复变函数：洛朗级数

n 1 n 1
因此, 只有在R1<|z-z0|<R2的圆环域, 原级数才收敛.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
R2
n n a z 例如级数 n n n 1 z n 0 b
(a与b为复常数)
n
z0 R1
an a a 中的负幂项级数 n ,当 1, z n 1 z n 1 z zn 即 | z || a | 时收敛, 而正幂项级数 n 则当 n 0 b | z || b | 时收敛. 所以当 | a || b | 时,原级数在 圆环域 | a || z || b | 收敛;当 | a || b | 时,原级 数处处发散.
C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线。
R2
z0 R 1
C
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
称等式为f(z)在以z0为中心的圆环域R1<|z-z0|<R2内的 洛朗(Laurent)展开式, 它右端的级数称为f(z)在此圆 环域内的洛朗级数. 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂 项的级数是唯一的, 这个级数就是f(z)的洛朗级数.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
洛朗级数
一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在 该圆域内展开成z-z0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在 z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示. 但是这 种情况在实际问题中却经常遇到. 因此, 在本节中将讨论 在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.
根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可
以用代数运算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求 得洛朗级数的展开式.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
பைடு நூலகம்
例1 把 f z
z 1 z 2
1
在复平面上展开为z的幂级数。
在收敛圆环域内具有幂级数在收敛圆内的许多性质。 例如, 上述级数在收敛环域内其和函数是解析的, 而且可以逐项积 分和逐项求导。 现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成 上述含正、负幂的幂级数呢?先看下例。
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
解： 函数f(z)在圆环域 i) 0<|z|<1; ii) 1<|z|< 2;
iii) 2<|z|< + 内是处处解析的, 可把f(z)在这些区域 内展开成洛朗级数.
其次,在圆环域:0<|z-1|<1内也可以展开为z-1的幂级数: y
f ( z) 1 1 1 z (1 z ) 1 z 1 (1 z )
O 1
1 [1 (1 z ) (1 z ) 2 (1 z ) n ] 1 z (1 z ) 1 1 (1 z ) (1 z ) 2 (1 z ) n 1
1 函数f ( z ) 在z 0及z 1都不解析, 但在圆环域 z (1 z ) 0 | z | 1及0 | z 1| 1内都是解析的先研究 . 0 | z | 1的情形: 1 1 1 1 f ( z) 1 z z2 zn . z (1 z ) z 1 z z 由此可见, f ( z )在0 | z | 1内是可以展开为z的幂级数.
讨论下列形式的级数:
n n c ( z z ) n 0
c n ( z z0 ) n
c1 ( z z0 ) 1 cn ( z z0 ) n ,
c0 c1 ( z z0 ) 可将其分为两部分考虑:
复变函数与积分变换
n c ( z z ) c0 c1 ( z z0 ) n 0 n 0 n 1 c ( z z ) c ( z z ) n 0 1 0 n 1
Complex Analysis and Integral Transform
cn ( z z0 ) n c n ( z z0 ) n
(正幂项部分) (负幂项部分)
只有正幂项和负幂项都收敛时,原级数才收敛于它们的和. z z0 R2 . 正幂项是幂级数, 设其收敛半径为 R2：
x
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
定理 设 f (z)在圆环域 R1< |zz0| < R2内解析, 则
f ( z)
n n c ( z z ) n 0
其中cn
1 2πi
C

f ( ) d . (n 0, 1, 2, ) n 1 ( z0 )
对负幂项, 如果令
t =(z-z0)-1, 可得：

cn ( z z0 )
n 1

n
c nt n c1t c2t 2
n 1
,
1 这是t 的幂级数, 设收敛半径为R： t R z z0 R1 R 则当|z-z0|>R1, 即|t|<R 时, c nt n c n ( z z0 ) n 收敛。

复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
n c ( z z ) n 0 n
c n ( z z0 ) n
c1 ( z z0 ) 1 cn ( z z0 ) n ,
c0 c1 ( z z0 )