复变函数07-复数级数和幂级数
复数项级数
n(en
2
en )
当 n 时, zn , 所以数列发散.
2、复数项级数的概念
1)定义 设{zn} {xn iyn} (n 1, 2,L )为一复数列,
表达式
zn z1 z2 zn
n1
称为复数项无穷级数.
2）部分和 其最前面 n 项的和 sn z1 z2 zn
记作
lim
n
zn
z0
或 zn z0 (n ) .
若数列{zn }不收敛，则称{zn }发散.
2)复数列收敛的条件
定理 复数列{zn} (n 1,2, )收敛于z0 的充要条件是
lim
n
xn
x0 ,
lim
n
yn
y0 .
该定理说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性.
例1 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
(1
1
)e
i
n
n
;
(2) zn ncos in .
解
(1) 因为
zn
(1
1
)e
i
s n
n
i sin
), n
所以
xn
(1
1 )cos n
π n
,
yn
(1
1 )sin
nn
.
而
lim
n
xn
1
,
lim
n
yn
0.
数列收敛,
且
lim
n
zn
1
.
(2)
由于
zn
n cos in
lim 8 0 n n 1
复变函数-级数
n=1
sn ( z ) = ∑ fk ( z ) —部分和函数
n
若 z 0 ∈ D , 有 lim sn ( z 0 ) = s ( z 0 ) ,
n→ ∞
k =1
收敛
称 ∑ f n ( z )在 z 0 点 收 敛 ， 且 ∑ f n ( z 0 ) = s ( z 0 )
∞ ∞ k
( −1) nπ 1 ∑ ln n sin 2 = ∑ ln ( 2k + 1) 条件收敛 n =2 k =1
∞ ∞ k
∴ 原级数条件收敛 .
第二节 幂级数
第 二 节 幂 级 数
1. 幂级数的概念
1) 函数项级 数： 设 { fn ( z )}
∞
( n = 1, 2 ,L) 为一复变函
数序列， z ∈ D
n n= 0
∞
∞
z < 1 q = z0
n= 0
2o 反证法
第 二 节 幂 级 数
综上得结论：幂级数 ( 2 ) 的收敛情况有三种
(1) 在复平面上处处收敛,
( 2 ) 只在z = 0收敛,
( 3) ∃R > 0 , 在圆C R：z
而 z = R上不定,
R = +∞
R=0
z = R内绝对收敛， > R 内发散，
n
( 2 ) ∑ ( cos in ) z n
n=0
c n +1 解： lim Q = lim n→∞ c n→∞ n
e n +1 + e − n −1 ) (
复变函数与积分变换幂级数
contents
目录
• 复数与复变函数 • 积分变换 • 幂级数 • 复变函数与积分变换的关系 • 复变函数与积分变换在物理中的应用
01 复数与复变函数
复数的定义与性质
总结词
复数是实数域的扩展，由实部和虚部组成。它具有加法、减法、乘法和除法的运算性质，以及共轭、 模等特殊性质。
详细描述
复数是由实部和虚部组成的数，表示为 $z = a + bi$，其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。复数具有加法、减法、乘法和除法的运算性质，以及共轭、模等特殊性质。
复变函数的定义与性质
总结词
复变函数是定义在复数域上的函数，它 具有连续性、可微性、可积性等性质。
拉普拉斯变换与复变函数的关系
拉普拉斯变换是复变函数中的另一种特殊形式，它可以将时域中的函数转换为复数域中的函数，从而 将时域中的问题转化为复数域中的问题。
拉普拉斯变换在控制系统、电路分析、信号处理等领域有着广泛的应用，是现代科学和工程中非常重 要的工具之一。
幂级数与积分变换的关系
幂级数是复变函数的一种表示方法， 它可以表示复数域中的任意函数。
04 复变函数与积分变换的关 系
傅里叶变换与复变函数的关系
傅里叶变换是复变函数中的一种特殊 形式，它将实数域中的函数转换为复 数域中的函数，从而将实数域中的问 题转化为复数域中的问题，以便更好 地解决。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、 控制系统等领域有着广泛的应用，是 现代科学和工程中非常重要的工具之 一。
线性性质、位移性质、微分性质、积分性质等。
积分变换的应用
在信号处理中的应用
通过傅里叶变换将信号分解为不同频率的成分， 便于分析和处理。
复数项级数与幂级数
那末级数 � 发散.
=1
说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散
性的基本方法是: 利用极限 lim sn = s .
n→ ∞
8
3.复数项级数收敛的条件
∞
∞
（1）※定理2 级数 � = � ( + ) 收敛的
∞
证
=
=
∞
充要条件 � 和 � 都收敛.
n =1
19
级数最前面n项的和
sn ( z ) = f 1 ( z ) + f 2 ( z ) + + f n ( z )
称为这级数的部分和.
和函数
如果对于 D 内的某一点 z0 , 极限 lim sn ( z0 ) = s( z0 )
n→∞
∞
存在, 那末称级数 ∑ f n ( z ) 在 z0 收敛 , s( z0 )称为
=
称为复数项无穷级数.
部分和 其最前面 n 项的和
= + + ⋯ + 称为级数的部分和.
7
2. 收敛与发散
∞
如果部分和数列 { sn } 收敛 , 那末级数 � 收敛,
并且极限 lim sn = s 称为级数的和 .
n→ ∞
=1
如果部分和数列 { sn } 不收敛 ,
规定 ∞ = +∞
5
※例2 证明：
已知
lim =
→∞
, <
,
<
∞ , >
lim
∞,
> →∞ =
, =
,
=
不存在， = −
复变函数的级数
收敛，则当 z z0 z1 z0 时绝对收敛；
n
cn (z z0 )n cn (z1 z0 )n
z z0 z1 z0
n
M z z0 z1 z0
• z1 z0•
z•
因为
z z0 1, z1 z0
n
所以
M z z0 z1 z0
收敛。
cn (z z0 )n 收敛。
n0
cn (z z0 )n 绝对收敛。
n0
如果级数 cn (z z0 )n 在 z z2
n0
则当 z z0 z2 z0 时发散。
处发散，
• z3
利用反证法可以说明：
如 果 在 z3 收 敛 ， 则 在 z2 收敛，矛盾。
z0• •z2
幂级数存在收敛半径 R
R
(1) R 0 时幂级数只在 z z0 点收敛
a
ba
b a
当 z a 1 即 z a ba 时
ba
1
zb
1 ba
n0
z b
a a
n
n0
(b
1 a)n1
(z
a)n
2. 幂级数的性质
定理３.9 级数 an zn 和 bn zn 的收
n0
n0
敛半径分别为 R1 和 R2 则在
z min{R1, R2}
内：
(1) an zn bn zn (an bn )zn
2
n
n0 n!
z 2n
n0 (2n)!
z
2 n 1
n0 (2n 1)!
都收敛
3.2 幂级数
1. 幂级数的概念
cn (z z0 )n c0 c1(z时
cn zn c0 c1z cn zn
复变函数复习资料
THANKS
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06
复变函数的积分方程与 微分方程
积分方程的概念与解法
概念
复变函数积分方程是描述函数在某个路 径上的积分值的等式。
VS
解法
通过适当的变换和代数运算，将积分方程 转化为更易于解决的形式，如转化为微分 方程或代数方程。
微分方程的概念与解法
要点一
概念
复变函数微分方程是描述函数及其导数之间关系的等式。
解析函数的积分表
示
解析函数在复平面上的积分可以 用实部和虚部来表示，也可以用 极坐标形式表示。
柯西积分公式
01
柯西积分公式是复变函数中一个重要的公式，它可 以用来计算复变函数沿着曲线的积分。
02
柯西积分公式由三个部分组成：被积函数、被积函 数的导数和被积函数的二阶导数。
03
柯西积分公式的应用范围很广，可以用于解决很多 复变函数的问题。
三角形式
复数可以表示为三角形式 r(cosθ + i sinθ)，其中 r 是模长，θ 是辐角。
三角函数的定义
cosθ = x/r, sinθ = y/r，其中 x 和 y 是复数的实部和虚部。
复变函数的概念
定义域
函数自变量 x 的取值范围。
可微性
函数在定义域内每一点都可微分。
值域
函数因变量 y 的取值范围。
要点二
解法
通过求解微分方程，可以得到函数的表达式或找到函数的 特定性质。
解析函数的应用
解析函数的定义
如果一个复变函数在某个区域内的导数存在 且连续，则称该函数在该区域内解析。
应用
解析函数在复变函数理论中具有重要地位， 它们具有许多良好的性质，如柯西定理、泰 勒级数展开等。这些性质在解决各种数学问 题中具有广泛的应用，如求解积分方程、微 分方程等。
复变函数复习资料
(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. ①两个复数相等，当且仅当它们的实部与虚部分别相等。
②一个复数等于零，当且仅当它的实部与虚部同时等于零。
③称复数x+iy 和x-iy 互为共轭复数。
2.复数的表示1）模：22zx y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于[)π2,0中的幅角。
（()Arg z 有无穷个值，()arg z 是复数z 的辐角的主值 ()Arg z =()arg z +2k π 3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：)sin (cos z θθi r +=，其中)(r z g A =θ；注：中间一定是“+”号。
（r=|z|）5）指数表示：θi re =z ，其中)(r z g A =θ。
(二) 复数的运算 1.加减法：若1112,z x iy z x=+=+，则()()121212z z x x i yy±=±+±··2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
复数项级数
n0
f
(n) (z0 ) n!
(z
z0 )n
,
且展开式是唯一的。
(| z z0 | R)
上式称为f (z)在z0 的泰勒展开式 。
三、解析函数的泰勒展开式
（二）泰勒级数
幂级数
n0
f
(n) (z0 ) n!
(z
z0 )n
称为
f (z)在z0的 泰勒级数。
当 z0 0时, f (z)在z0 处的泰勒展开式为
f (z) f (0) f (0) z f (0) z 2 f (n) (0) z n
1!
2!
n!
f (n) (0) z n ,
(| z | R)
n0 n!
上式称为f (z)的麦克劳林展开式 。
幂级数
f (n) (0) zn 称为 f (z)的麦 克 劳 林 级 数 。
n0 n!
（三）将函数展开为幂级数
cn n
1
z n1
.
三、解析函数的泰勒展开式
（一）泰勒定理
设 f (z)在以z0为圆心, R为半径的圆| z z0 | R 内解析, 则在此圆内, f (z)可以展开成幂级数
f (z)
f (z0 )
f
(z0 1!
)
(
z
z0
)
f
(z0 2!
)
(z
z0
)2
f
(n) (z0 ) n!
(z
z0 )n
n0
称为幂级数。
当a 0 时幂级数的形式是:
cn z n c0 c1z c2z 2 cn z n
n0
例1
求等比级数 zn 1 z z2 zn
复变函数之幂级数
a z3 r3
x
+∞
+∞
∑ ∑ 定理4(P76)若J = an xn 的收敛半径为= R, 令I an(z − a)n,则
n=0
n=0
(3)若R = 0, 则I 在全平面内除z = a 外处处发散.
(3)的证明用反证法.证明过程与(1)(ii) 的证明过程类似.
若R = 0，假设存在一点z4 ≠ a, 使得I在点 z4 收敛.
第四章 解析函数的级数表示
级数是研究解析函数的又一重要工具， 两种：1. 幂级数 2. 洛朗级数
4.1 幂级数
定义
设有复数列{zn
=
xn
+
i
yn , n
=
1, 2,},其中xn ,
yn
∈
,
+∞
称 ∑ zk = z1 + z2 + z3 + + zk + 为复数项无穷级数. k =1
n
∑ (1)若{zn}部分和复数列Sn = zk = z1 + z2 + + zn , n = 1, 2,有极限 k =1
⇒
ak
=
f
(
k)( k!
a
)
,
k ≥ 0.
定理5(P 78)
2)在收敛圆内曲线C上,可以逐项积分：
2n
是否绝对收敛？
∑ ∑ ∑ +∞ (−1)n +∞ 1
解.因为
=
+∞ (−1)n
发散，故
不是绝对收敛.
n=1 n n=1 n
n=1 n
∑ 从而由定理2(P75)知
+∞ (−1)n
复变函数的级数
第四章复变函数的级数本章介绍复变函数级数的概念,重点是Taylor级数及其展开，解析函数零点的孤立性及唯一性定理.§4.1复数项级数1 复数列的极限2 复数项级数4.1.2 复数项级数!!++++=∑∞=n n n αααα211为复数项级数.称nnk k n S αααα+++==∑=!211为该级数的前n 项部分和.设是复数列, 则称{}{}n n n a ib α=+级数收敛与发散的概念定义4.2如果级数!!++++=∑∞=n n n αααα211的部分和数列收敛于复数S , 则称级数收敛, {}n S 这时称S 为级数的和, 并记做1.nn S α∞==∑如果不收敛，则称级数发散.{}n S复数项级数与实数项级数收敛的关系定理4.2 级数收敛的充要11()n n n n n a ib α∞∞===+∑∑条件是都收敛, 并且11, n n n n a b ∞∞==∑∑111.nn n n n n a i b α∞∞∞====+∑∑∑证明由及定理4.1, 易证.11,nnn k k k k S a i b ===+∑∑说明复数项级数的收敛问题!两个实数项级数的收敛问题级数收敛的必要条件lim 0.n n α→∞=推论4.1如果级数收敛, 则1n n α∞=∑证明由定理4.2及实数项级数收敛的必要条件知, lim 0, lim 0n n n n a b →∞→∞==lim 0.n n α→∞=重要结论:发散.1lim 0n n n n αα∞→∞=≠⇒∑于是在判别级数的敛散性时, 可先考察lim 0.n n α→∞=?为复变函数项级数.121()()()()nn n fz f z f z f z ∞==++++∑L L)()()()(21z f z f z f z S n n +++=!为该级数前n 项的部分和.设是定义在区域D 上的复变函数列, {}()n f z 称4.1.3 函数项级数的概念!!++++=)()()()(21z f z f z f z S n 称为该级数在区域D 上的和函数.如果对级数收敛, 即0,z D ∈01()n n f z ∞=∑00lim ()(),n n S z S z →∞=则称级数在点收敛, 且是级数和.1()n n f z ∞=∑0z 0()S z 如果级数在D 内处处收敛, 则称其在1()n n f z ∞=∑区域D 内收敛. 此时级数的和是函数和定理4.6(优级数判别法)121()(1,2,),.|()|,(1,2,)()n n n n n n f z n E a a a E f z a n f z E ∞==++++≤=∑L L L L 设在点集上有定义且是一收敛的正项级数 设在上 那么复函数级数在上一致收敛.12(1)n a a a ++++L L 级数称为优级数;注：(2) 优级数判定的一致收敛级数是绝对一致收敛.1,.()(),{()}()(),()()n n n n E f z E f z f z ES z f z S z f z E ∞=∑ 设表示区域闭区域或简单曲线 设在上连续，复函数级数或复序列在上一致收敛于或那么或在上连续.定理4.71()(1,2,)(),{()}()(),n n n n f z n C f z f z C S z f z ∞==∑L 设在简单曲线上连续，并且复函数级数或复序列在上一致收敛于或那么定理4.81()(),lim ()().n CCn n CCn f z dz S z dz f z dz f z dz +∞=→∞==∑∫∫∫∫ 或11()(1,2,).(),{()},(),{()}.n n n n n n n f z n D f z f z D f z f z D ∞=∞==∑∑L 设定义于区域内 若复函数级数或复序列在内任一有界闭集上一致收敛则称复函数级数或复序列在内内闭一致收敛定义4.5注,D D 在内弱内闭于在内一致收敛一致收敛11()(()),()(()),.n n n n n n f z f z D f z f z D ∞∞==∑∑即若或在内一致收敛则或在内内闭一致收敛反之不真如1||1n n z z ∞=<∑不在内,但一致收敛内闭一致收敛.1()(1,2,)(),{()}()(),()(),1,2,n n n n f z n D f z f z D S z f z S z f z D D k ∞===∑L L设定义于区域内解析，且复函数级数或复序列在内内闭一致收敛于或那么或在内解析且在内对定理4.9()()1()()()(),()lim ().k k n n k k n n S z f z fz f z +∞=→∞==∑ 或§4.2 幂级数1 幂级数的概念2 幂级数的敛散性3 幂级数的性质设是定义在区域D 上的复变函数列, {}()n f z 4.2.1 幂级数的概念2010200()()()nnn c z z c c z z c z z ∞=−=+−+−+∑当或时,110()()n n n f z c z z −−=−11()n n n f z c z−−=函数项级数的形式为0(),nn c z z ++−+L L 1()nn fz ∞=∑对复变函数级数20121,nnn n n c zc c z c z c z ∞==+++++∑L L 这类函数项级数称为幂级数.或的特殊情形00z =收敛圆与收敛半径(1) 对所有的正实数都收敛.级数在复平面内绝对收敛.(2) 对所有的正实数都发散.级数在复平面内除原点外处处发散.(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收敛的正实数.设时, 级数收敛;时, 级数发散. 如图:z α=z β=由Abel 定理, 幂级数收敛情况有三种:0nn n c z ∞=∑幂级数()nnn c z z ∞=−∑的收敛范围是因此，事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?以为中心的圆域.0z z =收敛半径根据前面所述的三种情形, 分别, 0, .R +∞规定为论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.作业8第174页，第四章习题（一）：1; 2; 3; 4;习题（二）：1；2.。
复数项级数
f (z)dz
n0
z 0
cn z ndz
n0
cn n
1
z n1
.
三、解析函数的泰勒展开式
（一）泰勒定理
设 f (z)在以z0为圆心, R为半径的圆| z z0 | R 内解析, 则在此圆内, f (z)可以展开成幂级数
f (z)
f (z0 )
f
(z0 1!
)
(
z
23
n1
sin z z 1 z 3 1 z5 (1)n z 2n1 (| z | ) .
3! 5!
(2n 1)!
cos z 1 1 z 2 1 z4 (1)n z 2n (| z | ) .
2! 4!
(2n)!
（三）将函数展开为幂级数
(| z | R)
n0 n!
上式称为f (z)的麦克劳林展开式 。
幂级数
f (n) (0) zn 称为 f (z)的麦 克 劳 林 级 数 。
n0 n!
（三）将函数展开为幂级数
几个常用的初等函数的幂级数
ez 1 z 1 z2 1 zn (| z | ) .
c n n
(2)
如果
lim
n
n
|
cn
|
,
则 收 敛 半 径R
1;
例2 求下列幂级数的收敛半径
(1)
zn ;
(2)
1 zn ;
(3)
n!zn .
n0
n0 n!
n0
例3
考察幂级数
复变函数07-复数级数和幂级数
绝对收敛和条件收敛
如果 n 收敛，则称级数
n 1
n 1
n
为绝对收敛；
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数。
2 由 an bn2 an bn 可知：
k 1
n
a b
2 k 2 k
a
k 1
n
k
bk
k 1
n
an 和 所以，如果实数级数 n 1 复数项级数 n 也绝对收敛。
为复变函数项级数，并记为：
f (z )
n 1 n
级数最前面n项的和： sn (z ) f1(z ) f2 (z )
fn (z )
称为这级数的部分和。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 18
复变函数项级数的和函数
如果对于D内的某一点z0，极限：
1 i 例：判断级数 (1 ) 的敛散性。 n n 1 n
解：根据定理2，可以分别考察级数的实部和虚 部的敛散性， 1 实部 为调和级数，是发散的； n 1 n 1 虚部 2 是收敛的； n 1 n 根据定理2可知，原级数发散。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 12
2018年11月27日星期二
《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 25
例：求幂级数
zn , p Z 的收敛半径。 p n 1 n
1 解：因为 cn p n
cn 1 n p 1 lim lim( ) lim 1 1 p n c n n 1 n n (1 ) n 1 R 1
2019年10月7日星期一积分变换与复变函数柯西积分定理柯西积分定理原函数与不定积分复合闭路定理柯西积分公式柯西积分公式高阶导数公式2019年10月7日星期一积分变换与复变函数复数项级数复数项级数的定义敛散性判别幂级数函数项级数幂级数幂级数的收敛圆和收敛半径2019年10月7日星期一积分变换与复变函数又假设aib为一个确定的复数如果任意给定0都能相应地找到一个正数n使得下式在nn时成立
复变函数与积分变换之级数
程 大
1) 对所有的正实数都是收敛的. 这时, 根据阿贝
学
尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.
复 变
2) 对所有的正实数除z=0外都是发散的. 这时,
函
数 与
级数在复平面内除原点外处处发散.
积 分 变
3) 既存在使级数收敛的正实数, 也存在使级数
换 发散的正实数. 设z=a(正实数)时, 级数收敛, z=b
积
n 1
n 1
n 1
分
变 换
推论. 如果 | n | 收敛，那么 n也是收敛的。
n 1
n 1
例2. 判断下列级数的敛散性
哈 尔
(1).
n 1
1 n
(1)
n
i n
，
滨
工 程 大 学
(3).
n 1
cos in， 2n
(2).
(3 4i)n，
n1 n!
(4).
in
n1 n
复 变 函
解：(1).
n0
n0
n0
与
积
如果级数 cn z0n发散,且 | z || z0 |,(用反证法),假设 cn zn收敛，
分
n0
n0
变
换
则根据之前结论可导出 cn z0n收敛,与题设矛盾. 因此 cn zn发散
n0
n0
2. 收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理, 可以定
哈 出幂级数的收敛范围,
尔
滨 工
对一个幂级数来说, 它的收敛情况不外乎三种:
第四章 级数
哈
尔
滨 工
学习要点
程
大
学
复数项级数和复变函数项级数的概念和
复变函数 知识点
复变函数知识点一、复数的基本概念。
1. 复数的定义。
- 设x,y∈ R，称z = x+iy为复数，其中i为虚数单位，满足i^2=- 1。
x称为复数z的实部，记作x = Re(z)；y称为复数z的虚部，记作y = Im(z)。
2. 复数的相等。
- 两个复数z_1=x_1+iy_1和z_2=x_2+iy_2相等，当且仅当x_1=x_2且y_1=y_2。
3. 复数的共轭。
- 对于复数z = x + iy，其共轭复数¯z=x-iy。
共轭复数具有性质：z¯z=x^2+y^2，Re(z)=frac{z + ¯z}{2}，Im(z)=frac{z-¯z}{2i}等。
二、复数的四则运算。
1. 加法与减法。
- 设z_1=x_1+iy_1，z_2=x_2+iy_2，则z_1± z_2=(x_1± x_2)+i(y_1± y_2)。
2. 乘法。
- z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1)。
3. 除法。
- frac{z_1}{z_2}=frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+ifrac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}（z_2≠0）。
三、复数的几何表示。
1. 复平面。
- 复数z = x+iy可以用复平面上的点(x,y)来表示，其中x轴称为实轴，y轴称为虚轴。
2. 复数的模与辐角。
- 复数z = x + iy的模| z|=√(x^2)+y^{2}，它表示复数z在复平面上对应的点到原点的距离。
- 复数z≠0的辐角θ满足z=| z|(cosθ + isinθ)，辐角不唯一，Arg(z)=θ + 2kπ，k∈ Z，其中θ∈(-π,π]称为z的主辐角，记作θ = arg(z)。
复变函数幂级数
(比定值理法2 )若
lim
n
cn1 cn
，则 R 1/
0
0 0
定理3 (根值法)
若 lim n n
cn
，则
1 /
R 0
0 0
例1 求幂级数 zn 1 z z2 zn n0
z
n
收
敛,
n
且和
函数
为 1
1
z
当 z 1时;
n0 发散 当 z 1时.
例2 求下列幂级数的收敛半径
zn
(1) n1 n2 ;
zn
(z 1)n
(2) n1 n！;
(3)
n1
; n
(4) z2n;
(5) (cos in)zn;
n
an和
bn都收敛。
n1
n1
n1
证明 sn
n
k
n
(ak ibk )
n
n
ak i
bk n i n
k 1
k 1
k 1
k 1
由定理１，lim n
sn
a
ib
lim
n
n
a
,
lim
n
n
b
an和 bn都收敛。
记作
lim
n
n
,或当n
时， n
,
此时，也称复数列{ n }收敛于 .
定理1
lim
复变函数级数
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返回 -21-
n 定义： 对于幂级数 c n z 0 ,若 存 在 实 数 R 0 , z R 时 , n n c z 收 敛 , 则 称 z R为 z R时, cn z 发 散 ， n n0 n0 n c z n 的 收 敛 圆, R 称 为 收 敛 半 径. n 0
n n 1 n
发散
n 1 n
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1 i 例2. 级数 2 (1 ) 是否收敛？ n n 1 n 1 解: 因为 an 2 收敛 ; n 1 n 1 n 1 bn 3 收敛 . n 1 n 1 n
例1. 求幂级数 z 1 z z z
n 2 n n0
的收敛范围与和函数.
解: 级数的部分和为
sn 1 z z 2 z n 1
1 zn , ( z 1) 1 z
n z 级数 收敛, n 0
z 1 z 1
1 1 z , s n lim 由 于 当 z 1 时 , lim n n 1 z 1 z
所 以 当 z 1 时 级 数 收 敛.
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2) 复数项级数收敛的条件
定理2 设 n=an+ibn (n=1,2,…), an 及 bn 为实数,则
工程数学---------复变函数
1 lim s n n 1 z
lim z 0
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柯西积分定理
柯西积分定理 原函数与不定积分 复合闭路定理
柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
2018年11月27日星期二
《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 1
本次课讲述的内容
复数项级数
复数项级数的定义 敛散性判别
幂级数
函数项级数 幂级数 幂级数的收敛圆和收敛半径
sn n i n
{ n } 和 { n } 根据{sn}极限存在的充要条件，可知 的极限都存在，因此级数 a n 和 bn 都收敛。
n 1 n 1
定理2说明，复数项级数的敛散性问题可以用实 数项级数的敛散性判定方法来判定。
2018年11月27日星期二
《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 11
级数的概念
定义：设 {n } {an ibn } (n 1,2, ) 为一复数列， 则称如下表达式
n 1
n
1 2
n
为复数项无穷级数。
部分和：无穷级数最前面n项的和：
sn
n
k 1
k
1 2
n
称为级数的部分和。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 7
1z
1 zn 1 lim sn lim n n 1 z 1z
极限存在，因此当|z|<1时级数收敛。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 9
复数项级数收敛的充要条件
a n 和 bn 都收敛。 实数项级数 n 1 n 1
n (an 定理2：级数 n 1 n 1
ibn )
收敛的充要条件是：
证明：因为级数的部分和
s n 1 2 (a1 a 2 n i n
n an ) i (b1 b2 bn )
2018年11月27日星期二
《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 10
复数项级数收敛的充要条件
2018年11月27日星期二
《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 2
复数列的极限
定义：设{αn}(n=1,2,…)为一复数列，其中αn=an +ibn ，又假设α=a+ib为一个确定的复数，如果任意给 定ε>0，都能相应地找到一个正数N(ε)，使得下式在 n>N时成立： n 那么称α为复数列{αn}(n=1,2,…)在n→∞时的极限， 并记为： lim n
n
也称复数列{αn}收敛于α。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 3
复数列收敛的条件
是： 定理1：复数列{αn}(n=1,2,…)收敛于α的充要条件
n
lim an a,
n
lim bn b
证明：根据复数列收敛的定义可知，如果，
n
lim n
复数列收敛的条件
从而： n (a n ibn ) (a ib)
(a n a ) i (bn b) an a bn b
根据复数列：可将复数列的敛散性转化为判别两个 实数列的敛散性。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 6
复数项级数收敛的必要条件
n (an 定理3：级数 n 1 n 1
ibn )
收敛的必要条件是：
n
lim n 0
证明：可以利用实数项级数的相应性质来证明。 该定理说明，
n
lim n 0
n 1
n
发散。
2018年11月27日星期二
《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 13
n
lim bn b 同理可以证明： n lim an a 、 lim bn b ，根据实数列 反之，如果 n n 极限的定义可知，当n>N时，有以下两式成立：
an a
2018年11月27日星期二
2
, bn b
2《 积分变换与复变函数》
第7讲 - 5
例：判断级数 e 的敛散性。
in n 1
解：注意到，
n
lim n lim e in 0
n
根据定理3可知，该级数发散。 以上例子表明，可以首先利用定理3判断级数的 敛散性，如果判断级数是发散的，自不必说；如果不 能判断，则进一步利用定理2或定义来判断。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 14
1 i 例：判断级数 (1 ) 的敛散性。 n n 1 n
解：根据定理2，可以分别考察级数的实部和虚 部的敛散性， 1 实部 为调和级数，是发散的； n 1 n 1 虚部 2 是收敛的； n 1 n 根据定理2可知，原级数发散。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 12
《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 8
2018年11月27日星期二
例：判断级数
n z 的敛散性。 n 0
解：考察级数的部分和可知，
n 1 z 2 n -1 sn 1 z z z ( z 1), 1z n 1z 当|z|<1时， sn ，对部分和取极限可得：
那么对于任意给定的 0 ，就能找到一个正数 N，当n>N时， (an ibn ) (a ib)
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 4
复数列收敛的条件
从而有： an a (an a) i(bn b)
根据实数列极限的定义可知，上式表明： lim an a
级数的收敛与发散
如果部分和数列{sn}收敛，那么级数 并将极限 lim s s
n n
收敛，
n 1 n
称作级数的和。 如果部分和数列{sn}不收敛，那么级数
发散。
n 1 n
说明：与实数项级数相同，判别复数项级数敛散 性的基本方法是，利用极限
n
lim sn s