复变函数论试卷

7 6
∫ ∫
C
f ( z )dz = 0 f ( z )dz ≠ 0
C
∫
C
f ( z )dz ≠ 0
（ ）
11.方程 z − 5 z − 2 z + 1 = 0 在单位圆 z < 1 内根的个数为 A.１ B.３ C.6 D.７
12. 3 + 2i 关于单位圆周 z = 1 的对称点是 A. 3 − 2i 二、填空题 B. − 3 + 2 i （每小题 2 分，共 8 分） C.
∫
2π
0
dx =∫ z =1 (2 + 3 cos x) 2
1 dz 4 zdz ……4 分 = ∫ 2 z + 1 2 iz 3i z =1 ( z 2 + 4 z + 1) 2 (2 + 3 ) 3 2z −1 3
，且
被积函数 f ( z ) 在单位圆周 z = 1 内只有一个二阶极点 z =
⎡ z Re s f ( z ) = ⎢ 1 z =− ⎢ ⎣ z+ 3 3
1 在 z = 0 的某邻域内展成的幂级数的收敛半径为 (1 − z )(2 − z )
B.２ C. ∞ D.
（
）
A.１
3
1 2
（ ）
8.函数 sin z 在零点 z = 0 的阶数是 A.１ B.２ C.３ D.４
9. z = ∞ 是
1 的 sin z + cos z
B.非孤立奇点 C.解析点
z →a z →b
(
)
⎤ ⎥ 2 ⎥ ⎦
′ =
z =−
1 3
3 …………………………………………6 分 2
∴
∫
2π
0
dx 4 = ⋅ 2π i Re s f ( z ) = 4π ………………………………7 分 2 1 3i (2 + 3 cos x) z =−
3
26. 解
将单位圆 z < 1 共形变换成单位圆 ω < 1 且使 z =
π sin(− ) 4 = 2 π i …………………………………………7 分 = 2π i −2 2
24. 解 在 0 < z < 1 内，利用公式得
z +1 1 ⎛ 2 ⎞ = 2 ⎜1 − ⎟ …………………………………………2 分 z ( z − 1) z ⎝ 1 − z ⎠
2
=
∞ 1 ⎛ ⎞ 1 − 2 z n ⎟ …………………………………………4 分 ⎜ ∑ 2 z ⎝ n=0 ⎠ ∞ 1 − 2 z n − 2 …………………………………………6 分 ∑ 2 z n =0
∴当 z 0 ∈ D 时存在 R > 0 ， 使 K ⊂ D, K : z − z 0 < R ， 且 f ( z ) 在 K 内可展成幂级数：
∞
f (z) = ∑
n=0
f
(n)
( z0 ) (z − z0 ) n = f (z0 ) + n!
∞
∑
n =1
f
( n)
(z0 ) ( z − z 0 ) n ………………4 分 n!
B. 不是单值函数． C. ω = Argz （ D. ω = z
2
2.下列函数中， A. ω = z
）
3.下列函数中， 在 z 平面上处处解析的函数是 A. f ( z ) = cos z B. f ( z ) =
（ C. f ( z ) = z D. f ( z ) = z Re z （
）
1 z
1 变成 ω = 0 的线性变换为 2
1 2 = e iβ 2 z − 1 ……………………………3 分 ω = e iβ 1 2− z 1− z 2
z−
L(1) = −1 ，即 e iβ = −1 …………………………………………6 分
故所求线性变换为 ω = 五、证明题
2z − 1 …………………………………………7 分 z−2
f
( n)
( z 0 ) = 0 ， n = 1,2, ⋯⋯
29. 证明： n 次代数方程
P( z ) = a 0 z n + a1 z n−1 + ⋯ + a n −1 z + a n = 0
有且仅有 n 个根．
(a 0 ≠ 0)
试卷四参考答案
一、单项选择题 （每小题 2 分，共 24 分） 1.B 2.C 3.A 4.D 5.B 6.C 11.C 12.C 二、填空题 （每小题 2 分，共 8 分） 13. z = z1 + t ( z 2 − z1 ) (0 ≤ t ≤ 1) 16. 14. e
由条件(2)知
f
( n)
，所以 f ( z ) = f ( z 0 ) ，由推论 4.31 知， ( z 0 ) = 0 （ n = 1,2, ⋯⋯ ）
在 D 内必有 f ( z ) = f ( z 0 ) ，即 f ( z ) 在 D 内为一常数． ……………………8 分 29. 证明 设 f ( z ) = a 0 z ， ϕ ( z ) = a1 z n −1 + ⋯ + a n −1 z + a n ，因为
π
0
= ∫ e iθ d (iθ ) = e iθ …………………………………………6 分
π π
0
0
= e i 0 − e iπ = 1 − (−1) = 2 …………………………………………7 分
π z 4 在圆域 z + 1 < 1 内解析，在 z + 1 ≤ 1 上连续， z = −1 在 23. 解 ∵ f ( z ) = z −1 2 2 1 圆 z + 1 < 内，由柯西积分公式得…………………………………………2 分 2
4.函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在区域 D 内解析的充分必要条件是 A. u ( x, y ), v( x, y ) 在 D 内都可微 B. u ( x, y ), v( x, y ) 在 D 内满足 C . − R. 条件 C. u ( x, y ), v( x, y ) 在点 ( x, y ) 可微且满足 C . − R. 条件 D. u ( x, y ), v( x, y ) 在 D 内可微且满足 C . − R. 条件 5. Lni =
）
(
)
π A. i 2
6.下列函数中 A. f ( z ) = e
π B. i + 2kπ i （ k 为整数） 2
不是整函数．
z
C. π i
D. π i + 2kπ i （ k 为整数） （ ）
B. f ( z ) = cos z
C. f ( z ) =
1 z
D. f ( z ) = sin z
7.函数 f ( z ) =
（
）
1 (3 + 2i ) 13
D.
1 (3 − 2i ) 13
．
13.连接复平面上 z1 及 z 2 两点的直线段的参数方程为 14. i =
i
． ．
15.只要 f ( z ) 在区域 D 内解析，则 f ′( z ) 在 D 内
16.设 f ( z ) 在区域 D 内解析， a ∈ D ， K : z − a < R 含于 D ，则 f ( z ) 在 K 内能展成
∞
幂级数 f ( z ) =
∑C
n=0
n
( z − a ) n ，其中系数 C n =
．
三、判断题 （每小题 2 分，共 10 分） 你认为正确的在题后括号内划“√” ，反之划“×” 17.曲线 ω =
1 将 z 平面上的曲线 y = x 变成 ω 平面上的曲线 v = −u ． z
（ （
） ）
18.若 f ( z ) 在 z 0 点不解析， 则 f ( z ) 在 z 0 点不可导．
z = e iθ ， 0 ≤ θ ≤ π …………………………………………2 分
∴ dz = ie dθ ，起点 − 1 = e ，终点 1 = e 即起点对应 θ = π ，终点对应 θ = 0 ，于是 有
iθ iπ
0
∫
1
−1
z dz = i ∫ e iθ e iθ dθ …………………………………………4 分
−
7.A
8.C
9.B
10.A
π − 2 kπ 2
（ k 为整数）
15.解析
1 f (ζ ) dζ (Γ : ζ − a = ρ ,0 < ρ < R, n = 0,1,2,⋯⋯) ∫ Γ 2π i (ζ − a ) n +1
21.×
三、判断题 （每小题 2 分，共 10 分） 17.√ 18.× 19.√ 20.× 四、计算题 （每小题 7 分，共 35 分） 22. 解 上半单位圆周的方程为
sin sin
∫
C
π z 4 dz = z 2 −1
π z 4 ∫ z +1 = 12 ( z + 1)( z − 1) dz
sin sin
=∫
z +1 =
1 2
π z 4 z − 1 dz …………………………………………4 分 z +1
⎡ π ⎤ ⎢ sin 4 z ⎥ …………………………………………6 分 = 2π i ⎢ ⎥ ⎢ z −1 ⎥ ⎢ ⎥ z = −1 ⎣ ⎦
=
=
∞ 1 2 − − 2 z n −1 ∑ 2 2 z z n =0
=−
25. 解
∞ 1 − 2 z n −1 …………………………………………7 分 ∑ z2 n=0
作变换 z = e ，则区间 [0,2π ] 变为圆周 z = 1 ． ……………………2 分
ix
1 dz ，于是 cos x = ( z + z −1 ) ， dx = 2 iz
24.将函数
z +1 在圆环 0 < z < 1 内展为罗朗级数． z ( z − 1)
2
25.计算积分
∫
2π
0
dx ． (2 + 3 cos x) 2
26.求将单位圆 z < 1 共形变换成单位圆 ω < 1 的线性变换 ω = L( z ) ，使合条件
1 L( ) = 0 ， L(1) = −1 ． 2
2 2
（其中 27 题 7 分，28、29 每小题 8 分，共 23 分）
27. 证明 ∵ u ( x, y ) = x ， v( x, y ) = y
∴ u x = 2 x, u y = 0, v x = 0, v y = 2 y ………………………………………4 分 显然 u x , u y , v x , v y 在 z 平面上处处连续且仅当 y = x 时满足 C . − R. 条件 u x = v y ， 从而 f ( z ) 只在直线 y = x 上可微， 由于不存在 f ( z ) 的可微邻域， 故 f (z) 在 z 平 u y = −v x ， 面上处处不解析． …………………………………………7 分 28. 证明 ∵ f ( z ) 在区域 D 内解析，
五、证明题
（其中 27 题 7 分，28、29 每小题 8 分，共 23 分）
2 2
27.判断函数 f ( z ) = x + iy 在 z 平面上的可微性和解析性．
28. 设(1) f ( z ) 在区域 D 内解析； (2)在某一点 z 0 ∈ D 有 试证 f ( z ) 在 D 内必为常数．
（ D.零点
）
A.孤立奇点
10.若 f ( z ) 在 z 平面上除 a, b 两个奇点外解析，且知 Re s f ( z ) ≠ Re s f ( z ) ， C 是不 过 a, b 的一条围线， 下列结论中正确的是 A.当 a, b 两点在 C 之外时， （ ）
∫
C
f ( z )dz = 0
wk.baidu.com
B. 当 a, b 两点只有一个在 C 内时， C. 当 a, b 两点只有一个在 C 外时， D. 当 a, b 两点均在 C 内时，
π + 2kπ (k = 0,±1,⋯⋯) ， 2
但 在 z 平 面 上 （ ） 四、计算题
f (z) 不 恒 等 于 零 ， 这 与 唯 一 性 定 理 矛 盾 ．
（每小题 7 分，共 35 分）
22.计算积分
∫
1
−1
z dz ，积分路径是上半单位圆周．
sin
23.计算积分
∫
C
π z 4 dz ， C : z + 1 = 1 ． 2 z 2 −1
复变函数
试卷四
（供数学教育专业使用）
一、单项选择题 （每小题 2 分，共 24 分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案， 并将其前面的代码写在题干后面的括号 内．不选、错选或多选者，该题无分． 1. Arg (1 + i ) = A. ． （ ）
π 4 π 4
B. ω = z
C. −
π + 2kπ （ k 为整数） 4 π D. − + 2kπ （ k 为整数） 4
19.若 f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) 在区域 D 内解析且 u 是实常数，则 f ( z ) 在 D 内也是常 数． （ ） 20. 若 v 是 u 的 共 轭 调 和 函 数 ， 则 u 也 是 v 的 共 轭 调 和 函 数 ．
（
） 21.函数 f ( z ) = sin z − 1 在 z 平面上有无穷多个零点 z =