(完整版)圆的证明与计算(精编版)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
《圆的证明与计算》专题讲解
圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题,此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响,所以解决好此题比较关键。
圆的有关证明
一、圆中的重要定理:
(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.
(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.
(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.
(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.
(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.
(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.
(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.
2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周
角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.
二、考题形式分析:
主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线;第2问主要是与圆有关的计算:①求线段长(或面积);②求线段比;③求角度的三角函数值(实质还是求线段比)。
知识点一:判定切线的方法:
(1)若切点明确,则“连半径,证垂直”。
常见手法有:全等转化;平行转化;直径转化;中线转化等;有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直;
(2)若切点不明确,则“作垂直,证半径”。
常见手法:角平分线定理;等腰三角形三线合一,隐藏角平分线;
总而言之,要完成两个层次的证明:①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点);②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例:
方法一:若直线l过⊙O上某一点A,证明l是⊙O的切线,只需
连OA,证明OA⊥l就行了,简称“连半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直.
例1如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,交AC于E,B为切点的切线交OD延长线于F.
求证:EF与⊙O相切.
例2 如图,AD是∠BAC的平分线,P为BC延长线上一点,且PA=PD.
求证:PA与⊙O相切.
证明一:作直径AE,连结EC.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠DAB=∠DAC.
∵PA=PD,
∴∠2=∠1+∠DAC.
∵∠2=∠B+∠DAB,
∴∠1=∠B.
又∵∠B=∠E,
∴∠1=∠E
∵AE是⊙O的直径,
∴AC⊥EC,∠E+∠EAC=900.
∴∠1+∠EAC=900.
即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切.
证明二:延长AD交⊙O于E,连结OA,OE.
∵AD是∠BAC的平分线,
⌒⌒
∴BE=CE,
∴OE⊥BC.
∴∠E+∠BDE=900.
∵OA=OE,
∴∠E=∠1.
∵PA=PD,
∴∠PAD=∠PDA.
又∵∠PDA=∠BDE,
∴∠1+∠PAD=900
即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切
说明:此题是通过证明两角互余,证明垂直的,解题中要注意知识的综合运用.
例3 如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M
求证:DM与⊙O相切.
例4 如图,已知:AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,且∠CAB=300,BD=OB,D在AB的延长线上.
求证:DC是⊙O的切线
例5 如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,且OA2=OD·OP.
求证:PC是⊙O的切线.
例6 如图,ABCD是正方形,G是BC延长线上一点,AG交BD于E,交CD于F.
求证:CE与△CFG的外接圆相切.
分析:此题图上没有画出△CFG的外接圆,但△CFG是直角三角形,圆心在斜边FG的中点,为此我们取FG的中点O,连结OC,证明CE
⊥OC即可得解.
证明:取FG中点O,连结OC.
∵ABCD是正方形,
∴BC⊥CD,△CFG是Rt△
∵O是FG的中点,
∴O是Rt△CFG的外心.
∵OC=OG,
∴∠3=∠G,
∵AD∥BC,
∴∠G=∠4.
∵AD=CD,DE=DE,
∠ADE=∠CDE=450,
∴△ADE≌△CDE(SAS)∴∠4=∠1,∠1=∠3.
∵∠2+∠3=900,
∴∠1+∠2=900. 即CE⊥OC.
∴CE与△CFG的外接圆相切
方法二:若直线l与⊙O没有已知的公共点,又要证明l是⊙O 的切线,只需作OA⊥l,A为垂足,证明OA是⊙O
的半径就行了,简称:“作垂直;证半径”(一般用
于函数与几何综合题)
例1:如图,AB=AC,D为BC中点,⊙D与AB切
于E点.
求证:AC与⊙D相切.
分析:说明:证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的,证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的,这类习题多数与角平分线有关.
例2:已知:如图,AC,BD与⊙O切于A、B,且AC∥BD,若∠COD=900.
求证:CD是⊙O的切线.
证明一:连结OA,OB,作OE⊥CD,E为垂足.
∵AC,BD与⊙O相切,
∴AC ⊥OA ,BD ⊥OB.
∵AC ∥BD ,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.
∵∠COD=900,
∴∠2+∠3=900,∠1+∠4=900.
∵∠4+∠5=900.
∴∠1=∠5.
∴Rt △AOC ∽Rt △BDO.
∴OD OC
OB AC =.
∵OA=OB ,
∴OD OC
OA AC
=.
又∵∠CAO=∠COD=900,
∴△AOC ∽△ODC ,
∴∠1=∠2.
又∵OA ⊥AC ,OE ⊥CD,