热力学统计物理__玻耳兹曼统计
热力学统计 第七章玻尔兹曼统计
al !
al lal ln ln N ! N ln N al ln al ! l l l x 1 ln x ! x ln x x S k ln S
0
设＝1时，S＝0 S0＝0
ln Z S Nk (ln Z )
2.内能U与广义力Y的统计表达式
2.1 内能U的统计表达式
N N l U al l ll e Z Z l l N Z ln Z N Z
e l l
N al l e l Z Z l e l
配分函数Z ：
l
Z l e l
l
分布在能级l 的粒子数：
N al l e l Z
已知（l, l），可求Z——并不容易！
经典粒子： 配分函数Z ：
Z l e l
l
Z e
( q . p )
dqdp e D( )d r h
积分因子：
如果 X ( x, y )dx Y ( x, y )dy 不是全微分，但存在函数 ( x, y ) ，使得
( x, y ) X ( x, y )dx ( x, y )Y ( x, y )dy 为全微分， 即
( x, y ) X ( x, y )dx ( x, y )Y ( x, y )dy ds ( x, y )
S k ln
满足经典极限的非定域系统：
ln
l
la
l
al !
al S k N ln N al ln l l
S0
lal al ln ln N ln N al ln ln N ! l l al ! l
热力学与统计物理教案：第七章 玻尔兹曼统计
非简并性条件 e 1 愈容易满足。
一般气体在常温，常压下 e 104 ，满足非简并性条件，可用玻尔兹曼统计。
1
1
e
1
，也可改写为
V N
3
h
1 2 mkT
2
（*）
分子的德布罗意波长 h h ， 理解为分子热运动的平均能量 ~ 3 kT （可由以后的
al
N el Z1
l h0r
式中的 h0r 与配分函数 Z1 所含的 h0r 相互抵消，与 h0 无关。
一个粒子的运动状态处于 l 的概率：
68
Pl
al N
1 el Z1
l h0r
A
l
Pl Al
1 Z1
l
Al el
l h0r
1 Z1
Ae d h0r
U
N
ln Z1 及 Yi
N
yi
ln Z1 与 h0
第七章 玻尔兹曼统计
§7.1 热力学量的统计表达式
1、 配分函数
配分函数是统计物理中最重要的热力学特性函数，知道了它，就可以得到平衡态系统的所
有热力学量。
系统的总粒子数 N
al
e l l
e
el l
l
l
l
令 Z1
el l
l
【对单粒子能级求和】
es
【对单粒子量子态求和】
s
称为（单粒子）配分函数，则
N
!
由于 F 与 S 有关，从而与微观状态数有关，所以对于两种系统得出不同的结果。
经典近似
由量子玻尔兹曼分布 al
l e l
和经典玻尔兹曼分布 al
e l
l h0r
热力学统计物理课后习题答案
第七章 玻耳兹曼统计7．1试根据公式Va P Lll∂∂-=∑ε证明，对于非相对论粒子 ()222222212z y x n n n L m m P ++⎪⎭⎫ ⎝⎛== πε，（ ,2,1,0,,±±=z y x n n n ）有V U P 32= 上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
证明：处在边长为L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为()22222,,2212z y x n n nn n n L m m P zy x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛== πε （ ,2,1,0,,±±=z y x n n n ）-------（1） 为书写简便，我们将上式简记为32-=aVε-----------------------（2）其中V=L 3是系统的体积，常量()22222)2(z y x n n n ma ++=π，并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。
由（2）式可得VaV V l L εε323235-=-=∂∂----------------------（3） 代入压强公式，有VUa VV a P l ll L ll3232==∂∂-=∑∑εε----------------------（4） 式中 lll a U ε∑=是系统的内能。
上述证明未涉及分布的具体表达式，因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
注：（4）式只适用于粒子仅有平移运动的情形。
如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U 仅指平动内能。
7．2根据公式Va P Lll∂∂-=∑ε证明，对于极端相对论粒子 ()212222zy x n n n Lc cp ++== πε， ,2,1,0,,±±=z y x n n n 有VUP 31=上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
证明：处在边长为L 的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为()21222,,2z y x n nn n n n Lczy x++= πε， ,2,1,0,,±±=z y x n n n -------（1）为书写简便，我们将上式简记为31-=aVε-----------------------（2）其中V=L 3是系统的体积，常量()212222z y x n n n c a ++= π，并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。
7玻耳兹曼统计
3
因此,所有经典粒子体系都是定域粒子体系.由于 量子统计在数学处理上的困难,在处理实际问题时, 引入一些近似条件,使费米-狄拉克统计,玻色-爱因 斯坦统计退化成为经典的麦克斯韦-玻尔兹曼统计.
在第六章中,得到近独立粒子最概然分布:
麦克斯韦 — 玻耳兹曼分布:
al
l exp(
l )
玻
色 — 爱因斯坦分布:
N
(ln Z y
)
y V
N
(ln Z ) V
青海民族大学电信系 李林
第七章 玻尔兹曼统计
9
在无穷小准静态过程中,当外参量改变dy时,外界 对系统所作功,
dW Ydy dy
l
l
y
al
l
al d l
对内能U求全微分,得
dU d l all l aldl l ldal
内能改变 : dU l aldl l ldal
y
青海民族大学电信系 李林
第七章 玻尔兹曼统计
8
Y
l
l
y
al
l
l
y
l exp(
l
)
1
exp
1
y
l
l exp( l )
N Z
1
y
Z
N
(ln Z ) y
al
l exp(
l )
例: 当系统在准静态过程中,体积变化为dV,外界 对系统所作的功为dW=-pdV=Ydy时,
p
Y
y V
粒子分布确定,由能级 粒子能级确定,由分布 改变引起的内能变化. 改变引起的内能变化.
青海民族大学电信系 李林
第七章 玻尔兹曼统计
10
统计物理学中的玻尔兹曼方程分析
统计物理学中的玻尔兹曼方程分析统计物理学是一门研究宏观物质性质和微观粒子行为之间关联的学科。
而在统计物理学中，玻尔兹曼方程是一种重要的工具，用于描述多粒子系统的宏观状态。
本文将重点讨论玻尔兹曼方程的分析和应用。
玻尔兹曼方程最初由奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼于1872年引入，它描述了粒子的分布函数在时间和空间上的演化。
分布函数是一个在相空间中定义的函数，描述了不同位置和动量的粒子数目。
在热力学平衡下，粒子分布服从麦克斯韦-玻尔兹曼分布律，而玻尔兹曼方程则描述了系统从非平衡态演化到平衡态的过程。
玻尔兹曼方程的形式可以表示为：$$\frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla_x f = \left(\frac{\partialf}{\partial t}\right)_{\text{coll}}$$其中，$f$是分布函数，$\mathbf{v}$是粒子速度，$x$是位置，$\nabla_x$是位置梯度算符，$\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{\text{coll}}$表示碰撞项。
这个方程的左侧描述了粒子在空间中的移动，右侧描述了由于碰撞引起的速度分布的变化。
在分析玻尔兹曼方程时，一种常用的方法是使用玻尔兹曼方程的一维简化形式，即Boltzmann equation in the relaxation time approximation (RTA)，也称为Boltzmann equation with the BGK collision operator。
RTA假设碰撞实际上是一个粒子速度分布函数的指数衰减过程，通过引入碰撞时间常数，使方程更易求解。
玻尔兹曼方程的解决方案一般采用分布函数的累积方式，即将问题转化为求解分布函数的一组守恒方程。
这些守恒方程将分布函数的瞬态行为与宏观观测值联系起来，比如粒子数密度、动量和能量等。
玻尔兹曼统计分布
玻尔兹曼统计分布玻尔兹曼统计分布是热力学和统计物理学中的一个重要概念，它描述了粒子在能级间的分布情况。
玻尔兹曼统计分布是基于玻尔兹曼分布定律得出的，该定律指出在热平衡状态下，粒子在各能级上的分布服从玻尔兹曼分布。
玻尔兹曼统计分布的推导是基于两个基本假设。
首先，假设粒子之间是无相互作用的，其能量仅由粒子的内能决定。
其次，假设粒子在不同能级上的分布是独立的，即一个粒子在某个能级上的分布不会影响其他粒子在相同能级上的分布。
基于这两个假设，我们可以得到玻尔兹曼统计分布的表达式。
玻尔兹曼统计分布可以用来描述各种不同的系统，例如理想气体、固体、液体等。
对于理想气体来说，玻尔兹曼统计分布可以用来计算不同能级上的粒子数。
根据统计物理学的基本原理，处于热平衡的理想气体中，各个能级上的粒子数与该能级对应的能量有关。
在玻尔兹曼统计分布中，粒子在某个能级上的分布概率与该能级的能量成负指数关系。
具体而言，粒子在第i个能级上的概率P(i)可以用玻尔兹曼因子e^(-E(i)/kT)表示，其中E(i)为第i个能级的能量，k为玻尔兹曼常数，T为系统的温度。
玻尔兹曼统计分布可以通过计算每个能级上的粒子数与总粒子数的比例来得到。
玻尔兹曼统计分布在理解和描述各种物理现象中起着重要作用。
例如，在研究固体的热容时，可以利用玻尔兹曼统计分布计算不同能级上的粒子数，并进一步计算总的内能和热容。
另外，玻尔兹曼统计分布也可以用来解释光谱线的强度分布、电子能级跃迁等现象。
玻尔兹曼统计分布是热力学和统计物理学中的一个重要概念，它描述了粒子在能级间的分布情况。
通过玻尔兹曼统计分布，我们可以计算不同能级上的粒子数，并进一步理解和解释各种物理现象。
玻尔兹曼统计分布在研究和应用中具有广泛的意义，对于理解物质的性质和行为具有重要的启示作用。
热力学_统计物理学答案第七章
mγ
2
由条件（3）知 计算得
∫p
z
f ( p x , p y , p z ) dp x dp y dp z = Np0
co m
∑
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ Sk ⎞ ⎜ e −α − βε s′′ ⎟ ⎜ ⎟ S ′′ ⎝ S = S1 ⎠
∑
⎤ ……⎥ ⎥ ⎦
)
离开正 常位置而占据图中×位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子，晶体这种缺陷 叫做弗伦克缺陷。 (1)假设正常位置和填隙位置数都是 N，试证明由于在晶体中形成 n 个缺位和 填隙原子而具有的熵等于 S = 2k ln
S
习题 7.5 固体含有 A、B 两种原子。试证明由于原子在晶体格点的随机分布引起 的混 合熵为 S = k ㏑
ww
是A 原子的百分比， （1-x ）是 B 原子的百分比。注意 x<1，上式给出的熵为正值。 证： 显然 Ω=
习题 7.6 晶体含有 N 个原子。原子在晶体中的正常位置如图中 O 所示。当原子
P = −∑ a l
∂ε l ； ∂V
co m
5
2U ,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 3V
对极端相对论粒子 类似得
ε = cp = c P = −∑ al
l
1 2πℏ 2 ( nx + n y 2 + n z 2 ) 2 L 1 1 − ∂ 2 ( 2πℏ )( ∑ ni ) 2 V 3 ∂V 1 4 3
热力学统计物理玻耳兹曼统计
义
粒子处在该
能级的几率
有效状 态数
al
N Z1
l
e
l
al
el l
N
Z1
el l el l
玻耳兹
曼因子 粒子总是优先占据较低能级；温度升高，占 据该能级的几率增大。
Z1——有效状态和 一个粒子所有可能达到的有效状态的总和。
热统 西华大学 理化学院
6
f e s
l 能量为εl的一个量子态s上的平均粒子数
p
3.粒子配分函数的经典表达式
处元于内能层的l 粒l内子，数运为动：状态处于相体积
al
l
h0r
fs
l h0r
e l
N Z1
l
h0r
el
l x
Z1
l
el l
h0r
al
N Z1
l
h0r
el
取 l 足够小，求和可化为积分：
Z1
el d
h0r
e ( p,q) dq1dq2 dqr dp1dp2 dpr h0r
l l
FD l l! BE
l
l
l
e l
ln
l l
l
对于满足非兼并条件的处
于平衡态（最可几分布） lnFD lnBE l ln l lnl !
的非定域（玻色、费米） 系统，通过对所对应的系 统微观状态数目取对数， 得到了微观状态数目的对 数ln与系统包含的粒子数
l
l
l ln l l ln l 1
玻尔兹曼、玻色、费米系统之间的关系
玻色粒子，玻色分布
＝
e＋
1
非兼并条件
e》1 l l
费密粒子，费密分布
热力学统计物理各章重点总结
第一章概念1.系统：孤立系统、闭系、开系与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统称为孤立系；与外界没有物质交换，但有能量交换的系统称为闭系；与外界既有物质交换，又有能量交换的系统称为开系；2.平衡态平衡态的特点:1.系统的各种宏观性质都不随时间变化；2。
热力学的平衡状态是一种动的平衡,常称为热动平衡;3.在平衡状态下，系统宏观物理量的数值仍会发生或大或小的涨落；4.对于非孤立系，可以把系统与外界合起来看做一个复合的孤立系统，根据孤立系统平衡状态的概念推断系统是否处在平衡状态.3.准静态过程和非准静态过程准静态过程：进行得非常缓慢的过程，系统在过程汇总经历的每一个状态都可以看做平衡态。
非准静态过程，系统的平衡态受到破坏4.内能、焓和熵内能是状态函数.当系统的初态A和终态B给定后，内能之差就有确定值，与系统由A到达B所经历的过程无关;表示在等压过程中系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加值。
这是态函数焓的重要特性克劳修斯引进态函数熵.定义:5.热容量：等容热容量和等压热容量及比值定容热容量：定压热容量:6.循环过程和卡诺循环循环过程（简称循环）:如果一系统由某个状态出发，经过任意一系列过程，最后回到原来的状态，这样的过程称为循环过程。
系统经历一个循环后,其内能不变。
理想气体卡诺循环是以理想气体为工作物质、由两个等温过程和两个绝热过程构成的可逆循环过程。
7.可逆过程和不可逆过程不可逆过程：如果一个过程发生后，不论用任何曲折复杂的方法都不可能使它产生的后果完全消除而使一切恢复原状。
可逆过程:如果一个过程发生后，它所产生的后果可以完全消除而令一切恢复原状.8.自由能：F和G定义态函数：自由能F，F＝U－TS定义态函数:吉布斯函数G,G=U-TS+PV，可得GA－GB－W1定律及推论1.热力学第零定律－温标如果物体A和物体B各自与外在同一状态的物体C达到热平衡,若令A与B进行热接触，它们也将处在热平衡.三要素：（1）选择测温质；(2）选取固定点；（3)测温质的性质与温度的关系。
玻耳兹曼统计热力学统计物理
02
出发点：
03
思路
04
气体分子质心的平移运动
05
*
二、速度分布率
*
，求动量在 中粒子数目，对空间积分 利用式 是能量在体积元 粒子数目 l w D
在速度区间
的粒子数 单位体积内在速度区间 的粒子数 即 麦克斯韦速度分布率 为单位体积内粒子数
*
三、速率分布
*
特征速率 最概然速率：使速率分布函数取极大值的速率； 把速率分为相等的间隔，vm所在间隔分子数最多。
*
低温下，氢的热容与实验结果不符 不能得到 低温下的氢， 即不满足条件
wenfalu的个人博客 王竹溪先生错了吗？
结论：在玻尔兹曼分布适用的条件下，如果任意两个相邻能级的能量差Δε远小于热运动能量kT，粒子的能量就可以看作准连续的变量，由量子统计和有经典统计得到的内能和热容量是相同的。
电子：原子内电子的激发态与基态能量差1~10eV，相应的特征温度104~105K,远大于 ，常温下，电子只能处在基态而不改变内能，即常温下电子对气体的热容没有贡献。 O, Fe，NO 在与特征温度可以比拟的温度范围内，电子运动对热容是有 贡献的。
三、振动能量
两个原子的相对运动可以看作圆频率 ω 线性振动，能量 的量子表达式
式
简并度
*
振动配分函数
*
内能
与温度无关，N个振子的零点能量
热容量
温度为T时的热激发能量
01
03
02
04
振动特征温度
A
B
C
或
高温极限
高温极限和低温极限
*
高温极限和低温极限
01
02
03
04
*
热力学与统计物理 第七章 玻尔兹曼统计
e Z1 r dq1 dqr dp1 dpr h0
粒子自由度为3
e Z1 3 dxdydzdpx dp y dpz h0
15
Z1
V Z1 3 h0
方法一：
e
2 2 px p2 y pz
2m
h
3 0
dxdydzdp x dp y dp z
ln Z1 S Nk ln Z1
7
ln Z1 S Nk ln Z1 ln Z1 Nk ln Z1 T Nk ln Z1 自由能 F U TS N kT F NkT ln Z1
l l Z1 r e h0
体积元 l 取得足够小时，
l d dq1 dqr dp1 dpr
l l Z1 r e h0
Z1
e
h
r 0
dq1 dqr dp1 dpr
14
§7.2
理想气体的物态方程
N ln Z1 p V
Z1 l e l
Z1 l ln Z1 U N
l e l
l l e l l
2
三、广义力
Y 广义力
dW pdV
y
外参量
dW Ydy
Y l作用在该粒子上 当某个粒子处在 l 能级上，若有一“外力”
e
2 2 px p2 y pz
2m
dp x dp y dp z
V Z1 3 h0
4V Z1 3 h0
则
1 e t t 2 dt
物理论文 玻尔兹曼统计
摘要：玻尔兹曼统计是对全同近独立粒子体系提出的平衡统计力学理论，在热力学统计物理中具有极其重要的地位和作用。
玻尔兹曼指出全同粒子是可以分辨的，粒子运动是轨道运动，是可以被跟踪的。
在一个量子态上的粒子数分布是不受限制。
玻尔兹曼统计的发展分为几个历程，而在每个历程的时代，玻尔兹曼统计无疑的都有很重要的作用。
对于玻尔兹曼统计的研究有着必然性和重要性。
关键词：玻尔兹曼；统计；粒子的力学态；相格目录摘要 (I)ABSTRACT ..................................................................................................... I I0 引言 (1)1 统计物理学是热运动的微观理论 (1)2 玻尔兹曼统计所描述的统计规律 (1)2.1玻尔兹曼统计的具体描述 (1)2.2玻尔兹曼统计的发展历程 (2)2.3等几率假设于统计力学的作用 (2)3 热力学量得统计表达 (3)4 玻尔兹曼统计应用举例 (4)5 结论 (6)参考文献 (7)0 引言玻尔兹曼统计是量子物理学中最典型的一种分布，为量子统计物理学奠定了基础，玻尔兹曼分布指出全同粒子是可以进行分辨的，粒子运动是轨道运动，是可以被跟踪的。
其分布不遵从泡利不相容原理，即处在一个量子态上的粒子数是不受限制。
1 统计物理学是热运动的微观理论统计物理学是热运动的微观理论。
深入到热运动的本质，物质的宏观性质是大量微观粒子运动的集体表现，宏观物理量是微观物理量的统计平均。
对物质的微观结构作以某些假设之后，可求得具体物质的特性。
其局限性：由于对物质的微观结构所作的往往是简化的模型假设，所得理论结果也往往是近似的[1]。
使用玻尔兹曼统计的对象，也是对实际体系所形成的理想模型，以便建立统计理论。
在这里，本来是使体系得以建成的基本因素的粒子间相互作用，被平衡态已经建成的假定所代替了。
物理学中的热力学与统计物理研究分析探讨
物理学中的热力学与统计物理研究分析探讨在物理学的广袤领域中，热力学与统计物理宛如两颗璀璨的明珠，为我们揭示了自然界中热现象的本质和规律。
它们不仅在理论上具有深刻的内涵，而且在实际应用中也发挥着至关重要的作用。
热力学主要关注宏观物体的热现象，通过几条基本定律来描述热过程中的能量转化和传递。
比如热力学第一定律，它告诉我们能量是守恒的，在热传递和做功的过程中，总能量保持不变。
这就像是一个永不打破的“金钱守恒定律”，能量在不同形式之间转换，但总量始终如一。
而热力学第二定律则指出了热过程的方向性。
热量总是自发地从高温物体流向低温物体，而不会反过来。
这就好比水总是自发地从高处流向低处，而不会自动从低处流回高处。
这个定律还引入了熵的概念，熵增原理表明在一个孤立系统中，熵总是增加的。
通俗地说，熵可以理解为系统的“混乱程度”，随着时间的推移，一个孤立系统会变得越来越混乱无序。
当我们深入到微观层面，统计物理就登场了。
它从微观粒子的运动和相互作用出发，来解释宏观的热力学现象。
想象一下，一个装满气体的容器，从宏观上看，我们只关心温度、压强、体积这些宏观量。
但在微观上，每个气体分子都在不停地运动、碰撞。
统计物理就是要通过研究大量微观粒子的运动规律，来得出宏观上的热力学性质。
在统计物理中，有一个重要的概念叫做分布函数。
它描述了在一定条件下，微观粒子处于不同状态的概率。
就像在一个班级里，统计每个分数段的人数分布一样。
通过对分布函数的研究，我们可以计算出系统的各种热力学量，比如内能、熵等。
其中，最常见的统计方法有麦克斯韦玻尔兹曼统计、玻色爱因斯坦统计和费米狄拉克统计。
麦克斯韦玻尔兹曼统计适用于经典粒子，这些粒子可以被区分，并且对占据的状态数量没有限制。
而玻色爱因斯坦统计用于描述玻色子，比如光子，它们可以聚集在相同的状态。
费米狄拉克统计则适用于费米子，像电子，它们遵循泡利不相容原理，不能同时占据相同的状态。
热力学与统计物理在许多领域都有着广泛的应用。
统计物理学的基本原理
统计物理学的基本原理统计物理学是物理学的一个重要分支，它研究的是大量微观粒子的统计规律，通过对微观粒子的统计行为进行分析，揭示了宏观物质的性质和规律。
统计物理学的基本原理包括热力学统计原理、量子统计原理和统计力学原理。
本文将从这三个方面介绍统计物理学的基本原理。
一、热力学统计原理热力学统计原理是统计物理学的基础，它建立在热力学和统计学的基础之上，描述了大系统的宏观性质与微观粒子的统计规律之间的关系。
热力学统计原理包括了热力学第零、第一、第二、第三定律，以及玻尔兹曼分布定律等。
1. 热力学第零定律热力学第零定律规定了当两个系统分别与第三个系统达到热平衡时，它们之间也处于热平衡状态。
这个定律为热力学的温度概念提供了基础，也为热力学的其他定律奠定了基础。
2. 热力学第一定律热力学第一定律是能量守恒定律的推广，它规定了系统的内能变化等于系统所吸收的热量减去系统所做的功。
这个定律揭示了能量转化的基本规律，也为热力学的其他定律提供了基础。
3. 热力学第二定律热力学第二定律是热力学中最重要的定律之一，它规定了热量不会自发地从低温物体传递到高温物体，熵在孤立系统中永远增加。
这个定律揭示了自然界中不可逆的过程，也为热力学的熵概念提供了基础。
4. 热力学第三定律热力学第三定律规定了在绝对零度时系统的熵为零，也就是系统的熵在绝对零度时达到最小值。
这个定律揭示了系统在绝对零度时的行为，也为热力学的熵概念提供了极限条件。
5. 玻尔兹曼分布定律玻尔兹曼分布定律描述了系统中粒子的分布规律，它指出系统中不同能级上粒子的分布服从玻尔兹曼分布。
这个定律为统计物理学的发展提供了重要的基础，也为系统的热力学性质提供了理论支持。
二、量子统计原理量子统计原理是统计物理学中的另一个重要部分，它描述了微观粒子的统计行为与宏观性质之间的关系。
量子统计原理包括了费米-狄拉克统计和玻色-爱因斯坦统计两种统计方法。
1. 费米-狄拉克统计费米-狄拉克统计适用于具有半整数自旋的粒子，如电子、质子等费米子。
《热力学·统计物理学》教学大纲
《热力学·统计物理学》教学大纲课程性质：专业基础课课程编码：适用专业：物理学教育本科编制时间：2007年2月修改时间：2008年8月一、预备知识：普通物理课程《力学》、《热学》、《光学》、《电磁学》和《原子物理》，以及《高等数学》，还有《理论力学》的学习，《热学》是其前期课程。
二、教学目的：热力学与统计物理学课程是高等学校物理学科主干课程体系中四大力学之一，其主要内容都是后续课程中不可或缺的基础，是有承上启下的知识连接作用。
通过本课程的学习，通过本课程的学习，应使学生在《热学》的基础上，较深入地掌握热力学与统计物理学的基本概念，系统地理解研究热现象的宏观与微观理论，基本掌握运用有关理论处理具体问题的方法，在逻辑思维和演义推理方面得到进一步训练，提高分析问题和解决问题的能力。
结合一些物理学史的介绍，使学生了解如何由分析物理实验结果出发、建立物理模型，进而建立物理理论体系的过程，了解微观物理学对现代科学技术重大影响和各种应用，了解并适当涉及正在发展的学科前沿，扩大视野，引导学生勇于思考、乐于探索发现，培养其良好的科学素质。
三、教学要求：本课程是后续多门专业课程，特别是固体物理学与半导体物理学的基础。
课程的学习有别于中学课程的学习，要求学生掌握科学的学习方法，培养学生独立的思考能力。
该课程重物理概念和基本原理，轻数学计算（热力学方面要求熟练运用雅可比行列式，统计物理学方面会运用玻耳兹曼分布和配分函数）。
在热力学方面要求学生掌握热力学的系统描述参量及其性质；热力学中的基本实验规律与三大定律；状态函数的本质及其在其他学科的应用；了解相变的基本规律和描述方法。
在统计物理学方面要求学生能够用物理学微观的统计方法把物理系统的宏观性质与微观粒子的统计规律联系起来。
掌握统计物理的基本理论，学会用来解决一些基本的和与专业有关的一些热运动方面的问题。
掌握热力学的基本规律和统计物理的基本理论，重点为三种分布函数及其关系；学会由配分函数导出系统的热力学函数和其他的物理量。
热力学及统计物理教材
热力学及统计物理教材
以下是一些热力学及统计物理的经典教材：
1.《热力学与统计物理学导论（中英双语版）》- 作者：林德
福
这本教材是许多大学的热力学与统计物理学的常用教材之一，涵盖了热力学、统计物理学的基本概念、原理和应用，并配有中英双语解释。
2.《热力学与统计物理学》- 作者：C. H. Tan
这是一本全面介绍热力学和统计物理学的教材，内容涵盖了
热系统、热力学定律、统计物理学中的概念、势函数、玻尔兹曼分布等内容。
3.《统计物理学》- 作者：Pathria R.K.
这本教材是统计物理学领域的经典之作，内容包括统计力学
的基本原理、分布函数、复杂系统和相变等主题。
4.《热力学及统计物理学导论》- 作者：Schroeder D. V.
这本教材是一本介绍热力学和统计物理学的导论级教材，内
容既有基础的热力学概念，又涵盖了统计力学的基本原理和应用。
5.《热力学与统计物理学》- 作者：Huang Kerson
这是一本热力学与统计物理学领域的经典教材，全面介绍了
热力学和统计物理学的相关概念、定律和理论。
这些教材都是热力学和统计物理学领域的经典教材，适用于学习热力学和统计物理学的本科生和研究生。
根据个人的学习目标和程度，选择适合自己的教材进行学习。
热力学统计物理_第七章_玻耳兹曼统计
ln Z ' S S Nk ln Z
ln Z S' S Nk ln Z U Nk ln N S ' N k N ln N N U S '
Z1 l e l
l
粒子 配分 函数
1 kT
热统 西华大学 理化学院
e
N Z1
6
2、粒子配分函数的物理意义
粒子处在该 能级的几率
有效状 态数
N l al l e Z1
玻耳兹 曼因子
al l e N Z1
l
l e l e
S k N ln N N U S '
lnMB N ln N N U
lnFD lnBE N U N
S MB k ln MB
e ' S k ( N ln N N ) Nk ln N
14 热统 西华大学 理化学院
我们已经学习了什么？
1、粒子运动状态的描述
经典粒子：－空间、相轨道的概念、 量子粒子：量子数、可能量子状态数目的计算
2、系统微观状态的经典和量子描述
经典系统：－空间中的N个点 量子系统：定域和非定域、全同性、统计特性
3、等几率原理
平衡状态下系统的任何微观状态出现的几率都相等
4、系统的微观状态数 目的计算及其关系
对于遵从玻尔兹曼分 U＝－N lnZ 布的定域系统、满足 经典极限条件的玻色、 费米系统，从玻尔兹 N Y － lnZ 曼分布得到系统的内 y 能和广义力的统计表 达式： 可分辨粒子系统：
玻尔兹曼分布知识点
玻尔兹曼分布知识点玻尔兹曼分布是热力学和统计物理学中一个重要的概念，用于描述分子运动中的粒子分布规律。
本文将深入探讨玻尔兹曼分布的相关概念、推导过程以及在实际应用中的重要性。
一、玻尔兹曼分布的概念和基本原理玻尔兹曼分布是基于分子动力学理论和统计物理学原理得出的一种分布概率模型。
它描述了在一定温度下，处于平衡状态的粒子在不同能级之间的分布情况。
玻尔兹曼分布的基本原理可以通过亥姆霍兹自由能（Helmholtz Free Energy）的最小化推导得出。
根据统计物理学的理论，亥姆霍兹自由能F可以通过以下公式计算：F = U - TS其中，U表示系统的能量，T为温度，S为系统的熵。
当亥姆霍兹自由能取得最小值时，系统达到了平衡状态。
根据最小化亥姆霍兹自由能的原理，可以得出玻尔兹曼分布的表达式：P_i = e^(-E_i / kT) / Z其中，P_i表示处于能级E_i的粒子的分布概率，e为自然对数的底，k为玻尔兹曼常数，T为温度，Z为归一化因子（配分函数）。
二、玻尔兹曼分布的应用领域1. 等温过程分析玻尔兹曼分布广泛应用于等温过程的分析中。
在等温过程中，粒子的能级和分布受到温度的影响。
通过玻尔兹曼分布，可以计算出处于不同能级上的粒子数目，从而揭示了在等温条件下粒子分布的规律性。
2. 热力学系统的熵计算熵是描述系统混乱程度的物理量。
根据统计物理学的理论，熵可以通过玻尔兹曼分布计算得出。
根据玻尔兹曼分布的表达式，可以推导出系统的熵与粒子分布的关系，从而计算系统的熵。
3. 气体分子的速度分布玻尔兹曼分布也可以应用于气体分子的速度分布分析。
在一定温度下，气体分子的速度分布是符合玻尔兹曼分布的。
通过玻尔兹曼分布的公式，可以计算出不同速度范围内的气体分子数目，用来描述气体分子的速度分布规律。
4. 量子力学系统的能级分布在量子力学领域，玻尔兹曼分布也被广泛运用于描述量子系统的能级分布。
根据玻尔兹曼分布的表达式，可以计算出处于不同能级上的量子态的分布概率，从而分析量子系统的能级结构。
玻尔兹曼数
玻尔兹曼数1. 介绍玻尔兹曼数（Boltzmann number）是一种无量纲物理量，常用于描述分子运动引起的热现象。
它以奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann）的名字命名，是热力学中的一个重要参数。
在统计力学中，玻尔兹曼数是描述微观粒子（如原子、分子）热运动对宏观性质影响程度的一个量度。
它反映了粒子热运动和外界温度之间的相对关系，可以用来判断系统是否满足经典统计力学的假设。
2. 定义和计算公式玻尔兹曼数的定义如下：B=k⋅T ϵ其中， - B是玻尔兹曼数， - k是玻尔兹曼常数（Boltzmann constant）， - T是系统的温度， - ϵ是单个粒子的能量。
玻尔兹曼常数表示单位温度下能量与温度之间的比例关系，它等于 1.380649×10−23 J/K。
通过上述公式，我们可以计算得到玻尔兹曼数的具体数值。
由于玻尔兹曼常数和能量的单位通常为国际单位制（SI）中的基本单位，因此玻尔兹曼数的单位也与能量的单位相同。
3. 物理意义玻尔兹曼数揭示了微观粒子热运动对宏观性质的影响程度。
当系统中粒子的热运动非常剧烈时，即粒子能量远大于温度，玻尔兹曼数会很大。
这意味着微观粒子对宏观性质产生较大影响，例如在气体中表现为压强、体积等性质的变化。
相反，当系统中粒子的热运动较为平缓时，即粒子能量接近或小于温度，玻尔兹曼数会较小。
此时微观粒子对宏观性质产生的影响较小，系统更趋向于遵循经典统计力学的假设。
通过玻尔兹曼数，我们可以判断一个系统是否满足经典统计力学假设。
当玻尔兹曼数远小于1时，可以认为系统满足经典统计力学的假设，即可以使用经典统计力学来描述和计算系统的性质。
而当玻尔兹曼数接近或大于1时，系统则不再满足这一假设，需要采用更复杂的统计方法进行分析。
4. 应用领域玻尔兹曼数在物理学、化学、工程学等领域中有着广泛的应用。
4.1 热力学和统计物理玻尔兹曼数是热力学和统计物理中重要的概念之一。
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18
§7.2 理想气体的物态方程
一、理想气体
气体分子之间的相互作用势能被忽略。
1 2 2 ( px p2 p y z) 2m
r3
二、配分函数
Z1
e
2m
2 2 ( px p2 y pz )
dxdydzdpx dp y dpz h3
1 3 h
dxdydz e
单位体积内在速度区间 v x v x dvx , v y v y dvy , vz vz dvz 的粒子数
2 2 ( vx v2 m 3/ 2 2m y vz ) f (vx , v y , vz )dvx dv y dvz n( ) e kT dvx dv y dvz 2 kT
l 0 l 0
令
Z1 l e l
l 0
叫配分函数
则
N Z1e
e
热统
N Z1
9
二、热力学量
1. 内能
U l l e l
l 0
e (
l 0
l e )
l
N Z1 l n Z1 ( ) N Z1
p 2 x
2m
dpx e
p 2 y
2m
dpy e
2 pz
2m
dpz
2m 3 / 2 Z1 V ( 2 ) h
热统
19
三、物态方程
N ln Z1 p V N 3 2m [lnV ln( 2 )] V 2 h
NkT p V
四、内能
3 l n Z1 3 2m U N N [l nV l n ( 2 )] U NkT 2 2 h
N ln Z1 p V
l al 功 Ydy dy y l
广义力统计表达式
热统
al d l
l
11
3. 熵
由 得
dQ dU Ydy dS T T
dQ dU Ydy
ln Z1 1 ln Z1 Nd ( ) N dy y
2. 功
l
统计表达式
al '
dU dW dQ
l
1
能级不变 分布变
al
1
0
l'
0
U al l
l 0
al
1'
能级变 分布不变
0'
热统
10
dU al d l l dal
l 0 l 0
能级 l 的值，是力学方程 在指定的边界条件下的解。 力学系统不变，方程不变， 能级变，只有边界条件变。 改变边界，即做功。
玻尔兹曼关系
热统
l ln
l
al
14
S k ln
说明：1、统计意义，熵——混乱度——微观状态数 2、满足经典极限条件的不可分辨（玻色，费米）系统
l n Z1 U N
对于玻色、费米分布
1 ln Z1 Y N y
N ln Z1 p V
e
al
l l e r h0
N l l e Z1 h0r
N Z1
al
不含有
r h0
ln Z1 U al l N l
ln Z1 S Nk(ln Z1 ) k ln N !
与h0有关
与h0无关
l 1 ln Z1 Y al N y l y
热统
22
在速度区间 v x v x dvx , v y v y dvy , vz vz dvz 的粒子数
2 2 ( vx v2 m 3/ 2 2m y vz ) f (vx , v y , vz )dvx dv y dvz N ( ) e kT dvx dv y dvz 2 kT
e
l
l
al l e l
al
l
1
热统
F .D
l ! l al !(l al )!
6
al
e
l
l
1
e 1
al l e l
玻色分布和费米分布 趋向于玻耳兹曼分布。
满足经典极限条件时，玻色（费米）系统中的近独立粒子在 平衡态遵从玻尔兹曼分布。
k[ N ln N N U ]
N al
l 0
k[ N ln N ( l )al ]
l
U al l
l 0
k[ N ln N al lnl al lnal ]
l l
al l e l
S k ln
出发点：
l l al e 3 h
热统
1 2 2 ( px p2 p y z) 2m
21
二、速度分布率
al
是能量在 l 粒子数目 ，求动量在
px px dpx , p y p y dpy , pz pz dpz 中粒子数目，对空间积分
B.E .
M .B. F . D. N!
ln Z1 S Nk(ln Z1 ) k ln N !
热统
M .B S k ln N!
15
自由能
对于定域系统
F U TS
N ln Z1 ln Z1 TNk(ln Z1 )
即 麦克斯韦速度分布率
x y z x
n
N V
z
为单位体积内粒子数
f (v , v , v )dv dv dv
y
热统
n
23
三、速率分布
速率与方向无关，故需对上式进行角度积分。
f (v, , )v 2 sin dvd d
mv 2 2 kT
m 3/ 2 4 N ( ) e 2 kT
热统
2
4、与经典描述之间的关系 对于宏观大小的容积， 是很小的量，量子描述趋近于
经典描述。
以一维自由粒子为例，其相空间的体积元为 xp 。
p
p p
h 由于不确定关系， xp 。 即在体积元 h 内的各运动状态， 它们的差别都在测量误差之内， 即被认为是相同的！
一个量子态对应粒子相空间的
等式两边同乘β：
(dU Ydy) Nd (
ln Z1 ln Z1 ) N dy y
l fl y
而
Z1 l e l
l 0
且
所以
Z1 Z1 ( , y )
热统
12
求全微分 之前求得
d ln Z1
ln Z1 ln Z1 d dy y
NkT ln Z1
满足经典极限条件的玻色、费米系统
F U TS
N ln Z1 ln Z1 TNk (ln Z1 ) kT ln N !
NkT ln Z1 kT ln N !
热统
16
四、经典统计表达式
所有热力学量都可以通过配分函数表示。 经典表达式
l l al e 3 h
e
N Z1
Z1 V (
2m 3 / 2 ) 2 h
al
V
dxdydzdp x dpy dpz h
1
3
e
l
N 2m 3 / 2 V( 2 ) h
2 2 ( p2 1 x p y pz ) 3/ 2 N( ) e 2 mkT dpx dpy dpz 2mkT
l 每个粒子受力：f l y
能级变 分布不变
外界对系 统的力
能级不变 分布变
Y
l
l al l l e l y y l
e (
1 l e ) l y l
N 1 1 ln Z1 Z1 N Z1 y y
系统的微观状态确定，每个粒子的微观状态确定。
Nr 个广义坐标和 Nr 个广义动量都确定。
热统
4
几何表示： μ –空间 N 个代表点。
玻耳兹曼分布、玻耳兹曼粒子。 3、 量子系统的微观状态
粒子不可区分，只知道几个粒子在哪个量 子态，不知道哪几个粒子在这个量子态。
泡利不相容原理： 自旋半整数的粒子，在一个量子态 不可能有一个以上的粒子。
经典极限条件
e 1
3 2
e
N Z1
V 2 mkT a e N h2
1
经典条件下： 1、N/V愈小，即气体愈稀薄 2、温度愈高
热统
3、分子的质量愈大
20
§7.3 麦克斯韦速度分布率
一、思路
l
vl
1
al
v1
v0
bl ?
0
能量分布
速度分布
(dU Ydy) Nd (
ln Z1 ln Z1 ) N dy y
ln Z1 d ( N ln Z1 N )
由 得到
dQ dU Ydy dS T T
ln Z1 N dS d (ln Z1 ) T ln Z1 Nkd (ln Z1 )