(完整版)圆的证明与计算(精编版)

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《圆的证明与计算》专题讲解

圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题,此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响,所以解决好此题比较关键。

圆的有关证明

一、圆中的重要定理:

(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.

(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.

(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.

(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.

(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.

(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.

(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.

2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周

角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.

二、考题形式分析:

主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线;第2问主要是与圆有关的计算:①求线段长(或面积);②求线段比;③求角度的三角函数值(实质还是求线段比)。

知识点一:判定切线的方法:

(1)若切点明确,则“连半径,证垂直”。

常见手法有:全等转化;平行转化;直径转化;中线转化等;有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直;

(2)若切点不明确,则“作垂直,证半径”。

常见手法:角平分线定理;等腰三角形三线合一,隐藏角平分线;

总而言之,要完成两个层次的证明:①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点);②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例:

方法一:若直线l过⊙O上某一点A,证明l是⊙O的切线,只需

连OA,证明OA⊥l就行了,简称“连半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直.

例1如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,交AC于E,B为切点的切线交OD延长线于F.

求证:EF与⊙O相切.

例2 如图,AD是∠BAC的平分线,P为BC延长线上一点,且PA=PD.

求证:PA与⊙O相切.

证明一:作直径AE,连结EC.

∵AD是∠BAC的平分线,

∴∠DAB=∠DAC.

∵PA=PD,

∴∠2=∠1+∠DAC.

∵∠2=∠B+∠DAB,

∴∠1=∠B.

又∵∠B=∠E,

∴∠1=∠E

∵AE是⊙O的直径,

∴AC⊥EC,∠E+∠EAC=900.

∴∠1+∠EAC=900.

即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切.

证明二:延长AD交⊙O于E,连结OA,OE.

∵AD是∠BAC的平分线,

⌒⌒

∴BE=CE,

∴OE⊥BC.

∴∠E+∠BDE=900.

∵OA=OE,

∴∠E=∠1.

∵PA=PD,

∴∠PAD=∠PDA.

又∵∠PDA=∠BDE,

∴∠1+∠PAD=900

即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切

说明:此题是通过证明两角互余,证明垂直的,解题中要注意知识的综合运用.

例3 如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M

求证:DM与⊙O相切.

例4 如图,已知:AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,且∠CAB=300,BD=OB,D在AB的延长线上.

求证:DC是⊙O的切线

例5 如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,且OA2=OD·OP.

求证:PC是⊙O的切线.

例6 如图,ABCD是正方形,G是BC延长线上一点,AG交BD于E,交CD于F.

求证:CE与△CFG的外接圆相切.

分析:此题图上没有画出△CFG的外接圆,但△CFG是直角三角形,圆心在斜边FG的中点,为此我们取FG的中点O,连结OC,证明CE

⊥OC即可得解.

证明:取FG中点O,连结OC.

∵ABCD是正方形,

∴BC⊥CD,△CFG是Rt△

∵O是FG的中点,

∴O是Rt△CFG的外心.

∵OC=OG,

∴∠3=∠G,

∵AD∥BC,

∴∠G=∠4.

∵AD=CD,DE=DE,

∠ADE=∠CDE=450,

∴△ADE≌△CDE(SAS)∴∠4=∠1,∠1=∠3.

∵∠2+∠3=900,

∴∠1+∠2=900. 即CE⊥OC.

∴CE与△CFG的外接圆相切

方法二:若直线l与⊙O没有已知的公共点,又要证明l是⊙O 的切线,只需作OA⊥l,A为垂足,证明OA是⊙O

的半径就行了,简称:“作垂直;证半径”(一般用

于函数与几何综合题)

例1:如图,AB=AC,D为BC中点,⊙D与AB切

于E点.

求证:AC与⊙D相切.

分析:说明:证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的,证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的,这类习题多数与角平分线有关.

例2:已知:如图,AC,BD与⊙O切于A、B,且AC∥BD,若∠COD=900.

求证:CD是⊙O的切线.

证明一:连结OA,OB,作OE⊥CD,E为垂足.

∵AC,BD与⊙O相切,

∴AC ⊥OA ,BD ⊥OB.

∵AC ∥BD ,

∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.

∵∠COD=900,

∴∠2+∠3=900,∠1+∠4=900.

∵∠4+∠5=900.

∴∠1=∠5.

∴Rt △AOC ∽Rt △BDO.

∴OD OC

OB AC =.

∵OA=OB ,

∴OD OC

OA AC

=.

又∵∠CAO=∠COD=900,

∴△AOC ∽△ODC ,

∴∠1=∠2.

又∵OA ⊥AC ,OE ⊥CD,

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