平面向量复习基本知识点及经典结论总结

平面向量复习基本知识点及经典结论总结

1、向量有关概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量

就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB

按向量a ＝（－1,3）平移后得到

的向量是_____（答：（3,0））

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；

（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB

共线的单位向量是||

AB AB ± )；

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因

为有0 )；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；

（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。

如下列命题：（1）若a b = ，则a b = 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若A

B D

C =

，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC = 。（5）若,a b b c == ，则a c =

。（6）若//,//a b b c ，则//a c

。其中正确的是_______（答：（4）（5））

2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y

轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=

，称(),x y 为向量a 的

坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如（1）若(1,1),a b ==

(1,1),(1,2)c -=- ，则c = ______（答：1322

a b - ）

；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213

(2,3),(,)24

e e =-=- （答：B ）

；（3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b == ,则BC 可用向量,a b 表示为_____（答：2433

a b +

）；

（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→

−−→

−=DB CD 2，−→

−−→

−−→

−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___（答：0）

4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()

1,2a a λλ=

当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=

，注意：λa

≠0。

5、平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作,OA a OB b ==

，AOB θ∠=

()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝2π

时，，垂直。

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ

叫做a 与b 的数

量积（或内积或点积），记作：∙，即∙＝cos a b θ

。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是

一个实数，不再是一个向量。如（1）△ABC 中，3||=−→

−AB ，4||=−→

−AC ，5||=−→

−BC ，则=⋅BC AB _________（答：－

9）；（2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=- ，c 与d 的夹角为4

π

，则k 等于____（答：1）；（3）已知

2,5,3a b a b ===- ，则a b +

等于____；（4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==- ，则与a a b

+

的夹角为____（答：30 ）

（3）b 在a 上的投影为||cos b θ

，它是一个实数，但不一定大于0。如已知3||=→a ，5||=→b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为______（答：5

12）

（4）∙的几何意义：数量积∙等于的模||a

与在上的投影的积。

（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为θ，则：

①0a b a b ⊥⇔∙=

；

②当，同向时，∙＝a b ，特别地，22,a a a a a =∙== ；当与反向时，∙＝－a b ；

当θ为锐角时，∙＞0，且 a b 、不同向，0a b ⋅> 是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，∙＜0，且 a b

、不反向，0a b ⋅<

是θ为钝角的必要非充分条件；

③非零向量，夹角θ的计算公式：cos a b

a b

θ∙=

；④||||||a b a b ∙≤ 。如（1）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，

如果→

a 与→

b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______（答：43λ<-

或0λ>且1

3

λ≠）；（2）已知OFQ ∆的面积为S ，且1=⋅−→−−→−FQ OF ，若2

3

21<

(c o s ,s i n ),(c o s ,s i n

a x x

b y y ==

a 与b

之间有关系式,0ka b kb k +=-> 其中，①用k 表示a b ⋅ ；②求a b ⋅ 的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小（答：①21(0)4k a b k k +⋅=> ；②最小值为1

2

，60θ= ） 6、向量的运算： （1）几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加

法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b == ，那么向量AC 叫做a 与b

的和，即a b AB BC AC +=+= ；

②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=

那么，由减向量的终点指向被减向

量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简：①AB BC CD ++= ___；②AB AD DC --=

____；

③()()AB CD AC BD ---=

_____（答：①AD ；②CB ；③0 ）；（2）若正方形A B C D 的边长为1，

,,AB a BC b AC c === ，则||a b c ++

＝_____（答：）

；（3）若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-

，则ABC 的形状为____（答：直角三角形）；（4）若D 为ABC ∆的边BC 的中点，

ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++= ，设||

||

AP PD λ=

，则λ的值为___（答：2）；（5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++= ，则ABC △的内角C 为____（答：120

）；

（2）坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==

，则：

①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±

，12)y y ±。如（1）已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若

()AP AB AC R λλ=+∈ ，则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上（答：1

2

）；（2）已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2A B AB x y = 且，,(,)22x y ππ∈-，则x y += （答：6

π

或2π-）；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-= ，则合力123F F F F =++

的终点坐标是 （答：（9,1））

②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==

。

③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--

，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐

标减去起点坐标。如设(2,3),(1,5)A B -，且13

AC AB = ，3AD AB =

，则C 、D 的坐标分别是__________（答：