圆锥曲线弦长公式
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
二.双曲线：
设直线与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K,则
|P1P2|=|x1-x2| 或|P1P2|=|y1-y2| {K=(y2-y1)/(x2-x1)}
=
三.抛物线：
(1)核心弦：已知抛物线y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的核心弦,则
同理 的核心弦长为
的核心弦长为 ,所以抛物线的核心弦长为
由以上三种情形可知应用直线竖直角求过核心的弦长,异常简略明白,应予以控制.
圆锥曲线的弦长公式
一.椭圆：
设直线与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K,则
|P1P2|=|x1-x2| 或|P1P2|=|y1-y2| {K=(y2-y1)/(x2-x1)}
则 ,由余弦定理可得 , ,
整顿可得,
是以核心在x轴的核心弦长为
同理可得核心在y轴上的核心弦长公式
个中a为实半轴,b为虚半轴,c为半焦距, 为AB的竖直角.
三. 抛物线的核心弦长
若抛物线 与过核心 的直线 订交于两点 ,若 的竖直角为 ,求弦长|AB|.（图4）
解：过A.B两点分离向x轴作垂线AA1.BB1,A1.B1为垂足, ,则点A的横坐标为 ,点B横坐标为 ,由抛物线定
设双曲线 个中两核心坐标为 ,过F1的直线 的竖直角为 ,交双曲线于两点 求弦长|AB|.
解：（1）当 时,（如图2）
直线 与双曲线的两个交点A.B在统一支上,连 ,设 ,由双曲线界说可得 ,由余弦定理可得
整顿可得 , ,则可求得弦长
（2） ,如图3,
直线 与双曲线交点 在两支上,连F2A,F2B,设
|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin² ）{ 为弦AB的竖直角}
高中数学圆锥曲线弦长公式(一)
高中数学圆锥曲线弦长公式(一)高中数学圆锥曲线弦长公式1. 椭圆的弦长公式•椭圆是圆锥曲线中的一种•弦是椭圆内部的两点之间的线段•椭圆的弦长可由弦与椭圆的焦点坐标计算得到2. 椭圆弦长公式•假设椭圆的焦点为F1(0, c)和F2(0, -c)，椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b•弦的两个端点的坐标为(Ax, Ay)和(Bx, By)•椭圆的弦长公式为：d = 2a * √(1-(Ax-Bx)²/(4a²)) + 2b * √(1-(Ay-By)²/(4b²))举例说明•假设有一个椭圆的长轴长度为6，短轴长度为4，焦点坐标为F1(0, 2)和F2(0, -2)•弦的端点坐标为A(3, -2)和B(-3, 2)•根据椭圆弦长公式：d = 26 √(1-(3+3)²/(46²)) + 24 * √²/(4*4²))•化简得：d = 12 * √(1-36/144) + 8 * √(1-16/64)•继续化简得：d = 12 * √(1-1/4) + 8 * √(1-1/4)•最终结果为：d = 12 * √(3/4) + 8 * √(3/4)•进一步化简得：d = +•因此，该椭圆的弦长为约。
3. 抛物线的弦长公式•抛物线是圆锥曲线中的一种•弦是抛物线内部的两点之间的线段•抛物线的弦长公式可通过两点间的距离计算得到举例说明•假设有一个抛物线的焦点为F(0, p)，准线方程为y = -p，焦距为2p•弦的两个端点的坐标为(Ax, Ay)和(Bx, By)•则抛物线的弦长公式为：d = √((Ax-Bx)²+(Ay-By)²)4. 双曲线的弦长公式•双曲线是圆锥曲线中的一种•弦是双曲线内部的两点之间的线段•双曲线的弦长公式可通过两点间的距离计算得到举例说明•假设有一个双曲线的焦点为F1(c, 0)和F2(-c, 0)，双曲线的长轴长度为2a，短轴长度为2b•弦的两个端点的坐标为(Ax, Ay)和(Bx, By)•则双曲线的弦长公式为：d = √((Ax-Bx)²-(Ay-By)²)以上是高中数学中圆锥曲线弦长公式的相关介绍和举例说明。
椭圆、双曲线的弦长公式
大罕求圆锥曲线的弦长是学习解析几何过程中常见的问题．一般用弦长公式 |AB|=(√△/|a|)√(1+k^2)．在运用上述公式之前，需要将直线方程代入到椭圆、双曲线的方程，加以化简．在整理的过程中，由于带有参数，故运算有些繁琐容易出错．作为参考材料，本文给出更具体的弦长公式．遇到选填题可直接套用，遇到解答题可供检验. 具体如下： 命题１：已知直线l：y=kx+m，椭圆C： x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)，记δ=b^2+(a·k)^2-m^2，若δ=0，则直线l与椭圆C相切若δ>0，则直线l与椭圆C相交于Ａ,Ｂ两点，且|AB|=[2ab√δ·√(1+k^2)]/[b^2＋(ak)^2]．简要的推导过程是：把y=kx+m代入 x^2/a^2+y^2/b^2=1，整理得：[(ak)^2+b^2]x^2+2a^2kmx+a^2(m^2-b^2＝０，∴=4a^4k^2m^2-4a^2(m^2-b^2)(a^2k^2+b^2)=4a^2b^2(b^2＋a^2k^2-m^2).令δ=b^2＋a^2k^2-m^2，∴当δ=0时，直线l与椭圆C相切；当δ>0时，直线l与椭圆C相交于Ａ,Ｂ两点，且|AB|=[2ab√δ√(1+k^2)]/[b^2+(ak)^2].命题2：已知直线l：y=kx+m，双曲线C： x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)，记δ=b^2-(a·k)^2+m^2，若δ=0，则直线l与椭圆C相切若δ>0，则直线l与椭圆C相交于Ａ,Ｂ两点，且|AB|=[2ab√δ·√(1+k^2)]/[b^2-(ak)^2]．证明与命题１过程类似，这里从略．例1、若直线l：y=x+m与椭圆C：x^2/4+y^2/3=1相切，求m的值.解：a^2=4，b^2=3，k=1，∴δ=4a^2b^2(a^2k^2+b^2-m^2)=4+3-m^2=0，则m=±√7．例2、求直线l：y=x+1截椭圆C：x^2/4+y^2/3=1所得的弦长|AB|．解：a^2=4，b^2=3，k=1，m=1,∴δ=4a^2b^2(a^2k^2+b^2-m^2)=4+3-1=6，∴|AB|=(4√3)(√6)(√2)]/7=24/7.例3、直线l过点P(1,1)，双曲线 ：x^2-y^2/2=1相切，求直线l的方程. 解：设直线l：y=kx+1-k，a^2=1，b^2=2，m=1-k，令δ=b^2-(a·k)^2+m^2=2-k^2+(1-k)^2=0，解得k=3/2.。
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
弦长公式二、证明弦长= = 其中为直线斜率，（ , ），（ , ）为直线与曲线的两交点证明方法如下：假设直线为：圆的方程为：，假设相交弦为AB，点A为（ , ）点B为（ , ）则有把，分别代入，则有：证明的方法也是一样的证明方法二这是两点间距离公式因为直线所以将其代入得到弦长公式二=2px，过焦点直线交抛物抛物线线于A(x1,y1）和B(x2,y2）两点，则AB弦长：d=p+x1+x2=-2px，过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚=2py，过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2=-2py，过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚公式三编辑d = = = = ..........................................................1式关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x（或关于y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。
d = ......................................................................................2式在知道圆和直线方程求弦长时，可利用方法二，将直线方程代入圆方程，消去一未知数，得到一个一元二次方程，其中△为一元二次方程中的b^2-4ac ，a为二次项系数。
补遗：公式2符合椭圆等圆锥曲线不光是圆。
2式可以由1推出，很简单，由韦达定理，x1+x2=-b/a ，x1x2=c/a 代入再通分即可。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论有：1.离心率定义式：$e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
2.曲率公式：$\kappa = \frac{|\text{二阶导数}|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$，其中$\kappa$ 为曲率，$y'$ 为导数。
3.两点之间的弦长公式：$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1,y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为两点的坐标。
4.圆锥曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}$，其中$r$ 为点到焦点的距离，$\theta$ 为点的极角，$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率。
5.焦点公式：$F = \sqrt{a^2 - b^2}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴，$F$ 为焦点到中心的距离。
6.弦的中点公式：$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$，其中$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为弦两个端点的坐标。
7.椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
8.双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
9.抛物线的标准方程：$y = ax^2$，其中$a$ 为常数。
10.焦半径公式：$r_f = \frac{p}{e}$，其中$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率，$r_f$ 为以焦点为圆心，$p$ 为半径的圆的半径长度。
圆锥曲线常用的二级结论包括但不限于以下内容：1.设直线$l$ 与圆锥曲线$C$ 相交于两点$P,Q$，则$P,Q$ 间的线段垂直于轴线。
圆锥曲线弦长公式精编版
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯圆锥曲线弦长公式对于直线与圆锥曲线订交求弦长，通用方法是将直线代入曲线方程，化为对于 x 的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，这类整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线订交弦长是十分有效的，但是对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这类方法对比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及相关定理导出各样曲线的焦点弦长公式就更加简捷。
. 椭圆的焦点弦长若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A、B两点，求弦长。
解：连接，设，由椭圆定义得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，则弦长同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为（a为长半轴， b 为短半轴， c 为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式：二.双曲线的焦点弦长设双曲线，此中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。
解：（ 1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点 A、B 在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得整理可得，同理，则可求得弦长（ 2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、B 在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得，整理可得，则所以焦点在 x 轴的焦点弦长为同理可得焦点在y 轴上的焦点弦长公式三此中 a 为实半轴， b 为虚半轴， c 为半焦距，为 AB的倾斜角。
. 抛物线的焦点弦长若抛物线与过焦点的直线订交于A、B两点，若的倾斜角为，求弦长 |AB| ？（图 4）解：过 A、B两点分别向 x 轴作垂线为垂足，设，，则点 A 的横坐标为，点B横坐标为，由抛物线定义可得即则同理的焦点弦长为的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为由以上三种状况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，特别简单明确，应予以掌握。
一。
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
16．过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，则 的值为________.
17．过抛物线 的焦点 作倾角为 的直线，与抛物线分别交于 、 两点（ 在 轴左侧），则 _______________________．
注意：夹角不是直线的倾斜角，而是直线与焦点所在轴的夹角，这样就不需要区的右焦点F作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，求弦长 ．
三、圆锥曲线坐标式焦点弦长公式
1．椭圆的坐标式焦点弦长公式
例9
9．已知椭圆 ，若过左焦点的直线交椭圆于 两点，求 ．
【结论6】椭圆的坐标式焦点弦长公式：
我们有如下结论：
【结论6】双曲线的坐标式焦点弦长公式：
（1）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ；
（2）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ．
3．抛物线的坐标式焦点弦长公式
由抛物线的定义易得
【结论7】抛物线的坐标式焦点弦长公式：
（1）抛物线 的焦点弦长公式： ；
（2）抛物线 的焦点弦长公式： ；
说明：特殊情形，当倾斜角为 时，即为椭圆的通径，通径长 ．
2．双曲线的倾斜角式焦点弦长公式
例2
2．设双曲线 ，其中两焦点坐标为 ，过 的直线 的倾斜角为 ，交双曲线于 ， 两点，求弦长 ．
可得如下结论2：
【结论2】双曲线的倾斜角式焦点弦长公式：
（1） 为双曲线 的左、右焦点，过 倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点，则 ．
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
专题16圆锥曲线焦点弦
圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
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（１）（２）知 ，焦 点 在 ｚ轴 ＿Ｌ的 双 附ｉ线 的 焦 点 弦长 Ｊ ＡＢ；
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掌 （２）如图 ２， Ａ、Ｂ在舣 饼 曲线的 两支 时，连接 Ｆ Ａ． ＼
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作垂解线：Ａ如 ３，过Ａ、Ｂ分别向准线
Ａ ，ＢＢ ·Ａ 、Ｂ 为 垂 足－没 Ａ，
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标为专＋”ｚｃ。ｓ ，Ｂ点的横坐标为等 ／｛ 【ＦＡｌ ｎ，ｌ ＢＩ一 ｌ，则 Ａ 点的横 坐 ．
圆 锥 曲线 焦 点 弦 长 公 式 及 其 应 用
■ 王 智 红
焦 点 弦 是 过 阋 锥 曲线 焦 点 的 一 类 特 殊 弦 ，利 用 圆 锥 曲线
的 定 义 和 余 弦 定 理 可 以推 导 出 圆 锥 曲线 统 一 焦 点 弦 长 公 式 ．
整 理 如 下 ，并 说 明其 应 用 ，供 同学 们参 考．
一”ｒｏｓａ，南抛物线定义可僻
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圆锥曲线弦长公式
关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式
求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。
. 椭圆的焦点弦长若椭圆方程为
，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A、B两点，求弦长。
解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得
，整理可得，同理可求得，则弦长
同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b
为短半轴，c为半焦距）
结论：椭圆过焦点弦长公式：
二
. 双曲线的焦点弦长
设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。
解：（1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A、B在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得
整理可得，同理
，则可求得弦长
（2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、B在两支上，连，设，则，
，由余弦定理可得，
整理可得，则
因此焦点在x轴的焦点弦长为
同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式
三
其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角。
. 抛物线的焦点弦长
若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点，若的倾斜角为，求弦长|AB|？（图4）
解：过A、B两点分别向x轴作垂线为垂足，设，，则点A的横坐标为，点B横坐标为，由抛物线定义可得
即
则
同理的焦点弦长为
的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为
由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握。
一。