数学建模案例分析3 随机性人口模型--概率统计方法建模

§3 随机性人口模型

如果研究对象是一个自然村落或一个家族人口，数量不大，需作为离散变量看待时，就利用随机性人口模型来描述其变化过程。 记 ()t Z —时刻t 的人口数（只取整数值）

()()()n t Z p t p n ==—人口为n 的概率

模型假设 1、在[]t t t ∆+, 出生一人的概率与t ∆ 成正比，记作t b n ∆，出生二人及二人以上的概

率为()t o ∆；

2、在[]t t t ∆+, 死亡一人的概率与t ∆ 成正比，记作t d n ∆，死亡二人及二人以上的概率为()t o ∆；

3、出生与死亡是相互独立的随机事件；

4、进一步设n b 和n d 均为与n 成正比，记,,n d n b n n μλ==λ和μ分别是单位时间内

1=n 时一个人出生和死亡的概率。

模型建立

由假设3~1，可知()n t t Z =∆+可分解为三个互不相容的事件之和：()1-=n t Z 且t ∆内出生一人；()1+=n t Z 且t ∆ 内死亡一人；()n t Z =且t ∆内无人出生或死亡。按全概率公式 ()()()()t d t b t p t d t p t b t p t t p n n n n n n n n ∆-∆-+∆+∆=∆+++--1)(1111

即

()()

()()())(1111t p d b t p d t p b t

t p t t p n n n n n n n n n +-+=∆-∆+++--

令0→∆t ，得关于()t p n 的微分方程

()()()()t p d b t p d t p b dt

dp n n n n n n n n +-+=++--1111

又由假设4，方程为

()()()()()()t np t p n t p n dt

dp n n n n μλμλ+-++-=+-1111 （1）

若初始时刻)0(=t 人口为确定数量0n ，则()t p n 的初始条件为

()⎩

⎨

⎧≠==

00

,0,10n n n n p n （2）

（1）在（2） 条件下的求解非常复杂，且没有简单的结果，不过人们感兴趣的是()()t Z E 和()()t Z D （以下简记成)(t E 和)(t D ）

。按定义()()∑∞

==1n n

t np t E （3）

对（3）求导并将（1）代入得

()()()()()()∑∑∑∞

=∞

=+∞

=-+-++-=1

1

2

11

111n n n n n n t p n t p n n t p n n dt

dE μλμλ （4）

注意到()()()()()()()()∑∑∑∑∞

=∞=+∞

=∞=--=++=

-1

1

1

1

1

111,11k k

n n n k k

n t p k k t p n n t p k k t p n n 代入（4） 并

利用（3），则有

()()()t E t np dt

dE n n μλμλ-=-=∑∞

=1

)(

（5） 由（2）得()t E 的初始条件()00n E =，求解微分方程（5）在此初始条件下的解为

()μλ-==r e n t E rt

,0 （6）

可以看出这个结果与指数模型()rt

e x t x 0=形式上完全一致。随机性模型（6）中出生率λ与死亡

率μ之差r 即净增长率，人口期望值呈指数增长，()t E 是在人口数量很多的情况下确定性模型的特例。

对于方差()t D ，按照定义()()()∑∞

=-=

1

2

2

n n t E

t p n

t D ，用类似求()t E 的方法可推出

()(

)[]

1)(0

--+=--t

t

e e

n t D μλμλμ

λμλ （7）

()t D 的大小表示人口()t Z 在平均值()t E 附近的波动范围。（7）式说明这个范围不仅随着时间的

延续和净增长率μλ-=r 的增加而变大，而且即使当r 不变时，它也随着λ 和μ 的上升而增长，这就是说，当出生和死亡频繁出现时，人口的波动范围变大。