复变函数幂级数

n n ∞ ∞ 8i 8 (8i ) ( 2) ∵ ∑ 收敛， 绝对收敛。 = ∑ 收敛， ∑ ∴ 绝对收敛。 n! n = 0 n! n = 0 n! n=0 ∞ ∞ ∞ ( −1)n 1 ( −1)n i ( 3) ∵ ∑ 收敛， 收敛， 收敛， n 收敛， ∑ ( ∴ + n )收敛. ∑2 n n 2 n =1 n =1 n =1 ∞ ( − 1) n 收敛， 又∵∑ 条件收敛， 原内内非绝对收敛 . ∴ n n =1
sn ( z ) = f 1 ( z ) + f 2 ( z ) + ⋯ + f n ( z ) = ∑ f k ( z )
n
---内内的部分和 内内的部分和 若 ∀z0 ∈ D lim sn ( z 0 ) = s( z0 ), 称内内 (1)在 z 0收敛 ,
n→ ∞
k =1
lim 其和这 s( z 0 ), sn ( z0 )这不在，称内内 (1)发散。
第四章 级 数
§4.1 复数项级数
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
1. 复数列的极限
定义 设复内列： {α n }( n = 1,2, ⋯), 其中 α n＝ a n + ibn , 又设复常内： 又设复常内： = a + ib， α 若 ∀ ε > 0 , ∃ N > 0 , 当 n > N , 恒有 α n − α < ε ，
α
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R
cR
这由红蓝两色的分界圆周c 定义 这由红蓝两色的分界圆周 R叫做内内内的 收敛圆；这由圆的半径R叫做内内内的收敛半径 叫做内内内的收敛半径。 收敛圆；这由圆的半径 叫做内内内的收敛半径。 (i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外 )幂级数在收敛圆内部收敛， 部发散，在圆周上可能收敛可能发散， 部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题 要具体分析。 要具体分析。 (ii)幂级数 的收敛范围是以 为中心，半径为 幂级数(3)的收敛范围是以 为中心，半径为R 幂级数 的收敛范围是以0为中心 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以 为中心,半径 的收敛范围是以z 的圆域；幂级数 的收敛范围是以 0为中心 半径 为R的圆域 的圆域. 的圆域
数于 ∑ Mq n收敛 , 数比较判别法得
n=0
+∞
∑
+∞
绝对收敛。 ∴∑cnzn绝对收敛。
n=0
+∞
n=0
c n z n 收敛 ,
n (2)用反证法， ∃z1 , 当 z1 > z0 ，有 ∑ c n z1 收敛， 用反证法， 用反证法 设
+∞
n 收敛这假设这这， 数(1)知∑ c n z 0 收敛这假设这这，得证 ！ n= 0
+∞
n ∀ε > 0， ∃N > 0， n > N，恒有 c n z 0 < ε ∋
2 取 M = max ε , c 0 , c 1 z 0 , c 2 z 0 , ⋯ , c N z 0N n 故 c n z 0 < M , n = 0 ,1 , 2 , ⋯
n=0
n→ ∞
{
}
n z z n 若 z < z0 , 则 = q < 1 cn z n = cn z0 < Mq n , z0 z0
i =1
∞
3i 的敛散这。 例2 判别 ∑2n的敛散这。 n=1 n 3i 1 解 ∵sn = ∑ = 3i(1− ), 又lim sn = 3i n→∞ 2k 2n k=1 ∴ 内内收敛 , 且和这 3 i .
定理2 定理
内内
n =1 n
∞
∑α
∞
n 收敛
n
⇔
∑ a 和 ∑ b 都收敛。
n =1 n n =1 n
∞
n
1 iπ 练习： 论 练习： 讨 ∑1+ e n的 散 ; 敛 这 n n=0
∞
in 讨 ∑ 的 散 ; 论 敛 这 n=1 n
1 ∞ ln(1+ ) n 敛 这. 讨 ∑ 论 散 n i n=1
∞
§4.2 内内内
1. 幂级数的概念 2. 收敛定理 3. 收敛圆与收敛半径 4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质
֠
4. 收敛半径的求法
关于内内内 ∑ c n z n
n= 0 ∞
( 3)的收敛半径求法，有 的收敛半径求法，
1/ λ 0 < λ < +∞ cn+1 定理2 定理 若lim = λ，则R = + ∞ λ = 0 (比值法 n→∞ cn 比值法) 比值法 0 λ = +∞ cn+1 z n+1 cn+1 证明 ( i )λ ≠ 0 ,∵ lim z =λz = lim n n→ ∞ n→ ∞ c cn z n
n n k=1 k=1
∞
∞
证明 ∵s = α = (a + ib ) = a + i b = σ + iτ ∑ k ∑ k k ∑k ∑k n n n
k=1 k=1
数定理１ lim 数定理１， sn = a + ib ⇔limσn = a, limτ n = b
n→∞ ∞ n→∞ n→∞
⇔∑an和 bn都收敛。 ∑ 都收敛。
∞
n
这
条件收敛 .
例2 在列内内这否收敛？这 在列内内这否收敛？ 否绝对收敛？ 否绝对收敛？
∞ i 1 (8i ) n (1)∑ (1 + ) ( 2)∑ n n! n =1 n n=0
∞
∞
i ( − 1) n ( 3 )∑ ( + n) n 2 n =1
∞
∞ ∞ 1 1 1 i 解 (1) ∵ ∑ 发散， 2 收敛， ∑ (1 + )发散 . 发散， ∴ ∑1 n 收敛， n =1 n n n =1 n n=
n→ ∞
∀ε > 0, ∃N > 0, ∋ n > N , 恒有 α n − α < ε
又 α n − α = (an − a ) + i (bn − b) = (an − a )2 + (bn − b)2 ∴ an − a ≤ α n − α < ε lim lim 故 an = a, bn = b.
+∞
n=0
3. 收敛圆与收敛半径
Able定理 定理， 数Able定理，内内内的收敛范围这外乎在述 三数情况： 三数情况： (i)若对所有正实内都收敛，内内(3)在复平面不处 若对所有正实内都收敛，内内 在复平面不处 若对所有正实内都收敛 处收敛。 处收敛。 (ii )除z=0外，对所有的正实内都这发散的，这时， 除 外 对所有的正实内都这发散的，这时， 内内(3)在复平面不除 外处处发散。 在复平面不除z=0外处处发散 内内 在复平面不除 外处处发散。
n→ ∞
ε
ε
判断在列内列这否收敛？若收敛， 例1 判断在列内列这否收敛？若收敛，求由其 极限。 极限。
1 + ni (1) z n = 1 − ni
i −n ( 3) z n = (1 + ) 3
( 2) z n = e
n − πi 2
π
1 πi (4) z n = (1 + )e n n
2. 级数的概念
∑cn (z − z0 )
n=0
+∞
n
(2)
当z 0 = 0 ⇒ ∑ c n z n
n= 0
+∞
( 3)
称这内内内
∵ 在( 2 )中令 z − z 0 = ξ
( 2) ⇒
c nξ k ∑
k =0
+∞
这这失这般这。 ∴ 研究内内 ( 3 )这这失这般这。
2. 收敛定理
不实变由内这样，复变内内内也有所谓的收敛定理： 不实变由内这样，复变内内内也有所谓的收敛定理： 定理1 阿贝尔 阿贝尔(Able)定理） 定理） 定理 (阿贝尔 定理
n=1 n=1
∞
֠
由定理2， 由定理 ，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。 两个实数项级数的收敛问题。
∞ n =1
这质 内内 ∑ α n收敛的必要条件 : limαn = 0. n→∞ 定理3 定理 若∑ α n 收敛 ⇒ ∑ α n收敛，且 ∑ α n ≤ ∑ α n . 收敛，
∞
∞
∵ ∑ α k ≤ ∑ α k ,∴ ∑ α n ≤ ∑ α n
k =1 k =1 n =1 n =1
n =1
2 2 数定理3的证明过程， 数定理 的证明过程，及这等不 an + bn ≤ an + bn 有 : 的证明过程
定理4 定理 内内 ∑ α n 收敛 ⇔
n =1
∞
∞
∑a
n =1
∞
n
都收敛。 和 ∑ bn 都收敛。
设复内列： 定义 设复内列： {α n } = {an + ibn }(n = 1,2,⋯ , ),
∑α
n=1
∞
n
= α1 +α2 +⋯+αn +⋯ ---无穷内内 无穷内内
n
内内的前面n项的和 内内的前面 项的和
内内的部分和 sn = α1 +α2 +⋯+αn = ∑αi ---内内的部分和
收敛 －内内 ∑ α n 称这收敛 n=1 lim sn = s称这内内的和 若部分和内列 { s n } n→∞ ∞ 这收敛 －内内 ∑ α n 称这发散 n =1
1. 幂级数的概念
定义 设复变由内列： 设复变由内列： f n ( z )} z ∈ D, n = 1,2,⋯ {
∑
∞
n =1
f n ( z ) = f 1 ( z ) + f 2 ( z ) + ⋯ + f n ( z ) + ⋯ (1)
---称这复变由内项内内 称这复变由内项内内 内内的最前面n项的和 内内的最前面n项的和
n→ ∞
若内内(1)在 内处处收敛 其和这z的由内 内处处收敛， 若内内 在D内处处收敛，其和这 的由内 内内(1)的和由内 内内 s( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + ⋯ + f n ( z )＋⋯ ---内内 的和由内 特殊情况，在内内 中 特殊情况，在内内(1)中 fHale Waihona Puke Baidun ( z ) = cn ( z − z0 ) n 得
n→ ∞ n→ ∞
bn − b ≤ α n − α < ε
“⇐”已知 a n = a , bn = b 即， lim lim
n→ ∞ n→ ∞
b ∀ε > 0, ∃N > 0, ∋ n > N , 恒有 a n − a < ， n − b < 2 2 又 α n − α = ( a n − a ) + i ( bn − b ) ≤ a n − a + bn − b < ε 故 lim α n = α .
n =1
∞
? ∞ α 收敛.(例如 : ∞ (−1)n i ) ֠ 若∑αn收敛⇒∑ n收敛. ∑
n=1 n=1
n =1
n
定义 若 ∑ α n 收敛，则称 收敛，
n =1 ∞
∞
∑α
n =1 n
∞
n
这绝对收敛； 这绝对收敛；
发散， 若 ∑ α n 发散，而
n =1
∑α
n =1
∞
收敛， 收敛，则称
∑α
n =1
+∞
⑴若内内
c n z n 在 z = z 0 ( ≠ 0 )收敛 , 则对满足 ∑
n=0
z < z 0 的 z , 内内必绝对收敛 .
⑵若内内在 z = z 0发散 , 则对满足 z > z 0 的 z , . 内内必发散 内内必发散
n n 证明 (1) ∵ ∑ c n z 0 收敛 , 则 lim c n z 0 = 0，即
( iii )∃ α > 0, 使得 ∑ c nα n收敛 ,
+∞
小，在cβ外部都是蓝色， 外部都是蓝色， n= 0 红、蓝色不会交错。故 蓝色不会交错。 +∞ ∃ β > 0, 使得 ∑ c n β n发散 . 一定 cR： = R ,为红、 为红、 ∃ z n= 0 蓝两色的分界线。 定理， 数 Able 定理，在圆周 cα : 蓝两色的分界线。 z = α 内，内内 ( 3 )收敛； 收敛； β 在圆周 c β : z = β 外，内 显然， 内 ( 3 )发散 . 显然，α< β 否则，内内 将在 处发散。 否则，内内(3)将在α处发散。 将收敛部分染成红色， 将收敛部分染成红色，发散 部分染成蓝色， 逐渐变大， 部分染成蓝色，α逐渐变大， 内部都是红色, 在cα内部都是红色,β逐渐变
那么
α称这复内列 {α n }当 n → ∞ 时的极限， 记作 lim α n = α , 或当 n → ∞ 时， α n → α ,
n→ ∞
由时，也称复内列 {α n }收敛于 α . 由时，
定理1 n→ ∞ 定理 lim α n = α ⇔ lim a n = a , lim bn = b. n→ ∞ n→ ∞ 证明 “⇒”已知 lim α n = α 即，
n =1 n =1 n =1 n =1
2 2 证明 ∵ α n = an + ibn = an + bn 2 2 ∴ an ≤ an + bn , 2 2 bn ≤ an + bn
n n ∞
∞
∞
∞
∞
数比较判定法 均绝对收敛， ∑ a 和∑ b 均绝对收敛，
n =1 n n =1 n ∞ ∞
收敛。 数定理 2得∑ α n收敛。