第七讲复变函数的幂级数

n 1
{ n } 和 { n } 的极限存在 .
a
n 1

n
和 bn 都 收 敛 .
n 1

说明
复数项级数的收敛问题

两个实数项级数的收敛问题
16
练习 解
1 i 级 数 (1 ) 是 否 收 敛 ？ n n 1 n

1 因 为 an 发 散; n 1 n 1 n
( z 1),
1 1 zn , Sn lim 由于当z 1 时, lim n n 1 z 1 z
所以当z 1 时级数收敛 .
14
复数项级数与实数项级数收敛的关系(定理3)
: 定理3 级 数 n (an ibn ) 收 敛 的充 要 条 件 是
2 2 n 1 n 1
2 2


an an bn ,

bn an bn ,
2
2
因此， an 及 bn 都 收 敛.
n 1 n 1
根据实数项级数的绝对收敛性, 知
a
n 1

n
及 bn 也 都 收 敛 . 从而
n 1


n 1

n
是收敛的 .
21
2 2 说明 由 an bn an bn ,
31
当 z0 0 时，
k 0
1 π 所 以 a n (1 ) cos , n n
1 bn (1 ) sin a n 1 , lim bn 0
n n
π
1 in 所以数列 n (1 )e 收 敛, 且 lim n 1 . n n
11
二、 复数项级数的收敛性及其判别法
第七讲 复变函数的幂级数
我们从导数与积分的角度研究解析函 数均获得成功．于是，我们自然会想从数 学分析中选取别的研究角度如幂级数来讨 论解析函数．实践证明，这种选择是成功 的．
1
1、 复级数
首先介绍复数列和复数项级数收敛 的概念和判别法，以及幂级数的有关概 念和性质。 然后讨论解析函数的泰勒级数和罗 朗级数展开定理及其展开式的求法，它 们是研究解析函数的性质和计算其积分 的重要工具。
同理可证：
lim bn b0 .
n
7
反之, 如果 当 n N , 从而有
lim a n a0 , lim bn b0，那么
n n
a n a0

2
,
bn b0

2
.
n (an ibn ) (a0 ib0 )
(an a0 ) i(bn b0 )
n1
（3）用定理3判断

n 1
n
是否收敛；
n
（4）用收敛性定义，计算 极限 lim S n S .
23
例1 并且
当 | z | 1
时，级数 z
n 0

n
绝对收敛 ，
1 z 1 z k 0
k

例2 判别下列级数的收敛性 n n n i i (1) (2)
an a0 bn b0 ,
所以
lim n .
n
该结论说明: 可将复数列的收敛性转化为判别两 个实数列的收敛性.
8
例1 判别下列数列的收敛性和极限
ni （1） n n1
（2） n
cosn (1 i )n
ni e （3） n
9
例1 判别下列数列的收敛性和极限
知

n
所以
k 1
2 2 ak bk ak bk , k 1 k 1

n
n
, a 与 b 绝 对 收 敛 时
n 1 n n 1 n
. 也绝 对 收 敛
n 1 n

综上可得:
. 绝 对 收 敛 a 与 b 绝 对 收 敛
n 1 n n 1 n n 1 n
2
§1 复数项级数和幂级数
一、复数列的收敛性及其判别法
二、复数项级数的收敛性及其判别法
三、幂级数及其收敛半径
四Δ、幂级数的运算性质
3
一、复数序列的收敛性及其判别法：
复数序列就是：
z1 a1 b1i , z2 a2 b2 i , , zn an bn i ,,
(1.1)
n n
6
n , 那末对于任意给定的 证明：如果 lim n
0, 能找到一个正整数 N , 使得当
(an ibn ) (a0 ib0 ) ,
n N ,
从而有
an a0 (an a0 ) i(bn b0 ) ,
a n a0 . 即 lim n
(2)显然当
， | n | 0 ，因此 n 0
{an }
(3)由于 an cosn , bn 0 ，并且 以该级数发散。
发散，所
10
1 例2 数列 n (1 )e 是否收敛？ n
i
π n
1 in 1 解 因 为 n (1 )e (1 )(cos i sin ), n n n n
n n
所以复数项级数 n收 敛 的 必 要 条 件 是
n 1

lim n 0
n
18
注意：条件 n 0 n 0 n ，该条件只是级数 1 收敛的必要条件，而不是充分的，比如级数 n 1 n 1 尽管通项 0 ，但是它是发散的。

28
二.函数项级数及其一致收敛性
设{ fn ( z )}为区域A上的复变函数列, 则
f
n 1

n
( z ) f1 ( z )
f2 ( z )
fn ( z)
称为复变函数项级数。
级数前n项的和
Sn ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) fn ( z )
N N ( ) 0
n
定理1
lim z n
n
lim | z
n
n
| 0
5
复数列收敛与实数列收敛的关系 定理2 复数序列 zn an bni收敛到 z0 a0 b0 i 的充分必要条件是： lim a n a0 并且 lim bn b0
1 bn 2 收 敛. n 1 n 1 n



所以原级数发散.
17
级数收敛的必要条件 定理4 如果级数 n 收敛，那么当 n 时，
n 1
n 0.
n 1
因为实数项级数 an和 bn收 敛 的 必 要 条 件 是
n 1

lim a n 0 和 lim bn 0 .
n 1
ni
n 1
2
n i n ( 1 ) (3) n2 n 1

24
例1 当 | z | 1 时，级数 z n 绝对收敛 ，并且
1 z 1 z k 0
k
n 0

例2 判别下列级数的收敛性 n n i n i (1) (2)
n 1
n
25
它们通项的绝对值当n→∞时是单调下降，并且 趋于零，故由交错级数的判别法知它们是收敛的， 从而原复数项级数是收敛的。
26
例3 解
(8i )n 级数 是否绝对收敛？ n 1 n!

因为
( 8i ) n 8 n , n! n!
所以由正项级数的比值判别法知:
8n 收 敛, n 1 n!
n 1

如果级数
|
n1

n
| 或 | 1 | | 2 | | n |
收敛，则称级数

n 1

n
绝对收敛。
绝对收敛级数的性质(定理5) 定理5 如果 n 绝对收敛，那么
n 1

n 1

n
收敛。
20
证明 而
由于
n an bn ,
n 1 n 1
a
n 1

n
和 bn 都 收 敛 .
n 1

证明 因为 Sn 1 2 n
(a1 a2 an ) i (b1 b2 bn )
n i n ,
15
根据{ Sn } 极限存在的充要条件 :
即， n 收 敛 的 充 要 条 件 是
an Re zn bn Im zn，该序列 这里 zn 是复常数， 简单记为 { zn } 。根据 {| zn |} 的有界性来定义{ zn } 的 有界性。
4
复数列的极限
定义1 设 一复常数，如果对任意 0，存在
使得当 n N 时，有 | zn | 则称 { zn } 极限是 ，或者 { zn } 收敛且收敛到 ， 记作 lim z n

故原级数收敛, 且为绝对收敛.
27
n ( 1 ) 1 例4 级数 [ n i ] 是否绝对收敛？ n 2 n 1
解
1 ( 1)n 因 为 收 敛; n 也收 敛, n n 1 n 1 2

故原级数收敛.
( 1)n 但由于 为条件 收 敛, n n 1 所以原级数非绝对收敛 .
22



归纳起来，判断复数项级数

n 1

n
1 2 n
收敛性的一般步骤如下： （1）先用定理4， lim n 0 级数 n发散.