第二学期复变函数论期末试卷A

复变函数期末试卷及答案

20**-20** 1 复变函数与积分变换（A 卷）（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设复数1z i =-，则arg z =（）A ．4π-B ．4πC ．34πD ．54π 2．设z 为非零复数，,a b 为实数且z a bi z=+，则22a b +（）A ．等于0B ．等于1C ．小于1D ．大于1 3．函数()f z z =在0z =处（）A ．解析B ．可导C ．不连续D ．连续 4．设z x iy =+，则下列函数为解析的是（）A 22()2f z x y i xy =-+ B ()f z x iy =- C ()2f z x i y =+ D ()2f z x iy =+ 5．设C 为正向圆周||1z =，则积分Czdz =⎰（）A ．6i πB ．4i πC ．2i πD ．0 6. 设C 为正向圆周||1z =，则积分(2)Cdzz z =-⎰( ).A ．i π-B ．i πC ．0D ．2i π7. 设12,C C 分别是正向圆周||1z =与|2|1z -=，则积分121sin 222z C C e z dz dz i z z π⎛⎫+= ⎪--⎝⎭⎰⎰ A ．2i π B ．sin 2 C ．0 D ．cos2 8．幂级数1(1)nnn z i ∞=+∑的收敛半径为 ( ) A.0 B.12C. 2D. 2课程考试试题学期学年拟题人:校对人: 拟题学院（系）: 适用专业:9. 0z =是函数2(1)sin ()(1)z e zf z z z -=-的（） A ．本性奇点 B ．可去奇点 C ．一级极点 D ．二级极点10.已知210(1)sin (21)!n n n z z n ∞+=-=+∑，则4sin Re [,0]zs z =（）A ．1B ．13!C ．13!-D ．1-二、填空题(每空3分，共15分)1 复数1i -+，的指数形式为__________。

复变函数历年考试真题试卷

河南理工大学 2009-2010 学年第二学期《复变函数论》试卷（A 卷）一、选择题（每题5分，共25分）⒈ 已知 8)11(ii z +-=，则223366-+z z 的值为( ) A. ;i - B. 1; C. ;i D. -1.⒉ 函数iv u z f w +==)(在点0z 处解析,则命题( )不成立A. v u ,仅在点0z 处可微且满足C-R 条件；B. 存在点0z 的某一邻域)(0z U ，v u ,在)(0z U 内满足C-R 条件；C. v u ,在)(0z U 内可微；D. B 与C 同时成立.3. 设11:=-z C ,则=+-⎰Cz z dz 33)1()1(( ) A. i 83π; B. i 83π-; C. i 43π; D. i 43π- 4. 若幂级数∑∞=-0)1(n n n z a 在3=z 发散,则它必在( )A. 1-=z 收敛;B. 23-=z 发散;C. 2=z 收敛;D. 以上全不正确5. =+-=)1)((1Re 2z i z s i z ( ) A.4i B. 4i - C. 41 D. 41- 二、填空题（每题5分，共25分）1. =+6)1(i .2．若z i e i = ,则=z Re .3. =++⎰=dz z z z 243)1(1 .4. 4. 幂级数()∑∞=-11n n n z i 的收敛半径为R= 5.=++⎰+∞∞-dx x x x 54cos 2 . 三、计算题（每题10分，共40分）1、设y e vpx sin =，求p 的值使v 为调和函数，并求出解析函数iv u z f +=)(。

2、计算积分dz z z e I C z ⎰-=3)1(，其中C 为不经过点0与1的闭路。

3、求函数)1)(2(5222+-+-z z z z 在圆环域20<<z ，+∞<<z 2内的洛朗级数.4、求出332)(sin )2)(1()(z z z z f π--= 在扩充复平面内的所有奇点并指明其类型，极点请指出其阶数。

复变函数期末试题及答案

复变函数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若复数 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \) 为实数），则\( \bar{z} \) 表示（）A. \( a - bi \)B. \( -a + bi \)C. \( -a - bi \)D. \( a + bi \)答案：A2. 对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，以下说法正确的是（）A. \( u \) 和 \( v \) 都是调和函数B. \( u \) 和 \( v \) 都是解析函数C. \( u \) 和 \( v \) 都是连续函数D. \( u \) 和 \( v \) 都是可微函数答案：A3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则下列说法中正确的是（）A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微D. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数为0答案：C4. 已知 \( f(z) \) 是解析函数，且 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处有孤立奇点，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的留数是（）A. 0B. \( \infty \)C. 1D. \( -1 \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 \( z = x + yi \)，且 \( |z| = 2 \)，则 \( x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_ \)。

答案：42. 设 \( f(z) = z^2 \)，则 \( f(2 + 3i) = \_\_\_\_\_ \)。

答案：-5 + 12i3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数 \( f'(z_0) \) 等于 \_\_\_\_\_。

复变期末考试题及答案

复变期末考试题及答案复变函数期末考试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 若复数 \( z = x + yi \)，则 \( \overline{z} \) 是：A. \( x - yi \)B. \( -x - yi \)C. \( -x + yi \)D. \( x + yi \)2. 复平面上，单位圆上的点 \( z = e^{i\theta} \) 对应的实部是：A. \( \cos\theta \)B. \( \sin\theta \)C. \( \tan\theta \)D. \( \sec\theta \)3. 以下哪个是解析函数：A. \( f(z) = \frac{1}{z} \)B. \( f(z) = z^2 \)C. \( f(z) = \log z \)D. \( f(z) = \sin z \)4. Cauchy-Riemann方程是：A. \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partialv}{\partial y} \)B. \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partialv}{\partial x} \)C. \( \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partialv}{\partial y} \)D. 所有选项5. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则下列哪个说法是正确的：A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析D. 以上都是...二、填空题（每空3分，共30分）1. 复数 \( z = 3 + 4i \) 的模是 _________。

2. 如果 \( f(z) = z^3 + 2z^2 + z \)，则 \( f'(z) = _________ \)。

（完整）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐文档

（完整）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐⽂档23∞ ?复变函数与积分变换?期末试题（A）1．1 -i⼀．填空题（每⼩题3 分，共计15 分）的幅⾓是（）；2. Ln(-1 +i) 的主值是（1）；3.f (z) =1 +z 2，z - sin z f (5)(0) =（）；f (z) =1，4．z = 0 是z 4 的（）极点；5．z Re s[f(z),∞]=（）；⼆．选择题（每⼩题3 分，共计15 分）1．解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为（）；（A）f '(z) =u x +iu y ；（B）f '(z) =u x-iu y；（C） f '(z) =ux+ivy ；（D） f '(z) =u y +iv x.2．C 是正向圆周z = 3 ，如果函数f (z) =（），则?C f (z)d z = 0 ．3；（B）3(z -1)；（C）3(z -1)；（D）3.n=1（A）z =-2 点条件收敛；（B）z = 2i 点绝对收敛；（C）z = 1 +i 点绝对收敛；（D）z = 1 + 2i 点⼀定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数f (z) 在z0点可导，则f (z) 在z0点⼀定解析；得分e(B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析，则 ?C f (z )dz = 0（C ）如果 ?C f (z )dz = 0 ，则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内⼀定解析；（D ）函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（）．(A) ∞为sin 1的可去奇点 z(B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤⽴奇点; ∞ 1 (C) sin 1z(D) 为的孤⽴奇点. sin z三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共计 40 分）（1）设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .z（2）．计算 ?Cz (z - 1)2d z 其中 C 是正向圆周： z = 2 ；得分zd z （3）计算? 15z =3 (1 +z 2 )2 (2 +z 4 )3(sin z )3在扩充复平⾯上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题 14 分）将函数 f (z ) = 1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗级得分数；（1） 0 < z - 1 < 1 ，（2） 0 < z < 1 ，（3）1 < z < ∞五．（本题 10 分）⽤ Laplace 变换求解常微分⽅程定解问题 y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -xy (0) = y '(0) = 1得分六、（本题 6 分）求 f (t) e t(0) 的傅⽴叶变换，并由此证明：costt2 2 d 2 e 0复变函数与积分变换?期末试题（A ）答案及评分标准⼀．填空题（每⼩题 3 分，共计 15 分）得分3 的幅⾓是（ 2k Ln (-1 + i ) ee 1． 1- i 2 - + , k = 0,±1,±2 ）；2.的主值是（ 31 ln2 +3 24 iz - sin z f (z ) =3.1+ z 2 ， f(5)(0) = （ 0），4． z = 0 是1 z4的（⼀级）极点；5． f (z ) = z， R e s [ f (z ),∞] =（-1）；⼆．选择题（每题 3 分，共 15 分）1----5B DC B D三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共 40 分）（1）．设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .解：因为 f (z ) 解析，由 C-R 条件u = vx y u = -vy x2x + ay = dx + 2y ax + 2by = -2cx - dy ,a = 2, d = 2, ， a = -2c ,2b = -d ,c = -1, b = -1,给出 C-R 条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。

2008-2009(1)第二学期复变函数期末考试试题

2008－2009第二学期复变函数期末考试试题一填空题（每小题4分）1. 复变函数()()()y x iv y x u z f ,,+=在点0z 解析与在0z 点（）等价A 可导B 邻域内能展开成幂级数C v u ,满足柯西-黎曼条件D v u ,可微 2．若函数)(z f 在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分⎰+-C n dz a z z f 1)()(等于（） A ．)()!1(2)1(a f n i n ++π B ．)(!2a f n i π C ．)(2)(a if n π D ．)(!2)(a f n i n π 3．函数()()21-=z z z f 在以原点为中心的圆环域内的洛朗展式，有（）个 A 1 B 2 C 3 D 44．0=z 是函数3sin zz 的（） A 可去奇点 B 二级极点 C 三级极点 D 本性奇点5．设()z Q 在点0=z 处解析，()00≠Q ,()()()1-=z z z Q z f ,则()]0,[Re z f s 等于（）A.()0Q B ．()0Q - C ．()0Q ' D ．()0Q '- 二填空题（每小题4分）1 设()1001i z +=，则z Im ＝___________。

2 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=解析，y y x v =),(，则_______)(='z f 。

3 ()i Ln 43--的实部是，虚部是。

4 0=z 是函数z z sin -的__________阶零点。

5 函数]1)(z 11z 1[1z 1)(5+++++=z f 在点0=z 处的留数为__________________。

三完成下列各题（每题10分）（1）试证：当0→z 时，()zz z f Re =的极限不存在。

复变函数期末试卷(含答案)

解：令，则
因在处连续，故在处连续。
又，故在处不可导。
16．设在区域内解析，且。试证在内必为常数。
证：因在内解析，故
已知等式两边分别对求偏导，并用上式得：
同理可得，故均为常数，进一步有在内必为常数。
17．计算积分，其中为不过和的任一简单闭曲线。
解：①均在的外部，在所围的闭区域上解析，故
②在内部，在外部，由高阶导数公式
《复变函数》期末试卷
1、单项选择题（每题2分，共20分）
1．以下命题正确的是
A．
B．零的辐角为零
C．
D．对任意复数有 [ A ]
2．若，则
A．
B．
C．
D．
[D ]
3．设在区域内解析，则
A．
B．
C．
D．
[B]
4．下列说法正确的是
A．如果存在，则在处解析
B．如果和在区域内可微，则在区域内解析
C．如果在区域内处处可导，则在区域内解析
[ A]
B．二级零点
C．三级零点 10．设则 A．
D．四级零点 B．
[C ] [C]
C．
D．
[D ]
Hale Waihona Puke 二、填空题（每空2分，共10分）
11．
12．设为包围的任一简单闭曲线，为整数，则或0
13．的主值等于
14．函数在处的主要部分为
，
在处的主要部分为
0
2、解答题
15．讨论函数在原点的连续性与可导性。
D．如果在区域内解析，则在区域内一定不解析
5．下列等式中不正确的是
A．（为整数） B．
C．（为整数）
D． [ B ]
6．设在复平面内处处解析（其中为常数），则

复变函数期末考试试卷及答案详解

复变函数期末考试试卷及答案详解《复变函数》考试试题(一) 三.计算题(40分):dz1,1、 __________.(为自然数)nn,f(z),|z,z|,10(zz),0D,{z:0,|z|,1}(z,1)(z,2)f(z)，求在1. 设22sinz，cosz,2. _________. 内的罗朗展式.1sinz3.函数的周期为___________. dz.,|z|,1cosz2. 12f(z),,，,，3712,f(z)fzd,()z，1C,{z:|z|,3}f'(1，i).,C4.设，则的孤立奇点有__________. ,z,3. 设，其中，试求,z,1nw,nz5.幂级数的收敛半径为__________. ,z，14. 求复数的实部与虚部. n0,6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 四. 证明题.(20分)zzz，，...，1. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常数，f(z)|f(z)|12n,limlimz,,n,,nnn,,7.若，则______________.D那么它在内为常数. zesRe(,0),n0Re1,,z2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两zfzzz()(1),,z8.________，其中n为自然数.z,,10Re1,,z个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在sinz的值.9. 的孤立奇点为________ .《复变函数》考试试题(二) z二. 填空题. (20分)limf(z),___zf(z)z,z0010.若是的极点，则.13sin(2z)1. 设，则 z,,i|z|,__,argz,__,z,__的幂级数展开式. 1. 求函数2222.设，则f(z),(x，2xy)，i(1,sin(x，y),,z,x，iy,C2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正z实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点________. limf(z),z,1，i处的值. z,idz,3. _________.(为自然数) inn,|z,z|,10(zz),0I,|z|dz3. 计算积分:，积分路径为(1)单位圆()|z|,1,,i,nnz4. 幂级数的收敛半径为__________ . 的右半圆. ,n0,sinzdz,z,25. 若z是f(z)的m阶零点且m>0，则z是的_____零点. ,f'(z)002(,)z24. 求 .z6. 函数e的周期为__________.四. 证明题. (20分) 537. 方程在单位圆内的零点个数为________. 2z,z，3z，8,0f(z)1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证:f(z)在D内为常数的充要条件是1f(z),8. 设，则的孤立奇点有_________. f(z)2在D内解析. 1，z2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 9. 函数的不解析点之集为________.f(z),|z|《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分) z,1110. . Res(,1),____f(z),1. 设，则f(z)的定义域为___________. 42z，1zz三. 计算题. (40分) 2. 函数e的周期为_________.2n，21n，,z,，i(1，)3. 若，则__________. limz,nnn!n,,1,nnn的收敛半径.2. 试求幂级数z,n22n4. ___________. sinz，cosz,n,dzzedz,5. _________.(为自然数) nn,|z,z|,13. 算下列积分:，其中是.C|z|,10(zz),22,0Cz(z,9),nnx6. 幂级数的收敛半径为__________. ,962n,0z,2z，z,8z,2,04. 求在|z|<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1f(z),7. 设，则f(z)的孤立奇点有__________. 21. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常f(z)|f(z)|z，1z数，那么它在D内为常数. 8. 设，则. z,___e,,12. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数f(z)z9. 若是的极点，则. f(z)limf(z),___0z,z0R及M，使得当时 |z|,Rzen10. Res(,0),____. n|f(z)|,M|z|， z三. 计算题. (40分) 证明是一个至多n次的多项式或一常数。

(完整版)天津大学07-08(2)复变函数期末考试试卷A

1、。
2、若，则。
3、函数在处的Taylor展开式的平方项系数为，其收敛半径 =。
4、若满足柯西积分定理的条件，则其积分表达式 =。
5、积分。
6、留数。
7、把上半平面映为单位圆且满足的分式线性映射为。
8、在处的旋转角为，在哪些点处的伸缩率为1。
二、解答题（每小题8分，共40分）
天津大学试卷专用纸学院专业年级学号姓名20072008学年第二学期期末考试试卷复变函数考试时间
天津大学试卷专用纸
学院专业班年级学号姓名共3页第1页
2007～2008学年第二学期期末考试试卷
《复变函数》（A卷共3页）
（考试时间：2008年4月25日）
题号
一
二
三
四
成绩
核分人签字
得分
一、填空题（每空格3分，共30分）
（1）；（2）
三、计算下列积分(每小题8分，共24分)
1、
天津大学试卷专用纸
学院专业班年级学号姓名共3页第3页
2、，其中C为不过0和1的任意简单闭曲线。
3、 .
四、求一保形映射，将平面上的区域映为平面的上半平面。(6分)
1、证明：函数在复平面上除外所有点都解析。
2、计算积分，其中为：
（1）从原点到的直线段；（2）半圆：，起点为1。
天津大学试卷专用纸
学院专业班年级学号姓名共3页第2页
3、已知函数在复平面上解析，的虚部为，且满足，求。
4、求
5、求函数在下列圆环内的Laurent展开式：

(完整版)《复变函数》期末试卷及答案(A卷)(可编辑修改word版)

a - b1- abn (z -1) n (z -1) XXXX 学院 2016—2017 学年度第一学期期末考试复变函数试卷7.幂级数∑(-1)n n =0z n2nn !的和函数是()学号和姓名务必正确清 A. e -zz B. e2- zC. e2dzD. sin z楚填写。

因填写错误或不清 8. 设C 是正向圆周 z = 2 ，则⎰C z2=()楚造成不良后果的，均由本 A. 0 B. - 2i C. iD. 2i人负责；如故意涂改、乱写的，考试成绩答一、单项选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 9. 设函数 f (z ) 在0 < z - z 0 < R (0 < R ≤ +∞) 内解析，那么 z 0 是 f (z ) 的极点的充要条件是()A. lim f (z ) = a （ a 为复常数）B. lim f (z ) = ∞视为无效。

题分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，z → z 0z → z 0请勿1.Re(i z ) =并将其前面的字母填在题中括号内。

）()10. 10. C. lim f (z ) 不存在D.以上都对z → z 0ln z 在 z = 1处的泰勒级数展开式为 ()超 A. - Re(i z )B. Im(i z )∞(z -1)n +1∞ (z -1)n A. ∑(-1)n, z -1 < 1B. ∑(-1)n, z -1 < 1过C. - Im z此 D. Im zn =1∞n +1n +1n =1 n∞n2. 函数 f (z ) =z 2在复平面上()C. ∑(-1) , z -1 < 1D. ∑(-1) , z -1 < 1密封 A.处处不连续B.处处连续，处处不可导线 C.处处连续，仅在点 z = 0 处可导D.处处连续，仅在点 z = 0 处解析，3. 设复数 a 与b 有且仅有一个模为 1，则的值()n =0n +1 n =0n 否则 A.大于 1 B.等于 1 C.小于 1D.无穷大视 4. 设 z = x + i y ，f (z ) = - y + i x ，则 f '(z ) = ()二、填空题(本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分)为A.1+ i无B. isin zC. -1D. 011. z = 1+ 2i 的5. 设C 是正向圆周 z = 1 ， ⎰C dz = 2i ，则整数n 等于 ()zn A. -1B. 0e z -1C.1D. 26. z = 0 是 f (z ) =的()z2A.1阶极点B. 2 阶极点C.可去奇点D.本性奇点∞系别专业姓名班级学号（最后两位）总分题号一二三四统分人题分 30203030复查人得分得分评卷人复查人得分评卷人复查人⎰18.求在映射 w = z 2 下， z _ _ _ _ 平面上的直线 __ _z = (2 + i)t 被映射成 w 平面上的曲线的方程.12.设 z = (2 - 3i)(-2 + i) ，则arg z =.13.在复平面上，函数 f (z ) = x 2 - y 2 - x + i(2xy - y 2 ) 在直线上可导.cos 5z.19.求e z 在 z = 0 处的泰勒展开式.14. 设C 是正向圆周 z = 1 ，则 ⎰Cdz = .z∞ ∞∞15. 若级数∑ zn 收敛，而级数∑ zn 发散，则称复级数∑ zn 为.n =1n =1n =1三、计算题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)16. 利用柯西-黎曼条件讨论函数 f (z ) = z 的解析性.20.计算积分1+iz 2dz .2017 + n i 17.判断数列 z n = n +1的收敛性. 若收敛，求出其极限.三、证明题(本大题共1 小题，每小题15 分，共15 分)nn !⎩ 21.试证明柯西不等式定理:设函数 f (z ) 在圆C : z - z 0 = R 所围的区域内解析，且在C因此在任何点(x , y ) 处， ∂u ≠∂v，所以 f (z ) 在复平面内处处不解析。

复变函数期末考试试题

复变函数期末考试试题一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(z)在z=a处解析，则以下哪个选项是正确的？A. f(z)在z=a的邻域内解析B. f(z)在z=a的任何邻域内解析C. f(z)在z=a处可导D. f(z)在z=a处连续2. 以下哪个函数是解析的？A. |z|B. z^2C. Re(z)D. Im(z)3. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则以下哪个条件是f(z)解析的必要条件？A. u_x=v_yB. u_y=-v_xC. u_x=v_y且u_y=-v_xD. u_x=v_y或u_y=-v_x4. 以下哪个函数是整函数？A. e^zB. sin(z)C. z/(z-1)D. 1/z5. 若f(z)和g(z)都是解析函数，则以下哪个函数也是解析的？A. f(z)+g(z)B. f(z)-g(z)C. f(z)g(z)D. f(z)/g(z)（g(z)≠0）6. 以下哪个函数是调和函数？A. e^zB. z^2C. Re(z)D. Im(z)7. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数也是解析的？A. f(z)的实部B. f(z)的虚部C. f(z)的共轭复数D. f(z)的逆函数8. 若f(z)在z=a处有极点，则以下哪个选项是正确的？A. f(z)在z=a处解析B. f(z)在z=a处有界C. f(z)在z=a处无界D. f(z)在z=a处有界且解析9. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数是f(z)的导数？A. u_x+iv_xB. u_x-iv_xC. u_y+iv_yD. u_y-iv_y10. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数是f(z)的积分？A. ∫(u_x+iv_x)dxdyB. ∫(u_x-iv_x)dxdyC. ∫(u_y+iv_y)dxdyD. ∫(u_y-iv_y)dxdy二、填空题（每题4分，共20分）1. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则f(z)的柯西-黎曼方程为________。

《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案

《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

（2）．计算⎰-C zz zz e d )1(2其中C 是正向圆周：解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数z z e z f z2)1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ，分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆21,c c 且位于c 内⎰⎰⎰-+-=-21d )1(d )1(d )1(222C z C z C zz z z e z zz e z z z e i z e iz e i z zz z πππ2)1(2)(2021=-+'===无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。

（3）．⎰=++3342215d )2()1(z z z z z解：设)(z f 在有限复平面内所有奇点均在：3<z 内，由留数定理]),([Re 2d )2()1(3342215∞-=++⎰=z f s i z z z z z π -----（5分） ]1)1([Re 22z z f s i π= ----（8分）234221521))1(2()11()1(1)1(z z zz zz f ++=0,z )12()1(11)1(34222=++=有唯一的孤立奇点z z z z z f 1)12()1(11)1(]0,1)1([Re 34220202lim lim =++==→→z z z z zf z z f s z z⎰==++∴33422152d )2()1(z i z z z z π --------（10分）（4）函数2332)3()(sin )2)(1()(-+-=z z z z z z f π在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 解：∞±±±==-+-=，的奇点为 ,3,2,1,0,)(sin )3()2)(1()(3232k k z z z z z z z f π（1）的三级零点，）为（032103=±±±==z kk z πsin ,,,,,（2）的可去奇点，是的二级极点，为，)()(,z f z z f z z 210-=±== （3）的一级极点，为)(3z f z =（4）的三级极点；，为)(4,3,2z f z±-=（5）的非孤立奇点。

复变函数练习题

《复变函数论》试卷（A ）系专业班姓名学号一、选择题：（每小题2分，共60分）(在每小题的四个备选答案中有一个正确答案，将正确答案的序号写在题干后的括号内)1、复平面上的区域是（）Ａ.有界集Ｂ.连通的开集Ｃ.闭集Ｄ.开集 2、单位圆周的内部且含在左半平面的部分可表为（）Ａ.⎩⎨⎧>>0Re 1z z Ｂ.⎩⎨⎧<>0Re 1z z Ｃ.⎩⎨⎧><0Re 1z z Ｄ.⎩⎨⎧<<0Re 1z z3、设ii z +-=11，那么=z z （）Ａ.i Ｂ. i - Ｃ.1 Ｄ.1- 4、复数 2πie z = 的幅角主值=z arg （）Ａ.π2 Ｂ.π Ｃ.0 Ｄ.2π5、0)Im(<z 表示的区域是（）Ａ.上半平面Ｂ.下半平面Ｃ.右半平面Ｄ.左半平面 6、=+4)1(i （）Ａ.2 Ｂ.2- Ｃ.4 Ｄ.4-7、扩充复平面上，无穷远点∞的-ε邻域是指含于条件（）的点集. Ａ.ε<z Ｂ.ε>z Ｃ. ε1<z Ｄ. ε1>z8、),(y x u 和),(y x v 在区域Ｄ内任意一点iy x z +=可微且满足柯西－黎曼方程y x v u =，xy v u -=是iv u z f +=)(在Ｄ内解析的（）Ａ.充分必要条件Ｂ.充分但不是必要条件Ｃ.必要条件但不是充分条件Ｄ.既不是充分也不是必要的条件 9、函数)(z f w =在点0z （），则称)(z f 在点0z 解析. Ａ.连续Ｂ.可导Ｃ.可微Ｄ.某一邻域内可微10、设Ｃ为正向圆周1=+i z ，则=+⎰dz iz C1（）Ａ.0 Ｂ.i π2 Ｃ.π2 Ｄ.i π 11、积分=++⎰=1242z z z dz（）Ａ.１Ｂ.０Ｃ.i π2 Ｄ.i π2- 12、若曲线Ｃ为（），则iz dz Cπ=-⎰72Ａ.1=z Ｂ.2=z Ｃ.3=z Ｄ.4=z 13、z sin 在0=z 处的泰勒展开式是（）Ａ. +++!5!353zzz Ｂ. ++-!5!353zzzＣ. +-+-!5!353zzz Ｄ. +---!5!353zzz14、幂级数∑∞=13n n nz 的收敛半径=R （）Ａ.１Ｂ.０Ｃ.21 Ｄ.∞15、函数11)(+=z z f 在0=z 处的泰勒级数的收敛半径=R （）Ａ.０Ｂ.１Ｃ.21 Ｄ.∞16、级数)(1∑∞=+n n n ib a 收敛的充要条件是（）Ａ.∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b 都收敛Ｂ.∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b 有一个收敛Ｃ.∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b 都绝对收敛Ｄ.∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b 都发散17、)(z f 的孤立奇点a 为本性奇点的充要条件是（）Ａ.0)(lim =→z f az Ｂ.)(lim z f az →不存在Ｃ.)()(lim ∞≠=→b z f az Ｄ.∞=→)(lim z f az18、0=z 是函数zz f 1cos)(=的（）Ａ.可去奇点Ｂ.一级极点Ｃ.本性奇点Ｄ.非孤立奇点 19、z sin 是一个整函数，从而它不可能（）Ａ.连续Ｂ.解析Ｃ.有界Ｄ.可积 20、亚纯函数的孤立奇点只能是（）Ａ.可去奇点Ｂ.极点Ｃ.本性奇点Ｄ.非孤立奇点 21、0=z 是函数)1(cos )(2-=z z z f 的（）零点Ａ.１Ｂ.２Ｃ.３Ｄ.４ 22、函数zz sin 在+∞<<z 0的罗朗展式的罗朗系数22,C C -分别为（）Ａ.!31,!3 Ｂ.!31,0 Ｃ.0,!3 Ｄ.!31,0-23、函数zz z z f 21)(2-+=，则==)(Re 0z f s z （）Ａ.１Ｂ.1- Ｃ.21-Ｄ.2124、方程051236=+-z z 在1<z 内（）个零点. Ａ.５Ｂ.４Ｃ.6 Ｄ.325、映射2z w =将上半圆域0)Im(,1≥<z z 映射成（）Ａ.上半平面Ｂ.圆心在原点的单位圆域Ｃ.下半平面Ｄ.圆心在原点的单位圆外26、设三对对应点为∞↔↔↔∞0,,0i i 则相应线性变换为（）Ａ.z w 1-= Ｂ.zw 1=Ｃ.zi w -= Ｄ.zi w =27、zz f 1)(=在i z +=1处的伸缩率是（）Ａ.2i -Ｂ.2i Ｃ.21 Ｄ.２28、设解析变换)(z f w =在点0z 处0)(0/≠z f ，则该变换在点0z 处具有（）Ａ.夹角不变Ｂ.模不变Ｃ.伸缩率不变Ｄ.旋转角的不变性和伸缩率的不变性 29、若)(/z f 在区域Ｇ存在，则（）Ａ.)()100(z f在Ｇ也存在Ｂ.)(z f w =是Ｇ内的保角变换Ｃ.)(z f 在G 解析Ｄ.)(z f 可展开为Ｇ内一致收敛的幂级数30、分式线性映射)0(>-++=bc ad dcz b az w 把ｚ平面的上半平面保角映射为Ｗ平面的（）Ａ.单位圆内部Ｂ.全平面Ｃ.上半平面Ｄ.下半平面二、计算、证明题：（每小题10分，共40分）1、已知调和函数2233),(y x y x u -=，求解析函数v i u z f +=)(，使i f =)0(.2、把函数2)1(1)(z z z f -=在环形域110<-<z 内展开成罗朗级数.3、求一线性变换)(z L w =，它把上半ｚ平面0Im >z 保形变换成单位圆1<w 的线性变换，且使0)(=i L ，0)(arg /=i L .4、证明：（最小模原理）若区域Ｄ内不恒为常数的解析函数)(z f ，在Ｄ内的点0z 有0)(0≠z f ，则)(0z f 不可能是)(z f 在Ｄ内的最小值.。

复变函数期末考试卷-A-2011-2012-1-答案

6. 把函数
1 在 1 | z | 2 内展开成罗朗级数。 ( z 1)( z 2)
2
【解】
1 ( z 1)( z 2)
2
1 1 z2 2 5 z 2 z 1 1 1 1 1 ( z 2) 1 5 2 1 z z 2 (1 2 ) 2 z n 1 1 z ( z 2) n 1 ( 1) 5 z 2 n 0 z 2n 2 n 0 2 n 1 z 1 2 n 1 (1) n 2 n 1 (1) n 2 n 2 5 n0 2 z z n0 n0
（5 分）
4. 求积分 I 【解】设

C
zdz, C 为沿单位圆 (| z | 1) 的逆时针一周的曲线。
z ei (0 2 ), dz iei d , 则 I ei iei d (3分) 2 i
0 2
5. 求
C
z( z 1) d z ，其中 C 为 | z | 2 。
ux v ) ( x ) 1 ,即：两族曲线互相正交。 uy vy
（2）
u v u 与中有一个为零时，不妨设 u y 0 ，则由 C-R 方程，有 y y y
k1
u ux v ， k2 x y 0 uy vy ux
即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的，它们仍互相正交。证毕。 2．证明：当 C 为任何不通过原点的简单闭曲线时，有【证明】分两种情况讨论：（1）当 z 0 在 C 之外时，由 Cauchy-Gurssat 定理得，（2）当 z 0 在 C 之内时，在高阶导数的 Cauchy 公式

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