流体力学习题及答案-第七章

第七章 粘性流体动力学

7-1 油在水平圆管内做定常层流运动，已知75=d （mm ），7=Q （litres/s ），800=ρ (kg/m 3)，壁面上480=τ（N/m 2），求油的粘性系数ν。 答：根据圆管内定常层流流动的速度分布可得出2

08

1m

u λρτ=； 其中：λ是阻力系数，并且Re

64=

λ； m u 是平均速度，585.1075.014.325.01074

123

2=⨯⨯⨯==

-d Q

u m π（m/s ）。 由于阻力系数2

08m u ρτλ=，因此0

2

02886464Re τρτρλm

m u u ===； 即：

2

8τρν

m

m u d

u =

；

所以油的粘性系数为401055.3585

.18008075

.0488-⨯=⨯⨯⨯==

m u d ρτν（m 2/s ）。 7-2 Prandtl 混合长度理论的基本思路是什么？

答：把湍流中流体微团的脉动与气体分子的运动相比拟。

7-3无限大倾斜平板上有厚度为h 的一层粘性流体，在重力g 的作用下做定常层流运动，自由液面上的压力为大气压Pa ，且剪切应力为0，流体密度为ρ，运动粘性系数为ν，平板倾斜角为θ。试求垂直于x 轴的截面上的速度分布和压力分布。 答：首先建立如图所示坐标系。

二维定常N-S 方程为：

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂22221y u x u x p

f y u v x u u x νρ ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂22221y v x v y p f y v v x v u y νρ 对于如图所示的流动，易知()y u u =，()y p p =，0=v ，θsin g f x =，θcos g f y -=；

即x 方向速度u 和压力p 仅是y 的函数，y 方向速度分量0=v 。

因此上式可改写为：

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=∂∂2222y u x u f x u

u x ν y

p

f y ∂∂=

ρ1 由不可压缩流体的连续方程0=∂∂+∂∂y v x u 可知，由于0=v ，0=∂∂y v ，则0=∂∂x

u ； 则上式可进一步简化为：

022=∂∂+y

u

f x ν （1）

y

p

f y ∂∂=

ρ1 （2） 对于（1）式，将θsin g f x =代入，则有：

θν

sin 1

22g y u -=∂∂ 两端同时积分，得到：

1sin 1

C y g y u +-=∂∂θν

由于当h y =时，0=∂∂=y

u μ

τ，即0=∂∂y u

，代入上式有： h g C θν

sin 1

1=

因此：

y g h g y u θν

θνsin 1

sin 1-=∂∂ 两端再次同时积分，得到：

()22sin 21

sin 1

C y g hy g y u +-

=

θν

θν

由于0=y 时，()00=u ，代入上式，知02=C ；则有：

()⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=

221sin 1

y hy g y u θν 若将ρ

μ

ν=

代入，则上式成为： ()⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=

221sin y hy g y u θμρ 该式即为流动的速度分布。

对于（2）式，将θcos g f y -=代入，有：

θρcos g y

p

-=∂∂ 两端同时积分得到：

()C y g y p +-=θρcos

由于当h y =时，()a p h p =，代入上式有：

h g p C a θρcos +=

因此：

()()y h g p y g h g p y p a a -+=-+=θρθρθρcos cos cos

该式即为流动的压力分布。

7-4两块无限长二维平行平板如图所示，其间充满两种粘性系数分别为1μ和2μ，密度分别为1ρ和2ρ的液体，厚度分别为1h 和2h 。已知上板以等速0v 相对于下板向右作平行运动，整个流场应力相同（不计重力），流动是层流，求流场中速度和切应力的分布。 答：首先建立如图所示的坐标系。

当不计及质量力时，平面定常层流流动的N-S 方程为：

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂22221y u x u x p

y u v x u u νρ ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂22221y v x v y p y v v x v u νρ

显然，y 方向的速度分量0=v ；

由不可压缩流体的连续方程可知

0=∂∂+∂∂y v x u ，可知0=∂∂x

u ，u 仅仅是y 的函数，即()y u u =，所以上式可重新整理成为：

221dy

y

d x p νρ=∂∂⋅ （1） 01=∂∂⋅y

p ρ （2） 由（2）式知道，

0=∂∂y

p

，p 仅仅是x 的函数()x p p =。 将（1）式分区域写成：

x

p

dy u d ∂∂=

1221μ 10h y ≤≤ x

p

dy u d ∂∂=22

21μ 02≤≤-y h 分别对两式两端同时积分得到：

111C y x

p dy du +∂∂=μ 10h y ≤≤ （3） 221C y x

p dy du +∂∂=μ 02≤≤-y h （4） 即

111

C y x

p dy du μμ+∂∂= 10h y ≤≤ 222

C y x

p dy du μμ+∂∂= 02≤≤-y h 由于当0=y 时，两种流体界面上的剪切应力相同，即dy

du dy du 21

μμ=，因此有： 2211C C μμ=，

（3）（4）两式化为：