12-4函数的幂级数展开式
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函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式
幂级数展开式在数学和物理学等领域中非常重要，可以用来近似计算
函数的值、求解微分方程、分析函数的性质等。
幂级数是指形如∑(an)(x-a)^n的级数，其中an是常数系数，x是变量，a是展开点。幂级数展开式可以认为是多项式的无穷级数，通过将无
穷多项式项相加得到。
一个函数的幂级数展开式的一般形式为：
f(x) = ∑(an)(x-a)^n
其中，an是函数f(x)在展开点a处的n阶导数值除以n的阶乘，即：an = f^(n)(a) / n!
这里，f^(n)(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数。
幂级数展开式的收敛性需要通过收敛半径来判断。幂级数展开式在展
开点a的收敛半径r为：
r = 1 / lim sup( ，an，^(1/n) )
其中，lim sup是上极限。
当，x-a，<r时，幂级数展开式收敛；当，x-a，>r时，幂级数展开
式发散；当，x-a，=r时，幂级数展开式的收敛情况需要进一步判断。
幂级数展开式的收敛半径决定了展开式的适用范围。当，x-a，<r时，可以通过前n项的有限求和来近似计算函数的值，对于其他点则需要通过
对幂级数进行求和计算。
幂级数展开式的求解可以利用泰勒级数或母函数法等方法。泰勒级数是一种特殊的幂级数展开形式，其中展开点a为0，并且每一项的系数an 与函数在展开点处的导数值相关。
幂级数展开式在许多函数中都有应用，例如指数函数、三角函数、对数函数等。通过幂级数展开式，可以将这些函数在其中一点的展开为无穷项的级数，在一定范围内进行近似计算。
高等数学(下册)第7章第6讲函数的幂级数展开
2
f (n) (0) 顺序循环地取 0,1,0，1， (n 0，1,2,3，) ,
于是得到麦克劳林级数
x 1 x3 1 x5 (1)n 1 x2n1 ,
3! 5!
(2n 1)!
它的收敛半径为 R , 因而此幂级数处处收敛.
11
二、 函数的幂级数展开 例 1 将函数 f (x) sin x 展开成 x 的幂级数.
第二步 求出函数 f (x) 及其各阶导数在 x 0处的值 f (0), f (0), f (0),, f (n) (0), ；
第三步 写出 f (x) 的麦克劳林级数
f (x) ~ f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn ,
2!
n!
并求出收敛半径 R 和收敛域；
高等数学（下册）
第七章 无穷级数
第六讲 函数的幂级数展开
本讲内容
01 泰勒级数
02 函数的幂级数展开
一、 泰勒级数
如果函数 f (x) 在 x0 的某邻域U (x0 ) 内可以表示成收敛的幂级数 a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n ,
且其和恰好是给定的函数 f (x) , 就称函数 f (x) 在该区间内能展开 成幂级数，而这个幂级数在该区间内就表达了函数 f (x) .即
P30 例 7.31
高等数学第五节 函数幂级数展开
般项当 n 时， x n1 0 , (n 1)!
所以，当
n 时,
ex
x n1 0 ,
(n 1)!
由此可知
ln im rn(x)0. 这表明级数 ⑥ 确实收敛于 f ( x) ex ,
因此有
e x 1 x 1x 2 1x n ( x ).
23
n 1
因为幂级数逐项积分后收敛半径不变，所以，上式
右端级数的收敛半径仍为 R = 1; 而当 x = 1 时该级
数发散，当 x = 1 时，该级数收敛 . 故收敛域为
1 < x ≤ 1 .
例 5 试求函数 f(x)arctxa展n开成 x
的幂级数 .
解 因为 arcx ta n 0x11x2dx,
m(m1)(mn1) xn n!
(1 x1).
最后一个式子称为二项展开式，其端点的收敛 性与 m 有关. 例如当 m > 0 时， 收敛区间为 [1 , 1], 当 1 < m < 0 时，收敛区间为(1 , 1] .
1y
所以 1 1 (x 1 ) (x 1 )2 ( 1 )n (x 1 )n .
x
收敛区间为 (0 , 2) .
最后，我们将几个常用函数的幂级数展开式 列在下面， 以便于读者查用 .
ex 1x1x21xn
12-4函数的幂级数展开式
第四节 函数的幂级数展开式
问题： 一、为何将函数展开成幂级数？ 二、将函数展开成幂级数需要何条件？ 三、如何将函数展开成幂级数？
返回
一、为何将函数展开成幂级数？
问题：计算机是如何计算sin(x)的函数值的？
在实际问题中，我们需要将一个函数表示 成一个幂级数形式。
数学思想： 将复杂问题的简单化，用简 单的函数表示复杂的函数。
逐项求导任意次,得
f ( x ) a 1 2 a 2 ( x x 0 ) n n ( x x a 0 ) n 1
f ( n ) ( x ) n ! a n ( n 1 ) n 3 2 a n 1 ( x x 0 ) 令xx0, 即得 a nn 1 !f(n )(x 0) (n0 ,1 ,2 , )泰勒系数 泰勒系数是唯一的, f(x)的展开式是唯. 一
即
f(x) ? n 0f(nn )(!x0)(xx0)n
不一定.
返回
例如 f(x)ex12, x0 0, Fra Baidu bibliotek0
在x=0点任意可导, 且 f(n )(0 ) 0(n 0 ,1 ,2 , )
洛必达法则
比如
lim
f (0)
x
1
lim
e x2 0
0 x 0 x
0
1
x
1
e x2
lim x
问题： 一、为何将函数展开成幂级数？ 二、将函数展开成幂级数需要何条件？ 三、如何将函数展开成幂级数？
返回
一、为何将函数展开成幂级数？
问题：计算机是如何计算sin(x)的函数值的？
在实际问题中，我们需要将一个函数表示 成一个幂级数形式。
数学思想： 将复杂问题的简单化，用简 单的函数表示复杂的函数。
逐项求导任意次,得
f ( x ) a 1 2 a 2 ( x x 0 ) n n ( x x a 0 ) n 1
f ( n ) ( x ) n ! a n ( n 1 ) n 3 2 a n 1 ( x x 0 ) 令xx0, 即得 a nn 1 !f(n )(x 0) (n0 ,1 ,2 , )泰勒系数 泰勒系数是唯一的, f(x)的展开式是唯. 一
即
f(x) ? n 0f(nn )(!x0)(xx0)n
不一定.
返回
例如 f(x)ex12, x0 0, Fra Baidu bibliotek0
在x=0点任意可导, 且 f(n )(0 ) 0(n 0 ,1 ,2 , )
洛必达法则
比如
lim
f (0)
x
1
lim
e x2 0
0 x 0 x
0
1
x
1
e x2
lim x
高等数学课件：11-4 函数的幂级数展开式
§11.4 函数展开成幂级数
两类问题: 在收敛域内 求 和 和函数 展开
本节内容: 一、幂级数展开式的唯一性 二、函数的泰勒级数 三. 将函数展开为幂级数
一、幂级数展开式的唯一性
定理1（幂级数的唯一性）
设幂级数 an xn a0 a1x a2 x2 an xn
n0
在区间 ( , )上的和函数为 f (x)，即
对应
1 2
,
1 2
,1的二项展开式分别为
1 x 1 1 x 1 x2 13 x3 135 x4 2 24 246 2468
( 1 x 1)
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
f x0
( x0 2!
)
(
x
x0
)n Rn (x)
)2
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,其中
Rn (x)
f
(n1) (
(n 1)!
)
(
x
x0
)
n1
( 在 x 与 x0 之间)
称为拉格朗日余项 .
定理2 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
两类问题: 在收敛域内 求 和 和函数 展开
本节内容: 一、幂级数展开式的唯一性 二、函数的泰勒级数 三. 将函数展开为幂级数
一、幂级数展开式的唯一性
定理1（幂级数的唯一性）
设幂级数 an xn a0 a1x a2 x2 an xn
n0
在区间 ( , )上的和函数为 f (x)，即
对应
1 2
,
1 2
,1的二项展开式分别为
1 x 1 1 x 1 x2 13 x3 135 x4 2 24 246 2468
( 1 x 1)
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
f x0
( x0 2!
)
(
x
x0
)n Rn (x)
)2
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,其中
Rn (x)
f
(n1) (
(n 1)!
)
(
x
x0
)
n1
( 在 x 与 x0 之间)
称为拉格朗日余项 .
定理2 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
12-5 函数展开成幂级数
u例5
将函数
sin
x
展开成
æ ç
x
-
p
ö ÷
的幂级数.
è 4ø
u例6
将函数 f ( x) =
x2
1 展开成 (x - 1)的幂级数.
+ 4x + 3
1 ( 2k +1)!
x2k+1 +!
u例3 将函数 为任意常数 .
展开成 x 的幂级数, 其中m
解: f (0) = 1, f ¢(0) = m, f ¢¢(0) = m(m -1) ,
f (n) (0) = m(m -1)(m - 2)!(m - n +1) , !
于是得级数
1+
mx
+
m(m -1) 2!
x4 + !+ (-1)n x2n
å = ¥ (-1)n x2n+1
+!
(-1 (-1
< £
x x
< £
1) 1)
n=0 2n + 1
u例
sin
x
=
x
-
x3 3!
+
x5 5!
+ !+ (-1)k
x 2k +1 (2k + 1)!
+!
高数：函数的幂级数展开
f (n) 0 mm 1m 2m n 1 ,
于是得 级数
1 mx mm 1 x2 mm 1m n 1 xn
2!
n!
由于
R lim an lim n 1 1 a n n1 n m n
因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛。
为避免研究余项 , 设此级数的和函数为 F(x), -1<x<1。 则
可能展开成幂级数的。
由 f (x) 的展成 x 的幂级数的唯一性可知的 , 若 f (x) 能展成 x
的幂级数, 这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数。 但是, 反过来
如果f(x)的麦克劳林级数在x0=0的某个邻域内收敛, 它却不一定
收敛于f(x)。 例如函数
f
x
1
e x2
,
x 0
0, x0
在x0=0点任意阶可导, 且 f n0 0 , n 0 ,1, 2 ,。
解: f x ln1 x ln 2 ln 1
3 2
x
2 x3x2 1 x23x
ln
1 x
x x2 x3
2
3
(1)n xn1
n1 n1
xn n
1 x 1
ln 1
3 2
x
n 1
1n1
n
3 2
Biblioteka Baidu
高等数学(四)12-函数的幂级数展开式的应用-微分方程的幂级数解法、欧拉公式
n2
n2
2a2
3
2a3 x
(4
3a4
1)x 2
(5
4a
a
)x 3
5
2
(6 5a a )x4 63
(n 2)(n 1)an2 an1 xn+
0. y xy 0
a2 0 , a3 0 , a4
1 43
,
a5
0
,
a6
0
,
,
一般地
an 2
(n
an1 2)(n
1)
(n 3, 4,
微分方程的 幂级数解法
dy
求一阶微分方程
dx
f (x,
y) 满足初值条件
y |xx0
y0
的特解, 其中
f (x, y)=a00 a10 (x x0 ) a01( y y0 )
alm
(x
x )l 0
(
y
y )m 0
.
幂级数解法:设所求特解可展开为 x x0 的幂级数:
y=y a (x x ) a (x x )2 a (x x )n + ,
).
从这递推公式可以推得a 7
a4 76
1, 7643
a8
a5 87
0,
a9
a6 98
0,
a10
a7 10 9
函数的幂级数展开
a a
x
x ln a
x n ln n a , n! n 0
| x | .
2
2013-2-27
x 2 n 1 sin x ( 1 ) , (2n 1)! n 0
n
x( , ).
12
x 2n cos x ( 1 ) , (2n)! n 0
2013-2-27 2
Cauchy 余项: 在上述积分型余项的条件下, 有 Cauchy 余
项
1 ( n 1) x0 ( x x0 )(1 ) n ( x x0 ) n1 , 0 1 . Rn (x) f n!
特别地， x0 0 时，Cauchy 余项为
2013-2-27
x 2 n 1 ( 1 ) 2n 1 , x [ 1 , 1 ] . n 0
n
16
1 由 2 ( 1 ) n x 2n , 1 x n 0
x ( 1,1) .
两端积分,有
x x dt n 2n n arctgx (1) t dt (1) t 2 n dt 0 1 t2 0 0 n 0 n 0 x
2013-2-27 9
证
利用 Lagrange 型余项 , 设
| f ( n ) ( x) | M ,
则有
x
x ln a
x n ln n a , n! n 0
| x | .
2
2013-2-27
x 2 n 1 sin x ( 1 ) , (2n 1)! n 0
n
x( , ).
12
x 2n cos x ( 1 ) , (2n)! n 0
2013-2-27 2
Cauchy 余项: 在上述积分型余项的条件下, 有 Cauchy 余
项
1 ( n 1) x0 ( x x0 )(1 ) n ( x x0 ) n1 , 0 1 . Rn (x) f n!
特别地， x0 0 时，Cauchy 余项为
2013-2-27
x 2 n 1 ( 1 ) 2n 1 , x [ 1 , 1 ] . n 0
n
16
1 由 2 ( 1 ) n x 2n , 1 x n 0
x ( 1,1) .
两端积分,有
x x dt n 2n n arctgx (1) t dt (1) t 2 n dt 0 1 t2 0 0 n 0 n 0 x
2013-2-27 9
证
利用 Lagrange 型余项 , 设
| f ( n ) ( x) | M ,
则有
第五节 函数的幂级数展开
n
1 n1 f (t )( x t ) n n! ' (t ) (n 1)( x t ) n
由于 (t ), (t ) 满足柯西中值定理的条件,故在
x0与x之间至少存在一点ξ,使得
( x) ( x0 ) ' ( ) ( x) ( x0 ) ' ( )
n
kπ 0, 注意到 sin 2 (1)n ,
n
k 2n , k 2n 1,
n 0,1, 2
于是,由上式得sinx的麦克劳林级数为
(1) n 2 n1 sin x x , x (, ) k 0 (2n 1)! 利用定理 8.13 和 8.14 将函数 f(x) 展开成泰勒
公式(8.14)称为函数f(x)在点x0处的n阶泰勒 (Taylor)公式,简称为n阶泰勒公式.其中公式(8.15) 确定的Rn(x)称为拉格朗日余项. f(x)的泰勒公式(8.14)表明,f(x)可近似地表示为 n 1 (k ) k f ( x) f ( x0 )( x x0 ) k 0 k !
1 ( n1) 1 n f ( )( x ) n n! (n 1)( x ) 1 ( n1) f ( ) 河南工业大学理学院 (n 1)!
即有
1 Rn ( x) f ( n1) ( )( x x0 )n1(ξ在x0与x之间) (n 1)!
1 n1 f (t )( x t ) n n! ' (t ) (n 1)( x t ) n
由于 (t ), (t ) 满足柯西中值定理的条件,故在
x0与x之间至少存在一点ξ,使得
( x) ( x0 ) ' ( ) ( x) ( x0 ) ' ( )
n
kπ 0, 注意到 sin 2 (1)n ,
n
k 2n , k 2n 1,
n 0,1, 2
于是,由上式得sinx的麦克劳林级数为
(1) n 2 n1 sin x x , x (, ) k 0 (2n 1)! 利用定理 8.13 和 8.14 将函数 f(x) 展开成泰勒
公式(8.14)称为函数f(x)在点x0处的n阶泰勒 (Taylor)公式,简称为n阶泰勒公式.其中公式(8.15) 确定的Rn(x)称为拉格朗日余项. f(x)的泰勒公式(8.14)表明,f(x)可近似地表示为 n 1 (k ) k f ( x) f ( x0 )( x x0 ) k 0 k !
1 ( n1) 1 n f ( )( x ) n n! (n 1)( x ) 1 ( n1) f ( ) 河南工业大学理学院 (n 1)!
即有
1 Rn ( x) f ( n1) ( )( x x0 )n1(ξ在x0与x之间) (n 1)!
精选数学分析函数的幂级数展开讲解讲义
x3 x5 sin x x
(1)n1 x2n1
.
3! 5!
(2n 1)!
同样可证(或用逐项求导), 在(, )上有
cos x 1 x2 x4 (1)n x2n .
2! 4!
(2n)!
例5 函数 f ( x) ln(1 x) 的各阶导数是
f
(
n
)
(
x
)
(1)n1
(n 1)! (1 x)n
数是极为重要的, 下面我们重新写出当 x0 0 时的
积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项, 以便
于后面的讨论. 它们分别是
Rn( x)
1 n!
x 0
f (n1)(t )( x t )ndt,
Rn( x)
(n
1 1)!
f
(n1) (
) xn1,
在
0
与
x
之间,
Rn( x)
1 n!
f
(n1) (
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
(4)
的右边为 f 在 x x0 处的泰勒展开式, 或幂级数展 开式.
12-4函数的幂级数展开式
复杂的 数学的方法 简单的
函数
函数
返回
二、将函数展开成幂级数需要何种条件？
该问题转化为：对任意给定的函数 f(x) (1)在什么条件下才能展开成幂级数?
f ( x) an ( x x0 )n
n0
(2) 如果能展开, an 是什么? (3) 展开式是否唯一?
返回
⒉将函数展开成幂级数需要何种条件？
返回
x 1 ( x 1) 1
4 x
4 x
1(x 3
1)
( x 1)2 32
(x
1)3 33
( x 1)n 3n
于是
f
(n) (1) n!
1 3n ,
x1 3
故
f
(n) (1)
n! 3n .
返回
返回
Ex
将函数 f x 1 在x 0 和x 2 间接展开为泰勒级数。
x2
1
解: 有如下牛顿二项式展开式（展开过程略）
(1 x)
1 x ( 1) x2 ( 1)( n 1) xn
2!
n! x (1,1)
注意: 在x 1处收敛性与的取值有关.
x=1 x=-1
0
-1< <0
1 >0 <0
绝对收敛 条件收敛
发散 绝对收敛
发散
返回
当 1, 1时, 有
函数展开成幂级数
解
f
(n) (x)
sin
x
n
π 2
(n
1, 2,
),
f
(0)
0
,
f
(n)
(0)
0, (1)k 1 ,
n 2k, k 1, 2,3,
n 2k 1,
,
x x3 x5 (1)n x2n1 ,收敛半径为 R .
3! 5
an
n 1
对任何实数 m ,收敛区间均为 (1,1) .
F (x) 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1) (m n 1) xn (1 x 1) , n!
下面证明 F (x) (1 x)m (1 x 1) .
F
( x)
m
1
3! 5!
(2n 1)!
( x ) .
例 将函数 f (x) (1 x)m 展开成 x 的幂级数, 其中 m 为任意实数.
解 f (x) m(1 x)m1 , f (x) m(m 1)(1 x)m2 ,
, f (n) (x) m(m 1)(m 2) (m n 1)(1 x)mn ,
1 x 1 x n0
Baidu Nhomakorabea
在上式两端从 0 到 x 积分,可得
函数展开为幂级数
1 x x x (1)
2
4
6
n1 2n2
x
， x(1, 1 ) .
∴ arctanx arctan0
x 0
1 1 t
2
dt
2n1 x3 x5 x 7 x n1 x (1) ， x[1, 1] . 3 5 7 2n 1 2n1 x3 x5 x 7 x n1 arctanx x (1) ， x[1, 1] . 3 5 7 2n 1
2n1 x3 x5 x 7 x n ， 解： sin x x (1) 3! 5! 7! (2n 1)! x(, ) . 逐项求导得：
x x x n x cos x 1 (1) ， 2! 4! 6! (2n)! x(, ) .
x2 x 2 的幂级数 。 9．将函数 f ( x ) 2 展开成 2 x x 1 10．将函数 f ( x ) 展开成 x 的幂级数 。 2 2 (1 x )
1 2x 例11 : 将函数f ( x ) arctan 展开为x的幂级数; 1 2x (1) n 并求级数 的和,以及导数f (100 ) (0)和f (101) (0). n 0 2n 1 1 - 2 x 1 解 : f ( x ) arctan =-2 2 1 2 x 1 4 x
例 : 1.把2 x 展开为x的幂级数; 2.把2 x 展开为x 2的幂级数.
常见函数的幂级数展开
常见函数的幂级数展开
1. 指数函数 (Exponential Function)
定义
指数函数是指以常数e为底数的幂函数，通常表示为e^x。其中e是一个常数，约等于2.71828。
用途
指数函数在数学、物理、工程等领域中广泛应用。它的幂级数展开形式可以用于近似计算指数函数的值，特别是当指数函数无法直接计算时。
工作方式
指数函数的幂级数展开中，每一项的系数都是x的幂次与常数e的幂次之比。通过将幂级数的前n项相加，可以近似计算指数函数的值。
指数函数的幂级数展开如下所示：
e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + … + x^n/n! + …
其中n!表示n的阶乘（n的所有正整数乘积），定义为n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。
通过增加幂级数的项数，可以获得更精确的结果。然而，幂级数展开通常在x的绝对值较小的范围内有效，当x的绝对值较大时，需要使用其他方法来计算指数函数的值。
指数函数的幂级数展开可以通过计算机程序来实现，例如使用Python编写以下代码：
import math
def exponential_series(x, n):
result = 0
for i in range(n):
result += x**i / math.factorial(i)
return result
x = 2.0
n = 10
print(exponential_series(x, n))
上述代码计算了指数函数e^2的近似值，使用了前10项的幂级数展开。
2. 正弦函数 (Sine Function)
【2019年整理】第五节函数的幂级数展开
它就是函数 f(x) 的幂级数表达式 . 也表示了函数的 幂级数展开式是唯一的 . 幂级数 :
f ( x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2! (n) f ( x0 ) n ( x x0 ) , n!
最后一个式子称为二项展开式，其端点的收敛 性与 m 有关. 例如当 m > 0 时， 收敛区间为 [1 , 1], 当 1 < m < 0 时，收敛区间为(1 , 1] .
x
例2
试将函数 f ( x ) sinx 展开成 x 的幂级
数.
解
可知
由f
( n)
n ( x ) sin( x ) ( n 1 , 2 , 3,) , 2
f (0) 0 , f (0) 1 , f (0) 0 , f (0) 1 ,,
f ( 2n) (0) 0 , f ( 2n1) (0) (1)n .
例7
幂级数.
1 展开成 x 1 的 将函数 f ( x ) x
令 x 1 = y ， 则 x = y + 1， 代入得
解
1 f ( x) . 即将函数 1 展开成 y 的 1 y 1 y
幂级数 .
因 所以
1 2 n n 1 y y ( 1) y , 1 y 1 1 ( x 1) ( x 1) 2 ( 1) n ( x 1) n x .
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逐项求导任意次,得
f ( x ) a 1 2 a 2 ( x x 0 ) n n ( x x a 0 ) n 1
f ( n ) ( x ) n ! a n ( n 1 ) n 3 2 a n 1 ( x x 0 ) 令xx0, 即得 a nn 1 !f(n )(x 0) (n0 ,1 ,2 , )泰勒系数 泰勒系数是唯一的, f(x)的展开式是唯. 一
1
2e x2
0
f(x)的麦氏级 数 0xn为
n0
该级 (, 数 )内 在 和 s(x ) 函 0 .可见数
除 s0外 ,f(x)的麦氏级数处 于f(处 x).不
返回
定 理 2 f(x)在 点 x 0的 泰 勒 级 数 , 在 U (x 0)内 收 敛 于 f(x) 在 U (x 0)内 n l i R m n(x)0.
sin(n1)2xn1
(n1)!
x n1 ( n 1 )!
0
si x n x 1x 3 1 x 5 ( 1 )n x 2 n 1
3 ! 5 !
(2 n 1 )!
x(, )
返回
例3 将 f(x)(1x)( R )展x 开 的成 幂 .
解: 有如下牛顿二项式展开式（展开过程略）
(1 x )
第四节 函数的幂级数展开式
问题： 一、为何将函数展开成幂级数？ 二、将函数展开成幂级数需要何条件？ 三、如何将函数展开成幂级数？
返回
一、为何将函数展开成幂级数？
问题：计算机是如何计算sin(x)的函数值的？
在实际问题中，我们需要将一个函数表示 成一个幂级数形式。
数学思想： 将复杂问题的简单化，用简 单的函数表示复杂的函数。
2 ! 4 ! 6!
(2n)!
x (, ) • (1x)m1mx m(m1) x2
2!
m (m1)(mn1)xnx(1,1) n!
当 m = –1 时
1 1
x
1 x x 2 x 3 ( 1 ) n x n ,x(1,1)
返回
1[cx os)(six n()]
2
4
4
sixn xx3x5( 1 )n 1 x2n 1 x ,
3 ! 5 !
(2n 1 )!
six n)( (x) (x 4 )3 (x 4 )5 x , 4 4 3 ! 5 !
返回
cox s1x2x4(1)n x2n
2! 4!
(2n)!
x ,
co x s)( 1(x 4)2(x 4)4 x ,
双阶乘
返回
2.间接法
此方法简单易行，效果好，是以后将函数展开
成幂级数的主要方法，应重点掌握。
返回
例如 co x s(sx i)n
si x n x 1x 3 1 x 5 ( 1 )n x 2 n 1
3 ! 5 !
(2 n 1 )!
co x 1 s1x 21x 4 ( 1 )nx 2 n
2 ! 4 !
(2 n )!
x(, )
返回
例：将y=xarctanx展成x的幂级数。 若用直接方法，先得求出此函数的各阶导数，还得
讨论余项Rn(x)。
若用间接方法，就很简便。
由 于
1
(1)n xn, x 1,
1 x n0
故arctanx
x
(arctanx)dx
0
x1 0 1 x2dx
1 x 1 1x1x 21 3x 3 ( 1 )n(2 n 3 )!! x n
2 2 4 2 4 6
(2 n )!!
[ 1 ,1 ]
1 1 1x 1 3x 2 1 3 5x 3 ( 1 )n(2 n 1 )!! x n
1 x 2 2 4 2 4 6
(2 n )!!
[ 1 ,1 ]
1 x ( 1 )x 2 ( 1 ) ( n 1 )x n
2 !
n !
x(1,1)
注意: 在 x1处收 敛 的性 取与 .值有关
x=1 x=-1
0
-1< <0
1 >0 <0
绝对收敛 条件收敛
发散 绝对收敛
发散
返回
当1,1时,有
2
1 1 x x 2 x 3 ( 1 ) n x n ( 1 , 1 ) 1 x
ex的
麦
克
劳 xn 林 1级 x2数 ...x为 n..
n0n!
2!
n!
.R
R n (x )f(n (n 1 )1 ())!x n 1(n e 1 )x !n 1 (n e x 1 )x !n 10,(n)
当 x确定 ,ex有 后 ,而 界 xn1 是收 敛 xn的 级一 数
(n1)!
x 1x 3 1x 5 ( 1 )nx 2 n 1
35
2 n 1
ln1(x) x dx 0 1x
x[1,1]
x1x 21x 3 ( 1 )n 1x n
23
n
x(1,1]
返回
例4 将 f(x)x1在 x1处展开成泰勒 4x
(展开 x1 的 成 幂 )并 级 f(n 求 )(1)数 .
n0 n !
e x 1 x 1 x 2 1 x n x ( , )
2 ! n !
返回
例2 将 f(x)sixn 展开 x的成 幂 . 级数
解 f(n)(x)sin x(n),f(n)(0)sinn,
2
2
f(2n)(0)0, f(2n 1)(0)( 1)n,(n0,1,2,)
且Rn(x)
• e x 1 x 1 x 2 1 xn ,
2!
n!
x (, )
•ln(1x)x 1 x 2 2
1 x 3 1 x4 34
(1)n n 1
xn1
x(1,1]
返回
• sinxx x 3 x 5 x 7 (1)n x2n1
3 ! 5 ! 7!
(2n1)!
x (, )
•coxs1 x 2 x 4 x 6 (1)n x2n
步骤:
(1)求an
f
(n)(x0),写 n!
出 f(x)在
点 x0的
幂
级
数
百度文库
an(xx0)n并 求 其 收 敛 域
n0
(2) 判定 nl im Rn(x)0 是否成立？
如条件满足，
则级数在收敛区敛 间于 内f(收 x).
返回
例1 将ex展开成 x的幂级数
解 f(n)(x)ex, f(n )(0 ) 1 . (n 0 ,1 ,2 , )
x (1)n x2ndx
0 n0
(1)n
x
x2ndx (1)n
1
x2n1, x 1
0 n0
n0
2n1
从 而 得 y xarctanx (1)n
1
x2n2, x 1。
n0
2n1
返回
1
xn1xx2xn
1x n0
1
1 x2
1
1
(x2 )
(x2 )n
n0
arctxan0x1dxx2
f x 1 x2
1 2
1
1 (
x
)
1 ( x)n 2 n0 2
n0
(1)n
xn 2n1
2
2,2
f
x
1 x2
1 4
1
1 ( x
2)
1 (x2)n
4n0
4
n 0(1)n(x4n21)n
4
2,6
返回
Ex
将函数 sinx 展开成 x 的幂级数。 4
sinx sin4(x4)
s ic no x s) (c o ssix n )( 4 44 4
复杂的 数学的方法 简单的
函数
函数
返回
二、将函数展开成幂级数需要何种条件？
该问题转化为：对任意给定的函数 f(x) (1)在什么条件下才能展开成幂级数?
f(x) an(xx0)n
n0
(2) 如果能展开, a n 是什么? (3) 展开式是否唯一?
返回
⒉将函数展开成幂级数需要何种条件？
定理 1 如果函数 f ( x)在U ( x0 )内具有任意阶导
解
1 1 4x 3(x1)
3(1
1 x
1)
,
3
1 [ 1 x 1 (x 1 )2 (x 1 )n ] x13
33 3
3
x1(x1) 1
4x
4x
1 3 (x 1 ) (x 3 2 1 )2 (x 3 3 1 )3 (x 3 n 1 )n
返回
x1(x1) 1
证明 必要性 设f(x)能展开为泰勒,级数
f(x )i n 0f(i)i(!x 0)(xx 0)iR n (x )
R n ( x ) f( x ) s n 1 ( x ) ,ln i s m n 1(x)f(x) ln i m Rn(x)ln i [m f(x)sn1(x)]0;
返回
定 理 2 f(x)在 点 x 0的 泰 勒 级 数 , 在 U (x 0)内 收 敛 于 f(x) 在 U (x 0)内 n l i R m n(x)0.
数, 且在U ( x0 )内能展开成( x x0 ) 的幂级数,
即 f ( x) an( x x0 )n
n0
则其系数
an
1 n!
f
(n) (
x0
)
(n 0,1,2, )
且展开式是唯一的. （定理1回答了问题二）
证明 an(xx0)n在 u(x0)内收 f(x 敛 )即 , 于
n0
f ( x ) a 0 a 1 ( x x 0 ) a n ( x x 0 ) n 返回
4x
4x
1 3 (x 1 ) (x 3 2 1 )2 (x 3 3 1 )3 (x 3 n 1 )n
于是f (n)(1) n!
1 3n
,
x13
故f(n)(1)3nn!.
返回
返回
Ex
将函数 f x 1 在x0和x2 间接展开为泰勒级数。
x2
1xn1xx2xn 1,1
1x n0
充分性 f( x ) s n 1 ( x ) R n ( x ), ln i [m f(x)sn 1(x)]ln i m Rn(x) 0, 即 ln i s m n 1(x )f(x ), f(x)的泰勒级数f收 (x).敛于
返回
三、如何将函数展开成幂级数？
1.直接法(泰勒级数法)
4
2 ! 4 !
sinx 1[cx os)(six n()]
2
4
4
1[1 (x) (x 4)2 (x 4)3 ] x ,
2 4 2 ! 3 !
返回
内容小结
1. 函数的幂级数展开法
(1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ;
(2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 式的函数 .
2. 常用函数的幂级数展开式
返回
定义 如果 f ( x)在点 x0处任意阶可导,则幂级数
n0
f
(n) ( x0 )( x n!
x0 )n称为
f
( x)在点 x0的泰勒级数.
n0
f
(n) (0)x n称为 n!
f
( x)在点 x0
0 的麦克劳林级数.
问题： 只要函数f(x)在已知点任意阶可导，f(x)在该 点的泰勒级数总是可以写出的，那末这个泰 勒级数在收敛区间内是否一定收敛于f(x)呢?
即
f(x) ? n 0f(nn )(!x0)(xx0)n
不一定.
返回
例如 f(x)ex12, x0 0, x0
在x=0点任意可导, 且 f(n )(0 ) 0(n 0 ,1 ,2 , )
洛必达法则
比如
lim
f (0)
x
1
lim
e x2 0
0 x 0 x
0
1
x
1
e x2
lim x
0
x