必修二立体几何经典证明题

1、垂直于同一条直线的两条直线一定

A 、平行

B 、相交

C 、异面

D 、以上都有可能 2、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b M ，

a ∥

b ，则a ∥M ；③若a ⊥

c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有

A 、0个

B 、1个

C 、2个

D 、3个

3．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得( ) A ．a ⊂α，b ⊂α B ．a ⊂α，b ∥α C ．a ⊥α，b ⊥α D ．a ⊂α，b ⊥α 4．下面四个命题：

①若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面； ②若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交； ③若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等； ④若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c . 其中真命题的个数为( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E ＝B 1F ，有下面四个结论：

①EF ⊥AA 1；②EF ∥AC ；③EF 与AC 异面；④EF ∥平面ABCD . 其中一定正确的有( )

A ．①②

B ．②③

C ．②④

D ．①④

6．设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )

A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥b

B ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥b

C ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥β

D ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b

7．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，n ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )

A ．A

B ∥m B ．A

C ⊥m C ．AB ∥β

D ．AC ⊥β

1. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1

2AA 1，D 是

棱AA 1的中点

(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

2. 如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且1

2

DF AB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ； （2）若1PH =，2AD =，1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；

（3）证明：EF ⊥平面PAB .

3. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．

4. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形， MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.

（I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；

C B

A

D

C 1

A 1

图 5

D

G

B

F

C

A

E

图 4

G

E

F A

B

C

D

（II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积 之比.

5.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF ∥AB,EF ⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H 为BC

的中点，

(Ⅰ)求证：FH ∥平面EDB; （Ⅱ）求证：AC ⊥平面EDB;

（Ⅲ）求四面体B —DEF 的体积；

6.如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F

是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥

A BCF -,其中2

2

BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当2

3

AD =

时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.

A

D

C

P

M

F

G

E

H

B

D F E

7.如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面

ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证:

(1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD

1. 【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，

1CC AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ⊂面11ACC A ，∴1DC BC ⊥,

由题设知0

1145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,

即1DC DC ⊥,

又∵DC BC C ⋂=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵

1DC ⊂面1BDC ，∴面BDC ⊥面1BDC ；

（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132

+⨯

⨯⨯=1

2，

由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，

∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1. 2. 【解析】（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，

所以PH AB ⊥。

因为PH 为△PAD 中AD 边上的高，所以PH AD ⊥。 因为AB AD A =，所以PH ⊥平面ABCD 。 （2）连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 。 因为E 是PB 的中点，所以//EG PH 。

因为PH ⊥平面ABCD ，所以EG ⊥平面ABCD 。

则1122

EG PH =

=， 111

332

E BC

F BCF V S E

G FC AD EG -∆=

⋅=⋅⋅⋅⋅=2。 （3）证明：取PA 中点M ，连结MD ，ME 。 因为E 是PB 的中点，所以1

//

2ME AB =。

C

B

A

D

C 1

A 1