chapter3复变函数的幂级数展开
第03章_幂级数展开
第3章 幂级数展开要学习幂级数展开？ 实变函数的幂级数展开： (1) 将实变函数进行泰勒展开，截取幂级数的前面有限项 的和可以作为函数的近似（项数取决于要达到的近似 程度）； (2) 常微分方程可用级数方法求解。 §3.1 复数项级数 §3.2 幂级数 §3.3 泰勒级数展开 §3.4 解析延拓 §3.5 洛朗级数展开 §3.6 孤立奇点的分类
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第3章 幂级数展开
2
§3.1 复数项级数 1. 复数项级数 设有复数项的无穷级数
w =w +w +w + +w +
它的每一项都可分为实部和虚部， wk uk ivk 前n+1项的级数和为 复数项无穷级数的和
其中，w( ) a0 a1 ( z0 ) a2 ( z0 ) 2
幂级数的和在收敛圆的内部是解析函数，在收敛圆内不 可能有奇点。 幂级数在收敛圆内可以逐项求导任意多次。 因为收敛圆的内部是单连通区域，所以幂级数在收敛圆 内又可以逐项积分。 逐项积分或逐项求导不改变收敛半径。P37 习题1. 2.
lim ak z z0
k k
k
数学物理方法
第3章 幂级数展开
k
11
例1：求幂级数 z 的收敛圆
k 0
解： a 1 k
R lim
ak ak 1
k
1 lim 1 k 1
收敛圆：以 z=0为圆心 半径为1 z 1
事实上，本例是几何级数，公比是z，所以 前n+1项的和为：
数学物理方法
第3章 幂级数展开
03复变函数的幂级数展开
数学物理方法
双边幂级数
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
其中
f
k 1
k
( z )一般收敛于
假设对应于点z∈ D，级数收敛于f(z)，即
f ( z) f k ( z)
k 1
那么f(z)称为级数的和函数。
数学物理方法
幂级数的定义
k 0
k a ( z z ) 形如 k 的级数称为以z0为中心的幂级数， 0
常数a0,a1,a2,…an，称为该幂级数的系数。
k 1 m 2m ka z ( 1) z k k 0 m0
1 m 2m (arctanz ) ( 1 ) z 2 1 z m 0
k 0
(1) m 1）当k为奇数时 a2 m1 2m 1
(m 0,1,2...)
2）当k为偶数时 a2m 0 (m 0,1,2...)
如果
如果
| ,称级数 w 是绝对收敛的 | w 是收敛的
| w
n 1 n 1
n 1
n
n
|是发散的，而
w 是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ敛的
n 1 n
n 1
n
称级数
w 是条件收敛的，
n
数学物理方法
复变函数项级数的定义
是区域D中的复变函数,如
设 f k ( z) (k 1,2,3,...) 下表达式
03_幂级数展开
k = n +1
∑ w ( z) < ε
k
n+ p
( p 为任意正整数 为任意正整数)
如果N和 无关 就称复变项级数 无关， 复变项级数(2)在 或 上一致收敛。 如果 和z无关，就称复变项级数 在B(或l)上一致收敛。
在区域B上一致收敛的复变项级数的每一项都是 上的连续 在区域 上一致收敛的复变项级数的每一项都是B上的连续 上一致收敛的复变项级数的每一项都是 函数，则级数的和也是B上的连续函数 上的连续函数。 函数，则级数的和也是 上的连续函数。 上一致收敛的复变项级数的每一项都是l上的连续 在曲线 l上一致收敛的复变项级数的每一项都是 上的连续 上一致收敛的复变项级数的每一项都是 函数，则级数的和也是l上的连续函数 而且级数可以沿l逐项 上的ห้องสมุดไป่ตู้续函数， 函数，则级数的和也是 上的连续函数，而且级数可以沿 逐项 积分。 积分。 如果对于某个区域B(或曲线 上所有的点z，复变项级数(2) 如果对于某个区域 或曲线l)上所有的点 ，复变项级数 或曲线 上所有的点 的各项的模 wk ( z ) ≤ mk ，而正的常数项级数
由此，可得到收敛半径R的另一公式： 由此，可得到收敛半径 的另一公式： 的另一公式
1 R = lim k →∞ k | a | k
幂级数在收敛圆内部不仅绝对而且一致收敛。 幂级数在收敛圆内部不仅绝对而且一致收敛。
的收敛圆， 为复变数 为复变数。 例1：求幂级数 ：求幂级数1+t+t2+⋅⋅⋅ +tk+⋅⋅⋅ 的收敛圆，t为复变数。
a0 + a1 z − z0 + a2 z − z0 + ⋅⋅⋅ + ak z − z0 + ⋅⋅⋅
第三章幂级数展开
函数 f(z)=Ln z 在z=1点的Taylor级数展开 函数 f(z)=(1+z)n 在z=0点的Taylor级数展开
18
解析函数的一个等价命题
函数 f(z)在B内解析的充分必要条件为 f(z)在B内 任一点的邻域内可展成幂级数
19
展成幂级数的几种方法
直接方法
间接方法 函数 f(z)=arctan z 在z=0点的Taylor级数展开 函数 f(z)=sin z 在z=0点的Taylor级数展开 函数 f(z)=1/(1-z)2 在z=0点的Taylor级数展开
时，有 n p
wk (z)
k n1
其中p为任意正数
若与z无关则称 一致收敛
5
性质 连续性 可积性
解析性
级数 wn (z) 在B内一致收敛，且wn(z) n 1
连续，则该级数在B内连续
级数 wn (z) 在C上一致收敛，且wn(z) n 1
在C上连续，则
wn (z)dz wn (z)dz
n
8
举例
求级数 z n 的敛散半径及收敛圆
n 1
9
求级数 (1)n1 z2(n1) 的敛散半径收敛圆 n1
10
内闭一致收敛
幂级数在收敛圆内内闭一致收敛
幂级数的性质
在收敛园内幂级数具有连续性、可积性和解析性
11
可积性
12
第三节 Taylor级数展开
13
Taylor定理
设函数 f(z)以z0为圆心的圆周CR内解析，则对于圆内
n
则
f (z) an (z z0 )n
n
(1) 在B内连续；
(2) 在B内解析，且于B内可逐项可导；
幂级数展开
1
1
2
由于级数在CR1上一致收敛,由一致收敛级数的逐项可积 分性质得:
1 2 i
w ( )
CR1
z
d
1 2 i
a0
CR1
z
d
1 2 i
a1 ( z 0 )
CR1
z
d
1 2 i
a 2 ( z 0 )
k
证明: 取比收敛圆稍稍缩小的圆周CR1, 为其上的任 一点,级数的和记作 (3.2.9)
w ( ) a 0 a1 ( z 0 ) a 2 ( z 0 )
2
取CR1内任一点z, 1 a ( z ) 1 2 (i z 用有界函数 a a z ) 1 w ( ) 1 遍乘上式 i z 2 i z 2 i z 2 2 i z
解： R lim
k
级数在 z 1 绝对收敛
=
例2.求幂级数 1 z 2 z 4 z 6 的收敛圆,z为复变数 解:把 z 记作 t ,则级数为 1 t t 2 t 3 , t面上的
2
收敛半径
R lim
ak a k 1
k
1
则z面上的收敛半径为
其中, W ( z )
k 1
W (z)
wk ( z )
则级数在区域B上(或者曲线L)一致收敛于 W ( z ) W ) W ((zz) 称为和函数
,
注意: 一致收敛的概念是和一定的区域联系在一起
b.一致收敛的充要条件 对于B上(或L)上的点z， ，存在自然数
第三章幂级数展开
第三章 幂级数展开ξ3.1 复数项的级数一．复数的无穷级数可表示为：121kk n k ww w w w ∞==++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∑ （1）其中：k k w u iv =+前n 项和为：11nn k k n k s w w w w w ===++⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∑=11nnkkk k ui v ==+∑∑当n →∞时级数：n s →级数：1kn w∞=∑故111n kkk k k k w u i v ∞∞====+∑∑∑一个复数项级数可分解为实部项级数可虚部项级数两个级数的组合收敛问题是线性讨论级数的一个重要方面，而复数项级数的收敛问题可以归结为两个实数项级数（实部和虚部）的收敛 1. 柯西收敛判据：一个级数还可写为：11kn kk k n ws w∞∞=≠+=+∑∑ （4）其中n s 是钱n 项和1kk n w∞≠∑为余项判据：任何一个小正数ξ>0 若能找到一个N 使得n>N 时1n pkk n wξ+=+<∑则称1kn w∞=∑收敛，其中p 为任意整数 2. 绝对收敛若11kk k w∞∞===∑∑是收敛的，则1kk w∞=∑绝对收敛两个敛的级数相乘后所得的级数耶是绝对收敛的，其和等于相乘级数和的乘积二．复变项级数（复变函数项级数） 1．函数项级数一般表示为：121()()()()kkk w z w z w z w z ∞==++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅∑ （5）函数项级数的收敛问题得涉及到z 的取值域，若z 在B 上取值是（5）收敛，则称1()kk w z ∞=∑在B 上收敛。
B 称为1()kk w z ∞=∑的收敛域函数项级数也可表示为：111()nkkkk k k n w z ww∞∞===+==∑∑∑ （6）2. 函数项级数的收敛 如在B 上，对于个点z任意给0ξ>，若存在N 使得n>N 时有1n pkk n wξ+=+<∑则称级数1()nkk w z =∑在B 上一致收敛3.收敛级数性质（1）在B 上一致收敛的函数项级数的每一项都是B 上的连续函数 （2）在B 上一致收敛的函数项级数的每一项都可积分⇒逐项积分 (3) 若有()k k w z m ≤，而1kk m ∞=∑是收敛的，则()kw z ∑绝对且一致收敛ξ3.2 幂级数最典型也最常见的级数——即级数的各项都是幂函数2001020()()()k k k a z z a a z z a z z ∞=-=+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑ (1) 其中0z 、0a 、1a 、2a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅都是复常数，这一的级数叫做以0z 为中心展开的幂级数 一.级数收敛判别法1. 比值判别法（达朗贝尔判别法）： 若：110100lim lim1k k k kk k kka z z a z z a a z z +++→∞→∞-=-<- （3）则（2）正项级数收敛，亦即级数（1）绝对收敛 2. 根值判别法若：1k < （4）则级数（2）收敛，亦即级数（1）绝对收敛3. 收敛域和收敛半径函数级数的收敛问题（从根本上）具体要涉及的是收敛u 的问题即，z 在什么样的范围内取值级数是收敛的，收敛判别法本身给出了z 的取值范围： 由判别法“1”：01l i m kk k a z z a →∞+-< (5)则 1limkk k a R a →∞+= （6）为级数（1）的收敛半径 只要满足0z z R -< 的所有点其级数（1）都收敛则以0z 为中心R 为半径的区域是（1）的收敛区域，对应圆称（1）的收敛圆。
数学物理方法复变函数第三章幂级数
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法， 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法，适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数 的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为 零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确 的解或近似解。
第三章 幂级数展开
第三章 幂级数展开3-1 3-2 3-3 幂级数一、复数项级数∑∞=1n n w， n n n iv u w +=二、幂级数()∑∞=-10n n n z z a 收敛半径：1/lim +∞→=n n n a a R 三、泰勒级数()()()()n n n z z z f n z f 000!1-=∑∞=3-4 解析延拓一、解析延拓的含意解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。
替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。
二、解析延拓的唯一性无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。
3-5 罗朗级数一、罗朗级数若()z f 在102R Z Z R <-<内单值解析，则对该区域上任一点可展开为()()()()n n n n n n n n n z z a z z a z z a z f 00010-+-=-=∑∑∑∞=--∞=∞-∞= 罗朗级数主要部分 解析部分()()ξξξπd z f i a C n n ⎰+-=110 21二、关于罗朗级的说明● 0z 是级数的奇点，但不一定是()z f 的奇点。
● ()()!/0n z f a n n ≠● 若仅有环心是()z f 的奇点，则内园半径可任意小。
● 罗朗级数具有唯一性。
三、例例1 将()z z f sin =，∞<z ，展开为罗朗级数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-= 753!71!51!31x x x x s i x 解 +-+-=753!71!51!31s i n z z z z z 例2 在∞<<z 1的环域上将函数()()1/12-=z z f 展开为罗朗级数。
()()1111--=-=x x x f 1≠x ()10=f()()21--='x x f ()10='f()()312--=''x x f ()20=''f()()41!3--='''x x f ()!30='''f()()()()11!+--=n n x n x f ()()!0n f n =()∑∞==++++++=-03211/1n n n x x x x x x ()()()∑∞=-=+-++-+-=+0321111/1n n nn n x x x x x x 解 nn z z z z z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-02222211111111 ++++=86421111zz z z例3 在10=z 的邻域上将函数()()1/12-=z z f 展开为罗朗级数。
第三章 幂级数展开
∞ (ξ ) ∫ l ξ z dξ = ∑0 uk ( z ) = ( z ) k=
1 代入上式得： 代入上式得： π i 2
上式表明（z）可表示成边界的线积分，即（z）为单连 ）可表示成边界的线积分， ） 通区G的科西公式 因此， G内的解析函数 的科西公式， 内的解析函数。 通区G的科西公式，因此，为G内的解析函数。 可逐项微商， ② 可逐项微商，即： ( z ) = [∑ uk ( z )] = ∑ uk ( n ) ( z )
(n)
uk (ξ ) n! (z) = ∑ ∫ l (ξ z )n+1 dξ k = 0 2π i
∞
由于u 为 内的解析函数 根据高阶导数的科西公式： 内的解析函数， 由于 k(z)为G内的解析函数，根据高阶导数的科西公式：
n! u (z) = 2π i
( n)
uk (ξ ) ∫ l (ξ z )n+1 dξ
这时复变项级数退化为复数项级数，可以利用上面方法 这时复变项级数退化为复数项级数， 来讨论它的收敛性. 其部分和为： 来讨论它的收敛性 其部分和为：
S n ( z0 )∑ uk ( z0 ) = u0 ( z0 ) + u1 ( z0 ) + + un ( z0 )
n
为唯一确定的极限值， 若lim Sn ( z0 ) = S ( z0 ) ，S(z0)为唯一确定的极限值，则称级数在 为唯一确定的极限值 n→∞ z = z0收敛。 收敛。 对于任意给定的ε ε-δ说法 对于任意给定的ε > 0，存在 = N(ε, z0 )，使得当 δ ，存在N ε ， n ≥ N时，有|Sn(z0) –S(z0)| < ε，则级数收敛 则级数收敛. 时 将上面的z 换成z， 收敛. 将上面的 0换成 ，则称复变项级数 ∑ uk ( z ) 在z收敛 收敛
复变函数的幂级数展开
数学物理方法
双边幂级数
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
其中
f 1 ( z) f 2 ( z) f 3 ( z) ... f k ( z) ...
称为复变函数项级数,记为 为级数的前n项部分和.
f
k 1
k
( z ) ,称 S n ( z )
f
k 1
n
n
( z)
数学物理方法
级数收敛和发散的定义
S n ( z0 ) 存在,则称级数 若对于z0∈ D,极限nlim 在z0处收敛; S n ( z0 )不存在,则称级数 若极限 nlim 处发散.
1 2 1 3 1 4 (1) z z z z ... 2 3 4 k
k 1
z ...
数学物理方法
k
例3.7 将 f(z)=arctan z在z=0处展开成Taylor级数
解：设 arctanz ak z
k 0 k
(arctanz ) kak z k 1
函数 f(z)=cos z 在z=0点的Taylor级数展开
z z (1) z (1) z cos z 1 ... ... 2! 4! (2n)! (2n)! n 0
2 4 n 2n n
2n
数学物理方法
§3.3洛朗级数展开
补充：问题的提出
已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|<R内解析，Taylor定 理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。 问题是：当 f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展 开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。
关于复变函数的幂级数展开与解析延拓
关于复变函数的幂级数展开与解析延拓复变函数是数学中的重要概念，它在研究物理、工程、经济等领域的问题时具有广泛的应用。
其中，幂级数展开和解析延拓是复变函数研究中的两个重要方法和技巧。
本文将从幂级数展开的原理和方法、解析延拓的概念和应用等方面进行详细介绍。
首先，我们来了解幂级数展开。
在复变函数中，如果一个函数在某个点处存在幂级数展开，则该函数在该点附近可用幂级数表达。
具体而言，如果函数f(z)在z=a处存在幂级数展开，则可将其表示为：f(z)=∑(n=0)∞(c_n(z-a)^n)其中，c_n为系数，(z-a)^n为幂函数，n为幂函数的次数。
当幂级数的收敛半径大于0时，幂级数展开是唯一的，我们可以通过计算系数c_n的方式来确定展开后的幂级数形式。
幂级数展开的重要性在于它将复杂的函数问题转化为简单的级数问题，方便我们进行具体的计算和分析。
接下来，我们来了解解析延拓。
解析延拓是指通过已知函数的定义域外一些特殊点上的性质，对函数进行延拓，使其在更大的区域内成为解析函数。
解析函数是指在某个区域内可用幂级数展开并且展开式在整个区域内收敛的函数。
解析延拓的目的是拓宽函数的定义域并使其在更广泛的情况下成为解析函数，从而更好地研究函数的性质和应用。
解析延拓常用的方法有奇点补充法和全纳域逼近法。
奇点补充法是通过找到并补充函数奇点，使函数在整个区域内成为解析函数。
全纳域逼近法是通过选取适当的函数近似，使得在整个区域内拓宽函数的定义域并得到更广泛的解析性质。
这两种方法都需要具体问题的分析和计算来确定适合的延拓方式。
在实际应用中，幂级数展开和解析延拓都具有广泛的应用。
幂级数展开可以用于计算函数的近似值，例如通过截取前几项级数来计算函数的近似值。
而解析延拓则可以用于研究函数的性质和特点，例如通过补充函数的奇点来得到新的解析函数和新的解析性质。
总结起来，复变函数的幂级数展开和解析延拓是研究复变函数的重要方法和技巧。
幂级数展开可以将复杂的函数问题转化为简单的级数问题，方便进行计算和分析。
复变函数的幂级数展开lixh
• 一、重点与难点 • 二、典型例题 • 三、小结
1
一、重点与难点
重点： 重点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数 难点： 难点：函数展开成洛朗级数
2
1.复数列 1.复数列
设 {α n } ( n = 1,2,L) 为一复数列, 其中
α n = an + ibn , 又设 α = a + ib 为一确定的复数 ,
26
∞
三、典型例题
判别级数的敛散性. 例1 判别级数的敛散性 ∞ 1 ( 4) ∑ . n n =1 ( 2 + 3 i ) 1 , 设 αn = 解 n ( 2 + 3i )
αn 1 1 因为 lim = lim < 1, = n →∞ α n →∞ 2 + 3i 13 n +1
(7 ) (1 + z ) = 1 + αz + L+
α
α (α − 1)
2! n!
z +
2
α (α − 1)(α − 2)
3! z n + L,
z3 +
α (α − 1)L(α − n + 1)
( z < 1)
20
6. 洛朗级数
1) 定理 设 f ( z) 在圆环域R1 < z − z0 < R2 内处处解
7
n =1
∑ fn ( z ) = n =1
∞
f1 ( z ) + f 2 ( z ) + L + f n ( z ) + L
∞
sn ( z ) = f 1 ( z ) + f 2 ( z ) + L + f n ( z )
chapter3复变函数的幂级数展开
n0
(1) 它的和函数 f (z) , 即 f (z) cn(z z0 )n
n0
是收敛圆 z a R 内的解析函数 .
(2) f (z) 在收敛圆 z a R 内的导数可将其幂
级数逐项求导得到, 即 f (z) ncn(z z0 )n1.
n1
求导后所得的幂级数收敛半径不变.
1 2πi
K
f
(
( )d
z0 )n1
(z
z0
)n
n0
f
(n) ( z0 n!
)
(
z
z0
)n
推导中用到导 数的柯西公式
f n z n!
2 i
f l z n1d , n 1, 2,
24
将函数展开成泰勒级数
常用方法: 直接法和间接法.
28
例如， 利用间接展开法求 sin z 在 z 0的泰勒展开式.
sin z 1 (eiz eiz ) 2i
1 2i
n0
(iz)n n!
(iz)n n0 n!
(1)n
z 2n1
n0
(2n 1)!
29
2)常见函数的泰勒展开式
1)定理 设 f (z) 在圆环域 R1 z z0 R2 内处处解
析, 那么 f (z) 在 D 内可展开成洛朗级数
f (z) cn(z z0 )n,
数学物理方法
李晓红
西南科技大学理学院
2019/9/1
1
复变函数的幂级数展开
一、幂级数 二、泰勒级数展开 三、洛朗级数展开 四、奇点
第三章 幂级数展开
n d
3.6 孤立奇点的分类
对于解析函数f(z)的孤立奇点z=z0,在挖去奇
点的环域上作Laurent展式:
f z bk z z0 k
k
由展开式的情况,将奇点分为三种类型:
1) 可去奇点
展开式中无负幂次项,性质 lim f z b0
2) m阶极点
z z0
展开式中有有限项负幂次项,其最高的负幂
解: 1) f z 1 1 1
2 z 1 z 3
1
z 1
1 z1
1 z
1n
n0
1 z n1 ,
1 z3
11 31 z
3
1n
n0
zn 3n 1
f z
1 2
n0
1n
1 z n1
1n
n0
zn 3n 1
2) f z
1 2
n0
1n
1 z n1
1n
n0
3n z n1
bk z z0 k , bk
k 0
1
2i C
(
f
z0 ) k 1
d .
在
C r
上
：
z0
z z0 ,
1 z
z0
1
z
z0
1 z z0
1
1 z0
z z0
k 0
z0
z z0
k
k 1
,
1
f d
2i Cr z
1
[
k 0 2 i CR
f
z0 n d ]z z0 n1
z0 ) k 1
k 0
f
n (z0 k!
)
(
z
z0
第3章 幂级数展开
引入记号
R lim
( z z0 ) R
( z z0 ) R
k
若
发散
2、应用根值判别法可知： 若
lim ak ( z z0 ) 1
k k k
绝对收敛
若
lim ak ( z z0 ) 1
k k k
发散
引入记号
R lim
1 ak
绝对收敛 发散
k k
f
k
z0
k!
【例1】在z0=0点邻域，将f(z)=ez展为泰勒级数 【例2】在z0=0点邻域，将f(z)=sinz展为泰勒级数 【例3】在z0=1点邻域，将f(z)=lnz展为泰勒级数
例：在z0=0邻域上将
(k )
f ( z) e
z
展开泰勒级数。
1 dk ez f ( z0 ) 解： ak k ! dz k k!
是唯一的。即若：
f z ak z z0 , f z bk z z0
k k 0 k 0
k
则定有：
ak bk
(证明过程见课本 P39)
有唯一性定理作保障，同一道题目可以使用不同
的展开方法。
泰勒级数的展开方法
1、直接展开法
利用： ak
积分情况
z e | z | k 0 k!
z
k
1 k ∵各项级数 z 均为 | z | 内的连续级数 k! 在 | z | 内任取一分段光滑曲线l，0－z
z 左 e z dz e z |0 e z 1 0
1 z k 1 1 k 1 z 右 z dz z 0 0 k 0 k ! k 0 k ! k 1
第三章-幂级数展开
解： ak = (1)k 实际上对于
R = lim
ak =1 k →∞ a k +1
收敛圆 z < 1
1 1+ z2
z <1
1 z 2 + z 4 + ( 1) k z 2 k + =
4. 幂级数的积分表示
利用柯西公式
在一个比收敛圆 C 内稍小的圆 C’ 中幂级数绝对 一致收敛，故可沿这个圆逐项积分。
#
关键在确定 ak ，但这不是唯一的方法
z 例 (1) f ( z ) = e ,
z0 = 0 能直接求导就求导
0
解： ( z0 ) = e = e = 1 f
(k ) z0
e
z
=
∑
∞
k =0
zk k!
#
1 / k! R = lim = lim k + 1 = ∞ . k → ∞ 1 /( k + 1 )! k→∞
(z0) =(1) sinz0 =0,
k
#
sin z =
∑
∞
k =0
( 1) k z 2 k +1 ; ( 2 k + 1)!
cos z = ∑
k =0
( 1) k z 2 k . ( 2 k )!
R = ∞.
(3)
f ( z ) = ln z ,
z0 = 1
解： z 是多值函数，各分支在支 ln 点 0, ∞ 相连。但 z 0 = 1 不是 支点，在其 z z < 1 的邻域 各分支相互独立。因此，我们 可以只讨论展开的主值。
m / k! k +1 k R = lim = lim =1 k→∞ m k→∞ m k /( k + 1)! k + 1
第3章 幂级数展开解剖
重点内容
1、求幂级数收敛半径的方法 2、复变函数泰勒展开条件与展开方法 3、复变函数洛朗展开条件与展开方法 4、极点阶的确定
§3.1 复数项级数
一、复数项级数定义及其收敛判据
1. 复数项级数定义：
说明：
k
1
2
3
.....
k 1
⑴每一项均为复数
⑵实数项级数是复数项级数的特例
则称级数 k 收敛。 k 1
极限S称为级数的和.
s 1 2 3 ......
反之，称为发散。
（3）实数项级数Cauchy收敛原理
级数 uk 收敛的充分必要条件为： k 1
对于任意给定的正数 ,总存在自然数N 使得当n>N 时， 对于任意的自然数p 都有：
n p
uk 成立。
k n1
⑶一个复数项级数可转化为两个实数项级数来讨论
k uk ivk
k 1
k 1
k 1
2、复数项级数的收敛判据---Cauchy收敛判据
（1）实数项级数的收敛定义
如果实数项级数 uk 的部分和序列 Sn 有极限S，即 k 1
s1 u1 s2 u1 u2
s3 u1 u2 u3 ......
⒈达朗贝尔（d’Alembent） 判别法
对于级数 k 1 2 ...k k1 ... k 1
如果（至少当n充分大时） n1 1, n
则级数 k绝对收敛。反之，发散。 k 1
⒉柯西(Cauchy)判别法
如果（至少当n充分大时）
n n＜1，则级数 k是绝对收敛的，反之，发散。 k 1
⒊高斯（Gauss）判别法
zn
1）
n3
n1
（并讨论z=1的情况）
数学物理方法-复变函数-第三章-幂级数
在复平面上，幂级数的收敛域是由收 敛半径决定的圆环或点集。对于形如 (a_n(z-a)^n)的幂级数，其收敛域可 能是圆环、半圆、点或全平面。
幂级数的可微性
幂级数的导数
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数 ，其导数也是形如(a_n(z-a)^n) 的幂级数。
可微性
如果一个幂级数在某点处可微， 则该点处函数的值可以通过幂级 数的导数来近似计算。
在求解波动方程时，幂级数展开可以提供一种简洁的近似方法，用于分析波动现 象的近似解。这种方法在处理复杂波动问题时特别有效，如非线性波动和多维波 动问题。
在热传导方程中的应用
热传导方程是描述热量传递过程的偏微分方程，广泛应用于 工程和科学领域。通过将热传导方程转化为幂级数形式，可 以方便地求解热量传递问题。
收敛性和应用
分式函数的幂级数展开在x不等于0时 收敛，可以用于计算分式函数的近似 值，尤其在处理分式函数的积分和微 分时非常有用。
04
幂级数展开在物理问题中的 应用
在波动方程中的应用
波动方程是描述波动现象的基本方程，如声波、光波和水波等。通过将波动方程 转化为幂级数形式，可以方便地求解波动问题，得到波的传播规律和性质。
幂级数展开在处理复杂电磁场问题时特别有用，如非均匀 介质中的电磁波传播和多维电磁场问题。这种方法能够提 供近似解，帮助我们更好地理解电磁场的规律和性质。
05
幂级数展开的进一步研究
幂级数展开的误差分析
01
02
03
误差来源
主要来源于截断误差和舍 入误差。
误差估计
通过泰勒级数展开，可以 估计幂级数展开的误差大 小。
幂级数的可积性
幂级数的积分
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数，其积分也是形如(a_n(z-a)^n)的幂级数。
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1
dz
z
z ndz
z n1
zn
x
注意 在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出 一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.
11
4)收敛半径的求法 方法1: 比值法
cn(z a)n c0 c1(z a) c2(z a)2
n0
如果 lim cn1 0,那么收敛半径 R 1 .
n cn
方法2: 根值法
如果 lim n n
n0
是收敛圆 z a R 内的解析函数 .
(2) f (z) 在收敛圆 z a R 内的导数可将其幂
级数逐项求导得到, 即 f (z) ncn(z z0 )n1.
n1
求导后所得的幂级数收敛半径不变.
17
(3) f (z) 在收敛圆内可以逐项积分, 即
f (z)dz cn (z a)ndz, c z a R.
数学物理方法
李晓红
西南科技大学理学院
2020/8/18
1
复变函数的幂级数展开
一、幂级数 二、泰勒级数展开 三、洛朗级数展开 四、奇点
2
1.复数列
设 {n } (n 1,2,) 为一复数列, 其中 n an ibn , 又设 a ib 为一确定的复数, 如果任意给定 0, 相应地都能找到一个正数
c
n0 c
或
z
f ( )d
cn (z a)n1.
a
n0 n 1
积分后所得的幂级数收敛半径不变.
18
例
f (z) zn n0
收敛半径 z 1
zn 1 z z2 zn
n0
lim 1 z n1 1 , n 1 z 1 z
最常用的级数！
1
1 z z2 zn zn,
1 z
n0
cn
0,
那么收敛半径
R 1.
1 , 0 ;
即
R
,
0;
0, .
12
例1 求下列幂级数的收敛半径
(1)
zn n2
n0
(2) zn n0 n!
(3) n!zn
n0
(4) zk2 .
k 1
解
(1)
由lim n
cn1 cn
lim
n
n2 (n 1)2
1,
得
R 1.
(2) 由lim cn1 lim n! 0, 得 R . n cn n (n 1)!
19
1
1 z z2 zn zn,
1 z
n0
1
(1 z)2
( 1 ) 1 z
(z n )
n0
nz n1 ,
n0
收敛半径 z 1 收敛半径 z 1
1
(1 z)3
21
(
(1
1 z
)
2
)
21
n0
(nz
n
)
21
n0
n(n
1)z n2 ,
收敛半径
z
1
…
ln(1z) z
n收敛
n1
lim
n
n
0
5
3)复级数的绝对收敛与条件收敛
如果 n 收敛, 则称级数 n为绝对收敛.
n1
n1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
复级数 : n an i bn
n1
n1
n1
绝对收敛
n
an与
bn绝对收敛
n1
n1
n1
6
3.复变函数项级数
设 { fn(z)} (n 1,2,) 为一复变函数序列,
其中各项在区域 D内有定义.表达式
fn(z) f1(z) f2(z) fn(z)
n1
称为复变函数项级数, 记作 fn(z).
n1
级数最前面 n 项的和
sn(z) f1(z) f2(z) fn(z)
称为这级数的部分和.
7
4. 幂级数
1) 在复变函数项级数中, 形如
cn(z a)n c0 c1(z a) c2(z a)2
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
R min( r1, r2 )
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
n0
zR
15
(2)幂级数的代换(复合)运算
称为级数的部分和.
4
2) 复级数的收敛与发散
如果部分和数列{sn } 收敛, 那么级数 n收敛, n1
并且极限
lim
n
sn
s
称为级数的和.
如果部分和数列{sn } 不收敛, 那么级数 n发散.
n1
复级数 : n an i bn
n1
n1
n1
充要条件Βιβλιοθήκη 收敛nan与
bn都收敛
n1
n1
n1
必要条件
(3) 由lim cn1 lim (n 1)! , 得 R 0.
n cn
n n!
13
(4)
zk2
k 1
因为级数是缺项级数,
故
1 R
lim n
n
Cn
1,
即Cn
0, 1,
R 1.
n k2; n k2.
14
5)幂级数的运算与性质
(1)设 f (z) anzn , R r1, g(z) bnzn , R r2 .
9
3)收敛圆与收敛半径 对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种: (1) 对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处 处收敛.
(2) 对所有的正实数除z 0 外都发散.
此时, 级数在复平面内除原点外处处发散. (3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收 敛的正实数.
10
y
o
R.
.
收敛圆 收敛半径
n0
cn(z a)n
的级数称为幂级数.
当 a 0 时,
cnzn c0 c1z c2z2 cnzn .
n1
8
2)收敛定理 ----阿贝尔Abel定理
如果级数 cnzn在 z z0( 0) 收敛, 那么对
n0
满足 z z0 的 z, 级数必绝对收敛, 如果在z z0 级数发散, 那么对满足 z z0 的 z, 级数必发散.
N( ), 使 n 在 n N 时成立,
则 称为复数列{n }当 n 时的极限,
记作
lim
n
n
.
此时也称复数列{n } 收敛于 .
3
2.复数项级数
1) 定义 设{n } {an ibn } (n 1,2,)为一复数列,
表达式
n 1 2 n
n1
称为复数项无穷级数.
部分和 其最前面 n 项的和 sn 1 2 n
如果当 z r 时, f (z) anzn, 又设在
n0
z R 内 g(z) 解析且满足 g(z) r, 那么当 z R
时, f [g(z)] an[g(z)]n.
n0
16
复变幂级数在收敛圆内的解析性
设幂级数 cn(z z0 )n 的收敛半径 为 R, 那么
n0
(1) 它的和函数 f (z) , 即 f (z) cn(z z0 )n