材料力学课件：7_第四章_扭转

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第四章扭转(张新占主编材料力学)

2M A M e M B 0 （2）
联立式（1）与式（2），得
Me MB 3
MA MB Me 3
26
4.6 等直圆轴扭转时的应变能
圆轴在外力偶作用下发生扭转变形，轴内将积蓄应变能。这种应变能在数值上等于外力所做的功。
T1 在位移 d1上所做的功为 dW T1d1
PB M eB M eC 9549 n 796(N m) PA M eA 9549 1910(N m) n PD M eD 9549 318(N m) n
5
（2）求扭矩（扭矩按正方向假设） 1-1 截面
M M M
x
0
T1 M eB 0
T1 M eB 796N m
d1 85.3 mm
取 d1 85.3 mm。 BC段：同理，由扭转强度条件得 d2 67.4 mm ，由扭转刚度条件得
d 2 74.4 mm
取 d 2 74.4 mm。
23
（2）将轴改为空心圆轴后，根据强度条件和刚度条件确定轴的外径D。由强度条件得 D 96.3 mm 由刚度条件得 D 97.3 mm 取 D 97.3 mm ，则内径为
T Me
M e RdA RRd 2R 2
A 0
2
Me 2 2R
8
二、切应力互等定理
M
z
0
（dy）dx （ dx）dy
得到

切应力互等定理：在单元体在相互垂直的一对平面上，切应力同时存在，数值相等，且都垂直于两个平面的交线，方向共同指向或共同背离这一交线。纯剪应力状态：单元体上四个侧面上只有切应力，而无正应力作用

材料力学4.

1. 剪应力互等定理由 MZ 0
'dxdz dy dydzdx 0
得： '
图4-1
2. 剪切虎克定律在弹性范围内应有：
G G ——剪切弹性模量
图4-2
3.E、G、μ μ μ 的关系
G

E
21

低碳钢：
E 2 105 MPa
Mnmax 4.5KN m
max

M nmax Wn

Wn

D3
16

M nmax

解得： D 66mm
（三）由刚度条件设计 D 。
max

M nmax GI p
180

D4
32

Ip

M nmax
G
180

解得： D 102mm
从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用 D=102mm 。
六、矩形截面杆的自由扭转
1. 矩形截面杆的剪应力及扭转角计算
最大剪应力发生在长边中点处：
max

Mn
hb2

4

9
单位长度的扭转角为：

Mn
G hb3
4 10
剪应力分布图图4-10
材料力学
第四章扭转
一、扭转时的内力及扭矩图
扭转时横截面上的内力以 Mn 表示，称为扭矩。杆件上各截面上的扭矩如果以图来表示，该图就是扭矩图。
下面结合实例来加以说明。
例1 传动轴受力如图示，试求各段内力并绘扭矩图。例1图

7材料力学课件(刘鸿文)

二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻约束扭转：截面翘曲程度不同。若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，则相邻两横截若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，面的翘曲程度不同，这将在横截面上引起附加的正应力。面的翘曲程度不同，这将在横截面上引起附加的正应力。这一情况称为约束扭转. 约束扭转.
三、矩形杆横截面上的剪应力: 矩形杆横截面上的剪应力: 1. 剪应力分布如图：（角点、形心、长短边中点） b
τ max
h
τ1
注意！ h ≥ b
T
2. 最大剪应力及单位扭转角
T max τ max = Wt
b
其中： W =
t
β b3
max
τ 1 = ντ
τ max τ1
注意！ h≥ b
h
T θ= , GI t
， m2 = 955 N•m ， m3 = 637 N • m。截面 A与截面 B、C之间的 m。距离分别为 lAB = 300 mm 和 lAC = 500 mm。轴的直径d = 70 mm, mm。轴的直径d 钢的剪切弹性模量为 G = 80 GPa。试求截面 C 对截面 B 的相对 GPa。扭转角。扭转角。
T =
W1 t
(b)
l
T =
W2 t
l
d 2 D2
T
W1 t
T =
W2 t
Q Wt1 =Wt2
π 1 d3 W1 = t 16 3 π 2 ( −α4 ) D 1 W2 = t 16
因此
3 πd1
(a)
d1
l
(b)
d 2 D2
16
=
π1−α4 ) 2
16
l

材料力学第四章扭转

则上式改写为
max
T GI p
180
(/m)
×
例５图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m

材料力学第4章_扭转

z

d x d z d y d y d z d x 0

返回
4. 切应力互等定理

切应力互等定理：也称切应力双生定理，指在单元体相互垂直的两个面上，切应力必成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向共同指向或背离这一交线。

纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不同,轴内最大扭矩也不同,显然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
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一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象圆周线大小、形状、间距不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析因纵向纤维无正应变，有角应变，因此横截面上无，有，与圆周相切。又因壁很薄，可近似认为沿壁厚应力相等。
第4章扭转
第4章扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
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工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半径，并与该点到轴线的距离成正比。
返回
4. 应力公式静力关系
T

dA
横截面上分布内力系对圆心的矩等于扭矩T。

T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A

材料力学课件——扭转的强度与刚度计算

MMnMnⅢⅢMnMⅢMnDMⅢD DMD
351N· m
468N·
(+)m (-)
702N· m
解（1）计算外力偶矩：
MA
9550 NA n
9550 36.75 300
1170N m
MB
MC
9550 NB n
9550 11 300
351N m
MD
9550 ND n
9550 14.7 300
P B mB
B
mB （a）
P
mB
B
（b）
本章主要内容
▪ 第一节概述 ▪ 第二节扭转时的内力 ▪ 第三节纯剪切、剪应力互等定理、剪切胡
克定律 ▪ 第四节圆轴扭转时的应力与变形 ▪ 第五节圆轴扭转时的强度和刚度计算 ▪ 第六节密圈螺旋弹簧应力及变形的计算 ▪ 第七节非圆截面等直杆的纯扭转
扭矩
N(kW ) Me 9550 n(r / min ) （Nm)
•当N为马力扭矩
N(Ps)
Me 7024 n(r / min )（N m)
二、扭矩扭矩图
扭矩mn符号规定如下：按右手螺旋法则把mn 表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线方向一
致时， mn为正；反之为负。
内力—扭矩
mn
j mn
t dy
nm
x 定理。（rocal
theorem of shear stresses ）
dx
z
▪ 剪应力互等定理（Reciprocal theorem of shear stresses ）
▪ 单元体上两个互垂面上剪应力的大小相等、方
向相反（共同指向交线或背离交线）
▪ 类似可证明 —— 每两个邻近边剪应力值相等

材料力学第4章扭转变形

1 1
T
1 1
T
1
Me
+
B
x
T Me
Me
B
T图 x
例一传动轴如图，转速n = 300r/min；主动轮输入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。试作轴的扭矩图。
解：首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩
M2 1
2 T
1
1 T
1
材料不同），可见在两
杆交界处的切应力是不
同的。
d
D
§4. 7 非圆截面杆扭转的概念
对非圆截面杆的扭转问题，主要介绍矩形截面杆的扭转。
试验现象
横向线变成曲线
横截面发生翘曲不再保持为平面
平面假设不再成立，可能产生附加正应力
自由扭转翘曲不受限制。纵向纤维无伸长横截面上无正应力
T
max
O
max
D
d
T
Ip
max
T Wp
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp —几何性质实心圆截面：
d
O
d
O
d D d
Ip
2 d A πd 4
A
32
Wp
Ip d /2
πd 3 16
Ip
2 d A πD4
A
32
1 4
Wp
Ip D /2
πD 3 16
1 4
4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计
B 0
按叠加原理：
B BB BM 0
BB、BM分别为MB、Me 引起的在杆端B的扭转角。
线弹性时，物理关系(胡克定理)为

材料力学-第4章扭转 ppt课件

dA
T

O
dA
23
材料力学－第4章扭转
圆轴扭转横截面上的应力
A dA T
代入：

G

G
d dx
得到：
G d 2dA T dx A
记： IP －2dA称为圆截面的极惯性矩
A
则：圆轴扭转角的变化率 d T
dx GIP
圆截面切应力
采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向，拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时，该扭矩为正；反之，规定扭矩为负
正扭矩
负扭矩
——保证了无论从哪一段计算，扭矩的大小和符号都相同
12
材料力学－第4章扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，m-m截面上扭矩为多少？
Me
m
2M e
m m
T Me
17
材料力学－第4章扭转
圆轴扭转横截面上的应力
几何变形：
1. 横截面绕圆轴的轴线转动
？
主要
2. 圆轴中段的横截面缩小几何变形特征
有剪切应变 rz 次要
3. 圆轴的长度略有增长
有轴向应变 z 次要
– 变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不
改变，半径仍为直线
– 变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面绕圆轴轴线转动一定的角度
外力偶矩的计算
• 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率和转速，而不直接给出外力偶矩的数值
• 设外力偶矩为Me，传动轴的功率为P，角速度为w，则
有（理论力学）
Me

P
w
外力偶矩Me 单位：N·m (牛顿·米) 功率为P 单位：J (焦耳)

材料力学第四章扭转

扭转轴的内力偶矩称为扭矩
3、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到
m
m
x
m
Mn
MX 0 Mnm0
Mn m
8
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
4 扭矩的符号规定—右手螺旋法则
mI
扭
矩
符号规
Mn I
离M开n截面
定：
mI
I
m
Mn
I
I
m
Mn
Mn I
指向M 截n 面
I
右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的
m
转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
W W '
W 6 N 0 10 60 0 N 0 000
W m m 2 n 1 2 nm
m955N0 Nm 单位
n
7
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
2、扭矩的概念
扭转变形的杆往往称之为扭转轴
Mn
Mn
(r )
A
B
(r )
C
C
D d
D
b
x
d
d

d
dx
d
dx
dx
d
称为单位长度相对扭转角
dx
对于同一截面，
d 常量 dx
上式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与该点至截面中心之间的距离成正比。上式即为圆轴扭转时的变形协调方程。
32
§3-4 等值圆杆扭转时的应力强度条件
dAsin
d d A cA s o i s d n sA i c n o 0

《材料力学》第四章扭转

第四章扭转§4—1 工程实例、概念一、工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。

2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。

3、机器中的传动轴工作时受扭。

4、钻井中的钻杆工作时受扭。

二、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直杆的轴线。

变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。

轴：主要发生扭转变形的杆。

§4—2 外力偶矩、扭矩一、外力：m （外力偶矩）1、已知：功率 P 千瓦(KW ），转速 n 转／分(r ／min ； rpm)。

外力偶矩：m)(N 9549⋅=nPm 2、已知：功率 P 马力(Ps)，转速 n 转／分(r ／min ；rpm)。

外力偶矩：m)(N 7024⋅=nPm 二、内力：T （扭矩） 1、内力的大小：（截面法）mT m T mx==-=∑002、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。

（右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。

）3、注意的问题：（1）、截开面上设正值的扭矩方向；（2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。

4、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。

作法：同轴力图：§4—3 薄壁圆筒的扭转一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚0101r t ≤,0r ：为平均半径）实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。

1、实验：2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。

纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。

3、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量。

4、定性分析横截面上的应力(1) 00=∴=σε ；（2）00≠∴≠τγ因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。

⑶ 因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布,而且方向垂直于其半径方向。

材料力学：第四章扭转

回顾: 极惯性矩、抗扭截面系数的计算
抗扭截面系数极惯性矩
薄壁圆管扭转切应力
回顾: 圆轴扭转强度条件 & 应力计算公式
薄壁圆管扭转切应力
圆轴扭转强度条件
max
[ ] u
n
扭转极限应力τu =
扭转屈服应力ts (塑性材料) 扭转强度极限tb (脆性材料)
§5 圆轴扭转变形与刚度计算
单辉祖：材料力学Ⅰ
14
例题
例 2-1 MA=76 Nm, MB=191 Nm, MC=115 Nm, 画扭矩图解：用截断法,列力偶
矩平衡方程,和x轴正向相同者取正 (1) 1-1截面
单辉祖：材料力学Ⅰ
(2) 2-2截面 T2 MC 115 N m
(3) 画扭矩图
15
§3 圆轴扭转横截面上的应力
单辉祖：材料力学Ⅰ
64
薄壁杆扭转
开口与闭口薄壁杆
截面中心线
－截面壁厚平分线
薄壁杆
－壁厚<<截面中心线长度的杆件
闭口薄壁杆
－截面中心线为封闭曲线的薄壁杆
开口薄壁杆
－截面中心线为非封闭曲线的薄壁杆
单辉祖：材料力学Ⅰ
65
闭口薄壁杆扭转应力与变形
假设切应力沿壁厚均匀分布, 并平行于中心线切线应力公式
单辉祖：材料力学Ⅰ
62
例题
例 7-1 试比较闭口与开口薄壁圆管的抗扭性能,设 R0＝20d
解：1. 闭口薄壁圆管
2. 开口薄壁圆管
3. 抗扭性能比较
单辉祖：材料力闭学Ⅰ口薄壁杆的抗扭性能远比开口薄壁杆好
63
§8 薄壁杆扭转
开口与闭口薄壁杆闭口薄壁杆扭转应力与变形开口薄壁杆扭转简介薄壁杆合理截面形状例题

材料力学扭转教学课件PPT

200 kW。试做轴力图。
(a)
P2
P3
P1
n
P4
B
C
D
A
例题3-2图
m P2 2
m P3 3
P1
m1
m n
4 P4
B
C
D
A
m2
m3
m1
m4
(b)
B
C
A
D
解:1.计算外力偶矩
m1
m2
9.55 P1 15.9kN .m
m3
n
9.55
P2
n
4.78kN
.m
m4
9.55 P4 n
6.37kN .m
2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图
§3.1 扭转的概念和实例
➢ 扭转变形 ——作用在垂直于杆件轴线的平面内的力偶矩，使得杆件的任意两个横截面都发生了绕轴线的相对转动。
➢ 扭转变形杆件的内力 ——扭矩（T ）
➢ 轴 ——主要承受扭矩的构件
m A'
g
A
m B j B'
扭转的受力特征：在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
dA
O r
dA
dA
O
A
G 2
dj
dx
dA
G
dj
dx
A
2dA
T
GI p
dj
dx
令 Ip A 2dA
dj
dx
T GI p
代入物理关系式
G
dj
dx
得：
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。

材料力学课件第四章扭转

4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
17
Ip A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
一、传动轴的外力偶矩传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m
9.55
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.024
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.121
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（HP） n — 转速，转/分（rpm）
22
[例2]有一阶梯形圆轴，如图(a)所示轴的直径分别d为1 50mm,d2 80mm 。扭转力偶矩分别为 Me1 0.8kN m ，Me2 1.2kN m ，M e3 2kN m。若材料的许用切应力 [ ] 40MPa ，试校核该轴的强度。
解：方法一（理论计算法）用截面法求出圆轴各段的扭矩，如图(b)所示。由扭矩图可见，CD段和DB段的直径相同，但DB段的扭矩大于CD段，故这两段只要校核DB段的强度即可。AC段的扭矩虽然也小于DB段，但其直径也比DB段小，故AC段的强度也需要校核。
2GI p
W
U ;
64PR3n Gd 4
P K
;
K
Gd 4 64R3n
为弹簧常数。
36
[例3] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm，问：弹簧至少应有几圈？

材料力学扭转

dx

c
x
它们组成的力偶，其矩为
(dxdy )dz
z
(dxdy )dz
y

此力偶矩与前一力偶矩
dy
d
a

b
( dy dz) dx 数量相等而转向相反，从而可得 z

dx

c
x

剪应力互等定理：
单元体两个相互垂直平面上
a
dy
y

b
d
的剪应力同时存在，且大小
相等，都指相（或背离）该
y

程中，认为上，下两面上的外
a
'
d

x
力将不作功。只有右侧面的外力 (dydz) 对相应的位移 dx 作
z
b dx
dx

了功。
当材料在线弹性范围内内工作时，
y
上述力与位移成正比，因此，单
元体上外力所作的功为
1 2 1 2
z a

'
d

x
dW
( dydz)( dx)
( dxdydz)

M GI
e P

r

o

dA

M I
e p

上式为圆轴在扭转时横截面上任一点处的剪应力计算公式

M I
e p

式中：Me 为横截面上的扭矩；为求应力的点到圆心的距离：
I p A dA
2
称为横截面对圆心的极惯性矩

说明：
M n I
p
max
Mn

材料力学 (扭转)(四章圆轴扭转时的强度与刚度计算)

Mx 0: T1 MA 0
C
T1 MA 7.03KN.m
22
Mx 0: -T2 MC 0
T2 MC 2.32KN.m
X
(4)讨论现在的设计是否合理。
若将A轮与B轮调换， X 则扭矩图如下：
可见轴内的最大扭矩值减小了。10
T(KN.M)
§3.2 薄壁圆筒扭转
在圆筒表面画上许多纵向线与圆周线,形成许多小方格.
G
剪切胡克定律
Ｇ－剪切弹性模量
G E
2(1 )
2021/8/19
17
圆轴扭转时的应力和变形
根据观察到的现象，经过推理，得出关于圆轴扭转的基本假设。
m
m
圆轴扭转变形前的横截面，变形后仍保持为平面，
形状和大小不变。且相邻两截面间的距离不变。这就是圆轴扭转的平面假设。
2021/8/19
18
二. 应力在横截面上的分布
2
而象电动机的主轴，水轮机的主轴也承受扭转作用，但这些零件除扭转变形外，还伴随有其它形式的变形，属于组合变形。
• 以扭转变形为主要变形形式的构件通常称为轴。 • 工程上应用最广的多为圆截面轴，即圆轴。
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3
• 扭转受力的特点是：
• 在构件的两端作用两个大小相等、方向相反且作用面垂直于构件轴线的力偶矩。致使构件的任意两个截面都发生绕构件轴线的相对转动，这种形式的变形即为扭转变形。
在转矩m作用下，发现圆周线相对地旋转了一个角度，但大小、形状和相邻两圆周线的距离不变。
表明，在圆筒的横截面上没有正应力和径向剪应力。
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设圆筒平均半径为r，筒壁厚度为t
因圆筒壁厚很小，可认为剪应力沿

材料力学课件第四章扭转

3）结论：
①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。 ②各纵向线均倾斜了同一微小角度。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
第四章
扭转
取微端变形
第四章
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力
扭转
´
a

b

dy
②横截面上各点处，只产生垂
直于半径的均匀分布的剪应力，沿周向大小不变，方向与该截面的
第四章
扭转
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这
种应力状态称为纯剪切应力状态。
3.剪切虎克定律：
第四章
T=m
扭转

T ( 2 A 0t)

( L ) R

剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
第四章
扭转
G
功率角速度
每分钟的转数
时间
60103 P( KW ) P M 9549 ( N m) 2n(r / min) n
第四章
3.扭矩及扭矩图
扭转
（1）扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记“T”。（2）截面法求扭矩
m
x
0
m m
T m 0 T m
（3）扭矩的符号规定：
P2 150 m2 m3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300 P4 200 m4 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300
第四章
②求扭矩（扭矩按正方向设）
扭转
m2 1 m3 2 m1 3 m4

材料力学课件(路桥)第4章扭转

计算过程中需要考虑材料的弹性模量、泊松比、剪切模量等参数，以及结构的几何尺寸和边界条件。
强度条件的工程意义
满足强度条件是保证路桥工程安全性和稳定性的基础。
通过满足强度条件，可以防止桥梁结构在承受外力矩和扭矩时发生破坏或过度
变形。
在路桥工程的设计、施工和运营过程中，需要定期进行检测和维护，以确保结
扭矩的量纲
扭矩的量纲是力和长度（L）的乘积，表示为ML^2。
量纲是描述物理量本质属性的方式，通过量纲可以判断物理量的性质和相互关系。
03
扭转的应力分析
切应力与剪切应变的关系
切应力与剪切应变的关系是线性的，即剪切应变与切应力成正比。
在剪切弹性范围内，切应力与剪切应变之间的关系可以用剪切弹性模量来描述。
扭转过程中，杆件上各点的角位移和剪切变形程度不同，导致杆件横截面绕其自身轴线发生转动。
扭转的物理现象
01
杆件在扭转时，横截面上的正应力分布不均匀，呈现出剪切变形的特点。
02
杆件上各点的剪切变形程度与该点到轴线的距离成正比，导致横截面上的切向力分布不均匀。
扭转的分类
根据杆件上所受外力矩的方向，扭转可分为左旋和右旋两种类型
构的强度和稳定性。
05
扭转的刚度条件
刚度条件的定义
刚度条件是指在材料力学中，杆件在受到扭矩作用时，其横截面上的剪切应力和剪切变形之间的关系。
刚度条件是材料力学中一个重要的基本概念，它描述了杆件在扭矩作用下抵抗变形的能力。
刚度条件的计算方法
根据材料力学的基本理论，刚度条件可以通过杆件的剪切弹性模量和剪切应变来计算。
材料力学课件(路桥)第4章扭转
目录 CONTENTS

第四章：扭转

2 2
64.22
45.02
0.611
A1
d12
58.62
小结在最大切应力相同的情况下，空心轴所用的材料是实心轴的
61.1%，自重也减轻了 38.9%。其原因是：圆轴扭转时，横截面上应力
呈线性分布，越接近截面中心，应力越小，此处的材料就没有充分发挥作用。做成空心轴，使得截面中心处的材料安置到轴的外缘，材料得到了充分利用，而且也减轻了构件的自重。但空心轴的制造要困难些，故应综合考虑。
解：1）用截面法求各段扭矩 AB 段：
1
2
T1 MA 900 N m
BC 段：
T
T2 M c 600 N m
600Nm
画出扭矩图如图所示
900Nm
第五节：圆轴扭转时的变形
AB 截面极惯性矩
I P1
πd14 32
BC 截面极惯性矩
2）C 截面相对于 A 截面的转角
IP2
πd
4 2
32
第一节：扭转的概念
扭转：是杆的又一种基本变形形式。其受力特点是：构件两端受到两个作用面与杆的轴线垂直的、大小相等的、转向相反的力偶矩作用，使杆件的横截面绕轴线发生相对转动。
扭转角：任意两横截面间的相对角位移。如图所示的 φ 角。
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如钻探机的钻杆，电动机的主轴及机器的传动轴等。
叠加原理
CA CB BA
AB 段：
BA =
T1l1 GI P1
×
1800
=-0.8110
BC 段：
CB =
T2l2 GI P2
×
1800
=0.9810
CA CB BA 0.9810 (0.8110 ) 0.17 0

材料力学课件-第四章扭转-薄壁杆件的扭转

部分加厚由于最小壁厚不变，最大应力不变。部分加厚后甚至由于应力集中更危险。
例2：某等壁厚d闭口薄壁杆受扭矩T，中心线周长S，轴的最大扭转切应力与扭转变形:(1)在 S/2中心线长度上壁厚增加一倍到2d；(2)在很小的局部受损伤壁厚减薄到d/2。
解：(2)第2种情形
局部减薄对积分值影响甚微，可以忽略不计。
最大应力增加一倍。
定性研究结论：强度是局部量，刚度是整体量。
例3：比较扭转切应力与扭转变形
解：
R0
R0
比较
（1）闭口薄壁圆管
（2）开口薄壁圆管
(狭长矩形)
作业 4-22 4-27 4-35 4-36
谢谢
薄壁圆管
思考：公式的精度？
在线弹性情况下，精确解为
思考：公式（1）和（2）的适用范围？
(1)
(2)
误差
T
dx
a
b
c
d
二、闭口薄壁杆的扭转变形
dx
ds
分析方法讨论:
由静力学、几何和物理三方面求解所遇到的困难：几何形状复杂。
新方法探索：
尝试能量法。
一未知量
无未知量
问题可解
二、闭口薄壁杆的扭转变形
假设：切应力沿壁厚均匀分布，其方向平行于中心线假设依据：
T
dx
a
b
c
d
a
b
c
d
2
1
dx
1
1
2
2
薄，切应力互等定理
利用切应力互等定理，转化为研究纵向截面切应力，利用平衡方程求解.
截面中心线所围面积的2倍
思考：O点位置可否任选，如截面外？
ds
o
ds

材料力学课件：7_第四章_扭转

第四章 扭转(张新占主编 材料力学)

材料力学4.

7材料力学课件(刘鸿文)

材料力学第四章 扭转

材料力学 第4章_扭转

材料力学课件——扭转的强度与刚度计算

材料力学第4章扭转变形

材料力学-第4章 扭转 ppt课件

材料力学第四章 扭转

《材料力学》第四章 扭转

材料力学：第四章 扭转

材料力学扭转教学课件PPT

材料力学课件 第四章扭转

材料力学扭转

材料力学 (扭转)(四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算)

材料力学课件 第四章 扭 转

材料力学课件(路桥)第4章扭转

第四章：扭转

材料力学课件-第四章 扭转-薄壁杆件的扭转

第四章扭转(张新占主编材料力学)

材料力学第四章扭转

材料力学第4章_扭转

材料力学-第4章扭转 ppt课件

材料力学第四章扭转

《材料力学》第四章扭转

材料力学：第四章扭转

材料力学课件第四章扭转

材料力学 (扭转)(四章圆轴扭转时的强度与刚度计算)

材料力学课件第四章扭转

材料力学课件-第四章扭转-薄壁杆件的扭转