《复变函数论》第六章

第六章 留数理论及应用

第一节 留数

1、留数定理：

设函数f (z )在点0z 解析。作圆r z z C =-|:|0，使f (z )在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西定理，积分

⎰

C

dz z f )(

等于零。

设函数f (z )在区域R z z <-<||00内解析。选取r ，使0

r z z C =-|:|0，那么如果f (z )在0z 也解析，则上面的积分也等于零；如果0z 是f (z )的孤立奇点，则上述积分就不一定等于零；这时，我们把积分

⎰C dz z f i

)(21

π 定义为f (z )在孤立奇点0z 的留数，记作),(Res 0z f ，这里积分是沿着C 按逆时针方向取的。

注解1、我们定义的留数),(Res 0z f 与圆C 的半径r 无关：事实上，在

R z z <-<||00内，f (z )有洛朗展式：

∑+∞

-∞

=-=

n n n

z z z f )()(0α

，

而且这一展式在C 上一致收敛。逐项积分，我们有

,2)

()(10

-+∞

-∞

==-=

∑⎰⎰

απαi dz z z dz z f n C

n

n C

因此，10),(Res -=αz f 。

注解2、即f (z )在孤立奇点0z 的留数等于其洛朗级数展式中

1

z z -的系

数。

注解3、如果0z 是f (z )的可去奇点，那么.0),(Res 0=z f

定理1.1（留数定理）设D 是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭曲线C 。设f (z )在D 内除去有孤立奇点n z z z ,...,,21外，在每一点都解析，并且它在C 上每一点都解析，那么我们有：

),,(Res 2)(1

k n

k C

z f i dz z f ∑⎰

==π

这里沿C 的积分按关于区域D 的正向取。

证明：以D 内每一个孤立奇点k z 为心，作圆k γ，使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D 内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点。从D 中除去以这些k γ为边界的闭圆盘的一个区域G ，其边界是C 以及k γ，

在G 及其边界所组成的闭区域G 上，f (z )解析。因此根据柯西定理， ,)()(1

∑⎰⎰

==n

k C

k

dz z f dz z f γ

这里沿C 的积分按关于区域D 的正向取的，沿k γ的积分按反时针方向取的。根据留数的定义，得定理的结论成立。 2、留数的计算：

本节讲述几种常见的情形下，如何计算留数。

首先考虑一阶极点的情形。设0z 是f (z )的一个一阶极点。因此在去掉中心0z 的某一圆盘内（0z z ≠），

),(1

)(0

z z z z f ϕ-=

其中)(z ϕ在这个圆盘内包括0z z =解析，其泰勒级数展式是：

()(),n

n n z z z α

+∞

==-ϕ∑ 而且0)(00≠=z ϕα。显然，在f (z )的洛朗级数中，0

1

z z -的系数等于)(0z ϕ，因此

),()(lim ),(Res 000

z f z z z f z z -=→

如果容易求出)(z ϕ的泰勒级数展式，那么由此可得00),(Res α=z f ；否则要采用其他方法求留数。

如果在上述去掉中心0z 的圆盘内（0z z ≠），

,)

()

()(z Q z P z f =

其中P (z )及Q (z )在这圆盘内包括在0z z =解析，0)(0≠z P ，0z 是Q (z )的一阶零点，并且Q (z )在这圆盘内没有其他零点，那么0z 是f (z )的一阶极点，因而

).('/)( )

()()

()

(lim )()(lim ),(Res 0000000

z Q z P z Q z Q z P z z z f z z z f z z z z =--=-=→→

例6.1.1、函数

,1)(2

z

e z

f iz

+= 有两个一阶极点i z ±=，这时

,21

)(')(iz e z

z Q z P = 因此 .2

),(Res ,2),(Res e i i f e i i f =--

= 其次，我们考虑高阶极点的情形。设0z 是f (z )的一个k 阶极点(k>1)。这就是说，在去掉中心0z 的某一圆盘内（0z z ≠），

),()(1

)(0z z z z f k

ϕ-=

其中)(z ϕ在这个圆盘内包括0z z =解析，而且0)(0≠z ϕ。在这个圆盘内，

)(z ϕ泰勒级数展式是：

00

()(),n n n z z z α+∞

=ϕ=-∑

由此可见，

,),(Res 10-=k z f α

因此问题转化为求)(z ϕ泰勒级数展式的系数。如果容易求出)(z ϕ的泰勒级数展式，那么由此可得10),(Res -=k z f α；否则要采用其他方法求留数。

显然，

,)!

1()

(lim

)!

1()

()1(0)1(10

-=-=

-→--k z k z k z z k k ϕϕα

因此，我们也可根据下列公式计算),(Res 0z f ：

.)]()[(lim )!1(1

),(Res 10100--→--=k k k z z dz

z f z z d k z f 例6.1.2、函数

,sec )(3

z z

z f =

在z =0有三阶极点，则

...,!

45!211sec )(4

2+++

==z z z z ϕ 因此.2

1

)0,(Res =f

由上述公式也可得：

.2

1

)sec (lim 21)0,(Res 33220=⋅=→z z z dz d f z z