《不等式的基本性质》复习过程
课时备课3 第一章复习不等式的基本性质
课题：第一章复习第 18周第3 教时授课日期2012年 6 月 6 日教学目标知识领域技能领域1.掌握不等式的基本性质，理解不等式（组）的解及解集的含义，会解简单的一元一次不等式（组），并能在数轴上表示其解集。
2.利用一元一次不等式解决实际问题.3.理解一元一次不等式与一问题次函数之间的关系利用一元一次不等式解决实际问题.,提高分析问题解决问题的能力让学生增强应际问题的良好实际问题的一重难点重点解一元一次不等式（组）利用一元一次不等式解决实际问题解不等式与不等式组，应用课型复习课教法自主探究合作教具三角板投影仪学科组数学年级八年级学科数学备课人教学过程巩固训练让学生先独自完成上述各小题的解答然后投影展示让学生自己来作评判，找出存在的问题3、已知不等式ax<b的解集为x>，则有（）A、a<0 B、a>0 C、a<0，b<0D、a>0，b<04解下列不等式或不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来.（1）2（x－3）＞4;（2）2x－3≤5（x－3）;（3）（4）5暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是家长、学生都按八折收费.假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应该选择哪家旅行社？三 检测1直线与直线在同一平面直角坐标系中的图小组交流答案，然后展示答案一本章知识结构图实际背景不等式一元一次不等式一元一次不等式组不等式的基本性质解不等式解法解法解集解集解集数轴表示数轴表示实际应用本章知识结构图实际背景不等式一元一次不等式一元一次不等式组不等式的基本性质解不等式解法解法解集数轴表示解集解集数轴表示实际应用本章知识结构图实际背景不等式一元一次不等式一元一次不等式组不等式的基本性质解不等式解法解法解集数轴表示解集解集数轴表示数轴表示实际应用环节教师活动知识点课堂小结布置作业学生结合本节课的学习内容，谈自己对本节课的感受(1) (2)7某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件，已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元．(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你给设计出来；(2)设生产A、B两种产品获总利润是y(元)，其中A种的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？.通过本章的学习,自己有什么收获?你感觉最困难的是什么?印象最深刻的是哪个部分的知识?补充题板书设计一元一次不等式和一元一次不等式组（一）本章知识结构图（二）练习4解下列不等式或不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来.（1）2（x－3）＞4;（2）2x－3≤5（x－3）;（3）（4）5 暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的按八折收费.假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应该选择哪家旅行社？（三）检测。
不等式的基本性质(一)
不等式的基本性质（一）一、教学目的：1.了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；2.掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．二、教学重点：比较两实数大小．三、教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号四、教学过程：1、 复习：不等式的基本性质 1 ：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
不等式的基本性质 2 ： 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变不等式的基本性质 3 ：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向 改变3、作差法：b a b a ba b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>-0004、例题分析：cb c a b a ±>±>，则即：若()0,>>⋅>⋅>c c b c a c b c a b a ，则即：若()0,<<⋅<⋅>c cb c a c b c a b a ，则即：若例2 对任意实数 x ，比较（x +1)(x +2) 与 (x -3)(x +6) 的大小 ．练习1、练习2、例3：()()()()22221111a a a a a a +-+++-+比较与的大小练习3：111,1b 1a b a <<--若比较与的大小例4： 的大小与比较且如果22,0++>>a b a b b a a 的大小（与试比较（若)g )(,12)(,13)22x x f x x x g x x x f -+=--=()()()()()()()()(){()的解析式。
求设x h x h x x x g x x x g x f x f x g x f x g ,,.,22,12,13x f ≥<=-+=--=练习4：例5：练习5：似曾相识：的大小与比较122-+++b a ab b a ()的大小与比较52222-++b a b a 的大小与比较且改为：把例)0(,,04>++>>m m a m b a b b a a ()()()上的单调性。
不等式的性质基本不等式课件高三数学一轮复习
举题说法
不等式的性质
1 (1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一
定成立的是
( BCD
)
A．ac(a－c)＞0
B．c(b－a)＜0
【解C析．】c因b2为＜aa，b2b，c满足c＜a＜b，且Dac．＜a0b，＞所a以c c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b
3．已知 x＞1，则 x＋x－1 1的最小值为 ( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】因为 x＞1，所以 x－1＞0，所以 x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 (x－1)·x－1 1 ＋1＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2(x＝0 舍去)时等号成立，此时 x＋x－1 1取最小 值 3.
4．(多选)下列说法正确的是
()
A．若
x＜1，则函数 2
y＝2x＋2x1－1的最小值为－1
B．若实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值
是3
C．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 2a＋b＋ab＝6，则 2a＋b 的最大值是 4
D．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 a＋b＝2，则a＋a21＋b＋b21的最小值是 1
【解析】设 2α－β＝m(α＋β)＋n(αห้องสมุดไป่ตู้β)，则mm＋ －nn＝ ＝2－，1， 解得mn＝＝3212，，
所以 2α－β
＝12(α＋β)＋32(α－β).
因为 π＜α＋β＜54π，－π＜α－β＜－π3，所以π2＜12(α＋β)＜58π，－32π＜32(α－β)＜－π2，所
以－π＜12(α＋β)＋32(α－β)＜π8，即－π＜2α－β＜π8，所以 2α－β 的取值范围是－π，π8.
等式性质、不等式性质与基本不等式复习课公开课教案教学设计课件资料
等式性质、不等式性质与基本不等式复习课公开课教案教学设计课件资料第一章：等式性质的复习与探究1.1 等式的概念与基本性质回顾等式的定义和基本性质（如交换律、结合律、分配律等）。
通过示例和练习，让学生熟悉等式的应用和解题方法。
1.2 等式的变形与解复习等式的变形规则，如两边加减乘除相同的数等。
讲解等式解的定义和求解方法，通过例题展示解题步骤和技巧。
第二章：不等式性质的复习与探究2.1 不等式的概念与基本性质回顾不等式的定义和基本性质（如传递性、同向不等式的可加性等）。
通过示例和练习，让学生熟悉不等式的应用和解题方法。
2.2 不等式的变形与解复习不等式的变形规则，如两边加减乘除相同的数等。
讲解不等式解的定义和求解方法，通过例题展示解题步骤和技巧。
第三章：基本不等式的复习与探究3.1 基本不等式的概念与性质回顾基本不等式的定义和性质，如算术平均数不小于几何平均数等。
通过示例和练习，让学生熟悉基本不等式的应用和解题方法。
3.2 基本不等式的证明与应用讲解基本不等式的证明方法，如使用AM-GM不等式等。
探讨基本不等式在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等。
第四章：等式与不等式的综合应用4.1 等式与不等式的联立讲解等式与不等式的联立解法，如解方程组和不等式组。
通过例题和练习，让学生熟悉解题步骤和技巧。
4.2 等式与不等式的应用问题分析等式与不等式在实际问题中的应用，如几何问题、物理问题等。
通过例题和练习，让学生熟悉解题思路和方法。
第五章：复习与练习5.1 等式性质的复习与练习总结等式的性质和解题方法，进行复习和练习。
提供练习题，让学生自主练习和巩固知识点。
5.2 不等式性质的复习与练习总结不等式的性质和解题方法，进行复习和练习。
提供练习题，让学生自主练习和巩固知识点。
5.3 基本不等式的复习与练习总结基本不等式的性质和解题方法，进行复习和练习。
提供练习题，让学生自主练习和巩固知识点。
第六章：等式与不等式的转换6.1 等式到不等式的转换讲解如何将等式转换为不等式，以及在不同情况下如何处理不等式的符号变化。
不等式的基本性质(教案)
不等式的基本性质一、教学目标1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生运用不等式解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学逻辑思维的认知。
二、教学内容1. 不等式的定义及表示方法2. 不等式的基本性质1) 不等式的两边加减同一个数，不等号的方向不变。
2) 不等式的两边乘除同一个正数，不等号的方向不变。
3) 不等式的两边乘除同一个负数，不等号的方向改变。
3. 运用不等式的基本性质解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的基本性质及其运用。
2. 教学难点：不等式性质3的理解与应用。
四、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生发现不等式的基本性质。
2. 通过例题讲解，让学生学会运用不等式解决实际问题。
3. 利用小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学过程1. 导入：复习相关知识点，如实数、比较大小等，为学生学习不等式打下基础。
2. 新课讲解：介绍不等式的定义及表示方法，讲解不等式的基本性质，并通过例题展示运用。
3. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固不等式的基本性质。
4. 实际问题解决：引导学生运用不等式解决实际问题，如分配问题、排序问题等。
5. 课堂小结：总结不等式的基本性质及运用方法。
6. 课后作业：布置相关作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对不等式基本性质的理解程度。
2. 练习题解答：检查学生运用不等式解决实际问题的能力。
3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的掌握情况。
七、教学拓展1. 对比等式的性质，引导学生发现等式与不等式的异同。
2. 介绍不等式的其他性质，如不等式的传递性、同向不等式的可加性等。
八、课堂互动1. 小组讨论：让学生分组讨论不等式性质的应用，分享解题心得。
2. 教学游戏：设计有关不等式的游戏，提高学生的学习兴趣。
九、教学策略调整1. 根据学生掌握情况，针对性地讲解不等式的难点知识点。
2. 对于学习困难的学生，提供个别辅导，帮助他们跟上课堂进度。
不等式的基本性质8条证明过程不等式的基本性质和等式的基本性质的异同
不等式的基本性质：①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）④如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）⑤如果x>y，z>0，那么x÷z>y÷z；如果x>y，z<0，那么x÷z<y÷z；⑥如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)⑦如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；⑧如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)，x的n次幂<y的n次幂（n为负数）或者说，不等式的基本性质有：①对称性；②传递性：③加法单调性：即同向不等式可加性：④乘法单调性：⑤同向正值不等式可乘性：⑥正值不等式可乘方：⑦正值不等式可开方：⑧倒数法则。
[2]……如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，以上是其中比较有名的。
不等式的基本性质和等式的基本性质的异同：①相同点：无论是等式还是不等式，都可以在它的两边加（或减）同一个数或同一个整式；②不同点：对于等式来说，在等式的两边乘（或除以）同一个正数（或同一个负数），等式仍然成立，但是对于不等式来说，却不大一样，在不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，而在不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号要改变方向。
原理：①不等式F（x）< G（x）与不等式G（x）>F（x）同解。
②如果不等式F（x）< G（x）的定义域被解析式H（x ）的定义域所包含，那么不等式F （x）<G（x）与不等式F（x）+H（x）<G（x）+H（x）同解。
高考一轮复习教案一(4)不等式的基本性质(教师)
模块：一、集合、命题、不等式 课题： 4、不等式的基本性质与基本不等式教学目标： 掌握不等式的基本性质及常用的不等式性质，如自反性、传递性、可加性、可乘性等，并能证明这些基本性质；掌握两个基本不等式，并能用于解决一些简单问题．重难点： 不等式的可加性、可乘性；基本不等式的应用及其证明．一、 知识要点1、 比较两数大小的基本方法（1）作差法 0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔=（2）作商法 若0,0a b >>，则1a a b b >⇔>；1a a b b <⇔<；1a a b b=⇔= 2、 不等式的基本性质性质1：a b b a >⇔<（对称性）性质2：若,a b b c >>，则a c >（传递性）性质3：若a b >，则a c b c +>+性质4：若,0a b c >>，则ac bc >；若,0a b c ><，则ac bc <结论1：若,a b c d >>，则a c b d +>+结论2：若0a b >>，则n n a b >()*n N ∈结论3：若0a b >>)*,1n N n >∈>3、 基本不等式（均值不等式）对任意,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号均值不等式：若a 、b 为正数，则2a b +≥a b =时取等号 变式：222()22a b a b ab ++≥≥二、 例题精讲例1、有三个条件：（1）22ac bc >；(2)c a ＞cb ；(3)22a b >，其中能成为a b >的充分条件的个数有几个，是哪几个？答案：1个，（1）例2、已知三个不等式：①0ab ②bc ad ③a c >bd ，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成多少个正确的命题？并写出这些命题． 答案：可以组成下列3个命题．命题一：若0ab ，a c >b d , 则bc ad 命题二：若0ab ，bc ad 则a c >b d ，命题三：若a c >b d ,bc ad 则0ab例3、实数a 、b 满足条件ab ＜0，那么（ ）A. ab b a + B. a b b a - C. a bb a - D. a b b a - 答案：C例4、某收购站分两个等级收购棉花，一级棉花a 元/kg ，二级棉花b 元/kg ()b a <，现有一级棉花x kg ，二级棉花y kg ()x y >，若以两种价格平均数收购，对棉农公平吗？其理由可用不等式表示为 ．答案：()()12ax by a b x y +>++例5、若12a b -<<<，则3a b -的取值范围是 ．答案：(5,4)-例6、已知实数,a b 判断下列不等式中哪些一定是正确的？（1）ab b a ≥+2； （2）ab b a 222-≥+； （3）ab b a ≥+22； （4）2≥+b a a b （5）21≥+a a ； （6） 2≥+ab b a （7）222)(2b a b a +≥+）（ 答案：（2）（3）（6）（7）例7、（1）若a R b ∈,，且221a b +=，则a b +的最大值是 ，最小值是（2）设0,0,x y >>且21x y +=，则11x y +的最小值为 （3）若01,x <<则491y x x=+-的最小值为（4）若+∈R x ，则x x 212+有最 值，且值为 （5）若13,3a a a >+-有最 值，是 ，此时a = （6）若1x <，则2231x x x -+-有最 大 值，值为答案：（1；（2）3+（3）25（4）小；1（5）小；5；4（6）大；-例8、（1）若a ,b R +∈，且2222a b +=，则的最大值是 （2）设1a >，1b >，且()1ab a b -+=，那么（ ）A 、a b +有最小值)12(2+B 、a b +有最大值2)12(+C 、ab 有最大值12+D 、ab 有最小值)12(2+答案：（1（2）A例9、一批救灾物资随26辆汽车从某市以/v km h 的速度直达灾区，已知两地公路长400km ，为了安全起见，两车的间距不得小于220v km ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求这批物资全部运到灾区至少要多少小时？（不计车身长度）答案：10小时三、 课堂练习1、,x y R ∈，且112,144x y -<-<，则x y 的取值范围是 ． 答案：7,35⎛⎫ ⎪⎝⎭2、若()2f x ax c =-，且()()411,125f f -≤≤--≤≤，则()3f 的取值范围是 ．答案：[]1,20-3、若22221,1,a b c d a b c d R +=+=∈、、、，则abcd 的最大值是 ． 答案：144、函数()()log 310,1a y x a a =+->≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n +的最小值为 ． 答案：85、设x R ∈，[]x 表示不大于x 的最大整数，如[]3π=，[]1.22-=-，102⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则使213x ⎡⎤-=⎣⎦成立的x 的取值范围是 ．答案：()22,5⎤⎡-⎦⎣四、课后作业一、填空题1、已知,22ππαπβπ<<<<，则αβ-的取值范围是 ，2βα-的取值范围是 ．答案：3,,,0222πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2、已知三个不等式：①0ab >；②c d a b-<-；③bc ad >，以其中两个作条件，余下一个作结论，则可以组成 个正确命题．答案：33、已知,x y R +∈，2312x y +=，则lg lg x y +的最大值为 ．答案：lg 64、已知0a b >>，2c a b=+且1ab =，若log ,log ,log c c c l a m d n ab ===，则将l m n 、、按从小到大的顺序用不等号连接可得 ．答案：l n m <<5、已知222sin sin sin 1αβγ++=（,,αβγ均为锐角），那么cos cos cos αβγ的最大值等于 ．6、三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值”；乙说：“把不等式变形为左边含变量x ，右边仅含常数，求函数的最值”；丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ． 答案：10a ≤二、选择题7、已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ） A 、2B 、4C 、6D 、8答案：B 8、若正数,a b 满足3ab a b =++，则a b +的取值范围是（ ）A 、[)9,+∞B 、[)6,+∞C 、(]0,9D 、()0,6 答案：B9、已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（ ）A 、22a b <B 、22a b ab <C 、2211ab a b <D 、b a a b< 答案：C三、解答题 10、当1x >-时，求2311x x y x -+=+的最小值；答案：511、（1）设集合()(){}()11,|0,,|M a b ab a b N a b a b ⎧⎫=->=<⎨⎬⎩⎭，试讨论M 与N 的关系；（2）求实数a 的取值范围，使不等式()lg lg xy a ≤对一切满足1,1x y >>的实数恒成立．答案：（1）M N ⊆；（2）a ≥12、某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x 台（x 是正整数），且每批均需付运费400元．储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比．若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费用43600元．现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．答案：安排每批进货为120台电视机，则资金够用．。
不等式的基本性质(教案)
不等式的基本性质一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握不等式的性质，能够运用不等式的性质解有关不等式。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现不等式的基本性质。
3. 情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，培养学生合作交流、归纳总结的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的性质。
2. 教学难点：不等式性质的应用。
三、教学准备1. 教师准备：教案、PPT、黑板、粉笔。
2. 学生准备：课本、练习本、文具。
四、教学过程1. 导入新课1.1 复习相关知识：回顾一元一次不等式的解法。
1.2 提问：同学们，你们知道不等式有什么性质吗？今天我们就来学习不等式的基本性质。
2. 探究不等式的性质2.1 展示不等式实例，引导学生观察、分析。
2.2 引导学生发现不等式的性质，并总结出不等式的基本性质。
3. 例题讲解3.1 出示例题，讲解例题的解法，引导学生运用不等式的性质解决问题。
3.2 学生自主练习，教师巡回指导。
4. 课堂练习4.1 出示练习题，学生独立完成，教师批改并讲解。
4.2 学生总结练习中的经验教训。
五、课后作业1. 请学生根据不等式的性质，解决课后练习题。
2. 鼓励学生进行不等式性质的探究，发现更多的性质。
六、教学拓展1. 引导学生思考：不等式的性质在实际生活中有哪些应用？2. 举例说明不等式性质在生活中的应用，如购物、分配等。
3. 引导学生进行不等式性质的综合应用，提高解决问题的能力。
七、巩固练习1. 出示巩固练习题，学生独立完成。
2. 教师批改并讲解，学生总结解题思路和方法。
八、课堂小结1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，总结不等式的基本性质。
2. 学生分享学习收获和感受。
九、课后反思1. 教师反思本节课的教学效果，找出不足之处，为下一节课做好准备。
2. 学生反思自己的学习过程，找出优点和不足，制定改进措施。
十、布置作业1. 请学生根据不等式的性质，解决课后练习题。
2. 鼓励学生进行不等式性质的探究，发现更多的性质。
不等式的基本性质
不等式的基本性质教案一、教学目标知识与技能1、探索并掌握不等式的基本性质2、理解不等式与等式性质的联系与区别过程与方法通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高学生的辨别能力情感、态度与价值观通过学生对不等式性质的探索，培养学生的专研精神，同时还加强了同学间的合作与交流二、重难点重点：探索不等式的基本性质，并能灵活的掌握和应用难点：能根据不等式的基本性质进行化简三、教学过程<一>、复习1、在上节课中我们学习了不等式的定义，请同学们说出定义，并举例2、你们还记得等式的性质吗？请讨论回答3、说明等式和不等在定义及性质上有很多相似之处，引入新课<二>、新授课1、提问：如果在不等式的两边都加上或减去同一个整式，结果会怎样？2<3 那么2+5___3+5, 2-3___3-3 2+a____3+a 2-a____3-a2、经过讨论，得出结果：性质一：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等式的方向不变3、提问：2<3 那么2x5___3x5 2x(-1) _____3x(-1) 2x(-5)____3x(-5)4、经过讨论，得出结果：性质二：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变性质三：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变<三>、例题讲解书本41页例题板书解题过程<四?>、练习巩固书本41页，随堂练习<五>、课堂小结1、引导学生总结等式与不等式基本性质的异同2、总结在运用不等式的基本性质时的注意事项<六>、布置作业百分导学四、教学反思本节课我采用类比等式性质的方法引导学生的自主探究活动，教给学生类比、猜想、验证的问题研究方法，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯。
利用学生的好奇心设疑、解疑，鼓励全体学生大胆积极参与，使学生在自主探究和合作交流中理解和掌握本节课的内容。
不等式的基本性质复习材料
不等式的基本性质复习材料概述本文档旨在复不等式的基本性质，包括不等式的定义、性质和解不等式的方法。
通过掌握这些基本概念和技巧，您将能够更好地应用不等式解题和问题分析。
不等式的定义不等式是数学中描述不等关系的符号集合。
通常使用的不等式符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
例如，如果一个数大于另一个数，则可以表示为$a > b$。
不等式的性质不等式具有以下基本性质：- 传递性：如果$a > b$且$b > c$，则必有$a > c$。
类似地，对于小于不等式也成立。
- 加法性：如果$a > b$，则对于任何正数$c$，都有$a + c > b +c$。
同样，对于小于不等式也成立。
- 乘法性：如果$a > b$且$c > 0$，则$a \cdot c > b \cdot c$。
同样，如果$a < b$且$c < 0$，则$a \cdot c > b \cdot c$。
解不等式的方法解不等式的方法取决于不等式的类型和条件。
以下是常见的解不等式方法：一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个变量的一次方程。
解这类不等式一般有以下步骤：1. 用基本性质将不等式转化为标准形式，即将所有项移到一边，使得不等式为0。
2. 判断不等式符号的转向，根据条件判断变号情况。
3. 根据不等式的解集表示形式（如区间表示法）给出最终解。
一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个变量的二次方程。
解这类不等式一般有以下步骤：1. 用基本性质将不等式转化为标准形式，即将所有项移到一边，使得不等式为0。
2. 将二次项系数归一化为1，保持方程不等号方向不变。
3. 求出二次方程的根，并将数轴划分为相应的区间。
4. 根据区间和不等式符号的转向，找出满足不等式的解集。
绝对值不等式绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
解这类不等式一般有以下步骤：1. 根据绝对值的定义将绝对值不等式转化为两个不等式。
《不等式的基本性质》 讲义
《不等式的基本性质》讲义一、不等式的定义在数学中，不等式是用不等号（大于“＞”、小于“＜”、大于等于“≥”、小于等于“≤”）连接两个表达式的式子。
例如，3x ＋ 5 ＞ 7 就是一个不等式。
二、不等式的基本性质1、对称性如果 a ＞ b，那么 b ＜ a 。
这就好像两个人比身高，如果 A 比 B 高，那么反过来，B 就比 A 矮。
2、传递性如果 a ＞ b 且 b ＞ c，那么 a ＞ c 。
比如说，A 比 B 高，B 又比 C 高，那显然 A 比 C 高。
3、加法性质如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
举个例子，假设甲有 5 个苹果，乙有 3 个苹果，如果甲得到 2 个新苹果，乙也得到 2 个新苹果，那甲拥有的苹果还是比乙多。
4、乘法正数性质如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 ac ＞ bc 。
比如，商店里的同一种商品，价格为每个 5 元，如果甲买的数量比乙多，而 5 是正数，那么甲花的钱就比乙多。
5、乘法负数性质如果 a ＞ b 且 c ＜ 0，那么 ac ＜ bc 。
这有点像在温度计上，如果温度 a 高于温度 b，而乘以一个负数（比如－2），就相当于把温度反过来，那么乘以－2 后的温度 a 就低于乘以－2 后的温度 b 。
6、同向正数相加性质如果 a ＞ b 且 c ＞ d，且 a、b、c、d 均为正数，那么 a ＋ c ＞ b ＋d 。
好比甲有 5 元钱，乙有 3 元钱，甲每天能挣 2 元，乙每天能挣 1 元，那么一段时间后，甲拥有的钱一定比乙多。
7、同向正数相乘性质如果 a ＞ b ＞ 0 且 c ＞ d ＞ 0，那么 ac ＞ bd 。
例如，有两个矩形，一个长为 a 宽为 c，另一个长为 b 宽为 d，如果 a 大于 b 且 c 大于 d，同时 a、b、c、d 都大于 0，那么第一个矩形的面积就大于第二个矩形的面积。
三、不等式基本性质的应用1、解不等式在解不等式时，我们常常利用这些基本性质对不等式进行变形，从而求出未知数的取值范围。
第三章__不等式小结复习
当判别式△=b2-4ac>0时
不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为 {x | x x1或x x 2 } 不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集为 {x | x1 x x 2}
大于符号取两边
小于符号取中间
y
O
y
x1 x2 x
Ox 1
x2
x
例1. 解下列一元二次不等式
1）x2-3x+2>0 2）x2-x-1<0 3）-2x2+3x+20 4）x(1-x)>x(2x-3)+1
O
y
4
2x+y-4=0
2
x
二元一次不等式组表示的平面区域
二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等 式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平 面区域的公共部分. y 例2 画出不等式组 x-y+5=0 x+y=0 5
x y 5 0 x y 0 x 3
O
3
x
表示的平面区域. x=3
x 2 y 8, 4 x 16, 在线性约束条件 4 y 12, 下， x 0, y 0.
求（1）目标函数 z x 2 y 的最大值； （2）目标函数 z x y 的最大值和最小值.
y
4
x y 0
B
x 2y 0
2
O
x
ax+by+c>0 ax+by+c≥0
二元一次不等式ax+by+c≥0在 平面直角坐标系中表示的平面区域 包括边界，把边界画成实线.
高三数学总复习 不等式基本性质教案
城东蜊市阳光实验学校师范大学附属中学高三数学总复习教案：不等式根本性质教材：不等式根本性质〔续完〕目的：继续学习不等式的根本性质，并能用前面的性质进展论证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。
过程：一、复习：不等式的根本概念，充要条件，根本性质1、2二、1．性质3：假设b a >，那么c b c a +>+〔加法单调性〕反之亦然证：∵0)()(>-=+-+b a c b c a ∴c b c a +>+ 从而可得移项法那么：b c a b c b b a c ba ->⇒-+>-++⇒>+)()( 推论：假设b a >且dc >，那么d b c a +>+〔相加法那么〕证：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒> 推论：假设b a>且d c <，那么d b c a ->-〔相减法那么〕 证：∵d c <∴d c ->-d b c a d c b a ->-⇒⎩⎨⎧->-> 或者者证：)()()()(d c b a d b c a ---=--- d c b a <> ⇒⎭⎬⎫<-∴>-∴00d c b a 上式>0……… 2．性质4：假设b a >且0>c ,那么bc ac >；假设b a >且0<c 那么bc ac <〔乘法单调性〕证：c b a bcac )(-=-∵b a >∴0>-b a 根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：0>c 时0)(>-c b a 即：bc ac >0<c 时0)(<-c b a 即：bc ac <推论1假设0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >〔相乘法那么〕 证：bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0, 推论1’〔补充〕假设0>>b a 且d c <<0，那么d b c a >〔相除法那么〕证：∵0>>c d ∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a d c d b c a > 推论2假设0>>b a ,那么n n b a >)1(>∈n N n 且3．性质5：假设0>>b a ，那么n n b a >)1(>∈n N n 且 证：〔反证法〕假设n n b a ≤ 那么：假设ba b a b a b a n n n n =⇒=<⇒<这都与b a >矛盾∴n n b a > 三、小结：五个性质及其推论口答P8练习1、2习题4四、作业P8练习3习题5、6五、供选用的例题〔或者者作业〕1．0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：db ec a e ->- 证：⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-<-⇒>-<-⇒⎭⎬⎫<<>>011000ed b c a d b c a d c b a d be c a e ->-2．假设R b a ∈,，求不等式b a b a 11,>>同时成立的条件 解：00011<⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-⇒>>-=-ab a b b a ab a b b a 3．设R c b a ∈,,，0,0<=++abc c b a 求证0111>++c b a 证：∵0=++c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab又∵0≠abc ∴222c b a++>0∴0<++bc ac ab ∵abcca bc ab c b a ++=++1110<abc ∴0<++bc ac ab ∴0111>++cb a 4．||||,0b a ab >>比较a 1与b1的大小 解：a 1b 1aba b -=当0,0>>b a 时∵||||b a >即b a > 0<-a b 0>ab ∴0<-ab a b ∴a 1<b1 当0,0<<b a 时∵||||b a >即b a <0>-a b 0>ab ∴0>-ab a b ∴a 1>b 1 5．假设0,>b a 求证：a b ab >⇔>1 解：01>-=-aa b a b ∵0>a ∴0>-a b ∴b a < 0>-⇒>a b a b ∵0>a ∴01>-=-a b a a b ∴1>ab 6．假设0,0<<>>dc b a 求证：d b c a ->-ππααsin sin log log 证：∵1sin 0<<α>1∴0log sin <πα 又∵0,0>->->>d c b a ∴d b c a ->-∴d b c a -<-11∴原式成立。
不等式的基本性质
不等式的基本性质【学习目标】1.掌握不等式的三个基本性质.2.会将不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式.【学习过程】（一）情境引入小明比小芳的钱多，如果他们获得了同样多的压岁钱，他们两人的钱谁多谁少？如果他们花同样多的钱订了校服，此时他们两人的钱谁多谁少？（二）复习回顾：等式的基本性质等式的基本性质1：等式的两边都加上（或减去）或____________，所得的结果仍是等式。
等式的基本性质2：等式的两边都乘以（或除以）_____________________，所得的结果仍是等式。
（三）探究活动一：1、填“＞”或“＜”号如果小明有a元钱，小芳有b元钱，若a ＞ ba+100 b+100 a-70 b-70 a+c b+c a+(c-1) b+(c-1)2、小组交流：有什么规律？（四）探究活动二：1、填“＞”或“＜”号2、小组交流：有什么规律？（五）试一试1、已知a＜b，用“＞”或“＜”填空a-3 b-3 a÷3 b÷36a 6b -2a -2b2、已知x＞y，下列不等式一定成立吗？x-6＜y-6 （） x ＜ y （） -x＜-y（）（六）例题：将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式（1）x-5 ＞ -1 （2）-2x＞ 3跟踪练习：将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式（1）x-1＞2 （2）-3x≥ 6 （3） x≤ 3313121 4＜84×2＿＿8×24×41＿＿8×414÷2＿＿8÷24÷41＿＿8÷414＜84×（–2）＿＿8×（-2）4×（41-）＿＿8×（41-）4÷（-2）＿＿8÷（-2）4÷（41-）＿＿8÷（41-）aa （七）综合提高1、已知a ＞ b ，用“＞”或“＜”填空a-b 0 3a-4 3b-42、将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式5x ＞4x+2（八）拓展延伸1、判断:因为 -2 < 1， 所以-2a < a ( )2、比较5a 与2a 的大小（九）学以致用有一个宽度为a 的池塘，为保护大家的安全，决定在它周围修建护栏，现有两个方案，一是修建方形护栏，二是修建圆形护栏，为了节省材料，应选择哪个方案，为什么？（十）小结：谈谈你的收获与困惑？达标练习一、判断对错。
不等式的基本性质
所以 所以
又因为
0
（5）若a b, c d , 则a c b d
考点解析
例 1. 比较2a 2 4a 3与3a 2 2a 6的大小
解：因为 (2a 2 4a 3) (3a 2 2a 6)
a 2 6a 9
(a 3)2 0
所以2a 2 4a 3 3a 2 2a 6
（1）比较两个数或者两个式子的大小一般是运用作差比较法 （2）作差比较法最后得到的式子通常是变化为几个因式的积 或者是形如之类的形式，再来确定正负
单 招 零 距 离
考点解析
例1变式训练: 当x 3时,比较3x 2 x 3与2x 2 2x 9的大小
单 招 零 距 离
考点解析
例2.已知 2 a 1 ， 3 b 6, 求a 2b, a 3b的取值范围
单 招 零 距 离
②若b 0, 则解集为
点评： 在解含有字母系数的不等式的时候，要2 x 1 3
单 招 零 距 离
考点解析
例4.已知 m 3x 2，n x 1 , 且2m 3n 7，求 x的取值范围 2
错题分析
纠正下题解法中的错误
已知
3
6
, 求 的取值范围
错解：因为
.
3
3
6
,
3
2
6
2
所以
6
所以
正解：因为
单 招 零 距 离
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不等式的基本性质
一、教材分析
【教材的地位和作用】
不等式的基本性质是中职数学的主要内容之一，在中职数学中占着重要地位。
它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用，有着重要的实际意义。
同时，不等式的基本性质也为学生以后顺利学习解一元一次不等式和解一元一次不等式组的有关内容，起到重要的奠基作用。
【教学结构】
课本建议教学时间为约一课时。
针对所带学生的特点，为使学生更好地理解性质、深化知识探究过程，将课时调整为2节。
第一节：集中探索不等式的三个基本性质并作简单应用；第二节：不等式的基本性质的运用，处理例题和习题。
本稿为第一节。
根据课程标准，我将教学重难点确定如下：
【教学重难点】
教学重点：不等式的三条基本性质及其应用。
教学难点：不等式的基本性质3的探索与运用。
二、【学情分析】
基础能力：数学基础知识相对薄弱，学习目标也不明确，但是具备一定的观察动手能力。
认知现状：通过初中的学习，学生对不等式的性质多多少少有所理解，并且通过上节课的学习，已初步掌握应用作差比较法比较两个实数及两个代数式
的大小。
情感特点：学习兴趣淡薄, 缺乏自信及成功的体验，
有好奇心，愿意尝试新事物及联系生活
三、教学目标
根据上述对教材内容的分析，并结合学生的认知水平和思维特点，我确定以下教学目标。
【教学目标】
知识与技能：1.掌握不等式的三条基本性质以及推论，能够运用不等式的基本性质将不等式变形解决简单的问题；2.进一步掌握应用作差比较法比较实
数的大小。
过程与方法：通过观察、操作、猜想、探究等合情推理活动，归纳出不等式的基本性质，体验数学发现和创造的历程。
情感、态度价值观：通过教学，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好思维品质。
四、教法学法
【教法】
主要采用讲练结合，启发式、探究式教学方法，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，根据学生的心理发展规律，通过引导学生回顾玩跷跷板的经验，师生共同探究天平两侧物体的质量的大小，引导学生理性地认识不等式的三条基本性质，并运用作差比较法来证明之。
通过题组训练，使学生逐步掌握不等式的基本性质，为后面运用不等式的基本性质解不等式打下理论基础。
【学法】
我们常说：“现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人”，因而在教学中要特别重视学法的指导。
针对所教的学生是中职学生，底子薄，学习积极性不高。
所以我准备从现实生活入手，首先来提高学生的学习兴趣；其次要一步一个脚印，通过师生互动、通过小组研究来降低学习难度，最后达到学习要求。
【教具】
多媒体设备、PPT课件、等。
五、教学过程
（一）展示课件创设情景，引入新课<用时8分钟左右>
因为数学来源于生活，所以我以学生的实际生活背景为素材创设情景，易于被学生接受、感知。
有助于调动学生的学习积极性。
所以我创设了天平情境问题（如图1），让学生观察课件，说出物体a和c哪个质量更大一些，由此判断：如果a ＞b，b＞c，那么a和c的大小关系如何？这是感性认识。
接下来运用分析法从理论上证明了性质1的正确性，也就是证明了不等式的传递性，即如果 a＞b，b＞c，则 a＞c．在证明这一点上不能拖泥带水，主要由老师为主，学生为辅的方式来进行，这是由我们中职学生底子薄的现状来决定的。
根据教育部最新颁布的《中等职业学校数学教学大纲》中对不等式的基本性质的要求是理解，也说明了这一点。
（也就是只懂得知识的概念和规律（定义、定理、法则等）以及与其他相关知识的联系。
）后面的不等式其它性质及其推论的证明都是这样处理的
图1
性质1（传递性）
如果 a＞b，b＞c，则 a＞c
（二）创设情景说明性质2<用时10分钟左右>
为了说明性质2，我设置了这样的情景（如图2），然后提出问题: 如果 a＞b，那么 a＋c与b＋c．大小关系如何：
图2
很明显，学生能够得出答案，即：如果 a＞b，则 a＋c＞b＋c 。
同上面一样，让学生运用做差比较法对该性质从理论上进行证明。
然后让学生联想思考：如果把c换成–c是否也成立呢。
给学生的回答应该是肯定的。
同理运用作差比较法来证明。
这样就得到了不等式的性质2，即
性质2（加法法则）：如果 a＞b，则 a＋c＞b＋c
不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变。
接下来为了说明性质2的推论，我设置了这样一个问题，如果 a＋b＞c，那么a＞c－b吗？我想很多同学回答是肯定的，因为这就是初中所说的移项嘛，这个问题对大部分同学相对简单，由此可以大大提高他们的学习积极性。
然后我运用综合法和性质2对推论1即：如果 a＋b＞c，那么 a＞c－b 做了证明，理论要和实践相结合，接着我采用学生口答，我点评的方式出了练习1五道题，以此对不等式的性质及其推论进行练习巩固。
推论1：如果 a＋b＞c，那么 a＞c－b
不等式中任何一项，变号后可以从一边移到另一边。
（三）小组合作探究性质3<用时12分钟左右>
这时我把学生分成4人一组的形式，然后提出问题：把不等式5＞2的两边同时乘以任意一个不为0的数，观察不等号的方向是否变化？多试几次，你能发现什么规律吗？
学生猜想结果后，在小组内交流、讨论，我巡回指导。
把猜想作为教学的出发点，启发学生积极思维，探索规律，有助于提高学生学习兴趣，活跃课堂气氛。
接着运用作差比较法从理论上证明了性质3，即：如果 a＞b，c＞0，那么 a c ＞b c；如果 a＞b，c＜0，那么 a c＜b c 。
即得到了不等式的乘法法则：如果不等式两边都乘同一个正数，则不等号的方向不变；如果都乘同一个负数，则不等号的方向改变．
性质3：（乘法法则）
如果 a＞b，c＞0，那么 a c＞b c；
如果 a＞b，c＜0，那么 a c＜b c
如果不等式两边都乘同一个正数，则不等号的方向不变；如果都乘同一个负数，则不等号的方向改变．
然后用练习2和练习3来进行巩固所学知识，练习2由学生思考后回答；练习3同桌之间讨论、回答。
因为性质3学生容易出错，用练习及时巩固，通过相互评价学习效果，及时发现问题、解决知识盲点。
（四）小结收尾总结要点<用时5分钟左右>
最后回顾、总结、矫正、提高，帮助学生形成本节课的知识网络，特别要总结强调性质3的第二点：不等式两边同时乘以一个负数时，不等号的的方向必须改变。
这也是学生最容易犯的地方，这也是为何性质3是本节课难点的所在。
（五）作业布置以此巩固所学知识<用时1分钟左右>
本着“面向全体学生，并发展他们的个性和特长，促进每一个学生的发展。
”的原则，我制定了有面向全体学生的课本习题，同时布置了一个课外阅读任务，供学有余力的学生完成。
即布置了必做作业教材37页4、5题和选做作业教材35页知识延伸的阅读。
[体现分层落实目标和循序渐进原则，体现了教学的民主和开放。
]
另外剩余4分钟时间做为答疑解惑时间
（六）板书设计
一、性质1（传递性）
如果 a＞b，b＞c，则 a＞c 练习
二、性质2（加法法则）
如果 a＞b，则 a＋c＞b＋c
推论1：如果 a＋b＞c，那么 a＞c－b
三、性质3：（乘法法则）
如果 a＞b，c＞0，那么 a c＞b c；
如果 a＞b，c＜0，那么 a c＜b c
[板书和课件要科学、合理地衔接。
]
（七）教学反思
本节课我采用从生活中创设问题情景的方法激发学生的学习兴趣，引导学生自主探究活动，教给学生类比、猜想、验证的问题研究方法，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯。
利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼、有效的教学活动，学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容。
力求在整个探究学习的过程充满师生之间、生生之间的交流和互动，体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体。