二次函数典型例题——旋转

二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题

二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数图像平移、旋转总归纳一、二次函数的图象的平移，先作出二次函数y=2x2+1的图象①向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2+4；②向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2-3；③向左平移5个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x+5）2+1；④向右平移6个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x-6）2+1．由此可以归纳二次函数y=ax2+c 向上平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax2+c+m；向下平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax+c-m；向左平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x+n）2+c；向右平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x-n）2+c，二、二次函数的图象的翻折在一张纸上作出二次函数y=x2-2x-3的图象，⑤沿x轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是:y=x2+2x-3．⑥沿y轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是：y=x2+2x-3由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c若沿x轴翻折，所得图象的函数表达式是:y=-ax2-bx-c，若沿y轴翻折，所得图象的函数表达式是：y=ax2-bx+c三、二次函数的图象的旋转，将二次函数y=-2x+x-1的图象，绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=22122 1x-x+1；由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=-ax2-bx-c．（备用图如下）1、（201*桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3围着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y=-（x+1）2+2 B．y=-（x－1）2+4C．y=-（x－1）2+2D．y=-（x+1）2+42、（201*浙江宁波中考）把二次函数y＝（x－1）2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为________．3、飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是s=60t-1.5t2，飞机着陆后滑行的最远距离是（）A．600m B．300mC．1200mD．400m4、（201*襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．5、已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于点（－2，0），(x1，0)且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，以下结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c0时，函数开口方向向上；当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而削减；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当a0时，函数有最小值，并且当x=，y最小＝4a2a4acb2b当a0时，当x为何值时，y=0；当x为何值时，y考点7.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标。

2023年中考数学总复习专题18二次函数与旋转变换综合问题(学生版)

专题18二次函数与旋转变换综合问题【例1】（2022•凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A （﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣4分别与x，y轴交于点A，B，抛物线y＝x2+bx+c恰好经过这两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点C的坐标是（0，6），将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A 的对应点是点E．①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；②若点P是y轴上的任一点，求BP+EP取最小值时，点P的坐标．【例3】．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y 轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【例4】．（2022•河池）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；（3）若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．一．解答题（共20小题）1．（2022•碑林区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣6），顶点为D（﹣2，2）．（1）求抛物线W1的表达式；（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°得到抛物线W2，抛物线W2的顶点为D′，在抛物线W2上是否存在点M，使S△D′AD＝S△D′DM？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022•双流区模拟）如图，抛物线C：y＝ax2+6ax+9a﹣8与x轴相交于A，B两点（点A 在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D．（1）求a的值及顶点D的坐标；（2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转180°后得到抛物线C1，记抛物线C1的顶点为E，抛物线C1与x轴的交点为F，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线C1的表达式；（3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线C1为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标．3．（2022•灞桥区校级模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+6与x 轴、y轴的交点分别为A、B，其中点C是x轴上一点，OC＝3．（1）求过A、B、C三点的抛物线L的解析式；（2）将抛物线L绕着点O旋转180°得到抛物线L1，抛物线L1与x轴交于F点、E点（点F在点E的左侧），与y轴交于点M，则抛物线L1的对称轴上是否存在一点Q，使|QF﹣QM|的值最大？若存在，求出点Q的坐标及其最大值，若不存在，请说明理由．4．（2022•莲湖区二模）已知抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线W1的表达式；（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，点M为W2上的一点，当△D'DM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标．5．（2022•深圳三模）已知抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，交x轴于另一点B．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分∠ADP时，求P点坐标；（3）将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N 分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点．①直线EF的解析式是；②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是．6．（2022•无锡二模）二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）．（1）求此二次函数的表达式；（2）①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标；②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标；（3）已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标．7．（2022•沙湾区模拟）如图，抛物线f（x）：y＝a（x+1）（x﹣5）与x轴交于点A、B（点A 位于点B左边），与y轴交于点C（0，．（1）求抛物线f（x）的解析式；（2）作点C关于x轴的对称点C'，连接线段AC，作∠CAB的平分线AE交抛物线于点E，将抛物线f（x）沿对称轴向下平移经过点C'得到抛物线f'（x）．在射线AE上取点F，连接FC，将射线FC绕点F逆时针旋转120°交抛物线f'（x）于点P．当△ACF为等腰三角形时，求点P的横坐标．8．（2022•灌南县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为M，连接MA，MC，AC，过点C作y轴的垂线l．（1）求该抛物线的表达式；（2）直线l上是否存在点N，使得S△MBN＝2S△MAC？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，若将原抛物线绕点C逆时针旋转45°，求新抛物线与y轴交点P坐标．9．（2022•红花岗区三模）如图（1），△ABC中，AC＝BC＝6，∠C＝90°，点P在线段AC 上，从C点向A点运动，∠PBE＝90°，BP＝BE，PE交BC于点D，完成下列问题：（1）①点E到BC边的距离为；②若CD＝x，△BDE的面积为S，则S与x的函数关系式为；（不写自变量取值范围）（2）当△BDE的面积为15时，若PC＜AC，以C为原点，AC、BC所在直线分别为x、y轴建立坐标系如图（2），抛物线C1过点A、D、B；①点Q在抛物线C1上，且位于线段PB的下方，过点Q作QN⊥PB，垂足为点N，是否存在点Q，使得QN最长，若存在，请求出QN的长度和Q点坐标；若不存在，请说明理由；②将抛物线C1绕原点C旋转180°，得到抛物线C2，当﹣2a≤x≤﹣a时（a＞0），抛物线C2有最大值2a，求a值．10．（2022•乳源县三模）如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为抛物线上第二象限内的一个动点，点M为线段CO上一动点，当△APC的面积最大时，求△APM周长的最小值；（3）如图2，将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y'，在新抛物线y'的对称轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．11．（2021秋•亭湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣3），与x轴的交点为B、C，直线l：y＝2x+2与抛物线相交于点C，与y轴相交于点D，P是直线l下方抛物线上一动点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）过点P作线段PM∥x轴，与直线l相交于点M，当PM最大时，求点P的坐标及PM的最大值；（3）把抛物线绕点O旋转180°，再向上平移使得新抛物线过（2）中的P点，E是新抛物线与y轴的交点，F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以B、E、F、G为顶点、BF为边的四边形是菱形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来．12．（2021秋•北京期中）定义：如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，则称抛物线C1与C2关联．例如，如图，抛物线y＝x2的顶点（0，0）在抛物线y＝﹣x2+2x上，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点（1，1）也在抛物线y＝x2上，所以抛物线y＝x2与y＝﹣x2+2x关联．（1）已知抛物线C1：y＝（x+1）2﹣2，分别判断抛物线C2：y＝﹣x2+2x+1和抛物线C3：y＝2x2+2x+1与抛物线C1是否关联；（2）抛物线M1：的顶点为A，动点P的坐标为（t，2），将抛物线M1绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线M2，若抛物线M1与M2关联，求抛物线M2的解析式；（3）抛物线M1：的顶点为A，点B是与M1关联的抛物线的顶点，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°得到线段AB1，若点B1恰好在y轴上，请直接写出点B1的纵坐标．13．（2021•锡山区一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c的顶点为M，对称轴是直线x＝1，与x轴的交点为A（﹣3，0）和B，将抛物线y＝x2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，点M1、A1为点M、A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．（1）写出点B的坐标及求原抛物线的解析式；（2）求证A，M，A1三点在同一直线上；（3）设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM1MD 的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积；如果不存在，请说明理由．14．（2022秋•道里区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x+3交x轴于点A，y轴于点D，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）P在第三象限抛物线上，P点横坐标为t，连接AP、DP，△APD的面积为s，求s 关于t的函数关系式；（不要求写自变量t的取值范围）（3）在（2）的条件下，PD绕点P逆时针旋转，与线段AD相交于点E，且∠EPD＝2∠PDC，过点E作EF⊥PD交PD于G，y轴于点F，连接PF，若，求线段PF的长．15．（2022秋•大兴区期中）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是平行四边形，点A（4，0），∠AOC＝60°，点C的纵坐标为，点D是边BC上一点，连接OD，将线段OD绕点O逆时针旋转60°得到线段OE．给出如下定义：如果抛物线y＝ax2+bx（a≠0）同时经过点A，E，则称抛物线y＝ax2+bx（a≠0）为关于点A，E的“伴随抛物线”．（1）如图1，当点D与点C重合时，点E的坐标为，此时关于点A，E的“伴随抛物线”的解析式为；（2）如图2，当点D在边BC上运动时，连接CE．①当CE取最小值时，求关于点A，E的“伴随抛物线”的解析式；②若关于点A，E的“伴随抛物线”y＝ax2+bx（a≠0）存在，直接写出a的取值范围．16．（2020秋•天心区期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝﹣x2+bx+c 与x轴相交于A，B两点，顶点为D，其中A（﹣4，0），B（4，0），设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'．（1）求抛物线C的函数解析式；（2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．17．（2022•大庆模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F 在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．18．（2022•苏州一模）如图，二次函数y＝x2+bx+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣8，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b＝，点B的坐标是；（2）连接AC、BC，证明：∠CBA＝2∠CAB；（3）点D为AC的中点，点E是抛物线在第二象限图象上一动点，作DE，把点A沿直线DE翻折，点A的对称点为点G，点E运动时，当点G恰好落在直线BC上时，求E 点的坐标．19．（2022•大连模拟）已知抛物线G：y＝（m+1）x2+2（n﹣1）x+n+1（m≠﹣1，m为常数）的对称轴与直线y＝kx+k（k＞0，k为常数）相交于x轴上一点P．（1）求m与n的数量关系；（2）若直线y＝kx+k与y轴交于点Q，且OQ＝OP，①把直线y＝kx+k绕点Q顺时针旋转45°得到的直线与抛物线G相交于A、B两点，若AB＝4，求m的值；②将直线y＝kx+k向上平移2k个单位，得到的直线与抛物线G的两个交点的横坐标x1，x2满足﹣2＜x1＜x2＜2，求m的取值范围．20．（2021•兰州）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．。

专题05二次函数中的平移、旋转、对称(五大题型)解析版

专题05二次函数中的平移、旋转、对称（五大题型）通用的解题思路：1.二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.3.二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。

4.二次函数图象的翻折与旋转y=a(x-h)²+k绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-k a、h、k 均变号沿x 轴翻折y=-a(x-h)²-k a、k 变号，h 不变沿y 轴翻折y=a(x+h)²+ka、h 不变，h 变号题型一：二次函数中的平移问题1．（2024•牡丹区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21(0)y ax bx a a=+-<与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）．（2）当B 的纵坐标为3时，求a 的值；（3）已知点11(,2P a-，(2,2)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，请结合函数图象求出a 的取值范围．【分析】（1）令0x =，求出点A 坐标根据平移得出结论；（2）将B 的纵坐标为3代入求出即可；（3）由对称轴为直线1x =得出212y ax ax a =--，当2y =时，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，结合图象得出结论；【解答】解：（1）在21(0)y ax bx a a =+-<中，令0x =，则1y a =-，∴1(0,)A a-，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，则1(2,)B a-．（2）B 的纵坐标为3，∴13a-=，∴13a =-．（3）由题意得：抛物线的对称轴为直线1x =，2b a ∴=-，∴212y ax ax a=--，当2y =时，2122ax ax a=--，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，当|1|2a a a -+≤时，结合函数图象可得12a ≤-，抛物线与PQ 恰有一个公共点，综上所述，a 的取值范围为12a ≤-．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．2．（2024•平原县模拟）已知抛物线212:23C y ax ax a =++-．（1）写出抛物线1C 的对称轴：．（2）将抛物线1C 平移，使其顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，且抛物线2C 经过点(2,2)A --和点B （点B 在点A 的左侧），若ABO ∆的面积为4，求点B 的坐标．（3）在（2）的条件下，直线1:2l y kx =-与抛物线2C 交于点M ，N ，分别过点M ，N 的两条直线2l ，3l 交于点P ，且2l ，3l 与y 轴不平行，当直线2l ，3l 与抛物线2C 均只有一个公共点时，请说明点P 在一条定直线上．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式直接可得出答案．（2）根据抛物线2C 的顶点坐标在原点上可设其解析式为2y ax =，然后将点A 的坐标代入求得2C 的解析式，于是可设B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，利用4ABO OBN OAM ABNM S S S S ∆∆∆=--=梯形可求得t 的值，于是可求得点B 的坐标．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立抛物线与直线1l 的方程可得出12x x k +=-，124x x =-．再利用直线2l 、直线3l 分别与抛物线相切可求得直线2l 、直线3l 的解析式，再联立组成方程组可求得交点P 的纵坐标为一定值，于是可说明点P 在一条定直线上．【解答】解：（1）抛物线1C 的对称轴为：212ax a=-=-．故答案为：1x =-．故答案为：1x =-．（2）抛物线1C 平移到顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，∴可设抛物线2C 的解析式为：2y ax = 点(2,2)A --有抛物线2C 上，22(2)a ∴-=⋅-，解得：12a =-．∴抛物线2C 的解析式为：212y x =-．点B 在抛物线2C 上，且在点A 的左侧，∴设点B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，如图，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为点M 、N ．ABO OBN OAM ABNMS S S S ∆∆∆=-- 梯形2211111()()22(2)(2)22222t t t t =⨯-⨯-⨯⨯-⨯+⨯--32311122424t t t t =--++++212t t =+，又4ABO S ∆=，∴2142t t +=，解得：13t +=±，4(2t t ∴=-=不合题意，舍去），则2211(4)822t -=-⨯-=-，(4,8)B ∴--．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组：2122y xy kx ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，整理得：2240x kx +-=，122x x k ∴+=-，124x x =-．设过点M 的直线解析式为y mx n =+，联立得方程组212y xy mx n⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，整理得2220x mx n ++=．①过点M 的直线与抛物线只有一个公共点，∴△2480m n =-=，∴212n m =．∴由①式可得：221112202x mx m ++⨯=，解得：1m x =-．∴2112n x =．∴过M 点的直线2l 的解析式为21112y x x x =-+．用以上同样的方法可以求得：过N 点的直线3l 的解析式为22212y x x x =-+，联立上两式可得方程组2112221212y x x x y x x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得1212212x x x y x x +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，12x x k +=- ，124x x =-．∴(,2)2k P -∴点P 在定直线2y =上．（如图）【点评】本题考查了抛物线的对称轴、求二次函数的解析式、解一元二次方程、一元二次方程的根的情况、求直线交点坐标等知识点，解题的关键是利用所画图形帮助探索解法思路．3．（2024•和平区一模）已知抛物线21(y ax bx a =+-，b 为常数．0)a ≠经过(2,3)，(1,0)两个点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）抛物线的顶点为；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法即可求解；（Ⅱ）根据抛物线的顶点式即可求得；（Ⅲ）利用平移的规律即可求得．【解答】解：（1）抛物线21y ax bx =+-经过(2,3)，(1,0)两个点，∴421310a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为21y x =-；（Ⅱ）抛物线21y x =-，∴抛物线的顶点为(0,1)-，故答案为：(0,1)-；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线2(1)12y x =---，即2(1)3y x =--．故答案为：2(1)3y x =--．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．4．（2024•礼县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，且过点(1,2)B -，(3,0)C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求ABC ∆的面积；（3）将抛物线向左平移(0)m m >个单位，当抛物线经过点B 时，求m的值．【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求出点A 的坐标，然后切成直线BC 的解析式，求出点D 的坐标，再根据ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+求出ABC ∆的面积；（3）由（1）解析式求出对称轴，再求出点B 关于对称轴的对称点B '，求出BB '的长度即可；【解答】解：（1）把(1,2)B -，(3,0)C 代入23y ax bx =++，则933032a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数解析式为211322y x x =-++；（2）抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，(0,3)A ∴，设直线BC 的解析式为y kx n =+，把(1,2)B -，(3,0)C 代入y kx n =+得230k n k n -+=⎧⎨+=⎩，解得1232k n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BC 的解析式为1322y x =-+，设BC 交y 于点D，如图：则点D 的坐标为3(0,)2，33322AD ∴=-=，113()(31)3222ABC ABD ACD C B S S S AD x x ∆∆∆∴=+=-=⨯⨯+=，（3）211322y x x =-++ ，∴对称轴为直线122b x a =-=，令B 点关于对称轴的对称点为B '，(2,2)B ∴'，3BB ∴'=，抛物线向左平移(0)m m >个单位经过点B ，3m ∴=．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、三角形面积等知识，关键是掌握二次函数的性质和平移的性质．5．（2024•珠海校级一模）已知抛物线223y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）化成顶点是即可求解；（2）根据平移的规律得到2(1)4y x m =-+-+，把原点代入即可求得m 的值．【解答】解：（1）2223(1)4y x x x =+-=+- ，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)--．（2）该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，得到的新抛物线对应的函数表达式为2(1)4y x m =+--，新抛物线经过原点，20(01)4m ∴=+--，解得3m =或1m =-（舍去），3m ∴=，故m 的值为3．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求得平移后的抛物线的解析式是解题的关键．6．（2024•关岭县一模）如图，二次函数212y x bx c =++与x 轴有两个交点，其中一个交点为(1,0)A -，且图象过点(1,2)B ，过A ，B 两点作直线AB ．（1）求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；（2）将二次函数212y x bx c =++向左平移1个单位，得函数2y =；函数2y 与坐标轴的交点坐标为；（3）在（2）的条件下，将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后与函数2y 的图象有唯一交点，求n 的值．【分析】（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式即可求出b 、c 值，再转化为顶点式即可；（2）根据抛物线平移规则“左加右减”得到2y 解析式，令20y =求出与x 轴的交点坐标即可；（3）利用待定系数法求出直线AB 解析式，再根据直线平移法则“上加下减”得到直线平移后解析式，联立消去y ，根据判别式为0解出n 值即可．【解答】解：（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式得：2022b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得11b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为2219212()48y x x x =+-=+-．∴抛物线解析式为：21192()48y x =+-．（2）将二次函数1y 向左平移1个单位，得函数22592()48y x =+-，令20y =，则2592(048x +-=，解得112x =-，22x =-，∴平移后的抛物线与x 轴的交点坐标为1(2-，0)(2-，0)．故答案为：22592()48y x =+-，1(2-，0)(2-，0)．（3）设直线AB 的解析式为y kx b =+，将(1,0)A -，点(1,2)B 代入得：02k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 解析式为：1y x =+．将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后的解析式为1y x n =+-，与函数2y 联立消去y 得：2592(148x x n +-=+-，整理得：22410x x n +++=，直线AB 与抛物线有唯一交点，△1642(1))0n =-⨯+=，解得1n =．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握函数的平移法则是解答本题的关键．7．（2024•温州模拟）如图，直线122y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，抛物线2y x mx =-+经过点A ．（1）求点B 的坐标和抛物线的函数表达式．（2）若抛物线向左平移n 个单位后经过点B ，求n 的值．【分析】（1）由题意可得点A 、B 的坐标，利用待定系数法求解二次函数的表达式即可解答；（2）根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的抛物线的表达式，再代入B 的坐标求解即可．【解答】解：（1）令0x =，则1222y x =-+=，(0,2)B ∴，令0y =，则1202y x =-+=，解得4x =，(4,0)A ∴，抛物线2y x mx =-+经过点A ，1640m ∴-+=，解得4m =，∴二次函数的表达式为24y x x =-+；（2）224(2)4y x x x =-+=--+ ，∴抛物线向左平移n 个单位后得到2(2)4y x n =--++，经过点(0,2)B ，22(2)4n ∴=--++，解得2n =±，故n 的值为2-2+【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征等知识，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解答的关键．8．（2024•巴东县模拟）已知二次函数2y ax bx c =++图象经过(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -三点．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数2y ax bx c =++图象平移使其经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，求平移后的二次函数的解析式．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式．【解答】解：（1）把(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -代入2y ax bx c =++，得：4239366a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴该二次函数的解析式为223y x x =-+；（2）若将该二次函数2y ax bx c =++图象平移后经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，设平移后的二次函数的解析式为2(4)y x k =-+，将点(5,0)D 代入2(4)y x k =-+，得2(54)0k -+=，解得，1k =-．∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为22(4)1815y x x x =--=-+．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键．9．（2024•郑州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y x m =+经过点A ，判断点B 是否在直线y x m =+上，并说明理由；（3）平移抛物线2y x bx c =-++使其顶点仍在直线y x m =+上，若平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为n ，求n 的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）利用待定系数法求得直线y x m =+的解析式，然后代入点B 判断即可；（3）设平移后的抛物线为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +，根据题意得出2221511()24n p q p p p =-++=-++=-++，得出n 的最大值．【解答】解：（1）抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ，∴12421b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得21b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：221y x x =-++；（2）点B 不在直线y x m =+上，理由：直线y x m =+经过点A ，12m ∴+=，1m ∴=，1y x ∴=+，把2x =代入1y x =+得，3y =，∴点(2,1)B 不在直线y x m =+上；（3）∴平移抛物线221y x x =-++，使其顶点仍在直线1y x =+上，设平移后的抛物线的解析式为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +，顶点仍在直线1y x =+上，11p q ∴+=+，p q ∴=，抛物线2()1y x p q =--++与y 轴的交点的纵坐标为21n p q =-++，2221511(24n p q p p p ∴=-++=-++=-++，∴当12p =-时，n 有最大值为54．54n ∴ ．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．10．（2024•鞍山模拟）已知抛物线2246y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）将二次函数的解析式改写成顶点式即可．（2）将抛物线与x 轴的交点平移到原点即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，2222462(21)82(1)8y x x x x x =+-=++-=+-，所以抛物线的顶点坐标为(1,8)--．（2）令0y =得，22460x x +-=，解得11x =，23x =-．又因为将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，所以30m -+=，解得3m =．故m 的值为3．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟知利用配方法求二次函数解析式的顶点式及二次函数的图象与性质是解题的关键．11．（2023•原平市模拟）（1）计算：3211()(5)|2|3--+---⨯-；（2）观察表格，完成相应任务：x3-2-1-012221A x x =+-21-2-1-①72(1)2(1)1B x x =-+--721-2-②2任务一：补全表格；任务二：观察表格不难发现，当x m =时代数式A 的值与当1x m =+时代数式B 的值相等，我们称这种现象为代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1：换个角度来看，将代数式A ，B 变形，得到(A =③2)2-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象④（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式P =⑤．【分析】（1）先算乘方，负整数指数幂，绝对值，再算乘法，最后算加减法即可求解；（2）①把1x =分别代入代数式A ，B 即可求得；②根据代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1，即可得出二次函数A 、B 平移的规律是向右平移1个单位，据此即可得出代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3的P 的代数式．【解答】解：（1）原式19(5)2=-+--⨯19(10)=-+--1910=-++18=；（2）任务一：将1x =代入2212A x x =+-=；代入2(1)2(1)11B x x =-+--=-，故答案为：①2，②1-；任务二：将代数式A ，B 变形，得到2(1)2A x =+-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象向右平移1个单位（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式22(13)2(2)2P x x =+--=--．故答案为：①2；②1-；③1x +；④向右平移1个单位；⑤2(2)2P x =--．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，理解题意，能够准确地列出解析式，并进行求解即可．12．（2024•南山区校级模拟）数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数2(||1)y x =--进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：【观察探究】：方程2(||1)1x --=-的解为：；【问题解决】：若方程2(||1)x a --=有四个实数根，分别为1x 、2x 、3x 、4x ．①a 的取值范围是；②计算1234x x x x +++=；【拓展延伸】：①将函数2(||1)y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；②观察平移后的图象，当123y时，直接写出自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据图象即可求得；（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数21(|21)3y x =---+的图象，根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）观察探究：①由图象可知，当函数值为1-时，直线1y =-与图象交点的横坐标就是方程2(||1)1x --=-的解．故答案为：2x =-或0x =或2x =．（2）问题解决：①若方程2(|1)x a --=有四个实数根，由图象可知a 的取值范围是10a -<<．故答案为：10a -<<．②由图象可知：四个根是两对互为相反数．所以12340x x x x +++=．故答案为：0．（3）拓展延伸：①将函数2(||1)y x =--的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象，②当123y 时，自变量x 的取值范围是04x ．故答案为：04x．【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．13．（2023•花山区一模）已知抛物线2y x ax b =++的顶点坐标为(1,2)．（1）求a ，b 的值；（2）将抛物线2y x ax b =++向下平移m 个单位得到抛物线1C ，存在点(,1)c 在1C 上，求m 的取值范围；（3）抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，直线(2)y n n =>与抛物线2y x ax b =++相交于A 、B （点A 在点B 的左侧），与2C 相交于点C 、D （点C 在点D 的左侧），求AD BC -的值．【分析】（1）根据对称轴公式以及当1x =时2y =，用待定系数法求函数解析式；（2）根据（1）可知抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，再由平移性质得出抛物线1C 解析式，然后把点(,1)c 代入抛物线1C ，再根据方程有解得出m 的取值范围；（3）先求出抛物线2C 解析式，再求出A ，B ，C ，D 坐标，然后求值即可．【解答】解：（1）由题意得，1212aa b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得23a b =-⎧⎨=⎩；（2）由（1）知，抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，将其向下平移m 个单位得到抛物线1C ，∴抛物线1C 的解析式为2(1)2y x m =-+-，存在点(,1)c 在1C 上，2(1)21c m ∴-+-=，即2(1)1c m -=-有实数根，10m ∴- ，解得1m，m ∴的取值范围为1m；（3）抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，2(13)2k ∴-+=，解得2k =-，∴抛物线2C 的解析式为2(3)2y x =--，把(2)y n n =>代入到2(1)2y x =-+中，得2(1)2n x =-+，解得1x =1x =(1A ∴-，)n ，(1B +)n ，把(2)y n n =>代入到2(3)2y x =--中，得2(3)2n x =--，解得3x =或3x =+(3C ∴)n ，(3D +，)n ，(3(12AD ∴=+--=+，(1(32BC =+--=-+，(2(24AD BC ∴-=+--+=．【点评】本题考查二次函数的几何变换，二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式，直线和抛物线交点，关键对平移性质的应用．14．（2023•环翠区一模）已知抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)．（1）求此抛物线的解析式；（2）当自变量x 满足13x -时，求函数值y 的取值范围；（3）将此抛物线沿x 轴平移m 个单位长度后，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，求m 的值．【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）先求出1x =-及3x =时的函数值，结合函数的性质得到答案；（3）设此抛物线沿x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)2y x m l =---，利用二次函数的性质，当25m +>，此时5x =时，5y =，即(52)215m ---=，设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)21y x m =-+-，利用二次函数的性质得到2m l -<，此时1x =时，5y =，即(12)215m ---=，然后分别解关于m 的方程即可．【解答】解：（1）抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)，∴103b c c ++=⎧⎨=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴此抛物线的解析式为243y x x =-+；（2）当1x =-时，1438y =++=，当3x =时，91230y =-+=，2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴函数图象的顶点坐标为(2,1)-，∴当13x -时，y 的取值范围是18y - ；（3）设此抛物线x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =--21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，25m ∴+>，即3m >，此时5x =时，5y =，即(52)m --215-=，解得13m =+，23m =-（舍去）；设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =-+21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，21m ∴-<，即1m >，此时1x =时，5y =，即2(12)15m ---=，解得11m =-+，21m =--（舍去），综上所述，m 的值为3+1+【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，也考查了二次函数的性质．15．（2023•南宁一模）如图1，抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)．（1）求c 的值及抛物线1y 的顶点坐标；（2）当132x - 时，求1y 的最大值与最小值的和；（3）如图2，将抛物线1y 向右平移m 个单位(0)m >，再向上平移2m 个单位得到新的抛物线2y ，点N 为抛物线1y 与2y 的交点．设点N 到x 轴的距离为n ，求n 关于m 的函数关系式，并直接写出当n 随m 的增大而减小时，m 的取值范围．【分析】（1）把(1,3)代入抛物线解析式求得c 的值；根据抛物线解析式可以直接得到顶点坐标；（2）根据抛物线的性质知：当0x =时，1y 有最大值为4，当3x =-时，1y 有最小值为5-．然后求1y 的最大值与最小值的和；（3）根据平移的性质“左加右减，上加下减”即可得出抛物线2y 的函数解析式；然后根据抛物线的性质分两种情况进行解答：当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．【解答】解：（1）抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)，∴当0x =时，2113y c =-+=，解得4c =．∴214y x =-+．顶点坐标为(0,4)；（2）10-< ，∴抛物线开口向下．当0x =时，1y 有最大值为4．当3x =-时，21(3)45y =--+=-．当12x =时，21115()424y =-+=．∴当3x =-时，1y 有最小值为5-．∴最大值与最小值的和为4(5)1+-=-；（3）由题意知，新抛物线2y 的顶点为(,42)m m +，∴22()42y x m m =--++．当12y y =时，22()424x m m x --++=-+，化简得：2220mx m m -+=．又0m > ，∴112x m =-．∴2211(1)4(2)424y m m =--+=--+．当21(2)404m --+=时，解得12m =-；26m =， 104-<，∴抛物线开口向下．当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．∴综上所述2213,06413,64m m m n m m m ⎧-++<⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩ （或21|(2)4|)4n m =--+．当26m <<时，n 随m 的增大而减小．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的图象与性质以及二次函数最值的求法．难度偏大．16．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，顶点为A ，与x 轴分别交于点B 和点C （点B 在点C 的左边），与y 轴交于点D ，其中点C 的坐标为(3,0)．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E ，联结DE ．①如果//DE AC ，求四边形ACDE 的面积；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，当DQE CDQ ∠=∠时，求点Q的坐标．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）①依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质和平行线的性质求得点E ，F 坐标，再利用四边形ACDE 的面积DFC EFCA S S ∆=+平行四边形解答即可；②依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理求得点E 坐标和线段DE ，再利用等腰三角形的判定与性质求得线段FQ ，则结论可求．【解答】解：（1）抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，经过点(3,0)C ，∴229330b a a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为243y x x =-+；（2）①2243(2)1y x x x =-+=-- ，(2,1)A ∴-．设抛物线的对称轴交x 轴于点G ，1AG ∴=．令0x =，则3y =，(0,3)D ∴，3OD ∴=．令0y =，则2430x x -+=，解得：1x =或3x =，(1,0)B ∴．如果//DE AC ，需将抛物线向左平移，设DE 交x 轴于点F ，平移后的抛物线对称轴交x 轴于点H ，如图，点C 的坐标为(3,0)，3OC ∴=．由题意：45ACB ∠=︒，//DE AC ，45DFC ACB ∴∠=∠=︒．3OF OD ∴==，(3,0)F ∴-，由题意：1EH =，1FH EH ∴==，(4,1)E ∴--．//AE x 轴，//DE AC ，∴四边形EFCA 为平行四边形，2(4)6AE =--= ，616EFCA S ∴=⨯=平行四边形．1163922DFC S FC OD ∆=⨯⋅=⨯⨯= ，∴四边形ACDE 的面积6915DFC EFCA S S ∆=+=+=平行四边形；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，DQE CDQ ∠=∠，如图，当点Q 在x 轴的下方时，设平移后的抛物线的对称轴交x 轴于F ，由题意：1EF =．3OD OC == ，45ODC OCD ∴∠=∠=︒，45FCE OCD ∴∠=∠=︒，1CF EF ∴==，(4,1)E ∴-．CD ==，CE ==DE CD CE ∴=+=DQE CDQ ∠=∠ ，EQ DE ∴==1QF EF EQ ∴=+=，(4,1)Q ∴-；当点Q 在x 轴的上方时，此时为点Q '，DQ E CDQ ∠'=∠' ，EQ DE ∴'==，1Q F EQ EF ∴'='-=，(4Q ∴'，1)-．综上，当DQE CDQ ∠=∠时，点Q 的坐标为(4,1)--或(4，1)-．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积，直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．17．（2023•下城区校级模拟）如图已知二次函数2(y x bx c b =++，c 为常数）的图象经过点(3,1)A -，点(0,4)C -，顶点为点M ，过点A 作//AB x 轴，交y 轴于点D ，交二次函数2y x bx c =++的图象于点B ，连接BC ．（1）求该二次函数的表达式及点M 的坐标：（2）若将该二次函数图象向上平移(0)m m >个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC ∆的内部（不包括ABC ∆的边界），求m 的取值范围；（3）若E 为y 轴上且位于点C 下方的一点，P 为直线AC 上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标：若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，即可求解；（2）求出平移后的抛物线的顶点(1,5)m -，再求出直线AC 的解析式4y x =-，当顶点在直线AC 上时，2m =，当M 点在AB 上时，4m =，则24m <<；（3）设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，分三种情况讨论：当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，Q 点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，Q 点横坐标为2；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，Q点横坐标为3【解答】解：（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，∴4931c b c =-⎧⎨++=-⎩，解得24b c =-⎧⎨=-⎩，224y x x ∴=--，2224(1)5y x x x =--=-- ，∴顶点(1,5)M -；（2）由题可得平移后的函数解析式为2(1)5y x m =--+，∴抛物线的顶点为(1,5)m -，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∴431b k b =-⎧⎨+=-⎩，解得14k b =⎧⎨=-⎩，4y x ∴=-，当顶点在直线AC 上时，53m -=-，2m ∴=，//AB x 轴，(1,1)B ∴--，当M 点在AB 上时，51m -=-，4m ∴=，24m ∴<<；（3）存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，理由如下：设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，点E 在点C 下方，4t ∴<-，Q点在第四象限，01q ∴<<，①当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，∴22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，解得334q p t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩（舍)或116p q t =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，∴22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，解得222q p t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为2，不符合题意；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，∴222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，解得332p q t ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-+⎪⎩（舍)或332p q t ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=--⎪⎩，Q ∴点横坐标为3-综上所述：Q 点横坐标为1或3-【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．18．（2023•即墨区一模）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为243y x x =-+．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(0,3)A ，(1,0)B ，．求该二次函数的解析式．（1）请根据已有信息添加一个适当的条件：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）当函数值6y <时，自变量x 的取值范围：；（3）如图1，将函数243(0)y x x x =-+<的图象向右平移4个单位长度，与243(4)y x x x =-+ 的图象组成一个新的函数图象，记为L ．若点(3,)P m 在L 上，求m 的值；（4）如图2，在（3）的条件下，点A 的坐标为(2,0)，在L 上是否存在点Q ，使得9OAQ S ∆=．若存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；（2）求出6y =时，对应的x 值，再结合图象写出x 的取值范围即可；（3）求出抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)3y x =--，根据题意可知3x =时，P 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上，再求m 的值即可；（4）分两种情况讨论：当Q 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上时，设2(,1233)Q t t t -+，由212(1233)92OAQ S t t ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,41)Q m m m -+，由212(41)92OAQ S m m ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可．【解答】解：（1）(2,1)C -，故答案为：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）243y x x =-+ ，∴当2436x x -+=时，解得2x =2x =-∴当6y <时，22x <<+，故答案为：22x -<<+；（3）2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)1y x =--，当3x =时，点P 在抛物线2(6)1y x =--的部分上，8m ∴=；（4）存在点Q ，使得9OAQ S ∆=，理由如下：当Q 点在抛物线2(6)1y x =--的部分上时，设2(,1235)Q t t t -+，212(1235)92OAQ S t t ∆∴=⨯⨯-+=，解得6t =+6t =，4t ∴<，6t ∴=-(6Q ∴-，9)；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,43)Q m m m -+，212(43)92OAQ S m m ∆∴=⨯⨯-+=，解得2m =+或2m =-4m ，2m ∴=+，2Q ∴，9)；综上所述：Q 点坐标为(6，9)或2+，9)．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合解题是关键．19．（2023•武侯区模拟）定义：将二次函数l 的图象沿x 轴向右平移t ，再沿x 轴翻折，得到新函数l '的图象，则称函数l '是函数l 的“t 值衍生抛物线”．已知2:23l y x x =--．（1）当2t =-时，①求衍生抛物线l '的函数解析式；②如图1，函数l 与l '的图象交于(M ，)n ，(,N m -两点，连接MN ．点P 为抛物线l '上一点，且位于线段MN 上方，过点P 作//PQ y 轴，交MN 于点Q ，交抛物线l 于点G ，求QNG S ∆与PNG S ∆存在的数量关系．（2）当2t =时，如图2，函数l 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ．函数l '与x 轴交于D ，E 两点，与y 轴交于点F ．点K 在抛物线l '上，且EFK OCA ∠=∠．请直接写出点K 的横坐标．【分析】（1）①利用抛物线的性质和衍生抛物线的定义解答即可；②利用待定系数法求得直线MN 的解析式，设2(,23)P m m m --+，则得到(,2)Q m m -，2(,23)G m m m --，利用m 的代数式分别表示出PQ ，QG 的长，再利用同高的三角形的面积比等于底的比即可得出结论；（2）利用函数解析式求得点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标，进而得出线段OA ，OC ，OD ，OE ，AC ，OF 的长，设直线FK 的解析式为5y kx =-，设直线FK 交x 轴于点M ，过点M 作MN EF ⊥于点N ，用k 的代数式表示出线段OM ．FM ，ME 的长，利用EFK OCA ∠=∠，得到sin sin EFK OCA ∠=∠，列出关于k 的方程，解方程求得k 值，将直线FK 的解析式与衍生抛物线l '的函数解析式联立即可得出结论．。

备战2025年中考数学冲刺专项训练(全国)专题05 二次函数中的平移、旋转、对称(原卷版)

专题05二次函数中的平移、旋转、对称（五大题型）通用的解题思路：1.二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.3.二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。

4.二次函数图象的翻折与旋转y=a(x-h)²+k绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-k a、h、k均变号沿x轴翻折y=-a(x-h)²-k a、k变号，h不变沿y轴翻折y=a(x+h)²+k a、h不变，h变号题型一：二次函数中的平移问题1．（2024•牡丹区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线21(0)y ax bx aa=+-<与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）．（2）当B的纵坐标为3时，求a的值；（3）已知点11(,2Pa-，(2,2)Q，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，请结合函数图象求出a的取值范围．2．（2024•平原县模拟）已知抛物线212:23C y ax ax a =++-．（1）写出抛物线1C 的对称轴：．（2）将抛物线1C 平移，使其顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，且抛物线2C 经过点(2,2)A --和点B （点B 在点A 的左侧），若ABO ∆的面积为4，求点B 的坐标．（3）在（2）的条件下，直线1:2l y kx =-与抛物线2C 交于点M ，N ，分别过点M ，N 的两条直线2l ，3l 交于点P ，且2l ，3l 与y 轴不平行，当直线2l ，3l 与抛物线2C 均只有一个公共点时，请说明点P 在一条定直线上．3．（2024•和平区一模）已知抛物线21(y ax bx a =+-，b 为常数．0)a ≠经过(2,3)，(1,0)两个点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）抛物线的顶点为；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线．4．（2024•礼县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，且过点(1,2)B -，(3,0)C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求ABC ∆的面积；（3）将抛物线向左平移(0)m m >个单位，当抛物线经过点B 时，求m 的值．5．（2024•珠海校级一模）已知抛物线223y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．6．（2024•关岭县一模）如图，二次函数212y x bx c =++与x 轴有两个交点，其中一个交点为(1,0)A -，且图象过点(1,2)B ，过A ，B 两点作直线AB ．（1）求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；（2）将二次函数212y x bx c =++向左平移1个单位，得函数2y =；函数2y 与坐标轴的交点坐标为；（3）在（2）的条件下，将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后与函数2y 的图象有唯一交点，求n 的值．7．（2024•温州模拟）如图，直线122y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，抛物线2y x mx =-+经过点A ．（1）求点B 的坐标和抛物线的函数表达式．（2）若抛物线向左平移n 个单位后经过点B ，求n 的值．8．（2024•巴东县模拟）已知二次函数2y ax bx c =++图象经过(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -三点．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数2y ax bx c =++图象平移使其经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，求平移后的二次函数的解析式．9．（2024•郑州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y x m =+经过点A ，判断点B 是否在直线y x m =+上，并说明理由；（3）平移抛物线2y x bx c =-++使其顶点仍在直线y x m =+上，若平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为n ，求n 的取值范围．10．（2024•鞍山模拟）已知抛物线2246y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．11．（2023•原平市模拟）（1）计算：3211()(5)|2|3--+---⨯-；（2）观察表格，完成相应任务：x3-2-1-012221A x x =+-21-2-1-①72(1)2(1)1B x x =-+--721-2-②2任务一：补全表格；任务二：观察表格不难发现，当x m =时代数式A 的值与当1x m =+时代数式B 的值相等，我们称这种现象为代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1：换个角度来看，将代数式A ，B 变形，得到(A =③2)2-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象④（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式P =⑤．12．（2024•南山区校级模拟）数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数2(||1)y x =--进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：【观察探究】：方程2(||1)1x --=-的解为：；【问题解决】：若方程2(||1)x a --=有四个实数根，分别为1x 、2x 、3x 、4x ．①a 的取值范围是；②计算1234x x x x +++=；【拓展延伸】：①将函数2(||1)y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；②观察平移后的图象，当123y 时，直接写出自变量x 的取值范围．13．（2023•花山区一模）已知抛物线2y x ax b =++的顶点坐标为(1,2)．（1）求a ，b 的值；（2）将抛物线2y x ax b =++向下平移m 个单位得到抛物线1C ，存在点(,1)c 在1C 上，求m 的取值范围；（3）抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，直线(2)y n n =>与抛物线2y x ax b =++相交于A 、B （点A 在点B 的左侧），与2C 相交于点C 、D （点C 在点D 的左侧），求AD BC -的值．14．（2023•环翠区一模）已知抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)．（1）求此抛物线的解析式；（2）当自变量x 满足13x - 时，求函数值y 的取值范围；（3）将此抛物线沿x 轴平移m 个单位长度后，当自变量x 满足15x 时，y 的最小值为5，求m 的值．15．（2023•南宁一模）如图1，抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)．（1）求c 的值及抛物线1y 的顶点坐标；（2）当132x -时，求1y 的最大值与最小值的和；（3）如图2，将抛物线1y 向右平移m 个单位(0)m >，再向上平移2m 个单位得到新的抛物线2y ，点N 为抛物线1y 与2y 的交点．设点N 到x 轴的距离为n ，求n 关于m 的函数关系式，并直接写出当n 随m 的增大而减小时，m 的取值范围．16．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，顶点为A ，与x 轴分别交于点B 和点C （点B 在点C 的左边），与y 轴交于点D ，其中点C 的坐标为(3,0)．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E ，联结DE ．①如果//DE AC ，求四边形ACDE 的面积；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，当DQE CDQ ∠=∠时，求点Q 的坐标．17．（2023•下城区校级模拟）如图已知二次函数2(y x bx c b =++，c 为常数）的图象经过点(3,1)A -，点(0,4)C -，顶点为点M ，过点A 作//AB x 轴，交y 轴于点D ，交二次函数2y x bx c =++的图象于点B ，连接BC ．（1）求该二次函数的表达式及点M 的坐标：（2）若将该二次函数图象向上平移(0)m m >个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC ∆的内部（不包括ABC ∆的边界），求m 的取值范围；（3）若E 为y 轴上且位于点C 下方的一点，P 为直线AC 上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q 的横坐标：若不存在，请说明理由．18．（2023•即墨区一模）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为243y x x =-+．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(0,3)A ，(1,0)B ，．求该二次函数的解析式．（1）请根据已有信息添加一个适当的条件：；（2）当函数值6y <时，自变量x 的取值范围：；（3）如图1，将函数243(0)y x x x =-+<的图象向右平移4个单位长度，与243(4)y x x x =-+ 的图象组成一个新的函数图象，记为L ．若点(3,)P m 在L 上，求m 的值；（4）如图2，在（3）的条件下，点A 的坐标为(2,0)，在L 上是否存在点Q ，使得9OAQ S ∆=．若存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2023•武侯区模拟）定义：将二次函数l 的图象沿x 轴向右平移t ，再沿x 轴翻折，得到新函数l '的图象，则称函数l '是函数l 的“t 值衍生抛物线”．已知2:23l y x x =--．（1）当2t =-时，①求衍生抛物线l '的函数解析式；②如图1，函数l 与l '的图象交于(M ，)n ，(,N m -两点，连接MN ．点P 为抛物线l '上一点，且位于线段MN 上方，过点P 作//PQ y 轴，交MN 于点Q ，交抛物线l 于点G ，求QNG S ∆与PNG S ∆存在的数量关系．（2）当2t =时，如图2，函数l 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ．函数l '与x 轴交于D ，E 两点，与y 轴交于点F ．点K 在抛物线l '上，且EFK OCA ∠=∠．请直接写出点K 的横坐标．20．（2023•天门三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线223y x x =--的顶点为A ，与y 轴交于点C ，线段//CB x 轴，交该抛物线于另一点B ．（1）求点B 的坐标及直线AC 的解析式；（2）当二次函数223y x x =--的自变量x 满足1m x m + 时，此函数的最大值为p ，最小值为q ，且2p q -=．求m 的值；（3）平移抛物线223y x x =--，使其（备用图）顶点始终在直线AC 上移动，当平移后的抛物线与射线BA 只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n ，请直接写出n 的取值范围．21．（2023•米东区模拟）如图，已知二次函数2(y x bx c b =-++，c 为常数）的图象经过点(3,1)A ，点(0,4)C ，顶点为点M ，过点A 作//AB x 轴，交y 轴于点D ，交该二次函数图象于点B ，连结BC ．（1）求该二次函数的解析式及点M 的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移(0)m m >个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC ∆的内部（不包括ABC ∆的边界），求m 的取值范围．22．（2023•驻马店二模）如图1所示，平面直角坐标系中，抛物线223y ax ax =-+交x 轴于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点A 坐标为(1,0)-．（1）求抛物线解析式及其顶点坐标．（2）若将抛物线向右平移m 个单位，得新抛物线“V ”，若“V ”与坐标轴仅有两个交点，求m 值．（3）若点M 为线段AB 上一动点，过点M 作y 轴平行线，该平行线与“V ”交点为N ，请直接写出点N 的纵坐标N y 的取值范围．23．（2023•宝鸡二模）如图，抛物线2:4L y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)A -、(3,0)B ，与y 轴交于点C ．将抛物线L 向右平移一个单位得到抛物线L '．（1）求抛物线L 与L '的函数解析式；（2）连接AC ，探究抛物线L '的对称轴上是否存在点P ，使得以点A ，C ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．题型二：二次函数中的翻折问题24．（2024•江西模拟）已知二次函数265(0)y kx kx k k =-+>经过A ，B 两定点（点A 在点B 的左侧），顶点为P ．（1）求定点A ，B 的坐标；（2）把二次函数265y kx kx k =-+的图象在直线AB 下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原二次函数位于直线AB 上方的部分的组合图象记作图象W ，求向上翻折部分的函数解析式；（3）在（2）中，已知ABP ∆的面积为8．①当14x 时，求图象W 中y 的取值范围；②若直线y m =与图象W 从左到右依次交于C ，D ，E ，F 四点，若CD DE EF ==，求m 的值．25．（2023•零陵区三模）在平面直角坐标系中，二次函数2229y x mx m =-+-+的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）求A 、B 两点的坐标（用含m 的式子表示）；（2）将该二次函数图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象．若当31x -- 时，这个新函数G 的函数值y 随x 的增大而减小，结合函数图象，求m 的取值范围；（3）已知直线:1l y =，点C 在二次函数2229y x mx m =-+-+的图象上，点C 的横坐标为2m ，二次函数2229y x mx m =-+-+的图象在C 、B 之间的部分记为M （包括点C ，)B ，图象M 上恰有一个点到直线l 的距离为2，直接写出m 的取值范围．26．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:23L y x x =--的顶点为P ．直线l 过点(0M ，)(3)m m - ，且平行于x 轴，与抛物线1L 交于A 、B 两点(B 在A 的右侧）．将抛物线1L 沿直线l 翻折得到抛物线2L ，抛物线2L 交y 轴于点C ，顶点为D ．（1）当1m =时，求点D 的坐标；（2）连接BC 、CD 、DB ，若BCD ∆为直角三角形，求此时2L 所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若BCD ∆的面积为3，E 、F 两点分别在边BC 、CD 上运动，且EF CD =，以EF 为一边作正方形EFGH ，连接CG ，写出CG 长度的最小值，并简要说明理由．27．（2024•盐城模拟）已知抛物线2(31)2(y ax a x a =---为常数且0)a ≠与y 轴交于点A ．（1）点A 的坐标为；对称轴为（用含a 的代数式表示）；（2）无论a 取何值，抛物线都过定点B （与点A 不重合），则点B 的坐标为；（3）若0a <，且自变量x 满足13x - 时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表达式；（4）将点A 与点B 之间的函数图象记作图象M （包含点A 、)B ，若将M 在直线2y =-下方的部分保持不变，上方的部分沿直线2y =-进行翻折，可以得到新的函数图象1M ，若图象1M 上仅存在两个点到直线6y =-的距离为2，求a 的值．28．（2023•扶余市二模）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点(1,0)A ，(5,0)B ，顶点为P ．（1）求该抛物线的解析式，并直接写出点P 的坐标；（2）如图，把原抛物线x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，将翻折得到的部分与原抛物线x 轴上方的部分记作图形M ，在图形M 中，回答：①点A ，B 之间的函数图象所对应的函数解析式为2(3)4y x =--+(15)x ；②当342x 时，求y 的取值范围；③当2m x m + ，且32m >时，若最高点与最低点的纵坐标的差为154，直接写出m 的值．29．（2023•余江区一模）已知抛物线21:23(0)C y ax ax a =--≠（1）当1a =时，①抛物线1C 的顶点坐标为．②将抛物线1C 沿x 轴翻折得到抛物线2C ，则抛物线2C 的解析式为．（2）无论a 为何值，直线y m =与抛物线1C 相交所得的线段EF （点E 在点F 左侧）的长度都不变，求m 的值和EF 的长；（3）在（2）的条件下，将抛物线1C 沿直线y m =翻折，得到抛物线3C ，抛物线1C ，3C 的顶点分别记为P ，Q ，是否存在实数a ，使得以点E ，F ，P ，Q 为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a 的值：若不存在，请说明理由．30．（2023•越秀区校级三模）已知二次函数2y x bx m =++图象的对称轴为直线2x =，将二次函数2y x bx m =++图象中y 轴左侧部分沿x 轴翻折，保留其他部分得到新的图象C ．（1）求b 的值；（2）①当0m <时，图C 与x 轴交于点M ，(N M 在N 的左侧），与y 轴交于点P ．当MNP ∆为直角三角形时，求m 的值；②在①的条件下，当图象C 中40y -< 时，结合图象求x 的取值范围；（3）已知两点(1,1)A --，(5,1)B -，当线段AB 与图象C 恰有两个公共点时，直接写出m 的取值范围．题型三：二次函数对称问题31．（2024•雁塔区校级二模）如图，抛物线2:3L y ax bx =++经过(1,0)A -，(5,3)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线L 的表达式；（2）抛物线L '与抛物线L 关于直线BC 对称，P 是抛物线L 的x 轴上方且在对称轴左侧的一点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线L '于点Q ，点P 、Q 关于抛物线L 的对称轴对称的点分别为M 、N ．试探究是否存在一点P ，使得四边形PQNM 为长宽之比是1:2的矩形？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．32．（2023•鄞州区校级模拟）已知二次函数21441y ax ax a =++-的图象是M ．（1）求M 关于点(1,0)R 成中心对称的图象N 的解析式2y ；（2）当25x 时，2y 的最大值为5，求a 的值．33．（2024•沙坪坝区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于(2,0)A ，(4,0)B -，与y 轴交于(0,4)C ，连接AC ，作直线BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知直线BC 上方抛物线上有一动点P ，过点P 作//PM x 轴交BC 于M ，过M 作//MN y 轴交x 轴于N ，求PM MN +的最大值和此时P 点坐标；（3）将原抛物线沿CB 方向平移个单位长度得到新抛物线，已知D 点是新抛物线上一动点，且DBC OAC BCO ∠=∠+∠，求所有符合条件的点D 的横坐标并写出其中一种情况的求解过程．34．（2023•海安市模拟）已知两个函数，如果对于任意的自变量x ，这两个函数对应的函数值记为1y ，2y ，都有点1(,)x y 、2(,)x y 关于点(,)x x 对称，则称这两个函数为关于y x =的对称函数，例如，112y x =和232y x =为关于y x =的对称函数．（1）判断：①13y x =和2y x =-；②11y x =+和21y x =-；③211y x =+和221y x =-，其中为关于y x =的对称函数的是（填序号）；（2）若132y x =+和2(0)y kx b k =+≠为关于y x =的对称函数．求k 、b 的值．（3）若21(0)y ax bx c a =++≠和22y x n =+为关于y x =的对称函数，令21w y y =-，当函数w 与函数(02)y x x = 有且只有一个交点时，求n 的取值范围．35．（2023•雁塔区校级模拟）已知抛物线21:3C y ax bx =+-与x 轴于点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线1C 的解析式；（2）已知抛物线2C 与抛物线1C 关于y 轴对称，过点C 作//CD x 轴交抛物线1C 于点D ，P 是抛物线2C 上的一个动点，连接PB 、PC 、BC 、BD ．若PBC BCD S S ∆∆=，求点P 的坐标．36．（2023•灞桥区校级模拟）如图，顶点M在y轴负半轴上的抛物线与直线2y x=+相交于点(2,0)A-，(4,6)B，连接AM，BM．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若将抛物线向下平移3个单位长度，则在平移后的抛物线上，且在直线AB的下方，是否存在点P，使得118ABP ABMS S∆∆=若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型四：二次函数中的旋转问题37．（2023•吉安县校级一模）已知抛物线21y ax bx c =++分别交x 轴于(1,0)A -，(3,0)B 两点，且与y 轴交于点(0,3)C -．（1）求抛物线的解析式及顶点P 坐标；（2）将该二次函数绕点(4,0)旋转180︒，求旋转后的二次函数解析式；（3）设旋转后的抛物线顶点坐标为Q ，且与x 轴的右侧交点为D ，顺次连接A 、P 、D 、Q ，求四边形APDQ 的面积．38．（2023•郏县一模）如图，直线24y x =--与x 轴交于点A ，抛物线2421y ax x a =+++经过点(1,8)，与x 轴的一个交点为(B B 在A 的左侧），过点B 作BC 垂直x 轴交直线于C ．（1）求a 的值及点B 的坐标；（2）将ABC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，点B 、C 的对应点分别为点E 、F ．将抛物线2421y ax x a =+++沿x 轴向右平移使它过点F ，求平移后所得抛物线的解析式．39．（2023•郸城县二模）如图1，抛物线21y ax bx c =++分别交x 轴于(1,0)A -，(3,0)B 两点，且与y 轴交于点(0,3)C -．（1）求抛物线的表达式及顶点P 的坐标．（2）如图2，将该抛物线绕点(4,0)旋转180︒．①求旋转后的抛物线的表达式；②旋转后的抛物线顶点坐标为Q ，且与x 轴的右侧交于点D ，顺次连接A ，P ，D ，Q ，求四边形APDQ 的面积．40．（2023•长春模拟）如图，直线122y x =-与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ．抛物线214y x bx c =++经过点A ，点B ，并与x 轴有另一交点C ．（1）依题，点A 的坐标是，点B 的坐标是．（2）求抛物线的解析式．（3）在直线AB 下方的抛物线上有一点D ，求四边形ADBC 面积的最大值．（4）在x 轴上有一个动点(,0)P m ，将线段OA 绕点P 逆时针旋转90︒得到线段MN ．直接写出线段MN 与抛物线只有一个公共点时m 的取值范围．题型五：二次函数中的几何变换41．（2024•梧州模拟）九年级数学兴趣小组的同学研究发现若把二次函数21y ax bx c =++的系数调换位置变成新的二次函数22y cx bx a =-+，且0b ≠，这两个函数有一定的关连，于是命名它们为“互为对调函数”，根据这个规定，解答下列问题：（1）若二次函数21325y x x =+-，则它的“对调函数”是2y =，且此“对调函数”与y 轴的交点是；（2）若k 、m 为非零实数，二次函数213y x kx m =++经过两个不同的点(,)A k h 与点(,)B m h ，请求出“对调函数”2y 的对称轴；（3）在（2）中，“对调函数”2y 的图象是否经过某两个定点？若经过，求出这两个定点坐标；若不经过，请说明理由．。

二次函数旋转综合大题

1、如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．参考答案一、综合题1、解：（1）由抛物线C1：得顶点P的为（-2，-5）∵点B（1，0）在抛物线C1上∴解得，a＝（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G∵点P、M关于点B成中心对称∴PM过点B，且PB＝MB∴△PBH≌△MBG∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3∴顶点M的坐标为（4，5）抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到∴抛物线C3的表达式为（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到∴顶点N、P关于点Q成中心对称由（2）得点N的纵坐标为5设点N坐标为（m，5）作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G作PK⊥NG于K∵旋转中心Q在x轴上∴EF＝AB＝2BH＝6∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0）H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），根据勾股定理得PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50NF2＝52+32＝34①当∠PNF＝90º时，PN2+ NF2＝PF2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）②当∠PFN＝90º时，PF2+ NF2＝PN2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90º综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．。

二次函数平移、旋转、轴对称变换汇总

二次函数专题训练（平移、旋转、轴对称变换）一、二次函数图象的平移、旋转（只研究中心对称）、轴对称变换 1、抛物线的平移变换：一般都是在顶点式的情况下进行的。

y=a(x-h)²+k y=a(x-h)²+k ±my=a(x-h)² y=a(x-h ±m)²+k 练习：（1）函数图象沿y 轴向下平移2个单位，再沿x 轴向右平移3个单位，得到函数__________________的图象。

（2）抛物线225y x x =-+向左平移3个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式是。

2、抛物线的旋转变换（只研究中心对称）：一般都是在顶点式的情况下进行的。

（1）将抛物线绕其顶点旋转180︒（即两条抛物线关于其顶点成中心对称） ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+。

（2）将抛物线绕原点旋转180︒（即两条抛物线关于原点成中心对称）()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-。

练习：（1）抛物线2246y x x =-+绕其顶点旋转180︒后，所得抛物线的解析式是（2）将抛物线y ＝x 2＋1绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为( ) A ．y ＝－x 2 B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝x 2－1 D ．y ＝－x 2－1 3、抛物线的轴对称变换：关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；练习：已知抛物线C 1：2(2)3y x =-+（1）抛物线C 2与抛物线C 1关于y 轴对称，则抛物线C 2的解析式为（2）抛物线C 3与抛物线C 1关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为总结：根据平移、旋转、轴对称的性质，显然无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变。

二次函数平移、旋转、轴对称变换

二次函数专题训练（平移、旋转、轴对称变换）一、二次函数图象的平移、旋转（只研究中心对称）、轴对称变换1、抛物线的平移变换：一般都是在顶点式的情况下进行的。

抛物线的上下平移：________________________y=a(x-h)²+k y=a(x-h)²+k ±m抛物线的左右平移：________________________y=a(x-h)²+k y=a(x-h ±m)²+k练习：（1）函数图象沿y 轴向下平移2个单位，再沿x 轴向右平移3个单位，得到函数__________________的图象。

（2）抛物线225y x x =-+向左平移3个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式是。

2、抛物线的旋转变换（只研究中心对称）：一般都是在顶点式的情况下进行的。

（1）将抛物线绕其顶点旋转180︒（即两条抛物线关于其顶点成中心对称）()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+。

（2）将抛物线绕原点旋转180︒（即两条抛物线关于原点成中心对称）()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-。

练习：（1）抛物线2246y x x =-+绕其顶点旋转180︒后，所得抛物线的解析式是（2）将抛物线y ＝x 2＋1绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为( )A ．y ＝－x 2B ．y ＝－x 2＋1C ．y ＝x 2－1D ．y ＝－x 2－13、抛物线的轴对称变换：关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；练习：已知抛物线C 1：2(2)3y x =-+（1）抛物线C 2与抛物线C 1关于y 轴对称，则抛物线C 2的解析式为（2）抛物线C 3与抛物线C 1关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为总结：根据平移、旋转、轴对称的性质，显然无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变。

专题32 二次函数与旋转问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(解析版)

专题32 二次函数与旋转问题1．（2021—2022辽宁千山九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于点A 和(1,0)C ，交y 轴于点(0,3)B ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，交抛物线于点F ．（1）求抛物线的解析式；（2）将线段OE 绕着点O 沿顺时针方向旋转得到线段OE '，旋转角为()090αα︒<<︒，连接,AE BE ''，求13BE AE '+'的最小值；（3）M 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--+；（2（3）存在，N 1-，2．【分析】（1）根据待定系数法即可求出解析式；（2）先取OE 的三等分点D ，得出DE '=13AE '，当B ，E '，D 三点共线时即为最小值；（3）先设出点N 的坐标，根据矩形的性质列出关于N 点坐标的方程组，即可求出N 点的坐标．【详解】解：（1）把C （1，0），B （0，3）代入y =-x 2+bx +c 中，得：103b c c -++⎧⎨⎩＝＝， ∴b =-2，c =3，∴y =-x 2-2x +3，（2）在OE 上取一点D ，使得OD =13OE ，连接DE '，BD ，∵OD ＝13OE ＝13OE ′，对称轴x =-1， ∴E （-1，0），OE =1，∴OE '=OE =1，OA =3， ∴13OE OD OA OE ='='，又∵∠DOE '=∠E 'OA ，△DOE '∽△E 'OA ，∴DE ′＝13AE ′， ∴BE ′+13AE ′＝BE ′+DE ′，当B ，E '，D 三点共线时，BE ′+DE ′最小为BD ，BD ===∴BE ′+13AE ′；（3）存在，∵A （-3，0），B （0，3），设N （n ，-n 2-2n +3），则AB 2=18，AN 2=（n 2+2n -3）2+（n +3）2，BN 2=n 2+（n 2+2n ）2，∵以点A ，B ，M ，N 为顶点构成的四边形是矩形，∴△ABN 是直角三角形，若AB 是斜边，则AB 2=AN 2+BN 2，即18=（n 2+2n -3）2+（n +3）2+n 2+（n 2+2n ）2，解得：12n n ==，∴N 若AN 是斜边，则AN 2=AB 2+BN 2，即（n 2+2n -3）2+（n +3）2=18+n 2+（n 2+2n ）2，解得n =0（与点B 重合，舍去）或n =-1，∴N 的横坐标是-1，若BN 是斜边，则BN 2=AB 2+AN 2，即n 2+（n 2+2n ）2=18+（n 2+2n -3）2+（n +3）2，解得n =-3（与点B 重合，舍去）或n =2，∴N 的横坐标为2，综上N -1，2．【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，求解析式常用的是待定系数法，一般都是第一问，也是后面内容的基础，必须掌握且不能出错，否则后面的两问没法做，对于相似三角形，要牢记它的判定与性质，考试中一般都是先判定，在用性质． 2．（2021—2022辽宁连山九年级期中）如图，在半面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B ，其中点A 的坐标为(4,0)-，与y 轴交于点(0,2)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D 为抛物线上AC 上方的一个动点，过点D 作DE y ∥轴，交AC 于点E ，过D 作DF DE ⊥，交直线AC 于点F ，以DE 、DF 为边作矩形DEGF ，设矩形DEGF 的周长为l ，求l 的最大值；（3）点P 是x 轴上一动点，将线段PC 绕点P 旋转90︒得到PQ ，当点Q 刚好落在抛物线上时，请直接写出点Q 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为213222y x x =--+；（2）l 的最大值为12；（3）1Q ⎝⎭，2Q ⎝⎭，3Q ⎝⎭，4Q ⎝⎭【分析】（1）将(4,0)(0,2)A C -、代入212y x bx c =-++求解即可得出答案；（2）由待定系数法求出直线AC 解析式，设点D 的横坐标为t ，即可表示出D 、E 、F 三点坐标，即可表示出矩形长宽，可表示矩形周长，即可求出最值；（3）分两种情况：当逆时针旋转90︒落在抛物线上和顺时针旋转90︒落在抛物线上，求出Q 点所在直线，与二次函数联立即可求出Q 的坐标．【详解】（1）将(4,0)(0,2)A C -、代入212y x bx c =-++得： 1164022b c c ⎧-⨯-+=⎪⎨⎪=⎩，解得：322b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为213222y x x =--+；（2）设直线AC 解析式为y kx b '=+，将(4,0)(0,2)A C -、代入得：1,22k b ='=， ∴直线AC 解析式为122y x =+，设点D 的横坐标为t ，则有213,222D t t t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，1,22E t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵DF DE ⊥，∴DE y ∥轴，∴DF x ∥轴，∴D ，F 的纵坐标相同， ∴22133,222F t t t t ⎛⎫----+ ⎪⎝⎭， ∴2213112222222DE t t t t t ⎛⎫=--+-+=-- ⎪⎝⎭，2234DF t t t t t =---=--， ∴矩形DEGF 的周长为222()3123(2)12l DE DF t t t =+=--=-++，∴当2t =-时，l 的最大值为12；（3）当逆时针旋转90︒落在抛物线上时，如下图：设(,)Q x y ，(,0)P m ，2x m y m =-⎧∴⎨=-⎩， 2x y ∴+=-，即Q 在2y x =--上，2132222y x x y x ⎧=--+⎪⎨⎪=--⎩，解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1Q ∴⎝⎭，2Q ⎝⎭，当顺时针旋转90︒落在抛物线上时，如下图：2x m y m =+⎧⎨=⎩， 2y x ∴=-，即Q 在2y x =-上，2132222y x x y x ⎧=--+⎪⎨⎪=-⎩，解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3Q ∴⎝⎭，4Q ⎝⎭．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，掌握用待定系数法求函数解析式以及矩形的性质是解题的关键．3．（2021—2022湖南长沙市九年级阶段练习）如图1，抛物线2224y mx mx m =--（0m >）与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）若tan ∠BCO ＝2，点P 是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，作PQ ⊥x 轴于点Q ，连接P A ，当△APQ 与△BOC 相似时，求点P 的坐标；（3）如图2，在第（2）问的条件下，若P A 与y 轴交于点E ，且OE ＜OB ，连接BE ，以BE 为直径画圆交抛物线于点D ，连接DB 、DE ．①直接写出点D 的坐标；②作DF 平分∠BDE 交BE 于点F ，过点F 作直线l 与射线DB 、DE 分别交于点M 、N，当直线l 绕点F 旋转时，试判断11DM DN+的值是否变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．【答案】（1）点A 的坐标为()4,0-，点B 的坐标为()6,0；（2）点P 的坐标为()10,7或()22,52；（3）①()4,2-；②不变，11DM DN +=【解析】【分析】（1）令2224y mx mx m =--=0，解方程即可求得两点A 与B 的坐标；（2）由tan ∠BCO ＝2可求得m 的值；分两种情况：△APQ ∽△BCO ，可得AQ =2PQ ；△APQ ∽△CBO ，PQ =2AQ ；设点P 的坐标，根据线段AQ 与PQ 的关系，即可求得点P 的坐标；（3）①可求得直线PE 的解析式，从而求得点E 的坐标；设D (,)a b ，BE 的中点为G ，连接GD ，则由圆的性质可得GD =12BE ，由此可得a 与b 的关系，再由点D 在抛物线上，解方程可求得a 的值，从而求得点D 的坐标；②先求得直线BE 、DB 的解析式，设DB 与y 轴的交点为S ，由题意易得DF 垂直于x 轴，故可求得点F 的坐标，设过点F 的直线MN 的解析式为y =kx +c ，其中k ≠0，进而可求得MN 的解析式；再用待定系数法求出直线DE 的解析式，则可分别求得直线MN 与直线DE 、直线DB 的交点的横坐标；过点D 作y 轴的垂线与过点N 的垂直于x 轴的直线交于点K ，则△DNK 为等腰直角三角形，过点M 作y 轴的垂线交DF 的延长线于点H ，则△DMH 为等腰直角三角形，因此可用k 分别表示DN 、DM 的长，并代入11DM DN+中即可求得结果为定值．【详解】（1）令0y =，则20224mx mx m =--，解得6x =或－4．∴点A 的坐标为()4,0-，点B 的坐标为()6,0B（2）∵tan ∠BCO ＝2 ∴2OB OC =即OB =2OC ∵点B 的坐标为()6,0B ，点A 坐标为(−4，0)∴OB =6，OA =4∴OC =3即点C 的坐标为(0，−3)把点C 坐标代入抛物线解析式中得：−24m =−3 ∴18m =故函数解析式为211384y x x =-- 设点P 的坐标为(p ，q )，且点P 在第一象限，则p >0，q >0∴OQ =p ，PQ =q则AQ =OQ +OA =p +4若△APQ ∽△BCO ，则2AQ OB PQ OC==，即AQ =2PQ ∴p +4=2q ∴122q p =+ 即点P 坐标为1,22p p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭由点P 在抛物线上，则有211132842p p p --=+ 解得：110p =，24p =-（舍去）则110272q =⨯+= 即点P 的坐标为(10，7)若△APQ ∽△CBO ，则2PQ OB AQ OC==，即PQ =2AQ ∴q =2(p +4)即点P 坐标为(p ，2(p +4))由点P 在抛物线上，则有21132(4)84p p p --=+ 解得：122p =，24p =-（舍去）则2(224)52q =⨯+=即点P 的坐标为(22，52)综上所述，点P 的坐标为()10,7或()22,52（3）①由题意OE <OB ，则点P 的坐标只能为(10，7)，由待定系数法可求得直线P A 的解析式为：122y x =+，则点E 的坐标为(0，2)，OE =2 设D (,)a b ，BE 的中点为G ，连接GD ，则12GD BE =则点G 的坐标为(3，1)，由勾股定理得BE∴GD = 即GD 2=10∴22(3)(1)10a b -+-=即(6)(2)0a a b b -+-=由点D 在抛物线上，则有21113(6)(4)848b a a a a =--=-+ ∴2111(6)(6)(4)(5)0884a a a a a a -+-+--= ∵a ≠6 ∴2111(4)(5)0884a a a a ++--= 整理得：322161600ab b ++-=即2(4)(640)0a a a -++=∵22640(3)310a a a ++=++>∴a −4=0∴a =4此时b =−2∴点D 的坐标为()4,2-② 不变由待定系数法可得直线BE 的解析式为123y x =-+，直线DB 的解析式为y =x −6，而当x =0时，y =−6，即直线DB 与y 轴的交点S 的坐标为(0，−6)，所以OS =OB =6∴∠OBD =45゜∵DF 平分∠BDE∴∠BDF =EDF =45゜∴∠OBD =∠BDF =45゜∴DF ⊥x 轴∴点F 的坐标为243⎛⎫ ⎪⎝⎭，设过点F 的直线MN 的解析式为y =kx +c ，其中k ≠0，把点F 的坐标代入得：243c k =- ∴243y kx k =+- 由待定系数法得直线DE 的解析式为2y x =-+ 解方程组2436y kx k y x ⎧=+-⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，可得12203(1)M k x k -=-，此即为点M 的横坐标；同理可求得点N 的横坐标为1243(1)N k x k +=+ 过点D 作y 轴的垂线与过点N 的垂直于x 轴的直线交于点K ，则△DNK 为等腰直角三角形，过点M 作y 轴的垂线交DF 的延长线于点H ，则△DMH 为等腰直角三角形∴)N DN x -=，4)M DM x =-=∴11DM DN +==∴11DM DN +=．【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数与一元二次方程的关系，圆的有关性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与二元一次方程组，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解方程等知识，综合性强，运算量大，有技巧性，涉及的知识点多，关键和难点是灵活运用这些知识，深挖题目中的隐含条件，达到简便．4．（2021·江苏宜兴市中考二模）抛物线2132y x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，线段AC 的中点为点D ．将ACO △绕着点A 逆时针旋转，点O 的对应点为1O ，点C 的对应点为1C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）当旋转至13OO =时，求此时C 、1C 两点间的距离；（3）点P 是线段OC 上的动点，旋转后的对应点为1P ，当1O 恰巧落在AC 边上时，连接1AP ，1PO ，试求11AP PO +最小时点P 的坐标；（4）连接1DC ，1DO ，则在旋转过程中，11DC O △的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值，若不存在，说明理由．【答案】（1）A （0）、B （0）、C （0，3）；（2）6；（3）P （0，1）；（4）【解析】【分析】（1）令y =0建立一元二次方程，求其根即得到A ，B 的横坐标，令x =0，得到y 值即得到点C 的坐标；（2）分两种情形计算即可，注意三角形全等和三点共线原理的运用；（3）利用旋转的全等性，把线段和的最小值问题转化为将军饮马河问题，利用函数的解析式确定坐标即可；（4）根据旋转的全等性质，得到OC =11O C =3，直角三角形的性质AD =DO =AOO 在以A DO 是圆的直径时，三角形面积最大．【详解】（1）∵2132y x x =-+，令y =0得213=02x -++，解得12x == ∵点A 在点B 的左侧，∴A （0）、B （0）；令x =0，得到y =3， ∴点C 的坐标（0，3）；（2）当点C '落在x 轴的负半轴上时，∵A （0）,C （0，3）,∴OA OC =3，∴tan ∠ACO =OA OC =∴∠ACO =30°，∠OAC =60°，根据旋转的性质，得∠O 'C 'A =30°，∠O ' A C ' =60°， ∵O ' A =OA ，∴∠A O 'O =∠A O O '= 30°， ∴∠O 'O C =60°， ∵O ' O =3=OC ，∴△O 'O C 是等边三角形， ∴O ' C = O C ，∵AO =AO ，∴△A O ' C ≌△AOC ， ∴∠A O 'C = ∠AOC = 90°， ∴∠A O 'C '+ ∠A O 'C =180°， ∴O '、C '、C 三点一线， ∴C 'C =6；当点C '落在y 轴的负半轴上时，C C '=2OC =6；（3）根据旋转的性质,得1AP =AP ，∴11AP PO +=AP +1PO 作点1O 关于Y 轴的对称点M ，作直线AM ，交y 轴与点P ，此时的点P 就是11AP PO +取得最小值的位置，∵A （0）,C （0，3）,∴OA OC =3，∴tan ∠ACO =OA OC =∴∠ACO =30°，∠OAC =60°，∴A 1O过点1O 作1O N ⊥x 轴，垂足为N ，∴AN 1ON =32，∴1O（32），∴M32），设直线AM的解析式为y=kx+b，根据题意，得32bb⎧+=+=，解得1kb⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AM的解析式为y+1，令x=0，得y=1，∴P（0，1）；（4）根据旋转的全等性质，得到OC=11O C=3，在直角三角形AOC中，根据直角三角形的性质AD=DO=AOO在以A故当D1O是圆的直径时，三角形面积最大，面积最大值为：132⨯【点睛】本题考查了旋转的性质，特殊角的三角函数，线段之和的最小值，一次函数的解析式，三角形的全等，圆的基本性质，等边三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法，将军饮马河模型，直径是圆中最大的弦是解题的关键．5．如图1，抛物线2:C y ax bx=+经过点(4,0)A-、(1,3)B-两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180，得到新的抛物线'C．（1）求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标；（2）如图2，直线12:5l y kx =-经过点A ，D 是抛物线C 上的一点，设D 点的横坐标为m （2m <-），连接DO 并延长，交抛物线'C 于点E ，交直线l 于点M ，2DE EM =，求m 的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG 、AB ，在直线DE 下方的抛物线C 上是否存在点P ，使得DEP GAB ∠=∠？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）24y x x =--，顶点为：(2,4)G -；（2）m 的值为﹣3；（3）存在，点P 的横坐标为：【解析】【分析】（1）运用待定系数法将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中，即可求得a 和b 的值和抛物线C 解析式，再利用配方法将抛物线C 解析式化为顶点式即可求得顶点G 的坐标；（2）根据抛物线C 绕点O 旋转180，可求得新抛物线'C 的解析式，再将(4,0)A -代入125y kx =-中，即可求得直线l 解析式，根据对称性可得点E 坐标，过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ，过E 作//EK y 轴交直线l 于K ，由2DE EM =，即可得13ME MD =，再证明MEK ∆∽MDH ∆，即可得3DH EK =，建立方程求解即可；（3）连接BG ，易证ABG ∆是Rt ∆，90ABG ∠=，可得1tan tan 3DEP GAB ∠=∠=，在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥，在OH 上截取13OH OE ==过点E 作ET y ⊥轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点；通过建立方程组求解即可．【详解】（1）将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中，得16403a b a b -=⎧⎨-=⎩ 解得14a b =-⎧⎨=-⎩∴抛物线C 解析式为：24y x x =--，配方，得：224(2)4y x x x =--=-++，∴顶点为：(2,4)G -；（2）∵抛物线C 绕点O 旋转180，得到新的抛物线'C ． ∴新抛物线'C 的顶点为：'(2,4)G -，二次项系数为：'1a = ∴新抛物线'C 的解析式为：22(2)44y x x x =--=- 将(4,0)A -代入125y kx =-中，得12045k =--，解得35k =-， ∴直线l 解析式为31255y x =--，∵2(,4)D m m m --，∴直线DO 的解析式为(4)y m x =-+，由抛物线C 与抛物线'C 关于原点对称，可得点D 、E 关于原点对称， ∴2(,4)E m m m -+如图2，过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ，过E 作//EK y 轴交直线l 于K ，则312(,)55H m m --，312(,)55K m m --，∴2231217124()5555DH m m m m m =-----=--+，2231217124()5555EK m m m m m =+--=++，∵2DE EM = ∴13ME MD =， ∵//DH y 轴，//EK y 轴 ∴//DH EK ∴MEK ∆∽MDH ∆ ∴13EK ME DH MD ==，即3DH EK = ∴22171217123()5555m m m m --+=++ 解得：13m =-，225m =-，∵2m <-∴m 的值为：﹣3；（3）由（2）知：3m =-， ∴(3,3)D -，(3,3)E -，OE =如图3，连接BG ，在ABG ∆中，∵222(14)(30)18AB =-++-=，22BG =，220AG = ∴222AB BG AG +=∴ABG ∆是直角三角形，90ABG ∠=，∴1tan 3BG GAB AB ∠==， ∵DEP GAB ∠=∠ ∴1tan tan 3DEP GAB ∠=∠=，在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥，在OH上截取13OH OE =过点E 作ET y ⊥轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点； ∵(3,3)E -， ∴45EOT ∠= ∵90EOH ∠= ∴45HOT ∠=∴(1,1)H --，设直线EH 解析式为y px q =+，则331p q p q +=-⎧⎨-+=-⎩，解得1232p q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴直线EH 解析式为1322y x =--，解方程组213224y x y x x ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩，得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点P的横坐标为：【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，旋转变换，相似三角形判定和性质，直线与抛物线交点，解直角三角形等知识点；属于中考压轴题型，综合性强，难度较大．C：二次函数6．（2021·广东广州市中考二模）在平面直角坐标系xOy中，1(2=+0y mx m xm>）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）且AB=，与y轴交于点C．4（1）求二次函数的表达式；（2）将抛物线1C 向上平移n 个单位，得到抛物线2C ，当302x ≤≤时，抛物线2C 与x 轴只有一个公共点，结合函数图象，求出n 的取值范围；（3）将ACB △绕AB 的中点Q 旋转180︒，得到BDA ，若点M 是线段AD 上一动点，MB NB ⊥交直线AC 于点N ，点P 为线段MN 的中点，当点M 从点D 向点A 运动时． ①求tan NMB ∠的值如何变化？请说明理由； ②求点到达点A 时，直接写出点P 经过的路线长．【答案】（1）2y x =-（2n n =（3）①不变，理由见解析；②【解析】【分析】（1）将二次函数解析式变为交点式，可求点A 的坐标，根据4AB =，可得抛物线对称轴为：1x =，根据对称轴公式可求m ．即可得到二次函数1C 的表达式；（2）设抛物线2C 的表达式为223y x x n =--+，当抛物线2C 经过点3(2，0)时，代入可求n 的值，计算此时在302x ≤≤时与x 轴的两个交点，当抛物线2C 经过点(0,0)时，代入可求n 的值，再计算抛物线2C 与x 轴只有一个公共点时n 的值，从而求解；（3）①先求得四边形ACBD 是矩形，证明BDM BCN ∆∆∽，列比例式并结合三角函数定义可得结论；②首先证明点P 经过的路径是线段PQ 的长，如图2，根据三角形中位线定理即可求得．【详解】解：（1）2((1)y mx m x mx x =++，当1x =-时，0y =，(1,0)A ∴-，4AB =，(1,0)A -，∴抛物线对称轴为：1x =，1=，m ∴=∴抛物线1C 的表达式为2y x =（2）设抛物线2C 的表达式为2y n ，当抛物线2C 经过点3(2，0)时，得n 2C ：在302x ≤≤时与x 轴有两个交点，当抛物线2C 经过点(0,0)时，得n =若2(4()0n -=，解得：n =当n =2C 与x 轴只有一个公共点，此公共点为(1,0)，综上所述，n n n = （3）①tan NMB ∠的值为定值，不发生变化；如图1中，Rt AOC ∆中，1OA =，OC =30ACO ∴∠=︒，60OAC ∠=︒，Rt BCO ∆中，3OB =，BC ∴30OBC ∴∠=︒，60BCO ∠=︒，90ACB ∴∠=︒，由旋转得：90D ACB ∠=∠=︒，60ABD OAC ∠=∠=︒，D ，90CBD ∴∠=︒，∴四边形ADBC 是矩形，(3,0)B ，D ，2BD ∴，90MBN DBC ∠=∠=︒，DBM CBN ∴∠=∠，90MAN MBN ∠=∠=︒，M ∴，A ，N ，B 四点共圆， DMB BNC ∴∠=∠， BDM BCN ∴∆∆∽，∴BM BD BN BC =tan BNNMB BM∠=tan NMB ∴∠的值为定值，不发生变化；②如图2，当M 在点D 时，P 与Q 重合，当M 与A 重合时，P 在直线AC 上，∴点P 经过的路线长是线段PQ 的长，Rt MBN ∆中，4AB =，30BNM ∠=︒，8MN ∴=，BN =Q 是AB 的中点，P 是MN 的中点，PQ ∴是ABN ∆的中位线，12PQ BN ∴==即点M 到达点A 时，点P 经过的路线长是【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角函数，含30度角的直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用相似三角形解决问题，属于中考压轴题．7．如图所示，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过()A ，()B ，()0,3C 三点，线段BC 与抛物线的对称轴l 相交于点D ．设抛物线的顶点为P ，连接P A ，AD ，DP ，线段AD 与y 轴相交于点E ．（1）求该抛物线的表达式．（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q ，使以Q ，C ，D 为顶点的三角形与△ADP 全等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．（3）将CED ∠绕点E 顺时针旋转，边EC 旋转后与线段BC 相交于点M ，边ED 旋转后与对称轴l 相交于点N ，连接PM ，DN ，若2PM DN =，求点N 的坐标（直接写出结果）．【答案】（1）2133y x =-+；（2）存在，点Q 的坐标为())2-，()0,7或()-；（3）点N 的坐标为⎭【解析】【分析】（1）已知抛物线经过的三点坐标，直接利用待定系数法求解即可；（2）先求出直线BC 的解析式，求出点D 的坐标；方法1，设点Q 的坐标为(),x y ，利用两点间距离公式AB =22226704210x y y x y y ⎧+--=⎪⎨+---=⎪⎩，从而求解；方法2，利用全等条件先确定点Q 的几何位置，从而利用全等的条件得到对应线段的长来解决问题；注意分类讨论；（3）先证明CEM DEN ≌，设点M 的坐标为,3x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，可得22443PM x =+，22221433CM x x x =+=，根据224PM CM =求出x 的值，然后根据2FN DF DN =-==【详解】解：（1）设抛物线的表达式为(y a x x =-，将点()0,3C 代入后，得(003a -=，解得13a =-．∴抛物线的表达式为(211333y x x x =--=-+．（2）设直线BC 的解析式为y kx b =+，由题意，得03b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得3k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴直线BC的解析式为3y =+．由抛物线的表达式2133y x =-+，得顶点P的坐标为)4．当x =32y =+=， ∴点D的坐标为)2．方法1：设点Q 的坐标为(),x y ．∴()()222220369QC x y x y y =-+-=+-+，(()22222247QD x y x y y =+-=+--+，(()2220428AP =+-=，(()2220216AD =+-=，2CD DP ==．∵在QCD 和APD △中，CD PD =，若两个三角形全等，则有以下两种情况． ①当QC AP =，QD AD =时，22QC AP =，22QD AD =，则222269284716x y y x y y ⎧+-+=⎪⎨+--+=⎪⎩，解得114x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩222x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴点Q的坐标为()，)2-．②当QC AD =，QD AP =时，22QC AD =，22QD AP =，则222269164728x y y x y y ⎧+-+=⎪⎨+--+=⎪⎩，解得3307x y =⎧⎨=⎩，441x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩∴点Q 的坐标为()0,7，()-．综上所述，点Q 的坐标为()，)2-，()0,7或()-．方法2：∵点A 的坐标为()，点B 的坐标为()，点C 的坐标为()0,3，点F 的坐标为)，∴AF =4=AD ，OB =3OC =，6BC =，2PD DF CD ===． ∴60BDF ADF ADC PDC ∠=∠=∠=∠=︒，120ADP CDF ∠=∠=︒．如图所示，分以下四种情况．①当1Q 在y 轴上，且1Q C AD =时，()1SAS ADP QCD ≅．此时1Q 的坐标为()0,7．②当2Q 在 PD 延长线上，且2Q D AD =时，()2SAS ADP Q DC ≅．∴此时2Q 的坐标为)2-．③当3Q 在AD 延长线上，且3Q D AD =时，()3SAS ADP Q DC ≅．连接3Q P ，∵3ADF Q DP ∠=∠，∴()3SAS ADF Q DP ≅．∴3Q P AF =．此时3Q 的坐标为()．④当4120Q CD ADP ∠=∠=︒且4Q C AD =时，()4SAS ADP Q CD ≅，同理可得，()4SAS ADP Q CE ≅，∴4Q 的坐标为()-．综上所述，点Q 的坐标为()0,7，)2-，()或()-．（3）如图所示，∵点D 的坐标为)2，点B 的坐标为()，∴2DF =，BF =∴60BDF ADF CDE DCE ∠=∠=∠=∠=︒． ∴CEO 为等边三角形．在CEM 和DEN 中，60CEM DEN ECM EDN CE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴CEM DEN ≌．∴CM DN =，22PM CM DN ==，设点M的坐标为,3x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴)222244343PM x x x ⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭．又∵22221433CM x x x =+=，∴224PM CM =，即22444433x x +=⨯，解得)16x =（负值舍去）．∴)16CM DN x ==，∴2FN DF DN =-==∴点N的坐标为⎭解后反思本题第（2）问考查“在平面直角坐标系中是否存在点Q ，使以Q ，C ，D 为顶点的三角形与ADP △全等”，这里要注意由于对应点的不同，需要有分类讨论的意识．方法1，设点Q 的坐标为(),x y ，利用两点间距离公式AB =22226704210x y y x y y ⎧+--=⎪⎨+---=⎪⎩，从而求解；方法2，利用全等条件先确定点Q 的几何位置，从而利用全等的条件得到对应线段的长来解决问题．相对于以上两种解法，因为方法1需要解复杂的二元二次方程组，所以方法2的几何方法更为简捷．8．如图，直线l ：33y x =-+与x 轴，y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线22y x x b =-++过点B ．（1）该抛物线的函数解析式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值；（3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '． ①写出点M '的坐标；②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l '与直线AM '重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l '与线段BM '交于点C ，设点B ，M '到直线l '的距离分别为1d ，2d ，当12d d +最大时，求直线l '旋转的角度（即BAC ∠的度数）．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）21525228S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，S 的最大值为258；（3）①5(2，7)4；②45° 【解析】【分析】（1）利用直线l 的解析式求出B 点坐标，再把B 点坐标代入二次函数解析式即可求出b 的值；（2）设M 的坐标为2(,23)m m m -++，然后根据面积关系将ABM ∆的面积进行转化；（3）①由（2）可知52m =，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值； ②可将求12d d +最大值转化为求AC 的最小值．【详解】解：（1）令0x =代入33y x =-+，3y ∴=，(0,3)B ∴，把(0,3)B 代入22y x x b =-++并解得：3b =，∴二次函数解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）令0y =代入2y x 2x 3=-++，2023x x ∴=-++，1x ∴=-或3，∴抛物线与x 轴的交点横坐标为1-和3，M 在抛物线上，且在第一象限内，03m ∴<<，令0y =代入33y x =-+， 1x ∴=，A ∴的坐标为(1,0)，由题意知：M 的坐标为2(,23)m m m -++，()221111525312313()222228AOB OBM OAM AOB OAMB S S S S S S m m m m ∆∆∆∆=-=+-=⨯⨯+⨯⨯-++-⨯⨯=--+四边形，∴当52m =时，S 取得最大值258．（3）①由（2）可知：M '的坐标为5(2，7)4； ②过点M '作直线1//l l '，过点B 作1BF l ⊥于点F ，根据题意知：12d d BF +=，此时只要求出BF 的最大值即可，90BFM ∠'=︒，∴点F 在以BM '为直径的圆上，设直线AM '与该圆相交于点H ，点C 在线段BM '上，F ∴在BM H '上，∴当F 与M '重合时， BF 可取得最大值，此时1BM l '⊥，(1,0)A ，(0,3)B ，5(2M '，7)4，∴由勾股定理可求得：10AB，M B '，M A ' 过点M '作M G AB '⊥于点G ，设BG x =，∴由勾股定理可得：2222M B BG M A AG '-='-，∴2285125)1616x x -=-，x ∴=cos BG M BG M B ∠'='， 1//l l '，45MBG ∠=︒，90BCA ∴∠=︒，∴45BAC ∠=︒．【点睛】本题属于二次函数的综合问题，考查待定系数求二次函数解析式，求三角形面积，圆的相关性质等知识，内容较为综合，学生需要认真分析题目．9．（2021·江苏江都·中考二模）如图，已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -、()6,0B 两点，与y 轴交于C 点，设抛物线的顶点为D ．过点D 作DE x ⊥轴，垂足为E ．P 为线段DE 上一动点，(),0F m 为x 轴上一点，且PC PF ⊥．（1）求抛物线的解析式：（2）①当点P 与点D 重合时，求m 的值；②在①的条件下，将COF 绕原点按逆时针方向旋转90︒并平移，得到111C O F △，点C ，O ，F 的对应点分别是点1C ，1O ，1F ，若COF 的两个顶点恰好落在抛物线上，直接写出点1F 的坐标；（3）当点P 在线段DE 上运动时，求m 的变化范围．【答案】（1）2134y x x =--；（2）①4；②1(2，9)16或13(6-，49)144；（3）748m ≤≤【解析】【分析】（1）将A 、B 两点坐标代入即可，（2）讨论点坐标得变化，找到变化规律分情况讨论，即可找出1F 得坐标．（3）当P 点在DE 方向运动时，通过数形结合分别找到最大值和最小值即可找到m 的取值范围．【详解】解：（1）将(2,0)A -、(6,0)B 代入抛物线解析式23y ax bx =+-中得：423036630a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴该抛物线的解析式为：2134y x x =--，（2）①D 为抛物线的顶点，(2,4)D ∴-，当点P 与点D 重合时，如图所示：过点D 作//GD x 轴，过F 点作y 轴平行线交GD 延长线于点H ，由题意易得：1CG =，2GD =，4FH =，而PC PF ⊥，即90CDF ∠=︒，90CGD DHF ∠=∠=︒，CDG DFH ∠=∠，CGD DHF ∴∆∆∽， ∴CG GD DH HF =，即124DH =， 2DH ∴=，而四边形EDFH 为矩形，2EF DH ∴==，4OF ∴=，即(4,0)F ，4m ∴=，②按题意，将COF ∆绕原点按逆时针方向旋转90︒得到△C O F '''，如图所示：显然此时C '、O '、F '三点都不在抛物线上，故需要将△C O F '''平移才能得到两个顶点恰好落在抛物线上，根据C '、O '、F '三点特点，可设：1(,)O x y ，则1(3,)C x y +，1(,4)F x y +，当11O C 经平移后在抛物线上，把10(,)x y ，1(3,)C x y +代入2134y x x =--中： 221341(3)(3)34y x x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+-+-⎪⎩，解得：12x =，故11(2F ，9)16，当11F C 经平移后在抛物线上，把1(,4)F x y +，1(3,)C x y +代入2134y x x =--中： 2214341(3)(3)34y x x y x x ⎧+=--⎪⎪⎨⎪=+-+-⎪⎩，解得：136x =-，故113(6F -，49)144，当11O F 经平移后在抛物线上，因为1O 、1F 在竖直方向，故不成立．综上所述：11(2F ，9)16或13(6-，49)144，（3）(2,4)D -，(2,0)E ，(0,3)C -，点P 为线段DE 上一动点，(,0)F m 为x 轴上一点，且PC PF ⊥，如（2）①中当点P 与点D 重合时，4m =，取得最大，随着P 向E 移动，m 随之变化，设存在一点P 使m 最小，如图所示：设OF m =，则2FE m =-；设EP y =，则3PQ y =-，根据FEP PQC ∆∆∽得：FE EP PQ QC =即：232m y y -=-，可得关系式：2137()228m y =-+102>，当32y =时，m 取得最小值78，综上所述：748m ≤≤．【点睛】本题考查二次函数的综合性质，属于二次函数的综合大题，是中考压轴题形，从题干中筛选出有用条件，二次函数的综合性质，坐标的变化规律以及相似三角形知识点灵活运用是解决本题的关键．10．（2021·辽宁皇姑·中考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴于点0()6,B -和点(2,0)C ，点Q 在第一象限的抛物线上，连接AB 、AQ 、BQ ，BQ 与y 轴交于点N ．（1）求抛物线表达式；（2）当ABQ △的面积等于7时，设点Q 的横坐标为m ，求m 的值；（3）在（2）的条件下，点M 在x 轴上，点E 在平面内，若BME AOM ≌，且四边形ANEM是平行四边形．①直接写出．．．．点E 的坐标； ②设射线AM 与BN 相交于点P ，交BE 于点H ，将BPH 绕点B 旋转一周，旋转后的三角形记为1I BP H ，直接写出．．．．11BP的最小值．【答案】（1）214433y x x =--+；（2）1m =；（3）①(2,2)--；②【解析】【分析】(1)将点B 、C 的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式；(2)先将BQ 的解析式求出，根据ABQ ABN ANQ S S S =+△△△和点N 坐标求得7S =△ABQ ，再根据点Q 在抛物线214433y x x =--+上求得m 的值； (3)①由Q 坐标求出BQ 解析式，然后根据四边形ANEM 是平行四边形和BME AOM ≌得出BM =OA =4，再分类讨论求得M 和E 的坐标；②求出AM 解析式，交点为P ，再求出H 坐标，然后由两点间距离公式求出BP 和BH 长度，因为旋转不改变长度，所以1BP 长度不变，当H旋转到x 轴上时，此时1OH 最短，所以此时1OH 等于BO -BH ，然后带入计算即可．【详解】（1）∵点B 、C 在抛物线24y ax bx =++上∴ 将B 、C 坐标代入有366404240a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得1343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 抛物线的表达式为214433y x x =--+ （2）设点Q 坐标为（m ，n ）116=(3)222ABQ ABN ANQ m S S S AN m AN AN =+=⨯⨯+⨯⨯+△△△ 设直线BQ 的解析式为y kx b =+则有60km b n k b +=⎧⎨-+=⎩解得666b k n b m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩∵BQ 与y 轴交点为N∴ N 6(0)6n m +， ∴ 6(3)(4)726m n S m =+⨯-=+△ABQ 即235m n += 又∵点Q 在抛物线214433y x x =--+上 ∴ 214433n m m =--+ ∴ 2142+3=23(4)533m n m m m +⨯--+=-，即2670m m +-= 解得12170m m ==-，<（舍去）故1m =(3) ①由(2)知Q 7(1)3，设直线BQ 的解析式为y kx b =+∵ 0()6,B -∴ 117360k b k b ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩ 解得1132k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BQ 的解析式为1+23y x = ∵ N 为BQ 与y 轴交点，∴ N (0,2)，即AN =2，∵ 四边形ANEM 是平行四边形∴ AN ∥EM 且EM =AN =2，且点E 在点M 上方∵BME AOM ≅△△且M 在x 轴上∴ BM =OA =4∵ B (-6，0)∴ M (-2,0)或(-10,0)若M 为(-2,0),∵90BME AOM ︒∠=∠=，故E (-2，-2)若M 为(-10，0),∵ OM =ME =2，此时OM =10，(矛盾，舍去)综上M (-2，0)，E (-2,-2)②11BP最小值为如图，设AM 的解析式为y kx b =+∵ 抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，∴ 点A 的坐标为(0，4)将点A 、M 的坐标AM 的解析式得420b k b =⎧⎨-+=⎩解得24k b =⎧⎨=⎩∴ AM 的解析式为24y x =+AM 与BQ 相交于点P ∴24123y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩解得6585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点P 的坐标为68()55-，设直线BE 的解析式为y kx b =+将点B 、E 的坐标代入直线BE 的解析式得2260k b k b -+=-⎧⎨-+=⎩解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ 所以直线BE 的解析式为132y x =-- BE 与AM 相交于点H ∴24132y x y x =+⎧⎪⎨=--⎪⎩解得14585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴点H 的坐标为14585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴BPBH=∴1BP =当H 旋转到x 轴上时，此时1OH 最短，∴1OH =BO -BH=6∴11BP=故11BP 的最小值【点睛】本题考查了抛物线的综合运用，利用待定系数法求函数的解析式，找出相关点坐标，逐步分析求解是解题的关键．11．（2021·重庆南开中学九年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于()2,0A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为()4,2-．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线3:4l y x =与抛物线交于E F 、两点（点E 在F 的左侧），点G 为线段EF 上的一个动点，过G 作y 轴的平行线交抛物线于点H ，求GH GF +的最大值及此时点G 的坐标；（3）在（2）的条件下，如图2，若点G 是OF 的中点，将OBG △绕点O 旋转，旋转过程中，点B 的对应点为B '、点G 的对应点为G '，将抛物线沿直线AF 的方向平移（两侧均可），在平移过程中点D 的对应点为D ，在运动过程中是否存在点B '和点D 关于ABF 的某一边所在直线对称（B '与D 不重合），若存在，请直接写出点B '的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()21422y x =--；(2) 818，721,28G ⎛⎫ ⎪⎝⎭；(3) ()'2,4B ．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可．（2）联立一次函数和二次函数解析式，即可求出E 点和F 点坐标，设33()(8)42G x x x <<，，则21((4)2)2H x x --，，根据两点的距离公式可求出GH ，GF ，即可求出GH +GF ，最后根据382x <<和二次函数的性质，即可求出GH +GF 的最大值以及G 点坐标．（3）根据题意可求出点A ，B ，C 的坐标，由点G 是线段OF 中点，即可知G 点坐标，设21(,(4)2)2B t t '--，推出2223235t OG t -'==，求出t ，即求出B '点坐标．【详解】（1）∵顶点D ()42-，在抛物线上， ∴设抛物线()()2420y a x a =--≠，，将点A ()20，代入()242y a x =--，得：()20242a =--， ∴12a =， ∴抛物线的解析式为：()21422y x =--，（2）联立()2341422y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得：113=298x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22=86x y ⎧⎨=⎩． ∵点E 在点F 左侧，∴39()28E ，，(86)F ，． ∵点G 在抛物线上， ∴设33()(8)42G x x x <<，， ∴21((4)2)2H x x --，， ∴231(4)242G H GH y y x x =-=---，GF ===∵382x <<， ∴1204x ->， ∴5104GF x =-， ∴223151781(4)210()424228GH GF x x x x +=---+-=--+． ∵382x <<， ∴当72x =时，GH GF +取最大值818．此时721()28G ，．（3）令0y =，代入21(4)22y x =--，解得：1226x x ==，．∴(20)A ，，0(6)B ，． ∴624AB =-=，令0x =，代入21(4)22y x =--，解得6y =，∴6(0)C ，， ∵(86)F ，，点G 是线段OF 中点， ∴42F G x x ==，32F G y y ==． ∴(43)G ，，∵点B '在抛物线21(4)22y x =--上， ∴设21(,(4)2)2B t t '--， ∴2223235t OG t -'==，解得2t =，∴(24)B '，．【点睛】本题为一次函数与二次函数综合，较难．掌握利用待定系数法求解析式，联立方程求一次函数与二次函数交点坐标，求二次函数图象与坐标轴交点的坐标以及中点坐标公式是解答本题的关键．12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点 A （-1,0）B （点A 在点B 的左侧），交y 轴与点（0，-3），抛物线的对称轴为直线x ＝1，点D 为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知经过点A 的直线y ＝kx +b 与抛物线在第一象限交于点E ，连接AD ，DE ，BE ，当2ADE ABE S S ∆∆=时，求点E 的坐标．（3）如图2，在（2）中直线AE 与y 轴交于点F ，将点F 向下平移23Q ，连接QB ．将△OQB 绕点O 逆时针旋转一定的角度α（0°<α<360°）得到OQ B ''，直线B Q ''与x 轴交于点G ．问在旋转过程中是否存在某个位置使得OQ G '是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q '的坐标；若不存在，请说明理由．。

中考压轴题二次函数中的存在性问题之旋转

二次函数中的存在性问题之旋转【典例1】（2019•内江）两条抛物线C1：y1＝3x2﹣6x﹣1与C2：y2＝x2﹣mx+n的顶点相同．（1）求抛物线C2的解析式；（2）点A是抛物线C2在第四象限内图象上的一动点，过点A作AP⊥x轴，P为垂足，求AP+OP的最大值；（3）设抛物线C2的顶点为点C，点B的坐标为（﹣1，﹣4），问在C2的对称轴上是否存在点Q，使线段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）y1＝3x2﹣6x﹣1的顶点为（1，﹣4）也是y2＝x2﹣mx+n的顶点，即可求m，n；（2）作AP⊥x轴，设A（a，a2﹣2a﹣3），所以AP＝﹣a2+2a+3，PO＝a，可得AP+OP＝﹣a2+3a+3=−(a−3)2+214由已知可知0＜a＜3，即可求；2（3）假设C2的对称轴上存在点Q，过点B'作B'D⊥l于点D，可得∠B'DQ＝90°；①当点Q在顶点C的下方时，可证△BCQ≌△QDB'，设点Q（1，b），所以B'D＝CQ＝﹣4﹣b，QD＝BC＝2，可知B'（﹣3﹣b，2+b），可得（﹣3﹣b）2﹣2（﹣3﹣b）﹣3＝2+b，可求b＝﹣5，Q（1，﹣5），②当点Q在顶点C的上方时，同理可得Q（1，﹣2）．【解答】解：（1）y1＝3x2﹣6x﹣1的顶点为（1，﹣4），∵抛物线C1：y1＝3x2﹣6x﹣1与C2：y2＝x2﹣mx+n的顶点相同∴m＝2，n＝﹣3，∴y2＝x2﹣2x﹣3；（2）作AP⊥x轴，设A（a，a2﹣2a﹣3），∵A在第四象限，∴0＜a ＜3，∴AP ＝﹣a 2+2a +3，PO ＝a ，∴AP +OP ＝﹣a 2+3a +3=−(a −32)2+214 ∵0＜a ＜3，∴AP +OP 的最大值为214；（3）假设C 2的对称轴上存在点Q ，过点B '作B 'D ⊥l 于点D ，∴∠B 'DQ ＝90°，①当点Q 在顶点C 的下方时，∵B （﹣1，﹣4），C （1，﹣4），抛物线的对称轴为x ＝1，∴BC ⊥l ，BC ＝2，∠BCQ ＝90°，∴△BCQ ≌△QDB '（AAS ）∴B 'D ＝CQ ，QD ＝BC ，设点Q （1，b ），∴B 'D ＝CQ ＝﹣4﹣b ，QD ＝BC ＝2，可知B '（﹣3﹣b ，2+b ），∴（﹣3﹣b ）2﹣2（﹣3﹣b ）﹣3＝2+b ，∴b 2+7b +10＝0，∴b ＝﹣2或b ＝﹣5，∵b ＜﹣4，∴Q （1，﹣5），②当点Q 在顶点C 的上方时，同理可得Q （1，﹣2）；综上所述：Q （1，﹣5）或Q （1，﹣2）；【点睛】本题是二次函数的综合题；熟练掌握二次函数的图象及性质，分类探索点的存在性，数形结合解题是关键．【典例2】（2019•广元）如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，过A ，B 两点的抛物线y＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点C （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，若点E 是线段AC 上的一个动点（不与A ，C 重合），过点E 作EF ∥BC ，交AB 于点F ，当△BEF 的面积是52时，求点E 的坐标；（3）在（2）的结论下，将△BEF 绕点F 旋转180°得△B ′E ′F ，试判断点E ′是否在抛物线上，并说明理由．【点拨】（1）求出点A 、B 的坐标分别为（4，0）、（0，4），即可求解；（2）利用S △BEF ＝S △OAB ﹣S △OBE ﹣S △AEF =12×4×4−12×4m ﹣（4﹣m ）×16−4m 5=52，即可求解；（3）△BEF 绕点F 旋转180°得△B ′E ′F ，则点E ′（52，4），将该点坐标代入二次函数表达式即可检验．【解答】解：（1）y ＝﹣x +4…①，令x ＝0，y ＝4，令y ＝0，则x ＝4，故点A 、B 的坐标分别为（4，0）、（0，4），抛物线的表达式为：y ＝a （x +1）（x ﹣4）＝a （x 2﹣3x ﹣4），即﹣4a ＝4，解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+3x +4…②；（2）设点E （m ，0），直线BC 表达式中的k 值为4，EF ∥BC ，则直线EF 的表达式为：y ＝4x +n ，将点E 坐标代入上式并解得：直线EF 的表达式为：y ＝4x ﹣4m …③，联立①③并解得：x =45（m +1），则点F （4m+45，16−4m 5），S △BEF ＝S △OAB ﹣S △OBE ﹣S △AEF =12×4×4−12×4m −12（4﹣m ）×16−4m 5=52，解得：m =32，故点E （32，0），（3）由（2）知，E （32，0），点F （2，2）； ∵△BEF 绕点F 旋转180°得△B ′E ′F ，∴点E '与点E 关于点F 对称，则点E ′（52，4），当x =52时，y ＝﹣x 2+3x +4＝﹣（52）2+3×52+4≠4，故点E ′不在抛物线上．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用题，涉及到一次函数、面积的计算等知识点，其中（2），S △BEF ＝S △OAB ﹣S △OBE ﹣S △AEF ，是本题解题的关键．【精练1】（2019•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和点C （0，4），交x 轴正半轴于点B ，连接AC ，点E 是线段OB 上一动点（不与点O ，B 重合），以OE 为边在x 轴上方作正方形OEFG ，连接FB ，将线段FB 绕点F 逆时针旋转90°，得到线段FP ，过点P 作PH ∥y 轴，PH 交抛物线于点H ，设点E （a ，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）若△AOC 与△FEB 相似，求a 的值．（3）当PH ＝2时，求点P 的坐标．【点拨】（1）点C（0，4），则c＝4，二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，将点A的坐标代入上式，即可求解；（2）△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，即：tan∠FEB=14或4，即可求解；（3）证明△PNF≌△BEF（AAS），PH＝2，则﹣4a2+6a+4﹣4＝|2|，即可求解．【解答】解：（1）点C（0，4），则c＝4，二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）tan∠ACO=AOCO=14，△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，即：tan∠FEB=14或4，∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，EB＝4﹣a，则a4−a =14或a4−a=4，解得：a=165或45；（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故点B（4，0）；分别延长CF、HP交于点N，∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，∴∠FPN＝∠NFB，∵GN∥x轴，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，∵∠PNF＝∠BEF＝90°，FP＝FB，∴△PNF ≌△BEF （AAS ），∴FN ＝FE ＝a ，PN ＝EB ＝4﹣a ，∴点P （2a ，4），点H （2a ，﹣4a 2+6a +4），∵PH ＝2，即：﹣4a 2+6a +4﹣4＝±2，解得：a ＝1或12或3+√174或3−√174（舍去），故：点P 的坐标为（1，4）或（2，4）或（3+√172，4）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、正方形的性质、三角形相似等，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．【精练2】（2019•玉林）已知二次函数：y ＝ax 2+（2a +1）x +2（a ＜0）．（1）求证：二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）当二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且a 为负整数时，求a 的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x 轴的两个交点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴的交点C 及其顶点D 这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A ，B ，C ，D 的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P 使∠PCA ＝75°？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【点拨】（1）将解析式右边因式分解得抛物线与x 轴的交点为（﹣2，0）、（−1a ，0），结合a ＜0即可得证；（2）结合（1）中一个交点坐标（−1a，0）及横坐标均为整数，且a 为负整数可得a 的值，从而得出抛物线解析式，继而求出点C 、D 坐标，从而画出函数图象；（3）分点P 在AC 上方和下方两种情况，结合∠ACO ＝45°得出直线PC 与x 轴所夹锐角度数，从而求出直线PC 解析式，继而联立方程组，解之可得答案．【解答】解：（1）∵y＝ax2+（2a+1）x+2＝（x+2）（ax+1），且a＜0，∴抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）、（−1a，0），则二次函数的图象与x轴有两个交点；（2）∵两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数，∴a＝﹣1，则抛物线与x轴的交点A的坐标为（﹣2，0）、B的坐标为（1，0），∴抛物线解析式为y＝（x+2）（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+12）2+94，当x＝0时，y＝2，即C（0，2），函数图象如图1所示：（3）存在这样的点P，∵OA＝OC＝2，∴∠ACO＝45°，如图2，当点P在直线AC上方时，记直线PC与x轴的交点为E，∵∠PCA ＝75°，∴∠PCO ＝120°，∠OCB ＝60°，则∠OEC ＝30°，∴OE =OC tan∠OEC =√33=2√3，则E （2√3，0），求得直线CE 解析式为y =−√33x +2，联立{y =−√33x +2y =−x 2−x +2，解得{x =0y =2或{x =√3−33y =√3+53， ∴P （√3−33，√3+53）；如图3，当点P 在直线AC 下方时，记直线PC 与x 轴的交点为F ，∵∠ACP ＝75°，∠ACO ＝45°，∴∠OCF ＝30°，则OF ＝OC tan ∠OCF ＝2×√33=2√33，∴F （2√33，0），求得直线PC 解析式为y =−√3x +2，联立{y =−√3x +2y =−x 2−x +2，解得：{x =0y =2或{x =√3−1y =√3−1， ∴P （√3−1，√3−1），综上，点P 的坐标为（√3−33，√3+53）或（√3−1，√3−1）．【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、直线与抛物线相交的问题等．【精练3】（2019•广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y =√38x 2+3√34x −7√38与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），点D 为抛物线的顶点，点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F ，△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE ，点A 恰好旋转到点F ，连接BE ．（1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求证：四边形BFCE 是平行四边形；（3）如图2，过顶点D 作DD 1⊥x 轴于点D 1，点P 是抛物线上一动点，过点P 作PM ⊥x 轴，点M 为垂足，使得△P AM 与△DD 1A 相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P 的横坐标；②直接回答这样的点P 共有几个？【点拨】（1）利用抛物线解析式求得点A 、B 、D 的坐标；（2）欲证明四边形BFCE 是平行四边形，只需推知EC ∥BF 且EC ＝BF 即可；（3）①利用相似三角形的对应边成比例求得点P 的横坐标，没有指明相似三角形的对应边（角），需要分类讨论；②根据①的结果即可得到结论．【解答】解：（1）令√38x 2+3√34x −7√38=0，解得x 1＝1，x 2＝﹣7．∴A （1，0），B （﹣7，0）．由y =√38x 2+3√34x −7√38=√38（x +3）2﹣2√3得，D （﹣3，﹣2√3）；（2）证明：∵DD 1⊥x 轴于点D 1，∴∠COF ＝∠DD 1F ＝90°，∵∠D 1FD ＝∠CFO ，∴△DD 1F ∽△COF ，∴D 1DFD 1=CO OF ，∵D （﹣3，﹣2√3），∴D 1D ＝2√3，OD 1＝3，∵AC ＝CF ，CO ⊥AF∴OF ＝OA ＝1∴D 1F ＝D 1O ﹣OF ＝3﹣1＝2，∴2√32=OC 1， ∴OC =√3，∴CA ＝CF ＝F A ＝2，∴△ACF 是等边三角形，∴∠AFC ＝∠ACF ，∵△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE ，∴∠ECF ＝∠AFC ＝60°，∴EC ∥BF ，∵EC ＝DC =√32+(√3+2√3)2=6，∵BF ＝6，∴EC ＝BF ，∴四边形BFCE 是平行四边形；（3）∵点P 是抛物线上一动点，∴设P 点（x ，√38x 2+3√34x −7√38）， ①当点P 在B 点的左侧时，∵△P AM 与△DD 1A 相似，∴DD 1PM =D 1A MA 或DD 1AM =D 1A PM ， ∴√3√38x +3√34x−7√38=41−x 或2√31−x =√38x +3√34x−7√38，解得：x 1＝1（不合题意舍去），x 2＝﹣11或x 1＝1（不合题意舍去）x 2=−373；当点P 在A 点的右侧时，∵△P AM 与△DD 1A 相似，∴PM AM =DD 1D 1A 或PM MA =D 1ADD 1，∴√38x 2+3√34x−7√38x−1=2√34或√38x 2+3√34x−7√38x−1=2√3，解得：x 1＝1（不合题意舍去），x 2＝﹣3（不合题意舍去）或x 1＝1（不合题意舍去），x 2=−53（不合题意舍去）；当点P 在AB 之间时，∵△P AM 与△DD 1A 相似，∴PMAM =DD 1D 1A 或PMMA =D 1ADD 1， ∴√38x 2+3√34x−7√38x−1=2√34或√38x 2+3√34x−7√38x−1=2√3，解得：x 1＝1（不合题意舍去），x 2＝﹣3（不合题意舍去）或x 1＝1（不合题意舍去），x 2=−53；综上所述，点P 的横坐标为﹣11或−373或−53；②由①得，这样的点P 共有3个．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．【精练4】（2019•大连）把函数C 1：y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ≠0）的图象绕点P （m ，0）旋转180°，得到新函数C 2的图象，我们称C 2是C 1关于点P 的相关函数．C 2的图象的对称轴与x 轴交点坐标为（t ，0）．（1）填空：t 的值为 2m ﹣1 （用含m 的代数式表示）（2）若a ＝﹣1，当12≤x ≤t 时，函数C 1的最大值为y 1，最小值为y 2，且y 1﹣y 2＝1，求C 2的解析式；（3）当m ＝0时，C 2的图象与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧）．与y 轴相交于点D ．把线段AD 原点O 逆时针旋转90°，得到它的对应线段A ′D ′，若线A ′D ′与C 2的图象有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【点拨】（1）C 1：y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a ＝a （x ﹣1）2﹣4a ，顶点（1，﹣4a ）围绕点P （m ，0）旋转180°的对称点为（2m ﹣1，4a ），即可求解；（2）分12≤t ＜1、1≤t ≤32、t ＞32三种情况，分别求解；（3）分a ＞0、a ＜0两种情况，分别求解．【解答】解：（1）C 1：y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a ＝a （x ﹣1）2﹣4a ，顶点（1，﹣4a ）围绕点P （m ，0）旋转180°的对称点为（2m ﹣1，4a ），C 2：y ＝﹣a （x ﹣2m +1）2+4a ，函数的对称轴为：x ＝2m ﹣1，t ＝2m ﹣1，故答案为：2m ﹣1；（2）a ＝﹣1时，C 1：y ＝﹣（x ﹣1）2+4，①当12≤t ＜1时， x =12时，有最小值y 2=154，x ＝t 时，有最大值y 1＝﹣（t ﹣1）2+4，则y 1﹣y 2＝﹣（t ﹣1）2+4−154=1，无解； ②1≤t ≤32时，x ＝1时，有最大值y 1＝4， x =12时，有最小值y 2＝﹣（t ﹣1）2+4，y 1﹣y 2=14≠1（舍去）；③当t ＞32时，x ＝1时，有最大值y 1＝4，x ＝t 时，有最小值y 2＝﹣（t ﹣1）2+4，y 1﹣y 2＝（t ﹣1）2＝1，解得：t ＝0或2（舍去0），故C 2：y ＝（x ﹣2）2﹣4＝x 2﹣4x ；（3）m＝0，C2：y＝﹣a（x+1）2+4a，点A、B、D、A′、D′的坐标分别为（1，0）、（﹣3，0）、（0，3a）、（0，1）、（﹣3a，0），当a＞0时，a越大，则OD越大，则点D′越靠左，当C2过点A′时，y＝﹣a（0+1）2+4a＝1，解得：a=1 3，当C2过点D′时，同理可得：a＝1，故：0＜a≤13或a≥1；当a＜0时，当C2过点D′时，﹣3a＝1，解得：a=−1 3，故：a≤−1 3；综上，故：0＜a≤13或a≥1或a≤−13．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转等，其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏．【精练5】（2018•重庆）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B 与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+12FO的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+12FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．【点拨】（1）求出A 、B 两点坐标，即可解决问题；（2）如图1中，设P （m ，﹣m 2+4m ），作PN ∥y 轴交BE 于N ．构建二次函数利用二次函数的性质求出满足条件的点P 坐标，作直线OG 交AB 于G ，使得∠COG ＝30°，作HK ⊥OG 于K 交OC 于F ，因为FK =12OF ，推出PH +HF +12FO ＝PH +FH +Fk ＝PH +HK ，此时PH +HF +12OF 的值最小，解直角三角形即可解决问题；（3）分两种情形分别求解即可；【解答】解：（1）由题意A （1，3），B （3，3），∴AB ＝2．（2）如图1中，设P （m ，﹣m 2+4m ），作PN ∥y 轴交BE 于N ．∵直线BE 的解析式为y ＝x ，∴N （m ，m ），∴S △PEB =12×2×（﹣m 2+3m ）＝﹣m 2+3m ，∴当m =32时，△PEB 的面积最大，此时P （32，154），H （32，3）， ∴PH =154−3=34，作直线OG 交AB 于G ，使得∠COG ＝30°，作HK ⊥OG 于K 交OC 于F ，∵FK =12OF ，∴PH +HF +12FO ＝PH +FH +FK ＝PH +HK ，此时PH +HF +12OF 的值最小，∵12•HG •OC =12•OG •HK ，∴HK=√3+32)2√3=32+3√34，∴PH+HF+12OF的最小值为94+3√34．（3）如图2中，由题意CH=32，CF=√32，QF′=12，CQ＝1，∴Q（﹣1，3），D（2，4），DQ=√10，①当DQ为菱形的边时，S1（﹣1，3−√10），S2（﹣1，3+√10），S4（5，3）②当DQ为对角线时，可得S3（﹣1，8），综上所述，满足条件的点S坐标为（﹣1，3−√10）或（﹣1，3+√10）或（﹣1，8）或（5，3）．【点睛】本题考查二次函数综合题、最短问题、菱形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，根据垂线段最短解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。

二次函数绕某点旋转公式

二次函数绕某点旋转公式二次函数绕某点旋转公式在数学中，二次函数是一种最基本的函数，它的形式为y = ax^2 + bx + c。

对于二次函数的运用，我们通常会用到它的一些特殊形式，如顶点、对称轴等。

除此之外，还有一个非常常见的应用，那就是将二次函数绕某个点旋转。

在本文中，我们将会学习二次函数绕某点旋转的公式以及具体的应用方法。

一、绕原点旋转的二次函数首先，我们需要了解的是如何将一个二次函数绕原点旋转。

假设我们有一个二次函数y = f(x)，我们想要将它绕原点O(x_0, y_0)旋转θ度，那么我们该怎么做呢？首先，我们需要对原来的二次函数进行一些变形。

假设绕O旋转后的二次函数为 y = g(x)，我们可以通过以下公式将二次函数进行变形：g(x) = f((x - x_0)cosθ + (y - y_0) sinθ, -(x - x_0)sinθ + (y - y_0) cosθ）这个公式看起来非常复杂，但是实际上只需要理解其中的含义，就能轻松地记住它。

首先，我们看到一个点(x, y)，我们希望它围绕原点旋转θ 度之后变为另一个点 (x', y')，那么我们需要用到一些三角函数的知识。

我们将(x, y)分别投影到x轴和y轴上，分别得到点P和点Q。

此时，我们可以根据三角函数的定义计算出点P 和点Q关于x轴和y轴的夹角，并将它们与θ相加，得到新的夹角α。

现在，我们可以将点P沿着α的方向旋转θ度，得到新的点P'。

同理，我们将点Q沿着α的方向旋转θ度，得到新的点Q'。

此时，我们可以将点P'在x轴上的投影连接点Q'在y轴上的投影，得到新点(x', y')。

根据上面的过程，我们可以得到一个非常奇怪的公式，看起来非常不容易记住。

但是，如果我们仔细推导它，就会发现它其实是一个简单的向量旋转公式的推导。

因此，如果你熟悉向量的知识，那么这个公式就非常容易理解。

(完整版)二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题

二次函数图像平移、旋转总归纳一、二次函数的图象的平移，先作出二次函数y=2x 2+1的图象①向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x 2+4；②向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x 2-3；③向左平移5个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x+5）2+1； ④向右平移6个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x-6）2+1．由此可以归纳二次函数y=ax 2+c向上平移m 个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax 2+c+m ；向下平移m 个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax 2+c-m ；向左平移n 个单位，所得图象的函数表达式是:y=a （x+n ）2+c ；向右平移n 个单位，所得图象的函数表达式是:y=a （x-n ）2+c ，二、二次函数的图象的翻折在一张纸上作出二次函数y=x 2-2x-3的图象，⑤沿x 轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是:y=x 2+2x-3． ⑥沿y 轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是：y=x 2+2x-3由此可以归纳二次函数y=ax 2+bx+c若沿x 轴翻折，所得图象的函数表达式是:y=-ax 2-bx-c ，若沿y 轴翻折，所得图象的函数表达式是：y=ax 2-bx+c三、二次函数的图象的旋转，将二次函数y=- x 2+x-1的图象，绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y= x 2-x+1；由此可以归纳二次函数y=ax 2+bx+c 的图象绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=-ax 2-bx-c ．（备用图如下）21211、（2011•桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2+2x+3绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A ．y=-（x+1）2+2B ．y=-（x －1）2+4C ．y=-（x －1）2+2D ．y=-（x+1）2+42、（2012浙江宁波中考）把二次函数y ＝（x －1）2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为________．3、飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间 t （单位：s ）的函数关系式是s=60t-1.5t 2，飞机着陆后滑行的最远距离是（）A ．600mB ．300mC ．1200mD ．400m4、（2012•襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的函数关系式是y=60x-1.5x 2，该型号飞机着陆后滑行m 才能停下来．5、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点（－2，0），(x 1，0)且1＜x 1＜2，与y·轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，下列结论：①a ＜b ＜0；②2a+c ＞0；③4a+c< 0，④2a －b+l ＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________．6、已知二次函数y ＝ax 2（a ≥1）的图像上两点A 、B 的横坐标分别是－1、2，点O 是坐标原点，如果△AOB 是直角三角形，则△OAB 的周长为。

二次函数的平移与旋转例谈

二次函数的平移与旋转例谈二次函数的平移与旋转是两种重要的变换,因此有时也在中考试卷中亮相,只要大家掌握平移与旋转的规律,这类问题就能迎刃而解,现举例分析如下:例1 （兰州）将抛物线23x y =绕原点按顺时针方向旋转180°后，再分别向下、向右平移1个单位，此时该抛物线的解析式为（）A.1)1(32---=x yB. 1)1(32-+-=x yC.1)1(32+--=x yD. 1)1(32++-=x y分析:抛物线绕原点按顺时针方向旋转180°后,开口向下,解析式为23x y -=,然后向下平移一个单位后解析式为: 23x y -=-1,再向右平移1个单位后解析式为1)1(32---=x y ,故选 A. 评注:抛物线的旋转实质上是改变开口方向.平移遵循左加右减,上加下减.例2 (上海)在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4)且过B(3,0).(1) 求该二次函数解析式;(2) 将该函数向右平移几个单位,可使得平移后所得图象经过原点,并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.分析:已知二次函数的顶点坐标,求二次函数解析式用顶点式,然后求出抛物线与x 轴的两个交点坐标,进而求得该函数向右平移的单位和另一个交点坐标.解:(1)设二次函数解析式为().412--=x a y∵二次函数图象过点B(3,0),∴0=4a-4,得a=1. ∴二次函数解析式为().412--=x y 即.322--=x x y (2)设y=0得.0322=--x x 解方程得.1,321-==x x二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(3,0)和(-1,0).∴二次函数向右平移1个单位后经过原点.∴平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(4,0).评注:二次函数()k h x a y +-=2的图象可由抛物线2ax y =向左(或向右)平移|h|个单位,再向上(或向下)平移|k|个单位而得到.平移规律:左加右减,上加下减. 例3 (山东滨州)（1）把二次函数2339424y x x =-++代成2()y a x h k =-+的形式．（2）写出抛物线2339424y x x =-++的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是由哪一条形如2y ax =的抛物线经过怎样的变换得到的？（3）如果抛物线2339424y x x =-++中，x 的取值范围是03x ≤≤，请画出图象，并试着给该抛物线编一个具有实际意义的情境（如喷水、掷物、投篮等）．分析:本题考查了配方法.通过配方法可以求出顶点坐标和对称轴,可以看到图象之间的变换关系.至于应用情境,找符合图象且满足图象中与y 轴交点正确、顶点正确的情境即可.解:(1)()()().31434911243492434923432222+--=+-+--=+--=++-=x x x x x x x y (2)由上式可知抛物线的顶点坐标为(1,3),其对称轴为直线x=1,该抛物线是由抛物线 243x y -=向右平移1个单位,再向上平移3个单位(或向上平移3个单位,再向右平移1个单位)得到的.(3)抛物线与x 轴交于(3,0),与y 轴交于(0,49),顶点为(1,3),把这三个点用于平滑的曲线连接起来就得到抛物线在0≤x≤3的图象(如图2)情境示例:小明在平台上,从离地面2.25m 处抛出一物体,落在平台底部水平距离为3m 的地面上,物体离地面的最大高度为3m.评注:本题综合考查了抛物线配方法和基础知识，以及图象之间的变换与应用情境.y xO 1 3 图1 49 (1,3)。

小专题：二次函数的平移与旋转

x y O A l 1 l 2B C 图8 二次函数的平移与旋转：1. 将二次函数2y x =的图像向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图像解析式为（）A. 2(1)3y x =-+B. 2(1)3y x =++C. 2(1)3y x =--D. 2(1)3y x =+- 2.将抛物线y =x 2﹣2x +3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）A ． y =（x ﹣1）2+4B ． y =（x ﹣4）2+4C ． y =（x +2）2+6D ． y =（x ﹣4）2+6 3.要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（）(A ) 向左平移1个单位，再向上平移2个单位. (B ) 向左平移1个单位，再向下平移2个单位.(C ) 向右平移1个单位，再向上平移2个单位. D ) 向右平移1个单位，再向下平移2个单位4．如图8，已知抛物线()222121--=x ：y l 与x 轴分别交于O 、A 两点，将抛物线l 1向上平移得到抛物线l 2，过点A 作AB ⊥x 轴交抛物线l 2于点B ，如果由抛物线l 1、l 2、直线AB 及y 轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l 2的函数表达式为A ．()42212+-=x yB ．()32212+-=x yC ．()22212+-=x yD ．()12212+-=x y 5.抛物线y =x 2+2x +3的顶点坐标是． 6.如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，顶点C 的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y =a 1x 2+b 1x +c 1，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①b ＞0 ②a ﹣b +c ＜0③阴影部分的面积为4④若c =﹣1，则b 2=4a ．7.如果将抛物线y ＝x 2＋2x －1向上平移使它经过点A (0，3)，那么所得新抛物线的表达式是_____ __． 8．如图，将腰长为5的等腰Rt △ABC (∠C 是直角)放在平面直角坐标系中的第二象限，其中点A 在y 轴上，点B 在抛物线y ＝ax 2＋ax －2上，点C 的坐标为(－1，0)．(1)点A 的坐标为，点B 的坐标为；(2)抛物线的关系式为，其顶点坐标为；(3)将三角板ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转90°，到达AB C ''△的位置．请判断点B '、C '是否在(2)中的抛物线上，并说明理由．9.在平面直角坐标系xOy 中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB 在x 轴上，直角顶点C 在y 轴正半轴上，已知点A （-1，0）．（1）请直接写出点B ，C 的坐标：B （，），C （，）；（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线解析式；（3）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF （其中∠EDF =90°，∠DEF =60°），把顶点E 放在线段AB 上（点E 是不与A ，B 两点重合的动点），并使ED 所在直线经过点C ．此时，EF 所在直线与（2）中的抛物线交于第一象限的点M ．当AE =2时，抛物线的对称轴上是否存在点P 使△PEM 是等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．备用图。

二次函数绕某点旋转180后的解析式

二次函数绕某点旋转180后的解析式
二次函数绕某点旋转180后的解析式是数学中一种常见的概念，它用以表达一个二次函数的不同形式，更多的是分析函数的性质。

通过求出二次函数绕某点旋转180后的解析式，可以简化许多求解应用。

这类问题的解法关键在于理解二次函数的关键几何特性，主要是它对称轴和极值，只有理解了这些特性，才能更好地解决这一问题好。

具体来说，要求出二次函数绕某点旋转180后的解析式首先必须确定这个点的位置。

一般而言，绕原点旋转180度后将获得的函数的形式是什么？即
y=f(x)=(ax+b)^2。

可以看出这个函数围绕原点对称，其极值部分与原函数相反，函数本身只是上下翻转而已。

对于其它情况，只需要将这个函数先按照原点旋转180度，然后再将这个函数按照给定点缩放和旋转即可。

简单地说，二次函数绕某点旋转180后的解析式可以分为先旋转180度，然后再按照缩放比例和旋转角度即可求得。

首先要确定这个旋转中心的位置，然后对这个函数的极值和对称轴进行调整，最终可以求得最终的解析式。