二次函数最值知识点总结典型例题及习题
必修一二次函数在闭区间上的最值
一、 知识要点：
一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
设f x ax bx c a ()()=++≠2
0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a
ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2
当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：
（1）当[]
-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-?b a
m n 2，时 若-
m 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a
<-2，由f x ()在[]
m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。
二、例题分析归类：
（一）、正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成
为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上
的最值”。
例1. 函数y x x =-+-2
42在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
练习. 已知
232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
2、轴定区间变
二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间
上的最值”。
例2. 如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[]
t t ，+1上，求f x ()的最值。
例3. 已知2()43f x x x =--+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最值．
对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：
当a >0时???????+<-+≥-=))((212)())((212)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ????
?????<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f
当a <0时????
?????<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+???????，，如图如图212212910
3、轴变区间定 二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况
是“动二次函数在定区间上的最值”。
例4. 已知x 21≤，且a -≥20，求函数f x x ax ()=++2
3的最值。
例5. (1) 求2f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。
(2) 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。
4. 轴变区间变
二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间
上的最值”。
例6. 已知24()(0),y a x a a =->，求22(3)u x y =-+的最小值。
（二）、逆向型
是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。
例7. 已知函数2
()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。
例8.已知函数2
()2
x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的值。
例9. 已知二次函数2f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间3,22??-
????
上的最大值为3，求实数a 的值。
次函数在闭区间上的最值专题演练
1．函数y 12++=x x 在]1,1[-上的最小值和最大值分别是 （ ）
)(A 1 ,3 )
(B 43 ,3 （C ）21- ,3 （D ）41-, 3 2．函数242-+-=x x y 在区间]4,1[ 上的最小值是 （ ）)(A 7-
)(B 4- )(C 2- )(D 2
3．函数5
482+-=x x y 的最值为 （ ） )(A 最大值为8，最小值为0 )(B 不存在最小值，最大值为8
（C ）最小值为0, 不存在最大值 )(D 不存在最小值，也不存在最大值
4．若函数]4,0[,422∈+--=x x x y 的取值范围是______________________
5．已知函数f x ax a x a ()()()[]=+---
22130322≠在区间，上的最大值是1，则实数a 的值为_____________.
6．已知函数322+-=x x y 在闭区间],0[m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是
（ ）
(A) ),1[+∞ (B) ]2,0[ (C) ]2,1[ (D) ]2,(-∞
7．设),](1,[,44)(2R t t t x x x x f ∈+∈--=求函数)(x f 的最小值.
8. 已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围。
9. 若函数2()(2)2(2)40f x a x a x x R =-+--<∈对一切恒成立，则a 的取值范围（ ）
A.(,2]-∞
B.[2,2]-
C.(2,2]-
D.(,2)-∞- 10.. 已知函数2()442f x x ax =++∞在(-,0]内单调递减，则a 取（ ）
A.3a ≥
B.3a ≤
C.a <-3
D.a 3≤- 11. 已知函数2()f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，求k 的取值范围。
12. 已知函数2()23f x x x =-+在[0,m]上有最大值是3，最小值是2，求m 的取值范围。
13. 已知函数()f x =的最大值为M ，最小值为m ，则M+m=________.
14. 已知函数22()44f x x ax a =-+-2a+2在[0,2]上的最小值为3，求a 的值。
15.求函数2()2f x x x =-++3的单调区间。
16. 已知函数2()26f x x x =-+在下列定义域上的值域：
（1）定义域为{x Z ∈︱03}x ≤≤ （2）定义域为[-2,1].
17. 已知函数2()3,f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-，有()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围。
18. 已知函数2()f x x =，2,x a -≤≤其中2a ≥，求该函数的最大值与最小值。
19已知二次函数2()6f x x x a =-++的函数值总为负数，求a 的取值范围。
20. 已知二次函数2()(6)2(1)1f x m x m x m =++-++的图像与x 轴总有交点，求m 的取值范围。
21. 已知二次函数2()(1)3f x x m x m =+-++顶点在y 轴上，求m 的值。
22. 已知函数22()()2f x mx m m x =+-+的图像关于y 轴对称，求m 的值。
23. 已知函数2()(2)2(2)40f x a x a x =-+--<对一切x 恒成立，求m 的取值范围。
24. 已知函数2()4,(13)f x x ax x =-≤≤是单调增函数，求实数a 的取值范围。
25. 已知函数2()1f x x ax =-+有负值，求a 的取值范围。
26. 已知函数2()(2)32f x m x m =---的图像在x 轴下方，求m 的值。
27. 已知函数2()10f x x ax =++≥对于一切1(0,]2x ∈成立，求a 的取值范围。
28. 已知函数2()23f x x mx =-+，当(,1]x ∈-∞-时是减函数，求m 的取值范围。
29已知函数()f x =
R ，求a 的取值范围。
30.已知函数2()426()f x x ax a x R =-++∈的值域为[0,]+∞，求a 的值。
31. . 已知函数2()4f x x x m =-≥对于(0,1]x ∈恒成立，，求m 的取值范围。
32. . 已知函数2()f x x bx c =++在[0,)+∞上是单调函数，则b 的取值范围。
33.已知函数2()2(2)2(2)f x x a x a a =-++>，求在[0,2]上的最小值。
34. .已知函数2()2(2)2f x x a x a =-++，在[0,2]上是单调函数，求a 的取值范围。
35.已知函数2()2(2)2f x x a x a =-++，在[,2]t t +上是偶函数，求a 的取值范围。
36.当a=-2时，求.函数2()2(2)2f x x a x a =-++在[,2]t t +上的最小值。
37. 已知函数()f x =
R ，求a 的取值范围。
38. 已知函数2()21f x x ax =++，求[2,1]x ∈-上的最值。
39. 已知函数2()21f x x x =+-，求[,1]x m m ∈+上的最值。
40. 已知函数2()21f x x ax a =-++-，[0,1]x ∈上的最值为2，求a 的值。
41. 已知函数2()22f x x x =++：
（1）若x R ∈，求f(x)的最小值。
（2）若[1,3]x ∈，求f(x)的最小值。
（3）若[,2],x a a a R ∈+∈，求f(x)的最小值。
43. 已知函数2()21f x kx kx =++，求[3,2]x ∈-上的最值。
44. 已知函数221()334f x x x b =--+
+，求[,],(0)x b b b ∈->上的最值。
45. 已知函数()()1f x x x t =--+，求[1,1]x ∈-上的最值。
46. 已知函数2()(21)3f x ax a x =+--，求3[,2]2x ∈-上的最大值。
47. 已知函数2()3f x x ax =++，求[0,1]x ∈上的最值。
48. 已知函数()()f x x x a =--，求[1,]x a ∈-上的最大值。
49. 已知函数2()21f x x ax =++，在[1,2]x ∈-上的最大值为4，求a 的值。
50. 若不等式2296260x ax a a -+--≥在1133
x -
≤≤内恒成立，求a 的取值范围。
51. 已知函数2()23f x x x =++，求[,1]x t t ∈+上的最值。
52. 已知函数2()25f x ax ax =-+，求[0,3]x ∈上的最值。
53. 已知函数2()23f x x ax =--+，求[3,1]x ∈-上的最值。
54. 已知函数2()38f x ax x =-+，求[2,]x ∈-+∞上的最值。
56. 已知函数22()(21)1f x x t x t =+++-，当t 取何值时，函数的最小值为0.
57. 已知函数2()21f x x tx =-+，求[1,1]x ∈-上的最大值。
58. 已知函数2()4f x x x a =-+，在[0,6]x ∈上的最大值为13，求a 的值。
59. 已知函数2()24f x x ax =-+，在[0,3]x ∈上的最小值为1，求a 的值。
60. 已知函数2()24f x x ax =-+，在[1,3]x ∈上的最大值为13，求a 的值。
61. 已知函数2()24f x x ax =-+，在[1,3]x ∈上的值域。
62. 已知函数2()1030f x x x =-+，在[,3]x a a ∈+上的最小值为6，求a 的值。
63. 已知函数2()1030f x x x =-+，求在[,3]x a a ∈+上的最小值。
64．已知)(x f 2
2a ax x +-=，在区间]1,0[上的最大值为)(a g ，求)(a g 的最小值。
二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)
二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x
7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值围. 二次函数知识点归纳及提高训练 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧； ③0c ,与y 轴交于正半轴；③0 二次函数知识点总结 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项 系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2 =+的性质： y ax c 结论：上加下减。 总结： 3. ()2 =-的性质： y a x h 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 =-+的性质： y a x h k 总结： 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法 如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.二次函数知识点大全
初三.二次函数知识点总结
二次函数知识点总结及典型题目