幂级数函数的幂级数展开法

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高等数学课件：11-4 函数的幂级数展开式

n 2k n 2k 1
(k 0, 1, 2,)
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin(
(n
1)
2
)
(n 1)!
x n 1
n
sin x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n
1 ( 2 n1)!
x 2n1
2. 间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成幂级数. 例3. 将 f ( x) cos x 展开成为关于x 的幂级数. 解：由于
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
例6. 求
的麦克劳林级数.
解: sin2 x 1 1 cos 2x 22
1 1 (1)n 1
2 2 n0
( 2n) !
x (, )
1 (1)n
4n
x 2n (1)n1
4n
x 2n
2 n1
( 2n) !
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
两个待解决的问题 1) 对此级数, 它的收敛域是什么？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
泰勒公式
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有 :
f
(x)
f
(
x0 ) f (x0 )(x x0 ) f (n) (x0 ) (x n!
所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛域为

高等数学(下册)第7章第6讲函数的幂级数展开

sin x x 1 x3 1 x5 (1)n 1 x2n1 x (,) .
3! 5!
(2n 1)!
12
二、函数的幂级数展开
2.间接展开法
间接展开法, 就是利用已知函数的幂级数展开式, 通过幂级数运算（如四则运算、逐项求导、逐项积分等）以及变量代换等, 获得所求函数的幂级数展开式.这种方法不但计算简单, 而且可以避免研究余项.由于函数的幂级数展开式是唯一的, 因此间接法与直接法展成的幂级数是一致的.
2
f (n) (0) 顺序循环地取 0,1,0，1， (n 0，1,2,3，) ,
于是得到麦克劳林级数
x 1 x3 1 )!
它的收敛半径为 R , 因而此幂级数处处收敛.
11
二、函数的幂级数展开例 1 将函数 f (x) sin x 展开成 x 的幂级数.
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
n0
f
(n) ( x0 n!
)
(x
x0
)n
称为函数 f (x) 在点 x0 处的泰勒级数,
特别地, 函数 f (x) 在 x0 0 处的泰勒级数
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn f (n) (0) xn
第二步求出函数 f (x) 及其各阶导数在 x 0处的值 f (0), f (0), f (0),, f (n) (0), ；
第三步写出 f (x) 的麦克劳林级数
f (x) ~ f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn ,

高等数学第五节函数幂级数展开

f(x) f(0) f(0)x f(0) x2 f(n)(0) xn
2!
n!
rn(x). ②
rn(x)f((n n 1 )(1 )x!)xn1 (0θ1).
②式称为麦克劳林公式 . 幂级数
f()0 f(0 )x f(0 )x 2 f(n )(0 )x n ,
rn(x)(n e( θx 1))!xn1 (0θ1),
且 x ≤ x x , 所以eθx ex , 因而有
rn(x)(n e x 1)!xn1(ne x1)!xn1.
注意到，对任一确定的 x 值， e x 是一个确定
的常数 . 而级数 ⑥ 是绝对收敛的，因此其一
例 1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
解由 f(n )(x)ex(n1,2,3, ), 可以
得到
f(0 ) f(0 ) f(0 ) f(n )(0 ) 1 .
因此我们可以得到幂级数
1x1x2 1xn .
⑥
2!
n!
显然，这个幂级数的收敛区间为 (,+ ) . 至于数 ⑥ 是否 f(x)以 ex为和 ,收函敛 f数 (x 于 )ex, 还要考察函f(x数)ex 的麦克劳林公式中项, 因为
所以 f(x) 1 1 1x 2x
(1xx2 xn )
1[1x(x)2 (x)n ]
2 22
2
1 2 2 2 2 21x 2 3 2 31x 2 2 n 2 n 1 11x n .
根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应
取较小的一个，故 R = 1，因此所得幂级数的收敛区间为 1 < x < 1 .
例7
幂级数. 解

函数的幂级数展开式

∞ n ∞ n
1 + ( −4 ) n n x , = ln 4 − ∑ n n4 n =1
∞
x ∈ (− 1, 1] −
ln(1 + x ) = ∑ ( −1) n−1
n =1
∞
xn x2 x3 − = x− + − L , x ∈ (−1, 1] n 2 3 18
例9 将 f (x) = xarctanx −ln 1+ x 展成开麦
n= 3
⇒ f ′′′( 0) = 3! a 3
f ′′′(0) ⇒ a3 = 3!
4
f ( x ) = ∑ a n x n = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + L ( | x | < r )
n=0
∞
归纳可得，归纳可得，
f ( k ) ( 0) ak = k!
即得
( k = 0,1,2 L)
∞
16
1 的幂级数. 展开成 x 的幂级数. 例7 将 f ( x ) = 2 x + 4x + 3
解
1 1 f ( x) = 2 = x + 4 x + 3 ( x + 1)( x + 3 )
1 1 1 1 1 1 = − = 2(1 + x ) − 6 ⋅ 1 + x / 3 2 x + 1 x + 3
− x2
展开成 x 的幂级数. 的幂级数.
e =∑
x nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
∞
x , x ∈ ( −∞ ,+∞ ) n!
2 n ∞ n
n
所以
e
−x
2

7.6函数的幂级数展开

§7.5 函数的幂级数展开式
通过上节的学习知道:任何一个幂级数在其收敛区间
内,均可表示成一个函数(即和函数).
an xn a0 a1 x a2 x2 L an xn L S( x) x D
n0
本节要解决的问题是:给定函数 f (x),能否在某个区间内展成幂级数.
f ( x) an xn a0 a1 x a2 x2 L an xn L n0
1 f (n) (0)xn f (0) f (0) x L 1 f (n)(0)xn L
n0 n!
1!
n!
1 x L xn L
易知该级数在(1,1)内收敛于 1 f ( x). 1 x
f (x)
级数
n0
f (n) ( x0 ) ( x n!
x0 )n为f ( x)在x
x0处的泰勒级数
即拉格朗日公式,所以泰勒公式是拉格朗日公式的推广,相应的余项 Rn( x)称为拉格朗日型余项.
注2：当x0
0时,()式变为f ( x)
f (0)
f (0)x
f (0) x2 2!
L
f (n) (0) xn n!
f (n1) ( )
(n 1)!
x
n1
,
在x0与x之间.
称为f (x)的马克劳林公式.
例：求f ( x) 1 的马克劳林级数,并讨论该级数在收敛域内 1 x
是否收敛于f ( x).
解：
f
( x)
(x
1 1)2
f
(
x)
(
x
2 1)3
LL
f
(n) (
x)
(1)n1
(
x
n! 1)n1
LL

函数的幂级数展开

2013-2-27 8

f (x ) 在
定理 2 ( 充要条件 ) 设函数 f (x ) 在点 x0 有任意阶导数 . 则 f (x) 在区间 ( x0 r , x0 r ) ( r 0 ) 内等于其 Taylor 级数 ( 即可展 )的充要条件是: 对 x ( x0 , r ) , 有 lim Rn ( x) 0 . 其 n 中 Rn (x) 是 Taylor 公式中的余项. 证把函数 f (x ) 展开为 n 阶 Taylor 公式, 有
1 ( n 1) Rn (x) f ( )( x ) n x, n!
在 0 与 x 之间.
Taylor 公式的项数无限增多时, 得
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 ( x x0 ) n 2! n!
f ( n ) ( x) n! , n 1 (1 x) 1 在点 x 0 1 x
无限次可微. 求得
( x 1 ), f ( n ) (0) n!
2013-2-27
. 其 Taylor 级数为
4
1 x x x xn .
2 n

n 0
该幂级数的收敛域为 ( 1 , 1 ) . 仅在区间 ( 1 , 1 ) 内有 f (x) = x n .
a a
x
x ln a
x n ln n a , n! n 0

| x | .
2
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x 2 n 1 sin x ( 1 ) , (2n 1)! n 0
n
x( , ).

幂级数展开

Lemma 设函数 ϕ ( x ) 在区间 [0, 1] 上有 n + 1 阶连续导函数，连续导函数，则
ϕ (1) = ϕ (0) + ϕ '(0) ϕ ''(0)
1! + 2!
1 0
+L +
ϕ ( n ) (0)
n!
1 1 ( n +1) + ∫ ϕ (t )(1 − t ) n dt . n! 0
α
α (α −1)
2!
α (α −1)L(α − n +1)
n!
x
n
+ Rn ( x).
Taylor级数收敛半径为 R = 1. 级数收敛半径为级数 Lagrange余项余项
α (α − 1)L (α − n)
(n + 1)! (1 + ξ )α − n −1 x n +1 ,
是否趋向 0 ？说不清说不清. n o (x ) n Peano余项 o ( x ) , x → 0 时， x n → 0, 余项 14 x 不动时， o ( x n ) → 0 ? 也说不清也说不清. n→∞ 但不动时，
∞
f
(n)
( x0 ) n ( x − x0 ) . n!
1
x2 e , x ≠ 0, e x t f '(0) = lim = lim t = 0. 例4 f ( x ) = x →0 x t →∞ e 0, x = 0. 1 − 2 x 1 e 2 − x2 3 2t 4 x ≠ 0时，f '( x) = 3 e , f ''(0) = lim x = lim t = 0. x →0 t →∞ x x e 1 − 2 4 6 x ≠ 0时，f ''( x) = ( 6 − 4 )e x , LL LL x x

常用幂级数展开公式

常用幂级数展开公式常用幂级数展开公式是在数学和物理领域中经常使用的一种数学工具。

幂级数展开公式可以将一个函数表示为无穷项的多项式形式。

它在计算机科学、工程学和应用数学等领域中具有广泛的应用。

接下来，我将介绍几个常用的幂级数展开公式。

自然指数函数 (exponential function) 的幂级数展开公式是：```e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...```正弦函数 (sine function) 的幂级数展开公式是：```sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + x^9/9! - ...```这个展开公式可以用来计算正弦函数的值或近似值。

余弦函数 (cosine function) 的幂级数展开公式是：```cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + x^8/8! - ...```这个展开公式可以用来计算余弦函数的值或近似值。

自然对数函数 (natural logarithm function) 的幂级数展开公式是：```ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + x^5/5 - ...```这个展开公式可以用来计算自然对数函数的值或近似值。

反正弦函数 (arcsine function) 的幂级数展开公式是：```arcsin(x) = x + x^3/6 + 3x^5/40 + 5x^7/112 + 35x^9/1152 + ... ```反余弦函数 (arccosine function) 的幂级数展开公式是：```arccos(x) = π/2 - arcsin(x)```反正切函数 (arctangent function) 的幂级数展开公式是：```arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + x^9/9 - ...```这些反三角函数的展开公式可以用来计算这些函数的值或近似值。

函数展开成幂级数的方法

函数展开成幂级数的方法幂级数是指一种形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n
x^n$ 的函数展开方法。

这种展开方法可以将函数展开成一个关于 $x$ 的无限多项式。

对于给定的函数 $f(x)$，我们可以使用以下步骤将其展开成幂级数：
1.选择幂级数的中心 $x_0$。

2.将函数 $f(x)$ 以 $x_0$ 为中心进行平移，得到函数
$f(x-x_0)$。

3.使用泰勒展开式将函数 $f(x-x_0)$ 展开成如下形
式：
$$f(x-x_0) = \sum_{n=0}^{\infty}
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$$
其中 $f^{(n)}(x)$ 表示函数 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数。

通过以上步骤，我们就可以将函数 $f(x)$ 展开成幂级数：
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$$
注意，幂级数的收敛性取决于函数 $f(x)$ 在
$x_0$ 处的可微性以及 $x_0$ 周围的情况。

如果函数
$f(x)$ 在 $x_0$ 处不可微或者 $x_0$ 周围的函数值发生快速变化，那么幂级数可能会不收敛。

例如，对于函数 $f(x) = |x|$，无论选择任何值作为幂级数的中心，幂级数都不会收敛。

幂级数展开的多种方法

幂级数展开的多种方法摘要：本文通过举例论证的说明方法，系统地对幂级数展开的多种解法进行了详细地概括、分类及总结关键词：幂级数;泰勒展式;洛朗展式;展开在复变函数的学习过程中，我们涉及了对解析函数幂级数展开的学习.由课本的知识知道，任意一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数.这个性质是很重要的，但在解析函数的研究上，幂级数之所以重要，还在于这个性质的逆命题也是成立的.即有下面的泰勒定理和洛朗定理：定理 1（泰勒定理）设()z f 在区域D 内解析，D a ∈，只要圆R a z K <-:含于D ，则()z f 在K 内能展成幂级数()()∑∞=-=n nna z c z f ，其中系数()()()()!211n a fd a f i c n n n =-=⎰Γ+ζζζπ.（ρ=-Γa z : R <<ρ0 n=0,1,2 )且展式唯一.定理2（洛朗定理）在圆环R a z r H <-<: （0≥r +∞≤R ）内解析的函数()z f 必可展成双边幂级数()()∑∞-∞=-=n nn a z c z f ，其中系数()()ζζζπd a f i c n n ⎰Γ+-=121( 2,1,0±±=n ρ=-Γa z : R r <<ρ) 且展式唯一.这两个定理的存在，使得在函数解析的范围内，我们可以通过幂级数展开的方法来更好的研究解析函数的性质.而这两个定理，也是我们后面研究幂级数展开的基础和前提.接下来，我们将着重开始讨论幂级数展开问题的多种解法： 1、直接法.即按照泰勒定理和洛朗定理中所给的幂级数展开的公式，直接将函数展开. 例1 求()z z f tan =在40π=z 点处的泰勒展开式.解：用公式 ()()!0n z fc n n =求n c ：;14tan0==πc()2,24sec|tan 124==='=c z z ππ；();2!24,44tan4sec2|tan 224===="=c z z πππ();38!316,164sec4tan4sec22|'''tan 3424===⎪⎭⎫⎝⎛+==c z z ππππ得+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=3243842421tan πππz z z z .例2 将()z z f sin =按z-1的幂展开. 解：由题意可解得()()⎪⎭⎫⎝⎛+=12sin1πk fn ⎪⎭⎫⎝⎛+=∴12sin !1πk n c n ()nn z n k z 1!12sin sin 0-⎪⎭⎫⎝⎛+=∴∑∞=π.2、间接法.即利用已知公式，通过各种运算、变换来简化求导的方法.下面给出一些主要函数的泰勒展开式：（1）∑∞==+++++=-02111n nnz z z z z()1<z.（2）()nnzz z z11112-+++-=+ =()∑∞=-01n n nz ()1<z .（3）∑∞==+++++=02!!!21n nnzn zn zzz e ()+∞<z .（4）()()∑∞=-=02!21cos n nn n z z()+∞<z .（5）()()∑∞=++-=012!121sin n n n n z z()+∞<z .（6）()()+-+-+-+=+-nzzzz i k z nn k 13213221ln π （1<z ；2,1,0±±=k ；k=0时为主值支）.（7）()()()()++--++-++=+nz n n z z z !11!21112ααααααα()1<z .2.1利用已知的展式. 例3 求⎪⎭⎫⎝⎛+=+21i i i z 的展开式. 解：因为i z +以i -和∞为支点，故其指定分支在1<z 内单值解析.i z +=211⎪⎭⎫ ⎝⎛+i z i=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅+ 2!2121212211i z z i=⎪⎭⎫⎝⎛++-+ 2812121z z i i ()1<z . 例4 求()z e z f z cos =在z=0点处的泰勒展式. 解：因为z e z cos =()()()[]zi zi iz iz z ee e e e -+-+=+112121()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=∴∑∑∞=∞=00!1!121cos n nnn nnzz n i z n i z e=()()[]nnnnn zi z i n --+∑∞=11!121()+∞<z由于i +1=ie 42πie i 421π-=-代入上式有()n i n in n nzz e e n z e ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-∞=∑440!221cos ππ=()n n nz n n ∑∞=0!4cos 2π()+∞<z .2.2逐项求导、逐项求积法.例5 用逐项求导法求函数()311z -在1<z 内的泰勒展式.解：因为()311z -=()[]"--1121z ()1<z 所以用逐项求导法算得()311z -=()2012121-∞=∞=∑∑-="⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n n n zn n z=()()nn z n n 1221++∑∞= ()1<z .例6 求()11ln +-=z z z f 在z=0点的泰勒展开式，其中()z f 是含条件()i f π=0的那个单值解析分支.解：()1111111111ln ++-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+='⎪⎭⎫⎝⎛+-='z z z z z z z z z f =()()[]nn n nn nn nzz z ∑∑∑∞=+∞=∞=--=---01111上式两端在1<z 内沿0到z 积分，得： ()[]nn n zzdz z z i z z ∑⎰∞=+--='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-011111ln 11lnπ()[]nn n zn i z z 11111ln1--+=+-∴+∞=∑π ()1<z .2.3利用级数的乘除运算.例7 写出()z e z +1ln 的幂级数展式至含5z 项为止，其中()z +1ln 在0=z 点处的值为0.解：由题设条件可知 ()z +1ln 是主值支. 又由+++++=!!212n zzz e nz()+∞<z()()+-+-+-=+nzzzz z nn1321ln 32()1<z在公共收敛区域1<z 内作柯西乘积，得 ()z e z+1ln =++++53240332z zzz ()1<z .例8 求z tan 在点0=z 的泰勒展式.分析：函数z tan 的奇点为z cos 的零点π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21k z k （ 2,1,0±±=k ）而距原点最近的奇点为20π=z 21π-=-z .故函数z tan 在2π<z 内解析，且能展为z 的幂级数. 解：+-+-=753!71!51!31sin z z z z z+-+-=642!61!41!211cos z z z z可以像多项式按幂级数排列用直式做除法那样分离常数.将分子、分母的幂级数做直式相除，缺项用0 代替，得到+++==531523cos sin tan z zz zz z （2π<z ）.2.4待定系数法.例9 设∑∞==--0211n nnzczz()1证明：()221≥+=--n c c c n n n .()2求出展式的前5项. ()1 证明：利用待定系数法，有()() +++++--=n n z c z c z c c z z 2210211=()()() +--++--+-+--n n n n z c c c z c c c z c c c 212012010 比较两端同次幂的系数得0;;0;0;121012010=--=--=-=--n n n c c c c c c c c c21012010,,2,1,1--+==+====∴n n n c c c c c c c c c ()2≥n .()2解：1|11020=--==z z z c ()1121|11022021=--+='⎪⎭⎫⎝⎛--===z z zz z z z c从而由()1依次得 211012=+=+=c c c ， 312213=+=+=c c c ，523234=+=+=c c c ，即+++++=--4322532111z z z z zz .当然，对于幂级数的展开还有其它多种方法，在这里就不一一赘述了. 最后值得一提的是用间接法解题时应注意的问题.我们通常是用已知函数的泰勒展式进行代入简化，这时应注意这些展式成立的范围与题目条件是否相吻合；其次，也应注意是在题目要求的点进行展开，展开的点的不同，最后的结果也会不同.参考文献：[1]钟玉泉.《复变函数论》.北京：高等教育出版社，2004.1. [2]钟玉泉.《复变函数学习指导书》.北京：高等教育出版社，2005.[3]李建林.《复变函数积分变换导教导学导考》.西安：西北工业大学出版社，2001.9.。

展开成幂级数的方法

展开成幂级数的方法
展开成幂级数的方法有多种，以下是其中两种常见的方法：
1. 泰勒级数展开：该方法适用于将一个函数展开为无穷级数的形式。

泰勒级数的一般形式为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...
其中，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在点a处的导数，以此类推。

使用泰勒级数展开的前提是函数在展开点附近是可导的。

2. 幂级数展开：对于某些特定函数，可以直接将其展开成幂级数的形式。

一些常见的例子包括指数函数、三角函数和对数函数。

例如，e^x的幂级数展开形式为：
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...
sin(x) 的幂级数展开形式为：
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
ln(1+x) 的幂级数展开形式为：
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...
根据具体的函数形式，选择合适的幂级数展开方程可以更快
地得到展开结果。

请注意，展开成幂级数的方法不一定对于所有函数都适用，有些函数可能没有幂级数展开形式，或者幂级数展开的收敛区间有限。

因此，在实际应用中，需要对函数的性质和展开方法进行合理的选择。

函数展开成幂级数

函数展开成幂级数的方法
1. 直接展开法
把函数 f (x) 展开成 x 的幂级数的步骤:
第一步求出 f (x) , f (x) , , f (n) (x) , ,
第二步求出 f (0) , f (0) , f (0) , , f (n) (0) , ,

第三步写出幂级数
f (n) (0) xn ,并求出收敛半径 R .
n2 n 1
x (1)n1(2n 1) xn (1 x 1) .
n2 n(n 1)
例
将函数
sin
x
展开成

x

π 4

的幂级数.
解
sin x

sin

π 4

x

π 4

sin
π 4
cos

x

π 4

1 2(1
x)

1 2(3
x)

1

1
,
4 1
x 1 2
8 1
x
1 4
将 1 (1)n xn 中的 x分别换成 x 1 和 x 1 ,
1 x n0
24
可得
1
4
1
x
1 2

1 4
n0
(1)n 2n
n1 n
例把函数 f (x) (1 x) ln(1 x) 展开成 x 的幂级数.
解

f (x) (1 x)
(1)n1 xn
n1 n

(1)n1 xn

幂级数的展开

x
(n + 1)!
x
e
x
由比值判别法知：级数∑
n =0
x
n +1
(n + 1)!
e 收敛，故其一般项趋于0，
即 lim
x
n +1
n →∞
(n + 1)!
e ＝0，x ∈ (-∞,+∞) 从而有 lim Rn ( x) = 0
x n →∞
16
间接法
根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 根据唯一性利用常见展开式通过变量代换四则运恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式求展开式. 算, 恒等变形逐项求导逐项积分等方法求展开式
定理中的公式称为函数f(x)按(x − a)的幂级数展开到n阶的泰勒公式或f(x)在x = a处的n阶泰勒公式，简称为n阶泰勒公式。
f(x)的泰勒公式表明，函数f(x)的值可近似地表示为 1 1 (n) 2 f(x) ≈ f(a) + f' (a)(x - a) + ' ' f (a )( x − a ) + L + f (a )( x − a ) n 2! n! 而近似误差可由Rn ( x)来估计。
§7.6函数的幂级数展开 7.6函数的幂级数展开
一、泰勒级数二、泰勒公式三、函数的泰勒级数展开
1
问题 n ∞ n −1 x ∑ (−1) n = ln(1 + x )
n =1
( −1 < x ≤ 1)
f ( x) = ∑an ( x − x0 )n
n=0
∞Leabharlann 存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数域内以为和函数

函数展开成幂级数公式

函数展开成幂级数公式在数学中，幂级数是一种以自变量的幂次递增的项构成的级数。

它的一般形式可以表示为：f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...其中，a₀、a₁、a₂、a₃等为系数，它们可以是实数或复数，而x则是自变量。

为了展开一个函数成幂级数公式，我们通常需要计算系数a₀、a₁、a₂、a₃等的值。

这可以通过不同的数学方法来实现，比如泰勒级数展开和麦克劳林级数展开。

泰勒级数展开是一种常用的函数展开方法，它可以将一个光滑函数在一些点(x=c)的附近展开成幂级数。

泰勒级数的一般形式可以表示为：f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+f'''(c)(x-c)³/3!+...其中，f(c)、f'(c)、f''(c)、f'''(c)等为函数在点c处的各阶导数值。

麦克劳林级数展开是一种特殊的泰勒级数展开，它将一个函数在原点x=0处展开成幂级数。

f(x)=f(0)+f'(0)x/1!+f''(0)x²/2!+f'''(0)x³/3!+...与泰勒级数展开类似，麦克劳林级数的各阶导数值需要在点x=0处计算。

通过以上两种展开方法，我们可以将各种函数表达式转化为幂级数形式，从而更好地理解和分析函数的性质。

这种转化不仅可以简化函数的计算，还可以为进一步的数学推导和应用提供基础。

需要注意的是，幂级数展开并不适用于所有函数。

一些函数可能无法用幂级数的形式来表示，或者幂级数展开在一些点上不收敛。

因此，在进行幂级数展开时，要注意函数的条件和适用范围，以免产生错误的结果。

总结起来，函数展开成幂级数公式是一种重要的数学方法，可以将复杂的函数表达式转化为一组无穷和的形式。

它为数学、物理和工程领域的问题提供了一种有效的分析和处理工具，有助于进一步研究和应用各种函数。

常见的幂级数展开

常见的幂级数展开常见的幂级数展开是数学分析中常用的一种展开方法，它可以将一个函数表示为幂级数的形式。

在本文中，我们将介绍几个常见的幂级数展开，包括泰勒展开、麦克劳林展开以及常见函数的幂级数展开。

一、泰勒展开泰勒展开是最常见的幂级数展开方法之一，它可以将一个函数在某个点附近展开成幂级数。

泰勒展开的公式如下：\[f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots\]其中，$f(x)$是要展开的函数，$a$是展开点，$f'(a)$、$f''(a)$等分别表示函数在$a$点的一阶、二阶导数。

二、麦克劳林展开麦克劳林展开是泰勒展开的一种特殊情况，它将一个函数在原点附近展开成幂级数。

麦克劳林展开的公式如下：\[f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x ^3+\cdots\]麦克劳林展开将函数展开成了以$x$为自变量的幂级数，适用于一些特殊的函数展开。

三、常见函数的幂级数展开1. 指数函数的幂级数展开：指数函数的幂级数展开如下：\[e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\]这是一个非常常见的幂级数展开，它可以用来计算指数函数的近似值。

2. 正弦函数的幂级数展开：正弦函数的幂级数展开如下：\[\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\]这个展开式是非常有用的，可以用来计算正弦函数的近似值。

3. 余弦函数的幂级数展开：余弦函数的幂级数展开如下：\[\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots\]这个展开式也是非常有用的，可以用来计算余弦函数的近似值。

6.4 函数的幂级数展开

n
1 3 1 5 x n 1 sinx x x x (1) 3! 5! ( 2n 1)! ( x ) .
用直接法还可得到,对任意实数
a
2 n 1
a,有
a(a 1) 2 a(a 1)(a 2) 3 (1 x ) 1 ax x x 2! 3! a(a 1)(a n 1) n x n! ( 1 x 1)
例题6-23
将函数 f ( x ) cos x 展开为x的幂级数.
x ) cosx , 解因为(sin
2 n 1 1 3 1 5 x sinx x x x (1)n1 3! 5! ( 2n 1)! ( x ) .
而
所以根据幂级数可逐项求导的法则，可得
中的余项 rn ( x) 0(n ) 时,函数f(x)能
够在x0点的邻域内展开为 ( x x0 ) 的幂级数
式(6.8),即有
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! ( n) f ( x0 ) n ( x x0 ) (6.9) n!
在x 1点处展开式是否成立,要视 a值而定，
1 1 对应于 a 1, a , a , 有 2 2 1 1 x x 2 x 3 ( 1 x 1) 1 x 1 1 2 1 3 3 1 3 5 4 1 x 1 x x x x 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 ( 1 x 1)
例 6-21 试将函数 f(x) = ex 展开成 x
的幂级数.
( n) x 由 f ( x ) e (n 1 , 2 , 3 ,) , 可以解