高等数学 格林公式

D
D
单连通区域
复连通区域
2
格林公式及其应用
2. 格林公式 闭区域D由分段光滑的 格林定理(定理1) 格林定理(定理1) 设闭区域 由分段光滑的 曲线L围成 围成, 曲线 围成, 函数 P ( x , y )及Q ( x , y ) 在D上具有 上具有 一阶连续偏导数,则有 一阶连续偏导数,
∂Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy D
( 2 xy − 2 y )dx + ( x 2 − 4 x )dy = ( −18π ).
解 设P = 2 xy − 2 y , Q = x 2 − 4 x
∂P 由格林公式 = 2 x − 2, ∂y
2
∂Q = 2x − 4 ∂x
∫L ( 2 xy − 2 y )dx + ( x − 4 x )dy = ∫∫ ( 2 x − 4 − 2 x + 2)dxdy = −2 ∫∫ dxdy = −18π
= ∫ Q( x ,
c d
d
ψ 2 ( y) y ) ψ 1 ( y ) dy
d
y
x =ψ1( y)
d
E
= ∫ Q(ψ 2 ( y ), y )dy − ∫ Q (ψ 1 ( y ), y )dy
c
D
B
c
= ∫ Q( x , y )dy − ∫ Q ( x , y )dy
CBE
CBE
A
CAE
c
O
=∫ =
D
1 x
= ∫ xe
− y2
= ∫ xe
0
OA 1
dy + ∫ xe
AB
OA + AB + BO − y2
xe dy + ∫ 0 BO
0
− y2
dy
17
− x2
1 = (1 − e −1 ) dx + 0 + 0 2
格林公式及其应用
练习
设L为取正向的圆周 x 2 + y 2 = 9, 则曲线积分
∫L
x
2
∂Q ∂P − =m ∂x ∂y
O
•
A(a ,0) x
D
x
x
a
OA
0
2
2
AO
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格林公式及其应用
(3) 简化二重积分 例 计算 ∫∫ e
D − y2
∂Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy D
y B 1 D
dxdy ,其中 是 其中D
A
以O(0,0), A(1,1), B(0,1) 为顶点的三角形闭区域. 为顶点的三角形闭区域 − y2 解 令 P = 0, Q = xe O ∂Q ∂P − y2 − = e 则 格林公式 ∂x ∂ y − y2 − y2 ∫∫ e dxdy = ∫ xe dy
= ∫ Pdx + Qdy ( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
L
9
格林公式及其应用
∂Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy D
格林公式的实质 沟通了沿闭曲线的积分与二重积分 沟通了沿闭曲线的积分与 二重积分 之间的联系. 之间的联系
10
格林公式及其应用
1 2 3
L2
7
格林公式及其应用
∂Q ∂P ∂Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = D +∫∫+ D ( ∂x − ∂y )dxdy D 1 D2 3 ∂Q ∂P ∂ Q ∂P − )dxdy + ∫∫ ( − )dxdy = ∫∫ ( ∂x ∂ y ∂y D ∂x D2 1 ∂Q ∂P + ∫∫ ( − )dxdy ∂y D3 ∂x = ∫ Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy
L
11
格林公式及其应用
例 求椭圆 x = a cos t , y = b sin t ,0 ≤ t ≤ 2π 所围成的面积. 所围成的面积
y
1 解 由公式 A = ∫ xdy − ydx 2 L
1 2π 得 A = ∫ ab(cos 2 t + sin 2 t )dt 2 0 = abπ
D O
x
12
O
(1) P、Q在闭区域 上一阶偏导数的连续性 在闭区域D上一阶偏导数的连续性 在闭区域 上一阶偏导数的连续性; (2) 曲线 是封闭的,并且取正向. 曲线L是封闭的 并且取正向. 是封闭的,
4
格林公式及其应用
∂Q ∂P 证明 ∫∫ ( − )dxdy = ∫L Pdx + Qdy ∂x ∂y D
D = {( x , y )ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ), c ≤ y ≤ d }
5
格林公式及其应用
ψ2 ( y) ∂Q d ∂Q ∫∫ ∂x dxdy = ∫c dy ∫ψ1( y) ∂xdx D
∂Q ∂P ( − )dxdy = ∫ Pdx + Qdy ∫∫ ∂x ∂y L D
2
3
G
D
L2 B
L3
E C
L1 F
A
={∫AB + ∫L + ∫BA + ∫AFC+ ∫CE + ∫L + ∫EC+ ∫CGA}⋅ ( Pdx + Qdy )
= ( ∫ + ∫ + ∫ )( Pdx + Qdy ) L L L
2 3 1
( ∫ + ∫ = 0, ∫ + ∫ = 0)
AB BA CE EC
14
格林公式及其应用
例 计算 )
⌒ 其中AO是从点 其中 是从点 A(a ,0) 到点O(0,0)的上半圆周 x 2 + y 2 = ax . y ⌒ 分析 此积分路径 AO 不是闭曲线! 不是闭曲线! 但由 P = e sin y − my , Q = e cos y − m
x
∫AO
(e x sin y − my)dx + (e x cos y − m)dy,
(1)先对简单区域证明 先对简单区域证明: 先对简单区域证明 若区域D既是 若区域 既是 X − 型 又是 Y − 型 即平行于坐标轴的直线 至多交于两点. 和L至多交于两点 至多交于两点
y
x =ψ1( y)
d
E y = ϕ2( x)
D
A
B
c
O a
C
x =ψ2 ( y) y = ϕ1( x)
b x
D = {( x , y ) ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ), a ≤ x ≤ b}
L1 L2
L3
∂Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy D
= ∫ Pdx + Qdy
L
D3 L 3
(L , L2 , L3对D来说为正方向) 1
L
D
D1
L1
D2 L 2
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格林公式及其应用
(3) 对复连通区域证明: 对复连通区域证明: 若区域不止由一条闭曲线 对复连通区域D,格林公式 对复连通区域 格林公式 所围成. 所围成.添加直线段 AB 右端应包括沿区域D的 ,CE. 右端应包括沿区域 的全部边界 的曲线积分, 的曲线积分 且边界的方向对区 则D的边界曲线由 AB, L2 , BA, 的边界曲线由 来说都是正向. 域D来说都是正向及 CGA构成 来说都是正向 构成. AFC, CE, L3 , EC ∂ Q ∂P 由(2)知 ∫∫ ( 知 − )dxdy ∂ x ∂y D
Q( x , y )dy + ∫
EAC
Q ( x , y )dy
C x =ψ2( y) x
Q ∂P ∂∂P dxdy = P ( x , y )dx − ∫∫ − 同理可证 ∫∫ ( )dxL y = ∫ Pdx + Qdy ∫d L ∂y ∂y D∂x D
o
∫L Q( x , y )dy
6
格林公式及其应用
D
D
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格林公式及其应用
例
xdy − ydx , 其中 为一条无重点 计算 ∫ 其中L为一条无重点 为一条无重点, L x2 + y2 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, 不经过原点的连续闭曲线 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线
L的方向为逆时针方向 的方向为逆时针方向. 的方向为逆时针方向 解 所围成的闭区域为D, 记L所围成的闭区域为 所围成的闭区域为 −y x 令 P= 2 , Q= 2 2 x +y x + y2
格林 Green.G. (1793—1841) 英国数学家、 英国数学家、物理学家
第三节 格林公式及其应用
格林(Green)公式 公式 格林 平面上曲线积分与路径无关的 条件 二元函数的全微分求积 小结 思考题 作业
1
格林公式及其应用
一、格林公式
1. 区域连通性的分类 为平面区域, 设D为平面区域, 如果 内任一闭曲线所围 为平面区域 如果D内任一闭曲线所围 成的部分都属于D, 则称D为平面 单连通区域, 成的部分都属于 则称 为平面 单连通区域, 否则称为复连通区域. 否则称为复连通区域. 复连通区域
y
∂P ∂Q y 3 y =e , = y +e ∂x ∂y O ∂Q ∂P 3 − =y ∂x ∂y 对称性 由格林公式有 I = ∫∫ y 3dxdy = 0 格林公式有
D
. 1
2
x
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格林公式及其应用
对平面闭曲线上的对坐标曲线积分 平面闭曲线上的对坐标曲线积分, 上的对坐标曲线积分 ∂Q ∂P 当 − 比较简单时,常常考虑通过格林 比较简单时,常常考虑通过格林 ∂x ∂y 公式化为二重积分来计算 化为二重积分来计算. 公式化为二重积分来计算.
x
) ∫AO +OA (e sin y − my )dx + (e cos y − m )dy 1 OA 的方程为 y = 0, 0 ≤ x ≤ a = ∫∫ m dxdy = m πa 8 0 故 ∫ (e sin0 − my )dx + (e cos y − m )dy = ∫ 0dx = 0 y 0 1 1 − ∫ = m π a − 0 = m πa . 所以, 所以 I = ∫ ) + OA OA 8 8
x
O
•
A(a ,0)
x
∂Q = e x cos y , ∂x
可知
∂ Q ∂P − =m ∂x ∂ y
∂P = e x cos y − m ∂y
非常简单. 非常简单
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格林公式及其应用
L不闭合 边L＊ 再补充一段曲线, 不闭合+边 再补充一段曲线 不闭合 为应用格林公式,使L+ L＊ 为应用格林公式再补充一段曲线 使之构成 格林公式 使 闭合,再用格林公式. 再用格林公式 闭合 再用格林公式 闭曲线.因在补充的曲线上还要算曲线积分, 闭曲线 因在补充的曲线上还要算曲线积分 所以 补充的曲线要简单, 补充的曲线要简单 通常是补充与坐标轴平行的 y 直线段. 直线段 因而这里补加直线段 OA. 解 由格林公式
格林公式及其应用
(2) 简化曲线积分
y L
2
∂Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy D
3 y
2
例 计算 I = ∫ e dx + ( xy + xe − 2 y )dy , 正向. 其中L为圆周 其中 为圆周 x + y = 2 x 的正向 解 P = e y , Q = xy 3 + xe y − 2 y
3. 简单应用 (1) 计算平面面积 格林公式 得
−y
x
∂Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy D
2 ∫∫ dxdy = ∫L xdy − ydx
D
1 闭区域D的 闭区域 的面积 A = ∫ xdy − ydx 2 L
或A= ∫ xdy A = ∫（− y）dx = ， L
积分区域的可加性 (2) 再对一般区域证明: 再对一般区域证明: 若区域D由按段光 若区域 由按段光 滑的闭曲线围成. 如图 滑的闭曲线围成 (如图 如图) 将D分成三个既是 X − 型 分成三个既是 又是Y − 型的区域 D , D2 , D3 . 1
L D
D1
D2
D3 L 3
L1 ∂ Q ∂P ( − )dxdy = ∫∫ ( ∂Q − ∂P )dxdy ∫∫ ∂x ∂y ∂y D D + D + D ∂x
y
的任一闭曲线. 的任一闭曲线 xdy − ydx =0 由格林公式 ∫ 2 2 L x + y 闭曲线. 闭曲线 作位于D内圆周 作位于 内圆周 l : x2 + y2 = r 2 记D1由L和l所围成 , 应用由格林公式 得 应用由格林公式,得 格林公式
(1)
其中L是 的取正向的边界曲线 的取正向的边界曲线. 其中 是 D的取正向的边界曲线 公式(1)称 格林公式. 公式 称 格林公式.
3
格林公式及其应用
边界曲线L的 规定 边界曲线 的正向 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的 左边. 当观察者沿边界行走时,区域 总在他的 左边.
y
L
LHale Waihona Puke Baidu
D
D
x
l
注
则当 x 2 + y 2 ≠ 0时，
y2 − x2 ∂P 有 ∂Q = 2 2 2 = ∂y ∂x ( x + y )
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格林公式及其应用
∂Q ∂P (∂Q − ∂P)dxdy = Pdx + Qdy = ∫∫ ∂x ∂y ∫L ∂x ∂y D (1)当 0,0) ∉ D时， L为不包围原点 ( 即 为