2020-2021学年高一数学人教A版必修四练习：模块质量评估试题 Word版含解析
人教A版必修四高一数学试卷附参考答案.docx
湘钢二中2008年春期高一数学试卷(模块4结业考试)时量:120分钟 满分:100分 命题人:陈树才 审核人:陈迎新一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、ο210sin 的值是 （ ） A. 21-B. 21C. 23-D. 232、函数12sin()26y x π=-的周期是（ ）A ．12π B ．π C ．2π D. 4π3、化简式子cos72cos12sin 72sin12+oooo的值是（ ）A ．12B ．32C ．33D ．34、如果点)cos ,(tan θθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限5、已知平面向量)1,1(=→a ，)1,1(-=→b ，则向量→→-b a 2321的坐标是（ ）Ａ．(21)--，B ．(21)-， Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-， 6、将函数sin()3y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象向左平移3π个单位，最后所得到的图象对应的解析式是（ ）Ａ 1sin 2y x = B 1sin()22y x π=-C 1sin()26y x π=-D sin(2)6y x π=- 7、已知向量()1,3=→a ，()3,-=→x b ，且→→⊥b a ，则实数x 的值为（ ） A. 3- B. 3 C. 1- D. 18、如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA BC AB ++u u u v u u u v u u u v等于( )A ．−→−CDB ．−→−OC C ．−→−DAD ．−→−CO 9、已知5||=→a ，)2,1(=→b ，且→→b a //，则→a 的坐标为．（ ） A ．(1,2) 或(－1,－2) B ．(－1,－2) C ．(2,1) D ．(1,2)10、已知图1是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上的一段，则（ ）Ａ．10π116ωϕ==， Ｂ．10π116ωϕ==-， Ｃ．π26ωϕ==， Ｄ．π26ωϕ==-， 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填在题中横线上。
2020-2021学年数学人教A版必修4模块综合测试
模块综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知角α的终边过点P (sin(－30°)，cos(－30°))，则角α的一个值为( D )A ．30°B ．－30°C ．－60°D ．120°解析：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，点P 在第二象限，sin α＝32，cos α＝－12，∴120°为角α的一个值．2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( B ) A ．－53 B ．－19 C ．19D ．53解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.3．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( B )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上是递增的B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为2解析：f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，它在(π4，π2)上是单调递减的，图象关于原点对称，最小正周期是π，最大值为1，故B 是正确的．4．已知▱ABCD 中，AD →＝(－3,7)，AB →＝(4,3)，对角线AC 、BD 交于点O ，则CO→的坐标为( C ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5解析：由AD→＋AB →＝(－3,7)＋(4,3)＝(1,10)． ∵AD→＋AB →＝AC →.∴AC →＝(1,10)． ∴CO →＝－12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5.故应选C ．5．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝e 1＋e 2，b ＝－4e 1＋2e 2，则a 与b 的夹角为( C )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：依据题意a ·b ＝－3，|a |·|b |＝3×23＝6， cos 〈a ，b 〉＝－12，故a 与b 的夹角为120°.6．设α∈(0，π)，sin α＋cos α＝13，则cos2α的值是( C ) A ．179 B ．－223 C ．－179D ．179或－179解析：∵sin α＋cos α＝13，∴1＋2sin αcos α＝19，即2sin αcos α＝－89.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0，∴cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2sin αcos α＝－173，∴cos2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－179.7．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( B )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π4解析：y ＝sin(2x ＋φ)――→向左平移π8个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ.当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin2x ，为奇函数； 当φ＝π4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x ，为偶函数；当φ＝0时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数； 当φ＝－π4时，y ＝sin2x ，为奇函数．故选B ．8．已知sin(α－β)＝35，cos(α＋β)＝－35，且α－β∈(π2，π)，α＋β∈(π2，π)，则cos2β的值为( C )A ．1B ．－1C ．2425D ．－45解析：由题意知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝45， 所以cos2β＝cos[α＋β－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝(－35)×(－45)＋45×35＝2425.9．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( A ) A ．－255 B ．－3510 C ．－31010D ．255解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，∴sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α) ＝22sin α＝－255.10．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x ，22sin x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x ，2cos x ，f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将f (x )的图象( C )A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向右平移π6个单位解析：f (x )＝a ·b ＝sin x cos x ＋sin x cos x ＝sin2x .而y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6， 于是只需将f (x )的图象向左平移π6个单位．故选C ．11．将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应的函数解析式是( C )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π－π6 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3解析：将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位，平移后的图象所对应的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.由题图象知，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋π6ω＝3π2，所以ω＝2.所以平移后的图象所对应的函数解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 12．点O 在△ABC 所在平面内，给出下列关系式： ①OA→＋OB →＋OC →＝0； ②OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|＝0； ③(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0. 则点O 依次为△ABC 的( C ) A ．内心、重心、垂心 B ．重心、内心、垂心 C ．重心、内心、外心D ．外心、垂心、重心解析：①由于OA →＝－(OB →＋OC →)＝－2OD →，其中D 为BC 的中点，可知O 为BC 边上中线的三等分点(靠近线段BC )，所以O 为△ABC 的重心；②向量AC →|AC →|，AB →|AB →|分别表示在AC 和AB 上的单位向量AC ′→和AB ′→，它们的差是向量B ′C ′→，当OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝0，即OA ⊥B ′C ′时，则点O 在∠BAC 的平分线上，同理由OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|＝0，知点O 在∠ABC 的平分线上，故O 为△ABC 的内心；③OA →＋OB →是以OA →，OB →为边的平行四边形的一条对角线，而AB →是该四边形的另一条对角线，AB →·(OA →＋OB →)＝0表示这个平行四边形是菱形，即|OA→|＝|OB →|，同理有|OB →|＝|OC →|，于是O 为△ABC 的外心． 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把★★答案★★填在题中横线上)13．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝43.解析：设BC→＝b ，BA →＝a ， 则AF →＝12b －a ，AE →＝b －12a ，AC →＝b －A ． 代入条件得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.14．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为2 .解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝12，解得tan α＝3，所以sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝42＝2.15．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴交点坐标为(0,2)，其相邻的两条对称轴的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝4 030 .解析：由最大值为3知A ＝2，f (x )＝2cos 2(ωx ＋φ)＋1＝cos(2ωx ＋2φ)＋2，由交点(0,2)及0<φ<π2知φ＝π4. ∴f (x )＝2－sin2ωx . 又周期为4，∴ω＝π4.∴f (x )＝2－sin π2x ，f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝8.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝503[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝503×8＋6＝4 030.16．给出下列四个命题：①函数y ＝tan x 的图象关于点(k π＋π2，0)(k ∈Z )对称；②函数f (x )＝sin|x |是最小正周期为π的周期函数；③设θ为第二象限的角，则tan θ2>cos θ2，且sin θ2>cos θ2；④函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值为－1.其中正确的命题是①④.解析：①由正切曲线，知点(k π，0)，(k π＋π2，0)是正切函数图象的对称中心，∴①对；②f (x )＝sin|x |不是周期函数，②错； ③∵θ∈(2k π＋π2，2k π＋π)，k ∈Z ， ∴θ2∈(k π＋π4，k π＋π2)，k ∈Z .当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，sin θ2<cos θ2.∴③错； ④y ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－(sin x －12)2＋54， ∴当sin x ＝－1时，y min ＝1－(－1)2＋(－1)＝－1. ∴④对．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)计算：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5； (2)tan10°＋tan170°＋sin1 866°－sin(－606°)． 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos 3π5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5 ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos 2π5＝0. (2)原式＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]＝tan10°－tan10°＋sin66°－sin(180°－66°)＝sin66°－sin66°＝0.18．(12分)已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 的方向上的投影为－1，求：(1)a 与b 的夹角θ； (2)(a －2b )·B ．解：(1)由题意知，|a |＝2，|b |＝1，|a |cos θ＝－1， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－|b |＝－1， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12.由于θ∈[0，π]， ∴θ＝2π3即为所求．(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3.19．(12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)求这个函数的单调递增区间．解：(1)由题图象可知A ＝2，T 2＝3π8－(－π8)＝π2， ∴T ＝π，ω＝2， ∴y ＝2sin(2x ＋φ)，将点(－π8，2)代入得－π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， ∵|φ|<π，∴φ＝34π.∴函数的解析式为y ＝2sin(2x ＋3π4)． (2)由2k π－π2≤2x ＋3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－5π8≤x ≤k π－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝2sin(2x ＋3π4)的单调递增区间为 [k π－5π8，k π－π8](k ∈Z )．20．(12分)已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． 解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数， 又θ∈(0，π)，得θ＝π2， 所以f (x )＝－sin2x ·(a ＋2cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0.即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25.即sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.21．(12分)如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB→＝2AD →，AC →＝5AE →，(1)若BF →＝－34AB →＋110AC →，求证：点F 为DE 的中点． (2)在(1)的条件下，求BA →·EF →的值． 解：(1)证明：因为BF →＝－34AB →＋110AC →， 所以AF →＝BF →－BA →＝14AB →＋110AC →， 又AB→＝2AD →，AC →＝5AE →， 所以AF →＝12AD →＋12A E →，所以F 为DE 的中点．(2)由(1)可得EF →＝12ED →＝12(AD →－AE →)，因为AB→＝2AD →，AC →＝5AE →， 所以EF →＝14AB →－110AC →， 所以BA →·EF →＝－AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →－110AC → ＝－14AB →2＋110AB →·AC →＝－14×4＋110×2×6×cos60°＝－25.22.(12分)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0，即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin(53x －π6)－2，由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6， 所以－12≤sin(53x －π6)≤1， 得－1－2≤2sin(53x －π6)－2≤2－2，故函数f (x )在[0，3π5]上的取值范围为[－1－2，2－2]．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册模块综合质量评估
模块综合质量评估一、单项选择题(每小题5分，共40分)1．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，∠A ＝44°，则此三角形解的情况为( B )A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定解析：∵a ＝18，b ＝24，∠A ＝44°，∴b sin A ＜a ＜b ，∴此三角形有两解．2．复数1－2＋i ＋11－2i 的虚部是( B )A.15iB.15 C ．－15iD ．－15 解析：1－2＋i ＋11－2i ＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i.故选B.3．设i 是虚数单位，若复数1－i2－a i 为实数，则实数a 为( A )A ．2B ．－2C ．－12 D.12解析：1－i 2－a i ＝(2＋a )＋(a －2)i4＋a 2为实数，即a ＝2.4．如图，α∩β＝l ，A ∈α，B ∈α，AB ∩l ＝D ，C ∈β，C ∉l ，则平面ABC 与平面β的交线是( C )A ．直线ACB ．直线ABC ．直线CDD ．直线BC解析：D ∈l ，l ⊂β，∴D ∈β，又C ∈β，∴CD ⊂β；同理，CD ⊂平面ABC ，∴平面ABC ∩平面β＝CD .故选C.5．设i是虚数单位.z是复数z的共轭复数．若z·z i＋2＝2z，则z等于(A)A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i解析：设z＝a＋b i，a，b∈R，代入z·z i＋2＝2z，整理得(a2＋b2)i＋2＝2a＋2b i，则⎩⎪⎨⎪⎧2a＝2，a2＋b2＝2b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝1，b＝1，因此z＝1＋i.6．圆台上，下底面的面积之比为1∶4，则截得这个圆台的圆锥体积和圆台体积之比是(D)A．2∶1 B．4∶1C．8∶1 D．8∶7解析：如图，设大，小圆锥的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，由题意得rR＝12，hH＝12，∴V小圆锥V大圆锥＝13πr2h13πR2H＝⎝⎛⎭⎪⎫rR2·hH＝14×12＝18，∴V大圆锥V圆台＝87，故选D.7．在△ABC中，内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.已知a sin B cos C＋c sin B cos A＝12b，且a>b，则∠B＝(A) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6解析：∵a sin B·cos C＋c·sin B·cos A＝12b，由正弦定理得sin A·sin B·cos C＋sin C·sin B·cos A＝12sin B.∵sin B≠0，∴sin A·cos C＋sin C·cos A＝12.∴sin(A＋C)＝12.∴sin B＝1 2，又∵∠B∈(0，π)，且a>b，∴∠B为锐角，∴∠B＝π6，选A.8．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是(C) A．16πB．20πC．24πD．32π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，得正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R＝26，∴R＝6，∴S球＝4πR2＝24π.二、多项选择题(每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知复数z＝2－i，下面说法正确的是(BD)A．|z|＝5 B．z2＝3－4iC.z＝－2＋i D．z的虚部为－1解析：∵z＝2－i，∴|z|＝22＋(－1)2＝5，z2＝(2－i)2＝4－4i＋i2＝4－4i－1＝3－4i，z＝2＋i，z的虚部为－1，故选BD.10．在△ABC中，若b＝3，c＝3，∠B＝30°，则a的值可以为(AB)A. 3 B．2 3C．3 D．4解析：由正弦定理得bsin B＝csin C，即3sin30°＝3sin C，∴sin C ＝32.又c ＞b ，∴∠C ＝60°或120°.∴∠A ＝90°或30°， 当∠A ＝90°时，a 2＝32＋(3)2，a ＝2 3. 当∠A ＝30°时，a ＝b ＝3，故选AB.11．设m 为直线，α，β，γ为三个不同的平面，下列命题不正确的是( ACD )A ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥βB ．若m ⊂α，α∥β，则m ∥βC ．若m ⊥α，α⊥β，则m ∥βD ．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ解析：A 中m 也可能在平面β内或者m ∥β；C 中m 可能在平面β内；D 中β与γ可能相交．12．设i 为虚数单位，则下列命题不成立的是( ABD ) A ．∀a ∈R ，复数a －3－i 是纯虚数 B ．在复平面内i(2－i)对应的点位于第三象限 C ．若复数z ＝－1－2i ，则存在复数z 1，使得z ·z 1∈R D ．x ∈R ，方程x 2＋i x ＝0无解解析：A.只有当a ＝3时，复数a －3－i 是纯虚数；B.i(2－i)＝2i ＋1对应的点(1,2)位于第一象限；C.若复数z ＝－1－2i ，则存在复数z 1＝－1＋2i ，使得z ·z 1＝5∈R ；D.当x ＝0时，方程x 2＋i x ＝0成立．三、填空题(每小题5分，共20分)13．复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|B D →|等于 13 .解析：z D ＝z A ＋z C －z B ＝3＋3i ，BD →对应复数为2＋3i ， ∴|BD →|＝13.14．若一个正四面体(各个面都是等边三角形)的体积为9 cm 3，则其表面积为 18 3 cm 2 .解析：设正四面体的棱长为a cm，则底面积为34a2 cm2，易求得高为63a cm，则体积为13×34a2×63a＝212a3(cm3)，所以212a3＝9，解得a＝32，所以其表面积为4×34a2＝183(cm2)．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若m＝(b－c，a－b)，n＝(sin C，sin A＋sin B)，且m⊥n，则A＝π3；若△ABC的面积为3，则△ABC的周长的最小值为__6__.(本题第一空2分，第二空3分)解析：∵m⊥n，∴(b－c)sin C＋(a－b)(sin A＋sin B)＝0，∴(b－c)c＋(a－b)(a＋b)＝0，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝12，又0＜A＜π，∴A＝π3，由S＝12bc sin A＝3，得bc＝4, 又b2＋c2－bc＝a2，∴a2＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc＝4，∴a≥2，又b＋c≥2bc＝4，∴a＋b＋c≥6，当且仅当a＝b＝c时取等号．16．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足__DM ⊥PC (或BM ⊥PC )__时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为是正确的条件即可)．解析：连接AC ，则BD ⊥AC ，由P A ⊥平面ABCD ，可知BD ⊥P A ，∴BD ⊥平面P AC ，∴BD ⊥PC .故当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，平面MBD ⊥平面PCD .四、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．解：z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i ＝(3－i )(2－i )5＝1－i. 因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ， 所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i. 所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.即实数a ，b 的值分别是－3,4.18．(12分)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .已知∠A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a . (1)求证：∠B －∠C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)证明：由b sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ， sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin B ＋22cos B ＝22， 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，sin(B －C )＝1， 由于0<∠B ＜34π，0＜∠C <34π，从而∠B －∠C ＝π2. (2)∠B ＋∠C ＝π－∠A ＝3π4，因此∠B ＝5π8，∠C ＝π8.由a ＝2，∠A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.19．(12分)如图所示，AB 是圆O 的直径，P A 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)设Q 为P A 的中点，G 为△AOC 的重心．求证：QG ∥平面PBC . 证明：(1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC . 由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又因为P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ， 所以BC ⊥平面P AC .(2)如图，连接OG 并延长交AC 于M ， 连接QM ，QO ，由G为△AOC的重心，得M为AC的中点．由Q为P A的中点，得QM∥PC.又O为AB的中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC.20．(12分)在复平面内，复数z1在连接1＋i和1－i的线段上移动，设复数z2在以原点为圆心，半径为1的圆周上移动，求复数z1＋z2在复平面上移动范围的面积．解：设ω＝z1＋z2，z2＝ω－z1，|z2|＝|ω－z1|，∵|z2|＝1，∴|ω－z1|＝1.上式说明对于给定的z1，ω在以z1为圆心，1为半径的圆上运动，又z1在连接1＋i和1－i的线段上移动，∴ω的移动范围的面积为：S＝2×2＋π×12＝4＋π.21．(12分)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC ＝7.(1)求cos∠CAD的值；(2)若cos∠BAD＝－714，sin∠CBA＝216，求BC的长．解：(1)在△ADC中，由余弦定理得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC·AD，则由题设知cos∠CAD＝7＋1－427＝277.(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD，因为cos∠CAD＝277，cos∠BAD＝－714，所以sin∠CAD＝1－cos2∠CAD＝1－(277)2＝217，sin∠BAD＝1－cos2∠BAD＝1－(－714)2＝32114.于是sinα＝sin(∠BAD－∠CAD)＝sin∠BAD cos∠CAD－cos∠BAD sin∠CAD＝32114×277－(－714)×217＝32.在△ABC中，由正弦定理得BCsinα＝ACsin∠CBA，故BC＝AC·sinαsin∠CBA＝7×32216＝3.22．(12分)如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB ＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．解：(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP ⊥AC，且OP＝2 3.如图，连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知，PO ⊥平面ABC .(2)如图，作CH ⊥OM ，垂足为H ，又由(1)可得OP ⊥CH ， 所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM＝455. 所以点C 到平面POM 的距离为455.。
2020-2021年数学必修第一册课后试题：第四章4.1 课后课时精练(人教A版)
『高中数学』教学课件‖课时训练‖讲义测试‖A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．在对数式log (x －1)(3－x )中，实数x 的取值范围应该是( ) A ．1<x <3 B ．x >1且x ≠2 C ．x >3 D ．1<x <3且x ≠2答案 D解析 要使对数式log (x －1)(3－x )有意义，需⎩⎨⎧3－x ＞0，x －1＞0，x －1≠1，解得1＜x ＜3且x ≠2.2．函数f (x )＝1－xlg (x ＋1)的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,0)∪(0，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由题意，得⎩⎨⎧x ＋1＞0，x ＋1≠1⇒x ＞－1，且x ≠0.故选C.3．函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 为对数函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18等于( )A ．3B ．－3C ．－log 36D ．－log 38 答案 B解析 ∵函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 为对数函数，∴⎩⎨⎧a 2＋a －5＝1，a ＞0，a ≠1，解得a ＝2，∴f (x )＝log 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝log 218＝－3.故选B.4．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y (只)与引入时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．600只D ．700只 答案 A解析 将x ＝1，y ＝100代入y ＝a log 2(x ＋1)得， 100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100， 所以x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300.5．若函数y ＝log 2(kx 2＋4kx ＋5)的定义域为R ，则k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，54 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，54 D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞答案 B解析 由题意得，kx 2＋4kx ＋5＞0在R 上恒成立． k ＝0时，成立；k ≠0时，⎩⎨⎧k ＞0，Δ＝16k 2－20k ＜0，解得0＜k ＜54，综上，k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，54，故选B.二、填空题 6．函数f (x )＝lg (4－x )x －3的定义域为________． 答案 {x |x ＜4且x ≠3}解析 由题意，得⎩⎨⎧4－x ＞0，x －3≠0⇒{x |x ＜4，且x ≠3}．7．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (α)＝1，则α＝________. 答案 1解析 依题意知log 2(α＋1)＝1，则α＋1＝2，故α＝1. 8．集合A ＝{1，log 2x }中的实数x 的取值范围为________． 答案 (0,2)∪(2，＋∞) 解析 ∵集合A ＝{1，log 2x }，∴⎩⎨⎧log 2x ≠1，x ＞0，解得x ∈(0,2)∪(2，＋∞)． 三、解答题9．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2O10(单位：m/s)，其中O 表示燕子的耗氧量．。
2020-2021学年人教A版高中数学必修4练习手册：1单元综合测试 Word版含答案
时间：
第
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是()
A．－4 B．±4
C. D．4
解析：因为tan600°＝ ＝tan(540°＋60°)＝tan60°
＝ ，故a＝－4 .
答案：A
2．已知cos( ＋φ)＝ ，且|φ|< ，则tanφ＝()
解析：f(2 013)＝asin(2 013π＋α)＋bcos(2 013π＋β)
＝－1，
f(2 014)＝asin(2 014π＋α)＋bcos(2 014π＋β)
＝asin[π＋(2 013π＋α)]＋bcos[π＋(2 013π＋β)]
A．向左平移 个单位长度
B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度
D．向右平移 个单位长度
解析：∵y＝cos ＝sin
＝sin ，
∴只需将y＝sinx的图象向左平移 个单位长度．
答案：C
8．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|< )的部分图象如图所示，则函数f(x)的一个单调递增区间是()
答案：C
11．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮进行5分钟后离地面的高度为()
A．41米B．43米
C．78米D．118米
解析：摩天轮转轴离地面高160－ ＝82(米)，ω＝ ＝ ，摩天轮上某个点P离地面的高度h米与时间t的函数关系是h＝82－78cos t，当摩天轮运行5分钟时，其离地面高度为h＝82－78cos t＝82－78× ＝43(米)．
A．x＝ B．x＝
2020-2021学年人教A版数学必修4习题：模块综合评估.docx
模块综合评估时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共60分）1 •下列命题中的真命题是（B ）A.三角形的内角必是第一象限或第二象限的角B.角a的终边在兀轴上时，角a的正弦线、正切线分别变成一个占I 八、、C.终边相同的角必相等D.终边在第二象限的角是钝角解析：三角形的內角可以等于90°,而90。
角既不是第一象限角也不是第二象限角，A错；由正弦线、正切线的定义可知B正确；终边相同的角可以相差360。
的整数倍，C错；终边在第二象限且小于180。
的正角才是钝角，D错.2.点P从（1,0）出发，沿单位圆F+y2=］逆时针方向运动丁弧长到达点Q,则点Q的坐标为（AA/3 1B.(-为，巧) A/3 1D. (—*, 2)解析：本题主要考查三角函数定义的应用.a= ZPOQ=~r, 由三角函数的定义，可知点0的坐标（兀，y）满足x=cosa=1- 2 y=^a=%故选A.兀53. 已知 a^(-, 7i), tana=—才，贝!j sin(a+71) = ( B ) 3 3 44A -5B - _5C 5D ・-5 解析：本题主要考查诱导公式和同角三角函数关系.由题意可得3 3 sina=§, .•.sin(a+7i)= — sina= — 故选 B.4. 已知宓BCD 中，AZ>=(-3,7),皿=(4,3),对角线 AC. BD交于点0,则苗的坐标为（C ）解析：Q+励=(一3,7) + (4,3) = (1,10), '：Ab+A^=A^, :.A^5. 已知O, A, B 是同一平面内的三个点，直线AB 上有一点C满足2范+(^=0,则况=(A )_ _ — — 21 12 — A. 20A —OB B. —O4+2OB C.^OA —qOB D. —解析：依题意，得况=筋+貳=筋+2范=商+2（况一功）, 所以况=2功一商，故选A.6. 设D 为△4BC 所在平面内一点，BC=3Cb,贝lj （ A ）A.A&=B.A&=|A ^— C .A Z>=|A ^+*忆 D .A D=|A ^—解析：由就=3筋得,范一皿=3（訪一范），即3訪=3范+必= (1,10),一5）故选C.—A^）,所以命=JT7. 已知函数 »=Asin （ft ）x+0）（A>O, co>Q, \（p\<^）的图象如图所 示，则函数沧）的解析式为（C ）B. f(jc) = sin(2x + ■?-) o D. /(^) = sin(4^ +v-) o解析： 本題主要考查由图象确定三角函数表达式的方法.由图象可知A = 1,孑=务一寻=手，丁=兀.即空=X.所以3=2,所以/（x ）= 4 1Z o 4 3 sin （2«r + 卩）,/（备）=sin （2 X 誇 + 卩）=sir.<y+^>） =-1.即 sin （* +卩）=1,所以令+ 卩=号* + 2 虹” 6 Z ）・即卩=j + 2kit^k 6 Z ）,又| （p IV 今，所以华=专■，所以/X H ） = sin （2;r +晋），故选C.8.在AABC 中，A, B, C 为内角,且 sinAcosA=sinBcosB,则AABC 是(D )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 解析：本题考查利用三角函数知识判断三角形形状的思维方法.由 sinAcosA = sinBcosB,得 sin2A=sin2B=sin （7i —2B ）,所以 2A7T=2B 或2A=n~2B,即A=B 或A+B=^,所以△ABC 为等腰三角 形或直角三角形，故选D.9. 在ZVIBC 中，M 为边BC 上任意一点，2V 为AM 的中点，尿=倔+则久+〃的值为（A ）1 1 1A ，2 B.^ C.才 D. 1C. /(x) = sin(2x + 奇) sin(2«r —解析：TM是BC上任意一点，可设曲/=価+应(x+y=l).TN为AM的中点，.•.初=¥初=*価+芬就=倔+“荒，.•.— 1 , 1久十〃=空(兀十)0=㊁.10.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且芮+葩+cd=o,则AABC的内角A等于(A )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°解析：由芮+葩+况＞=0,得弘+葩=0乙由O为AABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且ZCAO=6Q°,故A=30°.JT11.函数Xx) = sin(cox+°)(cv〉0, |卩|＜刁的最小正周期为71,若将其图象向左平移扌个单位长度后，得到函数g(x)的图象，且g(x)为奇函数，则函数尢)的图象(C )A.关于点(令，0)对称B.关于点(普，0)对称C.关于直线兀=普对称D.关于直线兀=令对称解析：本题考查三角函数图象的变换和奇函数的性质.由已知得2兀71T=~=n,贝U (o = 2,所以/(x) = sin(2x+o),所以g(x) = sin[2(x+g) 兀71+ °] = sin(2x+亍+卩)，又g(x)为奇函数，贝吃+卩=刼(胆乙)，贝U (p = 兀7171 5TC 5 JT—賓训＜亍)，即_/(x) = sin(2x—亍).把兀=迈代入得sin(2X—71—^)=1, 所以直线兀=令"为/U)图象的对称轴，故选C.12. 若在用[0,刽上有两个不同的实数满足方程cos2x+V3sin2x =k+l,则k 的取值范围是（D ）A. [-2,1]B. [-2,1）C. [0,1]D. [0,1）解析：本题考查三角函数图象的具体应用，考查数形结合思想.原-1~ ] >rr >jr frr方程即 2sin （2x+g ） = k+l, sin （2x+g ）= ?.由 OWxW ㊁，得gW2才+石 7 TC 7T 7T 1 ' J 1 ] 冬石，y=sin （2x+g ）在兀丘[0,寸上的图象如图所示，故当㊁Wp —<1, 即0W 衣1时，方程有两个不同的根，故选D.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 设向量a,万不平行，向量加+万与a+2万平行，则实数久 解析:由于^a~\~b 与a~\~2b 平行，所以存在〃丘R,使得加+方=〃（a+2方），即（久一〃）a + （l — 2〃）方=0, 因为向量a,万不平行，所以久一“=0,1—2〃=0,解得久=“=£.tana —1 1 心 ~ sina+cosaIT 巫T 刁解倚tamz=3•所以5讪—cosa tana+1解析：/(x)= l+cos2x+sin2x= 1+迈sin 〔2x+刖，的最小值 为1_承.16. 关于函数Xx) = sin2x —cos2x,有下列命题：①函数_/(x)的最 小14. … .sina+cosa 的值为2. 解析：由tan71 «_4 已知tan1 r正周期为71；②直线X二中是函数几力的一条对称轴；③点(£, 0)是7T 函数沧)的图象的一个对称中心；④将函数几力的图象向左平移才个单位长度，可得到函数y=血sinlx的图象.其中正确的命题为①③•(填序号)解析：本题考查三角函数的图象和性质的应用.Xx) = sin2x— cos2x=迈sin(2x—中)，所以最小正周期T=n,①正确；当x=中时，局) =^sin(2xf—彳)=^sin扌，不是最值，所以②错误;/(£)=也sin(2x£TT TT-^)=0,所以③正确；将几力的图象向左平移扌个单位长度，得到y =^sin[2(x+f)—f]=^sin(2x+》)的图象，所以④错误.综上，正确的命题为①③.三、解答题(共70分)17.(本小题10分)已知严・=—1,求下列各式的值：tana—1sina—3cosa⑴ sina+cosa '(2)sin2a+sinacosa+2.解：由已知得tana=g.(2)sin 2a + sinacosa + 2 = 3sin 2a + sinacosa + 2cos 2a = 3sin2a+sinacosa+2cos2(z 3tan2a+tana+2 sin 2a+cos% tan 2a +1 18. (本小题12分)已知\a\=2\b\=2,且向量a 在向量万的方向上 的投影为一1.(1) 求a 与万的夹角&；(2) 求(a —2万)•力解：(1)由题意知，|a|=2, |方| = 1, |a|cos0= —1, .\a-b=\a\\b\cos0 = -\b\ = ~l, •••cos&=储±由于 0W [0,兀],0= 2 ・(2)(a —2b)・b = a ・b — 2b 2 = — 1—2= —3.19. (本小题 12 分)已知函数 y=Asin(cox +°)(A 〉0, co>0, |^|<TI ) 的一段图象如图所示.2_\、 -(1) 求函数的解析式； (2) 求这个函数的单调递增区间.T 3 7T ( 71、 71解：(1)由图象可知 A =2, 2=~8~—[ —gj = 2? T =TI , 69 = 2，•*. y=2sin(2x+^),I JI ］ ( JI］ 兀 JT 将点I —g, 2丿代入得 2sinl — 1=2.—才+卩=2加+㊁(RWZ).sina -3cosa⑴ sina+cosatana+1 2+1 5 3' 3X(|)2+|+2 M+l 13 y-tana -3V |^|<7I, ：.(p=-^.函数的解析式为y=2sin〔2x+才J.71 3兀71571 71(2)由2£兀一㊁02%+丁£2加+㊁伙WZ).得kit—飞WxWkit—g伙EZ).函数y=2sin(2x+¥|的单调递增区间为［刼一普，刼一£］伙UZ).JT20.(本小题12 分)已知函数J(x)=Acos(cox+°)(A>0, co>0,0<(p<-^) 的图象过点(0,》，最小正周期为¥，且最小值为一1.(1)求函数尢)的解析式；(2)若用［自m］,»的值域是［―1,—当，求加的取值范围.解：⑴由函数沧)的最小值为一1,可得A=l.2兀因为函数拒)的最小正周期为丁，所以co=3.可得/(x) = cos(3x+0),1 1 兀因为函数/(兀)的图象过点(0,㊁)，所以cos(p=q,又因为0<(p<^,JI兀所以爭=3，故/(x) = cos(3_¥+g).(2)由彳0弓"，可知普W3x+賽3加+彳，7? 7兀又结合函数y=cosx的图象，只需TI W3加石，所以加的取值范围为［普，器］.21.（本小题12分）已知在锐角三角形ABC 中，sin （A+sin （A(2)设AB=3,求AB 边上的高.3i解：(1) J sin(A + B) = § , sin(A 一 B) = § ,sinAcosB+cos4sinB=§,VsinAcosB —cosAsinB=g, n , 3 , 3 m tanA+tanfi(2)： 2<A+B<TI , sm(A+B)=§, .•.tan(A+B)=—才，即]乜仙玄迪 34,CD CD 3CD tanA tanB -2+^/6J\'AB=3, :.CD=2+\[6, 边上的高为 2+^6.本小题 12 分)已知向量 a=(cosc9%—sincvx,sincox),b=(— costvx —sincux,2-\/3coscvx),设函数f^x)=a-b +/l(xGR)的图象关于直线 X = Tl 对称，其中ft),久为常数，且tuwg, J.（1）求函数/U ）的最小正周期；⑵若y=fi.x ）的图象经过点o ］求函数张）在区间0,普上的tanAtanB ;sinAcosB=g, V cosAsinB=§, 又 tanA = 2tanB, 2tan 25—4tanB —1=0, 解得 ta.nB=^±^,2+yj6tanB=~2_ 设AB 边上的高为CD,则AB=AD+DB值域.角军：(l)/(x) = sin2&zx —cos2ftzx+2羽sin&n>coscyx+%= — cos2(yx+ •\/3sin2(wx+7l=2sin^2cox —^+>1.由直线x=n 是y=/U)的图象的一条对称轴，可得sin (2c97i —打= ±1.兀 兀 k 1所以2(071—&=刼+㊁伙UZ).即69=空+3伙WZ).又 69丘(*, 1),胆Z.所以 k=l,故 C9=|.所以 f(x) = 2sin|jx —+ 久，所以几力的最小正周期是丁.(2)由尸幷)的图象过点仔,0),得閱=0,即久=—2sin[|x 扌一划» 一- 3兀 丿灯 7T 一- 5 兀 一,5兀 * > 1 — . (5 7L )一,由OWxW 亍 侍一石£罗—石£石・所以一2smlI< 1.上的值域为[—1 一书,2—^/2].tana — 115. 函数»=2COS 2X +sin2x 的最小值是1—迈. 所以一1 —7^W2sin|71 一返W2—迈，故函数沧)在[0, y]。
2020-2021学年人教A版高中数学必修4练习手册：2单元综合测试 Word版含答案
时间：
第
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则 ＋ ＝()
A. B.
C. D.
解析：利用平行四边形法则作出向量 ＋ ，平移即可发现 ＋ ＝ .
答案：C
2．若向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论正确的是()
A．a·b＝1B．|a|＝|b|
解析： ＝ － ，由于 ⊥ ，所以 · ＝0，
即(λ ＋ )·( － )＝－λ ＋ ＋(λ－1) · ＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×(－ )＝0，解得λ＝ .
＝ ＋ ＋ ＝ ，(1)正确；
当|a|＝|b|＝1且a与b反向时，a·b＝－1<0，但a与b的夹角为180°，因而(2)不正确；
由于e1＝4e2，所以e1∥e2，所以向量e1，e2不能作为基底，(3)不正确；
若a∥b，则a与b的夹角为0°或180°，所以a在b上的投影为|a|cosθ＝±|a|，(4)不正确．
C．(a－b)⊥bD．a∥b
解析：a·b＝2，所以A不正确；|a|＝2，|b|＝ ，则|a|≠|b|，所以B不正确；a－b＝(1，－1)，(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，所以(a－b)⊥b，所以C正确；由于2×1－0×1＝2≠0，所以a，b不平行，所以D不正确．故选C.
答案：C
3．设P是△ABC所在平面内的一点， ＋ ＝2 ，则()
答案：A
9．已知a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()
A．( ， )B．(－ ，－ )
C．( ， )D．(－ ，－ )
解析：不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)，又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，联立解得m＝－ ，n＝－ .故c＝(－ ，－ )．
高一数学人教A版必修四练习：模块质量评估试题 Word版含解析
模块质量评估(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－1213B ．－513C.513D.1213解析： ∵α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213.答案： A2．已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为( ) A ．4 cm 2 B ．6 cm 2 C ．8 cm 2D ．16 cm 2解析： 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，l ＝2r .解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝4.所以S ＝12lr ＝4(cm 2)．答案： A3．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )A ．－35B.35 C ．±35D.45解析： 由已知sin α＝－45，而α为第四象限角，所以cos α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝35， 所以cos(α－2π)＝cos α＝35.答案： B4．已知α是锐角，a ＝⎝⎛⎭⎫34，sin α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则α为( ) A ．15° B ．45° C ．75°D ．15°或75°解析： ∵a ∥b ，∴sin α·cos α＝34×13，即sin 2α＝12.又∵α为锐角，∴0°＜2α＜180°. ∴2α＝30°或2α＝150°. 即α＝15°或α＝75°. 答案： D5．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝e 1＋e 2，b ＝－4e 1＋2e 2, 则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析： 依据题意a ·b ＝－3，|a |·|b |＝3×23＝6，cos 〈a ，b 〉＝－12，故a 与b 的夹角为120°.答案： C6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－35，且x 是第三象限角，则1＋tan x 1－tan x 的值为( )A ．－34B ．－43C.34D.43解析： 因为x 是第三象限角，所以π＋2k π＜x ＜3π2＋2k π，k ∈Z ，所以5π4＋2k π＜x ＋π4＜7π4＋2k π，k ∈Z ，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＜0，而cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－35，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－45，故1＋tan x 1－tan x ＝tanπ4＋tan x1－tan π4·tan x＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝43，选D.答案： D7．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0D ．－π4解析： y ＝sin(2x ＋φ)――――――→向左平移π8个单位 y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ.当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，为奇函数；当φ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，为偶函数；当φ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数；当φ＝－π4时，y ＝sin 2x ，为奇函数．故选B.答案： B8．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )解析： 当x ＝π2时，y ＝1＞0，排除C.当x ＝－π2时，y ＝－1，排除B ；或利用y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B.当x ＝π时，y ＝－π＜0，排除A.故选D. 答案： D9．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为( )A.152B.152C ．7D ．18解析： ∵AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(5p ＋2q ＋p －3q )＝12(6p －q )，∴|AD →|＝|AD →|2＝12（6p －q ）2＝1236p 2－12p ·q ＋q 2 ＝1236×（22）2－12×22×3×cosπ4＋32＝152. 答案： A10．给出以下命题：①若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12；③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝|sin x －12|的周期是π；⑤函数y ＝sin x ＋sin|x |的值域是[0，2]． 其中正确命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析： 对于①来说，取α＝390°，β＝60°，均为第一象限角，而sin 60°＝32，sin 390°＝sin 30°＝12，故sin α＜sin β，故①错误；对于②，由三角函数的最小正周期公式T ＝2π|a |＝4π，得a ＝±12，故②错误；对于③，该函数的定义域为{x |sin x －1≠0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π2＋2k π，k ∈Z ，因定义域不关于原点对称，故没有奇偶性，故③错误；对于④，记f (x )＝|sin x －12|.若T ＝π，则有f ⎝⎛⎭⎫－π2＝f ⎝⎛⎭⎫π2，而f ⎝⎛⎭⎫－π2＝⎪⎪⎪⎪－1－12＝1.5，f ⎝⎛⎭⎫π2＝⎪⎪⎪⎪1－12＝0.5，显然不相等，故④错误；对于⑤，y ＝sin x ＋sin |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0 （x ＜0）2sin x （x ≥0），而当f (x )＝2sinx (x ≥0)时，－2≤2sin x ≤2，故函数y ＝sin x ＋sin |x |的值域为[－2，2]，故⑤错误；综上可知选D.答案： D11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2解析： 由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而f (x )＝2sinπ4x . ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋2 2. 答案： C12．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝( ) A ．0 B ．－35C.35D ．－45解析： 由3a ＋4b ＋5c ＝0，得向量3a ，4b ，5c 能组成三角形，又|a |＝|b |＝|c |＝1，所以三角形的三边长分别是3，4，5，故三角形为直角三角形，且a ⊥b ，所以a ·(b ＋c )＝a ·c ＝－35.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2，2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析： ∵∠ABO ＝90°，∴AB →⊥OB →，∴OB →·AB →＝0. 又AB →＝OB →－OA →＝(2，2)－(－1，t )＝(3，2－t )， ∴(2，2)·(3，2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5. 答案： 514．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，若cos α＝35(0＜α＜π2)，则f (α＋π12)＝________．解析： 因为cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，所以sin α＝45； f ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22(sin α＋cos α)＝7210.答案：721015．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最大值是________．解析： 由f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∵π4≤x ≤π2⇒π3≤2x －π6≤5π6， ∴f (x )max ＝12＋1＝32.答案： 3216．有下列四个命题：①若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12；③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是增函数．其中正确命题的序号为________．解析： α＝390°＞30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确； 函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期为T ＝2π|a |＝4π，所以|a |＝12，a ＝±12，因此②不正确；③中函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，显然不关于原点对称，所以③不正确；由于函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，它在(0，π)上单调递增，因此④正确． 答案： ④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.解析： (1)∵a ∥b ，∴θ＝0°或180°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝±2.(2)∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0， 即|a |2－a ·b ＝1－2cos θ＝0， ∴cos θ＝22. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知tan α＝12，求1＋2sin （π－α）cos （－2π－α）sin 2（－α）－sin2⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解析： 原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝（sin α＋cos α）2（sin α－cos α）（sin α＋cos α） ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1，又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.19．(本小题满分12分)已知a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，a ·b ＝25，求52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos2α2.解析： ∵a ·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1) ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，∴52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2＝52sin 2α－22（cos α－sin α）1＋cos α＝52×⎝⎛⎭⎫－2425－22⎝⎛⎭⎫－45－351－45＝－10 2.20．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 解析： (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又∵a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， ∴2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)∵a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1， 由此得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π. 又∵0＜α＜π，∴α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α＞β，∴α＝5π6，β＝π6.21．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x ·cos x .(1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的值域；(2)用五点法在下图中作出y ＝f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的简图．解析： f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x＝2cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cosπ3＋cos x sin π3－3·sin 2x ＋sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的值域为[－3，2]． (2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：22．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<⎭⎫π2的最大值为22，最小值为－2，周期为π，且图象过⎝⎛⎭⎫0，－24. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．解析： (1)∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的最大值为22，最小值为－2， ∴A ＝322，B ＝22.又∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的周期为π， ∴T ＝2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝322sin(2x ＋φ)＋22.又∵函数f (x )过⎝⎛⎭⎫0，－24，∴－24＝322sin φ＋22，即sin φ＝－12.又∵|φ|<π2，∴φ＝－π6，∴f (x )＝322sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋22.(2)令t ＝2x －π6，则y ＝322sin t ＋22，其增区间为：⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z . 即2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z .解得k π－π6≤x ≤k π＋π3.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .。
2020学年高中数学学期综合测评(含解析)新人教A版必修4(2021-2022学年)
学期综合测评对应学生用书Ｐ１01 本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间１20分钟.第Ⅰ卷 (选择题,共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题５分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)１.已知角α的终边经过点P(4，-3),则2si ｎα＋cos α的值等于( )A .－错误! Ｂ.错误! C ．错误!未定义书签。
Ｄ．-错误!未定义书签。
答案 D解析 据三角函数的定义可知sin α＝－错误!,co ｓα＝错误!,∴2s ｉn α＋co ｓα＝－错误!未定义书签。
+４5＝－错误!未定义书签。
.２．若一个圆的半径变为原来的一半,而弧长变为原来的错误!未定义书签。
倍，则该弧所对的圆心角是原来的( ) A .错误!未定义书签。
Ｂ.2倍 C ．13 D ．３倍答案 D解析 设圆弧的半径为r ，弧长为l,其弧度数为错误!，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为错误!=3·错误!,即弧度数变为原来的3倍,故选D ． 3．已知sin (π+α)＝错误!，则co ｓ2α=（ )ﻬA .79B .-错误!未定义书签。
C ．－错误!未定义书签。
D .错误! 答案 A解析 因为ｓin (π+α)＝错误!未定义书签。
,所以sin α＝－错误!未定义书签。
,所以cos 2α＝１-2sin ２α＝1－2×－132＝错误!未定义书签。
．4．若|a |＝2sin １5°，｜b ｜=4co ｓ15°,且a 与b 的夹角为3０°,则a ·b 的值为( )A ．＼f(１,2) Ｂ．错误! C.错误! D ．２错误!未定义书签。
答案 C解析 a·ｂ=|ａ|｜b |c ｏs3０°=2sin15°·4co ｓ１5°·c ｏs30°=2sin60°＝错误!未定义书签。
2020年高中数学人教A版必修4阶段质量检测(二) Word版含解析
阶段质量检测(二)(A 卷 学业水平达标) (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．在五边形ABCDE 中(如图)，AB ＋BC －DC ＝( )A ．ACB ．ADC ．BD D ．BE答案：B2．(全国大纲卷)已知向量m ＝(λ＋1,1), n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 答案：B3．若|a |＝2，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则a 与b 的夹角是( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案：B4．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则下列向量中与AD 同向的是( )A.a ＋b |a ＋b |B.a |a |＋b |b |C.a －b |a －b |D.a |a |－a|b |答案：A5．已知边长为1的正三角形ABC 中，BC ·CA ＋CA ·AB ＋AB ·BC 的值为( ) A.12 B ．－12C.32 D ．－32答案：D6．已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足OB ＝13OA ＋23OC ，则|AB |∶|BC |＝( )A ．1∶3B ．3∶1C ．1∶2D ．2∶1答案：D7．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ·PB ＝PB ·PC ＝PC ·PA ，则P 是△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心 答案：C8．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2 D.22答案：C9．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA ·MD ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B10.如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA ＋PB )·PC 的最小值是( ) A.92 B ．9 C ．－92 D ．－9 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．在直角坐标系xOy 中，AB ＝(2,1)，AC ＝(3，k )，若三角形ABC 是直角三角形，则k 的值为________．答案：－6或－112．在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________. 答案：113．如图，OM ∥AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的区域(不含边界)内运动，且OP ＝x OA ＋y OB ，则x 的取值范围是______．当x ＝－12时，y 的取值范围是________．答案：(－∞，0) ⎝⎛⎭⎫12，3214．在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A ，B ，C 三点在同一直线上的等价条件为存在唯一实数λ，使得OC ＝λOA ＋(1－λ)OB 成立，此时称实数λ为“向量OC 关于OA 和OB 的终点共线分解系数”．若已知P 1(3,1)，P 2(－1,3)，且向量3OP 与向量a ＝(1,1)垂直，则“向量3OP 关于1OP 和2OP 的终点共线分解系数”为________．答案：－1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0， 解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， ∴a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2；当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， ∴a －b ＝(2，－4)， ∴|a －b |＝4＋16＝2 5. 综上所述，|a －b |为2或2 5.16．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC .(1)以a ，b 为基底表示向量AM 与HF ；(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM ·HF . 解：(1)∵M 为DC 的中点， ∴DM ＝12DC ，又DC ＝AB ，∴AM ＝AD ＋DM ＝AD ＋12AB ＝12a ＋b ，∵H 为AD 的中点，BF ＝13BC ，BC ＝AD ，∴AH ＝12AD ，BF ＝13AD ，∴HF ＝HA ＋AB ＋BF ＝－12AD ＋AB ＋13AD＝AB －16AD ＝a －16b .(2)由已知得a ·b ＝3×4×cos 120°＝－6， AM ·HF ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·⎝⎛⎭⎫a －16b ＝12a 2＋⎝⎛⎭⎫1－112a ·b －16b 2 ＝12×32＋1112×(－6)－16×42 ＝－113.17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB －t OC )·OC ＝0，求t 的值． 解：(1)由题设知AB ＝(3,5)，AC ＝(－1,1)， 则AB ＋AC ＝(2,6)，AB －AC ＝(4,4)． 所以|AB ＋AC |＝210，|AB －AC |＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42，210. (2)由题设知OC ＝(－2，－1)，AB －t OC ＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB －t OC )·OC ＝0， 得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 即(3＋2t )×(－2)＋(5＋t )×(－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115.18．(本小题满分14分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB ＝2e 1＋e 2，BE ＝－e 1＋λe 2，EC ＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－2)，求BC 的坐标；(3)已知D (3,5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．解：(1)AE ＝AB ＋BE ＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2. ∵A ，E ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得AE ＝k EC ，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2. ∵e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，λ＝k －1，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)BC ＝BE ＋EC ＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．(3)∵A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形， ∴AD ＝BC .设A (x ，y )，则AD ＝(3－x,5－y )， ∵BC ＝(－7，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7， 即点A 的坐标为(10,7)．(B 卷 能力素养提升)(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．化简AC －BD ＋CD －AB 得( ) A ．ABB ．DAC ．BCD ．0解析：选D AC －BD ＋CD －AB ＝AC ＋CD －(AB ＋BD )＝AD －AD ＝0.2．已知向量a 与b 的夹角为π3，|a |＝2，则a 在b 方向上的投影为( )A. 3B. 2C.22 D.32解析：选C a 在b 方向上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝2cos π3＝22.选C.3．向量BA ＝(4，－3)，BC ＝(2，－4)，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰非直角三角形 B ．等边三角形 C ．直角非等腰三角形 D ．等腰直角三角形解析：选C AC ＝BC －BA ＝(2，－4)－(4，－3)＝(－2，－1)，而AC ·BC ＝(－2，－1)·(2，－4)＝0，所以AC ⊥BC ，又|AC |≠|BC |，所以△ABC 是直角非等腰三角形．故选C.4．若OF 1＝(2,2)，OF 2＝(－2,3)分别表示F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A ．(0,5) B ．25 C ．2 2D ．5解析：选D ∵F 1＋F 2＝(0,5)，∴|F 1＋F 2|＝02＋52＝5. 5．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0解析：选D 由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0.6．(广东高考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14 B.12 C ．1D ．2解析：选C 可得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12.7．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4D ．12解析：选B 因为|a |＝2，|b |＝1， ∴a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.8．如图，非零向量OA ＝a ，|a |＝2，OB ＝b ，a ·b ＝1，且BC ⊥OA ，C 为垂足，若OC ＝λa ，则λ为( )A.12B.13C.14D ．2解析：选C 设a 与b 的夹角为θ.∵|OC |就是OB 在OA 上的投影|b |cos θ，∴|OC |＝|b | cos θ＝a ·b |a |＝λ|a |，即λ＝a ·b |a |2＝14，故选C. 9．若e 1，e 2是平面内夹角为60°的两个单位向量，则向量a ＝2e 1＋e 2与b ＝－3e 1＋2e 2的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选D e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 60°＝12，a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－72，|a |＝(2e 1＋e 2)2＝4＋4e 1·e 2＋1＝7，|b |＝(－3e 1＋2e 2)2＝9－12e 1·e 2＋4＝7，所以a ，b 的夹角的余弦值为cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－727×7＝－12，所以〈a ，b 〉＝120°.故选D.10．在△ABC 中，已知向量AB 与AC 满足AB |AB |＋AC |AC |·BC ＝0且AB |AB |·AC |AC |＝12，则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形解析：选D 非零向量AB 与AC 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB |AB |＋AC | AC |·BC ＝0，即∠A 的平分线垂直于BC ，∴AB ＝AC .又cos A＝AB|AB|·AC|AC|＝12，∴∠A＝π3，所以△ABC为等边三角形，选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．若向量AB＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·AC＝7，那么n·BC＝________.解析：n·BC＝n·(AC－AB)＝n·AC－n·AB＝7－5＝2.答案：212．已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝1，则a·b的取值范围为________．解析：∵a·b＝|a||b|cos θ＝2cos θ，又∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[－1,1]，即a·b∈[－2,2]．答案：[－2,2]13．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP·AC＝________.解析：设AC∩BD＝O，则AC＝2(AB＋BO)，AP·AC＝AP·2(AB＋BO)＝2AP·AB＋2AP·BO＝2AP·AB＝2AP·(AP＋PB)＝2|AP|2＝18.答案：1814．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°，其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)解析：①a·b＝a·c⇔a·(b－c)＝0，表明a与b－c向量垂直，不一定有b＝c，所以①不正确；对于②，当a∥b时，1×6＋2k＝0，则k＝－3，所以②正确；结合平行四边形法则知，若|a|＝|b|＝|a－b|，则|a|，|b|，|a－b|可构成一正三角形，那么a＋b与a的夹角为30°，而非60°，所以③错误．答案：②三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知OA＝a，OB＝b，对于任意点M关于A点的对称点为S，S点关于B点的对称点为N.(1)用a，b表示向量MN；(2)设|a|＝1，|b|＝2，|MN|∈[23，27]，求a与b的夹角θ的取值范围．解：(1)依题意，知A 为MS 的中点，B 为NS 的中点． ∴SN ＝2SB ，SM ＝2SA .∴MN ＝SN －SM ＝2(SB －SA )＝2AB ＝2(OB －OA )＝2(b －a )． (2)∵|MN |∈[23，27]，∴MN 2∈[12,28]，∴12≤4(b －a )2≤28. ∴3≤4＋1－2a ·b ≤7，∴－1≤a ·b ≤1. ∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝a ·b 2，∴－12≤cos θ≤12. ∵0≤θ≤π，∴π3≤θ≤2π3，即θ的取值范围为⎣⎡⎦⎤π3，2π3. 16．(本小题满分12分)已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12AB .求证：AC ⊥BC .证明：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图，设AD ＝1，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)． ∴BC ＝(－1,1)，AC ＝(1,1)，BC ·AC ＝－1×1＋1×1＝0，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥AC .17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(1＋sin 2x ，1)，x ∈R ，且y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，2.求实数m 的值．解：f (x )＝a ·b ＝m (1＋sin 2x )＋cos 2x ， 由已知得f ⎝⎛⎭⎫π4＝m ⎝⎛⎭⎫1＋sin π2＋cos π2＝2， 解得m ＝1.18．(本小题满分14分)(1)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，求a 与b 的夹角； (2)设OA ＝(2,5)，OB ＝(3,1)，OC ＝(6,3)，在OC 上是否存在点M ，使MA ⊥MB ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)(2a －3b )·(2a ＋b )＝4a 2－4a ·b －3b 2＝61. ∵|a |＝4，|b |＝3， ∴a ·b ＝－6， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，∴θ＝120°.(2)假设存在点M ，且OM ＝λOC ＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)， ∴MA ＝(2－6λ，5－3λ)，MB ＝(3－6λ，1－3λ)， ∴(2－6λ)×(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0， ∴45λ2－48λ＋11＝0，得λ＝13或λ＝1115.∴OM ＝(2,1)或OM ＝⎝⎛⎭⎫225，115. ∴存在M (2,1)或M ⎝⎛⎭⎫225，115满足题意......................................使用本文档删除后面的即可 致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
2020-2021学年人教A版数学必修4习题：第一章 三角函数 单元质量评估
第一章单元质量评估时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知角α是第三象限角，则角－α的终边在( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：∵角α是第三象限角，∴k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ，∴－k ·360°－270°<－α<－k ·360°－180°，k ∈Z .∴角－α的终边在第二象限．故选B.2．已知扇形AOB 的面积为4，圆心角的弧度数为2，则该扇形的弧长为( A )A ．4B ．2C ．1D ．8解析：S ＝12l ·r ＝12·α·r 2＝4，∵α＝2，∴r ＝2，∴l ＝α·r ＝4.3．点P 从点(－1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12解析：点P 从点(－1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针方向运动π3弧长到达Q 点，如图，因此Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，故选A.4．若600°角的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( C )A ．－433 B ．4 3 C ．－4 3 D ．±4 3解析：∵tan600°＝tan(60°＋3×180°)＝tan60°＝3，又点(－4，a )在600°角的终边上，∴－a 4＝tan600°＝3，∴a ＝－4 3.5．sin1，cos1，tan1的大小关系为( C ) A ．sin1>cos1>tan1 B ．sin1>tan1>cos1 C ．tan1>sin1>cos1 D ．tan1>cos1>sin1解析：本题主要考查同角的不同三角函数值的大小．由于π4<1<π3，则有1>sin1>22>cos1，又tan1>1，故tan1>sin1>cos1，故选C.6．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则ω＝( B )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：由图象可知函数的周期为π2，所以2πω＝π2，ω＝4. 7．已知tan θ＝2，则sin θsin 3θ－cos 3θ＝( C )A.13B.23C.107D.32解析：本题主要考查同角三角函数关系的应用.sin θsin 3θ－cos 3θ＝sin θ(sin 2θ＋cos 2θ)sin 3θ－cos 3θ＝tan 3θ＋tan θtan 3θ－1＝23＋223－1＝107，故选C.8．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( C ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b解析：∵b ＝cos55°＝sin(90°－55°)＝sin35°，且35°>33°，根据y ＝sin x在(0°，90°)上单调递增，可得b >a ；结合三角函数线可知b <c ，∴c >b >a ，故选C.9．函数f (x )＝lgsin(π4－2x )的一个增区间为( C )A ．(3π8，7π8)B ．(7π8，9π8)C ．(5π8，7π8)D ．(－7π8，－3π8) 解析：本题主要考查三角函数的单调性的判断和单调区间的求法．由sin(π4－2x )>0，得sin(2x －π4)<0，∴π＋2k π<2x －π4<2π＋2k π(k ∈Z )．又f (x )＝lgsin(π4－2x )的增区间即为sin(π4－2x )在定义域内的增区间，即sin(2x －π4)在定义域内的减区间，故π＋2k π<2x －π4<3π2＋2k π(k ∈Z )，化简得5π8＋k π<x <7π8＋k π(k ∈Z )，当k ＝0时，5π8<x <7π8，故选C.10．已知函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则以下说法正确的是( C )A ．函数的最小正周期为π4 B ．函数为偶函数C ．函数图象的一条对称轴为直线x ＝π3D ．函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6上为减函数解析：该函数的最小正周期T ＝π2；因为f (－x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x －π6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，因此它是非奇非偶函数；函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在[2π3，5π6]上是减函数，但y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在[2π3，5π6]上是增函数，因此只有C 正确． 11．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( B )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4解析：将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度，得到函数y ＝sin[2(x ＋π8)＋φ]＝sin(2x ＋π4＋φ)的图象，因为此时函数为偶函数，所以π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z .令k ＝0，得φ＝π4，故选B.12．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( A )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2] 解析：∵ω>0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，又y ＝sin x 的单调减区间是[2k π＋π2，2k π＋32π](k ∈Z )．∴⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥2k π＋π2，πω＋π4≤2k π＋32π，即4k ＋12≤ω≤2k ＋54(k ∈Z )．令k ＝0，得12≤ω≤54，故选A.(本题也可用排除法)二、填空题(每小题5分，共20分) 13.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－1.解析：原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤8π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos (π2－α)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos αsin αcos α[]－()－sin α＝－1.14．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间是[k π＋23π，k π＋76π](k ∈Z )．解析：由题意得2k π＋π≤2x －π3≤2k π＋2π，k ∈Z .∴k π＋23π≤x ≤k π＋76π，k ∈Z .∴函数的单调递增区间为[k π＋23π，k π＋76π]，k ∈Z .15．已知tan α＝cos α，则sin α＝－1＋52. 解析：由于tan α＝sin αcos α＝cos α，则sin α＝cos 2α，所以sin α＝1－sin 2α，解得sin α＝－1＋52或sin α＝－1－52(舍去)． 16．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 解析：∵f (x )与g (x )的图象的对称轴完全相同，∴f (x )与g (x )的最小正周期相等，∵ω>0，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－32≤3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤3，即f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 三、解答题(共70分)17．(本小题10分)已知tan α＝－34. (1)求2＋sin αcos α－cos 2α的值；(2)求sin (4π－α)cos (3π＋α)cos (π2＋α)cos (152π－α)cos (π－α)sin (3π－α)sin (－π－α)sin (132π＋α)的值． 解：(1)2＋sin αcos α－cos 2α＝2(sin 2α＋cos 2α)＋sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2sin 2α＋sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α＋tan α＋1tan 2α＋1＝2×(－34)2＋(－34)＋1(－34)2＋1＝98－34＋11＋916＝2225.(2)原式＝(－sin α)(－cos α)(－sin α)cos[7π＋(π2－α)](－cos α)sin αsin αsin[6π＋(π2＋α)]＝sin 2αcos αsin α－cos αsin 2αcos α＝－sin αcos α＝－tan α＝34.18．(本小题12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)图象最低点的纵坐标是－3，相邻的两个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0.(1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )的值域； (3)求f (x )的图象的对称轴．解：(1)由题意知，A ＝3，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)．又点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0在f (x )的图象上， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0；∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，结合－π<φ<0，可得φ＝－2π3.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3.(2)f (x )的值域是[－3，3]．(3)令2x －2π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝7π12＋k π2(k ∈Z )．∴f (x )的图象的对称轴是x ＝7π12＋k π2(k ∈Z )．19．(本小题12分)已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋a ＋b .(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)当a <0时，f (x )在[0，π]上的值域为[2,3]，求a ，b 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1＋b .令2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )．解得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )．∴f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． (2)f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋a ＋b ，∵x ∈[0，π]，∴－π4≤x －π4≤3π4，∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≤1.又∵a <0，∴2a ≤2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≤－a ，∴2a ＋a ＋b ≤f (x )≤b .∵f (x )的值域是[2,3]，∴2a ＋a ＋b ＝2且b ＝3.解得a ＝1－2，b ＝3.20．(本小题12分)如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P ，Q 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，且∠AOP ＝β，β∈(0，π2)，∠AOQ ＝α，α∈[0，π)．(1)若点Q 的坐标是(m ，45)，其中m <0，求cos(π－α)＋sin(－α)的值； (2)设点P (32，12)，函数f (α)＝sin(α＋β)，求f (α)的值域．解：(1)由⎩⎨⎧m 2＋(45)2＝1，m <0得m ＝－35，所以cos α＝m ＝－35，sin α＝45.所以cos(π－α)＋sin(－α)＝－cos α－sin α＝－15.(2)由已知得β＝π6，因为α∈[0，π)，则α＋π6∈[π6，7π6)，所以－12<sin(α＋π6)≤1.故f (α)的值域是(－12，1]．21.(本小题12分) 设x ∈R ，函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<0)的最小正周期为π，且f (π4)＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象； (3)若f (x )>22，求x 的取值范围．解：(1)∵函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∵f (π4)＝cos(2×π4＋φ)＝cos(π2＋φ)＝－sin φ＝32，且－π2<φ<0，∴φ＝－π3.(2)由(1)知f (x )＝cos(2x －π3)，列表如下：x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π 2x －π3 －π3 0 π2 π 3π2 5π3 f (x )121－112作图象如图所示：(3)∵f (x )>22，即cos(2x －π3)>22，∴2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4(k ∈Z )，则2k π＋π12<2x <2k π＋7π12(k ∈Z )，即k π＋π24<x <k π＋7π24(k ∈Z )．∴x 的取值范围是{x |k π＋π24<x <k π＋7π24，k ∈Z }．22．(本小题12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一系列对应值如下表：x －π6 π3 5π6 4π3 11π6 7π3 17π6 10π3 f (x )－1131－1131(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的最小正周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，由表格中的数据，得T ＝11π6－(－π6)＝2π，由T ＝2πω＝2π，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋A ＝3，b －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，b ＝1，令ω·5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π－π3(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝－π3.所以f (x )＝2sin(x －π3)＋1.(2)因为函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的最小正周期为2π3，所以k ＝2π2π3＝3，令t ＝3x －π3，因为x ∈[0，π3]，所以t ∈[－π3，2π3]，作出y ＝sin t (t ∈[－π3，2π3])的图象，如图所示．由图象可知，sin t ＝s 在t ∈[－π3，2π3]上有两个不同的实数解时，s ∈[32，1)，所以方程f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]上恰好有两个不同实数解时，m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)．。
2020学年高中数学人教A版必修四阶段质量检测：(一)含解析
2
f(2) ＝cos π＋4 ＝－ 2 ，
3π π 2
f(3) ＝cos 2 ＋ 4 ＝ 2 ，
π2
f(4) ＝cos 2π＋4 ＝ 2 .
所以 f(1) ＋f(2) ＋ f(3) ＋ f(4) ＝0， 所以 f(1) ＋f(2) ＋ f(3) ＋…＋ f (2 015)
2
＝ f(1) ＋ f(2) ＋ f(3) ＝－ 2 .
015) 等于 ________．
a （ a ≤b ），
15 ．定义运 算 a* b 为 a* b＝
例如 1*2 ＝ 1，
b（ a> b），
则函 数 f (x) ＝sin x*cos x 的 值域 为 ________．
π
16 ． 给出下列 4 个命 题 ：①函 数 y＝ sin 2 x－ 12 的最
小正周期是
π 2 ；②直 线
7π
x＝ 12 是函 数
y＝ 2sin
π
3x－ 4 的一 条
1
对称轴 ；③若 sin α＋ cos α＝－ 5，且 α为第二象限角， 则
3
2
tan α＝－ 4；④函 数 y＝ cos(2 － 3x) 在区间 3， 3 上单调递
减．其中正确的是 ________． ( 写出所有正确命 题 的序 号 )． 三、解答 题( 本大 题共 6 小 题，共 70 分，解答 时应写 出
5π
(1) 求 f 4 的 值 ；
(2) 求函 数 f( x) 的单调递 增区间 ．
π
19 ． (12 分) 已知函 数 f ( x)＝ 3sin x＋ 4 .
(1) 用五点法 画 出 它在一 个 周期 内 的 闭区间 上的 图 象；
2020-2021学年人教A版必修4第二章平面向量综合测试卷(A)含答案(共3套)
必修4 第二章 向量(一)一、选择题:1.下列各量中不是向量的是 （ ）A ．浮力B ．风速C ．位移D ．密度2．下列命题正确的是（ ）A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若a 、b 都是单位向量,则a =bC ．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于（ ）A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 44．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则（ ）A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等D ．与相等6．已知向量e 1、e 2不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -y 的值等于( ) A ．3 B ．－3 C ．0 D ．2 7. 设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的横坐标为 ( ) A ．-9 B ．-6 C ．9 D ．6 8. 已知a 3=，b 23=,a ⋅b =-3，则a 与b 的夹角是( )A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒9.下列命题中，不正确的是( )A ．a =2aB ．λ(a ⋅b )=a ⋅(λb )C ．（a -b ）c =a ⋅c -b ⋅cD ．a 与b 共线⇔a ⋅b =a b10．下列命题正确的个数是( ) ①=+0 ②0=⋅0③=-④（a ⋅b ）c =a （b ⋅c ）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知P 1（2，3），P 2（-1，4），且12P P 2PP =，点P 在线段P 1P 2的延长线上，则P 点的坐标为( )A ．（34，-35） B ．（-34，35） C ．（4，-5）D ．（-4，5） 12．已知a 3=，b 4=，且（a +k b ）⊥（a -k b ），则k 等于( )A ．34±B ．43±C ．53±D ．54±二、填空题13．已知点A(－1,5)和向量a ={2,3},若AB =3a ,则点B 的坐标为 . 14．若3=OA 1e ，3=OB 2e ，且P 、Q 是AB 的两个三等分点，则=OP ，=OQ . 15．若向量a =（2，-x ）与b =（x, -8）共线且方向相反，则x= . 16．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120O ,而a 在e 方向上的投影为－2，则a = .三、解答题17．已知菱形ABCD 的边长为2,求向量AB －CB +CD 的模的长.18．设OA 、OB 不共线,P 点在AB 上.求证: OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R ．19．已知向量,,32,32212121e e e e e e 与其中+=-=不共线向量,9221e e -=，问是否存在这样的实数,,μλ使向量c b a d 与μλ+=共线20．i、j是两个不共线的向量,已知AB=3i+2j，CB=i+λj, CD=-2i+j,若A、B、D三点共线,试求实数λ的值.必修4 第二章 向量(一)必修4第三章向量(一)参考答案 一、选择题1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6. A 7. D 8．C 9．B 10．A 11．D 12．C 二、填空题 13．3 14．12e 2e +122e e + 15．4- 16．4三、解答题17．解析: ∵AB -CB +CD =AB +(CD -CB )=AB +BD =AD又|AD |=2 ∴|AB -CB +CD |=|AD |=218．证明: ∵P 点在AB 上,∴AP 与AB 共线.∴AP =t AB (t ∈R )∴OP =OA +AP =OA +t AB =OA +t (OB -OA )=OA (1-t )+ OB令λ=1-t ,μ=t ∴λ+μ=1∴OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R19．解析：222,2,,.2339,k R k λμλμλμλμλμ+=⎧=-∈=-⎨-+=-⎩解之故存在只要即可.20．解析: ∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j∵A 、B 、D 三点共线,∴向量AB 与BD 共线,因此存在实数μ,使得AB =μBD , 即3i +2j =μ［-3i +(1-λ)j ］=-3μi +μ(1-λ)j ∵i 与j 是两不共线向量,由基本定理得:⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=-=-312)1(33λμλμμ 故当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.第二章平面向量（A 卷）（测试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）． A. 20 B. 10 C. 10- D. 20- 【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：C ．2．【2017届北京房山高三上期末】已知向量31,2BA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， ()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（ ） A.π6 B. π4 C. π3 D. 2π3【答案】C3.【2018届四川省成都市郫都区高三上期中】已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C【解析】()()()21,01,11a b a +⋅=-=,故选：C. 4．已知向量，若，则实数m 的值为 （ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或【答案】C 【解析】∵向量，且∴， ∴.选C.5．如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( )A. 1e ＋2eB. 21e －2eC. －21e ＋2eD. 21e ＋2e 【答案】C6．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（ ） A. 4 B. 4- C. 2 D. 2- 【答案】A 【解析】()1,2A --, ()()0,1,5B C a -，三点共线ABACλ∴→=→即()()1162a λ=+，，()16{ 12a λλ==+ 16λ∴=, 4a = 故答案选A .7．【2018届全国名校大联考高三第二次联考】已知平面向量,a b 的夹角为60°，()1,3a =， 1b =，则a b +=（ ）A. 2B. 23C. 7D. 4 【答案】C8．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）． A. 20 B. 10 C. 10- D. 20- 【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：C ．9.【2018届福建省福安市一中上学期高三期中】已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为 A. 1 B. 1- C. 3 D. 3- 【答案】D 【解析】()23,3a b -=，因为（2a b -）与c 互相垂直，则()233303a b c k k -⋅=+=⇒=-，选D.10.【2018届河南省中原名校高三第三次考评】已知点()0,1A ， ()1,2B ， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A.322 B. 2 C. 322- D. 3152- 【答案】B【解析】()()1,1.5,5AB CD ==则向量AB 在CD 方向上的投影为10cos ,252AB CD AB AB CD AB AB CD⋅=⋅== 故选B.11．【2018届黑龙江省齐齐哈尔地区八校高三期中联考】在矩形ABCD 中， 3AB =， 3BC =，2BE EC =，点F 在边CD 上，若•3AB AF =，则•AE BF 的值为（ ）A. 0B. 833C. 4-D. 4 【答案】C【解析】12．【2018届河南省漯河市高级中学高三上期中】已知ABC ∆是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为 （ ） A. 3- B. 6- C. 2- D. 83- 【答案】B【解析】如图建立坐标系， (()()0,23,2,0,2,0A B C -，设(),P x y ，则()()(),23,2,,2,PA x y PB x y PC x y =--=---=--，()()()22,232,22243PA PB PC x y x y x y ∴⋅+=-⋅--=+-()222366x y ⎡⎤=+--≥-⎢⎥⎣⎦， ∴最小值为6-，故选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________． 【答案】12-【解析】由题意得()11:2:12λλ=-∴=-. 14.【2018届河北省邢台市高三上学期第二次月考】已知单位向量a ， b 满足()1•232a a b -=，则向量a 与b 的夹角为__________． 【答案】60°（或3π） 【解析】因为()1232a a b ⋅-=，化简得： 2123232a a b a b -⋅=-⋅=，即12a b ⋅=，所以1cos ,2a b a b a b⋅==⋅，又0,a b π≤≤，所以,3a b π=，故填3π. 15．【2018届福建省三明市第一中学高三上学期期中】在平行四边形ABCD 中， AC 与BD 交于点 O ，E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =， BD b =，则AF 等于_______【答案】2133a b +【解析】∵AC a =， BD b =，∴11112222AD AC BD a b =+=+. ∵E 是OD 的中点，∴＝，∴DF ＝AB .∴111111332266DF AB AC BD a b ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭， ∴111121226633AF AD DF a b a b a b =+=++-=+. 16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在线段AB 边上运动（包含线段端点），则DE CB ⋅的值为__________； DE DB ⋅的取值范围为__________． 【答案】 1 []1,2【解析】如图，以D 为坐标原点，以DC ， DA 分别为x ， y 轴，建立平面直角坐标系， ()0,0D ， ()0,1DE x ， ()1,1B ， ()0,1CB ，()1,0C ， ()1,1DB ， ()0,1E x ， []00,1x ∈，∴1DE CB ⋅=， 01DE DB x ⋅=+，∵001x ≤≤，0112x ≤+≤，∴DE DB ⋅的取值范围为[]1,2，故答案为1， []1,2.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +） （1）求证： AB BC ⊥；【答案】(1)见解析(2) 12-或1 【解析】试题分析：（1）分别根据向量的坐标运算得出AB BC ，算出AB BC ⋅（2）由向量的平行进行坐标运算即可. 试题解析：(1)依题意得， ()()2,3,3,2AB BC =-= 所以()23320AB BC ⋅=⨯+-⨯= 所以AB BC ⊥.18．（本小题12分）已知向量()1,2a =，()3,4b =-． （1）求a b +与a b -的夹角； （2）若()a ab λ⊥+，求实数λ的值． 【答案】（1）34π；（2）1-． 【解析】（1）因为()1,2a =，()3,4b =-，所以()2,6a b +=-，()4,2a b -=- 所以2,64,22cos ,240204020a b a b -⋅-+-===-⨯⨯，由[],0,a b a b π+-∈，则3,4a b a b π+-=； （2）当()a ab λ⊥+时，()0a a b λ⋅+=，又()13,24a b λλλ+=-+，所以13480λλ-++=，解λ=-.得：119．（本小题12分）已知是夹角为的两个单位向量，，.（1）求；（2）求与的夹角.【答案】(1) ;(2) 与的夹角为.【解析】试题分析：（1）向量点积的运算规律可得到再展开根据向量点积公式得最终结果；（2）同第一问，由向量点积公式展开=0.∵是夹角为的两个单位向量，∴，(1)(2) ,,∴，∴与的夹角为.20．（本小题12分）如图，在平行四边形中，，是上一点，且. （1）求实数的值；（2）记，，试用表示向量，，.【答案】(1)；(2)，，.【解析】试题分析：（1）根据平面向量共线定理得到，由系数和等于1，得到即。
高中人教A版数学必修4：模块综合测试卷 pdf版含解析
π
5π
10．已知 ω>0,0<φ<π，直线 x＝4和 x＝ 4 是函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对 称轴，则 φ 的值为( )
ππ
A.4 B.3 π 3π
C.2 D. 4 答案：A
π
5π
5π π T
解析：因为直线 x＝4和 x＝ 4 是函数图象中相邻的两条对称轴，所以 4 －4＝2，即
解析：y＝2sinxcosx－1＝sin2x－1，∵x∈R，
∴sin2x∈[－1,1]，∴y∈[－2,0]．
( )π
ωx－ 15．已知函数 f(x)＝3sin 6 (ω>0)和 g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1 的图象的对称轴完全相
T
2π
π
2＝π，T＝2π.又 T＝ ω ＝2π，所以 ω＝1，所以 f(x)＝sin(x＋φ)．因为直线 x＝4是函数图象
ππ
π
π
的对称轴，所以4＋φ＝2＋kπ，k∈Z，所以 φ＝4＋kπ，k∈Z.因为 0<φ<π，所以 φ＝4，检验 5π
知，此时直线 x＝ 4 也为对称轴．故选 A.
11．若向量 a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，则|a＋b|的最小值为( )
3．下列函数中周期为2的偶函数是( ) A．y＝sin4x B．y＝cos22x－sin22x C．y＝tan2x D．y＝cos2x 答案：B
2π π
解析：A 中函数的周期 T＝ 4 ＝2，是奇函数．B 可化为 y＝cos4x，其周期为
2π π
π
2π
T＝ 4 ＝2，是偶函数．C 中 T＝2，是奇函数，D 中 T＝ 2 ＝π，是偶函数．故选 B. 4．已知向量 a，b 不共线，实数 x，y 满足(3x－4y)a＋(2x－3y)·b＝6a＋3b，则 x－y 的
2020_2021学年高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理训练含解析新人教A版必修4
第二章 平面向量2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1 平面向量基本定理 [A 组 学业达标]1．若k 1a ＋k 2b ＝0，则k 1＝k 2＝0，那么下面关于向量a ，b 的判断正确的是( )A ．a 与b 一定共线B ．a 与b 一定不共线C ．a 与b 垂直D ．a 与b 中至少有一个为0解析：由平面向量基本定理可知，当a ，b 不共线时，k 1＝k 2＝0. 答案：B2.如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)．若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足 ( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0解析：取第Ⅲ部分内一点画图易得a >0，b <0. 答案：B3．如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有( )①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内的任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ，μ有无数多对；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若实数λ，μ使λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②解析：由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2 ＝0时，这样的λ有无数个．故选B. 答案：B4．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD →＝2DC →，设AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →可用基底a ，b 表示为 ( )A.12(a ＋b ) B.23a ＋13b C.13a ＋23b D.13(a ＋b ) 解析：∵BD →＝2DC →，∴BD →＝23BC →.∴AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝13a ＋23b .答案：C5．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，试用m ，n 表示p ，p ＝________．解析：设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3，－3x －2y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝－74，y ＝138.所以p ＝－74m ＋138n .答案：－74m ＋138n6．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y ＝________．解析：∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3.答案：37．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．解析：易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝12.答案：128．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB＝k (k ≠1)．设AD →＝e 1，AB →＝e 2，选择基底{e 1，e 2}，试写出下列向量在此基底下的分解式：DC →，BC →，MN →. 解析：如图，∵AB →＝e 2，且DC AB＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2.又∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－DA →＝－AB →＋DC →＋AD →＝－e 2＋k e 2＋e 1＝e 1＋(k －1)e 2. ∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，∴MN →＝－NB →－BA →－AM →＝BN →＋AB →－AM →＝12BC →＋e 2－12AD →＝12[e 1＋(k －1)e 2]＋e 2－12e 1＝k ＋12e 2. 9．在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上且AN →＝2NC →，AM 交BN 于P 点，求AP与AM 的比值．解析：设BM →＝a ，CN →＝b ，则AM →＝AC →＋CM →＝－a －3b ，BN →＝2a ＋b . ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线， ∴存在实数λ，μ使AP →＝λAM →＝－λa －3λb ， BP →＝μBN →＝2μa ＋μb .∴BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)a ＋(3λ＋μ)b . 又∵BA →＝BC →＋CA →＝2a ＋3b ，由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35，则AP →＝45AM →.∴AP 与AM 的比值为45.[B 组 能力提升]10．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →＝( )A ．a ＋λbB ．λa ＋bC ．λa ＋(1＋λ)bD.a ＋λb 1＋λ解析：∵P 1P →＝λPP 2→，∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →)，(1＋λ)OP →＝λOP 2→＋OP 1→，∴OP →＝a ＋λb1＋λ.答案：D11.如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝( )A ．1 B.43 C.23D.56解析：AF →＝mAB →＋nAC →＝mAB →＋2nAE →， 由B ，F ，E 三点共线，得m ＋2n ＝1，① AF →＝mAB →＋nAC →＝2mAD →＋nAC →， 由C ，F ，D 三点共线，得2m ＋n ＝1，② ①＋②得3(m ＋n )＝2，m ＋n ＝23.答案：C12．设G 为△ABC 的重心，O 为坐标原点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示OG →，则OG →＝________．解析：OG →＝OC →＋CG →＝OC →＋13(CA →＋CB →)＝OC →＋13(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝13(a ＋b ＋c )．答案：13(a ＋b ＋c )13．在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________．(用e 1，e 2表示)解析：如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.答案：－23e 1＋512e 214．已知△ABC 内一点P 满足AP →＝λAB →＋μAC →，若△P AB 的面积与△ABC 的面积之比为1∶3，△P AC 的面积与△ABC 的面积之比为1∶4，求实数λ，μ的值．解析：如图，过点P 作PM ∥AC ，PN ∥AB ，则AP →＝AM →＋AN →，所以AM →＝λAB →，AN →＝μAC →.作PG ⊥AC 于点G ，BH ⊥AC 于点H . 因为S △P AC S △ABC ＝14，所以PG BH ＝14.又因为△PNG ∽△BAH ，所以PG BH ＝PN AB ＝14，即AM AB ＝14，所以λ＝14，同理μ＝13. 15．如图，已知三点O ，A ，B 不共线，且OC →＝2OA →，OD →＝3OB →，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)试用a ，b 表示向量OE →；(2)设线段AB ，OE ，CD 的中点分别为L ，M ，N ，试证明：L ，M ，N 三点共线．解析：(1)∵B ，E ，C 三点共线， ∴OE →＝xOC →＋(1－x )OB →＝2x a ＋(1－x )b .①同理，∵A ，E ，D 三点共线，∴OE →＝y a ＋3(1－y )b .②比较①②，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ，1－x ＝3（1－y ），解得x ＝25，y ＝45，∴OE →＝45a ＋35b .(2)证明：∵OL →＝a ＋b 2，OM →＝12OE →＝4a ＋3b 10，ON →＝12(OC →＋OD →)＝2a ＋3b 2，∴MN →＝ON →－OM→＝6a ＋12b 10，ML →＝OL →－OM →＝a ＋2b10， ∴MN →＝6ML →，又MN →与ML →有公共点M ， ∴L ，M ，N 三点共线．。
2020年高中数学人教A版必修4阶段质量检测(一) Word版含解析
阶段质量检测(一)(A 卷 学业水平达标) (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( ) A ．330° B ．210° C ．150° D ．30°答案：B2．若－π2<α<0，则点P (tan α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：B3．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (sin 120°，cos 120°)，则α可以是( )A ．60°B ．330°C ．150°D ．120° 答案：B4．若sin 2θ＋2cos θ＝－2，则cos θ＝( ) A ．1 B.12C ．－12D ．－1 答案：D5．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案：C6．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α的值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32答案：C7．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫－π6≤x ≤π6的最大值与最小值之和为( ) A.32 B ．2 C ．0 D.34答案：A8．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R)在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案：A9．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4 答案：C10．函数f (x )＝A sin ωx (ω>0)，对任意x 有f ⎝⎛⎭⎫x －12＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，且f ⎝⎛⎭⎫－14＝－a ，那么f ⎝⎛⎭⎫94等于( )A ．aB ．2aC ．3aD ．4a答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知sin(π－α)＝－23，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)＝________. 解析：sin(π－α)＝sin α＝－23，∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：25512．已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为________． 解析：∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4，∴sin θ＜cos θ.∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2 ＝－1－2sin θcos θ＝－23. 答案：－2313．定义运算a *b 为a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a >b )，例如1] .解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数的图象可得其值域为⎣⎡⎦⎤－1，22.答案：⎣⎡⎦⎤－1，22 14．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________.解析：由图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝2π8＝π4，即周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点⎝⎛⎭⎫3π8，0，所以0＝A tan⎝⎛⎭⎫2×3π8＋φ，即3π4＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－3π4(k∈Z)，又|φ|＜π2，所以φ＝π4.再由图象过定点(0,1)，所以A＝1.综上可知f(x)＝tan⎝⎛⎭⎫2x＋π4.故有f⎝⎛⎭⎫π24＝tan⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝tanπ3＝ 3.答案： 3三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin2α＋sin αcos α＋2.解：由tan αtan α－1＝－1，得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝12－312＋1＝－53.(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝sin2α＋sin αcos α＋2(cos2α＋sin2α)＝3sin2α＋sin αcos α＋2cos2αsin2α＋cos2α＝3tan2α＋tan α＋2tan2α＋1＝3⎝⎛⎭⎫122＋12＋2⎝⎛⎭⎫122＋1＝135.16．(本小题满分12分)已知α是第二象限角，且f(α)＝sin⎝⎛⎭⎫α－π2cos⎝⎛⎭⎫3π2＋αtan(π－α)tan(－α－π)sin(－π－α).(1)化简f(α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝35，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝－cos αsin α(－tan α)－tan αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝35， ∴sin α＝35.又∵α是第二象限角，∴cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴f (α)＝－⎝⎛⎭⎫－45＝45. 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0,2)和(x 0＋3π，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变，然后再将所得的图象沿x 轴向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，写出函数y ＝g (x )的解析式，并用“五点法”作出y ＝g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．解：(1)∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在y 轴上的截距为1，最大值为2，∴A ＝2,1＝2sin φ，∴sin φ＝12. 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6.∵两相邻的最大值点和最小值点分别为(x 0,2)和(x 0＋3π，－2)， ∴T ＝2[(x 0＋3π)－x 0]＝6π， ∴ω＝2πT ＝2π6π＝13. ∴函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6.(2)将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，得函数的解析式为y＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，再向右平移π3个单位后，得g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. 列表如下：x π6 2π3 7π6 5π3 13π6 g (x )2－2描点并连线，得g (x )在一个周期的闭区间上的图象如下图．18.(本小题满分14分)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)x ∈R ，ω>0,0≤θ≤π2的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，求x 0的值． 解：(1)把(0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋θ)中， 得cos θ＝32. ∵0≤θ≤π2，∴θ＝π6.∵T ＝π，且ω>0， ∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.(2)∵点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是PA 的中点，y 0＝32， ∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫2x 0－π2，3. ∵点P 在y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上， 且π2≤x 0≤π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x 0－5π6＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6. ∴4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6. ∴x 0＝2π3或x 0＝3π4.(B 卷 能力素养提升) (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．已知cos θ tan θ<0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限象 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角 解析：选C 若cos θtan θ<0，则cos θ>0，tan θ<0，或cos θ<0，tan θ>0. 当cos θ>0，tan θ<0时，角θ是第四象限角； 当cos θ<0，tan θ>0时，角θ是第三象限角．2．(陕西高考)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2πD ．4π解析：选B ∵T ＝2π|ω|＝2π2＝π，∴B 正确． 3．函数y ＝cos x ·tan x 的值域是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．[－1,1] C ．(－1,1) D ．[－1,0]∪(0,1)解析：选C 化简得y ＝sin x ，由cos x ≠0，得sin x ≠±1.故得函数的值域(－1,1)． 4．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍解析：选B 根据弧度的定义可知：圆心角的大小等于弧长对半径的比，故选B. 5．已知α＝5π8，则点P (sin α，tan α)所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵π2<5π8<π，∴sin α>0，tan α<0，∴点P 在第四象限．6．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象( ) A ．关于原点成中心对称 B ．关于y 轴成轴对称 C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称 D ．关于直线x ＝π12成轴对称解析：选C 由形如y ＝A sin(ωx ＋φ)函数图象的对称中心和对称轴的意义，分别将各选项代入检验即可，由于f ⎝⎛⎭⎫π12＝0，故函数的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称． 7．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( )解析：选D 当π2<x <π时，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <3π2时，tan x >sin x ，y ＝2sin x ．故选D.8．已知角α的终边上一点的坐标为sin π6，cos π6，则角α的最小正值为( )A.11π6B.5π6 C.π3 D.π6解析：选C 由题意知，tan α＝cosπ6sin π6＝ 3.所以α的最小正值为π3.9．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8 B.⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8 C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π8，2k π＋5π8 D.⎣⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π8(以上k ∈Z) 解析：选B 函数y ＝cos π4－2x ＝cos2x －π4，根据余弦函数的增区间是[2k π－π，2k π]，k ∈Z ，得2k π－π≤2x －π4≤2k π，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.故选B.10．函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3的最大值是( ) A.14 B.34 C.15 D.154解析：选D y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－13.∵x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12，∴当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________． 解析：∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1，(1≤x ≤44，x ∈N)，∴原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎫222＝912.答案：91212．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是________．解析：y ＝sin 2x 向右平移φ个单位得 f (x )＝sin [2(x －φ)]＝sin(2x －2φ)． 由f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝±1， ∴π3－2φ＝k π＋π2(k ∈Z)，∴2φ＝－k π－π6，令k ＝－1，得2φ＝5π6，∴φ＝5π12或作出y ＝sin 2x 的图象观察易知φ＝π6－⎝⎛⎭⎫－π4＝5π12. 答案：5π1213．若tan(π－α)＝2，则2sin(3π＋α)·cos 5π2＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫32π－α·sin(π－α)的值为________． 解析：∵tan(π－α)＝2，∴tan α＝－2， ∴原式＝－2sin α·(－sin α)＋(－cos α)·sin α ＝2sin 2α－sin αcos α＝2sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－tan α1＋tan 2α＝2×(－2)2－(－2)1＋(－2)2＝105＝2.答案：214．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则ω＝________，θ＝________.解析：由已知T ＝π，∴ω＝2，θ＝k π＋π2(k ∈Z)．答案：2π2三、解答题(本题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A ；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．解：(1)∵sin A ＋cos A ＝15 ①，∴①式两边平方得1＋2sin A cos A ＝125， ∴sin A cos A ＝－1225.(2)由(1)sin A cos A ＝－1225，且A ∈(0，π)，可得sin A >0，cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形．(3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0， ∴sin A －cos A >0，∴sin A －cos A ＝75 ②，∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tanA ＝－43.16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋2·sin2x －π4.(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值； (2)画出函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象． 解：(1)函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π， 当sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝1时，f (x )取得最大值1＋ 2. (2)由(1)知：x －π2 －3π8－π8 π8 3π8 π2 y211－211＋22故函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象如图所示．17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝3sin ωx ＋π6，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．(1)求f (0)； (2)求f (x )的解析式；(3)已知f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，求sin α的值． 解：(1)由题设可知f (0)＝3sin π6＝32.(2)∵f (x )的最小正周期为π2，∴ω＝2ππ2＝4. ∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (3)由f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95， ∴cos α＝35.∴sin α＝±1－cos 2α＝±45.18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，且ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求A ，ω，φ的值；(2)若方程f (x )＝a 在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个不同的实根，试求a 的取值范围． 解：(1)由图象易知A ＝1，函数f (x )的周期为 T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π6－2π3＝2π，∴ω＝1. ∵π－2π3＝π3，∴此函数的图象是由y ＝sin x 的图象沿x 轴向左平移π3个单位长度得到的，故φ＝π3.(2)由(1)知函数解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. ∴方程f (x )＝a 在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个不同的实根等价于y ＝f (x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，53π与y ＝a 有两个交点．当x ＝0时，f (x )＝32， ∴a ∈⎝⎛⎭⎫32，1时，y ＝a 与y ＝f (x )有两个交点； 当x ＝53π时，f (x )＝0，∴a ∈(－1,0)时，y ＝a 与y ＝f (x )也有两个交点， 故所求a ∈⎝⎛⎭⎫32，1∪(－1,0)．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
广东省清远市2020-2021学年高一上学期期末教学质量检测数学试题(Word解析版)
广东省清远市2020~2021学年度第一学期期末教学质量检测高一数学考生注意:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容:人教A 版必修第一册。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数f (x )=x-log 527的零点所在的区间为A .(2,3)B .(1,2)C .(0,1)D .(3,4)2.下列各角中,与735°终边相同的角是A .5°B .15°C .25°D .35°3.已知函数f (x )={2x ,x <0,x 2+2x -4,x ≥0,则f (f (1))=A .-1B .-4C .1D .44.某幼儿园满天星班开设“小小科学家”、“小小演说家”兴趣小组,假设每位学员最少参加一个小组,其中有13位学员参加了“小小科学家”兴趣小组,有16位学员参加了“小小演说家”兴趣小组,有8位学员既参加了“小小科学家”兴趣小组,又参加了“小小演说家”兴趣小组,则该幼儿园满天星班学员人数为A.19B.20C.37D.215.已知a=log312,b=3-0.2,c=log35,则A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a6.函数f(x)=sin x·ln|x|的部分图象大致为7.已知角θ的终边经过点P(tan 225°,2sin 225°),则sin θ-cos θ=A.-√6+√33B.√3-√63C.√6-√33D.√6+√338.若函数f(x)=log2(ax2+4x+2)的值域为R,则实数a的取值范围是A.[0,2]B.(0,2]C.[0,+∞)D.[2,+∞)二、选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.已知α为第一象限角,则A.α+π为第三象限角B.α-π2为第二象限角C.sin 2α>0D.cos 2α>010.下列结论中正确的有A.“∃x∈R,sin x+1<0”是真命题B.“log3x<2”是“x2-9x-10<0”的充分不必要条件C .命题“∀x>0,2x+3x >1”的否定为“∃x>0,2x+3x≤1” D .“x>0”是“2x>1”的必要不充分条件11.已知函数y=f (x )是R 上的奇函数,且当x ≥0时,f (x )=x 2+x+a-2,则A .a=2B .f (2)=2C .f (x )是R 上的增函数D .f (-3)=-1212.已知函数f (x )=2sin (2x+π3),g (x )=2cos (2x+π6),则A .直线x=π12是f (x )图象的一条对称轴B .将g (x )图象上所有的点向右平移π6个单位长度即可得到f (x )的图象C .g (x )在区间(π3,2π3)上单调递减 D .函数h (x )=f (x )+g (x )的最大值为2√3第Ⅱ卷三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.已知集合M={1,2x },N={x },若N ⊆M ,则x= ▲ . 14.已知M=a 2+4a+1,N=2a-12,则M ▲ N.(填“>”或“<”)15.已知函数f (x )对于任意的实数x ,y 满足f (x+y )=f (x )·f (y ),且f (x )恒大于0,若f (1)=3,则f (-1)= ▲ .16.已知α,β∈(0,π2),且sin α=2√23,sin (α+β)=23,则cos β= ▲ .四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)(1)化简:(3a13b-12)2·√a43÷(ab)-1(a>0,b>0).(2)计算:log53×(log325+lo g135)-lg 4-lg 250.18.(本题满分12分)在①角α的终边经过点P(1,2),②α∈(0,π2),sin α=√55,③α∈(0,π2),sin α+2cos α=√102这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并解答.问题:已知,且tan(α+β)=4,求tan β的值. 注:如果选择多个条件解答,按第一个解答计分.19.(本题满分12分)已知幂函数y=f(x)的图象经过点P(5,25).(1)求f (x )的解析式; (2)用定义法证明函数g (x )=f(x)+4x在区间(2,+∞)上单调递增.20.(本题满分12分)已知函数f (x )=log a x (a>0,且a ≠1)在区间[1,4]上的最小值为-2. (1)求a 的值;(2)若函数g (x )=f (3x+18)+m 存在零点,求m 的取值范围.21.(本题满分12分)已知函数f (x )=2a x-2-1(a>0,且a ≠1)的图象恒过定点(m ,n ).(1)若正数b ,c 满足b+2c=m+n ,求2b +1c 的最小值; (2)求关于x 的不等式x m-(a+n )x+a>0的解集.22.(本题满分12分)已知函数f (x )=√32cos (2ωx+π6)+sin 2(ωx+π3)-12(0<ω<2),且f (π4)=0.(1)求f (x )的解析式;(2)先将函数y=f (x )图象上所有的点向右平移π6个单位长度,再将所得各点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变,得到函数y=g (x )的图象.若g (x )在区间(π4-α,π4+α)上有且只有一个x 0,使得g (x 0)取得最大值,求α的取值范围.清远市2020~2021学年度高一第一学期期末教学质量检测数学参考答案1.A 因为2<log 527<3,所以f (x )的零点所在的区间为(2,3).2.B 735°=15°+2×360°.3.C f (f (1))=f (-1)=12.4.D 由题可知,该幼儿园满天星班学员人数为13+16-8=21.5.B 因为log 312>log 35>1,3-0.2<1,所以b<c<a.6.D 因为f (x )=sin x ·ln |x|(x ≠0),所以f (-x )=sin (-x )·ln |-x|=-sin x ln |x|=-f (x ),所以f (x )为奇函数,排除A ,C .当0<x<1时,f (x )<0,排除B ,故选D .7.A 因为tan 225°=tan 45°=1,sin 225°=-sin 45°=-√22,所以sin θ-cos θ=√2√1+(-√2)-√1+(-√2)=-√6+√3.8.A 由题可知,函数y=ax 2+4x+2的值域包含(0,+∞).当a=0时,符合题意;当a>0时,则Δ=42-4×2a ≥0,解得0<a ≤2;当a<0时,显然不符合题意.故实数a 的取值范围是[0,2].9.AC α+π表示将α的终边逆时针旋转180°后所得的角,α-π2表示将α的终边顺时针旋转90°后所得的角.因为α为第一象限角,所以α+π为第三象限角,α-π2为第四象限角.sin 2α=2sin αcos α>0,cos 2α=2cos 2α-1的正负符号不确定.故选A ,C .10.BC 因为-1≤sin x ≤1,所以sin x+1≥0,A 错误.由log 3x<2得0<x<9,由x 2-9x-10<0解得-1<x<10,所以“log 3x<2” 是“x 2-9x-10<0”的充分不必要条件,B 正确.全称量词命题的否定为存在性量词命题,C 正确.由2x >1解得x>0,所以“x>0”是“2x>1”的充要条件,D 错误.11.ACD 由题可知,f (0)=a-2=0,所以a=2,f (2)=22+2=6,f (-3)=-f (3)=-(32+3)=-12,A ,D 正确,B 错误.当x ≥0时,f (x )=x 2+x 单调递增,又f (x )是R 上的奇函数,所以f (x )是R 上的增函数,C 正确.12.ABD 2×π12+π3=π2,故A 正确;g (x-π6)=2cos [2(x-π6)+π6]=2cos [(2x+π3)-π2]=2sin (2x+π3),B 正确;因为x ∈(π3,2π3),所以2x+π6∈(5π6,3π2),g (x )不单调,C 错误;h (x )=2sin (2x+π3)+2cos (2x+π6)=2√3cos 2x ,故h (x )的最大值为2√3,D 正确. 13.0或1 若x=1,则M={1,2},N={1},符合条件;若2x=x ,即x=0,则M={1,0},N={0},符合条件. 14.> M-N=a 2+4a+1-2a+12=a 2+2a+32=(a+1)2+12>0,故M>N.15.13令x=y=0,则f (0)=f 2(0),解得f (0)=1或f (0)=0(舍去).令x=1,y=-1,则f (0)=f (1)·f (-1),因为f (1)=3,所以f (-1)=1.16.4√2-√59 因为α,β∈(0,π2),所以α+β∈(0,π),又因为sin (α+β)=23<sin α=2√23,所以α+β∈(π2,π),故cos α=1,cos (α+β)=-√5,cos β=cos [(α+β)-α]=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α=-√53×13+23×2√23=4√2-√59. 17.解:(1)原式=9a 23b -1·a43÷(a -1b -1)................................................... 2分=9a 23+43-(-1)b-1-(-1) ................................................................ 4分=9a 3. ......................................................................... 5分(2)原式=log 53×(2log 35-log 35)-(lg 4+lg 250) ........................................... 2分=log 53×log 35-lg 1000 ........................................................... 3分 =1-3 ......................................................................... 4分 =-2. ......................................................................... 5分18.解:选择①,因为角α的终边经过点P (1,2),所以tan α=21=2. ............................................................... 3分 又tan (α+β)=4,所以tan β=tan [(α+β)-α] ........................................... 5分=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)tanα................................................................ 8分 =4-21+4×2...................................................................... 10分 =29. ......................................................................... 12分选择②,因为α∈(0,π2),sin α=√55,所以cos α=√1-sin 2α=2√55,tan α=sinαcosα=12. ............................................ 3分 又tan (α+β)=4,所以tan β=tan [(α+β)-α] ........................................... 5分=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)tanα ................................................................ 8分 =4-121+4×12...................................................................... 10分 =76. ......................................................................... 12分选择③,因为sin α+2cos α=√102,所以(sin α+2cos α)2=sin 2α+4sin αcos α+4cos 2α=52, .................................. 1分所以4tanα+3tan 2α+1=32,解得tan α=3或tan α=-13(舍去). ....................................... 3分 又tan (α+β)=4,所以tan β=tan [(α+β)-α] ........................................... 5分=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)tanα................................................................ 8分 =4-31+4×3...................................................................... 10分 =1. ........................................................................ 12分19.(1)解:设f (x )=x a, .............................................................. 1分因为f (x )的图象经过点P (5,25),所以f (5)=5a=25,解得a=2, ................................... 3分所以f (x )=x 2. ................................................................... 4分(2)证明:由(1)可知g (x )=x 2+4x =x+4x,任取x 1,x 2∈(2,+∞),令x 1>x 2, ................................ 5分 则g (x 1)-g (x 2)=x 1+4x 1-x 2-4x 2=(x 1-x 2)x 1x 2-4x 1x 2. ............................................... 7分 因为x 1>x 2>2,所以x 1-x 2>0,x 1x 2>4, ..................................................... 8分 所以(x 1-x 2)x 1x 2-4x 1x 2>0,即g (x 1)>g (x 2), ................................................... 10分 故g (x )在区间(2,+∞)上单调递增. ................................................... 12分 20.解:(1)若a>1,则f (x )=log a x 在区间[1,4]上单调递增,则f (x )min =f (1)=0,不符合条件; ................ 2分 若0<a<1,则f (x )=log a x 在区间[1,4]上单调递减,则f (x )min =f (4)=log a 4=-2,解得a=12. ................. 5分综上,a=12. ..................................................................... 6分(2)由题可知,g (x )=f (3x+18)+m=lo g 12(3x+18)+m , .............................................. 7分因为3x+18>18,所以lo g 12(3x+18)<lo g 1218=3. ................................................ 9分因为g (x )=f (3x+18)+m 存在零点,所以3+m>0, ............................................. 11分故m 的取值范围为(-3,+∞). ....................................................... 12分 21.解:(1)因为a 0=1(a>0,且a ≠1),所以m=2,n=1, ........................................... 1分则b+2c=3,且b>0,c>0, ............................................................. 2分 所以2b +1c =13(b+2c )(2b +1c )=13(2+b c +4c b+2)≥83, ................................................ 5分当且仅当b=32,c=34时取等号. ........................................................ 6分 (2)由题可知,x m-(a+n )x+a=x 2-(a+1)x+a=(x-a )(x-1),故原不等式等价于(x-a )(x-1)>0. ..................................................... 8分 当0<a<1时,不等式的解集为(-∞,a )∪(1,+∞); ........................................... 10分 当a>1时,不等式的解集为(-∞,1)∪(a ,+∞). ............................................ 12分22.解:(1)f (x )=√32cos (2ωx+π6)+1-cos(2ωx+2π3)2-12........................................... 1分 =√32cos (2ωx+π6)+12sin (2ωx+π6) ...................................................... 2分=cos 2ωx. .................................................................... 3分因为0<ω<2,f (π4)=cosωπ2=0,所以ω=1,f (x )=cos 2x. ....................................... 4分 (2)由题可知,g (x )=2cos 2(x-π6)=2cos (2x-π3). ............................................. 5分因为g (x )在区间(π4-α,π4+α)上有且只有一个x 0,使得g (x 0)取得最大值,所以0<2α≤2π,即0<α≤π. ...................................................... 7分 因为x ∈(π4-α,π4+α),所以2x-π3∈(π6-2α,π6+2α),则π6-2α∈[-11π6,π6),π6+2α∈(π6,13π6].................................................... 8分当π6-2α<0,即α>π12时,π6+2α≤2π,故π12<α≤11π12; ....................................... 10分 当π6-2α≥0,即α≤π12时,2π<π6+2α≤13π6,故α∈⌀; ..................................... 11分 综上,α的取值范围为(π12,11π12]. ..................................................... 12分。
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一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知α是第二象限角，sinα＝ ，则cosα＝()
A．－ B．－
C. D.
解析：∵α为第二象限角，∴cosα＝－ ＝－ .
答案：A
2．已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为()
答案：B
4．已知α是锐角，a＝ ，b＝ ，且a∥b，则α为()
A．15°B．45°
C．75°D．15°或75°
解析：∵a∥b，∴sinα·cosα＝ × ，
即sin 2α＝ .
又∵α为锐角，∴0°＜2α＜180°.
∴2α＝30°或2α＝150°.
即α＝15°或α＝75°.
答案：D
5．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，若a＝e1＋e2，b＝－4e1＋2e2,则a与b的夹角为()
答案：C
12．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·(b＋c)＝()
A．0B．－
C. D．－
解析：由3a＋4b＋5c＝0，得向量3a，4b，5c能组成三角形，又|a|＝|b|＝|c|＝1，所以三角形的三边长分别是3，4，5，故三角形为直角三角形，且a⊥b，所以a·(b＋c)＝a·c＝－ .
∴(2，2)·(3，2－t)＝6＋2(2－t)＝0.
∴t＝5.
答案：5
14．已知f(x)＝sin ，若cosα＝ (0＜α＜ )，则f(α＋ )＝________．
解析：因为cosα＝ ，所以sinα＝ ；
f ＝sin ＝sin ＝ (sinα＋cosα)＝ .
答案：
15．函数f(x)＝sin2x＋ sinxcosx在区间 上的最大值是________．
当φ＝0时，y＝sin ，为非奇非偶函数；
当φ＝－ 时，y＝sin 2x，为奇函数．故选B.
答案：B
8．函数y＝xcosx＋sinx的图象大致为()
解析：当x＝ 时，y＝1＞0，排除C.
当x＝－ 时，y＝－1，排除B；或利用y＝xcosx＋sinx为奇函数，图象关于原点对称，排除B.
当x＝π时，y＝－π＜0，排除A.故选D.
解析：由f(x)＝ ＋ sin 2x
＝ ＋sin .
∵ ≤x≤ ⇒ ≤2x－ ≤ ，
∴f(x)max＝ ＋1＝ .
答案：
16．有下列四个命题：
①若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ；
②若函数y＝2cos 的最小正周期是4π，则a＝ ；
③函数y＝ 是奇函数；
A．4 cm2B．6 cm2
C．8 cm2D．16 cm2
解析：由题意得 解得
所以S＝ lr＝4(cm2)．
答案：A
3．已知sin(π＋α)＝ ，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是()
A．－ B.
C．± D.
解析：由已知sinα＝－ ，而α为第四象限角，
所以cosα＝ ＝ ，
所以cos(α－2π)＝cosα＝ .
答案：D
11．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(11)的值等于()
A．2B．2＋
C．2＋2 D．－2－2
解析：由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A＝2，φ＝0， ＝8，从而f(x)＝2sin x.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(11)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2sin ＋2sin ＋2sin ＝2＋2 .
答案：D
7．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为()
A. B.
C．0D．－
解析：y＝sin(2x＋φ)
y＝sin ＝sin .
当φ＝ 时，y＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，为奇函数；
当φ＝ 时，y＝sin ＝cos 2x，为偶函数；
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
13．在平面直角坐标系xOy中，已知 ＝(－1，t)， ＝(2，2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．
解析：∵∠ABO＝90°，∴ ⊥ ，∴ · ＝0.
又 ＝ － ＝(2，2)－(－1，t)＝(3，2－t)，
②若函数y＝2cos 的最小正周期是4π，则a＝ ；
③函数y＝ 是奇函数；
④函数y＝|sinx－ |的周期是π；
⑤函数y＝sinx＋sin|x|的值域是[0，2]．
其中正确命题的个数为()
A．3B．2
C．1D．0
解析：对于①来说，取α＝390°，β＝60°，均为第一象限角，而sin 60°＝ ，sin 390°＝sin 30°＝ ，故sinα＜sinβ，故①错误；对于②，由三角函数的最小正周期公式T＝ ＝4π，得a＝± ，故②错误；对于③，该函数的定义域为{x|sinx－1≠0}＝ ，因定义域不关于原点对称，故没有奇偶性，故③错误；对于④，记f(x)＝|sinx－ |.若T＝π，则有f ＝f ，而f ＝ ＝1.5，f ＝ ＝0.5，显然不相等，故④错误；对于⑤，y＝sinx＋sin |x|＝ ，而当f(x)＝2sinx(x≥0)时，－2≤2sinx≤2，故函数y＝sinx＋sin |x|的值域为[－2，2]，故⑤错误；综上可知选D.
A．30°B．60°
C．120°D．150°
解析：依据题意a·b＝－3，|a|·|b|＝ ×2 ＝6，cos〈a，b〉＝－ ，故a与b的夹角为120°.
答案：C
6．已知cos ＝－ ，且x是第三象限角，则 的值为()
A．－ B．－
C. D.
解析：因为x是第三象限角，所以π＋2kπ＜x＜ ＋2kπ，k∈Z，所以 ＋2kπ＜x＋ ＜ ＋2kπ，k∈Z，所以sin ＜0，而cos ＝－ ，所以sin ＝－ ＝－ ，故 ＝ ＝tan ＝ ＝ ，选D.
答案：D
9．已知|p|＝2 ，5p＋2q， ＝p－3q，D为BC的中点，则| |为()
A. B.
C．7D．18
解析：∵ ＝ ( ＋ )＝ (5p＋2q＋p－3q)＝ (6p－q)，
∴| |＝ ＝
＝
＝ ＝ .
答案：A
10．给出以下命题：
①若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ；