复变函数：洛朗级数
复变函数第四章复函数项级数第四节洛朗级数
n = −∞ ∞
cn z n , ∑
eζ 1 1 f (ζ ) 其中 cn = ∫C (ζ − z0 )n+1dζ = 2πi ∫C ζ n+3dζ 2πi
C : z = ρ (0 < ρ < ∞ ) , ( n = 0 , ± 1, ± 2L)
17
当 n ≤ −3 时,
常见的特殊圆环域: 常见的特殊圆环域:
R2
. z0
R1 . z0
. z0
0 < z − z0 < R2 R1 < z − z0 < ∞
0 < z − z0 < ∞
4
2. 问题:在圆环域内解析的函数是否一定能展开 问题: 成级数? 成级数? 1 在z = 0及z = 1 都不解析 都不解析, 例如， 例如， f ( z ) = z (1 − z ) 但在圆环域 0 < z < 1及 0 < z − 1 < 1内都是解析的 内都是解析的.
由 z >2 此时
2 <1 z
o
2
x
1 1 1 =− ⋅ 2− z z 1− 2 z
23
1 2 4 = − 1 + + 2 + L z z z
1 2 此时 < < 1, z z
1 1 1 1 1 1 = − 1 + + 2 + L =− ⋅ 仍有 z z z 1− z z 1− 1 z 1 2 4 − 1 1 + 1 + 1 + L 故 f ( z ) = 1 + + 2 + L 2 z z z z z z
复变函数(4.4.5)--洛朗级数
-
1 )z4 3ﾥ5!
+L
故
1 1- cos
z
=
2 z2
+
1 3!
+
1 z2 5!
+L; a2
=
51!.
ﾥ 7. 解
选（C）.
若
|
z
|<
1
，则
cos3 z 1+z z
=
cos3
z
(1- z
2z2
+ L)
，这时
|z
|=1
cos3 z 1+z z
dz
ﾥ0，
故 an ﾥ 0 .
ﾥ 若 | z |> 1，则
9. 解
z(z
1 - 1)( z
- 2)
=
-1 z(z -1)
+
1 z(z - 2)
� � � =
1 z
�1 -1
z
-
1 2z(1- z / 2)
=
ﾥ n=0
z n-1
ﾥ
-
n=0
z n-1 2n+1
=
ﾥ
(1 -
n=0
1 2n-1
)
z
n
-1.
10. 解
1 z(z -1)2
=
1 (z -1)2
1 1+ (z -1)
=
11
z
1-
k z
=
1 z
(1
+
k z
k2 + z2
+ L)
ﾥ 令 z = eiq
得
cos 1-
q -k -i 2k cosq
复变函数的洛朗级数及其应用
复变函数的洛朗级数及其应用复变函数在数学中扮演了重要角色，它们有许多特殊的性质和应用。
其中一项特殊性质是洛朗级数。
本文将介绍什么是洛朗级数以及它在复变函数中的应用。
1. 什么是洛朗级数？在单独的圆内的函数可以用洛朗级数表示。
洛朗级数是一种幂级数的扩展，包括负幂次的项。
一个圆内的任何解析函数$f(z)$可以写成以下形式的级数：$$f(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k(z-a)^k$$其中$c_k$是复系数，$a$是圆内的点。
这个级数包含无穷多项。
正幂次的项都是幂函数，而负幂次的项就是幂函数的倒数。
负幂次的系数$c_k$被称为洛朗系数。
2. 洛朗级数的收敛对于一个解析函数$f(z)$，洛朗级数收敛于圆内的每一点，包括圆周上的点。
洛朗级数的收敛域可以是单独的圆或者由圆组成的无穷多个区域。
在圆心为$a$，半径为$R_1$的圆内部，洛朗级数收敛于：$$\sum _{k=-\infty}^{\infty}c_k(z-a)^k$$在圆心为$a$，半径为$R_2$的圆外部，洛朗级数收敛于：$$\sum _{k=-\infty}^{-1}c_k(z-a)^k+\sum_{k=0}^{\infty}c_k(z-a)^k$$而在圆心为$a$，半径为$R_1<R<R_2$的环形区域内，洛朗级数收敛于：$$\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k(z-a)^k$$其中$R_1$和$R_2$是圆的半径。
3. 洛朗级数的应用洛朗级数是复变函数研究中的基本工具之一。
它们可以用于解决许多有趣的问题，例如：（1）分析函数在点$a$处的奇点一个分析函数在点$a$处的奇点可以是极点、本质奇点或者可去奇点。
对于极点和本质奇点，洛朗级数的负幂次项的系数不为零，而对于可去奇点，所有的负幂次项上的系数都为零。
（2）计算残差对于一个函数$f(z)$的极点$a$，残积等于洛朗系数$c_{-1}$。
复变函数中泰勒级数和洛朗级数的区别与联系
复变函数中泰勒级数和洛朗级数的区别与联系
泰勒级数与洛朗级数是两种常见的复变量函数级数求解方法，它们在日常生活
中有着广泛的应用。
两者之间有着着明显的区别和联系。
首先，从理论上来说，泰勒级数和洛朗级数之间有着显著的区别。
泰勒级数是
基于泰勒展开，可以采用数学递推的方式推出各系数，可以比较准确求出复变量函数的近似值；而洛朗级数则是基于洛朗展开，它以hessenberg行列式的方式利用
级数法进行估算导数，求出复变量函数的近似值。
其次，从实践应用上来说，两者之间也有着一定的联系。
尽管泰勒级数和洛朗
级数有着不同的理论基础，它们都在日常的数学中可以得到实际的应用。
例如，当求解相对较为简单的复变量函数时，通常可以采用泰勒级数，以较快的速度准确求解此函数；当复变量函数本身比较复杂时，可以采用洛朗级数，以较慢的速度求解，但是更精确。
总之，泰勒级数和洛朗级数都在日常的数学应用中占据了重要的地位，它们既
有着明显的区别，又有着紧密的联系，是复变量函数求解的重要方法。
754期【导数】三种函数拟合放缩比较——泰勒展开、帕德逼近、洛朗级数
754期【导数】三种函数拟合放缩比较——泰勒展开、帕德逼近、洛朗级数为什么不等式恒成立问题是各大模拟题乃至高考题长盛不衰的命题方向？原因之一就是不等式恒成立问题在高等数学下有太多的命题背景，比如现在同学们已经非常熟悉的泰勒展开。
一个初等函数稍微展开几项就是一个极好的不等式，例如e x≥x+1等等。
但是现在模拟题中由泰勒展开为基础的不等式似乎已经用尽了，因为泰勒展开有其局限性——只能在收敛域内将要展开的函数展开成多项式函数，拟合放缩精度有限。
因此现在命题人也着眼于精度更高的函数拟合逼近方法，并以此为命题背景，比如将函数展开成分式函数的帕德逼近、洛朗级数等等这一篇就来关注一下泰勒展开、帕德逼近、洛朗级数这三种函数拟合放缩的比较一、泰勒展开（Taylor Expansion）（一）切线拟合e x≥x+1, lnx≤x−1, e x≥ex⋯ (1)像上面这样的不等式背后有一个共同的特征，具体而言：将具凹凸性的超越函数用其某点处的切线拟合．例如由函数f(x)=e x的凸性及点(0,f(0))，(1,f(1))处的切线，可得第一、第三个不等式；由函数f(x)=lnx的凹性及点(1,f(1))处的切线，可以得到第二个不等式等．像这样的拟合方法，我个人称为切线拟合．这几个不等式就是在切点处对函数的一阶拟合。
切线拟合的一大优势在于对切点附近的拟合程度相当好．这不仅是因为切点在原来的函数上，更是因为它拟合了函数在切点处的变化趋势，即拟合了函数在切点处的导数值．正是这一点，切线拟合及切线放缩在高中范围研究函数中有较广泛的应用.当然，结合图象可以看出，这种拟合方式是很粗糙．为此，还需要找到一种更精确的拟合方法．而切线拟合的拟合方法给了启示我们：既然用一阶导数逼近就可以在切点附近达到一定的精度，那多导几次，让拟合函数在某点处的任意阶导数与原函数的同阶导数相等，精度可能会更高．这正是泰勒展开的思想：构造一个各项系数待定的多项式，并使它在某点处的任意阶导数与原函数的同阶导数相等．为什么泰勒选择的是多项式函数，而不是分式函数，原因之一就是多项式求导相对容易，便于操作，并没有考虑精度问题。
复变函数和积分变换第二版本-4.4 洛朗级数-PPT文档资料
8
§4.4 洛朗级数 第 二、洛朗(Laurent)定理 四 章 注 (1) 展开式中的系数 a n 可以用下面得方法直接给出。 解 析 函 数 的 级 数 表 示
n 1 n n 1 f ( z ) a ( z z ) a ( z z ) a ( z z ) n 10 n0 n 10
则其收敛域为：R | z z | . 0 上述两类收敛域被看作是一种特殊的环域。 6
§4.4 洛朗级数 第 一、含有负幂次项的“幂级数” 四 an(z z0)n 的收敛特性 章 2. 级数
n 解 an(z z0)n 收敛， 结论 (1) 如果级数 析 n 函 R | z z | R . 则其收敛域“一定”为环域： 1 0 2 数 的 n 级 a ( z z ) (2) 级数 n 在收敛域内其和函数是解析的, 0 n 数 表 而且具有与幂级数同样的运算性质和分析性质。 示
1 1 1 1 ,( | z | 1 ) . 2 3 1 z z z z
3
§4.4 洛朗级数
第 一、含有负幂次项的“幂级数” 四 章 1. 问题分析 启示 如果不限制一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话， 解 析 即如果引入负幂次项，那么就有可能将一个函数在整个 函 数 复平面上展开(除了奇点所在的圆周上)。 的 级 下面将讨论下列形式的级数: 数 表 n 2 1 a ( z z ) a ( z z ) a ( z z ) n 0 2 0 1 0 示 n 2 a a ( z z ) a ( z z ) . 0 1 0 2 0 在引入了负幂次项以后，“幂级数”的收敛特性如何呢？ 4
§4.4 洛朗级数 第 一、含有负幂次项的“幂级数” 四 an(z z0)n 的收敛特性 章 2. 级数
复变函数洛朗级数
4.14证明中的相应部分,就得
1
2i
2
f
( )d
z
cn (z a)n ,
n0
(5.7)
c
n
1 2πi
f (ξ) dξ (n 0,1, 2,)
2 (ξ a)n1
(5.8)
类似地,对(5.6)的第二2个积分
Hale Waihona Puke f ( )d ,2i 1 z
我们有
f ( ) z
f ( ) (z a) (
若 (1) r R : 两收敛域无公共部分,
(2) r R :
两收敛域有 公共部分H:
r z z0 R.
这时,级数(5.3)在圆环H:r<|z-a|<R 收敛于和 函数f(z)=f1(z)+ f2(z)
定理5.1 设双边幂级数(5.3)的收敛圆环为
H:r<|z-a|<R(r≥0,R≤+∞) 则(1) (5.3)在H内绝对收敛 且内闭一致收敛于:
4.4.3最大(小)模原理
定理4.23(最大模 原理) 设f(z)在区域D内解析,则 |f(z)|在D内任何点都不能达到最大值,除非在D内 f(z)恒等于常数.
证 :如果用M表|f(z)|在D内的最小上界, 则必0<M<+∞.(反证法) 假定在D内有一点z0, 函数f(z)的模在z0达到它的最大值,
为圆周| a | (r R),并且展式是
唯一的(即f (z)及圆环H唯一地决定了系数cn ).
证 (如图5.1)对z∈H,总可以找到含于H
内的两个圆周
2
2 :| ξ a | ρ2,
1 :| ξ a | ρ1,
使得z含在圆环 1| z a | 2
洛朗级数的概念
例2
将 f (z) =
对级数 ∑ c n ( z z0 )
n =1
| ξ |<
1 内收敛 , 在该圆域外必散 。 R1
c n ( z z 0 ) n 在 | z z 0 |> R1内收敛 。 ∑
n =1 ∞
洛朗级数
f ( z ) 在该圆环内解析 。
n = ∞
c n ( z z 0 ) n 在 R1 <| z z 0 |< R2 内收敛 , 且它的和函数 ∑
n = ∞
c n ( z z 0 ) n = L + c n ( z z 0 ) n + L + c 2 ( z z 0 ) 2 + c 1 ( z z 0 ) 1 ∑
∞
+ c0 + c1 ( z z 0 )1 + c 2 ( z z 0 ) 2 + L + c n ( z z 0 ) n + L
第八模块 复变函数
第八节 洛朗级数
一、洛朗级数的概念 二、解析函数的洛朗展开式
一、洛朗级数的概念
正整数次幂的幂级数
∑c
n=0
∞
n
( z z 0 ) n 与负整数次幂的幂级数
∑c
n =0
∞
n ( z z0 )
n
相加得到的级数 :
n = ∞
∑c
∞
( z z 0 ) n 称为 n
洛朗级数。 洛朗级数。
n = ∞
c n ( z z 0 ) n收敛 ∑
∞
∑ 与 ∑ c n ( z z 0 ) n 都 收敛 。
复变函数复习
技巧小结：
3.零点与极点的关系
34
二、利用留数求积分
1.留数定理
说明：
2.留数的计算方法
三、在无穷远点的留数
2.定理2
记作 注意积分路线取顺时针方向
3.在无穷远点处留数的计算
前提：
可设：
41
例4 计算积分
分析：分母在实轴上无零点，次数为6，符 只需找在上半平面的所有奇点。 合要求。 解：
可导、连续、解析
函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. （与柯西黎曼定理区分， 其为在某点的实部虚部分 函数在区域内解析与在区域内可导是等 别可微，而非整体可微）
价的。
但是,函数在一点处解析与在一点处可导 是不等价的概念。即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析。
B
C
2. 复合闭路定理
•
•
C
C1
C2
C3
D
21
二、柯西积分公式
高阶导数公式
解析函数的导函数仍是解析函数，并且
复数项级数绝对收敛的充要条件
解：原级数通项的实、虚部构成的实数项级数分别为
前者为交错调和级数，
收敛，但不绝对收敛；
为绝对收敛。 因此，原级数收敛，但不绝对收敛。
对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有 二、幂级数的敛散性 三种: (1) 对所有的正实数都收敛. 1.收敛定理 (阿贝尔Abel定理) 级数在复平面内处处绝对收敛. (2) 对所有的正实数除 z=0 外都发散. 此时, 级数在复平面内除原点外处处发散 (3) 既存在使 级数发散的正 实数, 也存在 使级数收敛的 正实数.
1 1 (ln z ) , (Lnz ) . z z
复变函数复习资料
复变函数复习资料复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。
复变函数的研究对于数学的发展和应用有着重要的意义。
在这篇文章中，我将为大家提供一些复变函数的复习资料，希望对大家的学习有所帮助。
一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数，它的自变量和因变量都是复数。
复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部函数。
复变函数的导数和积分也有相应的定义，与实数函数的导数和积分有一些不同之处。
二、复变函数的解析性与调和性复变函数的解析性是指函数在某个区域内处处可导，它是复变函数的重要性质。
根据柯西—黎曼方程，只有满足一定条件的函数才能是解析函数。
解析函数具有很多重要的性质，例如它的实部和虚部都是调和函数，它的导数也是解析函数。
三、复变函数的级数表示复变函数可以用级数表示，这是复变函数研究中常用的一种方法。
泰勒级数是复变函数的一种重要的级数表示形式，它可以将函数展开成一系列幂函数的和。
而洛朗级数则是将函数展开成一系列幂函数和互补幂函数的和，适用于具有奇点的函数。
四、复变函数的积分复变函数的积分是复分析中的重要内容，它与实数函数的积分有一些不同之处。
复变函数的积分可以沿着一条曲线进行，这就是复积分的概念。
复积分有一些重要的性质，例如柯西—黎曼积分定理和柯西公式等，它们在复分析中有着广泛的应用。
五、复变函数的应用复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
它可以用来描述电磁场、流体力学和信号处理等问题。
复变函数的解析性和级数表示等性质使得它在实际问题的求解中具有很大的优势。
总结：复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。
复变函数的解析性、级数表示和积分等性质是复变函数研究的核心内容。
复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
希望通过这些复习资料，能够帮助大家更好地理解和掌握复变函数的知识。
复变函数：第四节罗朗(Laurent)级数
内 展 开 成Laurent级 数 。
y
y
y
o 1 2x
o 1 2x
o 1 2x
（i) 0 z 1 (ii) 1 z 2
(iii) 2 z
解 f (z) 1 1 1z 2z
(i) 0 z 1 z 1 z 1
2
故
f
(z
)
1
1
z
1 2
1
1
z
2
(1 z z2 zn ) 1 (1 z z2 ) 2 24
1 2
3 4
z
7 8
z2
(1
n0
1 2n1
)zn
(ii)1 z 2 z 1 1 1 又 z 2 z 1
z
2
f (z)
1 1
z
1 2
z
1 z
1 1 1
1 2
1 1
z
z
2
1 z
(1
1 z
1 z2
)
1 2
(1
z 2
z2 4
)
1 zn
1 z n1
1 z
1 2
z 4
z2 8
式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进
行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路
定理可将cn写成统一式子：
cn
1
2i
c (
f (
z0
) )n
1
d
(n
0,1,2,)
f (z) cn (z z0 )n 证毕！ n
级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分。
cn (z z0 )n c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n (2)
工程数学《复变函数》(第四版)课件 4-4 西安交大
1 1 1 f z 3 z z 1 z 4
在1 z 4内 :
1 1 1, z 4
1 1 z 1 z 1 1 z
1 1 1 1 2 z z z
例3 把 f z z 3e 在 0 z 内展成洛朗级数。
2 3 n z z z z 解 e 1 z 2! 3! n!
1 z
1 1 1 z 1 1 3 2 f z z 3 1 z z 2 3 z 2! z 2! 3! 4! z 3! z 12
1 1 z z 4 dz z 1
解法2（柯西积分公式）
1 z 1z 4 dz dz z z 1z 4 z z 3 C1
C2
1 1 2i 2i z 1 z 4 z z 4 z 0 z 1
（2） 洛朗级数
（3）
1
其中 z 0 及 cn n 0,1,2, 为常数。
规定 当且仅当2、 3收敛， 1收敛.
设2收敛域为: z z0 R2 ;
即为前面讨论的级数；
n
对于（3），
c 1 z z 0 c n z z 0
n
称为 f z 在以 z 0为中心的圆环域 R1 z z0 R2内的洛朗展
开式。 右端级数（洛朗级数）中，正整数次幂部分称为洛朗级数的 解析部分；负整数次幂部分称为洛朗级数的主要部分。
⑵ 洛朗级数是泰勒级数的推广。
当 f z 在 z 0 不解析但在 z 0 的去心邻域内解析时可用洛朗级数 展开，展开式是唯一的，展开时尽量用间接展开法。
复变函数(4.4.2)--洛朗级数
，
2
1 -
z
=
-
1 z
1
1
-
2 z
=
-
1 z
(1 +
2 z
+
22 z2
+L+
2n zn
+L) ，
从而有
f
(z)
=
1 3
(1 +1
z
+
2
1 -
z
)
=
1 3
(
1 z
*
1 1+
1 z
-
1 z
*1 1-
2 z
)
� � � =
1 3
[
1 z
ﾥ n=0
(-1)n zn
-
1 z
ﾥ n=0
2n zn
]
=
1 3
ﾥ n=0
第四章 复变函数项级数
第四节 洛朗级数例题
第四章 复变函数项级数 第四节 洛朗级数
例一
将函数
f
(z)
=
(z
1 +1)(2 -
z)
分别在圆环域
⑴ 0 < z < 1 ； ⑵ 1 < z < 2 ； ⑶ 2 < z < +ﾥ ；
内展开为洛朗级数。
解
⑴
因为在圆环域 0 <
z
< 1 内，
z
<1，
z 2
< 1，所以
� � f
(z)
=
1 3
(1
1 +
z
+
1 2-
z)
=
函数在其孤立奇点的某个去心邻域内可展开成洛朗级数
孤立奇点是复函数在该点处不解析的点，通常出现在函数的分母为零的情况下。
而洛朗级数是在孤立奇点处的一种特殊展开形式，它包括了常规的泰勒级数和一些额外的项，可以更好地描述复函数在孤立奇点附近的性质。
1. 洛朗级数的定义洛朗级数是对于一个在孤立奇点处解析的复函数的一种特殊展开形式。
如果f(z)在z0处有一个孤立奇点，那么它在z0的某个去心邻域内可以表示为洛朗级数的形式：f(z) = Σ(an/(z-z0)^n) + Σ(bn*(z-z0)^n)其中an和bn是复数系数，n取遍正整数，Σ表示求和运算。
第一项是主要的部分，称为主部；而第二项是次要的部分，当次要部分为零时，洛朗级数就变成了泰勒级数。
2. 主部和次要部的性质主部和次要部的性质可以帮助我们更好地理解洛朗级数在孤立奇点处的展开形式。
主部反映了函数在孤立奇点处的奇异性，通常包括了一个负幂次的内容；而次要部则是对主部的修正，它包括了正幂次的项，可以使得函数在孤立奇点处的性质更加准确地描述。
3. 洛朗级数的应用洛朗级数在复变函数论中有着广泛的应用，特别是在解析函数的性质研究中。
通过洛朗级数展开，我们可以更好地理解函数在孤立奇点附近的性态，比如它的极点分布、奇点处的残留等重要概念。
而且在复积分计算和解析函数逼近等方面，洛朗级数也发挥着重要的作用。
4. 总结洛朗级数是一种特殊的复函数展开形式，它能够更好地描述函数在孤立奇点附近的性质。
洛朗级数包括了主部和次要部两个部分，通过对其展开系数的研究，我们可以更深入地理解复函数在孤立奇点处的行为。
在复变函数论和相关领域中，洛朗级数有着重要的应用和意义。
洛朗级数作为一种特殊的复函数展开形式，在复变函数论中具有重要的应用和意义。
接下来我们将继续探讨洛朗级数的性质以及其在实际问题中的具体应用。
1. 洛朗级数的性质洛朗级数的展开形式包括主部和次要部两个部分。
在主部中，通常包括了一个负幂次的部分，它反映了函数在孤立奇点处的奇异性。
复变函数级数泰勒级数和洛朗级数孤立奇点的分类本章讨论
第四章 复变函数级数 泰勒级数和洛朗级数 孤立奇点的分类本章讨论解析函数的级数性质，先介绍复变函数级数的基本概念特别是幂级数的有关概念；然后讨论解析函数展开为泰勒级数和洛朗级数的问题；最后讨论单值函数孤立奇点的分类这也是为第五章讨论定积分的计算作准备。
§4.1 复变函数级数和解析函数级数复变函数级数的基本概念有很多地方与实变函数级数相同，这里仅作扼要的介绍，其中有关定理将不予证明。
一个复变函数级数∑∞==++++121)()()()(k k k z u z u z u z u （4.1）如果它的部分和∑∞==1)()(k k n z u z S （4.2）的极限)(lim z S n n ∞→在一点z 存在，则称级数（3.1）在z 点收敛，而这个极限为级数在z 点的和；否则称级数在z 点发散。
由于)(Im )(Re )(z u i z u z u k k k += ),2,1( =k ，所以级数（3.1）的收敛和发散问题就归结为两个实变函数级数∑∞=1)(Re k k z u 和∑∞=1)(Im k k z u 的收敛和发散问题；在一点z ，若∑∞=1)(Re k k z u 和∑∞=1)(Im k k z u 都收敛，则级数（3.1）在此点收敛；若∑∞=1)(Re k k z u 和∑∞=1)(Im k k z u 至少有一个发散，则级数（4.1）在此点发散。
级数（4.1）收敛的必要条件是 0)(lim =∞→z u n n （4.3） （4.1）式收敛的充要条件是：任意给定一个小的数ε＞0，总存在充分大的正整数N ，使当n>N 时,对于任何自然数p ，恒有 1|()()||()|pn p n n k k S z S z u z ε++=-=<∑ （4.4）这称为柯西收敛判据。
如果级数 1|()|k k u z ∞=∑ （4.5）在z 点收敛，则称级数（4.1）在此点绝对收敛。
大学复变函数的级数展开与解析解
大学复变函数的级数展开与解析解在大学数学中，复变函数是一个重要的概念。
复变函数的级数展开和解析解是解决各种数学问题的关键。
本文将介绍大学复变函数的级数展开和解析解的概念、应用和计算方法。
1. 级数展开的概念级数展开是将一个复变函数表示为一系列无穷级数的和的过程。
通过级数展开，我们可以将复杂的函数表达式转化为简单的级数形式，使得问题的求解变得更加容易。
2. 解析解的概念解析解是指能够用有限次基本数学运算和解析函数表示的解。
对于复变函数而言，解析解是指通过解析函数来表示函数的解。
解析解的求解方法通常包括级数展开和留数定理等。
3. 级数展开的应用级数展开在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用。
以泰勒级数为例，可以将一个函数在某一点展开为幂级数，从而近似求解函数在附近的取值。
这在研究物理现象、计算机模拟等方面起到了重要作用。
4. 解析解的计算方法解析解的计算方法包括泰勒级数、洛朗级数、幂级数法等。
泰勒级数是将函数展开成以某一点为中心的幂级数，可以通过求导和代入特定数值来计算函数的值。
洛朗级数则是将函数展开成以某一点或某一区间为中心的幂级数，适用于具有奇点的函数。
5. 复变函数的级数展开与解析解复变函数的级数展开和解析解通过求解泛函方程来获得。
通过特定的变换和边界条件，可以获得复数域上的级数解析解。
级数展开的方法包括求泰勒系数、确定中心点和收敛半径等。
综上所述，大学复变函数的级数展开和解析解是解决各种数学问题的关键。
通过级数展开，我们可以将复杂的函数转化为简单的级数形式，从而更容易进行计算和求解。
解析解则是通过解析函数表示函数的解，适用于泛函方程的求解。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的级数展开和解析解方法，以获得精确且有效的结果。
总之，理解和掌握大学复变函数的级数展开和解析解对于深入研究数学领域以及解决实际问题具有重要意义。
通过学习和应用相关的数学方法和计算技巧，我们能够更好地理解和利用复变函数的性质，为科学研究和工程应用提供强大的数学工具。
奇点复变函数
奇点复变函数定义若 z_0 为 f(z) 的奇点，且存在 \delta>0 使 f(z) 在n_{\delta}^0(z_0) 内解析，则称 z_0 为 f(z) 的孤立奇点例f(z)=\frac{\sin z}{z} ， z=0 是 f(z) 的孤立奇点例f(z)=\ln z ，原点及实负半轴上的点都不是孤立奇点可去奇点定义如果 f(z) 在 z_0 处的洛朗展开式中不含 z-z_0 的负幂项，则称 z_0 为 f(z) 的可去奇点f(z)=c_0+c_1(z-z_0)+c_2(z-z_0)^2+\cdots\,,0<|z-z_0|<\delta则 \lim_{z\to z_0}f(z)=c_0 ,只需令 f(z)=\begin{cases} f(z)&z\neq z_0\\ c_0&z=z_0 \end{cases}则圆域 |z-z_0|<\delta 内 f(z)=c_0+c_1z+c_2z^2+\cdots例说明 z=0 是 f(z)=\frac{\sin z}{z} 的可去奇点将 f(z) 在 z=z_0 的去心邻域内展开为洛朗级数：f(z)=1-\frac{1}{3}z^2+\frac{1}{5}z^4+\cdots\,,0<|z|<+\infty\\不含有负幂项极点定义如果 f(z) 在 z_0 处的洛朗展开式中含有限多 z-z_0 的负幂项且最高负幂次为 m ，即：f(z)=c_{-m}(z-z_0)^{-m}+\cdots+c_{-1}(z-z_0)^{-1}+c_0+c_1(z-z_0)+\cdots\\则称 z_0 为 f(z) 的 m 阶极点此时，一定有 f(z)=\frac{g(z)}{(z-z_0)^m} ，其中g(z)=c_{-m}+c_{-m+1}(z-z_0)+c_{-m+2}(z-z_0)^2+\cdots 在圆域 |z-z_0|<\delta 内解析且 g(z_0)\neq0还有 \lim_{z\to z_0}f(z)=\infty例说明 z=1 是 f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2} 的二阶极点首先， \lim_{z\to 1}\frac{e^z}{(z-1)^2}=\infty ，从这一点可以知道 z=1 是 f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2} 的极点，又因为 e^z 在 \mathbb{c} 上解析，于是 z=1 是f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2} 的二阶极点从另一个方面，把 f(z) 展开为洛朗级数：f(z)=\frac{e\cdot e^{z-1}}{(z-1)^2}=\frac{e}{(z-1)^2}+\frac{e}{z-1}+\frac{e}{2!}+\frac{e(z-1)}{3!}\cdots\,,0<|z|<+\infty\\其中 z-1 的最高负幂次为 2，于是 z=1 是f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2} 的二阶极点本性奇点定义如果 f(z) 在 z_0 处的洛朗展开式中含无限多 z-z_0 的负幂项，则称 z_0 为 f(z) 的 m 阶极点此时， \lim_{z\to z_0} f(z) 不存在且不为 \infty例说明 z=0 是 f(z)=e^{\frac{1}{z}} 的本性奇点\lim_{x\to 0^+\\y=0}f(z)=\lim_{x\to0^+}e^{\frac{1}{x}}=+\infty\,,\lim_{x\to 0^-\\y=0}f(z)=\lim_{x\to 0^-}e^{\frac{1}{x}}=0 ，故\lim_{z\to 0} f(z) 不存在且不为 \infty从另一方面，把 f(z) 展开为洛朗级数：f(z)=e^{\frac{1}{z}}=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2!z^2}+\fr ac{1}{3!z^3}+\cdots\,,0<|z|<+\infty\\含无限多 z 的负幂项，故 0 为 f(z) 的本性奇点零点定义若 f(z) 在 z_0 解析且 f(z_0)=0 ，则称 z_0 为 f(z) 的零点定义若 f(z)=(z-z_0)^m\varphi(z) ， \varphi(z) 在 z_0 解析且 \varphi(z_0)\neq0 ，则称 z_0 为 f(z) 的 m 阶零点对于不恒为零的解析函数，零点是孤立的重要定理如果 z_0 是 f(z) 的 m 阶零点，则 z_0 是 f(z) 的 m 阶极点，反之亦然重要定理若 f(z) 在 z_0 处解析，则以下各命题是等价的：1. z_0 为 f(z) 的 m 阶零点2. f^k(z_0)=0\,,k=0,1,2,\cdots,m-1\,,f^{m}(z_0)\neq0例求 f(z)=\frac{1}{\sin z} 的奇点，若为极点，指出它的阶数显然， \sin z 的零点 z=k\pi\,,k=0,\pm1,\pm2,\cdots 就是 \frac{1}{\sin z} 的奇点又 (\sin z)'\bigg|_{z=k\pi}=\cos z\bigg|_{z=k\pi}=(-1)^k\neq0 ，故 z=k\pi 是 \sin z 的一阶零点，进而是\frac{1}{\sin z} 的一阶极点重要定理若 f(z)=\frac{\varphi(z)}{\psi(z)} ， z_0 为\varphi(z) 的 m 阶零点， z_0 为 \psi(z) 的 n 阶零点，则：1. m\geq n 时， z_0 为 f(z) 的可去奇点；2. m<n 时， z_0 为 f(z) 的 n-m 阶极点.例求 f(z)=\frac{e^z-(1+z)}{z^4} 的奇点，如果是极点，指出它的阶数显然， z=0 是 z^4 的四阶零点，是 e^z-(1+z) 的二阶零点则 z=0 是 f(z) 的二阶极点从另一方面，将 f(z) 在 z=0 的去心邻域内展开为洛朗级数：f(z)=\frac{1}{2!z^2}+\frac{1}{3!z}+\frac{1}{4!}+\frac{ 1}{5!}z+\cdots\,,0<|z|<+\infty\\故 z=0 是 f(z) 的二阶极点无穷远点无穷远点是复平面外的理想点，故无穷远点总是 f(z) 的奇点如果 \lim_{z\to \infty}f(z) 存在，则称 \infty 为 f(z) 的可去奇点；如果 \lim_{z\to \infty}f(z)=\infty，则称 \infty 为 f(z) 的极点；如果 \lim_{z\to \infty}f(z) 不存在且不为 \infty ，则称\infty 为 f(z) 的本性奇点.例讨论下列函数在无穷远点的性态：1. f(z)=(z-2)(z^2+1)\lim_{z\to\infty}(z-2)(z^2+1)=\lim_{w\to0}\left(\frac{1}{w}-2\right)\left(\frac{1}{w^2}+1\right)=\infty故 \infty 是 f(z) 的极点且为 3 阶极点2. f(z)=e^{\tan\frac{1}{z}}\lim_{z\to \infty}e^{\tan\frac{1}{z}}=1故 \infty 是 f(z) 的可去奇点3. f(z)=e^z\infty 是 f(z) 的本性奇点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
定理 设 f (z)在圆环域 R1< |zz0| < R2内解析, 则
f ( z)
n n c ( z z ) n 0
其中cn
1 2πi
C
f ( ) d . (n 0, 1, 2, ) n 1 ( z0 )
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
n c ( z z ) n 0 n
c n ( z z0 ) n
c1 ( z z0 ) 1 cn ( z z0 ) n ,
c0 c1 ( z z0 )
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
洛朗级数
一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在 该圆域内展开成z-z0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在 z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示. 但是这 种情况在实际问题中却经常遇到. 因此, 在本节中将讨论 在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.
n 1 n 1
因此, 只有在R1<|z-z0|<R2的圆环域, 原级数才收敛.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
R2
n n a z 例如级数 n n n 1 z n 0 b
(a与b为复常数)
n
z0 R1
an a a 中的负幂项级数 n ,当 1, z n 1 z n 1 z zn 即 | z || a | 时收敛, 而正幂项级数 n 则当 n 0 b | z || b | 时收敛. 所以当 | a || b | 时,原级数在 圆环域 | a || z || b | 收敛;当 | a || b | 时,原级 数处处发散.
在收敛圆环域内具有幂级数在收敛圆内的许多性质。 例如, 上述级数在收敛环域内其和函数是解析的, 而且可以逐项积 分和逐项求导。 现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成 上述含正、负幂的幂级数呢?先看下例。
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
其次,在圆环域:0<|z-1|<1内也可以展开为z-1的幂级数: y
f ( z) 1 1 1 z (1 z ) 1 z 1 (1 z )
O 1
1 [1 (1 z ) (1 z ) 2 (1 z ) n ] 1 z (1 z ) 1 1 (1 z ) (1 z ) 2 (1 z ) n 1
对负幂项, 如果令
t =(z-z0)-1, 可得：
cn ( z z0 )
n 1
n
c nt n c1t c2t数, 设收敛半径为R： t R z z0 R1 R 则当|z-z0|>R1, 即|t|<R 时, c nt n c n ( z z0 ) n 收敛。
1 函数f ( z ) 在z 0及z 1都不解析, 但在圆环域 z (1 z ) 0 | z | 1及0 | z 1| 1内都是解析的先研究 . 0 | z | 1的情形: 1 1 1 1 f ( z) 1 z z2 zn . z (1 z ) z 1 z z 由此可见, f ( z )在0 | z | 1内是可以展开为z的幂级数.
根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可
以用代数运算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求 得洛朗级数的展开式.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例1 把 f z
z 1 z 2
1
在复平面上展开为z的幂级数。
讨论下列形式的级数:
n n c ( z z ) n 0
c n ( z z0 ) n
c1 ( z z0 ) 1 cn ( z z0 ) n ,
c0 c1 ( z z0 ) 可将其分为两部分考虑:
复变函数与积分变换
n c ( z z ) c0 c1 ( z z0 ) n 0 n 0 n 1 c ( z z ) c ( z z ) n 0 1 0 n 1
C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线。
R2
z0 R 1
C
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
称等式为f(z)在以z0为中心的圆环域R1<|z-z0|<R2内的 洛朗(Laurent)展开式, 它右端的级数称为f(z)在此圆 环域内的洛朗级数. 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂 项的级数是唯一的, 这个级数就是f(z)的洛朗级数.
解： 函数f(z)在圆环域 i) 0<|z|<1; ii) 1<|z|< 2;
iii) 2<|z|< + 内是处处解析的, 可把f(z)在这些区域 内展开成洛朗级数.
Complex Analysis and Integral Transform
cn ( z z0 ) n c n ( z z0 ) n
(正幂项部分) (负幂项部分)
只有正幂项和负幂项都收敛时,原级数才收敛于它们的和. z z0 R2 . 正幂项是幂级数, 设其收敛半径为 R2：