD =，则ABCD Y 的面积为( )A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】C【解析】【分析】由勾股定理的逆定理得出90AOD ∠=o ，即AC BD ⊥，得出ABCD Y 是菱形，由菱形面积公式即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴142OC OC AC ===，132OB OD BD ===， ∴22225OA OD AD +==，∴90AOD ∠=o ，即AC BD ⊥，∴ABCD Y 是菱形，∴ABCD Y 的面积11862422AC BD =⨯=⨯⨯=； 故选C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABCD 是菱形是解题的关键．17．已知ABCD Y (AB BC >)，用尺规在ABCD 内作菱形，下列作法错误的是( )A ．如图1所示，作对角线AC 的垂直平分线EF ，则四边形AECF 为所求B ．如图2所示，在AB DC ，上截取AE AD DF DA ==，，则四边形AEFD 为所求 C ．如图3所示，作ADC ABC ∠∠、的平分线DE BF ，，则四边形DEBF 为所求 D ．如图4所示，作BDE BDC DBF DBA ∠=∠∠=∠，，则四边形DEBF 为所求【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质及判定、菱形的判定逐个判断即可．【详解】解：A 、根据线段的垂直平分线的性质可知AB ＝AD ，一组邻边相等的平行四边形是菱形；符合题意；B 、根据四条边相等的四边形是菱形，符合题意；C 、根据两组对边分别平行四边形是平行四边形，不符合题意；D 、根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了复杂作图，解决本题的关键是利用平行四边形的性质及判定、菱形的判定．18．如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，如果用直尺画一条直线将其剩余部分分割成面积相等的两部分，这样的不同的直线一共可以画出（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质分割平行四边形即可．【详解】解：如图所示，这样的不同的直线一共可以画出三条，故答案为：3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性．19．如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．下列结论中：①DE＝DF；②AG＝GF；③AF＝DF；④BG＝GC；⑤BF＝EF，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】由AAS证明△ABF≌△DEF，得出对应边相等AF=DF，BF=EF，即可得出结论，对于①②④不一定正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，即AB ∥CE ，∴∠ABF=∠E ，∵DE=CD ，∴AB=DE ，在△ABF 和△DEF 中，∵===ABF E AFB DFE AB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴△ABF ≌△DEF （AAS ），∴AF=DF ，BF=EF ；可得③⑤正确，故选：B ．【点睛】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．20．如图，在矩形ABCD 中， 4,6,AB BC ==点E 是AD 的中点，点F 在DC 上，且1,CF =若在此矩形上存在一点P ，使得PEF V 是等腰三角形，则点P 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】【分析】 根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，③当EF 为底，P 为顶角顶点时，分别确定点P 的位置，即可得到答案．【详解】∵在矩形ABCD 中，461AB BC CF ===，，，点E 是AD 的中点，32184EF ∴==>．∴PEF V 是等腰三角形，存在三种情况：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，根据矩形的轴对称性，可知：在BC 上存在两个点P ，在AB 上存在一个点P ，共3个，使PEF V 是等腰三角形；②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，Q6,∴在BC上存在一个点P，使PEFV是等腰三角形；③当EF为底，P为顶角顶点时，点P一定在EF的垂直平分线上，∴EF的垂直平分线与矩形的交点，即为点P，存在两个点．综上所述，满足题意的点P的个数是6．故选D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，矩形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义和矩形的性质，学会分类讨论思想，是解题的关键．。

2020-2021中考数学 平行四边形 培优 易错 难题练习(含答案)及答案解析

2020-2021中考数学 平行四边形 培优 易错 难题练习(含答案)及答案解析

2020-2021中考数学平行四边形培优易错难题练习(含答案)及答案解析一、平行四边形1．如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中的两个三角形就是互补三角形．（1）用尺规将图1中的△ABC分割成两个互补三角形；（2）证明图2中的△ABC分割成两个互补三角形；（3）如图3，在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI．①已知三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为、、的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积．②若△ABC的面积为2，求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积．【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）①62；②6【解析】试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可．（2）根据互补三角形的定义证明即可．（3）①画出图形后，利用割补法求面积即可．②平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，只要证明S△EFM=3S△ABC即可．试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线AD，△ABD和△ADC是互补三角形．（2）如图2中，延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH．∵四边形ABDE，四边形ACGF是正方形，∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，∴∠EAF+∠BAC=180°，∴△AEF和△ABC是两个互补三角形．∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°，∴∠EAH=∠BAC，∵AF=AC，∴AH=AB，在△AEH和△ABC中，∴△AEH≌△ABC，∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．（3）①边长为、、的三角形如图4所示．∵S△ABC=3×4﹣2﹣1.5﹣3=5.5，∴S六边形=17+13+10+4×5.5=62．②如图3中，平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，设∠ABC=x，∵AM∥CH，CH⊥BC，∴AM⊥BC，∴∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x，∵∠DBI=360°﹣90°﹣90°﹣x=180°﹣x，∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD，∴△AEM≌△DBI，∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°，∴△DBI和△ABC是互补三角形，∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2，∴S△EFM=3S△ABC=6．考点：1、作图﹣应用与设计，2、三角形面积2．如图，△ABC是等边三角形，AB=6cm，D为边AB中点．动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动．点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动，回到点D停止．以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN．将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ．设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜3）．（1）当点N落在边BC上时，求t的值．（2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值．（3）当点Q沿D→B运动时，求S与t之间的函数表达式．（4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值．【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2；（4）t=1或【解析】试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；（3）当0≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN．（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时＜t＜，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值．试题解析：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形，∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合．∴DQ=3∴2t=3．∴t=；（2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，∴PD=DQ，当0＜t＜时，此时，PD=t，DQ=2t∴t=2t∴t=0（不合题意，舍去），当≤t＜3时，此时，PD=t，DQ=6﹣2t∴t=6﹣2t，解得t=2；综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t当点M在BC边上时，∴MN=BQ∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t∴3t=3﹣2t∴解得t=如图①，当0≤t≤时，S△PNQ=PQ2=t2；∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2，如图②，当≤t≤时，设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，∵△EMF是等边三角形，∴S△EMF=ME2=（5t﹣3）2．；（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，此时＜t＜，t=1或．考点：几何变换综合题3．操作：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F．探究：（1）如图1，当点P在线段BC上时，①若∠BAP=30°，求∠AFE的度数；②若点E 恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时∠AFD 的度数．归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；猜想：（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论．【答案】（1）①45°；②BC的中点，45°；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析.【解析】试题分析：（1）当点P在线段BC上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出∠DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；②由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF 垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠1+∠2的度数，即为∠FAG度数，即可求出∠F度数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数不会发生变化，理由为：作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设∠DAG=∠EAG=α，根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可．试题解析：（1）①当点P在线段BC上时，∵∠EAP=∠BAP=30°，∴∠DAE=90°﹣30°×2=30°，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣30°）÷2=75°，在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°；②点E为DF 的中点时，P也为BC的中点，理由如下：如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，∵EG∥AD，DE=EF，∴EG=AD=1，∵AB=AE，∴点A在线段BE的垂直平分线上，同理可得点P在线段BE的垂直平分线上，∴AF垂直平分线段BE，∴OB=OE，∵GE∥BP，∴∠OBP=∠OEG，∠OPB=∠OGE，∴△BOP≌△EOG，∴BP=EG=1，即P为BC的中点，∴∠DAF=90°﹣∠BAF，∠ADF=45°+∠BAF，∴∠AFD=180°﹣∠DAF﹣∠ADF=45°；（2）∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，在△ADE中，AD=AE，AG⊥DE，∵AG平分∠DAE，即∠2=∠DAG，且∠1=∠BAP，∴∠1+∠2=×90°=45°，即∠FAG=45°，则∠AFD=90°﹣45°=45°；（3）如图2所示，∠AFE的大小不会发生变化，∠AFE=45°，作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设∠DAG=∠EAG=α，∴∠BAE=90°+2α，∴∠FAE=∠BAE=45°+α，∴∠FAG=∠FAE﹣∠EAG=45°，在Rt△AFG中，∠AFE=90°﹣45°=45°．考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定与性质.4．已知90AOB ∠=︒，点C 是AOB ∠的角平分线OP 上的任意一点，现有一个直角MCN ∠绕点C 旋转，两直角边CM ，CN 分别与直线OA ，OB 相交于点D ，点E .（1）如图1，若CD OA ⊥，猜想线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并说明理由. （2）如图2，若点D 在射线OA 上，且CD 与OA 不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并加以证明.（3）如图3，若点D 在射线OA 的反向延长线上，且2OD =，8OE =，请直接写出线段CE 的长度.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（334【解析】【分析】（1）先证四边形ODCE 为矩形，再证矩形ODCE 为正方形，由正方形性质可得；（2）过点C 作CG OA ⊥于点G ，CH OB ⊥于点H ，证四边形OGCH 为正方形，再证()CGD CHE ASA ∆≅∆，可得；（3）根据()CGD CHE ASA ∆≅∆，可得2OE OD OH OG OC -=+=.【详解】解：（1）∵90AOB ∠=︒，90MCN ∠=︒，CD OA ⊥，∴四边形ODCE 为矩形.∵OP 是AOB ∠的角平分线，∴45DOC EOC ∠=∠=︒，∴OD CD =，∴矩形ODCE 为正方形， ∴2OC OD =，2OC OE =.∴2OD OE OC +=.（2）如图，过点C 作CG OA ⊥于点G ，CH OB ⊥于点H ，∵OP 平分AOB ∠，90AOB ∠=︒，∴四边形OGCH 为正方形，由（1）得：2OG OH OC +=，在CGD ∆和CHE ∆中， 90CGD CHE CG CHDCG ECH ︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()CGD CHE ASA ∆≅∆，∴GD HE =，∴2OD OE OC +=.（3）2OG OH OC +=， ()CGD CHE ASA ∆≅∆，∴GD HE =. ∵OD GD OG =-，OE OH EH =+，∴2OE OD OH OG OC -=+=， ∴32OC =，∴34CE =，CE 的长度为34.【点睛】考核知识点：矩形，正方形的判定和性质.熟练运用特殊四边形的性质和判定是关键.5．菱形ABCD 中、∠BAD ＝120°，点O 为射线CA 上的动点，作射线OM 与直线BC 相交于点E ，将射线OM 绕点O 逆时针旋转60°，得到射线ON ，射线ON 与直线CD 相交于点F ．（1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，请直接写出CE，CF，CA三条段段之间的数量关系；（2）如图②，点O在CA的延长线上，且OA＝13AC，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；（3）点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝27，当CF＝1时，请直接写出BE的长．【答案】（1）CA=CE+CF．（2）CF-CE=43AC．（3）BE的值为3或5或1．【解析】【分析】（1）如图①中，结论：CA=CE+CF．只要证明△ADF≌△ACE（SAS）即可解决问题；（2）结论：CF-CE=43AC．如图②中，如图作OG∥AD交CF于G，则△OGC是等边三角形．只要证明△FOG≌△EOC（ASA）即可解决问题；（3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题.【详解】（1）如图①中，结论：CA=CE+CF．理由：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°∴AB=AD=DC=BC，∠BAC=∠DAC=60°∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∵∠DAC=∠EAF=60°，∴∠DAF=∠CAE，∵CA=AD，∠D=∠ACE=60°，∴△ADF≌△ACE（SAS），∴DF=CE，∴CE+CF=CF+DF=CD=AC，∴CA=CE+CF．（2）结论：CF-CE=43 AC．理由：如图②中，如图作OG∥AD交CF于G，则△OGC是等边三角形．∵∠GOC=∠FOE=60°，∴∠FOG=∠EOC，∵OG=OC，∠OGF=∠ACE=120°，∴△FOG≌△EOC（ASA），∴CE=FG，∵OC=OG，CA=CD，∴OA=DG，∴CF-EC=CF-FG=CG=CD+DG=AC+13AC=43AC，（3）作BH⊥AC于H．∵AB=6，AH=CH=3，∴BH=33，如图③-1中，当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．∵7，∴22OB BH=1，∴OC=3+1=4，由（1）可知：CO=CE+CF，∵OC=4，CF=1，∴CE=3，∴BE=6-3=3．如图③-2中，当点O在线段AH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．由（2）可知：CE-CF=OC，∴CE=4+1=5，∴BE=1．如图③-3中，当点O在线段CH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．同法可证：OC=CE+CF，∵OC=CH-OH=3-1=2，CF=1，∴CE=1，∴BE=6-1=5．如图③-4中，当点O在线段CH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．同法可知：CE-CF=OC，∴CE=2+1=3，∴BE=3，综上所述，满足条件的BE的值为3或5或1．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．6．正方形ABCD，点E在边BC上，点F在对角线AC上，连AE．(1)如图1，连EF，若EF⊥AC，4AF＝3AC，AB＝4，求△AEF的周长；(2)如图2，若AF＝AB，过点F作FG⊥AC交CD于G，点H在线段FG上(不与端点重合)，连AH．若∠EAH＝45°，求证：EC＝HG+2FC．【答案】（1）25422）证明见解析【解析】【分析】（1）由正方形性质得出AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠D＝90°，∠ACB＝∠ACD＝∠BAC＝∠ACD＝45°，得出AC2AB＝2，求出AF＝2，CF＝AC﹣AF2，求出△CEF 是等腰直角三角形，得出EF＝CF2，CE2CF＝2，在Rt△AEF中，由勾股定理求出AE，即可得出△AEF的周长；（2）延长GF交BC于M，连接AG，则△CGM和△CFG是等腰直角三角形，得出CM＝CG，CG2CF，证出BM＝DG，证明Rt△AFG≌Rt△ADG得出FG＝DG，BM＝FG，再证明△ABE≌△AFH，得出BE＝FH，即可得出结论．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠D＝90°，∠ACB＝∠ACD＝∠BAC＝∠ACD＝45°，∴AC＝2AB＝42，∵4AF＝3AC＝122，∴AF＝32，∴CF＝AC﹣AF＝2，∵EF⊥AC，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF＝CF＝2，CE＝2CF＝2，在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE＝2225AF EF+=，∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝252322542++=+；（2）证明：延长GF交BC于M，连接AG，如图2所示：则△CGM和△CFG是等腰直角三角形，∴CM＝CG，CG2，∴BM＝DG，∵AF＝AB，∴AF＝AD，在Rt△AFG和Rt△ADG中，AG AGAF AD=⎧⎨=⎩，∴Rt△AFG≌Rt△ADG（HL），∴FG＝DG，∴BM＝FG，∵∠BAC＝∠EAH＝45°，∴∠BAE＝∠FAH，∵FG⊥AC，∴∠AFH＝90°，在△ABE和△AFH中，90B AFHAB AFBAE FAH︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE ≌△AFH （ASA ），∴BE ＝FH ，∵BM ＝BE +EM ，FG ＝FH +HG ，∴EM ＝HG ，∵EC ＝EM +CM ，CM ＝CG ＝2CF ，∴EC ＝HG +2FC ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．7．△ABC 为等边三角形，AF AB =．BCD BDC AEC ∠=∠=∠．(1)求证：四边形ABDF 是菱形．(2)若BD 是ABC ∠的角平分线，连接AD ，找出图中所有的等腰三角形．【答案】(1)证明见解析；(2)图中等腰三角形有△ABC ，△BDC ，△ABD ，△ADF ，△ADC ，△ADE ．【解析】【分析】（1）先求证BD ∥AF ，证明四边形ABDF 是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）先利用BD 平分∠ABC ，得到BD 垂直平分线段AC ，进而证明△DAC 是等腰三角形，根据BD ⊥AC,AF ⊥AC ，找到角度之间的关系,证明△DAE 是等腰三角形，进而得到BC ＝BD ＝BA ＝AF ＝DF ，即可解题,见详解.【详解】(1)如图1中，∵∠BCD ＝∠BDC ，∴BC ＝BD ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∵AB ＝AF ，∴BD ＝AF ，∵∠BDC ＝∠AEC ，∴BD ∥AF ，∴四边形ABDF 是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABDF是菱形．(2)解：如图2中，∵BA＝BC，BD平分∠ABC，∴BD垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴△DAC是等腰三角形，∵AF∥BD，BD⊥AC∴AF⊥AC，∴∠EAC＝90°，∵∠DAC＝∠DCA，∠DAC+∠DAE＝90°，∠DCA+∠AEC＝90°，∴∠DAE＝∠DEA，∴DA＝DE，∴△DAE是等腰三角形，∵BC＝BD＝BA＝AF＝DF，∴△BCD，△ABD，△ADF都是等腰三角形，综上所述，图中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．【点睛】本题考查菱形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，属于中考常考题型，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．8．(1)问题发现如图1,点E. F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°，连接EF、则EF=BE+DF，试说明理由；(2)类比引申如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E. F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF；(3)联想拓展如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC 满足的等量关系，并写出推理过程。

中考数学与平行四边形有关的压轴题附答案解析

中考数学与平行四边形有关的压轴题附答案解析

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．（1）①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由．（3）在第（2）题图4中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求BE2+DG2的值．【答案】（1）①BG⊥DE，BG=DE；②BG⊥DE，证明见解析；（2）BG⊥DE，证明见解析；（3）16.25．【解析】分析：（1）①根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；②结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论；（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；（3）连接BE、DG．根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和．详解：（1）①BG⊥DE，BG=DE；②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE，∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，∴BC CG b==，DC CE a又∵∠BCG=∠DCE，∴△BCG∽△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（3）连接BE、DG．根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=90°∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25．点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理．2．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．413【答案】（1）证明见解析；（2【解析】分析：（1）根据平行四边形ABCD 的性质，判定△BOE ≌△DOF （ASA ），得出四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt △ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE ，由勾股定理求出BD ，得出OB ，再由勾股定理求出EO ，即可得出EF 的长.详解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB ∥DC ，OB=OD ，∴∠OBE=∠ODF ，在△BOE 和△DOF 中，OBE ODF OB ODBOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BOE ≌△DOF （ASA ），∴EO=FO ，∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ，设BE=x ，则 DE=x ，AE=6-x ，在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2+AE 2，∴x 2=42+（6-x ）2，解得：x=133， ∵∴OB=12∵BD ⊥EF ，∴∴EF=2EO=3． 点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键3．在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且∠EAF=∠CEF=45°.(1)将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG ≌△AEF ；(2)若直线EF 与AB ，AD 的延长线分别交于点M ，N(如图②)，求证：EF 2=ME 2+NF 2；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF ，BE ，DF 之间的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．试题解析：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）设正方形ABCD的边长为a．将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF ，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）EF2=2BE2+2DF2．如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2考点：四边形综合题4．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．（1）证明：BE=CF．（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．【答案】(1)见解析；（2）43；（3）见解析【解析】试题分析：（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；（3）当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则△CEF的面积就会最大.试题解析：（1）证明：连接AC，∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=∠ADC=60°∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∴△ABC、△ACD为等边三角形∴∠4=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF．（ASA）∴BE=CF．（2）解：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF．故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值．作AH⊥BC于H点，则BH=2，S四边形AECF=S△ABC===； （3）解：由“垂线段最短”可知，当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．故△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最小，又S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF ，则△CEF 的面积就会最大．由（2）得，S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF =﹣=．点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证△ABE ≌△ACF 是解题的关键．5．问题情境在四边形ABCD 中，BA ＝BC ，DC ⊥AC ，过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E ，M 是边AD 的中点，连接MB ，ME.特例探究(1)如图1，当∠ABC ＝90°时，写出线段MB 与ME 的数量关系，位置关系；(2)如图2，当∠ABC ＝120°时，试探究线段MB 与ME 的数量关系，并证明你的结论； 拓展延伸(3)如图3，当∠ABC ＝α时，请直接用含α的式子表示线段MB 与ME 之间的数量关系．【答案】(1)MB ＝ME ，MB ⊥ME ；(2)ME 3．证明见解析；(3)ME ＝MB·tan 2 .【解析】【分析】（1）如图1中，连接CM ．只要证明△MBE 是等腰直角三角形即可；（2）结论：EM=3MB ．只要证明△EBM 是直角三角形，且∠MEB=30°即可； （3）结论：EM=BM•tan2 ．证明方法类似；【详解】(1) 如图1中，连接CM ．∵∠ACD=90°，AM=MD ，∴MC=MA=MD ，∵BA=BC ，∴BM 垂直平分AC ，∵∠ABC=90°，BA=BC ，∴∠MBE=12∠ABC=45°，∠ACB=∠DCE=45°， ∵AB ∥DE ，∴∠ABE+∠DEC=180°，∴∠DEC=90°，∴∠DCE=∠CDE=45°，∴EC=ED ，∵MC=MD ，∴EM 垂直平分线段CD ，EM 平分∠DEC ，∴∠MEC=45°，∴△BME 是等腰直角三角形，∴BM=ME ，BM ⊥EM ．故答案为BM=ME ，BM ⊥EM ． (2)ME ＝3MB ．证明如下：连接CM ，如解图所示．∵DC ⊥AC ，M 是边AD 的中点，∴MC ＝MA ＝MD ．∵BA ＝BC ，∴BM 垂直平分AC ．∵∠ABC ＝120°，BA ＝BC ，∴∠MBE ＝12∠ABC ＝60°，∠BAC ＝∠BCA ＝30°，∠DCE ＝60°. ∵AB ∥DE ，∴∠ABE ＋∠DEC ＝180°，∴∠DEC ＝60°，∴∠DCE ＝∠DEC ＝60°，∴△CDE 是等边三角形，∴EC ＝ED ．∵MC ＝MD ，∴EM 垂直平分CD ，EM 平分∠DEC ， ∴∠MEC ＝12∠DEC ＝30°， ∴∠MBE ＋∠MEB ＝90°，即∠BME ＝90°.在Rt △BME 中，∵∠MEB ＝30°，∴ME ＝3MB ．(3) 如图3中，结论：EM=BM•tan 2α．理由：同法可证：BM ⊥EM ，BM 平分∠ABC ，所以EM=BM•tan2α． 【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．6．如图，抛物线y=mx 2+2mx+n 经过A （﹣3，0），C （0，﹣32）两点，与x 轴交于另一点B ．（1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；（2）过点C 作CE ∥x 轴交抛物线于点E ，写出点E 的坐标，并求AC 、BE 的交点F 的坐标 （3）若抛物线的顶点为D ，连结DC 、DE ，四边形CDEF 是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由．【答案】（1）y=12x2+x﹣32；（2）F点坐标为（﹣1，﹣1）；（3）四边形CDEF是菱形．证明见解析【解析】【分析】将A、C点的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得该抛物线的解析式；根据（1）题所得的抛物线的解析式，可确定抛物线的对称轴方程以及B、C点的坐标，由CE∥x轴，可知C、E关于对称轴对称。

2020-2021初中数学四边形易错题汇编含答案解析

2020-2021初中数学四边形易错题汇编含答案解析

2020-2021初中数学四边形易错题汇编含答案解析一、选择题1．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）．运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC的中点时，PQ的长为（）A．2 B．4 C．3D．3【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为33x＝2，y＝3P、Q运动的速度，即可求解．【详解】解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC3a，设P、Q同时到达的时间为T，则点P的速度为3aT，点Q的速度为3aT，故点P、Q的速度比为33故设点P、Q的速度分别为：3v3，由图2知，当x＝2时，y＝3P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝3＝3，y＝12⨯AB×BQ＝12⨯6v3v＝3v＝1，故点P、Q的速度分别为：33AB＝6v＝6＝a，则AC＝12，BC＝3如图当点P在AC的中点时，PC＝6，此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ3＝3CQ＝BC﹣BQ＝33＝3，过点P作PH⊥BC于点H，PC ＝6，则PH ＝PC sin C ＝6×12＝3，同理CH ＝33，则HQ ＝CH ﹣CQ ＝33﹣23＝3，PQ ＝22PH HQ +＝39+＝23，故选：C ．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．2．如图，在四边形ABCD 中，90,150,BAD BCD ADC ∠=∠=︒∠=o 连接对角线BD ，过点D 作//DE BC 交AB 于点,E 若23,AB AD CD =+=，则CD =（ ）A ．2B ．1C ．13+D 3【答案】B【解析】【分析】 先根据四边形的内角和求得∠ABC 30︒=，再根据平行线的性质得到∠AED 30︒=，∠EDB=∠DBC ，然后根据三角形全等得到∠ABD=∠DBC ，进而得到EB=ED ，最后在Rt ADE V 中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：在四边形ABCD 中∵90,150,BAD BCD ADC ∠=∠=︒∠=o∴∠ABC 30︒=∵//DE BC∴∠AED 30︒=，∠EDB=∠DBC在Rt ABD V 和Rt BCD △中∵AD CD BD BD =⎧⎨=⎩∴Rt ABD Rt BCD ≅V V∴∠ABD=∠DBC∴∠EDB=∠ABD∴EB=ED ∵23AB =+ 在Rt ADE △中，设AD=x,那么DE=2x,AE=232x +-()2222322x x x ++-=解得：121;73x x ==+（舍去）故选：B ．【点睛】此题主要考查四边形的内角和、全等三角形的判断、平行线的性质和勾股定理的应用，熟练进行逻辑推理是解题关键．3．如图，四边形ABCD 是菱形，30ACD ∠=︒，2BD =，则AC 的长度为（ ）A ．23B ．22C ．4D ．2【答案】A【解析】【分析】 由菱形的性质，得到AC ⊥BD ，由直角三角形的性质，得到BO=1，BC=2，根据勾股定理求出CO ，即可求出AC 的长度.【详解】解，如图，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，∵2BD =，∴BO=1，在Rt △OBC 中，30BCO ACD ∠=∠=︒，∴BC=2，∴CO ==；∴AC =故选：A.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用勾股定理求出OC 的长度.4．设四边形的内角和等于α，五边形的外角和等于β，则α与β的关系是( ) A ．αβ>B ．αβ=C ．αβ<D ．180βα=+o【答案】B【解析】【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．【详解】解：∵四边形的内角和等于a ，∴a=（4-2）•180°=360°．∵五边形的外角和等于β，∴β =360°， ∴a=β． 故选B ．【点睛】本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键．5．在平面直角坐标系中，A ，B ，C 三点坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A ，B ，C 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】A 点在原点上，B 点在横轴上，C 点在第一象限，根据平行四边形的性质：两组对边分别平行，可知第四个顶点可能在第一、二、四象限，不可能在第三象限，故选C6．一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为( )A ．540°B ．720°C ．900°D ．1080°【答案】A【解析】【详解】解：∵多边形的每一个外角都是72°，∴多边形的边数为：360572=， ∴该多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．故选A ．【点睛】外角和是360°，除以一个外角度数即为多边形的边数．根据多边形的内角和公式可求得该多边形的内角和．7．如图，在矩形ABCD 中，AB m =，6BC =，点E 在边CD 上，且23CE m =．连接BE ，将BCE V 沿BE 折叠，点C 的对应点C '恰好落在边AD 上，则m =（ ）A ．33B ．3C 3D ．4【答案】A【解析】【分析】设AC′=x ，在直角三角形ABC′和直角三角形DEC′中分别利用勾股定理列出关于x 和m 的关系式，再进行求解，即可得出m 的值.【详解】解：设AC′=x ，∵AB=m ，BC=6，23CE m =， 根据折叠的性质可得：BC′=6，EC′=23CE m =， ∴C ′D=6-x ，DE=13m ，在△ABC ′中，AB 2+AC′2=BC′2，即2226x m +=，在△DEC ′中，C′D 2+DE 2=C′E 2，即()22212633x m m ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：()2236x m -=，代入2226x m +=中，得：()222366x x -=-，解得：x=3或x=6，代入2226x m +=，可得：当x=3时，m=33或33-（舍），当x=6时，m=0（舍），故m 的值为33，故选A.【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解一元二次方程，有一定难度，解题的关键是根据折叠的性质运用勾股定理求解.8．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ＝8，BD ＝6，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE ＋PF 的最小值，则这个最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】【分析】 先根据菱形的性质求出其边长，再作E 关于AC 的对称点E′，连接E′F ，则E′F 即为PE+PF 的最小值，再根据菱形的性质求出E′F 的长度即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC=6，BD=8，∴2234+，作E 关于AC 的对称点E′，连接E′F ，则E′F 即为PE+PF 的最小值，∵AC 是∠DAB 的平分线，E 是AB 的中点，∴E′在AD上，且E′是AD的中点，∵AD=AB，∴AE=AE′，∵F是BC的中点，∴E′F=AB=5．故选C．9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG ≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO＝12BD，AO＝CO，AB∥CD，即可得BO＝DO＝AD＝BC，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②④，由平行四边形的性质可判断③，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO＝12BD，AO＝CO，AB∥CD∵BD＝2AD∴BO＝DO＝AD＝BC，且点E是OC中点∴BE⊥AC，∴①正确∵E、F、分别是OC、OD中点∴EF∥DC，CD＝2EF∵G是AB中点，BE⊥AC∴AB＝2BG＝2GE，且CD＝AB，CD∥AB ∴BG＝EF＝GE，EF∥CD∥AB∴四边形BGFE是平行四边形，∴②④正确，∵四边形BGFE是平行四边形，∴BG＝EF，GF＝BE，且GE＝GE∴△BGE≌△FEG（SSS）∴③正确故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线及等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．10．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，两条对角线相交于点O，若OB＝6，则菱形面积是（）A．60 B．48 C．24 D．96【答案】D【解析】【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，由勾股定理可求AO的长，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，∴AO22100368AB OB-=-=，∴AC＝16，BD＝12，∴菱形面积＝12162⨯＝96，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．11．下列命题中是真命题的是（）A．多边形的内角和为180°B．矩形的对角线平分每一组对角C．全等三角形的对应边相等D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和公式可对A进行判定；根据矩形的性质可对B进行判定；根据全等三角形的性质可对C进行判定；根据平行线的性质可对D进行判定．【详解】A.多边形的内角和为(n-2)·180°（n≥3），故该选项是假命题，B.矩形的对角线不一定平分每一组对角，故该选项是假命题，C.全等三角形的对应边相等，故该选项是真命题，D.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项是假命题，故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．熟练掌握矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及多边形的内角和公式是解题关键．12．如图11-3-1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（）A．∠ADE=20°B．∠ADE=30°C．∠ADE=12∠ADC D．∠ADE=13∠ADC【答案】D【解析】【分析】【详解】设∠ADE=x，∠ADC=y，由题意可得，∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②，由①×3-②可得3x-y=0，所以13x y，即∠ADE=13∠ADC．故答案选D．考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理．13．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 72【答案】B【解析】【分析】 根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，∵DF=CF ，BE=CE ， ∴12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点, ∴12EF BD =, ∴14EFC BCDD S S =V V , ∴18EFCABCD S S =V 四边形, ∴1176824AGH EFC ABCD S S S +=+=V V 四边形=7∶24, 故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．14．已知ABCD Y (AB BC >)，用尺规在ABCD 内作菱形，下列作法错误的是( )A ．如图1所示，作对角线AC 的垂直平分线EF ，则四边形AECF 为所求B ．如图2所示，在AB DC ，上截取AE AD DF DA ==，，则四边形AEFD 为所求 C ．如图3所示，作ADC ABC ∠∠、的平分线DE BF ，，则四边形DEBF 为所求 D ．如图4所示，作BDE BDC DBF DBA ∠=∠∠=∠，，则四边形DEBF 为所求【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质及判定、菱形的判定逐个判断即可．【详解】解：A 、根据线段的垂直平分线的性质可知AB ＝AD ，一组邻边相等的平行四边形是菱形；符合题意；B 、根据四条边相等的四边形是菱形，符合题意；C 、根据两组对边分别平行四边形是平行四边形，不符合题意；D 、根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了复杂作图，解决本题的关键是利用平行四边形的性质及判定、菱形的判定．15．如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，如果用直尺画一条直线将其剩余部分分割成面积相等的两部分，这样的不同的直线一共可以画出（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C【解析】【分析】 利用平行四边形的性质分割平行四边形即可．【详解】解：如图所示，这样的不同的直线一共可以画出三条，故答案为：3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性．16．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD 于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】D【解析】【分析】先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可得出四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=12BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长．【详解】如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，同理可得AB=AF，∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF是菱形，∴AE ⊥BF ，OA=OE ，OB=OF=12BF=6， ∴OA=2222=106AB OB --=8，∴AE=2OA=16.故选D ．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF 是菱形是解决问题的关键．17．如图，△ABC 的角平分线CD 、BE 相交于F ，∠A ＝90°，EG ∥BC ，且CG ⊥EG 于G ，下列结论：①∠CEG ＝2∠DCB ；②∠ADC ＝∠GCD ；③CA 平分∠BCG ；④∠DFB ＝12∠CGE ．其中正确的结论是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】①∵EG ∥BC ，∴∠CEG=∠ACB ，又∵CD 是△ABC 的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB ，故正确；②∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD=∠BCD ，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG ∥BC ，且CG ⊥EG ，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD ，故正确；③条件不足，无法证明CA 平分∠BCG ，故错误；④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB ，∠DCB+∠ABC=∠ADC ，∴∠AEB+∠ADC=90°+12（∠ABC+∠ACB ）=135°， ∴∠DFE=360°-135°-90°=135°， ∴∠DFB=45°=12∠CGE ，，正确． 故选B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．18．如图，在菱形ABCD 中，60BCD ∠=︒，BC 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接BF 、DF ，则DFC ∠的度数是（ ）A ．130︒B ．120︒C ．110︒D ．100︒【答案】A【解析】【分析】 首先求出∠CFB=130°，再根据对称性可知∠CFD=∠CFB 即可解决问题；【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACD ＝∠ACB ＝12∠BCD=25°， ∵EF 垂直平分线段BC ，∴FB=FC ，∴∠FBC=∠FCB=25°，∴∠CFB=180°-25°-25°=130°，根据对称性可知：∠CFD=∠CFB=130°，故选：A ．【点睛】此题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19．如图点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ，连接PB 、PD ，若1AE =，8PF =，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．9【答案】C【解析】【分析】 由矩形的性质可证明S △PEB =S △PFD ，即可求解．【详解】作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ．则有四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形，S △ADC =S △ABC ，S △AMP =S △AEP ，S △PBE =S △PBN ，S △PFD =S △PDM ，S △PFC =S △PCN ，∴S △DFP =S △PBE =12×1×8=4， ∴S 阴=4+4=8，故选：C ．【点睛】 此题考查矩形的性质、三角形的面积，解题的关键是证明S △PEB =S △PFD ．20．如图，平行四边形ABCD 的周长是26,cm 对角线AC 与BD 交于点,,O AC AB E 是BC 中点，AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则AE 的长度为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．8cm【答案】B【解析】【分析】根据题意，由平行四边形的周长得到13AB AD +=，由AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则3AD AB -=，求出AD 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵平行四边形ABCD 的周长是26cm ， ∴126132AB AD +=⨯=， ∵BD 是平行四边形的对角线，则BO=DO ，∵AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，∴()()3AO OD AD AO OB AB AD AB ++-++=-=，∴5AB =，8AD =，∴8BC AD ==，∵AC AB ⊥，点E 是BC 中点， ∴118422AE BC ==⨯=； 故选：B ．【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题．。

人教中考数学复习平行四边形专项易错题含答案

人教中考数学复习平行四边形专项易错题含答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F ．（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）133． 【解析】 分析：（1）根据平行四边形ABCD 的性质，判定△BOE ≌△DOF （ASA ），得出四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt △ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE ，由勾股定理求出BD ，得出OB ，再由勾股定理求出EO ，即可得出EF 的长.详解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB ∥DC ，OB=OD ，∴∠OBE=∠ODF ，在△BOE 和△DOF 中，OBE ODF OB ODBOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BOE ≌△DOF （ASA ），∴EO=FO ，∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ，设BE=x ，则 DE=x ，AE=6-x ，在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2+AE 2，∴x 2=42+（6-x ）2，解得：x=133， ∵22AD AB +13 ∴OB=1213 ∵BD ⊥EF ，∴EO=22BE OB=2133，∴EF=2EO=4133．点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键2．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．（1）证明：BE=CF．（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．【答案】(1)见解析；（2）33）见解析【解析】试题分析：（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；（3）当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则△CEF的面积就会最大.试题解析：（1）证明：连接AC，∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=∠ADC=60°∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∴△ABC、△ACD为等边三角形∴∠4=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF．（ASA）∴BE=CF．（2）解：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF．故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值．作AH⊥BC于H点，则BH=2，S四边形AECF=S△ABC===；（3）解：由“垂线段最短”可知，当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．由（2）得，S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=﹣=．点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证△ABE≌△ACF是解题的关键．3．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．（1）连结CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AE＝BD，求∠EDF的度数．【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2）∠EDF＝120°．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可．【详解】解：（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，即BC∥DG，由折叠可知，BC＝DG，∴四边形BCGD是平行四边形，∵AD⊥BD，∴∠CBD＝90°，∴四边形BCGD是矩形；（2）由折叠可知：EF垂直平分BD，∴BD⊥EF，DP＝BP，∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴AE PD1==BE BP∴AE＝BE，∴DE是Rt△ADB斜边上的中线，∴DE＝AE＝BE，∵AE＝BD，∴DE＝BD＝BE，∴△DBE是等边三角形，∴∠EDB＝∠DBE＝60°，∵AB∥DC，∴∠DBC＝∠DBE＝60°，∴∠EDF＝120°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度4．如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．(1)试猜想AE与GC有怎样的关系(直接写出结论即可)；(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．(3)在(2)中，若E是BC的中点，且BC＝2，则C，F两点间的距离为．【答案】(1) AE＝CG，AE⊥GC；(2)成立，证明见解析；2．【解析】【分析】（1）观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，易证得△ADE≌△CDG，则∠1＝∠2，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AE⊥GC．（2）题（1）的结论仍然成立，参照（1）题的解题方法，可证△ADE≌△CDG，得∠5＝∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6＝∠7；由图知∠AEB＝∠CEH＝90°﹣∠6，即∠7+∠CEH＝90°，由此得证．（3）如图3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．想办法求出CH，HF，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】(1)AE＝CG，AE⊥GC；证明：延长GC交AE于点H，在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD＝DC，∠ADE＝∠CDG＝90°，DE＝DG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE，CG，∠1＝∠2∵∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠AHG＝180°﹣(∠1+∠3)＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥GC．(2)答：成立；证明：延长AE和GC相交于点H，在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠DCB＝∠B＝∠BAD＝∠EDG＝90°，∴∠1＝∠2＝90°﹣∠3；∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，∠5＝∠4；又∵∠5+∠6＝90°，∠4+∠7＝180°﹣∠DCE＝180°﹣90°＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠6+∠AEB＝90°，∠AEB＝∠CEH，∴∠CEH+∠7＝90°，∴∠EHC＝90°，∴AE⊥GC．(3)如图3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．∵BE ＝CE ＝1，AB ＝CD ＝2，∴AE ＝DE ＝CG ═DG ＝FG 5∵DE ＝DG ，∠DCE ＝∠GND ，∠EDC ＝∠DGN ，∴△DCE ≌△GND(AAS)，∴GCD ＝2，∵S △DCG ＝12•CD•NG ＝12•DG•CM ， ∴2×25， ∴CM ＝GH 45， ∴MG ＝CH 22CG CM -355， ∴FH ＝FG ﹣FG 5， ∴CF 22FH CH +22535()()55+2． 2．【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．5．（1）（问题发现）如图1，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，点D 为BC 的中点，以CD 为一边作正方形CDEF ，点E 恰好与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为（2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形CDEF 绕点C 旋转，连接BE ，CE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形CDEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时候，直接写出线段AF 的长．【答案】（1）2AF ；（2）无变化；（3）AF 313．【解析】试题分析：（1）先利用等腰直角三角形的性质得出2 ，再得出BE=AB=2，即可得出结论；（2）先利用三角函数得出22CA CB =，同理得出22CF CE =，夹角相等即可得出△ACF ∽△BCE ，进而得出结论；（3）分两种情况计算，当点E 在线段BF 上时，如图2，先利用勾股定理求出2，6，即可得出62，借助（2）得出的结论，当点E 在线段BF 的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论．试题解析：（1）在Rt △ABC 中，AB=AC=2，根据勾股定理得，22，点D 为BC 的中点，∴AD=122， ∵四边形CDEF 是正方形，∴2，∵BE=AB=2，∴2AF ，故答案为2AF ；（2）无变化；如图2，在Rt △ABC 中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin ∠ABC=2CA CB = 在正方形CDEF 中，∠FEC=12∠FED=45°， 在Rt △CEF 中，sin ∠FEC=2CF CE = ∴CF CA CE CB=， ∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCE ﹣∠ACE=∠ACB ﹣∠ACE ，∴∠FCA=∠ECB ，∴△ACF ∽△BCE ，∴BE CB AF CA=2∴2AF ， ∴线段BE 与AF 的数量关系无变化；（3）当点E 在线段AF 上时，如图2，由（1）知，CF=EF=CD=2，在Rt△BCF中，CF=2，BC=22，根据勾股定理得，BF=6，∴BE=BF﹣EF=6﹣2，由（2）知，BE=2AF，∴AF=3﹣1，当点E在线段BF的延长线上时，如图3，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin∠ABC=2 CACB=，在正方形CDEF中，∠FEC=12∠FED=45°，在Rt△CEF中，sin∠FEC=2CFCE=，∴CF CACE CB=，∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，∴∠FCA=∠ECB，∴△ACF∽△BCE，∴BE CBAF CA= =2，∴BE=2AF，由（1）知，CF=EF=CD=2，在Rt△BCF中，CF=2，BC=22，根据勾股定理得，BF=6，∴BE=BF+EF=6+2，由（2）知，BE=2AF，∴AF=3+1．即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为3﹣1或3+1．6．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC．（1）求证：△AEF≌△DCE．（2）若DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6cm.【解析】分析：（1）根据EF⊥CE，求证∠AEF=∠ECD．再利用AAS即可求证△AEF≌△DCE．（2）利用全等三角形的性质，对应边相等，再根据矩形ABCD的周长为32cm，即可求得AE的长.详解：（1）证明：∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，∴∠AEF=∠ECD．在Rt△AEF和Rt△DEC中，∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=EC．∴△AEF≌△DCE．（2）解：∵△AEF≌△DCE．AE=CD．AD=AE+4．∵矩形ABCD的周长为32cm，∴2（AE+AE+4）=32．解得，AE=6（cm）．答：AE的长为6cm．点睛：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形的性质等知识点的理解和掌握，难易程度适中，是一道很典型的题目．7．猜想与证明：如图1，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF 的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．【答案】猜想：DM=ME，证明见解析；（2）成立，证明见解析.【解析】试题分析：延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，则可以得到答案；（1）、延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，则可以得到答案；（2）、连接AE，根据正方形的性质得出∠FCE=45°，∠FCA=45°，根据RT△ADF中AM=MF得出DM=AM=MF，根据RT△AEF中AM=MF得出AM=MF=ME，从而说明DM=ME.试题解析：如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=DE，∴DM=HM=ME，∴DM=ME．（1）、如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=EM∴DM=HM=ME，∴DM=ME，（2）、如图2，连接AE，∵四边形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，∴AE和EC在同一条直线上，在RT△ADF中，AM=MF，∴DM=AM=MF，在RT△AEF中，AM=MF，∴AM=MF=ME，∴DM=ME．考点：（1）、三角形全等的性质；（2）、矩形的性质.8．问题探究（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别是边BC、CD上两点，且BM ＝CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值；问题解决（3）如图③，AC为边长为23的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动．连接AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．【答案】（1）AM⊥BN，证明见解析；（2）△APB周长的最大值4+42；（3）△PAB的周长最大值=23+4．【解析】试题分析：根据全等三角形的判定SAS证明△ABM≌△BCN，即可证得AM⊥BN；（2）如图②，以AB为斜边向外作等腰直角△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP，证明PA+PB=2EF，求出EF的最大值即可；（3）如图③，延长DA到K，使得AK=AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH=PB，证明PA+PB=PK，求出PK的最大值即可.试题解析：（1）结论：AM⊥BN．理由：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°，∵BM=CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∵∠CBN+∠ABN=90°，∴∠ABN+∠BAM=90°，∴∠APB=90°，∴AM⊥BN．（2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP．∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°，∴四边形EFPG是矩形，∴∠FEG=∠AEB=90°，∴∠AEF=∠BEG，∵EA=EB，∠EFA=∠G=90°，∴△AEF≌△BEG，∴EF=EG，AF=BG，∴四边形EFPG是正方形，∴PA+PB=PF+AF+PG﹣BG=2PF=2EF，∵EF≤AE，∴EF的最大值=AE=2，∴△APB周长的最大值=4+4．（3）如图③中，延长DA到K，使得AK=AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH=PB．∵AB=BC，∠ABM=∠BCN，BM=CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠A PN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°，∴∠APB=120°，∵∠AKB=60°，∴∠AKB+∠APB=180°，∴A、K、B、P四点共圆，∴∠BPH=∠KAB=60°，∵PH=PB，∴△PBH是等边三角形，∴∠KBA=∠HBP，BH=BP，∴∠KBH=∠ABP，∵BK=BA，∴△KBH≌△ABP，∴HK=AP，∴PA+PB=KH+PH=PK，∴PK的值最大时，△APB的周长最大，∴当PK是△ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4，∴△PAB的周长最大值=2+4．9．如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，AF⊥AE交CB的延长线于F．求证：AE=AF．【答案】见解析【解析】【分析】根据同角的余角相等证得∠BAF=∠DAE，再利用正方形的性质可得AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，根据ASA判定△ABF≌△ADE，根据全等三角形的性质即可证得AF=AE．【详解】∵AF⊥AE，∴∠BAF+∠BAE=90°，又∵∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAF=∠DAE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，在△ABF和△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（ASA），∴AF=AE．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，证明△ABF≌△ADE是解决本题的关键．10．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）．将正方形ABCO 绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．（1）求证：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式；（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）∠PAG =45°，PG=OG+BP．理由见解析（3）y=x﹣3．（4）、．【解析】试题分析：(1)由AO=AD，AG=AG，根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，判断出△AOG≌△ADG即可．(2)首先根据三角形全等的判定方法，判断出△ADP≌△ABP，再结合△AOG≌△ADG，可得∠DAP=∠BAP，∠1=∠DAG；然后根据∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，求出∠PAG的度数；最后判断出线段OG、PG、BP之间的数量关系即可．(3)首先根据△AOG≌△ADG，判断出∠AGO=∠AGD；然后根据∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，判断出当∠1=∠2时，∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，求出∠1=∠2=30°；最后确定出P、G两点坐标，即可判断出直线PE的解析式．(4)根据题意，分两种情况：①当点M在x轴的负半轴上时；②当点M在EP的延长线上时；根据以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形，求出M点坐标是多少即可．试题解析：(1)在Rt△AOG和Rt△ADG中，（HL）∴△AOG≌△ADG．(2)在Rt△ADP和Rt△ABP中，∴△ADP≌△ABP，则∠DAP=∠BAP；∵△AOG≌△ADG，∴∠1=∠DAG；又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，∴2∠DAG+2∠DAP=90°，∴∠DAG+∠DAP=45°，∵∠PAG=∠DAG+∠DAP，∴∠PAG=45°；∵△AOG≌△ADG，∴DG=OG，∵△ADP≌△ABP，∴DP=BP，∴PG=DG+DP=OG+BP．(3)解：∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD，又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，∴∠AGO=∠PGC，又∵∠AGO=∠AGD，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=180°÷3=60°，∴∠1=∠2=90°﹣60°=30°；在Rt△AOG中，∵AO=3，∴OG=AOtan30°=3×=，∴G点坐标为（，0），CG=3﹣，在Rt△PCG中，PC===3（﹣1），∴P点坐标为：（3，3﹣3 ），设直线PE的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴直线PE的解析式为y=x﹣3．(4)①如图1，当点M在x轴的负半轴上时，，∵AG=MG，点A坐标为（0，3），∴点M坐标为（0，﹣3）．②如图2，当点M在EP的延长线上时，，由（3），可得∠AGO=∠PGC=60°，∴EP与AB的交点M，满足AG=MG，∵A点的横坐标是0，G点横坐标为，∴M的横坐标是2，纵坐标是3，∴点M坐标为（2，3）．综上，可得点M坐标为（0，﹣3）或（2，3）．考点：几何变换综合题．。

2020-2021备战中考数学 平行四边形 培优 易错 难题练习(含答案)含答案

2020-2021备战中考数学 平行四边形 培优 易错 难题练习(含答案)含答案

2020-2021备战中考数学平行四边形培优易错难题练习(含答案)含答案一、平行四边形1．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．（1）①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由．（3）在第（2）题图4中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求BE2+DG2的值．【答案】（1）①BG⊥DE，BG=DE；②BG⊥DE，证明见解析；（2）BG⊥DE，证明见解析；（3）16.25．【解析】分析：（1）①根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；②结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论；（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；（3）连接BE、DG．根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和．详解：（1）①BG⊥DE，BG=DE；②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE，∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，∴BC CG b==，DC CE a又∵∠BCG=∠DCE，∴△BCG∽△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（3）连接BE、DG．根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=90°∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25．点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理．2．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H．①求证△ADB≌△AOB；②求点H的坐标．（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（175，3）；（3）30334-≤S≤30334+．【解析】【分析】（1）如图①，在Rt△ACD中求出CD即可解决问题；（2）①根据HL证明即可；②，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；【详解】（1）如图①中，∵A（5，0），B（0，3），∴OA=5，OB=3，∵四边形AOBC是矩形，∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，∴AD=AO=5，在Rt△ADC中，CD22AD AC-，∴BD=BC-CD=1，∴D（1，3）．（2）①如图②中，由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，∵点D在线段BE上，∴∠ADB=90°，由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，又在矩形AOBC中，OA∥BC，∴∠CBA=∠OAB，∴∠BAD=∠CBA，∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，∴m2=32+（5-m）2，∴m=175，∴BH=175，∴H（175，3）．（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值=12•DE•DK=12×3×（5-34）=30334，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大面积=12×D′E′×KD′=12×3×（5+342）=303344+．综上所述，30334-≤S≤30334+．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．3．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．【答案】(1)见解析；（2）18°.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵AO=CO，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．4．已知Rt△ABD中，边AB=OB=1，∠ABO=90°问题探究：（1）以AB为边，在Rt△ABO的右边作正方形ABC，如图（1），则点O与点D的距离为．（2）以AB为边，在Rt△ABO的右边作等边三角形ABC，如图（2），求点O与点C的距离．问题解决：（3）若线段DE=1，线段DE的两个端点D，E分别在射线OA、OB上滑动，以DE为边向外作等边三角形DEF，如图（3），则点O与点F的距离有没有最大值，如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．【答案】(1)、5；(2)、622+；(3)、321++.【解析】【分析】试题分析：(1)、如图1中，连接OD，在Rt△ODC中，根据OD=22OC CD+计算即可．(2)、如图2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，连接OC．在Rt△OCE中，根据OC=22OE CE+计算即可．(3)、如图3中，当OF⊥DE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DM．分别求出MH、OM、FH即可解决问题．【详解】试题解析：(1)、如图1中，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=1，∠C=90°在Rt△ODC中，∵∠C=90°，OC=2，CD=1，∴OD=2222215OC CD+=+=(2)、如图2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，连接OC．∵∠FBE=∠E=∠CFB=90°，∴四边形BECF是矩形，∴BF=CF=12，CF=BE=3，在Rt△OCE中，OC=222231122OE CE⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=622+．(3)、如图3中，当OF⊥DE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DM．∵FD=FE=DE=1，OF⊥DE，∴DH=HE，OD=OE，∠DOH=12∠DOE=22.5°，∵OM=DM，∴∠MOD=∠MDO=22.5°，∴∠DMH=∠MDH=45°，∴DH=HM=12，∴DM=OM=22，∵223DF DH-=，∴2132+321++∴OF321++考点：四边形综合题．5．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF AE=，连接DE，DF，EF. FH平分EFB∠交BD于点H.（1）求证：DE DF⊥；（2）求证：DH DF=：（3）过点H作HM EF⊥于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析. 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠， 得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠, 所以DH DF =.（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得222BD AB AD AB =+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，，所以22sin 45HNBH HN HM ===︒.由22cos 45DFEF DF DH ===︒，得22EF AB HM =-.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒. ∴90EAD FCD ∠=∠=︒. ∵CF AE =。

中考数学压轴题之平行四边形(中考题型整理,突破提升)含答案解析

中考数学压轴题之平行四边形(中考题型整理,突破提升)含答案解析
在正方形 ABCD 中，AB＝AD，∠ BAD＝∠ D＝90o， ∴ ∠ 2+∠ 3＝90° 又∵ BF⊥AE， ∴ ∠ AGB＝90° ∴ ∠ 1+∠ 2＝90°， ∴ ∠ 1＝∠ 3 在△ BAF 与△ ADE 中， ∠ 1=∠ 3 BA=AD ∠ BAF=∠ D， ∴ △ BAF≌ △ ADE（ASA） ∴ AF＝DE． （2）证明：过点 D 作 DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点 M，N．
考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性 质．
3．如图，△ ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，过点 A 作 AE∥ BC，过点 D 作 DE∥ AB，DE 与 AC、AE 分别交于点 O、点 E，连接 EC． （1）求证：AD=EC；
（2）当∠ BAC=Rt∠ 时，求证：四边形 ADCE 是菱形．
【答案】（1）见解析； （2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）先证四边形 ABDE 是平行四边形，再证四边形 ADCE 是平行四边形即可； （2）由∠ BAC=90°，AD 是边 BC 上的中线，得 AD=BD=CD，即可证明. 【详解】 (1)证明：∵ AE∥ BC，DE∥ AB ， ∴ 四边形 ABDE 是平行四边形， ∴ AE=BD， ∵ AD 是边 BC 上的中线， ∴ BD=DC， ∴ AE=DC， 又∵ AE∥ BC， ∴ 四边形 ADCE 是平行四边形. (2) 证明：∵ ∠ BAC=90°，AD 是边 BC 上的中线. ∴ AD=CD ∵ 四边形 ADCE 是平行四边形， ∴ 四边形 ADCE 是菱形. 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边中线定理.根据图形与已知条 件灵活应用平行四边形的判定方法是证明的关键.

中考数学平行四边形培优易错难题练习(含答案)及详细答案

中考数学平行四边形培优易错难题练习(含答案)及详细答案

中考数学平行四边形培优易错难题练习(含答案)及详细答案一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=?，对角线AC 平分BAD ∠.（1）如图1，若120DAB ∠=?，且90B ∠=?，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.（2）如图2，若将（1）中的条件“90B ∠=?”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）如图3，若90DAB ∠=?，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.（1）AC AD AB =+.证明见解析；（2）成立；（3）2AD AB AC +=.理由见解析.试题分析：（1）结论：AC=AD+AB ，只要证明AD=12AC ，AB=12AC 即可解决问题；（2）（1）中的结论成立．以C 为顶点，AC 为一边作∠ACE=60°，∠ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，只要证明△DAC ≌△BEC 即可解决问题；（3）结论：AD +AB ＝2AC ．过点C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于点 E ，只要证明△ACE 是等腰直角三角形，△DAC ≌△BEC 即可解决问题；试题解析：解：（1）AC=AD+AB ．理由如下：如图1中，在四边形ABCD 中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，∴∠D=90°，∵∠DAB=120°，AC 平分∠DAB ，∴∠DAC=∠BAC=60°，∵∠B=90°，∴AB＝12AC，同理AD＝12AC．∴AC=AD+AB．（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，∵∠BAC=60°，∴△AEC为等边三角形，∴AC=AE=CE，∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，∴∠DCB=60°，∴∠DCA=∠BCE，∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠CBE，∵CA=CE，∴△DAC≌△BEC，∴AD=BE，∴AC=AD+AB．（3）结论：AD+AB＝2AC．理由如下：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，∴DCB=90°，∵∠ACE=90°，∴∠DCA=∠BCE，又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB=45°，∴∠E=45°．∴AC=CE．又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE，∴△CDA ≌△CBE ，∴AD=BE ，∴AD+AB=AE ．在Rt △ACE 中，∠CAB=45°，∴AE ＝245AC AC cos ?＝∴2AD AB AC +＝.2．已知，在矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，动点M 从点A 出发沿边AD 向点D 运动．（1）如图1，当b=2a ，点M 运动到边AD 的中点时，请证明∠BMC=90°；（2）如图2，当b ＞2a 时，点M 在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b ＜2a 时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（1）见解析；（2）存在，理由见解析;（3）不成立．理由如下见解析.试题分析：（1）由b=2a ，点M 是AD 的中点，可得AB=AM=MD=DC=a ，又由四边形ABCD 是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°；（2）由∠BMC=90°，易证得△ABM ∽△DMC ，设AM=x ，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x 2bx+a 2=0，由b ＞2a ，a ＞0，b ＞0，即可判定△＞0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；（3）由（2），当b ＜2a ，a ＞0，b ＞0，判定方程x 2bx+a 2=0的根的情况，即可求得答案．试题解析：（1）∵b=2a ，点M 是AD 的中点，∴AB=AM=MD=DC=a ，又∵在矩形ABCD 中，∠A=∠D=90°，∴∠AMB=∠DMC=45°，∴∠BMC=90°．（2）存在，理由：若∠BMC=90°，则∠AMB+∠DMC=90°，又∵∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠DMC ，又∵∠A=∠D=90°，∴△ABM∽△DMC，∴AM ABCD DM=，设AM=x，则x aa b x =-，整理得：x2bx+a2=0，∵b＞2a，a＞0，b＞0，∴△=b24a2＞0，∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，∴当b＞2a时，存在∠BMC=90°，（3）不成立．理由：若∠BMC=90°，由（2）可知x2bx+a2=0，∵b＜2a，a＞0，b＞0，∴△=b24a2＜0，∴方程没有实数根，∴当b＜2a时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立．考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质3．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，求证：△PDH的周长是定值；（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长．（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）2．试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）过F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，则FM=BC=AB ，证明△EFM ≌△BPA ，设AP=x ，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x 表示出BE 和CF ，结合二次函数的性质求出最值．试题解析：（1）解：如图1，∵PE=BE ，∴∠EBP=∠EPB ．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP ．即∠PBC=∠BPH ．又∵AD ∥BC ，∴∠APB=∠PBC ．∴∠APB=∠BPH ．（2）证明：如图2，过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ．由（1）知∠APB=∠BPH ，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP ，在△ABP 和△QBP 中，{90APB BPHA BQP BP BP∠=∠∠=∠=?=，∴△ABP ≌△QBP （AAS ），∴AP=QP ，AB=BQ ，又∵AB=BC ，∴BC=BQ ．又∠C=∠BQH=90°，BH=BH ，在△BCH 和△BQH 中，{90BC BQC BQH BH BH=∠=∠=?=，∴△BCH ≌△BQH （SAS ），∴CH=QH ．∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．∴△PDH 的周长是定值．（3）解：如图3，过 F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，则FM=BC=AB ．又∵EF 为折痕，∴EF ⊥BP ．∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，∴∠EFM=∠ABP ．又∵∠A=∠EMF=90°，在△EFM 和△BPA 中，{EFM ABPEMF A FM AB∠=∠∠=∠=，∴△EFM ≌△BPA （AAS ）．∴EM=AP ．设AP=x在Rt △APE 中，（4-BE ）2+x 2=BE 2．解得BE=2+28x ，∴CF=BE-EM=2+28x -x ，∴BE+CF=24x -x+4=14（x-2）2+3．当x=2时，BE+CF 取最小值，∴AP=2．考点：几何变换综合题．4．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC △的外部作等腰Rt CED △，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；②若25AB =，2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．（1）证明见解析；（2）①AF 2AE =②42或22.()1如图①中，结论：AF 2AE =，只要证明AEF 是等腰直角三角形即可；()2①如图②中，结论：AF 2AE =，连接EF ，DF 交BC 于K ，先证明EKF ≌EDA 再证明AEF 是等腰直角三角形即可；②分两种情形a 、如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.b 、如图④中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.分别求解即可.()1如图①中，结论：AF 2AE =．理由：四边形ABFD 是平行四边形，AB DF ∴=，AB AC =，AC DF ∴=，DE EC =，AE EF ∴=，DEC AEF 90∠∠==，AEF ∴是等腰直角三角形，AF 2AE ∴=．故答案为AF 2AE =．()2①如图②中，结论：AF 2AE =．理由：连接EF ，DF 交BC 于K ．四边形ABFD 是平行四边形，AB//DF ∴，DKE ABC 45∠∠∴==，EKF 180DKE 135∠∠∴=-=，EK ED =，ADE 180EDC ***-*****∠∠=-=-=，EKF ADE ∠∠∴=，DKCC ∠∠=，DK DC ∴=，DF AB AC ==，KF AD ∴=，在EKF 和EDA 中，EK ED EKF ADE KF AD =??∠=∠??=?，EKF ∴≌EDA ，EF EA ∴=，KEF AED ∠∠=，FEA BED 90∠∠∴==，AEF ∴是等腰直角三角形，AF 2AE ∴=．=时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，易知②如图③中，当AD AC===，22EH DH CH2=+=，=-=，AE AH EH42AH(25)(2)32=时，四边形ABFD是菱形，易知如图④中当AD AC=-=-=，AE AH EH*****综上所述，满足条件的AE的长为4222本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型．5．已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．（1）求证：△DOE≌△BOF．（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．（1）证明见解析；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFED为菱形，理由见解析.试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF （ASA）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．试题解析：（1）∵在?ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，∴△DOE≌△BOF（ASA）；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，理由：∵△DOE≌△BOF，∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵∠EOD=90°，∴EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．6．如图（1）在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为G 交AD于F（1）求证：AF＝DE；（2）连接DG，若DG平分∠EGF，如图（2），求证：点E 是CD中点；（3）在（2）的条件下，连接CG，如图（3），求证：CG＝CD．（1）见解析；（2）见解析；（3）CG＝CD，见解析．（1）证明△BAF≌△ADE（ASA）即可解决问题．（2）过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M，N．想办法证明AF＝DF，即可解决问题．（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DE＝CD，利用直角三角形斜边中线的性质，只要证明BC＝CP即可．（1）证明：如图1中，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90o，∴∠2+∠3＝90°又∵BF⊥AE，∴∠AGB＝90°∴∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠3在△BAF与△ADE中，∠1=∠3 BA=AD ∠BAF=∠D，∴△BAF≌△ADE（ASA）∴AF＝DE．（2）证明：过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M，N．由（1）得∠1＝∠3，∠BGA＝∠AND＝90°，AB＝AD∴△BAG≌△ADN（AAS）∴AG＝DN，又DG平分∠EGF，DM⊥GF，DN⊥GE，∴DM＝DN，∴DM＝AG，又∠AFG＝∠DFM，∠AGF＝∠DMF∴△AFG≌△DFM（AAS），∴AF＝DF＝DE＝12AD＝12CD，即点E是CD的中点．（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DE＝CD，∠ADE＝∠ECP＝90°，∠DEA＝∠CEP，∴△ADE≌△PCE（ASA）∴AE＝PE，又CE∥AB，∴BC＝PC，在Rt△BGP中，∵BC＝PC，∴CG＝12BP＝BC，∴CG＝CD．本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．7．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．（1）连结CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AE＝BD，求∠EDF的度数．（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2）∠EDF＝120°．（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可．解：（1）四边形BCGD 是矩形，理由如下，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，即BC ∥DG ，由折叠可知，BC ＝DG ，∴四边形BCGD 是平行四边形，∵AD ⊥BD ，∴∠CBD ＝90°，∴四边形BCGD 是矩形；（2）由折叠可知：EF 垂直平分BD ，∴BD ⊥E F ，DP ＝BP ，∵AD ⊥BD ，∴EF ∥AD ∥BC ，∴AE PD 1BE BP== ∴AE ＝BE ，∴DE 是Rt △ADB 斜边上的中线，∴DE ＝AE ＝BE ，∵AE ＝BD ，∴DE ＝BD ＝BE ，∴△DBE 是等边三角形，∴∠EDB ＝∠DBE ＝60°，∵AB ∥DC ，∴∠DBC ＝∠DBE ＝60°，∴∠EDF ＝120°．本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度8．如图①，四边形ABCD 是知形，1,2AB BC ==，点E 是线段BC 上一动点(不与,B C 重合)，点F 是线段BA 延长线上一动点，连接,,,DE EF DF EF 交AD 于点G .设,BE x AF y ==，已知y 与x 之间的函数关系如图②所示.（1）求图②中y 与x 的函数表达式;（2）求证:DE DF ⊥;（3）是否存在x 的值，使得DEG △是等腰三角形?如果存在，求出x 的值;如果不存在，说明理由（1）y ＝2x +4（0＜x ＜2）；（2）见解析；（3）存在，x ＝54或552-或32．（1）利用待定系数法可得y 与x 的函数表达式；（2）证明△CDE ∽△ADF ，得∠ADF ＝∠CDE ，可得结论；（3）分三种情况：①若DE ＝DG ，则∠DGE ＝∠DEG ，②若DE ＝EG ，如图①，作EH ∥CD ，交AD 于H ，③若DG ＝EG ，则∠GDE ＝∠GED ，分别列方程计算可得结论．（1）设y ＝kx +b ，由图象得：当x ＝1时，y ＝2，当x ＝0时，y ＝4，代入得：24k b b +=??=?，得24k b =-??=?，∴y ＝2x +4（0＜x ＜2）；（2）∵BE ＝x ，BC ＝2∴CE ＝2x ，∴211,4222CE x CD AF x AD -===-，∴CE CD AF AD=，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝∠DAF ＝90°，∴△CDE ∽△ADF ，∴∠ADF ＝∠CDE ，∴∠ADF +∠EDG ＝∠CDE +∠EDG ＝90°，∴DE ⊥DF ；（3）假设存在x 的值，使得△DEG 是等腰三角形，①若DE ＝DG ，则∠DGE ＝∠DEG ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠B ＝90°，∴∠DGE ＝∠GEB ，∴∠DEG ＝∠BEG ，在△DEF 和△BEF 中，F DE B DEF BEF EF EF ∠=∠??∠=∠??=?，∴△DEF ≌△BEF （AAS ），∴DE ＝BE ＝x ，CE ＝2x ，∴在Rt △CDE 中，由勾股定理得：1+（2x ）2＝x 2，x ＝54；②若DE ＝EG ，如图①，作EH ∥CD ，交AD 于H ，∵AD ∥BC ，EH ∥CD ，∴四边形CDHE 是平行四边形，∴∠C ＝90°，∴四边形CDHE 是矩形，∴EH ＝CD ＝1，DH ＝CE ＝2x ，EH ⊥DG ，∴HG ＝DH ＝2x ，∴AG ＝2x 2，∵EH ∥CD ，DC ∥AB ，∴EH ∥AF ，∴△EHG ∽△FAG ，∴EH HG AF AG =，∴*****x x x -=--，∴*****,22x x -+==（舍），③若DG ＝EG ，则∠GDE ＝∠GED ，∵AD ∥BC ，∴∠GDE ＝∠DEC ，∴∠GED ＝∠DEC ，∵∠C ＝∠EDF ＝90°，∴△CDE ∽△DFE ，∴CE DE CD DF=，∵△CDE ∽△ADF ，∴12DE CD DF AD ==，∴12CE CD =，∴2x ＝12，x ＝32，综上，x ＝54或5-5或32．本题是四边形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似和全等的性质和判定，矩形和平行四边形的性质和判定，勾股定理和逆定理等知识，运用相似三角形的性质是解决本题的关键．9．如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线BD 上一动点（P 与B 、D 不重合），∠APE=90°，且点E 在BC 边上，AE 交BD 于点F ．（1）求证：①△PAB ≌△PCB ；②PE=PC ；（2）在点P 的运动过程中，的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，请说明理由；（3）设DP=x ，当x 为何值时，AE ∥PC ，并判断此时四边形PAFC 的形状．（1）见解析；（2）；（3）x=1；四边形PAFC 是菱形．试题分析：（1）根据四边形ABCD是正方形，得出AB=BC，∠ABP=∠CBP°，再根据PB=PB，即可证出△PAB≌△PCB，②根据∠PAB+∠PEB=180°，∠PEC+∠PEB=180°，得出∠PEC=∠PCB，从而证出PE=PC；（2）根据PA=PC，PE=PC，得出PA=PE，再根据∠APE=90°，得出∠PAE=∠PEA=45°，即可求出；（3）先求出∠CPE=∠PEA=45°，从而得出∠PCE，再求出∠BPC即可得出∠BPC=∠PCE，从而证出BP=BC=1，x=1，再根据AE∥PC，得出∠AFP=∠BPC=67.5°，由△PAB≌△PCB 得出∠BPA=∠BPC=67.5°，PA=PC，从而证出AF=AP=PC，得出答案．试题解析：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=∠ABC=45°．∵PB=PB，∴△PAB≌△PCB （SAS）．②由△PAB≌△PCB可知，∠PAB=∠PCB．∵∠ABE=∠APE=90°，∴∠PAB+∠PEB=180°，又∵∠PEC+∠PEB=180°，∴∠PEC=∠PAB=∠PCB，∴PE=PC．（2）在点P的运动过程中，的值不改变．由△PAB≌△PCB可知，PA=PC．∵PE=PC，∴PA=PE，又∵∠APE=90°，∴△PAE是等腰直角三角形，∠PAE=∠PEA=45°，∴=．（3）∵AE∥PC，∴∠CPE=∠PEA=45°，∴在△PEC中，∠PCE=∠PEC=（180°45°）=67.5°．在△PBC中，∠BPC=（180°∠CBP∠PCE）=（180°45°67.5°）=67.5°．∴∠BPC=∠PCE=67.5°，∴BP=BC=1，∴x=BDBP=1．∵AE∥PC，∴∠AFP=∠BPC=67.5°，由△PAB≌△PCB可知，∠BPA=∠BPC=67.5°，PA=PC，∴∠AFP=∠BPA，∴AF=AP=PC，∴四边形PAFC是菱形．考点：四边形综合题．10．已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第二象限内左等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，如图1所示．（1）填空：AB= ，BC= ．（2）将△ABC绕点B逆时针旋转，①当AC与x轴平行时，则点A的坐标是②当旋转角为90°时，得到△BDE，如图2所示，求过B、D 两点直线的函数关系式．③在②的条件下，旋转过程中AC扫过的图形的面积是多少？（3）将△ABC向右平移到△A′B′C′的位置，点C′为直线AB 上的一点，请直接写出△ABC扫过的图形的面积．（1）：5；5；（2）①（0，2）；②直线BD的解析式为y=x+3；③S=π；（3）△ABC扫过的面积为．试题分析：（1）根据坐标轴上的点的坐标特征，结合一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，利用勾股定理即可解答；（2）①因为B（0，3），所以OB=3，所以AB=5，所以AO=AB-BO=5-3=2，所以A（0，-2）；②过点C作CF⊥OA与点F，证明△AOB≌△CFA，得到点C的坐标，求出直线AC解析式，根据AC∥BD，所以直线BD的解析式的k值与直线AC的解析式k值相同，设出解析式，即可解答．③利用旋转的性质进而得出A，B，C对应点位置进而得出答案，再利用以BC为半径90°圆心角的扇形面积减去以AB为半径90°圆心角的扇形面积求出答案；（3）利用平移的性质进而得出△ABC扫过的图形是平行四边形的面积．试题解析：（1）∵一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（-4，0），B（0，3），∴AO=4，BO=3，在Rt△AOB中，AB=，∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，∴BC=；（2）①如图1，∵B（0，3），∴OB=3，∵AB=5，∴AO=AB-BO=5-3=2，∴A（0，-2）．当在x轴上方时，点A的坐标为（0，8），②如图2，过点C作CF⊥OA与点F，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=90°，AB=AC，∴∠BAO+∠CAF=90°，∵∠OBA+∠BAO=90°，∴∠CAF=∠OBA，在△AOB和△CFA中，，∴△AOB≌△CFA（AAS）；∴OA=CF=4，OB=AF=3，∴OF=7，CF=4，∴C（-7，4）∵A（-4，0）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入得：，解得：，则直线AC解析式为y=x，∵将△ABC绕点B逆时针旋转，当旋转角为90°时，得到△BDE，∴∠ABD=90°，∵∠CAB=90°，∴∠ABD=∠CAB=90°，∴AC∥BD，∴设直线BD的解析式为y=x+b1，把B（0，3）代入解析式的：b1=3，∴直线BD的解析式为y=x+3；③因为旋转过程中AC扫过的图形是以BC为半径90°圆心角的扇形面积减去以AB为半径90°圆心角的扇形面积，所以可得：S=；（3）将△ABC向右平移到△A′B′C′的位置，△ABC扫过的图形是一个平行四边形和三角形ABC，如图3：。

人教版初中数学四边形易错题汇编附答案解析

人教版初中数学四边形易错题汇编附答案解析

人教版初中数学四边形易错题汇编附答案解析一、选择题1．如图，在矩形ABCD 中， 3,4,AB BC ==将其折叠使AB 落在对角线AC 上，得到折痕,AE 那么BE 的长度为（ ）A ．1B ．2C ．32D ．85【答案】C【解析】【分析】 由勾股定理求出AC 的长度，由折叠的性质，AF=AB=3，则CF=2，设BE=EF=x ，则CE=4x -，利用勾股定理，即可求出x 的值，得到BE 的长度．【详解】解：在矩形ABCD 中，3,4AB BC ==，∴∠B=90°， ∴22345AC =+=，由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF ，∴CF=5-3=2，在Rt △CEF 中，设BE=EF=x ，则CE=4x -，由勾股定理，得：2222(4)x x +=-， 解得：32x =； ∴32BE =． 故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质，利用勾股定理正确求出BE 的长度．2．如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=o ，则AEF ∠=（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．130°【答案】B【解析】【分析】根据翻折的性质可得∠2=∠3，再求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【详解】∵矩形ABCD 沿EF 对折后两部分重合，150∠=o ， ∴∠3=∠2=180-502︒︒=65°， ∵矩形对边AD ∥BC ， ∴∠AEF=180°-∠3=180°-65°=115°．故选：B ．【点睛】本题考查了矩形中翻折的性质，两直线平行的性质，平角的定义，掌握翻折的性质是解题的关键．3．如图，四边形ABCD 是菱形，30ACD ∠=︒，2BD =，则AC 的长度为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．2【答案】A【解析】【分析】 由菱形的性质，得到AC ⊥BD ，由直角三角形的性质，得到BO=1，BC=2，根据勾股定理求出CO ，即可求出AC 的长度.【详解】解，如图，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，∵2BD =，∴BO=1，在Rt △OBC 中，30BCO ACD ∠=∠=︒，∴BC=2， ∴22213CO =-=； ∴23AC =；故选：A.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用勾股定理求出OC 的长度.4．如图，在平行四边形ABCD 中，2=AD AB ，CE 平分BCD ∠交AD 于点E ，且8BC =，则AB 的长为（ ）A ．4B ．3C ．52D ．2【答案】A【解析】【分析】 利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE=DE=AB 即可得出答案．【详解】∵CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，∴∠ECD=∠ECB ，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，∴∠DEC=∠ECB ，∠DEC=∠DCE ，∴DE=DC ，∵AD=2AB ，∴AD=2CD ，∴AE=DE=AB ．∵8AD BC ==，2=AD AB∴AB=4，故选：A ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，得出∠DEC=∠DCE 是解题关键．5．如图，11,,33AB EF ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠∥，已知60FCD ∠=︒，则P ∠的度数为（ ）A ．60︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒【答案】B【解析】【分析】 延长BC 、EF 交于点G ，根据平行线的性质得180ABG BGE +=︒∠∠，再根据三角形外角的性质和平角的性质得60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠，最后根据四边形内角和定理求解即可．【详解】延长BC 、EF 交于点G∵//AB EF∴180ABG BGE +=︒∠∠∵60FCD ∠=︒∴60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠ ∵11,33ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠ ∴360P PBC BCF PFC =︒---∠∠∠∠2236012033ABG EFC =︒---︒∠∠ ()223606012033ABG BGE =︒--︒+-︒∠∠223604012033ABG BGE =︒--︒--︒∠∠ ()22003ABG BGE =︒-+∠∠ 22001803=︒-⨯︒ 80=︒故答案为：B ．【点睛】本题考查了平行线的角度问题，掌握平行线的性质、三角形外角的性质、平角的性质、四边形内角和定理是解题的关键．6．如图所示，点E 是矩形ABCD 的边AD 延长线上的一点，且AD=DE ，连结BE 交CD 于点O ，连结AO ，下列结论不正确的是（ ）A ．△AOB ≌△BOCB ．△BOC ≌△EOD C ．△AOD ≌△EOD D ．△AOD ≌△BOC【答案】A【解析】根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形应用排它法求欠妥 即可： ∵AD=DE ，DO ∥AB ，∴OD 为△ABE 的中位线．∴OD=OC ．∵在Rt △AOD 和Rt △EOD 中，AD=DE ，OD=OD ，∴△AOD ≌△EOD （HL ）．∵在Rt △AOD 和Rt △BOC 中，AD=BC ，OD=OC ，∴△AOD ≌△BOC （HL ）．∴△BOC ≌△EOD ．综上所述，B 、C 、D 均正确．故选A ．7．如图，菱形ABCD 中，点P 是CD 的中点，∠BCD=60°，射线AP 交BC 的延长线于点E ，射线BP 交DE 于点K ，点O 是线段BK 的中点，作BM ⊥AE 于点M ，作KN ⊥AE 于点N ，连结MO 、NO ，以下四个结论：①△OMN 是等腰三角形；②tan ∠3③BP=4PK ；④PM•PA=3PD 2，其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】B【解析】【分析】 根据菱形的性质得到AD ∥BC ，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP ≌△ECP ，由相似三角形的性质得到AD=CE ，作PI ∥CE 交DE 于I ，根据点P 是CD 的中点证明CE=2PI ，BE=4PI ，根据相似三角形的性质得到1=4KP PI KB BE =，得到BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ，根据平行线等分线段定理得到MG=NG ，又OG ⊥MN ，证明△MON 是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠OMN=33，故②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM•PA=3PD 2，故④正确．【详解】解：作PI ∥CE 交DE 于I ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ，∴∠DAP=∠CEP ，∠ADP=∠ECP ，在△ADP 和△ECP 中， DAP CEP ADP ECP DP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP ≌△ECP ，∴AD=CE ， 则PI PD CE DC =，又点P 是CD 的中点， ∴1=2PI CE ， ∵AD=CE ， ∴1=4KP PI KB BE =， ∴BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ，∵BM丄AE于M，KN丄AE于N，∴BM∥OG∥KN，∵点O是线段BK的中点，∴MG=NG，又OG⊥MN，∴OM=ON，即△MON是等腰三角形，故①正确；由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，BP=3，则AP=7，根据三角形面积公式，BM=2217，∵点O是线段BK的中点，∴PB=3PO，∴OG=13BM=22121，MG=23MP=27，tan∠OMN=3=OGMG，故②正确；∵∠ABP=90°，BM⊥AP，∴PB2=PM•PA，∵∠BCD=60°，∴∠ABC=120°，∴∠PBC=30°，∴∠BPC=90°，∴PB=3PC，∵PD=PC，∴PB2=3PD，∴PM•PA=3PD2，故④正确．故选B．【点睛】本题考查相似形综合题．8．一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为( )A ．540°B ．720°C ．900°D ．1080° 【答案】A【解析】【详解】解：∵多边形的每一个外角都是72°，∴多边形的边数为：360572=， ∴该多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．故选A ．【点睛】外角和是360°，除以一个外角度数即为多边形的边数．根据多边形的内角和公式可求得该多边形的内角和．9．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH,若BE:EC=2：1，则线段CH 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】 试题分析：设CH ＝x ， 因为BE ：EC ＝2：1，BC ＝9，所以，EC ＝3， 由折叠知，EH ＝DH ＝9－x ，在Rt △ECH 中，由勾股定理，得：222(9)3x x -=+，解得：x ＝4，即CH=4考点：（1）图形的折叠；（2）勾股定理10．四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，∠DHO ＝20°，则∠CAD 的度数是（）.A．25°B．20°C．30°D．40°【答案】B【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴OH=OB=12BD，∵∠DHO=20°，∴∠OHB=90°-∠DHO=70°，∴∠ABD=∠OHB=70°，∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°．故选A．11．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD 于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】D【解析】【分析】先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可得出四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=12BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长．【详解】如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，同理可得AB=AF，∴AF=BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AB=AF ，∴四边形ABEF 是菱形，∴AE ⊥BF ，OA=OE ，OB=OF=12BF=6， ∴OA=2222=106AB OB --=8，∴AE=2OA=16.故选D ．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF 是菱形是解决问题的关键．12．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，则DE 的长为（ ）A ．65B ．85C ．125D ．245【答案】D【解析】【分析】连接AD ，根据已知等腰三角形的性质得出AD ⊥BC 和BD=6，根据勾股定理求出AD ，根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：连接AD∵AB=AC ，D 为BC 的中点，BC=12，∴AD ⊥BC ，BD=DC=6，在Rt △ADB 中，由勾股定理得：22221068AB BD =+=，∵S △ADB=12×AD×BD ＝12×AB×DE ， ∴DE=8624105AD BD AB ⨯⨯==， 故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD 的长是解此题的关键．13．如图，ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AD BD ⊥，30ABD ∠=︒，若23AD =．则OC 的长为（ ）A ．3B ．3C 21D ．6【答案】C【解析】【分析】 先根据勾股定理解Rt ABD △求得6BD =，再根据平行四边形的性质求得3OD =，然后根据勾股定理解Rt AOD △、平行四边形的性质即可求得21OC OA ==【详解】 解：∵AD BD ⊥∴90ADB ∠=︒∵在Rt ABD △中，30ABD ∠=︒，23AD =∴243AB AD ==∴226BD AB AD =-=∵四边形ABCD 是平行四边形∴132OB OD BD ===，12OA OC AC == ∴在Rt AOD △中，23AD =3OD =∴2221OA AD OD +=∴21OC OA ==故选：C【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．14．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，两条对角线相交于点O，若OB＝6，则菱形面积是（）A．60 B．48 C．24 D．96【答案】D【解析】【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，由勾股定理可求AO的长，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，∴AO＝22100368AB OB-=-=，∴AC＝16，BD＝12，∴菱形面积＝12162⨯＝96，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．15．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40 B．24 C．20 D．15【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO=∠DAO，得到AD=CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO=3，于是得到结论．【详解】∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD ＝∠CDB ，∴AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD ，∴∠DAC ＝∠ACD ，∴AD ＝CD ，∴AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形，∵AB ＝5，BO 12=BD ＝4， ∴AO ＝3，∴AC ＝2AO ＝6，∴四边形ABCD 的面积12=⨯6×8＝24， 故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．16．用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x ，y ，z ，则111x y z ++的值为（ ） A ．1B ．23C ．12D ．13【答案】C【解析】分析：根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案．详解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x 、y 、z ，那么这三个多边形的内角和可表示为：2180x x -⨯（）+2180y y -⨯（）+2180z z （）-⨯=360，两边都除以180得：1﹣2x+1﹣2y +1﹣2z =2，两边都除以2得：1x +1y +1z =12． 故选C ．点睛：解决本题的关键是知道这3种多边形的3个内角之和为360度，据此进行整理分析得解．17．如图，点E F G H 、、、分别是四边形ABCD 边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.则下列说法：①若AC BD =，则四边形EFGH 为矩形；②若AC BD ⊥，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等.其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形.【详解】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选A．【点睛】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC ⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．18．如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝12BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△AOE；④OE＝14BC,成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE=BE=12BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，∵AB=12 BC，∴AE=BE=12 BC，∴AE=CE，故①正确；∴∠EAC=∠ACE=30°∴∠BAC=90°，∴S△ABC=12AB•AC，故②错误；∵BE=EC，∴E为BC中点，O为AC中点，∴S△ABE=S△ACE=2 S△AOE，故③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=CO，∵AE=CE，∴EO⊥AC，∵∠ACE=30°，∴EO=12 EC，∵EC=12 AB，∴OE=14BC，故④正确；故正确的个数为3个，故选：C．【点睛】此题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是解题关键．19．如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，如果用直尺画一条直线将其剩余部分分割成面积相等的两部分，这样的不同的直线一共可以画出（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质分割平行四边形即可．【详解】解：如图所示，这样的不同的直线一共可以画出三条，故答案为：3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性．20．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O，下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③CE=DF，④tan∠OCD=43，⑤S△DOC=S四边形EOFB中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】分析：由正方形ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC=90°正确，③CE=D F正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD=∠DFC，即可求得④正确；由①易证得⑤正确．详解：∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°．∵AE=BF=1，∴BE=CF=4﹣1=3．在△EBC和△FCD中，BC CDB DCFBE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBC≌△FCD（SAS），∴∠CFD=∠BEC，CE=DF，故③正确，∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，∴∠DOC=90°；故①正确；连接DE，如图所示，若OC=OE．∵DF⊥EC，∴CD=DE．∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误；∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC，∴tan∠OCD=tan∠DFC=DCFC=43，故④正确；∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD，∴S△EBC﹣S△FOC=S△FCD﹣S△FOC，即S△ODC=S四边形BEOF．故⑤正确；故正确的有：①③④⑤．故选D．点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．。

人教备战中考数学 平行四边形 培优 易错 难题练习(含答案)含答案

人教备战中考数学 平行四边形 培优 易错 难题练习(含答案)含答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．(1)试猜想AE与GC有怎样的关系(直接写出结论即可)；(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．(3)在(2)中，若E是BC的中点，且BC＝2，则C，F两点间的距离为．【答案】(1) AE＝CG，AE⊥GC；(2)成立，证明见解析； (3)2．【解析】【分析】（1）观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，易证得△ADE≌△CDG，则∠1＝∠2，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AE⊥GC．（2）题（1）的结论仍然成立，参照（1）题的解题方法，可证△ADE≌△CDG，得∠5＝∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6＝∠7；由图知∠AEB＝∠CEH＝90°﹣∠6，即∠7+∠CEH＝90°，由此得证．（3）如图3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．想办法求出CH，HF，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】(1)AE＝CG，AE⊥GC；证明：延长GC交AE于点H，在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD＝DC，∠ADE＝∠CDG＝90°，DE＝DG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE，CG，∠1＝∠2∵∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠AHG＝180°﹣(∠1+∠3)＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥GC．(2)答：成立；证明：延长AE和GC相交于点H，在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠DCB＝∠B＝∠BAD＝∠EDG＝90°，∴∠1＝∠2＝90°﹣∠3；∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，∠5＝∠4；又∵∠5+∠6＝90°，∠4+∠7＝180°﹣∠DCE＝180°﹣90°＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠6+∠AEB＝90°，∠AEB＝∠CEH，∴∠CEH+∠7＝90°，∴∠EHC＝90°，∴AE⊥GC．(3)如图3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．∵BE＝CE＝1，AB＝CD＝2，∴AE＝DE＝CG═DG＝FG5∵DE＝DG，∠DCE＝∠GND，∠EDC＝∠DGN，∴△DCE≌△GND(AAS)，∴GCD＝2，∵S △DCG ＝12•CD•NG ＝12•DG•CM ， ∴2×2＝5•CM ， ∴CM ＝GH ＝45， ∴MG ＝CH ＝22CG CM -＝35， ∴FH ＝FG ﹣FG ＝5， ∴CF ＝22FH CH +＝22535()()55+＝2． 故答案为2．【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．2．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点，点F 在边BC 的延长线上，且CF AE =，连接DE ，DF ，EF . FH 平分EFB ∠交BD 于点H .（1）求证：DE DF ⊥；（2）求证：DH DF =：（3）过点H 作HM EF ⊥于点M ，用等式表示线段AB ，HM 与EF 之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠， 得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠, 所以DH DF =.（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得BD ==.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，，所以sin 45HN BH ===︒.由cos 45DF EF ===︒，得22EF AB HM =-. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒.∴90EAD FCD ∠=∠=︒.∵CF AE =。

初中数学四边形难题汇编

初中数学四边形难题汇编

初中数学四边形难题汇编一、选择题1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接CF，DG，则DGCF=（）A．23B．22C．33D．32【答案】B 【解析】【分析】连接AC和AF，证明△DAG∽△CAF可得DGCF的值．【详解】连接AC和AF，则22 AD AGAC AF==，∵∠DAG=45°-∠GAC，∠CAF=45°-GAC，∴∠DAG=∠CAF．∴△DAG∽△CAF．∴2 DG ADCF AC==故答案为：B.【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形．2．已知，如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，求证：12BC AB =．在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ）A ．延长BC 至点D ，使CD BC =，连接ADB ．在ACB ∠中作BCE B ∠=∠，CE 交AB 于点EC ．取AB 的中点P ，连接CPD ．作ACB ∠的平分线CM ，交AB 于点M【答案】D【解析】【分析】 分别根据各选项的要求进行证明，推出正确结论，则问题可解.【详解】解：选项A ： 如图，由辅助线可知，ABC ADC ≅，则有AB=AD ，再由90ACB ∠=︒，由30BAC ∠=︒，则60B ∠=︒，∴ABD △是等边三角形∴1122BC DB AB == 故选项A 正确；选项B:如图，由辅助线可知，EBD △是等边三角形则60BEC EAC ECA ∠=∠+∠=︒,BE=EC∵30A ∠=︒∴30ECA A ∠=∠=︒∴AE=EC ∴12BC AB =故选项B 正确选项C 如图，有辅助线可知，CP 为直角三角形斜边上的中线∴AP=CP=BP∵30A ∠=︒∴60B ∠=︒∴PBC 是等边三角形∴12BC BP AB ==综上可知选项D 错误故应选D【点睛】 此题主要考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质的综合应用，根据条件选择正确的证明方法是解题的关键．3．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD ＝2AD ，E 、F 、G 分别是OC 、OD 、AB 的中点，下列结论：①BE ⊥AC ；②四边形BEFG 是平行四边形；③△EFG ≌△GBE ；④EG ＝EF ，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 由平行四边形的性质可得AB ＝CD ，AD ＝BC ，BO ＝DO ＝12BD ，AO ＝CO ，AB ∥CD ，即可得BO ＝DO ＝AD ＝BC ，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②④，由平行四边形的性质可判断③，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，BO ＝DO ＝12BD ，AO ＝CO ，AB ∥CD ∵BD ＝2AD∴BO ＝DO ＝AD ＝BC ，且点E 是OC 中点∴BE ⊥AC ，∴①正确∵E 、F 、分别是OC 、OD 中点∴EF ∥DC ，CD ＝2EF∵G 是AB 中点，BE ⊥AC∴AB ＝2BG ＝2GE ，且CD ＝AB ，CD ∥AB∴BG ＝EF ＝GE ，EF ∥CD ∥AB∴四边形BGFE 是平行四边形，∴②④正确，∵四边形BGFE 是平行四边形，∴BG ＝EF ，GF ＝BE ，且GE ＝GE∴△BGE ≌△FEG （SSS ）∴③正确故选D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线及等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．4．如图，在四边形ABCD 中，90,150,BAD BCD ADC ∠=∠=︒∠=连接对角线BD ，过点D 作//DE BC 交AB 于点,E 若23,AB AD CD =+=，则CD =（ ）A ．2B ．1C ．13+D 3【答案】B【解析】【分析】 先根据四边形的内角和求得∠ABC 30︒=，再根据平行线的性质得到∠AED 30︒=，∠EDB=∠DBC ，然后根据三角形全等得到∠ABD=∠DBC ，进而得到EB=ED ，最后在Rt ADE 中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：在四边形ABCD 中 ∵90,150,BAD BCD ADC ∠=∠=︒∠=∴∠ABC 30︒=∵//DE BC∴∠AED 30︒=，∠EDB=∠DBC在Rt ABD 和Rt BCD △中∵AD CD BD BD=⎧⎨=⎩ ∴Rt ABD Rt BCD ≅∴∠ABD=∠DBC∴∠EDB=∠ABD∴EB=ED∵23AB =在Rt ADE △中，设AD=x,那么DE=2x,AE=232x()2222322x x x ++=解得：121;73x x ==故选：B ．【点睛】此题主要考查四边形的内角和、全等三角形的判断、平行线的性质和勾股定理的应用，熟练进行逻辑推理是解题关键．5．如图，小莹用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，BC 长为10cm ．当小莹折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处(折痕为AE )．则此时EC =( )cmA ．4B ．2C ．22D ．3【答案】D【解析】【分析】 根据矩形的性质得AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF ，在Rt △ABF 中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC ﹣BF=4，设CE=x ，则DE=EF=8﹣x ，在Rt △CEF 中利用勾股定理得到:42+x 2=（8﹣x ）2，然后解方程即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°．∵长方形纸片ABCD 折纸，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ），∴AF=AD=10，DE=EF ，在Rt △ABF 中，AB=8，AF=10，∴BF=226AF AB -=∴CF=BC ﹣BF=4．设CE=x ，则DE=EF=8﹣x ，在Rt △CEF 中，∵CF 2+CE 2=EF 2，∴42+x 2=（8﹣x ）2，解得x=3∴EC 的长为3cm ．故选：D【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，根据勾股定理得出方程是解题关键．6．如图，四边形ABCD 是菱形，30ACD ∠=︒，2BD =，则AC 的长度为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．2【答案】A【分析】由菱形的性质，得到AC ⊥BD ，由直角三角形的性质，得到BO=1，BC=2，根据勾股定理求出CO ，即可求出AC 的长度.【详解】解，如图，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，∵2BD =，∴BO=1，在Rt △OBC 中，30BCO ACD ∠=∠=︒，∴BC=2， ∴22213CO =-=； ∴23AC =；故选：A.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用勾股定理求出OC 的长度.7．如图，已知AD 是三角形纸片ABC 的高，将纸片沿直线EF 折叠，使点A 与点D 重合，给出下列判断：①EF 是ABC 的中位线；②DEF 的周长等于ABC 周长的一半：③若四边形AEDF 是菱形，则AB AC =；④若BAC ∠是直角，则四边形AEDF 是矩形．其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②④D ．①③④【答案】A【分析】根据折叠可得EF 是AD 的垂直平分线，再加上条件AD 是三角形纸片ABC 的高可以证明EF ∥BC ，进而可得△AEF ∽△ABC ，从而得12AE AF AO AB AC AD ===，进而得到EF 是△ABC 的中位线；再根据三角形的中位线定理可判断出△AEF 的周长是△ABC 的一半，进而得到△DEF 的周长等于△ABC 周长的一半；根据三角形中位线定理可得AE=12AB ，AF=12AC ，若四边形AEDF 是菱形则AE=AF ，即可得到AB=AC ．【详解】解：∵AD 是△ABC 的高，∴AD ⊥BC ，∴∠ADC=90°，根据折叠可得：EF 是AD 的垂直平分线，∴AO=DO=12AD ，AD ⊥EF ， ∴∠AOF=90°，∴∠AOF=∠ADC=90°，∴EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， 12AE AF AO AB AC AD ===， ∴EF 是△ABC 的中位线，故①正确；∵EF 是△ABC 的中位线，∴△AEF 的周长是△ABC 的一半，根据折叠可得△AEF ≌△DEF ，∴△DEF 的周长等于△ABC 周长的一半，故②正确；∵EF 是△ABC 的中位线，∴AE=12AB ，AF=12AC ， 若四边形AEDF 是菱形，则AE=AF ，故③正确；根据折叠只能证明∠BAC=∠EDF=90°，不能确定∠AED 和∠AFD 的度数，故④错误；故选：A ．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及三角形中位线的性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．8．设四边形的内角和等于α，五边形的外角和等于β，则α与β的关系是( )A ．αβ>B ．αβ=C ．αβ<D ．180βα=+【答案】B【解析】【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．【详解】解：∵四边形的内角和等于a ，∴a=（4-2）•180°=360°．∵五边形的外角和等于β，∴β =360°， ∴a=β． 故选B ．【点睛】本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键．9．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH,若BE:EC=2：1，则线段CH 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】 试题分析：设CH ＝x ， 因为BE ：EC ＝2：1，BC ＝9，所以，EC ＝3， 由折叠知，EH ＝DH ＝9－x ，在Rt △ECH 中，由勾股定理，得：222(9)3x x -=+，解得：x ＝4，即CH=4考点：（1）图形的折叠；（2）勾股定理10．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )．A ．180°B ．360°C ．540°D ．720°【答案】C【解析】【分析】 根据多边形内角和公式2180()n -⨯︒即可求出结果．【详解】解：黑色正五边形的内角和为：5218540(0)-⨯︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．11．如图，在□ABCD 中，延长CD 到E ，使DE ＝CD ，连接BE 交AD 于点F ，交AC 于点G ．下列结论中：①DE ＝DF ；②AG ＝GF ；③AF ＝DF ；④BG ＝GC ；⑤BF ＝EF ，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】 由AAS 证明△ABF ≌△DEF ，得出对应边相等AF=DF ，BF=EF ，即可得出结论，对于①②④不一定正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，即AB ∥CE ，∴∠ABF=∠E ，∵DE=CD ，∴AB=DE ，在△ABF 和△DEF 中，∵===ABF E AFB DFE AB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴△ABF ≌△DEF （AAS ），∴AF=DF ，BF=EF ；可得③⑤正确，故选：B ．【点睛】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．12．如图，已知矩形ABCD 中，BC ＝2AB ，点E 在BC 边上，连接DE 、AE ，若EA 平分∠BED ，则ABECDE SS 的值为（ ）A 23-B 233-C 233-D 23- 【答案】C【解析】【分析】过点A 作AF ⊥DE 于F ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB ，利用全等三角形的判定和性质以及矩形的性质解答即可．【详解】解：如图，过点A 作AF ⊥DE 于F ，在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，∵AE 平分∠BED ，∴AF ＝AB ，∵BC ＝2AB ，∴BC ＝2AF ，∴∠ADF ＝30°，在△AFD 与△DCE 中∵∠C=∠AFD=90°,∠ADF=∠DEC,AF=DC,，∴△AFD ≌△DCE （AAS ），∴△CDE 的面积＝△AFD 的面积＝2113AF DF AF 3AF AB 222⨯=⨯= ∵矩形ABCD 的面积＝AB •BC ＝2AB 2，∴2△ABE 的面积＝矩形ABCD 的面积﹣2△CDE 的面积＝（2﹣3）AB 2，∴△ABE 的面积＝()2232AB -,∴232332332ABE CDE S S --==， 故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB ．13．如图所示，点E 是矩形ABCD 的边AD 延长线上的一点，且AD=DE ，连结BE 交CD 于点O ，连结AO ，下列结论不正确的是（ ）A ．△AOB ≌△BOCB ．△BOC ≌△EOD C ．△AOD ≌△EOD D ．△AOD ≌△BOC【答案】A根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形应用排它法求欠妥 即可： ∵AD=DE ，DO ∥AB ，∴OD 为△ABE 的中位线．∴OD=OC ．∵在Rt △AOD 和Rt △EOD 中，AD=DE ，OD=OD ，∴△AOD ≌△EOD （HL ）．∵在Rt △AOD 和Rt △BOC 中，AD=BC ，OD=OC ，∴△AOD ≌△BOC （HL ）．∴△BOC ≌△EOD ．综上所述，B 、C 、D 均正确．故选A ．14．下列说法中正确的是（ ）A ．有一个角是直角的四边形是矩形B ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D ．两条对角线相等的菱形是正方形【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键.【详解】A. 有一个角是直角的四边形是矩形,错误；B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误；D. 两条对角线相等的菱形是正方形，正确.故选D.【点睛】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键，考查了学生熟练运用知识解决问题的能力.15．如图，平行四边形ABCD 的周长是26,cm 对角线AC 与BD 交于点,,O AC AB E 是BC 中点，AOD △的周长比AOB 的周长多3cm ，则AE 的长度为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．8cm【答案】B【解析】根据题意，由平行四边形的周长得到13AB AD +=，由AOD △的周长比AOB 的周长多3cm ，则3AD AB -=，求出AD 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵平行四边形ABCD 的周长是26cm ， ∴126132AB AD +=⨯=， ∵BD 是平行四边形的对角线，则BO=DO ，∵AOD △的周长比AOB 的周长多3cm ，∴()()3AO OD AD AO OB AB AD AB ++-++=-=，∴5AB =，8AD =，∴8BC AD ==，∵AC AB ⊥，点E 是BC 中点，∴118422AE BC ==⨯=； 故选：B ．【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题．16．如图，在平行四边形ABCD 中，将ADC ∆沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若60B ∠=，AB=3，则ADE ∆的周长为（）A ．12B ．15C ．18D ．2【答案】C【解析】【分析】 依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到BC=2AB=6，AD=6，再根据△ADE 是等边三角形，即可得到△ADE 的周长为6×3=18．【详解】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，∴∠BAC=90°，又∵∠B=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=2AB=6，∴AD=6，由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE 是等边三角形，∴△ADE 的周长为6×3=18，故选：C ．【点睛】此题考查平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定．解题关键在于注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．17．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 72【答案】B【解析】【分析】 根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，∵DF=CF ，BE=CE ， ∴12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点, ∴12EF BD =,∴14EFC BCDD S S =, ∴18EFC ABCD SS =四边形, ∴1176824AGH EFCABCD S S S +=+=四边形=7∶24, 故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．18．如图，在ABCD 中，8AC =，6BD =，5AD =，则ABCD 的面积为( )A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】C【解析】【分析】 由勾股定理的逆定理得出90AOD ∠=，即AC BD ⊥，得出ABCD 是菱形，由菱形面积公式即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴142OC OC AC ===，132OB OD BD ===， ∴22225OA OD AD +==，∴90AOD ∠=，即AC BD ⊥，∴ABCD 是菱形，∴ABCD 的面积11862422AC BD =⨯=⨯⨯=； 故选C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABCD 是菱形是解题的关键．19．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）A ．对边相等B ．对角相等C ．对角线相等D ．对角线互相平分【答案】C【解析】【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可.【详解】 矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等． 矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选C ．【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．20．如图 ，矩形 ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点 M ，CN ⊥AN 于点 N .则 DM +CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )A ．aB ．45 aC ．22aD 3 【答案】C【解析】【分析】 根据“AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°=DM CN DE CE= ，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD ，AB=CD=a ，DM+CN 的值即可求出．【详解】∵AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ，∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°， ∴00cos 4545D CNMcos +=CD ，在矩形ABCD 中，AB=CD=a ，∴DM+CN=acos45°=22a.故选C.【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=DM CN DE CE。

初三数学平行四边形的专项培优 易错 难题练习题(含答案)附答案解析

初三数学平行四边形的专项培优 易错 难题练习题(含答案)附答案解析

初三数学平行四边形的专项培优易错难题练习题(含答案)附答案解析一、平行四边形1．如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中的两个三角形就是互补三角形．（1）用尺规将图1中的△ABC分割成两个互补三角形；（2）证明图2中的△ABC分割成两个互补三角形；（3）如图3，在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI．①已知三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为、、的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积．②若△ABC的面积为2，求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积．【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）①62；②6【解析】试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可．（2）根据互补三角形的定义证明即可．（3）①画出图形后，利用割补法求面积即可．②平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，只要证明S△EFM=3S△ABC即可．试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线AD，△ABD和△ADC是互补三角形．（2）如图2中，延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH．∵四边形ABDE，四边形ACGF是正方形，∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，∴∠EAF+∠BAC=180°，∴△AEF和△ABC是两个互补三角形．∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°，∴∠EAH=∠BAC，∵AF=AC，∴AH=AB，在△AEH和△ABC中，∴△AEH≌△ABC，∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．（3）①边长为、、的三角形如图4所示．∵S△ABC=3×4﹣2﹣1.5﹣3=5.5，∴S六边形=17+13+10+4×5.5=62．②如图3中，平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，设∠ABC=x，∵AM∥CH，CH⊥BC，∴AM⊥BC，∴∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x，∵∠DBI=360°﹣90°﹣90°﹣x=180°﹣x，∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD，∴△AEM≌△DBI，∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°，∴△DBI和△ABC是互补三角形，∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2，∴S△EFM=3S△ABC=6．考点：1、作图﹣应用与设计，2、三角形面积2．已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．（1）求证：△DOE≌△BOF．（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFED为菱形，理由见解析.【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF （ASA）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．试题解析：（1）∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，∴△DOE≌△BOF（ASA）；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，理由：∵△DOE≌△BOF，∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵∠EOD=90°，∴EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．3．已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在第一象限，且，.现将纸片折叠，折痕为EF（点E，F是折痕与矩形的边的交点），点P ==86OB OD为点D的对应点，再将纸片还原。

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（易错题精选）初中数学四边形难题汇编及答案一、选择题1．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点()5,3D 在边AB 上，以C 为中心，把CDB △旋转90︒，则旋转后点D 的对应点'D 的坐标是( )A ．()2,10B ．()2,0-C ．()2,10或()2,0-D ．()10, 2或()2,0-【答案】C【解析】【分析】 先根据正方形的性质求出BD 、BC 的长，再分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，然后分别根据旋转的性质求解即可得．【详解】四边形OABC 是正方形，(5,3)D5,3,2,90BC OC AB OA AD BD AB AD B ∴======-=∠=︒由题意，分以下两种情况：（1）如图，把CDB △逆时针旋转90︒，此时旋转后点B 的对应点B '落在y 轴上，旋转后点D 的对应点D 落在第一象限由旋转的性质得：2,5,90B D BD B C BC CB D B '''''====∠=∠=︒10OB OC B C ''∴=+=∴点D 的坐标为(2,10)（2）如图，把CDB △顺时针旋转90︒，此时旋转后点B 的对应点B ''与原点O 重合，旋转后点D 的对应点D ''落在x 轴负半轴上由旋转的性质得：2,5,90B D BD B C BC CB D B ''''''''''====∠=∠=︒∴点D ''的坐标为(2,0)-综上，旋转后点D 的对应点D 的坐标为(2,10)或(2,0)-故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．2．下列命题错误的是（ ）A ．平行四边形的对角线互相平分B ．两直线平行，内错角相等C ．等腰三角形的两个底角相等D ．若两实数的平方相等，则这两个实数相等【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，分别进行判断，即可得到答案.【详解】解：A 、平行四边形的对角线互相平分，正确；B 、两直线平行，内错角相等，正确；C 、等腰三角形的两个底角相等，正确；D 、若两实数的平方相等，则这两个实数相等或互为相反数，故D 错误；故选：D.【点睛】本题考查了判断命题的真假，以及平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.3．如图，□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ⊥AC .若4AB =,6AC =，则BD 的长为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8 【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理先求出BO 的长，再根据平行四边形的性质即可求解.【详解】∵6AC =，∴AO=3，∵AB ⊥AC ，∴BO=2234+=5∴BD=2BO=10，故选B.【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知勾股定理的应用.4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △PAB ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB 的最小值为（ ） A 29B 34C ．2 D 41【答案】D【解析】 解：设△ABP 中AB 边上的高是h ．∵S △PAB =13S 矩形ABCD ，∴12 AB •h =13AB •AD ，∴h =23AD =2，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 就是所求的最短距离．在Rt △ABE 中，∵AB =5，AE =2+2=4，∴BE 22AB AE +2254+41PA +PB 的41．故选D ．5．一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为( )A ．540°B ．720°C ．900°D ．1080° 【答案】A【解析】【详解】解：∵多边形的每一个外角都是72°，∴多边形的边数为：360572=， ∴该多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．故选A ． 【点睛】外角和是360°，除以一个外角度数即为多边形的边数．根据多边形的内角和公式可求得该多边形的内角和．6．如图，在边长为8的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是 （ ）A ．183π-B ．183πC ．32316πD ．1839π-【答案】C【解析】【分析】 由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，∵DF 是菱形的高，∴DF ⊥AB ，∴DF=AD •sin60°=383= ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积=2120(43)84332316360ππ⨯⨯-=-． 故选：C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．7．如图，正方形ABDC 中，AB ＝6，E 在CD 上，DE ＝2，将△ADE 沿AE 折叠至△AFE ，延长EF 交BC 于G ，连AG 、CF ，下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝CG ；③AG ∥CF ；④S ∆FCG ＝3，其中正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 利用折叠性质和HL 定理证明Rt △ABG ≌Rt △AFG ，从而判断①；设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=x+2，根据勾股定理列方程求解，从而判断②；由②求得△FGC 为等腰三角形，由此推出1802FGC FCG -∠∠=，由①可得1802FGC AGB -∠∠=,从而判断③；过点F 作FM ⊥CE ，用平行线分线段成比例定理求得FM 的长，然后求得△ECF 和△EGC 的面积，从而求出△FCG 的面积，判断④．【详解】解：在正方形ABCD 中，由折叠性质可知DE=EF=2，AF=AD=AB=BC=CD=6，∠B=∠D=∠AFG=∠BCD=90°又∵AG=AG∴Rt △ABG ≌Rt △AFG ，故①正确；由Rt △ABG ≌Rt △AFG∴设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=GF+EF=x+2，CE=CD-DE=4∴在Rt △EGC 中，222(6)4(2)x x -+=+解得：x=3∴BG ＝3，CG=6-3=3∴BG ＝CG ，故②正确；又BG ＝CG ，∴1802FGC FCG -∠∠= 又∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ∴1802FGC AGB -∠∠=∴∠FCG=∠AGB∴AG ∥CF ，故③正确；过点F 作FM ⊥CE ，∴FM ∥CG∴△EFM ∽△EGC∴FM EF GC EG =即235FM = 解得65FM = ∴S ∆FCG ＝116344 3.6225ECG ECF S S -=⨯⨯-⨯⨯=，故④错误 正确的共3个故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．8．如图，在矩形ABCD 中， 3,4,AB BC ==将其折叠使AB 落在对角线AC 上，得到折痕,AE 那么BE 的长度为（ ）A ．1B ．2C ．32D ．85【解析】【分析】由勾股定理求出AC 的长度，由折叠的性质，AF=AB=3，则CF=2，设BE=EF=x ，则CE=4x -，利用勾股定理，即可求出x 的值，得到BE 的长度．【详解】解：在矩形ABCD 中，3,4AB BC ==，∴∠B=90°， ∴22345AC =+=，由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF ，∴CF=5-3=2，在Rt △CEF 中，设BE=EF=x ，则CE=4x -，由勾股定理，得：2222(4)x x +=-，解得：32x =； ∴32BE =． 故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质，利用勾股定理正确求出BE 的长度．9．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD ＝2AD ，E 、F 、G 分别是OC 、OD 、AB 的中点，下列结论：①BE ⊥AC ；②四边形BEFG 是平行四边形；③△EFG ≌△GBE ；④EG ＝EF ，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 由平行四边形的性质可得AB ＝CD ，AD ＝BC ，BO ＝DO ＝12BD ，AO ＝CO ，AB ∥CD ，即可得BO ＝DO ＝AD ＝BC ，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②④，由平行四边形的性质可判断③，即可求解．解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO＝12BD，AO＝CO，AB∥CD∵BD＝2AD∴BO＝DO＝AD＝BC，且点E是OC中点∴BE⊥AC，∴①正确∵E、F、分别是OC、OD中点∴EF∥DC，CD＝2EF∵G是AB中点，BE⊥AC∴AB＝2BG＝2GE，且CD＝AB，CD∥AB∴BG＝EF＝GE，EF∥CD∥AB∴四边形BGFE是平行四边形，∴②④正确，∵四边形BGFE是平行四边形，∴BG＝EF，GF＝BE，且GE＝GE∴△BGE≌△FEG（SSS）∴③正确故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线及等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．10．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则DE的长为（）A．65B．85C．125D．245【答案】D【解析】【分析】连接AD，根据已知等腰三角形的性质得出AD⊥BC和BD=6，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：连接AD∵AB=AC，D为BC的中点，BC=12，∴AD⊥BC，BD=DC=6，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD=22221068AB BD=+=，∵S△ADB=12×AD×BD＝12×AB×DE，∴DE=8624105 AD BDAB⨯⨯==，故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD的长是解此题的关键．11．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，下列说法错误的是（）A．△ABD≌△ECD B．连接BE，四边形ABEC为平行四边形C．DA＝DE D．CE＝CD【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠B=∠DCE，∠BAD=∠E，然后根据AAS证得△ABD≌△ECD，得出AD=DE，根据对角线互相平分得到四边形ABEC为平行四边形，CE=AB，即可解答．【详解】∵CE∥AB，∴∠B=∠DCE，∠BAD=∠E，在△ABD和△ECD中，===B DCE BAD E BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABD ≌△ECD （AAS ），∴DA=DE ，AB=CE ，∵AD=DE ，BD=CD ，∴四边形ABEC 为平行四边形，故选：D ．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的性判定，解题的关键是证明△ABD ≌△ECD ．12．用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x ，y ，z ，则111x y z ++的值为（ ） A ． 1B ．23C ．12D ．13【答案】C【解析】分析：根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案．详解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x 、y 、z ，那么这三个多边形的内角和可表示为：2180x x -⨯（）+2180y y -⨯（）+2180z z （）-⨯=360，两边都除以180得：1﹣2x+1﹣2y +1﹣2z =2，两边都除以2得：1x +1y +1z =12． 故选C ．点睛：解决本题的关键是知道这3种多边形的3个内角之和为360度，据此进行整理分析得解．13．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 72【答案】B【解析】【分析】根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，∵DF=CF ，BE=CE ， ∴12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点, ∴12EF BD =, ∴14EFC BCDD S S =, ∴18EFC ABCD SS =四边形, ∴1176824AGH EFCABCDS S S +=+=四边形=7∶24, 故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．14．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AE 平分BAD 交BC 于点E ，且∠ADC ＝60°，AB ＝12BC ，连接OE ．下列结论：①AE ＝CE ；②S △ABC ＝AB•AC ；③S △ABE ＝2S △AOE ；④OE ＝14BC,成立的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE=BE=12BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，∵AB=12 BC，∴AE=BE=12 BC，∴AE=CE，故①正确；∴∠EAC=∠ACE=30°∴∠BAC=90°，∴S△ABC=12AB•AC，故②错误；∵BE=EC，∴E为BC中点，O为AC中点，∴S△ABE=S△ACE=2 S△AOE，故③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=CO，∵AE=CE，∴EO⊥AC，∵∠ACE=30°，∴EO=12 EC，∵EC=12 AB，∴OE=14BC，故④正确；故正确的个数为3个，故选：C．【点睛】此题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是解题关键．15．已知▱ABCD中，∠A+∠C＝240°，则∠B的度数是（）A．100°B．160°C．80°D．60°【答案】D【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A=∠C，AD∥BC，又由∠A+∠B=180°，求得∠A的度数，继而求得答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，如图，∴∠A＝∠C，AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A+∠C＝240°，∴∠A＝120°，∴∠B＝180°﹣∠A＝60°．故选D．【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的知识．16．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD 于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A ．13B ．14C ．15D ．16 【答案】D【解析】【分析】先证明四边形ABEF 是平行四边形，再证明邻边相等即可得出四边形ABEF 是菱形，得出AE ⊥BF ，OA=OE ，OB=OF=12BF=6，由勾股定理求出OA ，即可得出AE 的长． 【详解】如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAE=∠AEB ，∵∠BAD 的平分线交BC 于点E ，∴∠DAE=∠BAE ，∴∠BAE=∠BEA ，∴AB=BE ，同理可得AB=AF ，∴AF=BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AB=AF ，∴四边形ABEF 是菱形，∴AE ⊥BF ，OA=OE ，OB=OF=12BF=6， ∴2222=106AB OB --=8，∴AE=2OA=16.故选D ．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF 是菱形是解决问题的关键．17．为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD ，并在A 与C 、B 与D 两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2）观察所得到的四边形，下列判断正确的是（）A．∠BCA＝45°B．AC＝BDC．BD的长度变小D．AC⊥BD【答案】B【解析】【分析】根据矩形的性质即可判断；【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD．故选B．【点睛】本题考查平行四边形的性质．矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4,1, 点D的坐标为18．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标轴为()()0,1，则菱形ABCD的周长等于（）A5B．3C．45D．20【答案】C【解析】【分析】如下图，先求得点A的坐标，然后根据点A、D的坐标刻碟AD的长，进而得出菱形ABCD【详解】如下图，连接AC 、BD ，交于点E∵四边形ABCD 是菱形，∴DB ⊥AC ，且DE=EB又∵B ()4,1，D ()0,1∴E(2，1)∴A(2，0)∴()()2220015-+-=∴菱形ABCD 的周长为：5故选：C【点睛】本题在直角坐标系中考查菱形的性质，解题关键是利用菱形的性质得出点A 的坐标，从而求得菱形周长.19．下列说法正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形一定是矩形B ．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上C ．如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6D ．“用长分别为5cm 、12cm 、6cm 的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件【答案】D【解析】【分析】根据矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义依次判断即可.【详解】A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该项错误；B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，故该项错误；C. 一组数据为5，3，6，4，2，它的中位数是4，故该项错误；D. “用长分别为5cm 、12cm 、6cm 的三条线段可以围成三角形” 这一事件是不可能事件，正确，【点睛】此题矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义，综合掌握各知识点是解题的关键.20．如图，平行四边形ABCD 的周长是26,cm 对角线AC 与BD 交于点,,O AC AB E ⊥是BC 中点，AOD △的周长比AOB 的周长多3cm ，则AE 的长度为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．8cm【答案】B【解析】【分析】 根据题意，由平行四边形的周长得到13AB AD +=，由AOD △的周长比AOB 的周长多3cm ，则3AD AB -=，求出AD 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵平行四边形ABCD 的周长是26cm ， ∴126132AB AD +=⨯=， ∵BD 是平行四边形的对角线，则BO=DO ，∵AOD △的周长比AOB 的周长多3cm ，∴()()3AO OD AD AO OB AB AD AB ++-++=-=，∴5AB =，8AD =，∴8BC AD ==，∵AC AB ⊥，点E 是BC 中点， ∴118422AE BC ==⨯=； 故选：B ．【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题．。

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