12-4函数的幂级数展开式

逐项求导任意次,得
f ( x ) a 1 2 a 2 ( x x 0 ) n n ( x x a 0 ) n 1
f ( n ) ( x ) n ! a n ( n 1 ) n 3 2 a n 1 ( x x 0 ) 令xx0, 即得 a nn 1 !f(n )(x 0) (n0 ,1 ,2 , )泰勒系数 泰勒系数是唯一的, f(x)的展开式是唯. 一
1
2e x2
0
f(x)的麦氏级 数 0xn为
n0
该级 (, 数 )内 在 和 s(x ) 函 0 .可见数
除 s0外 ,f(x)的麦氏级数处 于f(处 x).不
返回
定 理 2 f(x)在 点 x 0的 泰 勒 级 数 , 在 U (x 0)内 收 敛 于 f(x) 在 U (x 0)内 n l i R m n(x)0.
sin(n1)2xn1
(n1)!
x n1 ( n 1 )!
0
si x n x 1x 3 1 x 5 ( 1 )n x 2 n 1
3 ! 5 !
(2 n 1 )!
x(, )
返回
例3 将 f(x)(1x)( R )展x 开 的成 幂 .
解: 有如下牛顿二项式展开式（展开过程略）
(1 x )
第四节 函数的幂级数展开式
问题： 一、为何将函数展开成幂级数？ 二、将函数展开成幂级数需要何条件？ 三、如何将函数展开成幂级数？
返回
一、为何将函数展开成幂级数？
问题：计算机是如何计算sin(x)的函数值的？
在实际问题中，我们需要将一个函数表示 成一个幂级数形式。
数学思想： 将复杂问题的简单化，用简 单的函数表示复杂的函数。
2 ! 4 ! 6!
(2n)!
x (, ) • (1x)m1mx m(m1) x2
2!
m (m1)(mn1)xnx(1,1) n!
当 m = –1 时
1 1
x
1 x x 2 x 3 ( 1 ) n x n ,x(1,1)
返回
1[cx os)(six n()]
2
4
4
sixn xx3x5( 1 )n 1 x2n 1 x ,
3 ! 5 !
(2n 1 )!
six n)( (x) (x 4 )3 (x 4 )5 x , 4 4 3 ! 5 !
返回
cox s1x2x4(1)n x2n
2! 4!
(2n)!
x ,
co x s)( 1(x 4)2(x 4)4 x ,
双阶乘
返回
2.间接法
此方法简单易行，效果好，是以后将函数展开
成幂级数的主要方法，应重点掌握。
返回
例如 co x s(sx i)n
si x n x 1x 3 1 x 5 ( 1 )n x 2 n 1
3 ! 5 !
(2 n 1 )!
co x 1 s1x 21x 4 ( 1 )nx 2 n
2 ! 4 !
(2 n )!
x(, )
返回
例：将y=xarctanx展成x的幂级数。 若用直接方法，先得求出此函数的各阶导数，还得
讨论余项Rn(x)。
若用间接方法，就很简便。
由 于
1
(1)n xn, x 1,
1 x n0
故arctanx
x
(arctanx)dx
0
x1 0 1 x2dx
1 x 1 1x1x 21 3x 3 ( 1 )n(2 n 3 )!! x n
2 2 4 2 4 6
(2 n )!!
[ 1 ,1 ]
1 1 1x 1 3x 2 1 3 5x 3 ( 1 )n(2 n 1 )!! x n
1 x 2 2 4 2 4 6
(2 n )!!
[ 1 ,1 ]
1 x ( 1 )x 2 ( 1 ) ( n 1 )x n
2 !
n !
x(1,1)
注意: 在 x1处收 敛 的性 取与 .值有关
x=1 x=-1
0
-1< <0
1 >0 <0
绝对收敛 条件收敛
发散 绝对收敛
发散
返回
当1,1时,有
2
1 1 x x 2 x 3 ( 1 ) n x n ( 1 , 1 ) 1 x
ex的
麦
克
劳 xn 林 1级 x2数 ...x为 n..
n0n!
2!
n!
.R
R n (x )f(n (n 1 )1 ())!x n 1(n e 1 )x !n 1 (n e x 1 )x !n 10,(n)
当 x确定 ,ex有 后 ,而 界 xn1 是收 敛 xn的 级一 数
(n1)!
x 1x 3 1x 5 ( 1 )nx 2 n 1
35
2 n 1
ln1(x) x dx 0 1x
x[1,1]
x1x 21x 3 ( 1 )n 1x n
23
n
x(1,1]
返回
例4 将 f(x)x1在 x1处展开成泰勒 4x
(展开 x1 的 成 幂 )并 级 f(n 求 )(1)数 .
n0 n !
e x 1 x 1 x 2 1 x n x ( , )
2 ! n !
返回
例2 将 f(x)sixn 展开 x的成 幂 . 级数
解 f(n)(x)sin x(n),f(n)(0)sinn,
2
2
f(2n)(0)0, f(2n 1)(0)( 1)n,(n0,1,2,)
且Rn(x)
• e x 1 x 1 x 2 1 xn ,
2!
n!
x (, )
•ln(1x)x 1 x 2 2
1 x 3 1 x4 34
(1)n n 1
xn1
x(1,1]
返回
• sinxx x 3 x 5 x 7 (1)n x2n1
3 ! 5 ! 7!
(2n1)!
x (, )
•coxs1 x 2 x 4 x 6 (1)n x2n
步骤:
(1)求an
f
(n)(x0),写 n!
出 f(x)在
点 x0的
幂
级
数
百度文库
an(xx0)n并 求 其 收 敛 域
n0
(2) 判定 nl im Rn(x)0 是否成立？
如条件满足，
则级数在收敛区敛 间于 内f(收 x).
返回
例1 将ex展开成 x的幂级数
解 f(n)(x)ex, f(n )(0 ) 1 . (n 0 ,1 ,2 , )
x (1)n x2ndx
0 n0
(1)n
x
x2ndx (1)n
1
x2n1, x 1
0 n0
n0
2n1
从 而 得 y xarctanx (1)n
1
x2n2, x 1。
n0
2n1
返回
1
xn1xx2xn
1x n0
1
1 x2
1
1
(x2 )
(x2 )n
n0
arctxan0x1dxx2
f x 1 x2
1 2
1
1 (
x
)
1 ( x)n 2 n0 2
n0
(1)n
xn 2n1
2
2,2
f
x
1 x2
1 4
1
1 ( x
2)
1 (x2)n
4n0
4
n 0(1)n(x4n21)n
4
2,6
返回
Ex
将函数 sinx 展开成 x 的幂级数。 4
sinx sin4(x4)
s ic no x s) (c o ssix n )( 4 44 4
复杂的 数学的方法 简单的
函数
函数
返回
二、将函数展开成幂级数需要何种条件？
该问题转化为：对任意给定的函数 f(x) (1)在什么条件下才能展开成幂级数?
f(x) an(xx0)n
n0
(2) 如果能展开, a n 是什么? (3) 展开式是否唯一?
返回
⒉将函数展开成幂级数需要何种条件？
定理 1 如果函数 f ( x)在U ( x0 )内具有任意阶导
解
1 1 4x 3(x1)
3(1
1 x
1)
,
3
1 [ 1 x 1 (x 1 )2 (x 1 )n ] x13
33 3
3
x1(x1) 1
4x
4x
1 3 (x 1 ) (x 3 2 1 )2 (x 3 3 1 )3 (x 3 n 1 )n
返回
x1(x1) 1
证明 必要性 设f(x)能展开为泰勒,级数
f(x )i n 0f(i)i(!x 0)(xx 0)iR n (x )
R n ( x ) f( x ) s n 1 ( x ) ,ln i s m n 1(x)f(x) ln i m Rn(x)ln i [m f(x)sn1(x)]0;
返回
定 理 2 f(x)在 点 x 0的 泰 勒 级 数 , 在 U (x 0)内 收 敛 于 f(x) 在 U (x 0)内 n l i R m n(x)0.
数, 且在U ( x0 )内能展开成( x x0 ) 的幂级数,
即 f ( x) an( x x0 )n
n0
则其系数
an
1 n!
f
(n) (
x0
)
(n 0,1,2, )
且展开式是唯一的. （定理1回答了问题二）
证明 an(xx0)n在 u(x0)内收 f(x 敛 )即 , 于
n0
f ( x ) a 0 a 1 ( x x 0 ) a n ( x x 0 ) n 返回
4x
4x
1 3 (x 1 ) (x 3 2 1 )2 (x 3 3 1 )3 (x 3 n 1 )n
于是f (n)(1) n!
1 3n
,
x13
故f(n)(1)3nn!.
返回
返回
Ex
将函数 f x 1 在x0和x2 间接展开为泰勒级数。
x2
1xn1xx2xn 1,1
1x n0
充分性 f( x ) s n 1 ( x ) R n ( x ), ln i [m f(x)sn 1(x)]ln i m Rn(x) 0, 即 ln i s m n 1(x )f(x ), f(x)的泰勒级数f收 (x).敛于
返回
三、如何将函数展开成幂级数？
1.直接法(泰勒级数法)
4
2 ! 4 !
sinx 1[cx os)(six n()]
2
4
4
1[1 (x) (x 4)2 (x 4)3 ] x ,
2 4 2 ! 3 !
返回
内容小结
1. 函数的幂级数展开法
(1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ;
(2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 式的函数 .
2. 常用函数的幂级数展开式
返回
定义 如果 f ( x)在点 x0处任意阶可导,则幂级数
n0
f
(n) ( x0 )( x n!
x0 )n称为
f
( x)在点 x0的泰勒级数.
n0
f
(n) (0)x n称为 n!
f
( x)在点 x0
0 的麦克劳林级数.
问题： 只要函数f(x)在已知点任意阶可导，f(x)在该 点的泰勒级数总是可以写出的，那末这个泰 勒级数在收敛区间内是否一定收敛于f(x)呢?
即
f(x) ? n 0f(nn )(!x0)(xx0)n
不一定.
返回
例如 f(x)ex12, x0 0, x0
在x=0点任意可导, 且 f(n )(0 ) 0(n 0 ,1 ,2 , )
洛必达法则
比如
lim
f (0)
x
1
lim
e x2 0
0 x 0 x
0
1
x
1
e x2
lim x
0
x