封闭图形中的植树问题
植树问题2(封闭图形)
巩固练习
巩固练习 （3）四（2）共有48名同学，他们也在操场上围成了一个正
方形，每边人数相等，四个顶点都站了人，每边站了几个人？
尝试评价
巩固练习
（1）四（1）班的同学在操场上围成了一个正方形，每边各站 12人，四个顶点都站了人，这个班级一共有多少人？ （2）四（2）共有48名同学，他们也在操场上围成了一个正 方形，每边人数相等，四个顶点都站了人，每边站了几个人？
巩固练习 （1）四（1）班的同学在操场上围成了一个正方形，每边各
站12人，四个顶点都站了人，这个班级一共有多少人？
（1）在每边种2、3、4、5棵这几种情况中选择 几种来研究。 （2）利用小磁贴摆一摆，数一数，并完成表格。 （3）完成表格后想一想，你们发现了什么？
反馈提炼 每边棵数 每边段数 总棵数 总段数
尝试解决 如果要在正方形的植物园四周种上小树， 每边要种19棵树，四个顶点都要种，一共 要种多少棵树？
Hale Waihona Puke 自学提高植树问题准备问题
在100米的小路的一边，每隔5米种一棵柳树， 起点和终点都栽，一共种了多少棵？
尝试问题 如果要在正方形的植物园四周种上小树， 每边要种19棵树，四个顶点都要种，一共 要种多少棵树？
合作交流
如果要在正方形的植物园四周种上小树， 每边要种19棵树，四个顶点都要种，一共 要种多少棵树？ 小组合作要求
五年级上册植树问题应用题
五年级上册植树问题应用题
植树问题是一个常见的数学问题，涉及到间隔、数量和总长度等概念。
以下是几个适合五年级上册水平的植树问题应用题：
1. 直线植树问题：
一条直路上有10个村庄，每两个相邻的村庄之间都要植一棵树。
问：一共需要植多少棵树？
2. 封闭图形植树问题：
一个正方形的花坛，每边有5棵树，每个角上都有一棵树。
问：这个花坛一共有多少棵树？
3. 间隔距离问题：
学校计划在一条长200米的走廊上种树，每隔5米种一棵。
走廊两端都要种树。
问：一共要种多少棵树？
4. 环形植树问题：
一个圆形花坛的周长是120米，计划在花坛的周围每隔3米植一棵树。
问：一共要植多少棵树？
5. 楼梯植树问题：
一段楼梯有10级台阶，从下往上走，每级台阶的左侧都要放一盆花。
问：一共需要多少盆花？
解答这类问题时，学生需要理解植树问题的基本规律，比如直线上的植树是“树的数量 = 村庄数量 - 1”，封闭图形上的植树则是“树的数量 = 边数× 每边的树数量 - 角上的树数量”等。
同时，学生还需要根据题目的具体条件，如是否两端都要种树、是否是封闭
图形等，来灵活应用这些规律。
数学四年级下册《封闭图形中的植树问题》教案
数学四年级下册《封闭图形中的植树问题》教案数学四年级下册《封闭图形中的植树问题》教案教学目标：（一）利用信息技术平台,提供问题情境，让学生通过生活中的事例探索、掌握解决封闭图形中植树问题的方法。
（二）通过多媒体课件，渗透数形结合思想，引导学生在解决问题的分析、思考过程中，经历抽取出数学模型的过程。
（三）在解决问题中，培养学生的独立思考、合作探究的能力，体会数学在生活中的广泛应用教学重点、难点：教学重点：让学生掌握解决封闭图形植树问题的思想方法。
教学难点：探索发现封闭图形情况下棵树与间隔数之间的关系。
教学过程：（一）创设情景，引入问题1．问题一：（出示图片）正方形桂花树台一边也要摆花，量一下边长是9米，每一米摆一盆，请大家帮助算一算，要几盆花？反馈：谁来告诉大家要摆多少盆花？预设：生1：91+1=10盆；生2：91=9盆；生3：91-1=8盆师：这里都有91这是什么意思？+1就是求出了什么？不加的就是求出了什么？-1求出了什么？小结：同学们用以前学习的植树问题帮我解决了这个数学问题。
2．问题二：如果桂花树的正方形木台四周都要摆上10盆花，共要多少盆花？［通过展示校园中鲜花盛开的美丽景色，创设情境，引出生活中的数学问题，激发学生探究欲望。
］生1：40盆，生2：36盆，师：到底是36盆还是40盆，要知道哪个答案是对的，怎么办？（让学生互相争论）（听听学生的意见，如果学生说画最好，如果学生说其他，教师可以介入说：老师这儿有个建议。
）小结:看来有些同学认为用画一画的方法比较好是吧，那就请同学们用自己认为好的方法来验证到底是需要多少盆？（二）多元表征，感知模型1．出示学习建议：（1）你可以自己最喜欢的方法来说明你的答案是怎么来的（2）你也可以利用老师提供的材料（材料1），画一画，圈一圈。
并写出算式。
（花盆可以用符号表示）（3）先独立思考，再在小组中说一说你的方法。
［把学习的'主动权交给了学生，放手让学生想一想、画一画、说一说，激活学生已有的生活经验，既满足了学生的表现欲望，又培养了学生自主探索、小组合作学习的意识。
五上数学植树问题(封闭图形)
1、48名学生在操场上做游戏。
大家围成一个正方形，每边人数相等。
四个顶点都有人，每边各有几名学生？（48＋4）÷4＝13（人）答：每边各有13名学生。
2、陈庄小学有一个长60米、宽40米的小操场，四个顶点都种有一棵树，长边上每隔10米种一棵，宽边上每隔8米种一棵。
操场四周一共种树多少棵？60÷10×2＋40÷8）×2－4＝18（棵）答：操场四周一共种树18棵。
3、在一个周长为1600米的水库四周，每隔8米种一棵杨树，后来又在两颗杨树中间等距离种了两颗柳树。
问水库四周一共种了多少棵树？1600÷8×2＝400（棵）答：水库四周一共种了400棵树。
4、沿一个长50米、宽30米的长方形鱼塘每隔5米种一棵树，一共能种多少棵树？长方形周长：（50+30）×2=160（米）棵树：160÷5=32（棵）答：一共能种32棵树。
5、王大爷在正方形鱼池边上种树，每边等距种树10棵，（四个角都要种树），每辆棵之间相距4米。
鱼池的周长是多少米？（10×4－4）×4＝144（棵）答：鱼池的周长是144米。
6、圆湖的周长1350米，在湖边相隔9米种柏树一棵，在两棵柏树之间种2棵桃树，两棵桃树之间的距离是多少米？9÷（2＋1）＝3（米）答：两棵桃树之间的距离是3米。
7、在一个湖的周围每隔4米种一棵柳树,一共种了180棵。
在相邻的两棵柳树间每隔2米种一棵柏树，一共种多少棵柏树？180×（4÷2－1）＝180（棵）答：一共种180棵柏树。
8、沿着周长是240米的圆形花坛每隔6米栽一棵丁香树，再在每相邻的两株丁香树之间等距离地栽2株月季，一共能栽多少棵丁香树？一共能栽多少株月季？两棵相邻的丁香树之间的2株月季相距多少米？丁香花（封闭图形）：周长÷间距=240÷6=40（株）月季花（在丁香花的每个间隔中）：40×2=80（株）2 株月季花相距：6÷（2+1）=2（米）。
小学奥数 植树问题(二)
1．封闭与非封闭植树路线的讲解及生活运用。
2．掌握空心方阵和实心方阵的变化规律．3．几何图形的设计与构造一、植树问题分两种情况：（一）不封闭的植树路线. ① 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1+=全长÷株距1+全长=株距⨯(棵数1-)株距=全长÷(棵数1-)② 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=株距⨯棵数；棵数=段数=全长÷株距；株距=全长÷棵数.③ 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1-=全长÷株距1-.株距=全长÷(棵数1+).全长=株距⨯(棵数+1)（二）封闭的植树路线.在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数. 全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数=周长÷株距.二、解植树问题的三要素（1）总路线长（2）间距（棵距）长（3）棵数，只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．三、方阵问题（1）明确空心方阵和实心方阵的概念及区别.（2）每边的个数＝总数÷41+”；（3）每向里一层每边棋子数减少2；（4）掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。
知识点拨教学目标5-1-3.植树问题（二）例题精讲模块一、封闭图形的植树问题【例 1】小强家附近的公园里有一个圆形池塘，它的周长1500是米，每隔3米栽种一棵树．问：共需树苗多少株？【考点】封闭图形的植树问题【难度】1星【题型】解答【巩固】周叔叔家有一个长40米，宽30米的长方形鱼塘，他想沿塘每隔5米栽一棵柳树，需要栽多少棵柳树？【考点】封闭图形的植树问题【难度】1星【题型】解答【例 2】在一个长345米、宽240米的长方形草坪四周等距离地栽一些松树，要求四个顶点和每边中点都正好栽一棵松树，则最少要买松树苗棵。
植树问题(3)
状元成才路
植树问题 例3
-----封闭图形中的“植树问题”
张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长
是14200 m，如果每隔10 m栽一棵，一共要栽多 少棵树？
状元成才路
如果把圆拉直成线段，你能发现什么？
我发现间隔数与 棵树一一对应。
相当于一端栽， 一端不栽。
状元成才路
小结： 我们将封闭图形“化曲为直”后，发
现封闭图形和在不封闭图形“只栽一端” 中棵数和间隔数的关系是一样的，都是棵 数等于间隔数。
1. 圆形滑冰场的一周全长是 150 m。如果沿着这一圈 每隔15 m安装一盏灯，一 共需要装几盏灯？
150÷15 = 10（盏） 答：一共需要装10盏灯。
状元成才路
2.张伯伯围绕圆形池塘栽树， 每两棵树之间的距离是3 m， 照这样计算，种15 棵树的 距离是多少米？
封闭图形的植树问题1
（封闭图形）棵数=段数（间隔数） 总长度=段数×间距
我们发现的规律： （封闭图形）点数 = 段数
在正八边形 花坛的每边 摆3盆花。 花坛一圈一 共可以摆多 少盆花？
？ 3×8=24（盆）
√ √ 3×8-8=16（盆） （3-1）×8=16（盆）
做一做：
48名学生在操场上做游戏。大家围成一 个正方形，每边人数相等。四个顶点都 有人，每边各有几名学生？
48 ÷4 +1
=12+1
=13（名）
社区有一块正五边形水池，要在
每边都摆4盆花，五个角各摆一盆，
可以怎样摆放？最少需要多少盆 花？
９个小朋友围成一圈做 游戏，每两个人之间的 距离是１米，这一圈的 长度是多少？
圆形体育馆的一周全长是1500米， 如果沿着这一圈每隔15米安装一盏灯， 一共需要装几盏灯？
棋盘的最外层每边能放19个棋子。
最外层一共可以摆放多少棋子？
19 17 19×2＋17×2＝72 17
19
18×4＝72
你还有其它的方 法吗？试试看！
点数是（３）， 间隔数是（３）。
点是（4） 段数是（4）
点数是（ 6 ）， 间隔数是（ 6 ）。
点数是（ 8 ）， 间隔数是（ 8 ）。
点数是（8）， 间隔数是（8）。
封闭植树问题公式
封闭植树问题公式
封闭图形的植树问题的公式是棵数=间隔数、棵树=周长÷间距、棵树=长度÷间距+1(两端都栽)、棵树=长度÷间距-1(两端都不栽)、棵树=长度÷间距(一端栽、一端不栽)。
在封闭图形上进行植树，段数等于株数，满足的公式和直线型仅在路的一端植树是一样的：株数=段数=全长÷株距，全长=株距×株数，株距=全长÷株数。
解植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。
将封闭图形“化曲为直”后，发现封闭图形和在不封闭图形“一头种”中棵数和间隔数的关系是一样的，都是棵数等于间隔数。
请注意，在解答具体问题时，应结合题目的实际情况选择合适的公式进行计算。
封闭图形的植树问题
计算机模拟法
方法描述
计算机模拟法是通过编程实现一个模拟程序来模拟植树 过程，并输出各种植树方案的数量。这种方法不需要对 问题进行深入分析，而是直接通过模拟来解决。
优缺点
该方法的优点是简单易行，可以处理大规模数据和复杂 问题。但缺点是可能存在计算效率不高或结果不准确的 问题。
具体步骤
编写一个计算机程序，根据给定的封闭图形和植树条件 进行模拟，并统计各种植树方案的数量。
背景
• 封闭图形植树问题是一个经典的几何问题，它不仅在数学领域有广泛的应用，还在计算机科学、图形学等领域具有实际 意义。该问题具有高度的复杂性和挑战性，对于解决策略和算法的设计都有很高的要求。
问题的数学模型
01
封闭图形植树问题可以用数学模型进 行描述。假设在二维平面上有一个封 闭图形，该图形的边界由n个点组成 ，每条边都由两个相邻的点确定。现 在要在该图形内种植m棵树，每棵树 至少与三条直线段相交。每条边可以 由两个相邻点确定，每个交点可以有 多个边经过。
04
封闭图形植树问题的扩展 问题
非规则封闭图形的植树问题
非规则封闭图形
对于非规则的封闭图形，如凹多边形、凸多边形等，需要针对图 形的特点进行植树问题的求解。
求解方法
求解非规则封闭图形的植树问题，通常采用动态规划、分治策略 或优化算法等方法。
树种选择
在非规则封闭图形中，树种的选择也会影响最终的植树方案。不同 的树种具有不同的生长特性和适应能力，需要根据实际情况进行选 择。
应用拓展研究
总结词
应用拓展研究旨在将封闭图形植树问题的研究成果应用于更广泛的领域，用拓展研究包括将封闭图形植树问题的算法和方法应用于其他图形和网络问题，例如网络流量控制 、交通路网规划、社交网络分析等。此外，还可以将封闭图形植树问题的研究成果应用于其他学科领 域，例如生物学、化学、物理学等。
五年级上册数学教案-7.3植树问题(封闭图形)-人教新课标
五年级上册数学教案7.3植树问题(封闭图形)人教新课标教案：五年级上册数学教案7.3植树问题(封闭图形)人教新课标我，作为一名经验丰富的教师，今天要分享的是关于五年级上册数学教案中7.3植树问题（封闭图形）的教学内容。
一、教学内容本节课的教学内容涉及到人教新课标五年级上册第七章第三节，主要讲解植树问题在封闭图形中的运用。
具体内容包括：如何计算封闭图形中植树的棵数，如何确定植树的位置，以及如何解决实际生活中的植树问题。
二、教学目标通过本节课的学习，学生能够掌握封闭图形中植树问题的解决方法，提高他们在实际生活中的数学应用能力。
三、教学难点与重点本节课的重点是让学生理解并掌握封闭图形中植树问题的解决方法，难点是如何引导学生将实际问题转化为数学问题，并运用所学知识解决。
四、教具与学具准备五、教学过程1. 情景引入：我将以一个实际生活中的植树问题引入本节课的学习，让学生初步了解植树问题在实际生活中的应用。
3. 例题讲解：为了让学生更好地理解所学知识，我将通过几个典型的例题进行讲解，引导学生运用所学知识解决问题。
4. 随堂练习：在讲解完例题后，我将给学生提供一些随堂练习题，让学生独立完成，以检验他们对于所学知识的掌握程度。
5. 作业布置：我将布置一些作业，让学生在课后巩固所学知识，并能够运用到实际生活中。
六、板书设计板书设计如下：封闭图形中植树问题的解决方法1. 计算植树的棵数：封闭图形的边长或周长2. 确定植树的位置：按照一定的间隔进行植树七、作业设计1. 计算植树的棵数：如果一个正方形的边长为10米，每边种植5棵树，请问这个正方形一共种植了多少棵树？答案：25棵2. 确定植树的位置：如果一个圆形的周长为30米，每隔5米种植一棵树，请问这些树的位置如何分布？答案：每隔5米种一棵树，分布在圆形的周长上。
八、课后反思及拓展延伸通过本节课的教学，我发现学生们对于封闭图形中植树问题的解决方法掌握得比较好，但在解决实际问题时，有些学生还是不知道如何下手。
封闭图形的植树问题
城市绿化
城市中的街道、广场、公园等公共区域常常需要进行绿化，封闭图形的植树问题 可以用来解决如何合理地布置树木，以达到美观和生态的效果。
例如，在一块矩形区域中，需要种植多棵树，使得这些树均匀地分布在区域内部 ，并且每两棵树之间的距离相等。
公园建设
在建设公园时，需要考虑到如何合理地布置景点和设施，以 使游客能够更好地欣赏公园的景色。封闭图形的植树问题可 以用来解决如何合理地布置景点和设施，以达到最佳的观赏 效果。
封闭图形植树问题的特点
封闭性
封闭图形植树问题中的图形是 封闭的，因此需要考虑如何在 边界内合理地安排树木的位置
。
规则性
封闭图形植树问题通常有一定 的规则和限制，例如每棵树之 间的距离、不能种植在特定区 域等。
最优化
封闭图形植树问题的目标是找 到最优化的解决方案，使得树 木的位置合理、美观且符合规 则和限制。
封闭图形的植树问题
汇报人： 2023-12-27
目录
• 封闭图形植树问题的定义 • 封闭图形植树问题的分类 • 封闭图形植树问题的解决方法 • 封闭图形植树问题的应用场景 • 封闭图形植树问题的实例分析
01
封闭图形植树问题的定义
封闭图形的定义
封闭图形是指一个二维平面上的闭合 路径，其边界形成一个连续的线条， 内部没有空隙。常见的封闭图形包括 矩形、圆形、三角形等。
根据封闭图形的面积和树的尺寸，计 算需要种植的树的数量。
计算需要的树的数量
根据周长和间距计算树的数量
根据封闭图形的周长和每两棵树之间的间距，可以计算出需要的树的数量。
考虑实际情况
在计算过程中，需要考虑实际情况，如土地的可用性、树木的生长环境等，以确 保植树计划的可行性。
封闭图形的植树问题
封闭图形的植树问题一、解读文本本课教学的内容是人教版教科书四年级下册数学广角第120页例3及部分练习。
例3是植树问题的另一种情况——关于一个封闭图形的植树问题。
教材借助围棋盘的最外层每边都能放19个棋子，求围棋盘最外层一共可以摆多少棋子的问题，介绍如何解决类似的植树问题。
二、教学理念1、“系统而有步骤地渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来。
”是人教版新课标实验教材总体设想之一，因此在人教版实验教材中，“数学广角”以单元为呈现形式，较为集中地安排了训练数学思维的教学内容，从而加大渗透数学思想方法的力度。
2、《数学课程标准》也指出：“重要的数学概念与数学思想宜逐步深入，逐级递进、螺旋上升。
”通过解决由植树引发出来的问题渗透化归思想,应用数学模型解决类似问题。
三、教学设计教学目标：1．借助围棋盘探讨封闭曲线（方阵）中的植树问题；2．初步培养学生从实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力；3．让学生感受数学在日常生活中的广泛应用。
教学重点：从封闭曲线（方阵）中探讨植树问题。
教学难点：用数学的方法解决实际生活中的简单问题。
教具、学具准备：图表一张教学过程：一、复习旧知，情境导入（课件出示）1、复习旧知师：同学们，你们刚刚学习了植树问题对吗？你们掌握的怎么样呢？（不错或还可以等）。
师：敢接受老师的挑战吗？（敢）哟，个个都信心十足的，真不错。
那就让我们走进阳光小学的植树林吧。
师：瞧，阳光小学的同学们利用春天植树的季节，种了好多树，这里面就有植树问题：（课件出示）（1）在100米的小路边，每隔5米种一棵柳树，两端都要种，一共种了多少棵？（2）校园图书馆和体育馆两栋楼之间长40米，每隔4米种一棵柏树，一共种了多少棵？师：（第一题）1000÷20求的是什么？为什么要加1？（两端都栽：棵数=间隔数+1）师：40÷4求的是什么？又为什么要减1呢？（两端不栽：棵数=间隔数－1）。
植树问题不封闭、封闭
植树问题知识结构一、植树问题分两种情况：（一）不封闭的植树路线.①若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1+=全长÷株距1+全长=株距⨯(棵数1-)株距=全长÷(棵数1-)②如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=株距⨯棵数；棵数=段数=全长÷株距；株距=全长÷棵数.③如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1-=全长÷株距1-.株距=全长÷(棵数1+).全长=株距⨯(棵数+1)（二）封闭的植树路线.在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数=周长÷株距.二、解植树问题的三要素（1）总路线长（2）间距（棵距）长（3）棵数，只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．例题精讲一、不封闭植树问题【例 1】大头儿子的学校旁边的一条路长400米，在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树，一共能种几棵树？【考点】直线上的植树问题【难度】1星【题型】解答【解析】从图上可以看出，每隔4米种一棵树，如果20米长的路的一边共种了6棵树，这是因为我们首先要在这条路的一端种上一棵，就是说种树的棵树要比间距的个数多1，所以列式为：400÷4+1=101（棵）.【答案】101棵【巩固】在一条长240米的水渠边上植树，每隔3米植1棵。
两端都植，共植树多少棵？【考点】直线上的植树问题【难度】1星【题型】解答【解析】2403181÷+=（棵）【答案】81棵【例 2】从小熊家到小猪家有一条小路，每隔45米种一棵树，加上两端共种53棵；现在改成每隔60米种一棵树．求可余下多少棵树?【考点】直线上的植树问题【难度】2星【题型】解答【解析】该题含植树问题、相差关系两组数量关系.从小熊家到小猪家的距离是：45×(53-1)=2340(米)，间隔距离变化后，两地之间种树：2340÷60+1=40(棵)，所以可余下树：53-40=13(棵) ，综合算式为：53-[45×(53-1)÷60+1]=13(棵).【答案】13棵【巩固】从甲地到乙地每隔40米安装一根电线杆，加上两端共51根；现在改成每隔60米安装一根电线杆．求还需要多少根电线杆?【考点】直线上的植树问题【难度】2星【题型】解答【解析】该题含植树问题、相差关系两组数量关系.解：①从甲地到乙地距离多少米?40(511)2000⨯-=(米)②间隔距离变化后，甲乙两地之间安装多少根电线杆?200020100÷=(根)，1001101+=（根）③还需要下多少根电线杆?1015150-=(根)综合算式：[40(511)201]5150⨯-÷+-=(根)【答案】50根【例 3】马路的一边，相隔8米有一棵杨树，小强乘汽车从学校回家，从看到第一棵树到第153棵树共花了4分钟，小强从家到学校共坐了半小时的汽车，问：小强的家距离学校多远？【考点】直线上的植树问题【难度】2星【题型】解答【解析】第一棵树到第153棵树中间共有153-1=152（个）间隔，每个间隔长8米，所以第一棵树到第153棵树的距离是：1528=1216÷⨯（米），汽车经过1216米用了4分钟，1分钟汽车经过：12164=304（米）,半小时汽车经过：30430=9120⨯（米），即小明的家距离学校9120米.【答案】9120米【巩固】马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树，问汽车每小时走多少千米？【考点】直线上的植树问题【难度】2星【题型】解答【解析】张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了；只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度.5分钟汽车共走了：9(5011)4500⨯-=(米)，汽车每分钟走：45005900÷=(米)，汽车每小时走：9006054000⨯-÷⨯÷=(千米)=(千米)列综合式：9(5011)560100054⨯=(米)54【答案】54千米【例 4】晶晶上楼，从第一层走到第三层需要走36级台阶．如果从第一层走到第六层需要走多少级台阶?(各层楼之间的台阶数相同)【考点】直线上的植树问题【难度】2星【题型】解答【解析】题意的实质反映的是一线段上的点数与间隔数之间的关系．线段示意图如下：①每相邻两层楼之间有多少级台阶?36(31)18÷-=(级)②从第一层走到第六层共多少级台阶?18(61)90⨯-=(级)【答案】90级【巩固】丁丁和爸爸两个人比赛跑楼梯，从一层开始比赛，丁丁到四层时，爸爸到三层，如此算来，丁丁到16层时，爸爸跑到了几层？【考点】直线上的植树问题【难度】2星【题型】解答【解析】丁丁实际跑了三层的距离，爸爸跑了两层的距离，到16层需要跑15层的距离，所以丁丁跑了⨯+=（层）．÷=（个）三层的距离，爸爸同时跑了5个两层的距离．所以爸爸跑到了52111 1535【答案】11层【例 5】有一个报时钟，每敲响一下，声音可持续3秒．如果敲响6下，那么从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要43秒．现在敲响12下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要多长时间？【考点】直线上的植树问题【难度】3星【题型】解答【解析】每次敲完以后，声音持续3秒，那么从敲完第一下到敲完第6下，一共经历的时间是43340-=（秒），而这之间只有615÷=（秒），现在要敲响12-=（个）间隔，所以每个间隔时间是4058下，所以一共经历的时间是11个间隔和3秒的持续时间，一共需要时间是：118391⨯+=（秒）．【答案】91秒【巩固】有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下，六点时，5秒钟敲完，那么十二点时，几秒钟才能敲完？【考点】直线上的植树问题【难度】2星【题型】解答【解析】六点时敲6下，中间共有5个间隔，所以每个时间间隔是551÷=（秒），十二点要敲12下，中间有11个时间间隔，所以十二点要用：11111⨯=（秒）才能敲完．【答案】11秒【例 6】元宵节到了，实验中学学校大门上挂了红绿两种颜色的彩灯，从头到尾一共挂了21只，每隔30分米挂一只红灯，相邻的2只红灯之间挂了一只绿灯，问实验中学学校的大门有多宽？【考点】直线上的植树问题【难度】2星【题型】解答【解析】一共挂了21只彩灯说明彩灯中间的间距有：21-1=20（个），每隔30分米挂一只红灯，相邻的2只红灯之间挂了一只绿灯，说明每个间距的长是：30÷2=15（分米），所以学而思学校的大门宽度为：15×20=300（分米）【答案】300分米【巩固】校门口放着一排花，共10盆．从左往右数茉莉花摆在第6，从右往左数，月季花摆在第8，一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间．算一算，一串红花一共有多少盆？【考点】直线上的植树问题【难度】1星【题型】解答【解析】从左往右数茉莉花摆在第6，那么从右往左数茉莉花就是第：10(61)5--=（盆）花，从右往左数，月季花摆在第8，从左往右数月季花就是第：10(81)3--=（盆）花，一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间，一串红花一共有：10532--=（盆）．【答案】2盆【例 7】有三根木料，打算把每根锯成3段，每锯开一处需用3分钟，全部锯完需要多少分钟?【考点】直线上的植树问题【难度】2星【题型】解答【解析】求锯的次数属植树问题思路．一根木料锯成了3段，只要锯312⨯=次，-=次，锯3根木料要236问题随之可求．解：①一根木料要锯成3段，共要锯多少次?312-=(次)②锯开三根木料要多少次?236⨯=(次)③锯三根木料要多少时间?3618⨯=(分钟)综合算式：3[(31)3]18⨯-⨯=(分钟)⨯-⨯=(分钟)或3(31)318【答案】18分钟【巩固】一根木料在24秒内被锯成了4段，用同样的速度锯成5段，需要多少秒？【考点】直线上的植树问题【难度】2星【题型】解答【解析】锯的次数总比锯的段数少1．因此，在24秒内锯了4段，实际只锯了3次，这样我们就可以求出锯一次所用的时间了，又由于用同样的速度锯成5段；实际上锯了4次，这样锯成5段所用的时间就可以求出来了．所以锯一次所用的时间：24(41)8÷-=（秒），锯5段所用的时间：（）⨯-=（秒）．85132【答案】32秒【例 8】有一根180厘米长的绳子，从一端开始每3厘米作一记号，每4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成了多少段？【考点】直线上的植树问题【难度】3星【题型】解答【解析】⑴每3厘米作一记号，共有记号：1803159÷-=（个）⑵每4厘米作一记号，共有记号：1804144÷-=（个）⑶其中重复的共有： 18012114÷-=（个）⑷所以记号共有：59441489+-=（个）⑸绳子共被剪成了： 89190+=（段）．【答案】90段【巩固】大头儿子和小头爸爸一起攀登一个有300级台阶的山坡，爸爸每步上3级台阶，儿子每步上2级台阶，从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少级不同的台阶？【考点】直线上的植树问题【难度】3星【题型】解答【解析】大头儿子踏过的台阶数是：3002150÷=（级），小头爸爸踏过的台阶数是3003100÷=（级），父子俩每236÷=（级），所以父子俩共踏了：⨯=（级）台阶要共同踏1级台阶，共重复踏了300650150********+-=（级）．【答案】200级二、封闭植树问题【例 9】公园内有一个圆形花坛，绕着它走一圈是120米．如果沿着这一圈每隔6米栽一棵丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花，可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？两株相邻的丁香花之间的2株月季花相距多少米？【考点】封闭图形的植树问题【难度】2星【题型】解答【解析】在圆周上栽树时，由于开始栽的一棵与依次栽的最后一棵将会重合在一起，所以可栽的株数正好等于分成的段数．由于每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花，所以栽月季花的株数等于2乘以段数的积．要求两株相邻的丁香花之间的2株月季花相距多少米？需要懂得两株相邻的丁香花之间等距离地栽2株月季花，就是说这4株花之间有3段相等的距离.以6米为一段，圆形花坛一圈可分的段数，即是栽丁香花的株数：120÷6＝20(株)，栽月季花的株数是：2×20＝40(株)，每段上丁香花和月季花的总株数是：2＋2＝4(株)，4株花栽在6米的距离中，有3段相等的距离，每两株之间的距离是：6÷(4-1)＝2(米).【答案】丁香花的株数20株，月季花的株数40株，两株相邻的丁香花之间的2株月季花相距2米。
小学奥数6-1-14 植树问题(二).专项练习及答案解析
1．封闭与非封闭植树路线的讲解及生活运用。
2．掌握空心方阵和实心方阵的变化规律．3．几何图形的设计与构造一、植树问题分两种情况：（一）不封闭的植树路线. ① 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1+=全长÷株距1+全长=株距⨯(棵数1-)株距=全长÷(棵数1-)② 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=株距⨯棵数；棵数=段数=全长÷株距；株距=全长÷棵数.③ 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1-=全长÷株距1-.株距=全长÷(棵数1+).全长=株距⨯(棵数+1)（二）封闭的植树路线.在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数=周长÷株距.二、解植树问题的三要素（1）总路线长（2）间距（棵距）长（3）棵数，只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．三、方阵问题（1）明确空心方阵和实心方阵的概念及区别.（2）每边的个数＝总数÷41+”；（3）每向里一层每边棋子数减少2；（4）掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。
知识点拨教学目标5-1-3.植树问题（二）例题精讲模块一、封闭图形的植树问题【例1】小强家附近的公园里有一个圆形池塘，它的周长1500是米，每隔3米栽种一棵树．问：共需树苗多少株？【考点】封闭图形的植树问题【难度】1星【题型】解答【解析】因为圆形池塘是一个封闭的模型，所以我们直接运用公式棵数＝段数＝周长÷株距，从而有树苗：1500÷3＝500（株）.【答案】500株【巩固】周叔叔家有一个长40米，宽30米的长方形鱼塘，他想沿塘每隔5米栽一棵柳树，需要栽多少棵柳树？【考点】封闭图形的植树问题【难度】1星【题型】解答【解析】40302140（）÷=（棵）．+⨯=（米），140528【答案】28棵【例2】在一个长345米、宽240米的长方形草坪四周等距离地栽一些松树，要求四个顶点和每边中点都正好栽一棵松树，则最少要买松树苗棵。
五年级上册数学教案-第七单元第三课时 植树问题(封闭图形) 人教新课标
标题：五年级上册数学教案-第七单元第三课时植树问题（封闭图形）人教新课标教学目标：1. 理解封闭图形中植树问题的概念，掌握在封闭线路上植树的方法。
2. 培养学生的观察、分析、归纳和解决问题的能力。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强数学思维。
教学内容：1. 封闭图形中植树问题的概念。
2. 在封闭线路上植树的方法。
3. 解决封闭图形中植树问题的实际应用。
教学步骤：一、导入（5分钟）1. 教师通过PPT展示一些封闭图形，引导学生观察并思考：这些图形有什么特点？2. 学生回答：这些图形都是封闭的，没有缺口。
3. 教师总结：封闭图形是指图形的边界是连续的，没有断裂。
二、探究封闭图形中植树问题的概念（10分钟）1. 教师提问：如果在封闭图形的边界上植树，会有什么规律？2. 学生思考并回答：每棵树之间的距离应该相等。
3. 教师总结：封闭图形中植树问题是指在封闭图形的边界上植树，使得每棵树之间的距离相等。
三、学习在封闭线路上植树的方法（10分钟）1. 教师讲解：在封闭线路上植树，首先确定植树的总数，然后根据总数确定每棵树之间的距离。
2. 教师举例：如果一个正方形的周长是20米，要在周长上植树，每棵树之间的距离是多少？3. 学生计算并回答：每棵树之间的距离是5米。
4. 教师总结：在封闭线路上植树，可以根据周长和植树的总数来确定每棵树之间的距离。
四、解决封闭图形中植树问题的实际应用（10分钟）1. 教师给出实际问题：一个圆形花坛的周长是30米，要在花坛的周长上植树，每棵树之间的距离是多少？2. 学生思考并计算：每棵树之间的距离是6米。
3. 教师提问：如果要在花坛的周长上植树，总共需要多少棵树？4. 学生计算并回答：总共需要5棵树。
五、总结与拓展（5分钟）1. 教师总结：封闭图形中植树问题是在封闭图形的边界上植树，使得每棵树之间的距离相等。
在解决这类问题时，可以根据周长和植树的总数来确定每棵树之间的距离。
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《封闭图形中的植树问题》教学设计一、教学目标知识目标：学生通过直观的方式能用多种策略来解决围棋中的数学问题，并引导学生解决封闭图形中的植树问题，使不同的学生在数学学习上有不同的发展。
技能目标：初步培养学生从实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力；情感目标：让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，使学生感受到数学的价值，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点难点重点：能用多种方法去解决围棋中的数学问题，并学会解决封闭图形中的植树问题难点：沟通围棋中的数学问题与植树问题之间的关系。
三、教学预设为了达成以上教学目标，本课教学流程设计分三大板块：（一）探究新知同学们，老师先来考考你们，看看会不会被难倒。
如果两根手指夹一只粉笔，那么一只手能夹几枝粉笔呢？为什么5根手指只能夹4只粉笔？1、同学们喜欢下棋吗？下过围棋吗？今天老师带来了一题有关围棋的数学问题，有兴趣去解决吗？（有）2、出示例3围棋盘的最外层每边能放19个棋子。
最外层一共可以摆放多少棋子？让学生感觉到一边放19个棋子挺麻烦的，由此想到假设最外层每边放9个棋子，那么最外层一共可以摆放多少棋子？（课件出示：先出示围棋盘，然后在一边上摆放9个棋子，最后四边全部摆上棋子）(1)学生动手解决，教师巡视，寻找学生中典型的解题方法。
（预设学生可能会出现的情况有：……改9颗棋子为19颗。
(2)汇报交流：A、首先汇报交流第一中解法即①19×4＝76（个），（生说算式，教师板书）师问：你是怎么想的？（生：每边有19个棋子，四边就有19?＝76个棋子）B、师再问其他学生：同意他的想法吗？（生：不同意，如果这样的话，角上的4个棋子好像重复算了）师追问：那你是怎么算的？（生说：19×4－4＝72个，教师板书），然后教师强调：为什么要减去4？（生：把角上重复的4个棋子去掉）这时教师顺水推舟：你是说四个角上的棋子重复算了，所以还要减去重复的4个棋子（师边说边课件演示：4个角上的棋子变色）。
C、教师提问：还有其他算法吗？（生回答教师板书：17×4＋4＝72个），这个算式你们看得懂吗？谁来说说你看懂了什么？D、如果学生出现19×2＋17×2＝72个，则让其他学生猜一猜：他是怎么想的？并做课件演示；E、如果学生出现18×4＝72个，就请提供算式的同学说一说：你是怎么想的？教师课件配合演示。
）3、当然以上5种算式，④、⑤两种算式学生可能不大容易出现。
所以如果学生不出现的话，教师就引导学生一起来看一看书上是怎样解决的？并提问：你看懂了什么？再辅助课件加以说明。
（二）、发现、沟通通过刚才的学习，老师发现我们班的同学非常的聪明，老师这儿又有个数学问题，你能帮忙解决吗？（能）1、试一试出示题目：当湖公园的工作人员打算在一块正方形草地的周围种上一批树（4个角上都要种）。
现在有三种方案：（1）每边种16棵松树；（2）每边种25棵桃树；（3）每边种31棵梨树。
请你选择其中的一种方案，用你刚才学习的喜欢的方法算一算草地的四周一共要种几棵树？a 、学生练习，教师巡视b、反馈交流：师：谁来说一说桔树共有多少棵？（生：60棵）师：你是怎么算的？（教师根据学生回答板书算式）并问：你是怎么想的？（因为学生受前面围棋中多种解法的启发，所以解题方法较多，在这里我只反馈其中的一种解题思路，学生说到哪种就反馈哪种，并把算式进行板书，板书在与例题解法相同的算式的下面）关于桃树与梨树的反馈与桔树一样。
2、沟通我们用刚学的各种方法解决了这个问题，大家的表现非常的好！前面我们已经学习了有关植树的问题，那么这题我们能不能用植树问题的思考方法去解决呢？想一想，在植树问题中我们认识了哪些数量？（棵数、间隔数）a、那我们来看看，每边种16棵松树，有几个间隔数？（在表格中出现每边间隔数）25棵呢？31棵呢？（根据学生回答教师完成表格中的数据）师：那么每边的棵数与每边间隔数有什么关系呢？（每边棵数－1＝每边间隔数）再来观察一下，每边间隔数与四边总数又有着怎样的关系呢？b、刚才我们学习的围棋中的数学问题，能不能用植树问题的思考方法去解决呢？（再次出现围棋图）①学生试做②反馈：重点反馈（19－1）×4＝72这种解法师:19－1表示什么？（表示每边有18个间隔）师再问：19－1除了表示18个间隔外，还表示了什么？（每边看作有18个棋子）教师演示课件一条变色问：是这样吗？（是的）师：这种现象是植树问题中的哪种情况呢？生：是植树问题中一端栽，一端不栽的情况教师课件演示其他三边一端栽一端不栽的情况，并提问：在植树问题一端栽一端不栽的情况下，植树的间隔数与棵数有着什么关系呢？师：所以这个18可以表示为18个间隔，也可以表示为18个棋子，乘边数4就等于72，72即表示72个间隔，也表示72个棋子。
3、揭示课题：封闭图形中的植树问题这就是今天我们要学习的《封闭图形中的植树问题》，板书课题。
（三）、灵活运用老师发现我们班的同学真的很棒！爱动脑，勤思考，所以我们解决了很多的数学问题。
下面我们来看这题。
1、要在五边形的水池边上摆上花盆，使每一边都有4盆花，可以怎样摆放？（1）讨论可以怎么摆放？（五个角上都摆或都不摆）（2）要最少应该怎么摆？（必须五个角上都摆）（3）练习反馈（重点反馈（4－1）×5＝15（盆）这种解法）师小结：其实我们在解决正方形、正五边形及正多边形的植树问题时，都可以用棵数=间隔数2、48名学生在操场上做游戏。
大家围成一个正方形，每边人数相等。
四个顶点都有人，每边各有几名学生？（四）、小结：通过今天的学习，你有哪些收获呢？最后我还安排了一道延伸题。
（五）、延伸圆形滑冰场的一周全长是150米。
如果沿着这一圈每隔15米安装一盏灯，一共需要装几盏灯？植树问题（三）教学案例南河小学李素静教学内容：120－121页例3教学目标：1、能理解并掌握“植树问题”的基本解题方法，并能解决生活中的一些有关与“植树”问题的实际问题。
2、会通过观察、操作及交流活动，探索并认识封闭线路上间隔排列中的简单规律，并能将这种认识应用到解决类似的实际问题之中。
3、培养学生观察能力、操作能力以及与人合作的能力。
4、情感与态度目标：让学生经历探索规律的过程，激发学生探索的欲望。
教学重点：会根据题意具体分析，建立解题模型、正确解答实际问题。
教具准备：实物投影教学过程：一、创设情境，引入新课。
同学们，生活中需要数学知识，对于具体问题，要具体分析，认真考虑，得到正确答案。
前两节课我们学习了有关“植树问题”的哪些情况？根据学生的回忆内容，老师整理板书：（1）两端都植树，则棵数比段数多1。
他们的关系是：棵数=全长÷株距+1 株距=全长÷（棵数-1）全长=株距×（棵数-1）（2）一端植树，则棵数比在两端植树时的棵数少1。
他们的关系是：全长=株距×棵数棵数=全长÷株距株距=全长÷棵数（3）两端都不植树，则棵数比段数少1。
棵数=全长÷株距-1 株距=全长÷（棵数+1）今天我们继续来研究第三种“植树问题”，这种情况比较特殊，也很有意思，看谁最先发现规律。
二、探究新知，讲授新课：1、学习例3。
（1）投影出示围棋盘。
大家见过围棋盘吗？会下围棋吗？（2）、数一数。
围棋盘的最外层每边能放多少个棋子？（3）算一算。
围棋盘上一个点可以放一个子。
围棋盘的最外层每边能放19个棋子，最外一层一共可以摆放多少个棋子？2、4人小组交流，然后汇报算法和结果。
方法一：19×4=76（个）方法二：19×4-4=72（个）方法三：19×2+17×2=72（个）方法四：18×4=72（个）叙述每种方法的理由：（1）第一种方法：因为外层每边有19个棋子，四边就有4个19，而忽略了角上的棋子，算重了。
（2）第二种方法：考虑了角上有4个棋子算重了，所以从总数中再减去多算的4个棋子。
（3）第三种方法：先看上下两边，每边是19个棋子，然后再看左右两边，由于上下两边已经包括了两个端点，所以左右两边每边都少了2个棋子，只有17个，把四边上的棋子加起来，就可以得到最外层棋子的总数。
（4）第四种方法：每边都只算一个端点，这样每边正好都是18个棋子，用18×4=72，得出结果。
3、说一说你用哪一种思考方法，还有其他的方法吗？4、想一想，围棋盘最外层摆放的棋子有多少个间隔？（1）学生自主探究。
（2）4人小组讨论。
（3）汇报并小结：围棋盘最外层摆放的棋子数正好等于最外层每两个棋子间的间隔数。
5、类推。
如果某块绿地类似与正方形的围棋棋盘，最外层摆放的不是棋子，而是树，那么树的棵数与间隔数之间存在什么关系？（1）动脑筋想一想，和我们刚才学习的内容有什么关系？（2）汇报学习情况并板书：树的棵数正好等于间隔数6、小结：对于数学问题，不要急于算出答案，要先弄清楚题目意思，画画图，多想一会，找出正确的解题方法，还可以用不同的方法来解题。
三、反馈练习。
1、有一块正方形的空地，每边都种19棵数，四个角都种一棵树，共种树多少棵？2、一个圆形花坛，它的周长是150米，每隔2米栽一棵树，共需要多少棵树苗？从上面的练习中你发现了什么？四、巩固练习，形成能力。
1、121页做一做1。
2、121页做一做2。
3、121页做一做3。
五、总结：这节课学习封闭图形的“植树问题”，你有什么收获？板书：栽树的棵树正好等于间隔数。
六、板书设计：植树问题（三）方法一：19×2+17×2=72（个）方法二：18×4=72 （个）封闭图形的“植树问题”：栽树的棵树正好等于间隔数。
《封闭图形的植树问题》案例以及设计意图——与结对子学校交流活动一、创设情景，提出问题：这学期，我们学校开展了丰富多彩的活动，咱们看看——有经典诵读比赛、团体操、合唱比赛等等。
为迎接六、一文艺汇演，各年级都在做积极准备，校舞蹈队也在排练节目。
这些里面都有数学问题，咱们去看看？校舞蹈队的表演需要变化多种队形，她们先排成一排，每隔2米站1人，队伍总长22米，请问有多少人参加比赛？生1：22÷2=11（个）11＋1=12（人）教师：大家同意他的意见吗？能解释一下吗？教师：当两边都站的时候，有11个间隔就有12人，这就相当于在线段上两端都植树的植树问题。
【这一内容是学生的前知，是直线上两端都植的植树问题的变式，是学生上节课所研究的直线上的植树问题的一部分，放置在此处一方面是沟通前知与新知的联系，另一方面体会直线上的植树问题与封闭图形的植树问题之间的联系与区别。
】1、围成○。
还是这12人，她们现在围成了一个圆形，相邻2人的间隔还是2米，这一周有多长呢？生1：12×2=24米生2：（12－1）×2=22米生3：（12+1）×2=26米教师：说说你是怎么想的？（生1认为有12个间隔；生2认为有11个间隔；生3认为有13个间隔）【这里学生之所以不能确定，主要是对围成圆形的情况下，到底人数与间隔数有什么联系学生很模糊，这也是这节课要重点解决的问题之一。