第三章信道容量——信息论与编码

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信息论与编码理论-第3章信道容量-习题解答

信息论与编码理论-第3章信道容量-习题解答-071102(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第3章信道容量习题解答3-1 设二进制对称信道的转移概率矩阵为2/31/31/32/3⎡⎤⎢⎥⎣⎦解: (1) 若12()3/4,()1/4P a P a ==，求(),(),(|),(|)H X H Y H X Y H Y X 和(;)I X Y 。

i i 2i=13311H(X)=p(a )log p(a )log()log()0.8113(/)4444bit -=-⨯-=∑符号111121*********j j j=132117p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=43431231125p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=4343127755H(Y)=p(b )log(b )=log()log()0.9799(/)12121212bit ⨯+⨯=⨯+⨯=---=∑符号22i j j i j i j i ,H(Y|X)=p(a ,b )logp(b |a )p(b |a )logp(b |a )2211log()log()0.9183(/)3333i jjbit -=-=-⨯-⨯=∑∑符号I(X;Y)=H(Y)H(Y|X)=0.97990.91830.0616(/)bit --=符号 H(X|Y)=H(X)I(X;Y)=0.81130.06160.7497(/bit --=符号)(2)求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布。

二进制对称信息的信道容量H(P)=-plog(p)-(1-p)log(1-p)1122C =1-H(P)=1+log()+log()=0.0817(bit/)3333符 BSC 信道达到信道容量时，输入为等概率分布，即：{，} 注意单位3-2 求下列三个信道的信道容量及其最佳的输入概率分布。

信息论与编码习题与答案第三章

解：信道容量
由于，每个二元符号的信息量为1bit,14000个符号14000bit的信息，传输14000bit的信息需要时间
不能无失真的传输
=
bit/symbol
（3）当接收为，发为时正确，如果发的是则为错误，各自的概率为：
则错误概率为：
（4）
从接收端看平均错误概率为
（5）从发送端看的平均错误概率为：
（6）能看出此信道不好。原因是信源等概率分布，从转移信道来看正确发送的概率x1→y1的概率0.5有一半失真；x2→y2的概率0.3有严重失真；x3→y3的概率0完全失真。
(1)接收端收到一个符号后得到的信息量H(Y);
(2)计算噪声熵 ;
(3)计算接收端收到一个符号的错误概率；
(4)计算从接收端看的平均错误概率；
(5)计算从发送端看的平均错误概率；
(6)从转移矩阵中能看出该新到的好坏吗？
(7)计算发送端的H(X)和。
解：(1)
（2）联合概率，后验概率
H(Y/X)=
解：由题意可知该二元信道的转移概率矩阵为：为一个BSC信道所以由BSC信道的信道容量计算公式得到：
3-6设有扰离散信道的传输情况分别如图3－17所示。求出该信道的信道容量。
解：信道转移概率矩阵为P= 该信道为离散对称信道DMC
3-7发送端有三种等概率符号， ,接收端收到三种符号，信道转移概率矩阵为
3.1设二元对称信道的传递矩阵为
(1)若P(0)= 3/4,P(1)= 1/4，求H(X), H(X/Y), H(Y/X)和I(X;Y)；
(2)求该信道的信道容
其最佳输入分布为
3.3在有扰离散信道上传输符号0和1，在传输过程中每100个符号发生一个错误，已知P(0)=P(1)=1/2，信源每秒内发出1000个符号，求此信道的信道容量。

《信息论与编码》习题解答-第三章

第三章信道容量-习题答案3.1 设二元对称信道的传递矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡3/23/13/13/2 (1) 若P(0) = 3/4, P(1) = 1/4，求H(X), H(X/Y), H(Y/X)和I(X;Y)； (2) 求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布；解： 1)symbolbit Y X H X H Y X I symbol bit X Y H Y H X H Y X H X Y H Y H Y X H X H Y X I symbol bit y p Y H x y p x p x y p x p y x p y x p y p x y p x p x y p x p y x p y x p y p symbolbit x y p x y p x p X Y H symbolbit x p X H jj iji j i j i i i / 062.0749.0811.0)/()();(/ 749.0918.0980.0811.0)/()()()/()/()()/()();(/ 980.0)4167.0log 4167.05833.0log 5833.0()()(4167.032413143)/()()/()()()()(5833.031413243)/()()/()()()()(/ 918.0 10log )32lg 324131lg 314131lg 314332lg 3243( )/(log )/()()/(/ 811.0)41log 4143log 43()()(222221212221221211112111222=-==-==+-=+-=-=-==⨯+⨯-=-==⨯+⨯=+=+==⨯+⨯=+=+==⨯⨯+⨯+⨯+⨯-=-==⨯+⨯-=-=∑∑∑∑2)21)(/ 082.010log )32lg 3231lg 31(2log log );(max 222==⨯++=-==i mi x p symbolbit H m Y X I C3.2 解：(1)αα-==1)(,)(21x p x p⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4/14/12/102/12/1P ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=4/)1(4/)1(2/)1(02/12/1)(αααααj i y x P 4/)1()(,4/14/)(,2/1)(321αα-=+==y p y p y p接收端的不确定度：))1(41log()1(41)4141log()4141()2log(21)(αααα---++-=Y H)1log(41)1log(4123αααα---++-= (2))4log()1(41)4log()1(41)2log()1(210)2log(21)2log(21)|(ααααα-+-+-+++=X Y H α2123-= (3))|()();(X Y H Y H Y X I -=);(max )()(Y X C i x p =α,0)(=ααC d d,得到5/3=α 161.0)5/3();max(===C Y X C 3.3∑==⨯++=+=21919.001.0log 01.099.0log 99.02log log )log(j ij ij p p m C0.919*1000=919bit/s 3.4⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=εεεε-10-10001ij p2/1)()(0)(321===a p a p a p 0)(1=b p2/12/1)1(2/100)|()(),()(222=⨯+-⨯+⨯===∑∑εεi ii ii a b p a p b a p b p2/1-12/12/100)|()(),()(333=⨯+⨯+⨯===∑∑）（εεi ii ii a b p a p b a p b p)()|(log)|();(j i j ji j i b p a b p a b p Y a I ∑=0);(1=Y a Iεεεε2log )1(2log )1(0)()|(log)|();(222+--+==∑j j jj b p a b p a b p Y a I )1(2log )1(2log 0)()|(log)|();(333εεεε--++==∑j j jj b p a b p a b p Y a I当0=ε，1=C 当2/1=ε，0=C 3.5两个信道均为准对称DMC 信道设输入符号概率αα-==1)(,)(21a p a p ，（1）对于第一种信道的联合概率的矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡---------)1(2)1)(1()1)((2)()1(αεαεαεεααεαεp p p p⎥⎦⎤⎢⎣⎡---)()1(εαεp p 3.6⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2/1002/12/12/10002/12/10002/12/1P 121log 2121log 214log log )log(41=++=+=∑=ij j ij p p m C3.7解：(1)从已知条件可知：3,2,1,3/1)(==i x p i ，且转移概率⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0109101103103525110321)|(i j x y p ，则联合概率⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==010330110110115215110161)()|(i i j ij x p x y p p ，因为：),()(∑=ij i j y x p y p ，可计算得到31)(1=y p ，21)(2=y p ，61)(3=y p499.16log 612log 213log 31)(=++=Y H(2)175.1910log 10310log 301310log 101310log10125log 1525log 151310log 1012log 61)|(log )()|(=+++++++=-=∑iji j j i x y p y x p X Y H (3)当接收为2y ，发送为2x 时正确，如果发送为1x 和3x 为错误，各自的概率为： 5/1)|(21=y x p ，5/1)|(22=y x p ，5/3)|(23=y x p 它的错误概率为：5/4)|()|(2321=+=y x p y x p p e(4)从接收端看到的平均错误概率为：===∑∑≠≠ji ij ji j i j e p y x p y p p )|()(收733.010/115/110/310/130/115/2=+++++(5)从发送端看到的平均错误概率为：===∑∑≠≠ji ij ji i j i e p x y p x p p )|()(发733.010/115/110/310/130/115/2=+++++(6)此信道不好，因为信源等概率分布，从转移信道来看，正确发送的概率11y x >-为0.5，有一半失真；22y x >-为0.3，严重失真；33y x >-为0，完全失真。

信息论与编码第三章：信道容量

3.1 信道的数学模型和分类

信道分类

从工程物理背景——传输媒介类型；从数学描述方式——信号与干扰描述方式；从信道本身的参数类型——恒参与变参；从用户类型——单用户与多用户；
信道的数学模型和分类
离散无记忆连续信号类型半离散有记忆半连续无干扰：干扰少到可忽略；信号与干扰类型无源热噪声线性叠加干扰有源散弹噪声脉冲噪声干扰类型有干扰交调乘性干扰衰落码间干扰

信道的数学模型和分类
出 Y x1 xn y1 ym 入 X p( x ) p( x ) →信道→ p( y ) p( y ) p ( x) p( y ) 1 n 1 m
其中： xi X
C maxI ( X ; Y ) max[ H (Y )] ( p log p p log
p ( xi ) p ( xi )
p ) n 1
单符号离散信道的信道容量
强对称离散信道的信道容量

强对称信道的信道容量
1 H (Y ) log n，当p ( y j ) 时，H (Y )达到最大值 n n 要获得这一最大值，通过公式p( y j ) p( xi ) p( y j / xi ), j 1, 2,, n
C = max[ H (Y )] H (q1 , q2 , , qm )
p ( xi )
log m H (q1 , q2 , , qm )
?
单符号离散信道的信道容量
准对称离散信道的信道容量
将H(Y)中的m项分成s个子集M1, M2,…, Ms,各子集分别有m 1, m 2,…, m s个元素（ m 1+ m 2+…+ m s= m ）,则

信息论与编码_第3章信道容量

x1 y1 y2 y3 y4 y5 y6
0.5 0.5
条件熵: H(X|Y) =0, H(Y|X) ≠ 0 互信息量: I(X; Y)=H(X) < H(Y) 信道容量: C = log |A|=logn.
x2
0.6 0.3 0.1 x3 1
16
3.2 离散无记忆信道容量
例3-2-1 设离散无噪有损信道的转移概率矩阵为
x1 x2 x3 1 1 1 y1 y2 y3
条件熵: H(X|Y)= H(Y|X)=0 互信息量: I(X;Y)=H(Y)=H(X) 信道容量: C=log|A|=log|B|=logn.
14
3.2 离散无记忆信道容量
无噪有损信道 X与Y是多对一关系.
1 1 P(Y | X ) = 0 0 0 0 1 1 .
随机变量的取值分类根据输入与输出随机变量的取值分类离散信道(数字信道时间、取值离散数字信道: 离散) 离散信道数字信道时间、取值离散连续信道(模拟信道取值连续模拟信道: 连续) 连续信道模拟信道取值连续半连续信道( 时间、取值一个离散，另一个连续半连续信道时间、取值一个离散，一个连续) 离散连续波形信道(时间取值连续时间、连续) 波形信道时间、取值连续
j
25
3.2 离散无记忆信道容量
准对称信道的最佳分布是等概的设准对称信道的转移概率矩阵能够被列分割为等个对称子矩阵。当输入符号为等概分布时，互信息量在集合上的统计平均值为
I ( X = ai , Y ) = ∑ p (b j / ai ) log
j
p ( b j / ai )
=∑
s
j∈Ω s
C = log n + ∑ p (b j | ai ) log p (b j | ai ) − ∑ N s log M s

信息论与编码理论-第3章信道容量-习题解答-071102

第3章信道容量习题解答3-1 设二进制对称信道的转移概率矩阵为2/31/31/32/3⎡⎤⎢⎥⎣⎦解: (1) 若12()3/4,()1/4P a P a ==，求(),(),(|),(|)H X H Y H X Y H Y X 和(;)I X Y 。

i i 2i=13311H(X)=p(a )log p(a )log()log()0.8113(/)4444bit -=-⨯-=∑符号111121*********j j j=132117p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=43431231125p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=4343127755H(Y)=p(b )log(b )=log()log()0.9799(/)12121212bit ⨯+⨯=⨯+⨯=---=∑符号 22i j j i j i j i ,H(Y|X)=p(a ,b )logp(b |a )p(b |a )logp(b |a )2211log()log()0.9183(/)3333i jjbit -=-=-⨯-⨯=∑∑符号I(X;Y)=H(Y)H(Y|X)=0.97990.91830.0616(/)bit --=符号 H(X|Y)=H(X)I(X;Y)=0.81130.06160.7497(/bit --=符号)(2)求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布。

二进制对称信息的信道容量H(P)=-plog(p)-(1-p)log(1-p)1122C =1-H(P)=1+log()+log()=0.0817(bit/)3333符 BSC 信道达到信道容量时，输入为等概率分布，即：{，}注意单位3-4 设BSC 信道的转移概率矩阵为112211Q εεεε-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦1）写出信息熵()H Y 和条件熵(|)H Y X 的关于1()H ε和2()H ε表达式，其中()log (1)log(1)H εεεεε=----。

第3章信道与信道容量-信息论与编码(第3版)-曹雪虹-清华大学出版社

波形信道
普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》曹雪虹等编著
2
3.1.2 信道的数学模型
– 信道输入 X ( X1, X 2, Xi , ), Xi a1, , an – 信道输出 Y (Y1,Y2, Yj , ),Yj b1, ,bm
– 条件概率p(Y/X)来描述信道输入、输出信号之间统计的依赖关系。
有干扰无记忆信道
– 离散无记忆信道（DMC)
p11 p12 p1m
a1 a2
b1 b2
P
p21
p22
p2m
an
bm
pn1
pn2
pnm
m
p(b j | ai ) 1,
j 1
i 1,2,, n
普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》曹雪虹等编著
7
信道参数
有干扰无记忆信道
– 离散输入、连续输出信道
X
Y
+
Y＝X＋N
N
加性高斯白噪声 (AWGN) 信道：
pY ( y / ai )
1 e( yai )2 / 2 2
2
普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》曹雪虹等编著
8
信道参数
有干扰无记忆信道
x(t)
– 波形信道
波形信道转化成多维连续信道，
pY ( y / x) pY ( y1, , yL / x1, , xL )
Cavg EH (C)
11
中断容量（Outage Capacity）：当信道瞬时容量Cinst小于用户要求的速率时，信道就会发生中断事件，这个事件的概率称为中断概率Poutage。这个用户要求的速率就定义为对应于该中断概率Poutage的中断容量Coutage，即

信息论与编码理论-第3章信道容量-习题解答-071102

i i 2i=13311H(X)=p(a )log p(a )log()log()0.8113(/)4444bit -=-⨯-=∑符号111121*********j j j=132117p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=43431231125p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=4343127755H(Y)=p(b )log(b )=log()log()0.9799(/)12121212bit ⨯+⨯=⨯+⨯=---=∑符号 22i j j i j i j i ,H(Y|X)=p(a ,b )logp(b |a )p(b |a )logp(b |a )2211log()log()0.9183(/)3333i jjbit -=-=-⨯-⨯=∑∑符号I(X;Y)=H(Y)H(Y|X)=0.97990.91830.0616(/)bit --=符号 H(X|Y)=H(X)I(X;Y)=0.81130.06160.7497(/bit --=符号)(2)求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布。

二进制对称信息的信道容量H(P)=-plog(p)-(1-p)log(1-p)1122C =1-H(P)=1+log()+log()=0.0817(bit/)3333符 BSC 信道达到信道容量时，输入为等概率分布，即：{0.5，0.5} 注意单位3-2 求下列三个信道的信道容量及其最佳的输入概率分布。

1b 2b 3b 3a 2a 1a Y X 1b 2b 3a 2a 1a Y X 1b 2b 2a 1a Y X 3b 11111110.70.3第一种：无噪无损信道，其概率转移矩阵为： 1 0 0P=0 1 00 0 1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦信道容量：()max (;)P X C I X Y @ bit/符号()()()()max{(;)}max{()(|)}(|)0max{(;)}max{()}p x p x p x p x C I X Y H X H X Y H X Y C I X Y H X ==-∴=∴==离散无记忆信道(DMC)只有输入为等概率分布时才能达到信道容量，C=log3=1.5850 bit/符号输入最佳概率分布如下：111,,333⎧⎫⎨⎬⎩⎭第二种：无噪有损信道，其概率转移矩阵为： 1 0P=0 10 1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，离散输入信道， ()()()()max{(;)}max{()(|)}(|)0max{(;)}max{()}p x p x p x p x C I X Y H Y H Y X H Y X C I X Y H Y ==-∴=∴==H(Y)输出为等概率分布时可达到最大值，此值就是信道容量此时最佳输入概率：123p(a )+p(a )=0.5,p(a )=0.5 信道容量：C=log(2)=1 bit/符号第三种：有噪无损信道，由图可知：()()()()max{(;)}max{()(|)}(|)0max{(;)}max{()}p x p x p x p x C I X Y H X H X Y H X Y C I X Y H X ==-∴=∴==输入为等概率分布时可达到信道容量，此时信道容量p(x)C=max{H(X)}=log(2)=1 bit/符号输入最佳概率分布：11,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭3-3 设4元删除信道的输入量{1,2,3,4}X ∈，输出量{1,2,3,4,}Y E ∈，转移概率为(|)1(|)1-ε 0 0 0 ε0 1-ε 0 0 ε P=0 0 1-ε 0 ε0 0 0 1-ε ε1-ε 0 0 0 ε0 1-ε 0 0 ε p1= p2=0 0 1-ε 0 ε0 0 0 1-ε εP Y i X i P Y E X i εε===-===⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中1,2,3,4i = 1）该信道是对称DMC 信道吗？ 2）计算该信道的信道容量；3）比较该信道与两个独立并联的二元删除信道的信道容量。

信息论与编码第3章信道与信道容量

几点讨论： 1、对于给定信道最佳分布总是存在的。如果信道输入满足最佳分布，信息传输率最大，即达到信息容量C；如果信道输入的先验分布不是最佳分布，那么信息传输率不能够达到信息容量。 2、信道传输的信息量R必须小于信道容量C，否则传输过程中会造成信息损失，出现错误；如果R<C成立，可以通过信道编码方法保证信息能够几乎无失真地传送到接收端。
p( y | x)
X
Y
信道
随机变量随机变量
离散无记忆信道模型
输入符号集合X、输出符号集合Y内部不存在关联性，集合X和集合Y之间有关联。
条件转移概率
用来描述信道特性。输入x=ai，输出y=bj对应的条件转移概率为
p( y | x) p( y bj | x ai ) p(bj | ai )
p( x)
上述的极值问题实际是有约束条件的，先验概率分布 p( x) 应当满足下列条件
p( x ai ) 0
p(a ) 1
i 1 i
r
对于给定信道，前向概率p(x)是一定的，所以信道容量就是在信道前向概率一定的情况下，寻找某种先验概率分布，从而使得平均互信息量最大，这种先验分布概率称为最佳分布。
0 0 1 1
（3）有噪无损信道
信道输出符号Y集合的数量大于信道输入符号X集合的数量，即r<s，形成一对多的映射关系，可得：
H (Y | X ) 0 H(X | Y) 0
p( x) p( x)
X
0.4 0.6 0.7 0.3
Y
信道容量 C max{I ( X ; Y )} max{H ( X )} lbr 输入符号分布等概时，即 p(ai ) 1/ r I(X;Y)最大，达到信道容量

信息论基础与编码课后题答案(第三章)

3-1 设有一离散无记忆信源，其概率空间为12()0.60.4X x x P x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，信源发出符号通过一干扰信道，接收符号为12{,}Y y y =，信道传递矩阵为51661344P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求：（1）信源X 中事件1x 和2x 分别含有的自信息量；（2）收到消息j y （j ＝1，2）后，获得的关于i x （i ＝1，2）的信息量；（3）信源X 和信宿Y 的信息熵；（4）信道疑义度(/)H X Y 和噪声熵(/)H Y X ；（5）接收到消息Y 后获得的平均互信息量(;)I X Y 。

解：（1）12()0.737,() 1.322I x bit I x bit ==（2）11(;)0.474I x y bit =，12(;) 1.263I x y bit =-，21(;) 1.263I x y bit =-，22(;)0.907I x y bit =（3）()(0.6,0.4)0.971/H X H bit symbol ==()(0.6,0.4)0.971/H Y H bit symbol ==（4）()(0.5,0.1,0.1,0.3) 1.685/H XY H bit symbol ==(/) 1.6850.9710.714/H X Y bit symbol =-= (/)0.714/H Y X bit symbol =（5）(;)0.9710.7140.257/I X Y bit symbol =-=3-2 设有扰离散信道的输入端是以等概率出现的A 、B 、C 、D 四个字母。

该信道的正确传输概率为0.5，错误传输概率平均分布在其他三个字母上。

验证在该信道上每个字母传输的平均信息量为0.21比特。

证明：信道传输矩阵为：11112666111162661111662611116662P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，信源信宿概率分布为：1111()(){,,,}4444P X P Y ==， H(Y/X)=1.79（bit/符号），I(X;Y)=H(Y)- H(Y/X)=2-1.79=0.21（bit/符号）3-3 已知信源X 包含两种消息：12,x x ，且12()() 1/2P x P x ==，信道是有扰的，信宿收到的消息集合Y 包含12,y y 。

信息论与编码[第三章离散信道及其信道容量]山东大学期末考试知识点复习

第三章离散信道及其信道容量3．1．1 信道的分类在信息论中，信道是传输信息的通道，是信息传输系统的重要组成部分之一。

信道的分类有：按照信道输入端或输出端的个数可分为单用户信道和多用户信道。

按照信道输出端有无信号反馈到输入端可分为有反馈信道和无反馈信道。

按照信道的统计参数是否随时间变化可分为时变参数信道和固定参数信道。

按照信道输入／输出信号取值幅度集合以及取值时间集合的离散性和连续性可分为离散信道(数字信道)和波形信道(模拟信道)。

按照信道输入/输出信号取值幅度集合的离散性和连续性(取值时间是离散的)可分为离散信道和连续信道。

按照信道输入/输出信号在取值时刻上是否有依赖关系可分为有记忆信道和无记忆信道。

按照信道输入信号与输出信号之间是否统计依赖关系可分为有噪信道和无噪(无干扰)信道。

3．1．2 离散信道的数字模型1．一般离散信道(多维离散信道)一般离散信道输入/输出信号取值幅度和取值时刻都是离散的平稳随机矢量。

其数学模型可用离散型概率空间[X，P(y|x)，Y]来描述。

其中X=(X1X2…X N)为输入信号，Y= (Y1Y2…Y N)为输出信号。

X中X i∈A={a1，a2，…，a r}，Y中Y i∈B={b1，b2，…，b s}。

又P(y|x)(x∈X，y∈Y)是信道的传递概率(转移概率)，反映输入和输出信号之间统计依赖关系，并满足概率空间[X，P(y|x)，Y]也可用图来描述。

2．基本离散信道(单符号离散信道)单符号离散信道是离散信道中最基本的信道，其信道输入/输出信号都是取值离散的单个随机变量。

数学模型是概率空间[X，P(y|x)，Y]，(或[X，P(b j|a i)，Y])，其中X∈A={a1，a2，…，a r}，Y∈B={b1，b2，…，b s)，P(y|x)=P(b j|a i)(i=1，2，…，r；j=1，2，…，s)并满足概率空间[X，P(y|x)，Y]也可用图来描述，如图3．1所示。

信息论与编码第3章信道与信道容量

Rt 的单位：bit/符号÷s/符号=bit/s
定义3.1 设某信道的平均互信息量为I(X;Y)，信道输
入符号的先验概率为p(x)，该信道的信道容量C定义
为
C max{I ( X ;Y )} p(x)
上述的极值问题实际是有约束条件的，先验概率分布
p(x) 应当满足下列条件
p(x ai ) 0
第3章信道与信道容量
吴晓青
目录
3.1信道分类 3.2 单符号离散信道及其容量
➢ 3.2.1 数学模型 ➢ 3.2.2信道容量 ➢ 3.2.3 离散信道容量的迭代算法
3.3 离散序列信道及其容量 3.4 信源与信道的匹配 3.5 连续信道及其容量
➢ 3.5.1 连续单符号加性信道 ➢ 3.5.2 多维无记忆加性连续信道 ➢ 3.5.3 加性高斯白噪声波形信道
定义3.3 如果信道转移概率矩阵中所有列矢量都是第一列的某种置换，则称信道关于输出是对称的，这种信道称为输出对称离散信道。
1 0 P 0.5 0.5
0 1
0.7 0.2 0.1 P 0.2 0.1 0.7
0.1 0.7 0.2
如果信道是输出对称的，那么当信道输入符号为等概率分布时，信道输出也是等概率分布的。
前向概率、后验概率
由公式
p(ai ,bj ) p(ai ) p(bj | ai )
信道的条件转移概率p(bj|ai)通常称为前向概率，表示在输入为ai时，通过信道后接收为bj的概率，描述了信道噪声的特性。
由公式
p(ai , bj ) p(bj ) p(ai | bj )
p(ai|bj)称为后向概率，表示当接收符号为bj时，信道输入为ai的概率，所以也称为后验概率。

信息论与编码3 信道与信道容量

8
3.2离散单个符号信道及其容量
无干扰离散信道的信道容量
X
Y
1
1
1 (a) 无噪无损信道
X
Y
1
1
1
1
1 (b) 无噪有损信道
X
Y
1
1
1
1
1 (c) 有噪无损信道
部分理想化的无干扰离散信道
9
3.2离散单个符号信道及其容量
X、Y一一对应
C＝maxI(X;Y)＝log n
多个输入变成一个输出
C＝maxI(X;Y)＝maxH(Y)
3 6
1/ 3 1/ 3
1/ 6 1/ 6
1/ 6 1/ 3
C log2 2 H (1/ 3,1/ 3,1/ 6,1/ 6)
(1/ 3 1/ 6) log2 (1/ 3 1/ 6)
10/.034lo1bgi2t(/1符/ 3号 1
/
3)
1/
6
log
2
(1/
6
1
/
6)
26
3.2离散单个符号信道及其容量
1 e( yai )2 / 2 2
2
G
6
3.1信道分类和表示参数
波形信道
x(t)
y(t)
+
n(t)
pY ( y / x) pY ( y1, y2 , yL / x1, x2 , xL )
pY ( y / x)
px,y (x, y) px (x)
px,y (x, n) px (x)
pn (n)
7
3.2离散单个符号信道及其容量
准对称DMC信道
如果转移概率矩阵P是输入对称而输出不对称，即转移概率矩阵P的每一行都包含同样的元素而各列的元素可以不同，则称该信道是准对称DMC信道

信息论与编码第二版答案 (3)

信息论与编码第二版答案第一章：信息论基础1.问题：信息论的基本概念是什么？答案：信息论是一种数学理论，研究的是信息的表示、传输和处理。

它的基本概念包括：信息、信息的熵和信息的编码。

2.问题：什么是信息熵？答案：信息熵是信息的度量单位，表示信息的不确定度。

它的计算公式为H(X) = -ΣP(x) * log2(P(x))，其中P(x)表示事件x发生的概率。

3.问题：信息熵有什么特性？答案：信息熵具有以下特性：•信息熵的值越大，表示信息的不确定度越高；•信息熵的值越小，表示信息的不确定度越低；•信息熵的最小值为0，表示信息是确定的。

4.问题：信息熵与概率分布有什么关系？答案：信息熵与概率分布之间存在着直接的关系。

当概率分布均匀时，信息熵达到最大值；而当概率分布不均匀时，信息熵会减小。

第二章：数据压缩1.问题：数据压缩的目的是什么？答案：数据压缩的目的是通过消除冗余和重复信息，使数据占用更少的存储空间或传输更快。

2.问题：数据压缩的两种基本方法是什么？答案：数据压缩可以通过无损压缩和有损压缩两种方法来实现。

无损压缩是指压缩后的数据可以完全还原为原始数据；而有损压缩则是指压缩后的数据不完全还原为原始数据。

3.问题：信息压缩的度量单位是什么？答案：信息压缩的度量单位是比特（bit），表示信息的数量。

4.问题：哪些方法可以用于数据压缩？答案：数据压缩可以通过以下方法来实现：•无结构压缩方法：如霍夫曼编码、算术编码等；•有结构压缩方法：如词典编码、RLE编码等；•字典方法：如LZW、LZ77等。

第三章：信道容量1.问题：什么是信道容量？答案：信道容量是指在给定信噪比的条件下，信道传输的最大数据速率。

2.问题：信道容量的计算公式是什么？答案：信道容量的计算公式为C = W * log2(1 + S/N)，其中C表示信道容量，W表示信道带宽，S表示信号的平均功率，N表示噪声的平均功率。

3.问题：信道容量与信噪比有什么关系？答案：信道容量与信噪比成正比，信噪比越高，信道容量越大；反之，信噪比越低，信道容量越小。

信息论与编码-第10、11讲-第3章信道容量

THANKS
感谢观看
信道容量决定了单位时间内传输的信息量，容量越大，传输效率越高。
02
编码技术对信息传输效率的影响
采用高效的编码技术可以减小信息的冗余度，提高信息传输效率。
03
多路复用技术提高信道利用率
多路复用技术允许多个信号在同一信道上同时传输，提高了信道的利用率。
信道容量与信号设计
1 2
信号设计对信道容量的影响
02
它反映了信道在噪声干扰下传输信息的能力，是衡量信道性能的重要指标。
03
信道容量可以通过特定的编码方式和技术实现接近，但无法达到。
信道容量的性质
确定性
对于确定的信道，其容量是确定的，与使用的信号和编码方式无关。
可加性
对于并联的多个信道，其容量等于各个信道容量的总和。
单调性
随着输入信号的平均功率增加，信道容量通常会增加，但增加的幅度逐渐减小。
通信系统设计中的关键问题
如何提高信号传输的可靠性和速率？
如何平衡传输质量和系统复杂度？
如何降低噪声和干扰对信号的影响？
如何实现高效、低成本的通信系统设计？
05
CATALOGUE
信道容量与实际应用
无线通信中的信道容量问题
无线信道的不确定性
无线通信中，由于信号传播的复杂性和多径效应，信道容量存在不确定性。
信道容量的计算方法
离散无记忆信道容量
01
通过计算输入信号的熵和输出信号的熵，再根据互信息公式计
算得出。
连续无记忆信道容量
02
通过计算输入信号的功率谱密度和输出信号的功率谱密度，再
根据互信息公式计算得出。
有记忆信道容量

第三章信道容量——信息论与编码

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信息论与编码习题与答案第三章

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信息论与编码 第三章：信道容量

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第3章信道与信道容量-信息论与编码(第3版)-曹雪虹-清华大学出版社

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