《解直角三角形》章节测试题
沪科版九年级数学上册《第二十三章解直角三角形》单元测试卷-附答案
沪科版九年级数学上册《第二十三章解直角三角形》单元测试卷-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________(满分150分，限时120分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1.(2023安徽淮南模拟)如果Rt△ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A 的正弦值、余弦值()A.都扩大为原来的3倍B.都缩小为原来的13C.没有变化D.不能确定2.(2023安徽宿州埇桥期末)三角函数sin 30°、cos 16°、cos 43°之间的大小关系是()A.cos 43°>cos 16°>sin 30°B.cos 16°>sin 30°>cos 43°C.cos 16°>cos 43°>sin 30°D.cos 43°>sin 30°>cos 16°3.(2023安徽巢湖三中月考)若sin(70°-α)=cos 50°，则锐角α的度数是()A.50°B.40°C.30°D.20°4.在△ABC中，∠C=90°，tan A=2，则cos A的值为()A.√55B.2√55C.12D.25.(2023安徽阜阳质检)下列运算中，值为14的是() A.sin 45°×cos 45° B.tan 45°-cos230°C.tan30°cos60°D.(tan 60°)-16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=β，CD⊥AB，垂足为D，那么下列线段的比值不一定等于sin β的是()A.ADBD B.ACABC.ADACD.CDBC7.(2023安徽池州月考)如图，将△ABC放在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A的值是()A.√55B.12C.2D.√1058.【新考法】一配电房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知AB=3 m，∠ABC=α，则房顶A离地面EF的高度为()A.(4+3sin α)mB.(4+3tan α)mC.(4+3sinα)m D.(4+3tanα)m9.(2023安徽合肥庐江期末)如图，在△ABC中，sin B=12，AB=8，AC=5，且∠C 为锐角，cos C的值是()A.35B.45C.√32D.3410.【新情境·双翼闸机】下图是一个地铁站入口的双翼闸机示意图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12 cm，双翼的边缘AC=BD=64 cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A.76 cmB.(64√2+12)cmC.(64√3+12)cmD.64 cm二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11.如果tan α=1，那么锐角α=度.12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BC=6，AC=8，设∠BCD=α，则tan α=.13.如图，已知tan O=4，点P在边OA上，OP=5，点M、N在边OB上，PM=PN，3如果MN=2，那么PM=.，BC=12，D是AB的中点，过点B 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，cos A=35作线段CD的垂线，交CD的延长线于点E.(1)线段CD的长为;(2)cos∠DBE的值为.三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15.计算:2cos 30°-tan 260°3tan45°+√(sin60°−1)2.16.(2023广西梧州模拟)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，某数学兴趣小组在尝试计算tan 15°时，采用以下方法:如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°，∠ABC =30°，延长CB 使BD =AB ，连接AD ，得∠D =15°，设AC =1，则AB =2，BC =√3，所以tan 15°=ACCD =2+√3=√3(2+√3)×(2−√3)=2-√3，类比这种方法，计算tan 22.5°的值(画出计算所需图形，并用文字、计算说明).四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17.(2021广东潮州中考)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE=AB.(1)若AE=1，求△ABD的周长;BD，求tan∠ABC的值.(2)若AD=1318.(2023安徽合肥瑶海期末)有一架长为6米的梯子AB，将它的上端A靠着墙面，下端B放在地面上，梯子与地面所成的角记为α，地面与墙面互相垂直(如图1所示).一般满足50°≤α≤75°时，人才能安全地使用这架梯子.(1)当梯子底端B距离墙面2.5米时，人是否能安全地使用这架梯子?(2)当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处(如图2所示)，此时人是否能安全地使用这架梯子?请说明理由.(参考数据:sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26)五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19.如图，数学兴趣小组成员在热气球A上看到横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75米，又知此时地面气温为20 ℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6 ℃，试求此时热气球(体积忽略不计)附近的温度.(参考数据:sin53°≈45,cos53°≈3 5,tan53°≈43)20.【方程思想】李老师给班级布置了一个实践活动，测量某广场纪念碑的高度，使用卷尺和测角仪测量.如图，纪念碑设在1.2 m的石台上，他们先在点B处测得纪念碑最高点A的仰角为22°，然后沿水平方向前进21 m，到达点N处，在点C 处测得点A的仰角为45°，BM=CN=1.7 m，求纪念碑的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据:sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93tan 22°≈0.40，√2≈1.41)六、(本题满分12分)21.【主题教育·生命安全与健康】某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门，如图，已知测温门AD的顶部A距地面2.2 m.某数学兴趣小组为了解测温门的有效测温区间，做了如下实践:身高为1.6 m的组员在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为20°，在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°.求有效测温区间MN的长度.(参考数据:sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，√3≈1.73，额头到地面的距离以身高计，计算结果精确到0.1 m)七、(本题满分12分)22.如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1∶√3，AB=16米，AE=24米.(1)求点B距水平面AE的高度BH;(2)求广告牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据:√2≈1.414，√3≈1.732)八、(本题满分14分)23.(2022四川自贡中考)某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下:(1)[探究原理]制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G.测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合(如图①)，绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线(如图②)，此时目标P的仰角∠POC=∠GON.请说明这两个角相等的理由;(2)[实地测量]如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P 的仰角∠POQ=60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH;(√3≈1.73，结果精确到0.1米)(3)[拓展探究]公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P 距地面的高度PH (如图④)，同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E 、F (E 、F 、H 在同一直线上)，分别测得点P 的仰角为α、β，再测得E 、F 间的距离为m 米，点O 1、O 2到地面的距离O 1E 、O 2F 均为1.5米.求PH (用α、β、m 表示).参考答案与解析1.C Rt △ABC 的各边长都扩大为原来的3倍后，所得的三角形与Rt △ABC 是相似的，∴锐角A 的大小是不变的，∴锐角A 的正弦值、余弦值没有变化.2.C ∵sin 30°=cos 60°，16°<43°<60°，余弦值随着角度的增大而减小，∴cos 16°>cos 43°>sin 30°.3.C ∵sin(70°-α)=cos 50°，∴70°-α+50°=90°，解得α=30°.故选C.4.A 在△ABC 中，∠C =90°，设∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，因为tan A =ab =2，所以a =2b ，由勾股定理得c =√a 2+b 2=√5b所以cos A =bc =√5b =√55.5.Bsin 45°×cos 45°=√22×√22=12，故A 不符合题意;tan 45°-cos 230°=1-(√32)2=1-34=14，故B 符合题意;tan30°cos60°=√3312=23√3，故C 不符合题意;(tan 60°)-1=(√3)-1=√33，故D 不符合题意. 6.AAD BD不一定等于sin β，故A 符合题意;∵△ABC 是直角三角形，∴sin β=AC AB，故B 不符合题意; ∵CD ⊥AB ，∠ACB =90°，∴∠ACD +∠A =∠B +∠A =90°∴∠ACD =∠B ，∴sin β=ADAC，故C 不符合题意;∵△BCD 是直角三角形，∴sin β=CDBC，故D 不符合题意.7.B 如图，取格点D ，连接BD由题意得AD 2=22+22=8，BD 2=12+12=2，AB 2=12+32=10，∴AD 2+BD 2=AB 2 ∴△ABD 是直角三角形，∴∠ADB =90°，在Rt △ABD 中 AD =2√2，BD =√2，∴tan A =BDAD =√22√2=12. 8.A 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，如图∵AD ⊥BC ，∠ABC =α，∴sin α=AD AB=AD3，∴AD =3sin α m ，∴房顶A 离地面EF 的高度=AD +BE =(4+3sin α)m .9.A 如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D∴∠ADB =∠ADC =90°在Rt △ABD 中，sin B =12，AB =8，∴AD =AB ·sin B =8×12=4在Rt △ADC 中，AC =5，∴CD =√AC 2−AD 2=√52−42=3，∴cos C =CD AC =35.10.A 如图所示，过A 作AE ⊥CP 于E ，过B 作BF ⊥DQ 于F ，在Rt △ACE 中，AE =12AC =12×64=32(cm)，同理可得BF =32 cm ，∵点A 与B 之间的距离为12 cm ，∴通过闸机的物体的最大宽度为32+12+32=76(cm).11.45解析 ∵tan α=1，∴锐角α=45度. 12.34解析 ∵CD ⊥AB ，∠ACB =90°，∴∠α+∠B =∠A +∠B =90°，∴∠α=∠A ∴tan α=tan A =68=34.13.√17解析 如图，过P 作PD ⊥OB ，交OB 于点D∵tan O =PD OD =43，∴设PD =4x ，则OD =3x∵OP =5，由勾股定理得(3x )2+(4x )2=52，∴x =1(已舍负)，∴PD =4 ∵PM =PN ，PD ⊥OB ，MN =2，∴MD =ND =12MN =1在Rt △PMD 中，由勾股定理得PM =√MD 2+PD 2=√17. 14.(1)152(2)2425解析 (1)在Rt △ABC 中，cos A =AC AB =35∴设AC =3x ，则AB =5x ，∴BC =√AB 2−AC 2=√(5x)2−(3x)2=4x ∵BC =12，∴4x =12，∴x =3，∴AB =15，AC =9，∵D 是AB 的中点 ∴CD =12AB =152.(2)∵∠ACB =90°，D 是AB 的中点，∴△CBD 的面积=12×△ABC 的面积，∴12CD ·BE =12×12AC ·BC ，∴152BE =12×9×12，∴BE =365，在Rt △BDE 中cos ∠DBE =BE BD=365152=2425.15.解析原式=2×√32-(√3)23×1+1-√32=√3-1+1-√32=√32. 16.解析 如图，在等腰直角△ABC 中，∠C =90°，延长CB 至点D ，使得AB =BD ，则∠BAD =∠D.∵∠ABC =45°=∠BAD +∠D =2∠D ，∴∠D =22.5° 设AC =1，则BC =1，AB =√2AC =√2 ∴CD =CB +BD =CB +AB =1+√2 ∴tan 22.5°=tan D =ACCD =1+√2=√2−1(1+√2)×(√2−1)=√2-1.17.解析 (1)如图，连接BD ，设BC 的垂直平分线交BC 于点F ，∴BD =CD ∴C △ABD =AB +AD +BD =AB +AD +DC =AB +AC. ∵AB =CE ，∴C △ABD =AC +CE =AE =1 故△ABD 的周长为1.(2)设AD =x ，∴BD =3x.∵BD=CD，∴AC=AD+CD=4x在Rt△ABD中，AB=√BD2−AD2=√(3x)2−x2=2√2x∴tan∠ABC=ACAB =2√2x=√2.18.解析(1)在Rt△AOB中，cos α=OBAB∴OB=AB·cos α当α=50°时，OB=AB·cos α≈6×0.64=3.84当α=75°时，OB=AB·cos α≈6×0.26=1.56.∵1.56<2.5<3.84∴此时人能安全地使用这架梯子.(2)此时人不能安全地使用这架梯子.理由如下:当∠ABO=75°时∵sin∠ABO=AOAB∴AO=AB·sin 75°≈6×0.97=5.82(米)∵梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点∴OD=AO-AD=5.82-1.5=4.32(米).当∠ABO=50°时∵sin∠ABO=AOAB∴AO=AB·sin∠ABO≈6×0.77=4.62(米)∵4.32<4.62∴此时人不能安全地使用这架梯子.19.解析过A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，如图所示则∠ACD=45°，∠ABD=53°，在Rt△ACD中，tan∠ACD=ADCD∴CD=ADtan45°=AD1=AD在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD ，∴BD=ADtan53°≈AD43=34AD由题意得AD-34AD=75，∴AD=300 m，∵此时地面气温为20 ℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6 ℃，∴此时热气球(体积忽略不计)附近的温度约为20-300100×0.6=18.2(℃).答:此时热气球(体积忽略不计)附近的温度约为18.2 ℃.20.解析延长BC交AF于E，延长AF交MN的延长线于D，如图则四边形BMNC、四边形BMDE是矩形∴BC=MN=21 m，DE=CN=BM=1.7 m∵∠AEC=90°，∠ACE=45°∴△ACE是等腰直角三角形∴CE=AE设AE=CE=x m∴BE=(21+x)m∵∠ABE=22°∴tan 22°=AE BE =x21+x≈0.40，解得x =14∴AE =14 m∴AD =AE +ED =14+1.7=15.7(m) ∴纪念碑的高度=15.7-1.2=14.5(m). 答:纪念碑的高度约为14.5 m . 21.解析 延长BC 交AD 于点E则DE =CM =BN =1.6 m ，BC =MN ，∠AEB =90° ∵AD =2.2 m∴AE =AD -DE =2.2-1.6=0.6(m) 在Rt △ACE 中，∠ACE =60° ∴CE =AE tan60°=√3≈0.35(m)在Rt △ABE 中，∠ABE =20° ∴BE =AE tan20°≈0.60.36≈1.67(m)∴MN =BC =BE -CE =1.67-0.35=1.32(m) ∴有效测温区间MN 的长度约为1.32 m .22.解析 (1)Rt △ABH 中，tan ∠BAH =√3=√33 ∴∠BAH =30°，∴BH =12AB =8米.(2)如图，过B 作BG ⊥DE 于G 由(1)得BH =8米，易得AH =8√3米∴BG=HE=AH+AE=(8√3+24)米，在Rt△BGC中，∠CBG=45°∴CG=BG=(8√3+24)米.在Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=24米，∴DE=√3AE=24√3米.∴CD=CG+GE-DE=8√3+24+8-24√3=32-16√3≈4.3(米).答:广告牌CD的高约为4.3米.23.解析(1)∵∠COG=90°，∠AON=90°∴∠POC+∠CON=∠GON+∠CON∴∠POC=∠GON.(2)由题意可得KH=OQ=5米，QH=OK=1.5米，∠PQO=90°，∠POQ=60°在Rt△PQO中，tan∠POQ=PQOQ∴tan 60°=PQ5∴PQ=5√3米∴PH=PQ+QH=5√3+1.5≈10.2(米)即树高PH约为10.2米.(3)由题意可得O1O2=m米，O1E=O2F=DH=1.5米，tan β=PDO2D ，tan α=PDO1D∴O2D=PDtanβ，O1D=PDtanα∵O1O2=O2D-O1D，∴m=PDtanβ-PD tanα∴PD=mtanα·tanβtanα−tanβ米，∴PH=PD+DH=(mtanα·tanβtanα−tanβ+1.5)米。
九年级数学下册第一章《解直角三角形》单元测试题-浙教版(含答案)
九年级数学下册第一章《解直角三角形》单元测试题-浙教版（含答案）一、单选题1．已知α是锐角，若sinα=12，则α的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．如图，在Rt△ABC中，△A＝90°，AB＝8，BC＝10，则cosB的值是（）A．34B．43C．35D．453．如图，滑雪场有一坡角为20°的滑道，滑雪道的长AC为100米，则BC的长为（）米．A．100cos20°B．100cos20°C．100sin20°D．100sin20°4．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：√2，坝高BC=4m，则AB的长度为（）A．2√6m B．4√2m C．4√3m D．6m5．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（）A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定6．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为a，AC=7米，则树高BC为（）A ．7sina 米B ．7cosa 米C ．7tana 米D ．7tana米 7．如图，在Rt△ABC 中，△C=90°，AB=13，AC=12，则△A 的正弦值为（ ）A ．512B ．1213C ．125D ．5138．如图，AB 是△O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知cos△CDB ＝45，BD ＝5，则OH 的长为（ ）A ．23B ．56C ．1D ．769．如图是大坝的横断面，斜坡AB 的坡度 i 1 =1：2，背水坡CD 的坡度i 2=1：1，若坡面CD 的长度为6√2 米，则斜坡AB 的长度为（ ）A ．4√3B ．6√3C ．6√5D ．2410．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC 于点D.设BD ＝x ，tan△ACB ＝y ，则x 与y 满足关系式（ ）A ．x ﹣y 2＝3B ．2x ﹣y 2＝6C ．3x ﹣y 2＝9D ．4x ﹣y 2＝12二、填空题11．若cosα=0.5，则锐角α为 度．12．计算： |√3−2|+(12)−1+2sin60°= . 13．如图，在一次测绘活动中，小华同学站在点A 的位置观测停泊于B 、C 两处的小船，测得船B 在点A 北偏东75°方向900米处，船C 在点A 南偏东15°方向1200米处，则船B 与船C 之间的距离为 米．14．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是边CD 上的一动点，EF△BP 交BP 于G ，且EF 平分正方形ABCD 的面积，则线段GC 的最小值是 .三、计算题15．计算： |−5|+sin30∘−(π−1)016．计算： √8−4cos45°+(12)−1+|−2| 17．观察下列等式：①sin30°= 12 ，cos60°= 12； ②sin45°= √22 ，cos45°= √22； ③sin60°= √32 ，cos30°= √32． （1）根据上述规律，计算sin 2α+sin 2（90°﹣α）= ．（2）计算：sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°．18．（1）√18 + |−√2| -（2012﹣π）0-4sin45°（2）解方程：x 2-10x ＋9＝0．四、解答题19．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）20．如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．21．已知sinα+cosα=1713，且0°＜α＜45°，求sinα的值．22．已知：在Rt△ABC 中，△C=90°，sinA=23，AC=10，求△ABC的面积。
第23章 解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)
第23章解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，A点坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，=75°，则b的值为（）A.3B.C.4D.2、如图，要测量河两相对的两点P、A之间的距离，可以在AP的垂线PB上取点C，测得PC＝100米，用测角仪测得∠ACP＝40°，则AP的长为（）A.100sin40°米B.100tan40°米C. 米D. 米3、某公司要在如图所示的五角星（∠A=∠D=∠H=∠G=∠E=36°，AB=AC=CE=EF=FG=GI=HI=HK=DK=DB）中，沿边每隔25厘米装一盏闪光灯，若BC=（﹣1）米，则需要安装闪光灯（）A.79盏B.80盏C.81盏D.82盏4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，下列结论正确的是（）A.sinA=B.tanA=C.cosB=D.tanB=5、△ABC在网络中的位置如图所示，则cos∠ACB的值为（）A. B. C. D.6、如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点，点的对应点为点，连接、、与交于点，与交于点，若点为中点，，，则的长为（）A. B. C. D.7、已知a=3，且（4tan 45°-b）2+，以a，b，c为边组成的三角形面积等于（）A.6B.7C.8D.98、如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AC=4，BD=2，则∠1的余弦值为（）A. B. C. D.9、如图，一个梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是2米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离（BC的长）为（）A. 米B. 米C. 米D. 米10、如图，在等腰中，，, 是上一点．若，那么的长为（）A.2B.C.D.111、如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A，D分别落在点A'，D'处，且A'D'经过点B，EF为折痕，当D'F⊥CD时，的值为（）A. B.C.D.12、在Rt△ABC,∠C=90°,AC=12,BC=5,则sinA的值为( )A. B. C. D.13、如图，在正方形网格中，∠1、∠2、∠3的大小关系（）A.∠1=∠2=∠3B.∠1＜∠2＜∠3C.∠1=∠2＞∠3D.∠1＜∠2=∠314、如图，修建抽水站时，沿着坡度为i=1:6的斜坡铺设管道. 下列等式成立的是（）A.sinα =B.cosα=C.tanα=D.tanα=215、如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A. 8tan20°B.6cos15°C.8tan15°D.6cot15°二、填空题(共10题，共计30分)16、用科学计算器计算：8cos31°+=________17、如图，点A、点B是双曲线y＝上的两点，OA＝OB＝6，sin∠AOB＝，则k＝________.18、如图，将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：BC＝4：5，则tan∠CFD＝________.19、实数tan45°，，0，﹣π，﹣，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是________个．20、如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD＝20m，则甲楼的高AB的高度是________m.（结果保留根号）21、如图，在△ABC中，CA =3， CB=4，AB= 5，点D是BC的中点，将△ABC沿着直线EF 折叠，使点A与点D重合，折痕交AB于点E，交AC于点F，那么sin ∠BED的值为________.22、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC= ∠BAC，则tan∠BPC=________．23、计算：2sin60°+tan45°=________24、如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）25、计算：3tan30°+sin45°=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：﹣4 ﹣tan60°+| ﹣2|．27、如图，某公司入口处有一斜坡AB，坡角为12°，AB的长为3m，施工队准备将斜坡修成三级台阶，台阶高度均为hcm，深度均为30cm，设台阶的起点为C．（1）求AC的长度；（2）求每级台阶的高度h．（参考数据：sin12°≈0.2079，cos12°≈0.9781，tan12°≈0.2126．结果都精确到0.1cm）28、先化简，再求值：，其中a=2sin45°﹣tan30°，b=tan45°．29、如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶宽5米，CD的长为20 米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5（i为坡比即BE：AE），斜坡CD的坡度i＝1：2（i为坡比即CF：FD），求坝底宽AD的长．30、如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏东70o方向上，轮船从A处以每小时30海里的速度沿南偏东50o方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时观测灯塔C位于北偏东25o 方向上，求灯塔C与码头B之间的距离(结果保留根号)．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、B3、B4、D5、B6、A7、A8、D9、A11、A12、D13、D14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、。
解直角三角形测试题及答案
《解直角三角形》整章测试【1】一、选择题（每小题3分，共24分）1.在Rt △ABC 中， ∠C=90︒，AB=4，AC=1，则cos A 的值是（ ）（A ）154(B)14(C)15 (D)４2.计算：2)130(tan -︒＝（ ）(Ａ)331-(B)13- (Ｃ)133-（D ）１－3 3.在ABC ∆中，,A B ∠∠都是锐角，且sinA ＝21， cosB ＝23，则ABC ∆的形状（ ） （A ）直角三角形（B ）钝角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）不能确定4.如图，在Rt ABC △中，3tan 2B =，23BC =，则AC 等于（ ）（A ）3（B ）4（C ）43（D ）65.如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的 眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） (A)（53332+）m (B)（3532+）m (C)533m (D)4m 6．因为1sin 302=，1sin 2102=-， 所以sin 210sin(18030)sin 30=+=-；因为2sin 452=，2sin 2252=-，所以sin 225sin(18045)sin 45=+=-，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-，由此可知：sin 240=（ ）（A ）12-(B)22-(C)32- (D)3-7．如图，客轮在海上以30km/h 的速度由B 向C 航行，在B 处测得 灯塔A 的方位角为北偏东80，测得C 处的方位角为南偏东25，航 行1小时后到达C 处，在C 处测得A 的方位角为北偏东20，则C 到A 的距离是（ ）(A)156km(B)152km (C)15(62)+km(D)5(632)+km北东ABC8.如图，在Rt ABC △中，906cm A AC ∠==，，8cm AB =，把AB 边翻折，使AB 边落在BC 边上，点A 落在点E 处，折痕为BD ，则sin DBE ∠的值为（）(A)13(B)310(C)37373(D)1010二、填空题（每小题3分，共24分） 9．计算sin 60tan 45cos30-的值是．10. 用“>”或“<”号填空：1sin 50cos 402-0．（可用计算器计算） 11.在Rt ABC △中，90C ∠=，:3:4BC AC =，则cos A =． 12．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC =3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子AB 的长度为米．13.如图，一轮船由南向北航行到O 处时，发现与轮船相距40海里的A 岛在北偏东33方向．已知A 岛周围20海里水域有暗礁， 如果不改变航向，轮船（填“有”或“没有”）触暗礁 的危险．（可使用科学计算器）14. 如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE=6cm ，3sin 5A =，则菱形ABCD 的面积是__________2cm ． 15.根据指令[s,A]（s ≥0,0°≤A ＜360°）机器人在平面上能完成如下动作：先在原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离s ．现在机器人在平面直角坐标系的原点，且面对y 轴的负方向，为使其移动到点（－3，3），应下的指令是．16. 有古诗“葭生池中”今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问： 水深、葭长各几何？（1丈=10尺）回答：水深，葭长. 17.（本题8分）计算：242(2cos 45sin 60)4︒-︒+． 18.（本题10分）某校数学兴趣小组在测量一座池塘边上A B ，两点间的距离时用了以下三种测量方法，如下图所示．图中a b c ，，表示长度，β表示角度．请你分别求出AB 的长度（用含有a b c β，，，字母的式子表示）．（1）______AB = （2）______AB = （3）______AB =19.（本题10分）小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ，请你帮小强计算这块菜地的面积（结果保留根号）． 20.（本题12分）海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由． （1A C B a b（2AC B a β （3AC B aD Ec b A BCD EA BC21.（本题12分）如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．（1）求B，D之间的距离；（2）求C，D之间的距离．四、附加题（本题20分）22.现代家居设计的“推拉式”钢窗，运用了轨道滑行技术，纱窗装卸时利用了平行四边形的不稳定性，操作步骤如下：（1）将矩形纱窗转化成平行四边形纱窗后，纱窗上边框嵌入窗框的上轨道槽（如图1）．（2）将平行四边形纱窗的下边框对准窗框的下轨道槽（如图2）．（3）将平行四边形纱窗还原成矩形纱窗，同时下边框嵌入窗框的下轨道槽（如图3）．在装卸纱窗的过程中，如图所示α∠的值不得小于81，否则纱窗受损．现将高96cm的矩形纱窗恰好安装在上、下槽深分别为0.9cm，高96cm（上、下槽底间的距离）的窗框上．试求合理安装纱窗时α∠的sin810.987=0.990=sin830.993=0.995=cos90.987=0.990=0.993=0.995=章《解直角三角形》整章测试答案：～8 BABA ACDD三、17.解：2=原式2=-2=18.解：（1）AB=（2）tanAB aβ=（3）acABb=．19．解：分两种情况：（1）当ACB∠为钝角时，BD是高，90ADB∴∠=．在Rt BCD△中，40BC=，30BD=∴CD==．在Rt ABD△中，50AB=，ABC中山路文化路D和平路45°15°30°环城路EF 图1 2 图3∴40AD ==．40AC AD CD ∴=-=-，新课标第一网∴211(4030(600)22ABC S AC BD ==-⨯=-△． （2）当ACB ∠为锐角时， BD 是高，90ADB BDC ∴∠=∠=，在Rt ABD △中，5030AB BD ==，，40AD ∴==．同理CD ==∴(40AC AD CD =+=+，∴211(4030(600)22ABC S AC BD ==+⨯=+△．综上所述：2(600)ABC S =±△.20．解：有触礁危险．理由： 过点P 作PD ⊥AC 于D ．设PD 为x ，在Rt △PBD 中，∠PBD=90°－45°＝45°． ∴BD ＝PD ＝x ．在Rt △PAD 中，∵∠PAD ＝90°－60°＝30°，∴x ．xAD 330tan =︒=∵BD ，AB AD +=∴x ．x +=123 ∴)13(61312+=-=x ．∵，＜18)13(6+∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．21. 解：（1）由题意得，∠EA D =45°，∠FBD=30°． ∴∠EAC=∠EA D +∠DA C =45°+15°=60°． ∵ AE∥BF∥CD，∴ ∠FBC=∠EAC =60°． ∴ ∠DBC=30°．又∵ ∠DBC=∠DAB+∠ADB， ∴ ∠ADB=15°．∴∠DAB=∠ADB．∴ BD=AB=2． 即B ，D 之间的距离为2km ．（2）过B 作BO⊥DC，交其延长线于点O ， 在Rt△DBO 中，BD=2，∠DBO=60°． ∴ DO=2×sin60°=2×323=,BO=2×cos60°=1． 在Rt△CBO 中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=33， ∴ CD=DO－CO=332333=-（km ）． 即C ，D 之间的距离为332km ． 22. 解：能够合理装上平行四边形纱窗时的最大高度：960.995.1-=（cm ） 能够合理装上平行四边形纱窗时的高：96sin α∠或96cos(90)α-∠·°当81α∠=°时，纱窗高：96sin81960.98794.75295.1=⨯=<° ∴此时纱窗能装进去，当82α∠=°时，纱窗高：96sin82960.99095.0495.1=⨯=<° ∴此时纱窗能装进去．当83α∠=°时，纱窗高：96sin83960.99395.32895.1=⨯=>° ∴此时纱窗装不进去．因此能合理装上纱窗时α∠的最大值是82°.。
第1章 解直角三角形 浙教版九年级数学下册单元测试题(含答案)
第一章解直角三角形 单元测试题（满分100分；时间：90分钟）一、 选择题 （本题共计 9 小题 ，每题 3 分 ，共计27分 ， ）1. 如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“实验三角形”，下列各组数据中，能作为一个“实验三角形”三边长的一组是（ ）A.1，1，√2B.1，1，√3C.1，2，√3D.1，2，32. 如图，△ABC 中，∠B ＝90∘，BC ＝2AB ，则cos A ＝（ ）A.√52B.12C.2√55D.√553. 如图，在△ABC 中，∠C =90∘，sin A =35，则BC AC 等于（ ）A.34B.43C.35D.454. 在△ABC 中，∠C =90∘，如果tan A =34，那么sin B 的值等于（ ） A.53 B.35 C.54 D.455. cot β=√33，则锐角β等于（ ）A.0∘B.30∘C.45∘D.60∘6. 如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图．设∠DAO=α，彩电后背AD平行于前沿BC，且与BC的距离为55cm，若AO=100cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是（）A.(55+100tanα)cmB.(55+100sinα)cmC.(55+100cosα)cmD.以上答案都不对7. 如果某人沿坡度为1:3的斜坡向上行走a米，那么他上升的高度为（）A.√1010a米 B.√10a米 C.a3米 D.3a米8. 如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图（其中ABCD是矩形）．设∠ADO=α，彩电后背AD与前沿BC的距离为60cm，若AO=100cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是（）A.(60+100sinα)cmB.(60+100cosα)cmC.(60+100tanα)cmD.(60−100sinα)cm9. 某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45∘，再往摩天轮的方向前进50m至D处，测得最高点A的仰角为60∘．问摩天轮的高度AB约是（）米（结果精确到1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）A.120B.117C.118D.119二、填空题（本题共计11 小题，每题3 分，共计33分，）10. 如图，关于∠α与∠β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα>tanβ；②sinα>sinβ；③cosα>cosβ，正确的结论为________（填序号）．11. 如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A观测放置于B，C两处的标志物，数据显示点B在点A南偏东75∘方向20米处，点C在点A南偏西15∘方向20米处，则点B与点C的距离为________米．．AC上有一点E，满足AE:CE= 12. 如图，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan B=342:3．那么tan∠ADE的值是________．13. 如果在某建筑物的A处测得目标B的俯角为37∘，那么从目标B可以测得这个建筑物的A 处的仰角为________．14. 计算：sin60∘⋅cos30∘−tan45∘=________.15. 如图，要在宽AB为20米的瓯海大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD与灯柱BC成120∘角，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线（即O为AB的中点）时照明效果最佳，若CD=√3米，则路灯的灯柱BC高度应该设计为________米．（计算结果保留根号）．16. 茗茗在坡度为1:√3的坡面上走了100m，则茗茗上升了________m．17. 如图，我国一渔政船在A处，发现正东方向B处有一可疑船只，正以16海里/小时速度向西北方向航行，我渔政船立即往北偏东60∘方向航行，1.5小时后，在C处截获可疑船只，则我渔政船的航行路程AC=________海里(结果保留根号)．18. 在Rt△ABC中，∠C＝90∘，sin A=1，那么cos A＝________．219. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在格点上，则sin A=________．20. 动手操作：今有一副三角板（如图1），中间各有一个直径为4cm的圆洞，现将三角形a的30∘角的那一头插入三角板b的圆洞内（如图2），则三角板a通过三角板b的圆洞的那一部分的最大面积为________cm2（不计三角板的厚度）．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）−√3⋅tan30∘．21. 计算：cos245∘+cos302sin60+122. 已知电线杆AB直立于地面，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上．如果CD与地面成45∘，∠A=60∘，CD=4√2米，BC=(4√3−4)米，求电线杆AB的长．23. 某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，CD部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45∘，底端D点的仰角为30∘，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为60∘（如图②所示），求大楼部分楼体CD的高度为多少米？24. 在旧城改造中，要拆除一烟囱AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在从离B点21米远的建筑物CD顶端C测得A点的仰角为45∘，到B点的俯角为30∘，问离B点30米远的保护文物是否在危险区内？(√3约等于1.732)25. 如图，已知“中国渔政310”船(A)在南海执行护渔任务，接到陆地指挥中心(P)命令，得知出事渔船(B)位于陆地指挥中心西南方向，位于“中国渔政310”船正南方向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中心北偏西60∘方向，距离为80海里的地方．而“中国渔政310”船最大航速为20海里/时．根据以上信息，请你求出“中国渔政310”船接到命令后赶往渔船出事地点最少需要多少时间（结果保留根号）？26. 我区在修筑渭河堤防工程时，欲拆除河岸边的一根电线杆AB．如图，已知距电线杆AB 水平距离14米处是河岸，即BD=14米，该河岸的坡面CD的坡度为1:0.5，岸高CF为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30∘，D、E之间的宽是2米，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否将DE段封止？（在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域）参考答案一、选择题（本题共计9 小题，每题 3 分，共计27分）1.【答案】B【解答】解：A、若三边为1，1，√2，由于12+12=(√2)2，则此三边构成一个等腰直角三角形，所以这个三角形不是“实验三角形”，所以A选项错误；B、由1，1，√3能构成，此三边构成一个等腰三角形，通过作底边上的高可得到底角为30∘，顶角为120∘，所以这个三角形是“实验三角形”，所以B选项正确；C、若三边为1，2，√3，由于12+(√3)2=22，则此三边构成直角三角形，最小角为30∘，所以这个三角形不是“实验三角形”，所以C选项错误；D、由1，2，3不能构成三角形，所以D选项错误．故选B．2.【答案】D【解答】∵∠B＝90∘，BC＝2AB，∴AC=√AB2+BC2=√AB2+(2AB)2=√5AB，∴cos A=ABAC =√5AB=√55．3.【答案】A【解答】解：∵sin A=35，设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x；∴tan A=BCAC =ab=3x4x=34，故选A．4.【答案】D【解答】解：由tan A=34，可设∠A的对边是3k，∠A的邻边是4k．则根据勾股定理，斜边是5k．∴sin B=4．故选D．5.【答案】D【解答】解：∵cotβ=√33，β为锐角，∴β=60∘．故选D．6.【答案】B【解答】解：设OE、AD相交于F，则EF=55，在直角三角形AFO中，∵∠DAO=α，AO=100cm，∴OF=100sinα，∵EF=55，∴OE=55+100sinαOE=55+100sinα．故选B．7.【答案】A【解答】解：如图：根据题意得：AC=a，i=1:3，∴i=AECE =13．设AE=x米，则CE=3x米，∴AC=√AE2+CE2=√10x（米），∴√10x=a，解得：x=√1010a，∴AE=√1010a米．即他上升的高度为√1010a米．故选A．8.【答案】B【解答】解：∵△AOD是直角三角形，∴∠OAD+∠ODA=90∘，∵△AOF是直角三角形，∴∠OAD+∠AOF=90∘，∴∠AOF=∠ADO=α，在Rt△AOF中，OF=AO⋅cosα=100cosα，∵EF=CD=60cm，∴OE=EF+OF=(60+100cosα)cm．故选B．9.【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，由∠C=45∘，得AB=BC，在Rt△ABD中，∵tan∠ADB=tan60∘=ABBD，∴BD=ABtan60∘=√3=√33AB，又∵CD=50m，∴BC−BD=50，即AB−√33AB=50，解得：AB≈118．即摩天轮的高度AB约是118米．故选：C．二、填空题（本题共计11 小题，每题 3 分，共计33分）10.【答案】①②【解答】解：根据图形得：∠α>∠β，∴tanα>tanβ，sinα>sinβ，cosα<cosβ．∴①②正确．故答案为①②．11.【答案】20√2【解答】解：根据题意得：∠BAC=90∘，AB=AC=20米，在R t△ABC中，BC=√AC2+AB2=√202+202=20√2，故答案是：20√2．12.【答案】89【解答】解：作EF⊥AD于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，AD为高，∴∠B=∠C，∴tan C=34=ADDC设AD=3t，DC=4t，∴AC=√AD2+CD2=5t，而AE:CE=2:3，∴AE=2t，∵EF // CD，∴△AEF∽△ACD，∴EFCD =AFAD=AEAC，即EF4t=AF3t=2t5t，∴AF=65t，EF=85t，∴FD=AD−AF=95t，在Rt△DEF中，tan∠FDE=EFFD =85t95t=89∴tan∠ADE=89．故答案为89．13.【答案】37∘【解答】解：如图，∵某建筑物的A处测得目标B的俯角为37∘，∴目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为37∘，故答案为：37∘14.【答案】−1 4【解答】解：sin60∘⋅cos30∘−tan45∘=√32⋅√32−1=−14.故答案为：−14.15.8√3【解答】解：如图，延长OD，BC交于点P．∵∠ODC=∠B=90∘，∠P=30∘，OB=10米，CD=√3米，∴在直角△CPD中，DP=DC⋅tan60∘=3米，PC=CD÷sin30∘=2√3（米），∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90∘，∴△PDC∽△PBO，∴PDPB =CDOB，∴PB=PD⋅OBCD =3×10√3=10√3（米），∴BC=PB−PC=10√3−2√3=8√3（米）．故答案为：8√3．16.【答案】50【解答】解：根据题意画图：AB=100，tan B=ACBC =1√3，设AC=x，BC=√3x，则x2+(√3x)2=1002，解得x=50，答：茗茗上升了50m．故答案为：50．17.24√2【解答】解：如图，作CD⊥AB于点D，垂足为D，∵在直角三角形BCD中，BC=16×1.5=24海里，∠CBD=45∘，∴CD=BC⋅sin45∘=24×√22=12√2海里，∴在直角三角形ACD中，AC=CDsin30∘=12√2×2=24√2海里，故答案为：24√2．18.【答案】√32【解答】∵在Rt△ABC中，∠C＝90∘，sin A=12，∴∠A＝30∘，∴cos A=√32．19.【答案】35【解答】解：如图所示：作CD⊥AB，则DC=3，AC=5，故sin A=DCAC =35．故答案为：35．20.【答案】 14.9【解答】解：如图，BC =4，∠BAC =30∘，作AD ⊥BC 于点D ，当点D 是BC 的中点时，△ABC 的面积最大，此时由中垂线的性质知，AB =AC ，∠B =75∘，S △ABC =12BC ⋅BD tan 75∘=12×4×2×3.732≈14.9cm 2．-----------------------故答案为：14.9三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）21.【答案】原式＝(√22)2+√322×√32+1−√3×√33=12+3−√34−1 =1−√34．【解答】原式＝(√22)2+√322×√32+1−√3×√33=12+3−√34−1 =1−√34．22.【答案】解：如图，延长AD交BC的延长线于点E，作DF⊥BE于F．∵在Rt△DCF中，∠CFD=90∘，∠DCF=45∘，CD=4√2，∴CF=DF=4．∵在Rt△DEF中，∠EFD=90∘，∠E=30∘，∴EF=DFtan∠E =4√33=4√3，∴BE=BC+CF+FE=4√3−4+4+4√3=8√3．∵在Rt△ABE中，∠B=90∘，∠E=30∘，∴AB=BE tan30∘=8√3×√33=8．故电线杆AB的长为8米．【解答】解：如图，延长AD交BC的延长线于点E，作DF⊥BE于F．∵在Rt△DCF中，∠CFD=90∘，∠DCF=45∘，CD=4√2，∴CF=DF=4．∵在Rt△DEF中，∠EFD=90∘，∠E=30∘，∴EF=DFtan∠E =4√33=4√3，∴BE=BC+CF+FE=4√3−4+4+4√3=8√3．∵在Rt△ABE中，∠B=90∘，∠E=30∘，∴AB=BE tan30∘=8√3×√33=8．故电线杆AB的长为8米．23.【答案】解：设楼高CE为x米，∵ 在Rt△AEC中，∠CAE=45∘，∴ AE=CE=x.∵ AB=20，∴ BE=x−20.在Rt△CEB中，CE=BE⋅tan60∘=√3(x−20)，∴√3(x−20)=x，解得：x=30+10√3（米）.=10√3+10，在Rt△DAE中，DE=AE⋅tan30∘=(30+10√3)×√33∴ CD=CE−DE=30+10√3−(10√3+10)=20(米)．答：大楼部分楼体CD的高度为20米．【解答】解：设楼高CE为x米，∵ 在Rt△AEC中，∠CAE=45∘，∴ AE=CE=x.∵ AB=20，∴ BE=x−20.在Rt△CEB中，CE=BE⋅tan60∘=√3(x−20)，∴√3(x−20)=x，解得：x=30+10√3（米）.=10√3+10，在Rt△DAE中，DE=AE⋅tan30∘=(30+10√3)×√33∴ CD=CE−DE=30+10√3−(10√3+10)=20(米)．答：大楼部分楼体CD的高度为20米．24.【答案】文物在危险区内．解：在Rt△AEC中，∠ACE=45∘，则CE=EA，∵DB=CE=21m，∴DB=EA=21m，在Rt△CEB中，∠BCE=30∘，则tan30∘=BE，即BE=EC tan30∘，EC=7√3m，∴BE=21×√33∴AB=AE+EB=(21+7√3)m，∵AB=(21+7√3)>30，∴文物在危险区内．【解答】此题暂无解答25.【答案】“中国渔政310”船接到命令后赶往渔船出事地点最少需要(2+2√3)小时．【解答】解：过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△APD中，∵AP=80海里，∠APD=90∘−60∘=30∘，AP=40海里，PD=√3AD=40√3海里．∴AD=12在Rt△BDP中，PD=40√3海里，∠B=45∘，∴BD=PD=40√3海里，∴AB=AD+BD=(40+40√3)海里，=2+2√3（小“中国渔政310”船接到命令后赶往渔船出事地点最少需要的时间为40+40√320时）．26.【答案】解：∵i=1:0.5，CF=2米=2，∴tan∠CDF=CFDF∴DF=1米，BG=2米，∵BD=14米，∴BF=GC=15米．=5√3≈8.66（米），在Rt△AGC中，AG=15tan30∘=15×√33∴AB=AG+BG=8.66+2=10.66米，BE=BD−DE=14−2=12（米），∵10.66<12，∴没有必要封止DE．【解答】解：∵i=1:0.5，CF=2米=2，∴tan∠CDF=CFDF∴DF=1米，BG=2米，∵BD=14米，∴BF=GC=15米．=5√3≈8.66（米），在Rt△AGC中，AG=15tan30∘=15×√33∴AB=AG+BG=8.66+2=10.66米，BE=BD−DE=14−2=12（米），∵10.66<12，∴没有必要封止DE．。
第19章解直角三角形单元检测题（含答案）-
第19章解直⾓三⾓形单元检测题（含答案）-第19章解直⾓三⾓形单元检测题(A卷)⼀、填空题(每⼩题6分，本题满分30分)1.已知直⾓三⾓形中两条边的长分别是6cm和8cm，则第三条边长为 .2. △ABC中∠A=40o，∠C=90，a=4.2，则b≈，c≈ (保留2个有效数字).3.⼀副三⾓板放成如图所⽰的位置，如果重合的⼀条边长48厘⽶，则其余⼏条边的长度分别为 .4.在坡度为1:3.5的⼭坡上上⾏500⽶，则垂直⾼度上升了⽶.在这样的⼭坡上植树，要求株距(相邻两树间的⽔平距离)是3⽶，则斜坡上相邻两树间的坡⾯距离应是⽶ (精确到0.1⽶).5.已知等腰梯形的上、下底边的长分别为6cm和16cm，腰长13cm，则它的⾯积是 .⼆、选择题(每⼩题5分，本题满分25分)(A)锐⾓三⾓形 (B)直⾓三⾓形 (C)钝⾓三⾓形 (D)不能确定形状7.甲、⼄、丙三⼈放风筝，各⼈放出的风筝线长分别为60m、50m、40m，线与地平⾯所成的⾓分别为30o、45o、60o，假设风筝线近似看作是拉直的，则所放风筝最⾼的是( ).(A)甲 (B)⼄ (C)丙 (D)不能确定8.如图，已知∠ACB=∠CBD=90o，BC=a，AC=b，当CD=( )时，△CDB∽△ABC.9.如图，两建筑物⽔平距离为32⽶，从点A测得对点C的俯⾓为30o，对点D的俯⾓为45o，则建筑物CD的⾼约为( ).(A)14⽶ (B)17⽶ (C)20⽶ (D)22⽶10.历史上对勾股定理的⼀种证法采⽤了下列图形：其中两个全等的直⾓三⾓形边AE、EB在⼀条直线上.证明中⽤到的⾯积相等关系是( ).三、解答题(每⼩题9分，本题满分45分)11.我们知道，在测量中常⽤到的⽅法有相似形法和解直⾓三⾓形法.联系我们已有的学习经历以及你所想到的，归纳在不同情况下测量⼀棵树⾼AB，通常怎样进⾏？写出⼏个.你设计的简要⽅案Array12.在规划、设计住宅区的时候，要求不论任何季节，底层居民的门⼝在每天正午都能照到阳光.假设某地冬天正午时刻太阳光线与地⾯的最⼩夹⾓为35°，正南朝向的楼房⾼18⽶，如图.请你设计⼀下两幢楼房之间的距离最少应有多少⽶，才能不影响后楼居民的采光(精确到1⽶)？13.已知⼀个等腰三⾓形的腰长为5厘⽶，底边长4厘⽶，求出顶⾓余弦的值(试⽤两种不同的⽅法解).14.如图，AD是已知△ABC中BC边上的⾼.P是AD上任意⼀点，当P从A向D移动时，线段PB、PC的长都在变化，试探索PB-PC的值如何变化？15.⼀个半径为20海⾥的暗礁群中央P处建有⼀个灯塔，⼀艘货轮由东向西航⾏，第⼀次在A处观测此灯塔在北偏西60°⽅向，航⾏了20海⾥后到B，灯塔在北偏西30°⽅向，如图. 问货轮沿原⽅向航⾏有⽆危险？答案：1.10cm或cm.2.5.0；6.5.3.等腰直⾓三⾓形的两条直⾓边长各为厘⽶，含有30°⾓的直⾓三⾓形另两条边长分别为厘⽶和厘⽶．4.137.4；3.1.5.132cm6.C.7.B.8.D.9.A. 10.D.11.略（提⽰：分别考虑应⽤相似三⾓形和解直⾓三⾓形两种⽅法）．12.26⽶.13.0.68或相近的近似值（提⽰：画出底边上的⾼之后，先求出底⾓度数，再逐⼀近似计算；或先求出底边上的⾼之后，再求出腰上的⾼）．14.值不变（提⽰：应⽤勾股定理，它的值总等于DB2-DC2）.第19章解直⾓三⾓形单元检测题(B卷)⼀、填空题(每⼩题6分，本题满分30分)1.Rt△ABC中∠C=90°，若a=8，b=6,则sinB= ；若b=25，c=30,则cotA= .2.含有30°⾓的直⾓三⾓形三边长的⽐值是；含有45°⾓的直⾓三⾓形三边长的⽐值是 .3.已知梯形的两底边长分别是3cm、5cm，同⼀底边上两个⾓分别是30°、60°，则这个梯形的周长是，⾯积是 .4.应⽤计算器填⼀填，分别⽐较各个三⾓函数值的⼤⼩，说⼀说有什么规律：(1)cos20°= , cos40°= , cos60°= ；cos80°= ；(2)tan10°= , tan30°= , tan50°= ；tan70°= ..5.如图，在⾼3⽶，坡度为1:2.5的楼梯表⾯铺地毯，地毯的长度⾄少需要⽶.⼆、选择题(每⼩题5分，本题满分25分)6.在Rt△ABC中，∠C=90°，下列式⼦不⼀定成⽴的是( ).(A)tanA=cotB； (B)tanAcotB=1； (C)(sinA)+(cosA)=1；(D)(sinA)+(sinB)=17.野外⽣存训练中，第⼀⼩组从营地出发向北偏东60o⽅向前进了3千⽶，第⼆⼩组向南偏东30o⽅向前进了3千⽶，经观察、联系，第⼀⼩组准备向第⼆⼩组靠拢，则⾏⾛⽅向和距离分别为( ).8.设长⽅体的长、宽、⾼分别是5分⽶、3分⽶、4分⽶，在长⽅体表⾯上从点M到点N处的最短的途径是( ).9.在三⾓形ABC中∠A、∠B是锐⾓，等式a cos B+b cos A=c成⽴的条件是( ).(A)∠C是锐⾓； (B)∠C是直⾓； (C)∠C是钝⾓； (D)上述三种情形都可以10.在河岸边⼀点A测得与对岸河边⼀棵树C的视线与河岸的夹⾓为30°、沿河岸前⾏100⽶到点B，测得与C的视线与河岸的夹⾓为45°，则河的宽度为( ).三、解答题(每⼩题9分，本题满分45分)11.⼀艘船向正东⽅向航⾏，上午8:50在A处测得⼀灯塔在北偏东60°⽅向距离72海⾥处.上午10:10到达B处，看到灯塔在船的正北⽅向.求这艘船的航⾏速度(精确到0.1海⾥/时).12.⼩张在课外活动时，发现⼀个烟囱在墙上的影⼦CD正好和⾃⼰⼀样⾼. 他测得当时⾃⼰在平地上的影⼦长2.4⽶，烟囱到墙的距离是7.2⽶. 如果⼩张的⾝⾼是1.6⽶，你能否据此算出烟囱的⾼度？13.⼀个⼤坝的横截⾯是如图所⽰的梯形，其中AB∥CD，∠A=45°，∠B=60°，AD=8⽶，AB=15⽶.若坝长2千⽶，问这条坝共有多少⼟⽅(保留两个有效数字)？14.已知⼀个三⾓形中相邻两边的长分别是6cm和4cm，第三边上的⾼是2cm，能否求出第三边的长？15.在⼀个坡⾓为15°的斜坡上，从点C测得对旗杆顶A的视线与斜坡⾯的夹⾓为50°，C到旗杆底部B的距离为2.5⽶，求旗杆AB的⾼(精确到0.1⽶).答案：4.(1)0.9397,0.7660,0.5,0.1736,在锐⾓范围内，余弦函数的值随着⾓度的增加⽽减⼩；(2)0.1763, 0.5774,1.192,2.747，在锐⾓范围内，正切函数的值随着⾓度的增加⽽增加．5.10.5.6.B.7.A.8.C.9.D. 10.C.11.约46.8海⾥/时（提⽰：先求出A、B之间的距离）．12.烟囱⾼6.4⽶（提⽰：将梯形划分成三⾓形和平⾏四边形，然后应⽤相似形性质计算）．13.12万⽴⽅⽶（提⽰：过D、C分别作⾼，先解直⾓三⾓形求得梯形的⾼，再求出上底的长；坝长2000⽶相当于四棱柱的⾼）.14.应分两种情形：当第三边上⾼的垂⾜在第三边上时，第三边长（）cm；当第三边上⾼的垂⾜在第三边的延长线上时，第三边长（）cm.15.约4.5⽶（提⽰：过点C作直线AB的垂线，垂⾜G，先求得C与旗杆的⽔平距离CG，再分别求得AG、BG的长）．。
九年级数学第一章《解直角三角形》单元测试卷(含答案)
第一章《解直角三角形》单元测试卷一、填空题：1、如下图;表示甲、乙两山坡的情况; _____坡更陡。
(填“甲”“乙”)αβ 13 34 甲 乙2、在Rt △ABC 中;∠C ＝90°;若AC ＝3;AB ＝5;则cosB 的值为__________。
3、在Rt △ABC 中;∠C=90°.若sinA=22;则sinB= 。
4、计算：tan 245°－1＝ 。
5、在△ABC 中;AB=AC=10;BC=16;则tanB=_____。
6、△ABC 中;∠C=90°;斜边上的中线CD=6;sinA=31;则S △ABC=______。
7、菱形的两条对角线长分别为23和6;则菱形较小的内角为______度。
8、如图2是固定电线杆的示意图。
已知：CD ⊥AB;CD 33=m;∠CAD=∠CBD=60°;则拉线AC 的长是__________m 。
9、升国旗时;某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼;当国旗升至旗杆顶端时;该同学视线的仰角恰为30°;若双眼离地面;则旗杆的高度为______米。
(用含根号的式子表示)10、如图3;我校为了筹备校园艺术节;要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致;台阶的侧面如图所示;台阶的坡角为30;90BCA ∠=;台阶的高BC 为2米;那么请你帮忙算一算需要米长的地毯恰好能铺好台阶．（结果精确到0.1m ;取2 1.414=3 1.732=）11、如图4;如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P ＇B;且BP=2;那么PP ＇的长为____________.(不取近似值. 62-62+)二、选择题：1班级：____________姓名：____________A 、45B 、5C 、15 D 、14513、李红同学遇到了这样一道题：3tan(α+20°)=1;你猜想锐角α的度数应是（ ） ° ° ° °14、身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝;他们放出的线长分别为300 m;250 m;200 m;线与地面所成的角度分别为30°;45°;60°(假设风筝线是拉直的);则三人所放的风筝（ ）15、在△ABC 中;若tanA=1;sinB=22;你认为最确切的判断是（ ） A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形 C.△ABC 是直角三角形 D.△ABC 是一般锐角三角形16、如图5;某地夏季中午;当太阳移至房顶上方偏南时;光线与地面成80°角;房屋朝南的窗子高AB=1.8 m;要在窗子外面上方安装水平挡光板AC;使午间光线不能直接射入室内;那么挡光板的宽度AC 为( ) tan80°m °m C.︒80sin 8.1 m D.︒80tan 8.1 m17、如图6;四边形ABCD 中;∠A=135°;∠B=∠D=90°;BC=23;AD=2;则四边形ABCD 的面积是（ ）2B.43三、解答题： 18、计算：(1)3cos30°+2sin45° (2)6tan 2 30°－3sin 60°－2sin 45°19、根据下列条件;求出Rt △ABC(∠C=90°)中未知的边和锐角. (1)BC=8;∠B=60°; (2)AC=2;AB=2.20、如图7;在Rt △ABC 中;∠C=90°;AC=8;∠A 的平分线AD=3316;求∠B 的度数及边BC 、AB 的长.21、等腰三角形的底边长20 cm;面积为33100c m 2;求它的各内角.22、同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园在“六•一”前新增设的一台滑梯;该滑梯高度AC ＝2m;滑梯着地点B 与梯架之间的距离BC ＝4m 。
浙教版九年级下数学第一章解直角三角形单元检测卷含答案
第一章解直角三角形单元检测卷姓名：__________ 班级：__________题号评分一、选择题（共 12 小题；每小题 3 分 ,共 36 分）1.在△ ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列各式成立的是（） A. b=a•sinB 2.已知 tanA=1，则锐角 A 的度数是（ A. 30° B. 45° 3.在 Rt △ ABC 中，∠C=90°，若 sinA= ， 则 tanB=（ A. B. B. a=b•cosBC. a=b•tanBD. b=a•tanB ）C. 60°D. 75° ）C. D.4.在 Rt △ ABC 中，∠C=90°，如果把 Rt △ ABC 的各边的长都缩小为原来的 ， 则∠A 的正切值（A. 缩小为原来的B. 扩大为原来的 4 倍C. 缩小为原来的D. 没有变化） 5.如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15 米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角 α 为 60°，又从 A 点测得 D 点的俯角 β 为 30°，若旗杆底总 G 为 BC 的中点，则矮建筑物的高 CD 为( )A. 20 米B. 米C. 米D. 米6.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，如果顾客乘地铁从点B 到点C 上升的高度为5m，则电梯BC 的长是（）A. 5cm7.如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD 和BC 的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF 为1.2 米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH 为2.1 米．求放水后水面上升的高度是（B. 5 cmC. 10mD.m）A. 0.55B. 0.8C. 0.6D. 0.758.如图，∠1 的正切值为（）A. B. C. 3 D. 29.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，点M 在AC 边上，且AM=1，MC=4，动点P 在AB 边上，连接PC，PM，则PC+PM 的最小值是（）A. B. 6 C. D. 710.如图，小明在300 米高的楼顶上点A 处测得一塔的塔顶D 与塔基C 的俯角分别为30°和60°，则塔高CD 为（）A. 100 米11.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A 处观测到灯塔M 在北偏东60°方向上，且AM=100 海里，那么该船继续航行多少海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置（B. 100 米C. 180 米D. 200 米）A. 50B. 40C. 30D. 2012.如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米，太阳光线与地面的夹角AB∠ACD=60°，则的长为（）A. 米B.米C.米D.米二、填空题（共10题；共30分）13.一个小球由地面沿着坡度1：2 的坡面向上前进了10 米，此时小球距离地面的高度为________米．14.在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，cosB= ，则AC 的长为________215.在△ABC 中，（2sinA﹣1）+=0，则△ABC 的形状为________16.计算：2sin45°cos45°=________．17.如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1m，则旗杆高BC 为________ m（结果保留根号）．18.已知sinα=0.2，cosβ=0.8，则α+β=________ （精确到1′）．19.如图，已知小岛B 在基地A 的南偏东30°方向上，与基地A 相距10 海里，货轮C 在基地A 的南偏西60°方向、小岛B 的北偏西75°方向上，那么货轮C 与小岛B 的距离是________ 海里．20.用计算器计算：sin15°32′=________；已知tanα=0.8816，则∠α=________．21.如图，小华家位于校门北偏东70°的方向，和校门的直线距离为4km 的N 处，则小华家到校门所在街道（东西方向）的距离NM 约为________km．（用科学计算器计算，结果精确到0.01km）．22.长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了________ m三、解答题（共3题；共34分）23.已知：如图，在△ABC中，AC＝10，求AB的长．24.计算：﹣（﹣1）0+（）﹣2﹣4sin45°．25.据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．参考答案一、选择题D B D D A C D A C D A B二、填空题13.216.114.617.1015.直角三角形18.48°24′+121.1.3719.1022.（220.0.2678；41°24′－2）m三、解答题23.作AD⊥BC于D点，如图所示，在Rt△ADC中，AC=10，sinC=，∴AD=ACsinC=10×=8，在Rt△ABD中，sinB=，AD=8，则AB=．24.解：原式=2﹣1+4﹣2=3．25.（1）解：（1）在Rt△ABD中，AD=24m，∠B=31°，∴tan31°=，即BD==40m，在Rt△ACD中，AD=24m，∠ACD=50°，∴tan50°=，即CD==20m，∴BC=BD﹣CD=40﹣20=20m，则B，C的距离为20m；（2）解：根据题意得：20÷2=10m/s＜15m/s，则此轿车没有超速．。
沪科版九年级数学上册试题 第23章《解直角三角形》章节测试卷(含解析)
第23章《解直角三角形》章节测试卷一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）1．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA =32，cosB =12，则△ABC 是（ ）.A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形2．直角三角形纸片ABC ，两直角边BC =4，AC =8，现将△ABC 纸片按如图那样折叠，使A 与电B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是（ ）A ．12B ．34C ．1D ．433．如图，△ABC 的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则sin ∠BAC 的值为（ ）A ．5B ．55C ．12D ．2534．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 、E 分别在BC 、AC 上，AD 、BE 交于F ，若BD=CD =CE ，AF =DF ，则tan ∠ABC 的值为( )A ．12B ．23C ．34D ．455．一块直角三角板ABC 按如图放置，顶点A 的坐标为(0,1)，直角顶点C 的坐标为(−3,0)，∠B =30°，则点B 的坐标为（ ）A. (−3−33,33)B ．(−3+3,3)C ．(−3+33,33)D ．(−3−3,33)6．在Rt △ABC 中，∠A =90°，有一个锐角为60°，BC =6，若点P 在直线AC 上（不与点A 、C 重合），且∠ABP =30°，则CP 的长为（ ）A ．6或23B ．6或43C ．23或43D ．6或23或437．如图，延长等腰Rt ΔABC 斜边AB 到D ，使BD =2AB ，连接CD ，则tan ∠BCD 的值为（ ）A ．23B ．1C ．13D ．128．如图，在△ABC 中，∠ACB =90∘，分别以AB ，AC ，BC 为边向外作正方形，连结CD ，若sin∠BCD=35，则tan ∠CDB 的值为（ ）A ．23B ．34C ．710D ．9139．如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中∠AOB =90°，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若IJ =2，则该“风车”的面积为（ ）A ．2+1B ．22C ．4−2D ．42二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）10．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D ，E 分别在AC ，BC 边上，且AD =3，BE =4，连接AE ，BD ，交于点F ，BD=10，cos ∠AFD=32，则AE 的长为 ．11．如图，在菱形ABCD 中，tan ∠ABC =43，AE ⊥BC 于点E ，AE 的延长线与DC 的延长线交于点F ，则S △ECF :S 四边形ADCE = ．（S 表示面积）12．如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，E是对角线BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，DE=．13．如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD，DC延长线的垂线，垂足分别为点E，F．若∠ABC=120°，AB=6，则PE−PF的值为．14．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，P是线段MN上的一点，BP的延长线交4D 于点E，连接PD，PC，将△DEP绕点P顺时针旋转90°得△GFP，则下列结论：①CP=GP，②tan∠CGF=1；③BC垂直平分FG；④若AB=4，点E在AD边上运动，则D，F两点之间距离的2．其中结论正确的序号有．最小值是3215．如图，△A B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…是等边三角形，直线y=33x+2经过它们的顶点A，A1，A2，A3，…，点B1，B2，B3，…在x轴上，则线段B2022B2023的长度是．16．如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH=CF，AE=CG，∠EHF=60°，∠GHF=45°，若AH=2，AD=5+3，则四边形EFGH的周长为．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）计算：(1)2sin60°−tan45°2−tan30°⋅tan60°−2cos30°+6sin245°． (2)(π−1)0+4sin45°−8+|−3|．18．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD=6，BC=12，tan∠ACD=32．求：(1)CD的长；(2)sin∠ABC的值．19．（8分）（2023春·河南南阳·九年级统考期中）如图，已知点A（7，8）、C（0，6），AB⊥x轴，垂足为点B，点D在线段OB上，DE∥AC，交AB于点E，EF∥CD，交AC于点F．（1）求经过A、C两点的直线的表达式；（2）设OD＝t，BE＝s，求s与t的函数关系式；（3）是否存在点D，使四边形CDEF为矩形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．20．（8分）（1）在如图1的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C，D均为格点（小正方形的顶点)．求证：∠ABC=∠D．（2）在如图2所示的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C均为格点，请你仅用无刻度的直尺在线段AC上求作一点P，使得∠PBA=∠C，并简要说明理由．21．（9分）如图，小明为测量宣传牌AB的高度，他站在距离建筑楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°．同时测得建筑楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上．）然后，小明沿坡度为i=1:2.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行，小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°．(1)填空：∠DAF=__________度，∠BDC=__________度；(2)求F距离地面CE的高度（结果保留根号）；(3)求宣传牌AB的高度（结果保留根号）．22．（9分）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边腰=BCAB．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad90°=________．(2)对于0°<A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是________．(3)如图②，已知sinA=35，其中∠A为锐角，试求sadA的值．23．（9分）已知：△ABC 中，AB =AC ，D 为直线BC 上一点．(1)如图1，BH ⊥AD 于点H ，若AD =BD ，求证：BC =2AH ．(2)如图2，∠BAC =120°，点D 在CB 延长线上，点E 在BC 上且∠DAE=120°，若AB =6，DB=23，求CE 的值．(3)如图3，D 在CB 延长线上，E 为AB 上一点，且满足：∠BAD=∠BCE ，AE BE=23，若tan ∠ABC =34，BD =5，求BC 的长．答案解析一.选择题1．B【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠A=60°，∠B=60°，然后利用三角形内角和定理求出∠C的度数，即可解答．【详解】解：∵sinA=32，cosB=12，∴∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=180°−∠A−∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，故选：B．2．B【分析】根据折叠的性质得出BE=AE，设CE=x，则BE=AE=8−x，在Rt△BCE中，根据勾股定理得出B C2+C E2=B E2，列出方程求出x的值，最后根据正切的定义，即可解答．【详解】解：∵△ADE沿DE折叠得到△BDE，∴BE=AE，设CE=x，则BE=AE=8−x，在Rt△BCE中，根据勾股定理可得：B C2+C E2=B E2，即42+x2=(8−x)2，解得：x=3，∴tan∠CBE=CEBC =34，故选：B．3．B【分析】过B作BD⊥AC于点D，根据勾股定理得出AB,AC的值，再利用面积公式求出BD的值，由sin∠BAC=BDBA可得角的正弦值．【详解】解：如图，过B作BD⊥AC于点D根据勾股定理得：AB =32+42=5，AC =32+62=35∴S ΔABC =12AC ⋅BD =4×6−12×3×1−12×3×4−12×6×3=152, ∴BD =5∴sin ∠CAB=BD AB =55故选：B ．4．C 【分析】如图，过A 作AG ∥BC ，交BE 的延长线于G ，证明△AGF ≌△DBF (AAS )，则AG =BD =12BC ，证明△AEG ∽△CEB ，则AE CE =AG BC =12，解得AE =12CE ，AC =32CE ，根据tan ∠ABC =ACBC，计算求解即可．【详解】解：如图，过A 作AG ∥BC ，交BE 的延长线于G ，∴∠G =∠DBF ，在△AGF 和△DBF 中，∵{∠G =∠DBF∠AFG =∠DFB AF =DF，∴△AGF ≌△DBF (AAS )，∴AG =BD =12BC ，∵∠G =∠CBE ，∠AEG =∠CEB ，∴△AEG ∽△CEB ，∴AE CE =AG BC=12，解得AE =12CE ，∴AC =32CE ，∴tan ∠ABC=AC BC =32CE 2CE =34，故选：C ．5．D【分析】过点B 作BE ⊥OC 于点E ，根据ΔABC 为直角三角形可证明ΔBCE ∽ΔCAO ，求出AC =10，求出BC ，再由比例线段可求出BE ，CE 长，则答案可求出．【详解】解：过点B 作BE ⊥OC 于点E ，∵△ABC 为直角三角形，∴∠BCE +∠ACO =90°，∴ΔBCE ∽ΔCAO ，∴ BE OC =BC AC =EC OA ，在Rt △ACO 中，AC =A O 2+C O 2=12+32=10，在Rt △ABC 中，∠CBA=30°，∴ tan ∠CBA=CA BC ，∴ BC =CA tan ∠CBA =10tan30°=30，∴ BE3=3010=EC1，解得BE =33，EC =3，∴ EO =EC +CO =3+3，∴点B 的坐标为(−3−3，33)．故选：D ．6．D【分析】根据点P在直线AC上的不同位置，∠ABP=30°，利用特殊角的三角函数进行求解．【详解】如图1：当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；如图2：当∠C=60°时，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°，∴△PBC是等边三角形，∴CP=BC=6；如图3：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°−30°=30°，∴PC=PB，∵BC=6，∴AB=3，∴PC=PB=3cos30°=332=23如图4：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°+30°=90°，∴PC=BCcos30°=632=43故选：D7．A【分析】过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，设AC=BC=a，根据勾股定理得AB=2a，由等腰直角三角形的性质得∠ABC=∠BAC=45°，从而得BD=2AB=22a，在Rt△BDE中，解直角三角形得DE=2a，BE=2a，进而求得CE=BC+BE=3a即可求得tan∠BCD．【详解】解：过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，如下图，设AC=BC=a，∵AC⊥BC，AC=BC=a，∴AB=A C2+B C2=2a，∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC=∠BAC，∴∠ABC=∠BAC=45°，BD=2AB=22a，∴∠DBE=∠ABC=45°，∵DE⊥CE，∴DE=BD·sin∠DBE=22a·sin45°=2a，BE=BD·cos∠DBE=22a·cos45°=2a，∴CE=BC+BE=3a，∴tan∠BCD=DECE =2a3a=23，故选：A．8．D【分析】过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，可得△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，根据sin∠BCE＝BEBC =35，设BE＝3a，BC＝5 a，得CE＝B C2−B E2＝4 a，过点C作DB延长线于点G，得矩形CFBG，设AC＝x，AB＝y，然后利用勾股定理和三角形的面积可得y2−9＝133，进而利用锐角三角函数即可解决问题．【详解】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，∴△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，∵sin∠BCD＝35，∴sin∠BCE＝BEBC =35，设BE＝3a，BC＝5a，∴CE＝B C2−B E2＝4a，过点C作DB延长线于点G，得矩形CFBG，∴BF＝CG，设AC＝x，AB＝y，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2﹣AC2＝BC2，∴y2﹣x2＝25a2，∵S△ABC＝12×AB•CF＝12×AC•BC，∴y•CF＝5ax，∴CF＝5axy，在Rt△BCF中，根据勾股定理，得BF＝B C2−C F2＝25a2−(5axy )2＝25ya，∴BF＝CG＝25ya，在正方形ABDH中，AB＝BD＝y，在Rt△BDE中，根据勾股定理，得DE＝B D2−B E2＝y2−9a2，∴CD＝CE+ED＝4a +y2−9a2，∵S△CBD＝12×CD•BE＝12×BD•CG，∴CD•BE＝BD•CG，∴(4a +y2−9a2)×3＝y×25ya，∴y2−9a2＝133a，∴tan∠CDB＝tan∠EDB＝BEDE ＝3ay2−9a2＝913．故选：D．9．B【分析】连接AC,由题意可得Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH，进而说明△OAC为等腰直角三角形，再说明分CD、GI垂直平分AB，进而说明∠OBH=∠OHB=45°，然后再运用解直角三角形求得AI，然后再求得三角形AOB的面积，最后求风车面积即可．【详解】解：如图：连接AC由题意可得：Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH∴OA=OC, ∠OAB= ∠OCD∵∠AOC=∠AOB=90°∴△OAC为等腰直角三角形又∵∠OAB= ∠OCD：∴∠AJD=180°-∠ADJ-∠OAB=180°-∠ODC-∠OCD=90°，即AJ⊥CD又∵CJ=DJ∴AJ垂直平分CD同理：GI垂直平分AB∴AC=AD,AJ是等腰三角形顶角∠CAD的角平分线即∠DAJ=12∠CAD=12×45°=22.5°易得IH=BJ,IJ=IB+BJ=IB+IH 又∵IB=IA∴IJ=IB+BJ=IH+IA= 2在Rt△ABO中，∠ABH=∠BAH=22.5°∴∠OBH=OHB=45°设OB=OH=a，即AH=BH=2OB=2a∴tan∠A=BOAO =aa+2a=2−1∴IHIA=tan∠A=2−1设IH=（2−1）x，AI=x ∴IH+IA=2x=2，即x=1∴S△ABH =12×AB×IH=2−1又∵SΔBOHSΔABH =OHAH=12∴S△BOH =1−22∴S△AOB =S△ABH+S△BOH=2−1+1−22=22∴S风车=4S△AOB=4×22=22．故选B．二．填空题10．53【分析】过点A作AG∥BE，BG∥AE交于点G，连接DG，勾股定理求得DG，过点D作DH⊥BG，证明G,H重合，进而勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点A作AG∥BE，BG∥AE交于点G，连接DG，则四边形AGBE是平行四边形，∴AG=BE=4，∵∠C=90°，则BC⊥AC∴AG⊥AC∴△ADG是直角三角形，∴DG=5∵cos∠AFD=32∴∠AFD=30°∵AE∥BG∴∠DBG=30°∵DG=5,DB=10过点D作DH⊥BG，∵sin∠DBG=12∴DH=12DB=5,∴G,H重合，∴AE=BG=BH=53故答案为：53．11．4:21【分析】设AE=4k，则BE=3k，根据勾股定理求出AB=5k，然后证明△CEF∽△DAF，最后根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解∶∵tan∠ABC=43，AE⊥BC，∴tan∠ABC=43=AEBE，设AE=4k，则BE=3k，∴AB =A E 2+B E 2=5k ，∵四边形ABCD 是菱形，∴CB ∥AD ，AD =BC =AB =5k ，∴CE =BC −BE =2k ，∵CB ∥AD ，∴△CEF ∽△DAF ，∴S △CEF S△DAF =(CE DA )2=(2k 5k )2=425，∴S △CEFS 四边形ADCE =S △CEF S △DAF −S △CEF =425−4=421．故答案为：4:21．12．2或52或75【分析】分AB =AE,BE =BA,EA =EB 三种情况，分别画出图形，即可求解．【详解】解：在矩形ABCD 中，AB =3,AD =4，∴∠BAD=90°，∴BD =A B 2+A D 2=32+42=5，当AB =AE 时，过点A 作AF ⊥AD 于点F ，则AF ⊥BD ，∴cos ∠ABD=AB BD =BF AB ，∴BF =AB 2BD =95∴DE =BD −BE =BD −2BF =5−185=75，当BA =BE 时，DE =BD −BE =5−3=2，当EA =EB 时，过点E 作EG ⊥AB 于点G ，∴EG ∥AD ，AG =GB ，∴BE ED=BG AG =1，∴DE =12BD=52，综上所述DE = 2或52或75，故答案为：2或52或75．13．33【分析】如图，延长BC 交EP 于M ，由菱形的性质可知，CP 为∠BCD ，∠FCM 的平分线，则PF =PM ，PE −PF =PE −PM =EM ，由题意知，EM 为△ABD 底边AD 上的高，由菱形ABCD ，∠ABC=120°，AB =6，可得∠BAD=60°，根据EM=AB ⋅sin ∠BAD ，计算求解，进而可得结果．【详解】解：如图，延长BC 交EP 于M ，由菱形的性质可知，CP为∠BCD，∠FCM的平分线，∵PF⊥CF，PM⊥CM，∴PF=PM，∴PE−PF=PE−PM=EM，由题意知，EM为△ABD底边AD上的高，∵菱形ABCD，∠ABC=120°，AB=6，∴∠BAD=60°，∴EM=AB⋅sin∠BAD=33，∴PE−PF=33，故答案为：33．14．①②③【分析】延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，由已知可得MN为AB，CD的垂直平分线，由垂直平分线的性质和图形旋转的性质可得①的结论正确；利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质计算可得∠BCG=45°，由四边形内角和定理通过计算可得∠EHF=90°；利用平行线的性质可得BC⊥FG，则∠CGF=45°，可说明②的结论正确；通过证明点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上，利用圆周角定理可得∠FAB=45°，得到A，F，C三点共线，得到△CGF为等腰直角三角形，则③的结论正确；由题意点F在对角线AC上运动，当EF⊥AC时，EF的值最小，连接AC，解直角三角形的知识可得④的结论不正确．【详解】解：延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，如图，∵正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN是线段BA，CD的垂直平分线．∴PD=PC，PA=PB．∵△FPG是△PED绕点P顺时针旋转90°得到，∴△FPG≌△PED，∴PD=PG．∴PC=PG．∴①的结论正确；∵PD=PC，∴∠PDC=∠PCD=1(180°−∠DPC)．2∵PC=PG，∴∠PCG=∠PGC=1(180°−∠CPG)．2∴∠PCD+∠PCG=1[360°−(∠DPC+∠CPG)]．2∵∠DPC+∠CPG=90°，∴∠PCD+∠PCG=135°．∵∠BCD=90°，∴∠BCG=45°．∵△FPG≌△PED，∴∠DEP=∠GFP．∵∠HFP+∠PFG=180°，∴∠DEP+∠HFP=180°．∵∠DEP+∠HFP+∠EHF+∠EPF=360°，∴∠EHF+∠EPF=180°．∴∠EPF=90°，∴∠EHF=90°．即GH⊥AD．∵AD//BC，∴GF⊥BC．∴∠CGF=45°．∴tan∠CGF=1．∴②的结论正确；∵PA=PB，PM⊥AB，∴∠APM=∠BPM，∵PM//AE，∴∠PEA=∠BPM，∠PAE=APM．∴∠PEA=∠PAE．∴PA=PE．∵PE=PF，∴PA=PB=PE=PF．∴点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上．∴∠FAB=12∠FPB=12×90°=45°．∴点F在对角线AC上，∴∠FCB=45°．∵∠BCG=∠CGF=45°，∴△FCG为等腰直角三角形．∵BC平分∠FCG，∴BC垂直平分FG．∴③的结论正确；由以上可知：点F在正方形的对角线AC上运动，∴当EF⊥AC时，EF的值最小．此时点E与点D重合，∴DF=AD⋅sin45°=4×22=22．∴④的结论不正确．综上，结论正确的序号有：①②③，故答案为：①②③．15．220233【分析】设直线y=33x+2与x轴交于点C，求出点A、C的坐标，可得OA=2,OC=23，推出∠C B1A1=90°，∠C B1A=30°，然后求出C B1=2O B1=43=22×3，C B2=2C B1=83=23×3，C B3=2C B2=163=24×3，…，进而可得C B2022=22023×3，C B2023=22024×3，再求出B2022B2023即可．【详解】解：如图所示，设直线y =33x +2与x 轴交于点C ，当x =0时，y =2；当y =0时，x =−23，∴ A (0,2)，C (−23,0)，∴ OA=2，OC =23，∴ tan ∠ACO =OA OC=223=33，∴ ∠ACO=30°，∵ △A B 1A 1是等边三角形，∴ ∠A A 1B 1=∠A B 1A 1=60°，∴ ∠C B 1A 1=90°，∠C B 1A =30°，∴ AC =A B 1，∵ AO⊥C B 1，∴ O B 1=OC =23，∴ C B 1=2O B 1=43=22×3，同理，C B 2=2C B 1=83=23×3，C B 3=2C B 2=163=24×3，……，∴ C B 2022=22023×3，C B 2023=22024×3，∴ B 2022B 2023=22024×3−22023×3=220233，故答案为：220233．16．8+46【分析】先构造15° 的直角三角形，求得15° 的余弦和正切值；作EK ⊥FH ，可求得EH:EF =2:6；作∠ARH=∠BFT =15°，分别交直线AB 于R 和T ，构造“一线三等角”，先求得FT 的长，进而根据相似三角形求得ER ，进而求得AE ，于是得出∠AEH =30°，进一步求得结果．【详解】解：如图1，Rt △PMN 中，∠P =15°，NQ =PQ ，∠MQN =30°，设MN=1，则PQ =NQ =2，MQ=3，PN =6+2，∴cos15°=6+24，tan15°=2−3，如图2，作EK ⊥FH 于K ，作∠AHR =∠BFT =15°，分别交直线AB 于R 和T ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C ，在△AEH 与△CGF 中，{AE =CG ∠A =∠C AH =CF，∴△AEH ≌△CGF(SAS)，∴EH =GF ，同理证得△EBF ≌△GDH ，则EF =GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，设HK=a ，则EH=2a ，EK =3a ，∴EF =2EK =6a ，∵∠EAH =∠EBF =90°，∴∠R=∠T =75°，∴∠R=∠T=∠HEF=75°，可得：FT=BFcos15°=3+36+24=26，AR=AH⋅tan15°=4−23，△FTE∽△ERH，∴FTER =EFEH，∴26ER =62，∴ER=4，∴AE=ER−AR=23，∴tan∠AEH=223=33，∴∠AEH=30°，∴HG=2AH=4，∵∠BEF=180°−∠AEH−∠HEF=75°，∴∠BEF=∠T，∴EF=FT=26，∴EH+EF=4+26=2(2+6)，∴2(EH+EF)=4(2+6)，∴四边形EFGH的周长为：8+46，故答案为：8+46．三．解答题17．（1）原式=2×32−12−33×3−2×32+6×(22)2=3−12−1−3+6×12=3−1−3+3=2．（2）原式=1+4×22−22+3 =1+22−22+3=4．18．（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADC中，tan∠ACD=ADCD =32，AD=6，∴CD=4；（2）解：由（2）得CD=4，∴BD=BC−CD=8，∴AB=A D2+B D2=10，在Rt△ABD中，sin∠ABD=ADAB =35，即sin∠ABC=35．19．解：（1）设直线AC的表达式为y＝kx+b 将点A、C的坐标代入，得得：{7k+b=8b=6，解得：{k=27b=6，故直线AC的表达式为：y＝27x+6；（2）∵OD＝t，BE＝s，AB⊥x轴∴则点D（t，0），点E（7，s）∵DE∥AC可设直线DE的解析式为y＝27x+c将点D的坐标代入0＝27t+c解得：c=﹣27t∴直线的表达式为：y＝27x﹣27t，将点E的坐标代入，得s＝2﹣27t（根据点D在线段OB上，可得0＜t＜7）；（3）存在，理由：设点D（t，0），由（2）BE＝2﹣27t，四边形CDEF为矩形，则∠CDE＝90°，∵∠EDB +∠CDO ＝90°，∠CDO +∠OCD ＝90°，∴∠OCD ＝∠BDE ，∴tan ∠OCD ＝tan ∠BDE ，∴ODOC ＝BE BD即t 6＝2−27t 7−t，解得：t ＝127或7（因为0＜t ＜7，故舍去7），故点D 的坐标为（127，0）．20．（1）如图所示，取格点E ，F ，连接BF,AF ，AE,CE ，∵BF =12+12=2，DF =32+32=32，∴tan ∠D =BF DF=232=13，∵CE =1，BE =3，∴tan ∠ABC=CE BE=13，∴tan ∠D =tan ∠ABC ，∴∠ABC=∠D ；（2）解：如图，取格点D ，E ，同理（1）可得，在Rt△AEC中，tan∠ACE=1，2，在Rt△ABD中，tan∠ABD=12∴tan∠ACE=tan∠ABD，∴∠ACE=∠ABD，直线BD与AC的交点为所求的点P．21．（1）解：由题意，得AD⊥DF，∴∠ADF=90°∴∠DAF=90°−∠AFD=90°−45°=45°，由题意，得FD∥CE，∴∠CDF=∠ECD=30°∴∠BDC=∠ADF+∠CDF=90°+30°=120°．（2）解：如图，过点F作FG⊥EC于G，由题意得，FG∥DE,DF∥GE,∠FGE=90°，∴四边形DEGF是矩形．∴FG=DE．在Rt △CDE 中，DE =CE ⋅tan ∠DCE=6×tan30°=23（米），∴FG =23（米）．答：F 距离地面CE 的高度为23米；（3）解：∵斜坡CF 的坡度为i =1:2.5，∴Rt △CFG 中，CG = 2.5FG =23× 2.5=53（米），∴FD =EG =(53+6)（米）．∴在Rt △AFD 中，∠AFD=45°，∴AD =FD =(53+6)米．在Rt △BCE 中，BE =CE ⋅tan ∠BCE =6×tan60°=63（米），∴AB =AD +DE −BE =53+6+23−63=(6+3)（米）．答：宣传牌AB 的高度约为(6+3)米．22．（1）解：如图，∠BAC=90°,AB =AC ,sad90°=BC AB ,∵cos45°=AB BC=22,∴sad90°=BCAB = 2.（2）解：如图，点A 在BC 的中垂线上，当点A 向BC 靠近时，∠A 增大，逐渐接近180°，腰长AB 接近12BC ，AB >12BC 相应的sadA =BC AB <2；当点A 远离BC 时，∠A 减小，逐渐接近0°，腰长AB 逐渐增大，相应的sadA =BCAB 逐渐接近0，sad A =BCAB >0；∴0<sadA <2（3）解：如图，在AB 上截取AH=AC ，过H 作HD ⊥AC 于D ，sinA =35=DH AH ，设HD =3x,AH =AC =5x ，则，AD =A H 2−H D 2=4x ,∴DC =AC −AD =5x −4x =x ．Rt △HDC 中，HC =C D 2+H D 2=10x ，∴sadA =CH AH =10x 5x =105．23．（1）解：证明：如图1，过点A 作AN ⊥BC 于N ，∵AB =AC ，∴BN =12BC ，∵AD =BD ，∴∠ABD =∠BAD ，在△ABN 和△BAH 中，{∠ANB=∠BHA=90°∠ABD=∠DABAB=BA，∴△ABN≌△BAH(AAS)，∴BN=AH，∴12BC=AH，∴BC=2AH；（2）如图2，在AC上取一点F，使EF=EC，连接EF，∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠DAB=∠EAC，∵AB=AC，∴∠ABE=∠C=∠CFE=30°，∴∠ABD=∠AFE=150°，∴△ABD∽△AFE，∴ABAF =BDEF，即6AF=23EF，∴AFEF=3，设EF=a，则AF=3a，∵EF=CE=a，∠C=30°，∴CF=2EF·cos30°=3a，∴6−3a=3a，∴a=3，∴CE=EF=3；（3）如图3，过点A作AP⊥BC于P，作AG∥CE交BC的延长线于G，设AE=2m，BE=3m，则AB=AC=5m，∵tan∠ABC=34=AP BP ，∴ BP AB =45，∴BP =CP =4m ，BC =8m ，∵∠BAD =∠BCE =∠G ，∠ABD =∠GCA ，∴△ABD ∽△GCA ，∴ CG AB =AC BD ，即CG 5m =5m 5，∴CG =5m 2，∵AG ∥CE ，∴ BE AE =BC CG ，∴ 3m 2m =8m5m 2，∴m =1615，∴BC =8m =12815．。
第2章 解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-青岛版(含答案)
第2章解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-青岛版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、方程，则锐角=（）A.30°B.45°C.60°D.无法确定2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5 ．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（）A. B.C. D.3、如图，Rt△ABC中，∠CAB=90°，在斜边CB上取点M，N（不包含C、B两点），且tanB=tanC=tan∠MAN=1，设MN=x，BM=n，CN=m，则以下结论能成立的是（）A.m=nB.x=m+nC.x＞m+nD.x 2=m 2+n 24、如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，AB=8，则tan∠ACB的值等于（）A. B. C. D.5、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）A. B. C. D.6、如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要 ( )A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元7、cos30°=（）A. B. C. D.8、如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF=2AF；②tan∠CAD=；③DF=DC；④△AEF∽△CAB；⑤ S四边形CDEF=S△ABF ,其中正确的结论有（）A.2个B.3个C.4个D.5个9、如图，小强从热气球上测量一栋高楼顶部的倾角为30°，测量这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为45米，则这栋高楼高为多少（单位：米）（）A.15B.30C.45D.6010、如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km、从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（）A.4kmB.（2+ ）kmC.2 kmD.（4﹣）km11、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（）A. B. C. D.12、等于（）A. B. C. D.13、如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=6km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A.3 kmB.3 kmC.4 kmD.（3 ﹣3）km14、如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦AC的长为3，sinB= ，则⊙O的半径为（）.A.4B.2.5C.2D.15、如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A.（）米B.（）米C.（）米 D.（）米二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B是x轴正半轴上一动点，将点A绕点B 顺时针旋转60°得点C，OB延长线上有一点D，满足∠BDC＝∠BAC，则线段BD长为________.17、如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为________．18、如图所示，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12米，塔影长DE=18米，小明和小华的身高都是1.6米，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2米和1米，那么塔高AB为________米。
第24章 解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-华师大版(含答案)
第24章解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-华师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，则下列结论正确的是（）A.AE＝3CEB.AE＝2CEC.AE＝BDD.BC＝2CE2、如图，线段是⊙的直径，弦，垂足为，点是上任意一点，,则的值为（）A. B. C. D.3、在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2AC，则sinA 的值是（）A. B. C. D.4、如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为（）A. B. C. D.5、已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为（）A.45°B.75°C.45°或15°或75°D.60°6、以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A.4cm，5cm，6cmB.8cm，2cm，5cmC.12cm，5cm，6cm D.3cm，6cm，3cm7、如图，，是角平分线上一点，，垂足为，点是的中点，且，如果点是射线上一个动点，则的最小值是（）A.1B.C.2D.8、如图，已知∠ACB=60°，PC=12，点M，N在边CB上，PM=PN．若MN=3，则CM的长为（）A.3B.C.4D.9、定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角的正对记作，即底边:腰.如图，在中，，.则（）A. B. C.1 D.210、等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，则此三角形的周长是（）A.25cmB.20cmC.15cmD.20cm或25cm11、如图，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且OM:OP=4:5，则cosα的值等于( )A. B. C. D.12、已知：如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，则下列等式成立的是（）A. B. C. D.13、如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A. B. C. D.14、如图，正方形中，为的中点，为上一点，，设，则的值等于（）．A. B. C. D.15、在中，，，则的值等于（）A. B. C. D. 或二、填空题(共10题，共计30分)16、计算：2sin45°cos45°=________．17、如图，已知等边的边长是6，点D在AC上，且延长BC到E，使，连接点F，G分别是AB，DE的中点，连接FG，则FG的长为________.18、如图，优弧纸片所在的半径为2，，点为优弧上一点（点不与，重合），将图形沿折叠，得到点的对称点．当与相切时，则折痕的长________．19、如图，在△ABC中，，，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF//AB交AE的延长线于点F，则DF的长为________.20、如图，点是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列要求折叠，使弧和弧都经过圆心，已知的半径为，则阴影部分的面积是________.21、已知等边的边长为3，点在直线上，点在直线上，且，若，则的长为________.22、在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则cosC=________.23、已知tanα= ，那么sinα=________．（其中α为锐角）24、如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30o得到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于________ 。
第24章 解直角三角形单元测试卷及参考答案
图（1）图（2）第24章 解直角三角形单元测试卷姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________ 一、选择题（每小题3分,共30分）1. 如图（1）所示,在△ABC 中,︒=∠90B ,AB BC 2=,则A cos 等于 【 】 （A ）25 （B ）21 （C ）552 （D ）552. 如图（2）所示,在Rt △ABC 中,︒=∠90BAC ,BC AD ⊥于点D ,如果α=∠ABC ,那么下列结论 错误的是 【 】 （A ）αsin ACBC =（B ）αtan ⋅=AD CD （C ）αcos ⋅=AB BD （D ）αcos ⋅=AD AC3. 如图（3）所示,在菱形ABCD 中,AB DE ⊥,2,53cos ==BE A ,则DBE ∠tan 的值是 【 】图（3）（A ）21（B ）2 （C ）25 （D ）554. 在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,已知54sin =A ,则A cos 的值为 【 】 （A ）54（B ）1 （C ）53 （D ）525. 如图（4）所示,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则A sin 的值为 【 】图（4）CBA（A ）21（B ）55 （C ）1010 （D ）5526. 如图（5）所示,已知︒=∠60AOB ,点P 在边OA 上,,12=OP 点M 、N 在边OB 上,PN PM =,若2=MN ,则OM 等于 【 】A B图（5）N OPM（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）67. 如图（6）所示,在矩形ABCD 中,点E 在AB 边上,沿CE 折叠矩形ABCD ,使点B 落在AD 边上的点F 处,若,5,4==BC AB 则AFE ∠tan 的值为 【 】图（6）D（A ）54 （B ）53 （C ）43 （D ）358. 如图（7）所示,在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,︒=∠30A ,E 为AB 上一点,且1:4:=EB AE ,AC EF ⊥于点F ,连结FB ,则CFB ∠tan 的值等于【 】（A ）33 （B ）332 （C ）335 （D ）35 图（7）图（8）9. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度,如图（8）所示,旗杆P A 的高度与拉绳PB 的长度相等.小明将PB 拉到PB′的位置,测得α=∠C PB '（C B '为水平线）,测角仪D B '的高度为1米,则旗杆P A 的高度为 【 】（A ）αsin 11-米 （B ）αsin 11+米（C ）αcos 11-米 （D ）αcos 11+米10. 如图（9）所示,要在宽为22米的九州大道两边安装路灯,路灯的灯臂CD 长2米,且与灯柱BC 成︒120角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直,当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳,此时,路灯的灯柱BC 的高度应该设计为 【 】A图（9）O DBC（A ）()2211-米 （B ）()22311-米 （C ）()3211-米 （D ）()4311-米二、填空题（每小题3分,共15分）11. 如图（10）所示,在△ABC 中,12,==BC AC AB ,BD 为高,M 为AB 的中点,且5=DM ,则△ABC 的面积为_________.图（10）图（11）MNBCAD12. 在△ABC 中,如果B A ∠∠、满足021cos 1tan 2=⎪⎭⎫⎝⎛-+-B A ,那么=∠C _________.13. 如图（11）所示,正方形ABCD 的边长为4,N 是DC 的中点,M 是AD 上异于D 的点,且MBC NMB ∠=∠,则=∠ABM tan _________.14. 一般地,当βα,为任意角时,()βα+sin 与()βα-sin 的值可以用下面的公式求得:()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+,()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-.例如:()4622223222145sin 30cos 45cos 30sin 4530sin 75sin +=⨯+⨯=︒︒+︒︒=︒+︒=︒类似地,可以求得=︒15sin __________.15. 如图（12）所示,已知点()0,35A ,直线b x y +=)0(>b 与y 轴交于点B ,连结AB ,若︒=75α,则=b _________.图（12）三、解答题（共75分）16. 计算:（每小题5分,共20分）（1）︒+︒45cos 360sin 2; （2）130sin 560cos 3-︒︒;（3）︒-︒-︒45tan 230cos 1245sin 22; （4）︒-︒-︒︒60cos 2345tan 60sin 230sin 2.17.（8分）先化简,再求值:1211222++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x x ,其中︒=30sin x .18.（11分）如图（13）所示,在△ABC 中,AC BE BC AD ⊥⊥,,垂足分别为D 、E ,AD与BE相交于点F.（1）求证:△ACD∽△BFD;（2）当1=AC时,求BF的长.tan=∠ABD,3 Array图（13）19.（12分）如图（14）所示,在矩形ABCD中,点E是BC边上的点,AEAE⊥=,,垂足为点F,连结DE.BCDF（1）求证:DFAB=;（2）若,6=ABAD求EDF10=,tan的值.∠Array图（14）20.（12分）如图（15）所示,小强从自己家的阳台上看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,小强家与这栋楼的水平距离为42 m,这栋楼有多高?图（15）21.（12分）我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad ）.如图1,在△ABC 中,AC AB =,顶角A 的正对记作sad A ,这时sad A ABBC==腰底边.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解答下列问题: （1）sad =︒60_________;（2）如图2,在△ABC 中,CA CB =,若sad C 56=,求B tan 的值; （3）如图3,在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,若54sin =A ,试求sad A 的值.图 1BCA图 2BAC图 3C第24章 解直角三角形单元测试卷参考答案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共15分）11. 48 12. ︒75 13.3114. 426- 15. 5 三、解答题（共75分）16. 计算:（每小题5分,共20分） （1）︒+︒45cos 360sin 2;解:原式223232⨯+⨯= 62626=+=（2）130sin 560cos 3-︒︒;解:原式1215213-⨯⨯=1= （3）︒-︒-︒45tan 230cos 1245sin 22; 解:原式223322222-⨯-⨯=292321-=--=（4）︒-︒-︒︒60cos 2345tan 60sin 230sin 2.解:原式21231232212⨯--⨯⨯=41324321343131-=-+=--=17.（8分）先化简,再求值:1211222++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x x ,其中︒=30sin x .解:1211222++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x x()()()()1111122-=-++⋅+=x x x x x x x x ……………………………………6分当2130sin =︒=x 时……………………………………7分 原式112121-=-=. ……………………………………8分 18.（11分）如图（13）所示,在△ABC 中,AC BE BC AD ⊥⊥,,垂足分别为D 、E ,AD 与BE 相交于点F . （1）求证:△ACD ∽△BFD ;（2）当1tan =∠ABD ,3=AC 时,求BF 的长.图（13）（1）证明:∵AC BE BC AD ⊥⊥, ∴︒=∠+∠︒=∠+∠902,901C C ……………………………………1分 ∴21∠=∠……………………………………2分 ∵︒=∠=∠90BDF ADC ,21∠=∠∴△ACD ∽△BFD ;……………………………………5分 （2）在Rt △ABD 中 ∵1tan =∠ABD ∴1=BDAD……………………………………7分 ∵△ACD ∽△BFD∴13,1===BFBD AD BF AC ∴3=BF .……………………………………9分 19.（12分）如图（14）所示,在矩形ABCD 中,点E是BC边上的点,AE DF BC AE ⊥=,,垂足为点F ,连结DE .（1）求证:DF AB =;（2）若,6,10==AB AD 求EDF ∠tan 的值.图（14）（1）证明:∵四边形ABCD 是矩形 ∴BC AD BC AD ABE =︒=∠,//,90 ……………………………………1分 ∴AEB DAF ∠=∠ ∵AE DF ⊥∴︒=∠=∠90ABE DFA ∵BC AE = ∴DA BC AE == 在△ABE 和△DF A 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DA AE DAF AEB DFA ABE ∴△ABE ≌△DF A （AAS ）……………………………………5分 ∴DF AB =;（2）由（1）可知:△ABE ≌△DF A ∴6==DF AB……………………………………6分 ∵10=AD ∴10=AE在Rt △ABE 中,由勾股定理得:86102222=-=-=AB AE BE……………………………………9分 ∴8=FA∴2=-=FA AE EF……………………………………10分 ∴3162tan ===∠DF EF EDF . ……………………………………12分 20.（12分）如图（15）所示,小强从自己家的阳台上看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,小强家与这栋楼的水平距离为42 m,这栋楼有多高?解:由题意可知:42,=⊥AD BC AD m……………………………………1分 在Rt △ABD 中 ∵ADBDBAD =∠tan ∴3342=BD ∴314=BD m……………………………………6分 在Rt △ACD 中 ∵ADCDCAD =∠tan ∴360tan 42=︒=CD∴342=CD m……………………………………11分 ∴356=+=CD BD BC m……………………………………12分 答:这栋楼的高度为356m.21.（12分）我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad ）.如图1,在△ABC 中,AC AB =,顶角A 的正对记作sad A ,这时sad A ABBC==腰底边.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解答下列问题:（1）sad =︒60_________;（2）如图2,在△ABC 中,CA CB =,若sad C 56=,求B tan 的值; （3）如图3,在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,若54sin =A ,试求sad A 的值. 解:（1）1;……………………………………3分 （2）作AB CD ⊥.图 2∵CA CB =,AB CD ⊥ ∴AB BD 21=……………………………………4分∵sad C 56=∴56=BC AB 设x AB 6=,则x BC 5=∴x BD 3=在Rt △BCD 中,由勾股定理得:()()xx x BD BC CD 4352222=-=-=……………………………………5分 ∴3434tan ===x x BD CD B . ……………………………………6分 （3）延长AC 至E ,使AE AB =. ……………………………………8分图 3∵54sin =A ∴54=AB BC 设x AB x BC 5,4== ∴x AE 5=在Rt △ABC 中,由勾股定理得:()()xx x BC AB AC 3452222=-=-=……………………………………9分 ∴x AC AE CE 2=-= 在Rt △BCE 中,由勾股定理得:()()xx x CE BC BE 52242222=+=+=∴sad A 552552===x x AB BE .（12分）图 2 mm。
第一章 解直角三角形单元测试卷(标准难度 含答案)
浙教版初中数学九年级下册第一单元《解直角三角形》（标准难度）（含答案解析）考试范围：第一单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是( )A. sinA=√32B. tanA=12C. cosB=√32D. tanB=√32. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F.若sin∠CAB=35，DF=5，则BC的长为( )A. 8B. 10C. 12D. 163. 如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=12BD，连接AC，若tan B=53，则tan∠CAD的值为( )A. √33B. √35C. 13D. 154. 在实数π，13，√2，sin30°中，无理数的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，下列三角函数值错误的是( )A. sinB=35B. cosB=45C. tanB=34D. tanA=436. 如图，CD是平面镜，光线从点A出发，经CD上点E反射后照射到点B.若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为点C，D，且AC=3，BD=6，CD=11，则tanα的值为( )A. 113B. 311C. 911D. 1197. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，cosA=√32，∠B的平分线BD交AC于点D，若AD=16，则BC的长为( )A. 6B. 8C. 8√3D. 128. 如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB同侧)，则下列三个结论：①sin∠C>sin∠D；②cos∠C>cos∠D；③tan∠C>tan∠D中，正确的结论为( )A. ①②；B. ②③；C. ①②③；D. ①③；9. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为( )A. 95sinα米B. 95cosα米C. 59sinα米D. 59cosα米10. 如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于点D，BD=√3.若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为( )A. √33B. √32C. 1D. √6211. 如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=α，则点A到OC的距离等于( )A. a⋅sinα+b⋅sinαB. a⋅cosα+b⋅cosαC. a⋅sinα+b⋅cosαD. a⋅cosα+b⋅sinα12. 如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45∘方向然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东60∘方向，则这段河的宽度为( )A. 80(√3+1)米B. 40(√3+1)米C. (120−40√3)米D. 40(√3−1)米第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosA的值是．14. 在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE=6，sin A=3，则菱形ABCD的周长是．515. 若锐角α满足cosα<√2且tanα<√3，则α的范围是．216. 如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，cosB=3.如果⊙O的半径为√10cm，且经过点B，5C，那么线段AO=cm．三、解答题（本大题共9小题，共72分。
解直角三角形单元测试题4
第十九章《解直角三角形》测试卷班级： 姓名： 学号： 成绩：一、选择题（每题3分，共21分）1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（ ） A.43 B.34 C.53 D.352. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A.21 B.33 C. 1 D.33.在△ABC 中，若cosA=22,tanB=3，则这个三角形一定是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 4. 在△ABC 中，∠C ＝90°，53sin =A ，则=B tan （ ）．A.53 B.54 C.43 D.345.等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）．A .513 B.1213C .1013D .5126.如图6，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为 A ．10米 B ．15米 C ．25米 D ．30米7. 如图19,铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3， 顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ） A. 7米 B. 9米 C. 12米 D. 15米二、填空题（每题4分，共32分）8. 如图：P 是∠α的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4）， 则sin （900 - α）＝_____________.9.已知直角三角形的两直角边的比为3:7，则最小角 的正弦值为_______.10. Rt △ABC 的两条边分别为5cm 和6cm ，它的周长是 cm.11. 已知△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ∙tan50°=1，那么∠A 的度数是_______.12. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A =3，AC 等于10，则S △ABC 等于 . 13.在一艘船上看海岸上高42米的灯塔顶部的仰角为30度，船离海岸线 米.14. 在△ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于D ，若AC ＝4，BD ＝7，则sinA ＝ ， tanB ＝ .15.如图：有一个直角梯形零件ABCD 、AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10cm ， ∠D ＝120°，则该零件另一腰AB 的长是__________cm.三、计算题：（每题6分，共18分） 16． ︒+︒⋅︒30tan 45cos 45sin 17.︒⨯︒45cos 2260sin 2118. .tan30°cot60°＋cos 230°－sin 245°tan45°30°图6四．解答题：（29分）19．已知△ABC中．∠C＝Rt∠，AC＝m，∠ BAC＝α．（如图）求△ABC的面积.（用α的三角函数及m表示）（9分）20.雄伟壮观的“千年塔”屹立在海口市西海岸带状公园的“热带海洋世界”.在一次数学实践活动中，为了测量这座“千年塔”的高度，雯雯在离塔底139米的C处(C与塔底B在同一水平线上)，用高1.4米的测角仪CD 测得塔项A的仰角α=43°(如图)，求这座“千年塔”的高度AB(结果精确到0.1米).（参考数据：tan43°≈0.9325, cot43°≈1.0724）21.如图，河对岸有铁塔AB．在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高．（10分）附加题：22.如图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A, 在河南岸选相距200米的B、C两点，分别测得∠ABC=60O，∠ACB=45O，求这段河的宽度.请你再设计一种测量河宽的可行方案.(10分)αBCAmB CABCDα。
九年级数学上册试题 第23章《解直角三角形》单元测试卷 -沪科版(含答案)
第23章《解直角三角形》单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，4sin 5A =，则AB 的值为()A．8B．9C．10D．122．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，则cos B 的值为()A．13B．12C．22D．323．如图，某游乐场山顶滑梯的高BC 为50米，滑梯的坡比为5:12，则滑梯的长AB 为()A．100米B．110米C．120米D．130米4．如图，ABC ∆的顶点都在正方形网格的格点上，则tan ACB ∠的值为()A．13B．35C．23D．125．下列各式中正确的是()A．sin 46cos 44︒>︒B．2sin 40sin 80︒=︒C．cos 44cos 46︒<︒D．22sin 44sin 461︒+︒=6．如图，在44⨯的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点若ABC ∆的顶点都在格点上，则cos ABC ∠的值是()A．13B．12C．55D．2557．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 在AB 的延长线上，连接CD ，若2AB BD =，2tan 3BCD ∠=，则ACBC的值为()A．1B．2C．12D．328．如图，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，D 为AC 边上一动点，且1tan 2ABD ∠=，则BD 的长度为()A．1558B．25C．5D．5119．如图，AC 垂直于AB ，P 为线段AC 上的动点，F 为PD 的中点， 2.8AC m =， 2.4PD m =， 1.2CF m =，15DPE ∠=︒．若90PEB ∠=︒，65EBA ∠=︒，则AP 的长约为()（参考数据：sin 650.91︒≈，cos 650.42︒≈，sin 500.77︒≈，cos500.64)︒≈A．1.2B．1.3m C．1.5m D．2.0m10．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，延长CA 到点D ，使AD AB =，连接BD ．根据此图形可求得tan15︒的值是()A．23-B．23+C．36D．32二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，设A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，则正确的是．A ．sin a c A =⋅B ．cos b c B =⋅C ．tan a b A =⋅D ．tan a b B=⋅12．有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，斜坡的倾斜角是BAC ∠，若坡比为2:5，则此斜坡的水平距离AC 为．13．在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，CD 是AB 边上的中线，8BC =，5CD =，则tan ACD ∠=．14．如图所示，MON ∠是放置在正方形网格中的一个角，则tan MON ∠的值是．15．在ABC ∆中，22AB =，1tan 3B =，BC 边上的高长为2，则ABC ∆的面积为．16．某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30︒，拉索BD 与水平桥面的夹角是60︒，两拉索底端距离20AD =米，则立柱BC 的高为米．（结果保留根号）17．如图是一款利用杠杆原理设计的平衡灯，灯管AB 与支架AD ，砝码杆AC 均成120︒角，且40AB cm =，18AC cm =，6AD cm =，底座是半径为2cm 的圆柱体，点P 是杠杆的支点．如图1，若砝码E 在端点C 时，当杠杆平衡时，支架AD 垂直于桌面，则此时垂直光线照射到最远点M 到支点P 的距离PM 为cm ．由于特殊设计，灯管的重力集中在端点B ，砝码杆重力集中在砝码E 上，支架AD 的重力忽略不计，由杠杆原理可知，平衡时重力保持垂直水平桌面向下，且1122G h G h ⋅=⋅，如图2．为了使得平衡时砝码杆与桌面平行，则砝码E 到离A 点的距离为cm ．18．用一副如图1所示的七巧板，拼出如图2所示中间有一个空白正方形的“风车图”，则图2中tan ABC ∠=．三、解答题（本大题共8小题，共66分．）19．计算：22sin 456cos303tan 454sin 60︒-︒+︒+︒．20．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，10AB =，6BC =，求sin A ，cos A ，tan A 的值．21．如图，在ABC∆中，90C∠=︒，AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，连接AE．（1）如果25B∠=︒，求CAE∠的度数；（2）如果2CE=，2sin3CAE∠=，求tan B的值．22．如图，在ABC∆中，已知ABC m∠=︒，ACB n∠=︒．090m n︒<︒+︒<︒，1AC=．（1）求AB及BC的长度（用m︒，n︒的三角函数表示）；（2）试判断sin()sin cos cos sinm n m n m n︒+︒=︒︒+︒︒是否成立并说明理由．23．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为)O 的墙上．当梯子位于AB 位置时，它与地面所成的角60ABO ∠=︒，当梯子底端向右滑动0.5m （即0.5)BD m =到达CD 位置时，它与地面所成的角5118CDO ∠=︒'，求梯子的长．（参考数据：sin 51180.780︒'=，cos 51180.625︒'=，tan 5118 1.248)︒'=24．如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，作BC 的垂直平分线交AC 于点D ，延长AC 至点E ，使CE AB =．（1）若1AE =，求ABD ∆的周长；（2）若13AD BD =，求tan ABC ∠的值．25．在太原郁郁葱葱的西山上，环绕着一条蜿蜒曲折、鲜艳夺目的公路，它就是太原环城旅游公路暨公路自行车赛道，该赛道环西山而建，全长约136千米，将百余处景点串连成一条线．（1）周日，某自行车骑行团组织甲、乙两个赛队在该赛道进行骑行活动，他们从赛道同一端出发，甲队出发25分钟时乙队出发，结果乙队比甲队提前15分钟到达终点（即赛道的另一端）．已知乙队骑行的平均速度为甲队的1.2倍．求甲、乙两个赛队此次活动骑行的平均速度．（2）该赛道一端附近是太原市的摄乐桥如图（1），摄乐桥是太原市第18座跨汾河大桥，也是太原市首座仅靠主塔及缆索承担桥面重量的跨河大桥．某数学兴趣小组的同学们为了测量摄乐桥主塔的高AB，在地面上选取测点C放置测倾仪，测得主塔顶端A的仰角45∠=︒，将测ADM倾仪向靠近主塔的方向前移10m至点E处，测得主塔顶端A的仰角47.7∠=︒，测量示意图AFM如图（2）所示．已知测倾仪的高度 1.5︒≈，=，求摄乐桥主塔的高AB．（参考数据：sin47.70.74CD m︒≈︒≈，tan47.7 1.10)cos47.70.6726．山西省隰县盛产香梨，被称为“隰县玉露香”．县政府运用“互联网+玉露香梨”的发展思路，探索“爱心助农精准脱贫”的方式，构建“隰县玉露香”电商生态圈，使隰县成为中国北方最大的电商孵化基地.2021年春节期间，“隰县玉露香”在网上热销，某电商看准商机，用10000元购进一批“隰县玉露香”，销量可观，于是又用18000元购进一批同款规格的“隰县玉露香”，但第二次的进价比第一次每箱上涨20元，第二次所购数量恰好是第一次的1.5倍．（1）求第一次购进的“隰县玉露香”每箱的价格．（2）政府为推进农村电商高质量可持续发展，在隰县新建一批移动信号发射塔，以提高农村互联网的传输效率．如图，是一个新建的移动信号发射塔AC ，其高15AC m =．用测角仪在山脚下的点B 处测得塔底C 的仰角36.9CBD ∠=︒，塔顶A 的仰角42ABD ∠=︒，点A ，C ，D 在同一条铅垂线上．果农要在山脚B 处修建房屋以方便管理梨园，按国家规定，通讯基站离居民居住地至少100m 就可不受信号塔辐射的影响．请判断在点B 处的房屋是否受信号塔塔顶A 发出的信号辐射的影响．（测角仪、房屋的高度忽略不计；结果精确到0.1m ；参考数据：sin 36.90.60︒≈，cos36.90.80︒≈，tan 36.90.75︒=，sin 420.67︒=，cos 420.74︒=，tan 420.90)︒≈答案一、选择题C ．B .D ．D ．D ．C ．B ．D ．B ．A ．二、填空题11．A 、C ．12．75m ．13．43．14．1．15．7或5．16．．17．165．18．3．三、解答题19．原式22()6314222=⨯-⨯+⨯+⨯2234=⨯-+13=-++4=．20．在Rt ACB ∆中，由勾股定理得：8AC ===，所以63sin 105BC A AB ===，84cos 105AC A AB ===，63tan 84BC A AC ===．21．（1）DE 垂直平分AB ，EA EB ∴=，25EAB B ∴∠=∠=︒．40CAE ∴∠=︒．（2）90C ∠=︒ ，∴2sin 3CE CAE AE ∠==．2CE = ，3AE ∴=，AC ∴=3EA EB == ，5BC ∴=，∴tan AC B BC ==．22．（1）作AD BC ⊥于点D ，在Rt ACD ∆中，1AC =，sin AD n AD AC ︒==，cos CD n CD AC︒==，在Rt ABD ∆中，sin AD m AB ︒=，sin sin sin AD n AB m m ︒∴==︒︒，cos BD m AB︒= ，sin cos cos sin n BD AB m m m ︒∴=⋅︒=︒︒．sin cos cos sin n BC BD CD m n m ︒∴=+=︒+︒︒．（2）成立，理由如下：作CE BA ⊥交BA 延长线于点E ，EAC ∠ 为ABC ∆的外角，EAC B ACB m n ∴∠=∠+∠=︒+︒，在Rt EBC ∆中，sin CE m BC︒=，sin sin (cos cos )sin sin cos cos sin sin n CE BC m m n m m n m n m ︒∴=⋅︒=︒+︒︒=︒︒+︒︒︒．23．设梯子的长为xm ，在Rt ABO ∆中，cos OBABO AB∠=1cos cos 602OB AB ABO x x ∴=∠=︒=在Rt CDO ∆中，cos ODCDO CD∠=cos cos51180.625OD CD CDO x x ∴=∠=︒'≈ ．BD OD OB =- ，0.5BD m =10.6250.52x x ∴-=，解得4x =．故梯子的长是4米．24．（1）如图，连接BD ，设BC 垂直平分线交BC 于点F ，BD CD ∴=，ABD C AB AD BD∆=++AB AD DC=++AB AC =+，AB CE = ，1ABD C AC CE AE ∆∴=+==，故ABD ∆的周长为1．（2）设AD x =，3BD x ∴=，又BD CD = ，4AC AD CD x ∴=+=，在Rt ABD ∆中，AB ==．tanAC ABC AB ∴∠===．25．（1）设甲队骑行的平均速度为/xkm h，则乙队骑行的平均速度为1.2/xkm h．根据题意，得13613625151.26060x x-=+，解得：34x=．经检验，34x=是原方程的根．1.2 1.23440.8x∴=⨯=．答：甲队骑行的平均速度为34/km h，乙队骑行的平均速度为40.8/km h．（2）如图，过点D作DG AB⊥于点G，则DG过点F．由题意得 1.5BG EF CD m===，10DF m=．设FG a=m．在Rt ADG∆中，45ADG∠=︒，(10)AG DG a m∴==+．在Rt AFG∆中，tanAG AFGFG∠=，tan tan47.7 1.10() AG FG AFG a x m∴=⋅∠=︒≈，10 1.10a a∴+=，解得：100a≈，10100110()AG m∴=+=，110 1.5111.5()AB AG BG m∴=+=+=．答：摄乐桥主塔的高AB约为111.5m．26．（1）设第一次购进隰县玉露香的进价为x 元/箱，根据题意可得：10000180001.520x x ⨯=+，解得100x =，经检验，100x =是原方程的解，答：第一次购进的“隰县玉露香”每箱的价格为100元；（2）由题意得，90ADB ∠=︒，在Rt ABD ∆中，tan AD ABD BD∠=，tan 42AD BD ∴=⋅︒，在Rt BCD ∆中，tan CD CBD BD ∠=，tan 36.9CD BD ∴=⋅︒，AC AD CD =- ，15AC m =，15tan 42tan 36.9BD BD ∴=⋅︒-⋅︒，解得100BD m ≈，100135.1()cos 0.74BD AB m ABD ∴=≈≈∠，135.1100> ，∴在点B 处的房屋不会受信号塔塔顶A 发出的信号辐射的影响．。
浙教版九年级下册数学第一章 解直角三角形含答案(必考题)
浙教版九年级下册数学第一章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆的高度与拉绳的长度相等，小明先将拉到的位置，测得为水平线），测角仪的高度为米，则旗杆的高度为（）A. 米B. 米C. 米D. 米2、构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图.在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣.类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）A. +1B. ﹣1C.D.3、如图，在直径为4的⊙O中，弦AC=，则劣弧AC所对的圆周角∠ABC的余弦值是:（）A. B. C. D.4、如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P 在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q.若AB＝2，则线段BQ的长为（）A. B. C. D.15、如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（）A.msin35°B.mcos35°C.D.6、如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（）A. B. C. D.7、已知∠A是锐角，且sinA=，那么∠A等于（）A.30°B.45°C.60°D.75°8、小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了( )A.200 mB.500mC.500 mD.1000m9、如图，下列说法中错误的是（）A.OA的方向是东北方向B.OB的方向是北偏西30°C.OC的方向是南偏西60°D.OD的方向是南偏东30°10、李红同学遇到了这样一道题：tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是（）A.40°B.30°C.20°D.10°11、在Rt△ABC中，，AC=3，BC=4，则sinA的值为（）A. B. C. D.12、如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（）A. B. C. D.213、2sin60°的值等于（）A. B.2 C.1 D.14、如图，点P（x，y）（x＞0，y＞0）在半径为1的圆上，则cosα=（）A.xB.yC.D.15、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin∠B＝，则BC＝（）A.15B.6C.9D.8二、填空题(共10题，共计30分)16、计算：=________．17、如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3,则sinB的值是________.18、如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x(x≥0)，则x的取值范围是________．19、计算“2sin30°-（π- ）0+| -1|+（）-1”的结果是 ________.20、若cosA=0.6753，则锐角A=________ （用度、分、秒表示）．21、如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上点D处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部点B的仰角为45°。
浙教版九年级下《第一章解直角三角形》单元测试题含答案
第一章解直角三角形一、选择题1.在Rt△ABC中，∠C=90∘，若sin A=513，则cos A的值为( )A. 813B. 512C. 23D. 12132.△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于点D，若BC=a，则CD等于( )A. 12a B. 32a C. 32a D. 3a3.已知tan A=23，则锐角A满足( )A. 0∘<A<30∘B. 30∘<A<45∘C. 45∘<A<60∘D. 60∘<A<90∘4.坡度等于1：3的斜坡的坡角等于( )A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘5.一个斜坡的坡角为30O，则这个斜坡的坡度为()A. 1：2B. 3:2C. 1：3D. 3：16.因为cos30∘=32，cos210∘=−32，所以cos210∘=cos(180∘+30∘)=−cos30∘=−32，我们发现：一般地，当α为锐角时，有cos(180∘+α)=−cosα，由此可知cos240∘的值是()A. −12B. −22C. −32D. −37.在Rt△ABC中，∠C=90∘，下列式子中不一定成立的是( )A. tan A=sin Acos AB. sin2A+sin2B=1C. sin2A+cos2A=1D. sin A=sin B8.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值( )A. 不变B. 扩大2倍C. 缩小2倍D. 不能确定9.如果∠A为锐角，且cos A=0.31，那么∠A的范围是A. 0∘<∠A≤30∘B. 60∘<∠A<90∘C. 45∘<∠A<60∘D. 30∘<∠A<45∘10.某水库堤坝的横断面如图所示，背水坡AD的坡度为1:1.5，迎水坡BC的坡度为1:3，坝顶宽CD=3m，坝高CF，DE均为10m，则坝底宽AB约为()A. 32.2mB. 29.8mC. 20.3mD. 35.3m二、填空题11.在△ABC中，若∠C=90∘，sin A=1，AB=2，则△ABC的周长为______ ．212.关于三角函数还有如下的公式：sinα±β=sinαcosβ±cosαsinβ，(如：sin75∘=sin(30∘+45∘)=sin30∘cos45∘+cos30∘sin45∘)利用这个公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值。
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《解直角三角形》章节测试题
时间100分钟 满分100分 班级 姓名 得分
一、 选择题(（每题3分，共21分）)
1. 在∆Rt 中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A 的三角函数值（ ）
A 也扩大3倍
B 缩小为原来的3
1 C 都不变 D 有的扩大，有的缩小 2. 如图（1），在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC
于D ，连结BD ，若cos ∠BDC=5
3，则BC 的长是（ ）A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm
3.若3tan(a+10°)=3，锐角a 的度数是( ) A 、20°B 、30°C 、35°D 、50°
4. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ）
A ．c=A a sin
B ．c=A
a cos C ．c=a·tanA D ．c=a·cotA 5. 当锐角α>60°时，则cosα的取值范围是（ ）
A ．2
1cos 0<<α B.23cos 0<<α C.23cos 21<<α D ．22cos 21<<α 6. Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=3
4，BC=8，则AC 等于（ ） A ．6 B ．3
32 C ．10 D ．12 7. 点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）
A ．（，）
B ．（-，）
C ．（-，-）
D ．（-，-）
二、 填空题（（每题3分，共48分））
8． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则sin B ＝ ，tan B ＝ ．
图（1）
9．在△ABC 中,∠C=90°,若cosA=53，则tanB=_____,cotB= , cosB= . 10． 一等腰三角形的两边长分别为4cm 和6cm ，则其底角的余弦值为________．
11． 在△ABC 中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=________．
12． 在△ABC 中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠A=______．
13． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，面积为24cm 2，b=6cm, 则sin A ＝ .
14． 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA=2
3，AB ＝8cm ，则△ABC 的面积为______. 15． 2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______;=+ 65cos 25cos 22______
16． =+ 12cos 12sin 22______; =+ 56sin 34sin 22______．
17． 已知锐角α,(1).sin28°=cosα，则α=________, (2).tan28°=cosα,则α=________;
(3).cos38°=sinα，则α=________, (4).cot 2432'22''=tan α,则α=____________ .
18.sin40 ，sin75 ，tan45 ，cot25 的大小关系是（用""<符号连接）
___________________
19、若∠A 是锐角，且sinA ＝cosA ，则∠A 的度数是 .
20、在△ABC 中，∠C ＝90°，如果AB ＝2，BC ＝1，那么sinA 的值
是 ；
21、如图(2)，在坡度为1：2的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平距离
为6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 ；
22、△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，如果a ：b ：
c ＝1：3:2，那么∠A ：∠B ：∠C ＝ ；
23、如图（3），∠C ＝900，∠DBC ＝300，AB ＝DB ，那么tanA
＝ ；
三、计算（每题3分，共12分）
24、---10)21(30sin 2|060cot -|＋132+
图（2）
图（3）
25112sin 602cot 30tan 601
--+
26、0)20093(30tan 160sin 160cos -+++
27、 60sin 225tan 25cot 30tan 3-+
四、简答题（19分）
28、（9分）如图(4)，一船在A 处看见灯塔B 在它的南偏西300方向，这时，船
和灯塔B 的距离为40海里，然后船向西南方向航行到C 处，这时，望见灯塔B 在它正东方向，那么，船航行了多少海里？
图（4）
E 29、（10分）如图(5)，D 是△ABC 的边AC 上一点，CD ＝2AD ，AE ⊥BC ，交BC 于点E.若BD ＝8，sin ∠CBD ＝43
,求AE 的长。
图（5）。