二次函数的实际应用(典型例题分类)

二次函数与实际问题

1、理论应用（基本性质的考查：解析式、图象、性质等）

2、实际应用（拱桥问题，求最值、最大利润、最大面积等）

类型一：最大面积问题

例一：如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y(㎡)与路宽x(m)之间的关系？并求出绿地面积的最大值？

变式练习1：如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积

y(㎡)与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数关系式？当x为多长时，花园面积最大？

类型二：利润问题

例二：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?

设销售单价为x元，(0＜x≤13.5)元，那么

（1）销售量可以表示为____________________；

（2）销售额可以表示为____________________；

（3）所获利润可以表示为__________________；

（4）当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是__________

变式训练2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

变式训练3：某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历从亏损到盈利的过程，如下图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润之和y与x之间的关系）．

（1）根据图上信息，求累积利润y（万元）与销售时间x（月）的函数关系式；

（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元？

（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

400

300

60 70 Ｏ

y (件) )

变式训练4.某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y （件）与销售单价x （元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．

（1）求y 与x 之间的函数关系式；

（2）设公司获得的总利润（总利润＝总销售额 总成本）为P 元，求P 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；根据题意判断：当x 取何值时，P 的值最大？最大值是多少？

类型三:实际抛物线问题

例三：某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图10所示。

（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；

（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m ，车

与箱共高4.5m ，此车能否通过隧道？并说明理由。

4米，水位上升3米就达变式练习3：如图是抛物线型的拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽6

4米，若洪水到来时，水位以每小

到警戒水位线CD，这时水面宽3 Array时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？

例2图

变式练习4：如图，某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地面高度为8米，两侧距

地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度

为。（精确到0.1米）

第3题图

题图

变式：1如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。

（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）

（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；

（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。

课后练习：

一，利润问题：

1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？

二，面积问题：

2，如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．

(1)设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？

(2)设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

3. 有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，

现把它的示意图放在平面直角坐标系中，

如图该抛物线的解析式为。

4.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y ＝－

1

12

(x－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是________m.

5、如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果

他的出手处A距地面的距离OA为1 m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．

x

y

A

B

O