线性代数第二章答案讲课稿
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第二章 矩阵及其运算
1. 已知线性变换:
⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3
213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.
解 由已知:
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=3
21332123
211423736947x x x y x x x y x x x y .
2. 已知两个线性变换
⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=3
2133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=3233122
11323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.
解 由已知
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3
213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .
3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T .
4. 计算下列乘积:
(1)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛123)321(;
解 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10). (3))21(312-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=632142.
(4)⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-204131
21013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20
413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876. (5)⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛321x x x
322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.
5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121
A , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2101B , 问:
(1)AB =BA 吗?
解 AB ≠BA .
因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443
AB , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA . (2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗?
解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.
因为⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+5222
B A , ⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2.
(3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗?
解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.
因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222
B A , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-1020B A ,
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.
6. 举反列说明下列命题是错误的:（也可参考书上的答案）
(1)若A 2=0, 则A =0;
解 取⎪⎭
⎫ ⎝⎛=0010
A , 则A 2=0, 但A ≠0.