幂级数函数的幂级数展开法

dx
1 x
x1
0
1
x
dx
(0 x 1 及
)
§6.3 幂级数
S(x)
(0 x 1 及
)
而
lim
x0
ln
(1 x
x)
1
,
因此由和函数的连续性得:
1 ln(1 x) , S(x) x
1,
x [1,0) (0,1) x0
§6.3 幂级数
三、泰勒 ( Taylor ) 级数及其应用
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
(k 0, 1, 2, )
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin(
(n
1)
2
)
(n 1)!
x n 1
n
sin x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
§6.3 幂级数
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n1 1 x2n1
n0
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
时该幂级数发散 , 则对满足不等式
的一切 x , 该幂级数也发散 .
证: 设
收敛, 则必有
于是存在
常数 M > 0, 使
发散
收敛 发散
收o敛
发散x
§6.3 幂级数
an xn
an x0n
xn x0n
an x0n
x x0
n
当 x x0 时,
于是得 级数 1 mx m(m 1) x2 2!
由于
m(m 1) (m n 1) xn n!
R lim an lim n 1 1 n an1 n m n
因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
§6.3 幂级数
(1 x)m 1 m x m(m 1) x2 2!
3! 5!
(2n 1)!
类似可推出:
cos x 1 1 x2 1 x4 (1)n1 1 x2n
2! 4!
(2n)!
§6.3 幂级数
例10. 将函数 为任意常数 .
展开成 x 的幂级数, 其中m
解: 易求出 f (0) 1, f (0) m, f (0) m(m 1) ,
f (n) (0) m(m 1)(m 2) (m n 1) ,
§6.3 幂级数
若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 ) (x n!
x0 )n
为f (x) 的泰勒级数 .
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .
待解决的问题 :
1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？
例11. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: 因为
1 1 x x2 (1)n xn ( 1 x 1 ) 1 x
把 x 换成 x2 , 得
1 1 x2
1
x2
x4
(1)n x2n
(1 x 1)
§6.3 幂级数
例12. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解:
f (x) 1 1 x
(1)n xn
第六章 无穷级数
本节内容
§6.3 幂级数
一、函数项级数的概念
二、幂级数及其收敛性 三、 Taylor 级数及其应用
§6.3 幂级数
一、 函数项级数的概念
设 un (x) (n 1, 2, ) 为定义在区间 I 上的函数, 称
为定义在区间 I 上的函数项级数 .
对
若常数项级数
收敛, 称 x0 为其收
§6.3 幂级数
函数展开成幂级数
直接展开法 — 利用泰勒公式 展开方法
间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开
1. 直接展开法
由泰勒级数理论可知, 函数 f (x) 展开成幂级数的步
骤如下 :
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;
第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
§6.3 幂级数
幂级数及其和函数的基本性质
定理3. 设幂级数
及
的收敛半径分别为
R1, R2, 令 R min R1 , R2 , 则有 :
an xn (为常数)
n0
an xn bn xn (an bn ) xn ,
n0
n0
n0
an xn bn xn cn xn ,
n0
3) 若 ,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,
因此 R 0 .
说明:据此定理
的收敛半径为 R lim an n an1
§6.3 幂级数
例1.求幂级数
的收敛半径及收敛域.
1
解: R lim an lim n an1 n
n 1
n 1
对端点 x = 1, 级数为交错级数
对端点 x =－1, 级数为 故收敛域为 (1, 1] .
有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ）, 或写作 x 1.
§6.3 幂级数
二、幂级数及其收敛性
形如
的函数项级数称为幂级数, 其中数列
称
为幂级数的系数 .
下面着重讨论
的情形, 即
例如, 幂级数
xn
1 1
x
,
x 1 即是此种情形.
§6.3 幂级数
定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 an xn
发散 .
收敛;
§6.3 幂级数
例2. 求下列幂级数的收敛域 :
规定: 0 ! = 1
解: (1)
1
R lim an lim n an1 n
n! 1
(n 1)!
所以收敛域为 ( , ) .
(2) R lim an lim n ! n an1 n (n 1) !
所以级数仅在 x = 0 处收敛 .
证:
lim
n
an 1 x n 1 an xn
lim an1 n an
x
1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知:
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数收敛;
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数发散.
§6.3 幂级数
因此级数的收敛半径 R 1 .
2) 若 0, 则根据比值审敛法可知, 对任意 x 原级数
绝对收敛 , 因此 R ;
该邻域内有 :
f (x)
f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)
n
Rn (x)
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,其中
Rn (x)
f
(n1) (
(n 1)!
)
(
x
x0
)n1
( 在 x 与 x0 之间)
称为拉格朗日余项 .
§6.3 幂级数
展成 x－1 的幂级数.
解:
x2
1 4x 3
n0
(1 x 1)
从 0 到 x 积分, 得
x
ln(1 x) (1)n xn dx
n0
0
(1)n
n0 n 1
xn1 ,
11 xx11
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1有
定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛
区间为
§6.3 幂级数
0
§6.3 幂级数
例3.
的收敛半径 .
解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理, 故直接由
比值审敛法求收敛半径.
lim un1(x) n un (x)
lim
2n 1 2n1
x
2
n
n
2n 2n
1
x2
n
2
1 x2 2
当1 x2 1 2
当1 x2 1 2
时级数收敛 故收敛半径为 R 2 .
时级数发散
n0
n0
x R1 x R x R
§6.3 幂级数
定理4 若幂级数
的收敛半径
则其和函
在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与
逐项求积分, 运算前后收敛半径相同:
S ( x)
an xn
nan xn1,
x (R, R)
n0
n1
x
S
(
x)
dx
0
an
n0
x
x
n
dx
an
x n 1 ,
0
n0n 1
第三步
判别在收敛区间(－R,
R)
内 lim
n
Rn
(
x)
是否为0
§6.3 幂级数
例8. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: f (n) (x) ex , f (n) (0) 1 (n 0,1, ), 故得级数
1
x 1 x2 2!
1 x3 3!
1 xn n!
其收敛半径为
1
R
lim
n
n!
1 (n 1)!
对任何有限数 x , 其余项满足
e Hale Waihona Puke Baidun1 e x (n 1)!
n
故 ex 1 x 1 x2 1 x3 1 xn ,
2! 3!
n!
§6.3 幂级数
例9. 将
解: f (n) (x)
展开成 x 的幂级数.
f (n) (0) (01),k ,
n 2k n 2k 1
( 1 x 1)
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
§6.3 幂级数
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数.
外发散; 在 x R 可能收敛也可能发散 .
R 称为收敛半径 ，(－R , R ) 称为收敛区间.
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
收敛 发散
发散
收o敛
发散x
§6.3 幂级数
定理2. 若
的系数满足
则
1) 当 ≠0 时,
R
1
;
2) 当 ＝0 时, R ;
3) 当 ＝∞时, R 0 .
m(m 1) (m n 1) xn n!
称为二项展开式 .
说明： (1) 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 . (2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式
就是代数学中的二项式定理.
§6.3 幂级数
对应 m 1 , 1 , 1 的二项展开式分别为
22
1 x 1 1 x 1 x2 13 x3 135 x4 2 24 246 2468
例13. 将
展成
的幂级数.
解:
sin
x
sin
4
(
x
4
)
sin
4
cos(
x
4
)
cos
4
sin(x
4
)
1 2
cos(
x
4
)
sin(x
4
)
(x
)
4
1 (x 3!
)3 1 (x
4 5!
)5
4
1 1 (x ) 1 (x )2 1 (x )3
2
4 2! 4 3! 4
例14. 将
例6.
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散,
x (xn )
x
xn
n1
n1
x
1
x
x
§6.3 幂级数
例7. 求级数
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,
收敛 ,
S(x)
xn
1
x n 1
n0n 1 x n0 n 1
1 x xn
x 0 n0
敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ;
若常数项级数
发散 , 称 x0 为其发散点, 所有
发散点的全体称为其发散域 .
§6.3 幂级数
在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 为级数的和函数 , 并写成
称它
若用
表示函数项级数前 n 项的和, 即
令余项 则在收敛域上有
§6.3 幂级数
例如, 等比级数 它的收敛域是
2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
§6.3 幂级数
定理5 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
条件是
f
(x)
的泰勒公式中的余项满足:
lim
n
Rn
(
x)
0
.
定理6. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.
§6.3 幂级数
由Abel 定理可以看出, an xn 的收敛域是以原点为
中心的区间.
n0
用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 则
R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ;
R = 时, 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ;
0 R , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ;在[－R , R ]
收敛,
也收敛,
故原幂级数绝对收敛 .
反之, 若当 x x0 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.
假设有一点 x1 满足 x1 x0 且使级数收敛 , 则由前 面的证明可知, 级数在点 x0 也应收敛, 与所设矛盾,
故假设不真. 所以若当 x x0 时幂级数发散 , 则对一切 满足不等式 x x0 的 x , 原幂级数也发散 . 证毕
x (R, R)
注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.
§6.3 幂级数
例5.
的和函数 .
解: 由例2可知级数的收敛半径 R＝+∞. 设
则 故有
S(x)
x n 1
n1(n 1)!
exS(x) 0
因此得
S(x) C ex
由S(0) 1得 S(x) ex , 故得
S(x)
§6.3 幂级数
§6.3 幂级数
例4.
的收敛域.
解: 令
级数变为
R lim
n
an an1
lim
n
1 2n n
1 2 n 1 (n
1)
lim
n
2n1(n 2n n
1)
2
当 t = 2 时, 级数为 此级数发散;
§6.3 幂级数
当 t = – 2 时, 级数为
此级数条件收敛;
因此级数的收敛域为 2 t 2 , 故原级数的收敛域为 即 1 x 3.