(完整版)幂级数函数的幂级数展开法
幂级数的展开式
f ( x ) = a 0 + a1 ( x x 0 ) + + a n ( x x 0 ) +
n
逐项求导任意次,得 逐项求导任意次 得
′( x ) = a1 + 2a 2 ( x x0 ) + + na n ( x x0 ) n1 + f f ( n ) ( x ) = n! a n + ( n + 1)n 3 2a n+1 ( x x0 ) +
令 x = x0 , 即得 1 (n) an = f ( x0 ) n!
(n = 0,1,2, 泰勒系数 )
泰勒系数是唯一的, 泰勒系数是唯一的 ∴ f ( x )的展开式是唯一的 .
定义
∞
处任意阶可导, 如果 f ( x ) 在点 x0 处任意阶可导,则幂级数
f ( n ) ( x0 ) n 泰勒级数. ∑ n! ( x x0 ) 称为 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数. n=0 (n) ∞ f ( 0) n 麦克劳林级数. ∑0 n! x 称为 f ( x ) 在点 x0 = 0 的麦克劳林级数. n=
第四节 函数的幂级数展开式
一,泰勒级数
上节告诉我们: 上节告诉我们: 幂级数在其收敛域内有一个和函数, 幂级数在其收敛域内有一个和函数,把这句话反过来 就是这个和函数在收敛域内可以展开成幂级数. 说,就是这个和函数在收敛域内可以展开成幂级数. 我们的问题是:任意给定的函数f(x) 我们的问题是:任意给定的函数f(x) 1.在什么条件下才能展开成幂级数 在什么条件下才能展开成幂级数? 在什么条件下才能展开成幂级数
n→∞
证明 必要性 设f ( x )能展开为泰勒级数 ,
高等数学课件：11-4 函数的幂级数展开式
n 2k n 2k 1
(k 0, 1, 2,)
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin(
(n
1)
2
)
(n 1)!
x n 1
n
sin x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n
1 ( 2 n1)!
x 2n1
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式 及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 例3. 将 f ( x) cos x 展开成为关于x 的幂级数. 解：由于
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
例6. 求
的麦克劳林级数.
解: sin2 x 1 1 cos 2x 22
1 1 (1)n 1
2 2 n0
( 2n) !
x (, )
1 (1)n
4n
x 2n (1)n1
4n
x 2n
2 n1
( 2n) !
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
两个待解决的问题 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
泰勒公式
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有 :
f
(x)
f
(
x0 ) f (x0 )(x x0 ) f (n) (x0 ) (x n!
所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛域为
高等数学(下册)第7章第6讲函数的幂级数展开
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n 1 x2n1 x (,) .
3! 5!
(2n 1)!
12
二、 函数的幂级数展开
2.间接展开法
间接展开法, 就是利用已知函数的幂级数展开式, 通过幂级 数运算（如四则运算、逐项求导、逐项积分等）以及变量代换等, 获得所求函数的幂级数展开式.这种方法不但计算简单, 而且可以 避免研究余项.由于函数的幂级数展开式是唯一的, 因此间接法与 直接法展成的幂级数是一致的.
2
f (n) (0) 顺序循环地取 0,1,0，1， (n 0，1,2,3，) ,
于是得到麦克劳林级数
x 1 x3 1 )!
它的收敛半径为 R , 因而此幂级数处处收敛.
11
二、 函数的幂级数展开 例 1 将函数 f (x) sin x 展开成 x 的幂级数.
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
n0
f
(n) ( x0 n!
)
(x
x0
)n
称为函数 f (x) 在点 x0 处的泰勒级数,
特别地, 函数 f (x) 在 x0 0 处的泰勒级数
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn f (n) (0) xn
第二步 求出函数 f (x) 及其各阶导数在 x 0处的值 f (0), f (0), f (0),, f (n) (0), ；
第三步 写出 f (x) 的麦克劳林级数
f (x) ~ f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn ,
高等数学第五节 函数幂级数展开
f(x) f(0) f(0)x f(0) x2 f(n)(0) xn
2!
n!
rn(x). ②
rn(x)f((n n 1 )(1 )x!)xn1 (0θ1).
②式称为麦克劳林公式 . 幂级数
f()0 f(0 )x f(0 )x 2 f(n )(0 )x n ,
rn(x)(n e( θx 1))!xn1 (0θ1),
且 x ≤ x x , 所以eθx ex , 因而有
rn(x)(n e x 1)!xn1(ne x1)!xn1.
注意到，对任一确定的 x 值， e x 是一个确定
的常数 . 而级数 ⑥ 是绝对收敛的，因此其一
例 1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
解 由 f(n )(x)ex(n1,2,3, ), 可以
得到
f(0 ) f(0 ) f(0 ) f(n )(0 ) 1 .
因此我们可以得到幂级数
1x1x2 1xn .
⑥
2!
n!
显然，这个幂级数的收敛区间为 (,+ ) . 至 于 数 ⑥ 是 否 f(x)以 ex为 和 ,收 函 敛 f数 (x 于 )ex, 还要考察函f(x数)ex 的麦克劳林公式中 项, 因为
所以 f(x) 1 1 1x 2x
(1xx2 xn )
1[1x(x)2 (x)n ]
2 22
2
1 2 2 2 2 21x 2 3 2 31x 2 2 n 2 n 1 11x n .
根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应
取较小的一个，故 R = 1，因此所得幂级数的收 敛区间为 1 < x < 1 .
例7
幂级数. 解
第五节函数幂级数展开
第五节 函数的幂级数展开从前一节可以知道，如果幂级数∑∞=-00)(n n nx x a的收敛半径R >0, 那么它的和函数在收敛区间（x 0-R ，x 0+R ）上 有任意阶导数，在收敛域上内闭一致收敛. 当在收敛域上有和函数∑∞=-=)()(n nn x x a x f 时，有),3,2,1,0(,!)(0)(ΛΛ==n a n x f n n .也就是说∑∞=-00)(n nn x x a 可以写成∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f. 显然只用到f (x )在x 0点有任意阶导数的条件. .反之, 如果（x 0-R ，x 0+R ）上的函数f (x ) 在x 0点有任意阶导数, 能否在（x 0-R ，x 0+R ）上被表示为一个幂级数的和函数 ? 先看一个例子.00)(21=≠⎪⎩⎪⎨⎧=-x x ex f x,在（—∞,+∞）上有任意阶导数, ),3,2,1,0(,0)0()(ΛΛ==n fn ,那么ΛΛΛΛ+++++=∑∞=n n n n x n x x x n f!!20!100!)0(20)( 在（—∞,+∞）上一致收敛于和函数S (x )= 0, 但对一切x ≠0, S (x )≠f (x ).在什么条件下∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f的和函数在一个非空开区间上等于f (x ) ? 为了方便,我们给出如下的:定义 1 设f (x )在x 0有任意阶导数,那么称∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f为f (x ) 在x 0的Taylor(泰勒)级数 .由于f (x ) 在x 0任意阶导数,那么存在一个r >0, 对于任意正整数n , 有Taylor 公式 :∑=+-=nk n k k x R x x k x fx f 000)()()(!)()(, x ∈（x 0-r ，x 0+r ）. 其中)(x R n 是余项. 它的Lagrange:型为:10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ, ξ介于x 和x 0 之间 .由此我们可以得到如下的结论:定理 11.26 设f (x )在x 0有任意阶导数, r >0, 那么f (x ) 在 ( x 0-r ，x 0+r ）内等于它的Taylor 级数的和函数的充分必要条件是: f (x )在x 0的Taylor 公式余项: )(x R n 满足:对任意( x 0-r ，x 0+r ）内的x 有 0)(lim =∞→x R n n (证明由读者完成).定义 2 设f (x )在x 0有任意阶导数, r >0, f (x ) 在 ( x 0-r ，x 0+r ）内等于它的Taylor 级数的和函数, 那么我们说f (x ) 在 ( x 0-r ，x 0+r ）内可以展开成Taylor 级数.并称∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f为f (x ) 在x = x 0 处的Taylor 展开式.或x = x 0 处的幂级数展开式.推论 如果f (x ) 在( x 0-r ，x 0+r ）内可以展开成Taylor 级数,则Taylor 展开式是唯一的. 即是说,如果f (x ) 在( x 0-r ，x 0+r ）内是一个幂级数的和函数, 那么f (x ) 在( x 0-r ，x 0+r ）内的Taylor 展开式就是原幂级数(为什么?). 特别, 当x 0=0时, f (x ) 的Taylor 级数∑∞=0)(!)0(n nn x n f也称为Maclaurin 级数.为了研究是否有Taylor 展开式,我们必须了解Taylor 公式的余项. 虽然我们已知Taylor 公式的Lagrange 余项. 下面还给出Taylor 公式余项的另一个形式—积分形式.引理 . 设r >0, f (x )在x 0在( x 0-r ，x 0+r ）上有任意阶导数, 则对任意正整数n , 有∑=+-=nk n k k x R x x k x fx f 000)()()(!)()( 其中 ⎰-=+xx n n n dt t x t f n x R 0))((!1)()1(.证明 ∑=--=nk k k n x x k x fx f x R 000)()(!)()()(, 那么 ∑=---=nk k k n x x k x f x f x R 100)()()!1()()(')(',∑=---=nk k k n x x k x f x f x R 200)()()!2()()('')('',…………,)()()(0)()()(x f x f x R n n n n -=, )()()1()1(x f x R n n n++=,并0)()(")(')(0)(000=====x R x R x R x R n n n n n Λ.重复使用分部积分得到:⎰⎰⎰---=-==xx n xx n xx n xx n n dt t R x t x t t R x t d t R dt t R x R 0)('')())((')()(')(')(⎰⎰--=-=xx n x x n t x d t R dt t R t x 002)()(''!21)('')( ΛΛ=-=⎰xx n dt t x t R 02))(('''!21⎰⎰-=-=++xx n n x x n n n dt t x t f n dt t x t R n 00))((!1))((!1)1()1(. 得证. 从这个余项积分表达式中由于nt x )(-保持不变号,在[x , x 0] 或[x 0, x ]上对)()1(t f n +应用积分中值定理得,存在介于x 和x 0 之间的ξ,有10)1()1()()!1()()(!)()(0+++-+=-=⎰n xx n nn n x x n f dt t x n f x R ξξ, 这就是Lagrange 余项. 同样也可以写成.10,)()!1())(()(1000)1(≤≤-+-+=++θθn n n x x n x x x fx R如果在[x , x 0] 或[x 0, x ]上对)()1(t f n +n t x )(-应用积分中值定理得,存在介于x 和x 0 之间的ξ,有)()()!1()(!))(()(0)1()1(0x x x n f dt n x f x R xx nn nn n --+=-=⎰++ξξξξ, 也可写成.10,)()1()!1())(()(1000)1(≤≤--+-+=++θθθn n n n x x n x x x fx R这个形式的余项被称为Cauchy 余项.下面将给出基本初等函数在x=0处的Taylor 展开式.也叫做Maclaurin 展开式(1) 求k 次多项式函数kk x c x c x c c x f ++++=ΛΛ2210)(的Taylor 展开式 .解 ),,2,1,0(,!)0()(k n c n fn n Λ==, )(,0)0()(k n f n >=.所以余项 )(,0)0(k n R n >=, 显然 ,0)0(lim =∞→n n R 故 它的Taylor 展开式为k k x c x c x c c x f ++++=ΛΛ2210)(, x ∈（—∞,+∞）.(2) 有上一节知, xe xf =)(在x=0处的幂级数展开式为∑∞==0!n nxn x e , x ∈（—∞,+∞）.(3) 求x x f sin )(=,在x=0处的幂级数展开式 .由Taylor 公式知道),,(),()!12()1(!3sin 22123∞-∞∈++-+-=++x x R n x x x x n n nΛΛ),,(,10),232sin()!32()(3222∞-∞∈≤≤+++=++x x n x x R n n θππθ对任意∑∞=∞-∞∈0!||),,(n nn x x 是收敛的, 所以一般项趋于0.即得, 对任意x ∈（—∞,+∞）, 0)(lim 22=+∞→x R n n .所以, sin x 在x=0处的幂级数展开式),(,)!12()1()!12()1(!3sin 012123∞-∞∈+-=++-+-=∑∞=++x x n n x x x x n n n n nΛΛΛΛ.(4) 由可逐项可微性得, cos x 在x =0处的幂级数展开式为),(,)!2()1()!2()1(!21cos 0222∞-∞∈-=+-++-=∑∞=x x n n x x x n n n n n ΛΛΛΛ. (4) 同理可得:]1,1(,!)1(!)1(32)1ln(11132-∈-=+-+-+-=+∑∞=++x x n n x x x x x n n n n n ΛΛΛΛ. (5) 设m ≠0的实数, 求mx x f )1()(+=的x =0处的幂级数展开式.当m 是正整数时, nmn mx n n m m m x x f ∑=+--=+=0!)1()1()1()(Λ, x ∈（—∞,+∞）.当m ≠0也不是正整数时,)3,2,1(,)1)(1()1()(1)(ΛΛΛ=++--=-n x n m m m x f m n . ),3,2,1(),1()1()0()(ΛΛΛ=+--=n n m m m f n当记),3,2,1(,!)1()1(ΛΛΛ=+--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n n m m m n m 10=⎪⎪⎭⎫⎝⎛m .所以mx x f )1()(+=在x =0处的Taylor 级数为nn mx n m x ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0)1(.注意到11lim 1lim=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→n n m n m n m n n ,所以由D ’Alembert 判别法, 此Taylor 级数的收敛半径R =1. 又它的在x =0处的Taylor 公式为)()1(0x R x k m x n knk m+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∑=. )(x R n 的Cauchy 型为111)1()1(111)1()1(!)()(-++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=m nn n n n n x x x n m n x n x f x R θθθθθ, 0≤θ≤1. 由于n n mx n m x x f ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=0)1()(的收敛半径为R =1. 因此01)1(lim 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n x n m n . 又因为0≤θ≤1,|x|<1, 我们0≤nx ⎪⎭⎫⎝⎛+-θθ11≤1,和}|)|1(,|}|1m ax {)1(0111----+≤+≤m m m x x x θ,因此,当 |x|<1时, 0)(lim =∞→x R n n .即当|x|<1时,nn mx n m x ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0)1(.下面将讨论1±=x 的情况:(a) 当m ≤-1时, !21!|)1()1(|n n n n m m m n m x n m n ⋅⋅⋅≥+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛ΛΛ=1. 所以 n n x n m ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0发散. 即 n n mx n m x ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0)1(, -1<x <1., (b) 当-1<m <0时, 当x =1时, ∑∑∞=∞=+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10!)1()1(1n n n n m m m n m Λ是交错级数. 由于 110<+-<n nm ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+-->⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+--1)!1()()1(!)1()1(n m n n m m m n m n n m m m ΛΛ. 又⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛n m m m n n m m m n m 11211111!)1()1(ΛΛΛ, 从而 0lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→n m n , ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m 单调趋于0, 由Leibniz 交错级数判别法.知道 ∑∑∞=∞=+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10!)1()1(1n n n n m m m n m Λ 是收敛的. 当x = -1时,∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0n n m 是正项级数, 又 n m n n m n m m m n n m m m n m ||1112211||!)1()1(>⋅---⋅⋅-⋅-⋅=+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΛΛ, 由比较判别法, ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0n n m 发散.故当-1<m <0时, nn mx n m x ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0)1(, -1<x ≤1.. (b) 当m >0时, 111||1lim 11lim >+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→∞→m m n n n n m n m n n n . 由Raabe 判别法得, ∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0n n m 收敛.这时nn mx n m x ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0)1(, -1≤x ≤1,.综上所述,将一个函数在某点展开成Taylor 级数,可以用间接法,即利用已知的函数的Taylor展开式进行. 另一种方法直接法, 即用Taylor 级数的定义,讨论其收敛域. 例如 nn x n x 205.025.0)1(∑∞=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-, |x |<1 , 那么 12!!2!)!12(125.0)1(arcsin 12112005.02+-+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=+∞=+∞=-∑∑⎰n x n n x n x n dt t x n n n n x,|x |≤1,.其中用Raabe 判别法,判断|x |=1时,右边的级数也是收敛. 例如 求21)(x x f =在x =1点的幂级数展开式. 当|x -1|<1时, ∑∞=-=-+=0)1(1111n n x x x , 两边求导, ∑∞=---=-112)1(1n n x n x ,即 )2,0(,)1()1(1112∈--=∑∞=-x x n x n n n .习题 11-51． 将下列函数在给定的点展开成Taylor 级数1）x 3cos ，（x =1）； 2）2sin 2x ex +,(x =0) ；3) )1ln(2x x ++,,(x =0) ； 4))1)(1(3x x x--, (x =0) ； 5) xa -1, (x =b ≠a ) ； 6) 1322+-x x x , (x =2) ；7) xxe-,(x =0) ； 8) )1(ln 2x -,,(x =0) ；2． 将下列函数展开成Maclaurin 级数 1) 232)1(-+x ; 2) )1ln(32x x x +++3) 211ln tan x x x +--3. 证明 1) 12!)!2(!)!12()1()ln(1212+--+=++∞=∑n x n n x x x n n n.2) 1!)!12(!)!2()(sin22021++=+∞=-∑n x n n x n n ,|x|≤1;4. 证明12)(sin !)!2(!)!12(sin 121+-++∞=∑n x n n x n n 在[0,0.5π]内一致收敛,并求其和函数.5.求定积分1,10,)cos 21ln(202><<+-⎰r r dt r t r π.。
函数的幂级数展开
f (x ) 在
定理 2 ( 充要条件 ) 设函数 f (x ) 在点 x0 有任意阶导数 . 则 f (x) 在区间 ( x0 r , x0 r ) ( r 0 ) 内等于其 Taylor 级数 ( 即可展 )的充要条件是: 对 x ( x0 , r ) , 有 lim Rn ( x) 0 . 其 n 中 Rn (x) 是 Taylor 公式中的余项. 证 把函数 f (x ) 展开为 n 阶 Taylor 公式, 有
1 ( n 1) Rn (x) f ( )( x ) n x, n!
在 0 与 x 之间.
Taylor 公式的项数无限增多时, 得
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 ( x x0 ) n 2! n!
f ( n ) ( x) n! , n 1 (1 x) 1 在点 x 0 1 x
无限次可微. 求得
( x 1 ), f ( n ) (0) n!
2013-2-27
. 其 Taylor 级数为
4
1 x x x xn .
2 n
n 0
该幂级数的收敛域为 ( 1 , 1 ) . 仅在区间 ( 1 , 1 ) 内有 f (x) = x n .
a a
x
x ln a
x n ln n a , n! n 0
| x | .
2
2013-2-27
x 2 n 1 sin x ( 1 ) , (2n 1)! n 0
n
x( , ).
幂级数展开
Lemma 设函数 ϕ ( x ) 在区间 [0, 1] 上有 n + 1 阶 连续导函数， 连续导函数， 则
ϕ (1) = ϕ (0) + ϕ '(0) ϕ ''(0)
1! + 2!
1 0
+L +
ϕ ( n ) (0)
n!
1 1 ( n +1) + ∫ ϕ (t )(1 − t ) n dt . n! 0
α
α (α −1)
2!
α (α −1)L(α − n +1)
n!
x
n
+ Rn ( x).
Taylor级数收敛半径为 R = 1. 级数收敛半径为 级数 Lagrange余项 余项
α (α − 1)L (α − n)
(n + 1)! (1 + ξ )α − n −1 x n +1 ,
是否趋向 0 ？ 说不清 说不清. n o (x ) n Peano余项 o ( x ) , x → 0 时， x n → 0, 余项 14 x 不动时， o ( x n ) → 0 ? 也说不清 也说不清. n→∞ 但 不动时，
∞
f
(n)
( x0 ) n ( x − x0 ) . n!
1
x2 e , x ≠ 0, e x t f '(0) = lim = lim t = 0. 例4 f ( x ) = x →0 x t →∞ e 0, x = 0. 1 − 2 x 1 e 2 − x2 3 2t 4 x ≠ 0时，f '( x) = 3 e , f ''(0) = lim x = lim t = 0. x →0 t →∞ x x e 1 − 2 4 6 x ≠ 0时，f ''( x) = ( 6 − 4 )e x , LL LL x x
幂级数函数的幂级数展开法
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
§6.3 幂级数
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数.
证:
lim
n
an 1 x n 1 an xn
lim an1 n an
x
1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知:
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数收敛;
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数发散.
§6.3 幂级数
因此级数的收敛半径 R 1 .
2) 若 0, 则根据比值审敛法可知, 对任意 x 原级数
绝对收敛 , 因此 R ;
n0
(1 x 1)
从 0 到 x 积分, 得
x
ln(1 x) (1)n xn dx
n0
0
(1)n
n0 n 1
xn1 ,
11 xx11
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1有
定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛
区间为
§6.3 幂级数
(k 0, 1, 2, )
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式在数学中，幂级数是一种特殊的函数表示方法，它可以用无限多个幂次项的和来表示一个函数。
幂级数的形式可以写为：f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...其中，a₀，a₁，a₂，a₃等是系数，可以是实数或复数，x是自变量。
幂级数的展开系数a₀，a₁，a₂，a₃等根据函数的性质不同而有所不同。
下面介绍几个常见函数的幂级数展开公式。
1. 指数函数(exp(x)的幂级数展开)：指数函数exp(x)可以展开为无限和的形式：exp(x) = 1 + x + (x²/2!) + (x³/3!) + ...其中，n!表示n的阶乘。
2. 正弦函数(sin(x)的幂级数展开)：正弦函数sin(x)可以展开为无限和的形式：sin(x) = x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - (x⁷/7!) + ...3. 余弦函数(cos(x)的幂级数展开)：余弦函数cos(x)可以展开为无限和的形式：cos(x) = 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...4. 自然对数函数(ln(x)的幂级数展开)：自然对数函数ln(x)可以展开为无限和的形式：ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + (x-1)³/3 - (x-1)⁴/4 + ...以上仅列举了几个常见函数的幂级数展开公式，实际上，许多其他函数也可以通过幂级数展开来表示，例如三角函数的反函数、双曲函数、指数函数的反函数等。
幂级数展开的优点是可以用有限项的和来近似计算一个函数的值，特别是在自变量比较接近展开点的情况下，保留有限项可以获得较高的精度。
此外，幂级数展开也有助于理解函数的性质和行为。
在实际应用中，幂级数展开在物理、工程、计算机科学等领域有重要的应用，例如在信号处理、图像处理、优化求解等方面都得到了广泛应用。
总之，幂级数是一种重要的函数展示方法，在数学和应用领域都有着重要的地位。
第五节 函数的幂级数展开
R1) ( )( x ) n n!
x0
dt
x
Rn ( x )
f ( n 1) ( x0 ( x x0 )) (1 ) n ( x x0 ) n 1 ,0 1. (n 1)!
n 0
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n!
为 f(x) 在 x= x0 处的 Taylor 展开式.或 x= x0 处的幂级数展开式. 推论 如果 f(x) 在( x0-r，x0+r）内可以展开成 Taylor 级数,则 Taylor 展开式是唯一的. 即是说,如果 f(x) 在( x0-r， x0+r） 内是一个幂级数的和函数, 那么 f(x) 在( x0-r， x0+r） 内的 Taylor 展开式就是原幂级数(为什么?). 特别, 当 x0=0 时, f(x) 的 Taylor 级数
由可逐项可微性得, cosx 在 x=0 处的幂级数展开式为
x2 x 2n (1) n 2 n (1) n x , x (, ) . 2! (2n)! n 0 ( 2n)!
cos x 1
(4) 同理可得:
ln(1 x) x
(5) 设 m≠0 的实数,
其中 Rn ( x) 是余项. 它的 Lagrange:型为:
1
Rn ( x )
f ( n 1) ( ) ( x x0 ) n 1 , ξ介于 x 和 x0 之间 . (n 1)!
( x0-r， x0+r） 内等于它的 Taylor
由此我们可以得到如下的结论: 定理 11.26 设 f(x)在 x0 有任意阶导数, r>0, 那么 f(x) 在
展开成幂级数的方法
展开成幂级数的方法
展开成幂级数的方法有多种，以下是其中两种常见的方法：
1. 泰勒级数展开：该方法适用于将一个函数展开为无穷级数的形式。
泰勒级数的一般形式为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...
其中，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在点a处的导数，以此类推。
使用泰勒级数展开的前提是函数在展开点附近是可导的。
2. 幂级数展开：对于某些特定函数，可以直接将其展开成幂级数的形式。
一些常见的例子包括指数函数、三角函数和对数函数。
例如，e^x的幂级数展开形式为：
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...
sin(x) 的幂级数展开形式为：
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
ln(1+x) 的幂级数展开形式为：
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...
根据具体的函数形式，选择合适的幂级数展开方程可以更快
地得到展开结果。
请注意，展开成幂级数的方法不一定对于所有函数都适用，有些函数可能没有幂级数展开形式，或者幂级数展开的收敛区间有限。
因此，在实际应用中，需要对函数的性质和展开方法进行合理的选择。
函数展开成幂级数
1. 直接展开法
把函数 f (x) 展开成 x 的幂级数的步骤:
第一步 求出 f (x) , f (x) , , f (n) (x) , ,
第二步 求出 f (0) , f (0) , f (0) , , f (n) (0) , ,
第三步 写出幂级数
f (n) (0) xn ,并求出收敛半径 R .
n2 n 1
x (1)n1(2n 1) xn (1 x 1) .
n2 n(n 1)
例
将函数
sin
x
展开成
x
π 4
的幂级数.
解
sin x
sin
π 4
x
π 4
sin
π 4
cos
x
π 4
1 2(1
x)
1 2(3
x)
1
1
,
4 1
x 1 2
8 1
x
1 4
将 1 (1)n xn 中的 x分别换成 x 1 和 x 1 ,
1 x n0
24
可得
1
4
1
x
1 2
1 4
n0
(1)n 2n
n1 n
例 把函数 f (x) (1 x) ln(1 x) 展开成 x 的幂级数.
解
f (x) (1 x)
(1)n1 xn
n1 n
(1)n1 xn
10.4 函数的幂级数展开式
内具有各阶导数， 则 f ( x) 在该邻域内能展开
成泰勒级数的充要条件是 f ( x) 的泰勒公式的 余项满足
lim Rn ( x) 0
n
(3)
其中
1） f（n（ ） Rn ( x) ( x x0 )n1 (n 1)!
定理2 若 f ( x) 能展开成 x 的幂级数，则此展 开式是唯一的，且与它的麦克劳林级数相同．
x ( , )
用同样的展开方法，我们可以得到另一
个重要的展开式
m
m(m 1) 2 (1 x) 1 m x x 2! m(m 1) (m n 1) n x ( 1 x 1) n!
从上述讨论不难看出，直接展开法较繁， 多数使用下面的间接展开方法。
1 n! 且其收敛半径为 R lim n 1 (n 1)!
考虑余项
e Rn ( x) x n1 (n 1)!
的极限，因
e lim Rn ( x) lim x n 1 n n ( n 1)!
x x lim e 0 n (n 1)!
10.4.4 小结
1. 泰勒级数
函数展开成泰勒级数的充要条件
2. 函数展开成幂级数的方法
直接展开法
间接展开法
π ( x) sin( x n ) 2
时，f ( n ) (0) (1) k ，其中 k 0 , 1, 2 ,
可得级数
1 3 1 5 1 n 1 x x x (1) x 2 n1 3! 5! (2n 1)!
其收敛半径为R . 考虑余项
1 x n 1 xn ( ) n x 6 n 0 3 6(1 ) 6 n 0 3 3 1
函数展开为幂级数的公式
函数展开为幂级数的公式
函数展开成幂级数公式为：1/(1-x)=∑x^n(-1），幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方，n是从0开始计数的整数，a为常数。
幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
常用的全面的幂级数展开公式：f(x)=1/(2+x-x的平方)
每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方，n 是从0开始计数的整数，a为常数。
幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
扩展资料：
函数展开成幂级数的一般方法是：
1、直接展开
对函数求各阶导数，然后求各阶导数在指定点的值，从而求得幂级数的各个系数。
2、通过变量代换来利用已知的函数展开式
例如sin2x的展开式就可以通过将sinx的展开式里的x全部换成2x 而得到。
3、通过变形来利用已知的函数展开式
例如要将1/(1+x)展开成x−1的幂级数，我们就可以将函数写成x −1 的函数，然后利用1/(1+x)的幂级数展开式。
4、通过逐项求导、逐项积分已知的函数展开式
例如coshx=(sinhx)′，它的幂级数展开式就可以通过将sinhx的展开式逐项求导得到。
需要注意的是，逐项积分法来求幂级数展开式，会有一个常数出现，这个常数是需要我们确定的。
确定的方法就是通过在展开点对函数与展开式取值，令两边相等，就得到了常数的值。
5，利用级数的四则运算
例如sinhx=(e^x−e^{−x})/2，它的幂级数就可以利用e^x和e^{−x} 的幂级数通过四则运算得到。
幂级数的展开
x
(n + 1)!
x
e
x
由比值判别法知：级数∑
n =0
x
n +1
(n + 1)!
e 收敛，故其一般项趋于0，
即 lim
x
n +1
n →∞
(n + 1)!
e ＝0，x ∈ (-∞,+∞) 从而有 lim Rn ( x) = 0
x n →∞
16
间接法
根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 根据唯一性 利用常见展开式 通过变量代换 四则运 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式 求展开式. 算, 恒等变形 逐项求导 逐项积分等方法 求展开式
定理中的公式称为函数f(x)按(x − a)的幂级数展开到n阶的泰勒公式 或f(x)在x = a处的n阶泰勒公式，简称为n阶泰勒公式。
f(x)的泰勒公式表明，函数f(x)的值可近似地表示为 1 1 (n) 2 f(x) ≈ f(a) + f' (a)(x - a) + ' ' f (a )( x − a ) + L + f (a )( x − a ) n 2! n! 而近似误差可由Rn ( x)来估计。
§7.6函数的幂级数展开 7.6函数的幂级数展开
一、泰勒级数 二、泰勒公式 三、函数的泰勒级数展开
1
问题 n ∞ n −1 x ∑ (−1) n = ln(1 + x )
n =1
( −1 < x ≤ 1)
f ( x) = ∑an ( x − x0 )n
n=0
∞Leabharlann 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 域内以 为和函数
幂级数直接展开法
(n 1)!
e|x| | x |n1 , (n 1)!
考察级数
| x |n1
n1 (n 1)!
lim un1 u n
n
lim
n
| x |n2 (n 2)!
(数
收敛, 所以
n 1 ( n 1 )!
lim | x |n1 0 n (n 1)!
则必有
an
f (n) ( x0 ) n!
直接展开法
按以下步骤将函数展开成麦克劳林级数:
(1).求出 f ( x ) 的各阶导数: f (x), f (x),, f (n) (x),
(2).求函数及各阶导数在 x 0 处的函数值: f (0), f (0), f (0),, f (n) (0),
(3).写出幂级数:
lim
n
|
Rn
(
x)
|
0
lim
n
Rn
(
x)
0
所以
e x 1 x x 2 x 3 x n , x
2! 3!
n!
THANK YOU
微积分Ⅱ
CalculusⅡ
第十章 无穷级数
§10.1 无穷级数的概念 §10.2 无穷级数的基本性质 §10.3 数项级数的敛散性判别法 §10.4 函数项级数与幂级数 §10.5 函数的幂级数展开
幂级数直接展开法
1 定理1
若 f (x) 在点 x x0 的某邻域内可展开成
幂级数
f (x) an (x x0 )n n0
2!
n!
例
将函数 f ( x ) e x 展开成 x 的幂级数。
解： f (n) (x) ex (n 1,2,), f (0) f (n) (0) 1 (n 1,2,)
七个常用幂级数展开式
七个常用幂级数展开式幂级数展开式是由无限正整数幂按从小到大序列构成的无限级数，用符号表示为：若给定一个函数 f(x)，它含有一个数 x，那么在任意给定的点x=a我们可以用无穷个幂级数展开式来表示它，具体形式为：f(x) = a + a(x - a) + a(x - a) + a(x - a) + a(x - a) +…其中a、a、a、a、a等分别是f(x)的系数，而a可以为任意数。
在数学中，有七个常用的幂级数展开式。
下面简单介绍一下每个幂级数展开式的基本特征。
（1）指数级数展开式：指数级数展开式是指一个函数f(x)可以用指数形式表示，其数学表达式如下：f(x) = a + ae^x + ae^(2x) + ae^(3x) + ae^(4x) +…指数级数展开式的拟合能力非常强，尤其是在x非常小的情况下。
（2）线性级数展开式：线性级数展开式也叫多项式函数，其数学表达式如下：f(x) = a + ax + ax + ax + ax +…线性级数展开式是一种最简单的幂级数展开式，其展开形式与指数级数展开式不同，它只含有一个变量，且系数仅有一个未知常数。
（3）正弦级数展开式：正弦级数展开式是根据正弦函数（sin x）的拓展而得到的级数，其数学表达式如下：f(x) = a + asin x + asin(2x) + asin(3x) + asin(4x) + ...正弦级数展开式的非常强的拟合能力可以用来分析并解释许多实际的数据，例如地理数据、医疗数据、经济数据等。
（4）余弦级数展开式：余弦级数展开式也叫余弦函数，它是根据余弦函数（cos x）来拓展的，其数学表达式如下：f(x) = a + acos x + acos(2x) + acos(3x) + acos(4x) +…余弦级数展开式跟正弦级数展开式类似，但它可以表示一些平稳变化的趋势和抖动性变化的趋势。
（5）正切级数展开式：正切级数展开式是根据正切函数（tan x）的拓展而得到的，其数学表达式如下：f(x) = a + atan x + atan(2x) + atan(3x) + atan(4x) +…正切级数展开式可以用来分析类似单项式函数的复杂函数，并可拟合有数据背景的正弦函数和余弦函数。
6.4 函数的幂级数展开
1 3 1 5 x n 1 sinx x x x (1) 3! 5! ( 2n 1)! ( x ) .
用直接法还可得到,对任意实数
a
2 n 1
a,有
a(a 1) 2 a(a 1)(a 2) 3 (1 x ) 1 ax x x 2! 3! a(a 1)(a n 1) n x n! ( 1 x 1)
例题6-23
将函数 f ( x ) cos x 展开为x的幂级数.
x ) cosx , 解 因为(sin
2 n 1 1 3 1 5 x sinx x x x (1)n1 3! 5! ( 2n 1)! ( x ) .
而
所以根据幂级数可逐项求导的法则， 可得
中的余项 rn ( x) 0(n ) 时,函数f(x)能
够在x0点的邻域内展开为 ( x x0 ) 的幂级数
式(6.8),即有
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! ( n) f ( x0 ) n ( x x0 ) (6.9) n!
在x 1点处展开式是否成立,要视 a值而定，
1 1 对应于 a 1, a , a , 有 2 2 1 1 x x 2 x 3 ( 1 x 1) 1 x 1 1 2 1 3 3 1 3 5 4 1 x 1 x x x x 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 ( 1 x 1)
例 6-21 试将函数 f(x) = ex 展开成 x
的幂级数.
( n) x 由 f ( x ) e (n 1 , 2 , 3 ,) , 可以 解
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§6.3 幂级数
由Abel 定理可以看出, an xn 的收敛域是以原点为
中心的区间.
n0
用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 则
R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ;
R = 时, 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ;
0 R , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ;在[－R , R ]
3) 若 ,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,
因此 R 0 .
说明:据此定理
的收敛半径为 R lim an n an1
§6.3 幂级数
例1.求幂级数
的收敛半径及收敛域.
1
解: R lim an lim n an1 n
n 1
n 1
对端点 x = 1, 级数为交错级数
对端点 x =－1, 级数为 故收敛域为 (1, 1] .
第六章 无穷级数
本节内容
§6.3 幂级数
一、函数项级数的概念
二、幂级数及其收敛性 三、 Taylor 级数及其应用
§6.3 幂级数
一、 函数项级数的概念
设 un (x) (n 1, 2, ) 为定义在区间 I 上的函数, 称
为定义在区间 I 上的函数项级数 .
对
若常数项级数
收敛, 称 x0 为其收
例6.
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散,
x (xn )
x
xn
n1
n1
x
1
x
x
§6.3 幂级数
例7. 求级数
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,
收敛 ,
S(x)
xn
1
x n 1
n0n 1 x n0 n 1
收敛,
也收敛,
故原幂级数绝对收敛 .
反之, 若当 x x0 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.
假设有一点 x1 满足 x1 x0 且使级数收敛 , 则由前 面的证明可知, 级数在点 x0 也应收敛, 与所设矛盾,
故假设不真. 所以若当 x x0 时幂级数发散 , 则对一切 满足不等式 x x0 的 x , 原幂级数也发散 . 证毕
§6.3 幂级数
幂级数及其和函数的基本性质
定理3. 设幂级数
及
的收敛半径分别为
R1, R2, 令 R min R1 , R2 , 则有 :
an xn (为常数)
n0
an xn bn xn (an bn ) xn ,
n0
n0
n0
an xn bn xn cn xn ,
n0
n0
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
时该幂级数发散 , 则对满足不等式
的一切 x , 该幂级数也发散 .
证: 设
收敛, 则必有
于是存在
常数 M > 0, 使
发散
收敛 发散
收o敛
发散x
§6.3 幂级数
an xn
an x0n
xn x0n
an x0n
x x0
n
当 x x0 时,
§6.3 幂级数
例4.
的收敛域.
解: 令
级数变为
R lim
n
an an1
lim
n
1 2n n
1 2 n 1 (n
1)
lim
n
2n1(n 2n n
1)
2
当 t = 2 时, 级数为 此级数发散;
§6.3 幂级数
当 t = – 2 时, 级数为
此级数条件收敛;
因此级数的收敛域为 2 t 2 , 故原级数的收敛域为 即 1 x 3.
0
§6.3 幂级数
例3.
的收敛半径 .
解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理, 故直接由
比值审敛法求收敛半径.
lim un1(x) n un (x)
lim
2n 1 2n1
x
2
n
n
2n 2n
1
x2
n
2
1 x2 2
当1 x2 1 2
当1 x2 1 2
时级数收敛 故收敛半径为 R 2 .
时级数发散
外发散; 在 x R 可能收敛也可能发散 .
R 称为收敛半径 ，(－R , R ) 称为收敛区间.
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
收敛 发散
发散
收o敛
发散x
§6.3 幂级数
定理2. 若
的系数满足
则
1) 当 ≠0 时,
R
1
;
2) 当 ＝0 时, R ;
3) 当 ＝∞时, R 0 .
证:
lim
n
an 1 x n 1 an xn
lim an1 n an
x
1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知:
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数收敛;
当
x
1,
即x1来自时,原级数发散.
§6.3 幂级数
因此级数的收敛半径 R 1 .
2) 若 0, 则根据比值审敛法可知, 对任意 x 原级数
绝对收敛 , 因此 R ;
x (R, R)
注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.
§6.3 幂级数
例5.
的和函数 .
解: 由例2可知级数的收敛半径 R＝+∞. 设
则 故有
S(x)
x n 1
n1(n 1)!
exS(x) 0
因此得
S(x) C ex
由S(0) 1得 S(x) ex , 故得
S(x)
§6.3 幂级数
敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ;
若常数项级数
发散 , 称 x0 为其发散点, 所有
发散点的全体称为其发散域 .
§6.3 幂级数
在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 为级数的和函数 , 并写成
称它
若用
表示函数项级数前 n 项的和, 即
令余项 则在收敛域上有
§6.3 幂级数
例如, 等比级数 它的收敛域是
有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ）, 或写作 x 1.
§6.3 幂级数
二、幂级数及其收敛性
形如
的函数项级数称为幂级数, 其中数列
称
为幂级数的系数 .
下面着重讨论
的情形, 即
例如, 幂级数
xn
1 1
x
,
x 1 即是此种情形.
§6.3 幂级数
定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 an xn
n0
n0
x R1 x R x R
§6.3 幂级数
定理4 若幂级数
的收敛半径
则其和函
在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与
逐项求积分, 运算前后收敛半径相同:
S ( x)
an xn
nan xn1,
x (R, R)
n0
n1
x
S
(
x)
dx
0
an
n0
x
x
n
dx
an
x n 1 ,
0
n0n 1
发散 .
收敛;
§6.3 幂级数
例2. 求下列幂级数的收敛域 :
规定: 0 ! = 1
解: (1)
1
R lim an lim n an1 n
n! 1
(n 1)!
所以收敛域为 ( , ) .
(2) R lim an lim n ! n an1 n (n 1) !
所以级数仅在 x = 0 处收敛 .