复变函数-幂级数
复变函数第四章解析函数的幂级数表示法知识点总结
第四章解析函数的幂级数表示法§1.复级数的基本性质1.（定理）复级数收敛的充要条件：实部虚部分别收敛。
2.（定理）复级数收敛的充要条件（用定义）：对任给的>0，存在正整数N()，当n>N且p为任何正整数时，注1：收敛级数通项必趋近于零；注2：收敛级数各项必有界；注3：级数省略有限个项不改变敛散性。
3.（定理）收敛4.（定理）（1）绝对收敛的复级数可任意重排，不改变收敛性，不改变和；（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积（柯西积）级数，也绝对收敛于。
5.一致收敛的定义：对任给的>0以及给定的，存在正整数N=N(,z)，当n>N 时，有式中6.不一致收敛的定义7.（定理柯西一致收敛准则）：级数收敛的充要条件是：任给>0，存在正整数N=N()，使当n>N时，对一切，均有8.（定理’不一致收敛准则）：9.（优级数准则）：如果有正数列，使对一切，有|)|≤，且正项级数收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。
10.优级数定义：称为的优级数。
11.（定理）级数各项在点集E上连续，且一致收敛于f(z)，则和函数也在E上连续。
12.（定理积分求和符号可交换）级数的各项在曲线C上连续，且一致收敛于f(z)，则沿C可逐项积分13.内闭一致收敛：有界闭集上一致收敛14.（定理）在圆K：|z-a|<R内闭一致收敛的充要条件：对任意正整数，只要<R，级数在闭圆上一致收敛。
15.（定理魏尔斯特拉斯定理）：设（1）函数在区域D内解析；（2）在D内内闭一致收敛于函数f(z):则：（1）f(z)在D内解析；（2）（3）在D内内闭一致收敛于§2.幂级数1.（定理阿贝尔定理）：幂级数在某点(≠a)收敛它必在圆K：|z-a|<|-a|（以a为圆心，圆周通过的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛。
2.（推论）：幂级数在某点(≠a)发散在以a为圆心，圆周通过的圆周外发散。
复变函数项级数
(M
z z0
n
)
n1
z1 z0
收敛，同时根据正项级数的比较判别法可知，
Cn(z z0 )n
n1
收敛， 从而级数 Cn(z z0 )n 绝对收敛. n0
8
定理1的几何意义
如 果 幂 级 数 在 点1z收 敛 ， 那 么 幂 级 数 在 以z0 为 圆 心 ， 以z1 z0 为 半 径 的 圆 周 内 部 的 任意 点z处收敛.
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
n0
z R R min( r1, r2 )
17
2. 幂级数的代换(复合)运算
如果当 z r 时, f (z) anzn, 又设在
n0
z R 内 g(z)解析且满足 g(z) r, 那末当 z R
10
对于形如 Cn (z z0 )n的幂级数当, z z0时，可能 n1
出现如下的三种情况
(1)对 任 意 的z z0 , 级 数 Cn (z z0 )n均 发 散 n1
(2)对 任 意 的 z, 级 数 Cn (z z0 )n均 收 敛 。 n1
(3)存 在 一 点z1 z0 , 使 得 级 数 Cn (z1 z0 )n收 敛 . n1
a
n0 n 1
简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析;
幂级数可逐项求导, 逐项积分.
(常用于求和函数)
22
例3 求幂级数 zn 1 z z2 zn
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
sn
1
z
z2
复变函数的幂级数表示
一 复变函数项级数 1 定义：设 f k (z )是区域D中的复变函数 则
f
k 1
k
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) ... f k ( z ) ...
称为复变函数项级数，称 Sn ( z) f k ( z) k 1 为级数的前n项和。
n
2 级数收敛和发散的定义：
f ( z)dz f
l l k 1
k
( z ) dz f k ( z )dz
k 1 l
3、幂级数在收敛圆内可逐项求导
f
(n)
( z) f
k 1
(n) k
( z)
3.2 解析函数的泰勒展开
一 定理表述及其证明
定理：设 f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析， 则对圆内的任意z点，f(z)可展为幂级数，
则（3.2.2）收敛，而（3.2.1）绝对收敛。
ck 引入记号 R lim c k k 1
，称为收敛圆半径。
R，则（3.2.1)
意义： ck 若 | z z0 | lim c k k 1 绝对收敛。
另一方面，若 | z z0 | R 则
| ck 1 || z z0 |k 1 ck 1 lim lim R 1 k | c || z z |k k c k 0 k
五、例题
例1 求 1 z z 2 z k 的收敛圆。 z 为复数
(k!) 2 k z 的收敛半径。 例2 （习题4.1.b）求 k 1 (2k!!)
1 k2 k 例3（习题4.1.c）求 (1 ) z 的收敛半径。 k k 1
zk 例4（简明教程35页）求 的收敛半径。 k 0 k!
复变函数与积分变换幂级数
contents
目录
• 复数与复变函数 • 积分变换 • 幂级数 • 复变函数与积分变换的关系 • 复变函数与积分变换在物理中的应用
01 复数与复变函数
复数的定义与性质
总结词
复数是实数域的扩展，由实部和虚部组成。它具有加法、减法、乘法和除法的运算性质，以及共轭、 模等特殊性质。
详细描述
复数是由实部和虚部组成的数，表示为 $z = a + bi$，其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。复数具有加法、减法、乘法和除法的运算性质，以及共轭、模等特殊性质。
复变函数的定义与性质
总结词
复变函数是定义在复数域上的函数，它 具有连续性、可微性、可积性等性质。
拉普拉斯变换与复变函数的关系
拉普拉斯变换是复变函数中的另一种特殊形式，它可以将时域中的函数转换为复数域中的函数，从而 将时域中的问题转化为复数域中的问题。
拉普拉斯变换在控制系统、电路分析、信号处理等领域有着广泛的应用，是现代科学和工程中非常重 要的工具之一。
幂级数与积分变换的关系
幂级数是复变函数的一种表示方法， 它可以表示复数域中的任意函数。
04 复变函数与积分变换的关 系
傅里叶变换与复变函数的关系
傅里叶变换是复变函数中的一种特殊 形式，它将实数域中的函数转换为复 数域中的函数，从而将实数域中的问 题转化为复数域中的问题，以便更好 地解决。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、 控制系统等领域有着广泛的应用，是 现代科学和工程中非常重要的工具之 一。
线性性质、位移性质、微分性质、积分性质等。
积分变换的应用
在信号处理中的应用
通过傅里叶变换将信号分解为不同频率的成分， 便于分析和处理。
数学物理方法复变函数第三章幂级数
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法， 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法，适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数 的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为 零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确 的解或近似解。
复变函数的幂级数展开
复变函数的幂级数展开复变函数的幂级数展开是复数域中独有的一种展开形式。
与实函数不同，复变函数的幂级数展开能够将一个复变函数表示为一系列复数幂的和。
在复变函数理论中，幂级数展开具有广泛的应用，例如在复解析、函数论、物理学等各个领域。
首先，我们来了解一下复变函数的幂级数展开的定义和性质。
给定一个复变函数 f(z)，它可以在某个区域上进行幂级数展开。
设 z0 是该区域上的一个点，如果存在复数序列 c_n 和一个收敛半径 R，使得对于该区域内的每个点 z，有以下关系成立：f(z) = ∑(n=0 to ∞) c_n (z-z0)^n (1)其中，c_n 是函数 f(z) 的系数，R 是幂级数的收敛半径。
幂级数的收敛半径 R 可以通过柯西—阿达玛公式进行计算，该公式是根据幂级数的收敛性和发散性进行的。
下面我们来看一个具体的例子。
考虑以下函数：f(z) = 1/(1-z) (2)为了将 f(z) 展开为幂级数，我们需要找到该函数在某个点 z0 处的展开式，并计算出收敛半径 R。
对于函数 (2)，我们可以选择 z0=0。
然后，我们对函数 (2) 进行展开，在给定的收敛半径内，得到以下级数：f(z) = ∑(n=0 to ∞) z^n (3)这个级数是一个幂级数展开，它显示出函数 1/(1-z) 可以表示为一系列复数幂的和。
在这个例子中，收敛半径 R=1，因为幂级数 (3) 只在 |z| < 1 的区域内收敛。
复变函数的幂级数展开可以用来近似计算复解析函数在某个点附近的值。
一般来说，通过增加幂级数的项数，可以获得更精确的近似结果。
但需要注意的是，幂级数展开的收敛性和收敛半径是限制近似精度的关键因素。
当所选择的展开点与函数的奇异点接近时，幂级数展开的收敛性可能会受到影响。
幂级数展开还经常用于计算多项式函数和三角函数的复函数版本。
例如，通过对复指数函数进行幂级数展开，我们可以得到欧拉公式：e^(iz) = ∑(n=0 to ∞) (iz)^n/n!，其中 i 是虚数单位。
第4章：复变函数的幂级数展开
| f n +1 ( z ) + f n + 2 ( z ).... + f n + p ( z ) |< ε
一致收敛级数的连续性 设
f ( z) = ∑
k =0 ∞
在E上一致收敛，如果{fk(z)} f k ( z ) 在E上连续，那么和函数f(z)
也是E上的连续函数。
7
一致收敛级数的积分 设
f ( z) = ∑
f ( z ) = ∑ f k ( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + ... + f k ( z ) + ...
k =0
5
∞
ε—N语言描述 任给ε>0, 以及给定的z∈E, 存在正整数N=N(ε,z), 当n>N时
| f ( z ) − sn ( z ) |< ε
其中部分和为
16
1 f ( z) = 2 1+ z
+i
的二个奇点为 z = ±i ,故
1 2 4 6 = 1 − z + z − z + ... 2 1+ z
-i
的收敛半径为 | z |<1.
17
4.2 解析函数的Taylor 展开
幂级数在收敛圆内：解析函数 逆定理：解析函数可展开成幂级数
定理：设 f(z) 在以 a 为圆心的圆 C 内 解析，则对于圆 内的任何 z 点, f(z) 可以用幂级数展开为
(−1) ln(1 + z ) = ∑ k k =0
∞
k +1
z
k +1
; (| z |< 1)
2、若取其他分枝：ln1=2kπi, c= 2kπi
大学物理2.3 复变函数在环形区域中的幂级数展开
2. 将有理式分解为部分分式，再按 3. 利用两个绝对收敛级数的乘积。 4. 利用逐项求导或逐项积分。
展开。
例子：将
以 z = 0 中心展开成幂级数。
分析：展开中心 z = 0 不是 f (z) 的奇点，奇点为 –1、2。
解：
的三个解析区域 |z| < 1, 1< |z| <2, 2 < |z| <∞
2.3 复变函数在环形区域中的幂级数展开
泰勒级数：在一个圆域内展开 收敛半径 R：若 R = 0，函数只在该点解析；若 R 为有限值， 函数在某一圆内解析； 若 R = ，函数在全平面解析。 例如：f (z) = 1/(1– z) 只能在 |z| < 1 展开成泰勒级数，因为
z = 1 是函数的奇点，不能在全平面把它展开成泰勒 级数，但是在 |z| > 1 区域，它又是解析的，那么能 否在 |z| > 1 的区域把 f (z) 展开成级数呢？
Jm (t)
l0
(1)l m
l !(l
1
( t )m2l m)! 2
(1)m Jm (t) (m 0,1, 2, )
Jn (t) 称为 n 阶贝塞尔函数 (参看§9-1)。
例：以 z = 0 为中心在 1 < |z| < 展开 解：
展开中心为 z = 0，故只需展开
[分子已为 z =(z–0)1 ]
有
第二个积分中： | b| < |z b|
令 –(n+1) = k，则 n = 0 时：k = –1；n = 时： k = – 上式变为：
其中：
说明：
(1) 洛朗级数中 ak 积分表达式与泰勒系数形式相同，但洛朗 系数无微分形式。因为：高阶导数公式要求 f (z) 解析才 成立。但在此 f (z) 仅在 R2 < | z – b | < R1 区域内解析；
复变函数幂级数
z
f()d
cnzn1
zR ,CzaR
0
n0 n1
---幂级数的逐项积分运算
整理课件
30
例4 求幂级数的和函数及收敛圆.
(1) nnz112z3z2 n1
(2)
zn
z2 z
z3
n1 n
23
整理课件
定理4 级 数 n收敛 an和 bn都收敛
n1
n1
n1
? 若 n收 n1
敛 n收
n1
敛 (例.如:
n1
(1)ni n
)
定义 若n收 敛 ， 则称n为 绝 对 收 敛 ；
n1
n1
若n发 散 ，而n收 敛 ， 则称n为
n1
n1
n1
条 件 收.敛
整理课件
9
例2 下列级数是否收敛否？绝是对收敛？
(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域.
整理课件
20
4. 收敛半径的求法
关于幂级cn数 zn (3)的收敛半径求法，
n0
(比定值理法2 )若 ln i m ccnn 1
，R 则 1 /
0
0 0
证明 (i) 0, ln i m cn c n 1z zn n1ln i m cc n n 1z z
(i) f(z)在 zR内 解 . 析
(i)if'(z ) ( c n z n ) ' (c n z n ) ' n n z n c 1 z R
n 0
n 0
n 1
---幂级数的逐项求导运算
(ii)i f(z)d z
大学物理2.2 复变函数在解析区域中的幂级数展开
z
z
z2/1!
z3 /2!
z4/3!
z2
z2
z3 /1!
z4/2!
z5/3!
z3
z3
z4/1!
z5/2!
z6/3!
ez 1 (1 1 )z (1 1 1 )z2 (1 1 1 1 )z3
1 z
1!
1! 2!
1! 2! 3!
k
1 zk
k0 n0 n!
( z 1)
三、鞍点
我们来讨论复变函数的一阶导数为零的点的性质。
级数 于是
在 C 上一致收敛
逐项积分
其中 4. 展开式是唯一的
若 f (z) 能展开成另一种形式：
(1) 令 z = b： (2) 对 z 求导：
……
——展开式唯一
由展开式的唯一性，可以用任何方便的办法来求解一个 解析函数的泰勒展开式，不必一定要用积分表达式
来求 ak 。 说明： (1) 解析函数与泰勒级数之间存在密切关系：
证明： 1. 从柯西公式出发
其中 z 为圆 | z – b | = R 内某一点，C 为包含 z 的圆，| – b| = (0 < < R)， 为 C 上的点。
2. 将被积函数用级数表示
利用
将
1
z
展开成以
b
为中心的级数
被积函数写成：
3. 将上式沿 C 积分
级数
在 C 上一致收敛 + f ( ) 在 C 上有界
我们知道，实变函数 f (x) 的一阶导数为零的点是它的极
值点 (只要二阶导数不为零)。然而，这一结论对于复变函数
f (z) 不成立 (因为 f (z) 无大小之分) 。此时应讨论它的实部和
复变函数的幂级数展开
数学物理方法
双边幂级数
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
其中
f 1 ( z) f 2 ( z) f 3 ( z) ... f k ( z) ...
称为复变函数项级数,记为 为级数的前n项部分和.
f
k 1
k
( z ) ,称 S n ( z )
f
k 1
n
n
( z)
数学物理方法
级数收敛和发散的定义
S n ( z0 ) 存在,则称级数 若对于z0∈ D,极限nlim 在z0处收敛; S n ( z0 )不存在,则称级数 若极限 nlim 处发散.
1 2 1 3 1 4 (1) z z z z ... 2 3 4 k
k 1
z ...
数学物理方法
k
例3.7 将 f(z)=arctan z在z=0处展开成Taylor级数
解：设 arctanz ak z
k 0 k
(arctanz ) kak z k 1
函数 f(z)=cos z 在z=0点的Taylor级数展开
z z (1) z (1) z cos z 1 ... ... 2! 4! (2n)! (2n)! n 0
2 4 n 2n n
2n
数学物理方法
§3.3洛朗级数展开
补充：问题的提出
已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|<R内解析，Taylor定 理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。 问题是：当 f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展 开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。
关于复变函数的幂级数展开与解析延拓
关于复变函数的幂级数展开与解析延拓复变函数是数学中的重要概念，它在研究物理、工程、经济等领域的问题时具有广泛的应用。
其中，幂级数展开和解析延拓是复变函数研究中的两个重要方法和技巧。
本文将从幂级数展开的原理和方法、解析延拓的概念和应用等方面进行详细介绍。
首先，我们来了解幂级数展开。
在复变函数中，如果一个函数在某个点处存在幂级数展开，则该函数在该点附近可用幂级数表达。
具体而言，如果函数f(z)在z=a处存在幂级数展开，则可将其表示为：f(z)=∑(n=0)∞(c_n(z-a)^n)其中，c_n为系数，(z-a)^n为幂函数，n为幂函数的次数。
当幂级数的收敛半径大于0时，幂级数展开是唯一的，我们可以通过计算系数c_n的方式来确定展开后的幂级数形式。
幂级数展开的重要性在于它将复杂的函数问题转化为简单的级数问题，方便我们进行具体的计算和分析。
接下来，我们来了解解析延拓。
解析延拓是指通过已知函数的定义域外一些特殊点上的性质，对函数进行延拓，使其在更大的区域内成为解析函数。
解析函数是指在某个区域内可用幂级数展开并且展开式在整个区域内收敛的函数。
解析延拓的目的是拓宽函数的定义域并使其在更广泛的情况下成为解析函数，从而更好地研究函数的性质和应用。
解析延拓常用的方法有奇点补充法和全纳域逼近法。
奇点补充法是通过找到并补充函数奇点，使函数在整个区域内成为解析函数。
全纳域逼近法是通过选取适当的函数近似，使得在整个区域内拓宽函数的定义域并得到更广泛的解析性质。
这两种方法都需要具体问题的分析和计算来确定适合的延拓方式。
在实际应用中，幂级数展开和解析延拓都具有广泛的应用。
幂级数展开可以用于计算函数的近似值，例如通过截取前几项级数来计算函数的近似值。
而解析延拓则可以用于研究函数的性质和特点，例如通过补充函数的奇点来得到新的解析函数和新的解析性质。
总结起来，复变函数的幂级数展开和解析延拓是研究复变函数的重要方法和技巧。
幂级数展开可以将复杂的函数问题转化为简单的级数问题，方便进行计算和分析。
复变函数级数
解：因为 f(n )(1 ) (e z)(n )|z 1 e z|z 1 e
故
ez
e1z1!1z2!12
z1n
n!
e z1n.
n0 n!
收敛半径： Rliman lim(n1)!
a n n1
n n!
(s z ) ( 2 n i 1 )n |z 0 ( 1 ) n ;(s z ) ( 2 n i )|z n 0 0
sinzzz3 z5 (1)n z2n1
1! 3! 5!
(2n1)!
(1)n
z2n1.
n0 (2n1)!
类似的有
cosz 1z2 z4 (1)n z2n
nzn1
n1
(n1)zn n0
例5 求 f(z)1za （a为任意复常数）
在z=0邻域的泰勒展开
当a ≠整数时，f (z)为多值函数，须在指定叶
上展开。z=-1是其支点，若取负实轴上(-∞,-1)
为割线，规定 1za 1ae2kai z0 （k为整数）
-∞
，且展开唯一。
n!
证：1）利用解析函数的积分特征——
Cauchy积分公式
fz 1 fd
z0
R
r
a
c
r
2i cr z
1
2）将
展开为以a为中心的幂级数
z
3）逐项积分
4）再利用Cauchy导数公式
具体计算：
展开：
1
z
1
a
1
z
a a
2! 4!
(2n)!
(1)n z2n
复变函数之幂级数
a z3 r3
x
+∞
+∞
∑ ∑ 定理4(P76)若J = an xn 的收敛半径为= R, 令I an(z − a)n,则
n=0
n=0
(3)若R = 0, 则I 在全平面内除z = a 外处处发散.
(3)的证明用反证法.证明过程与(1)(ii) 的证明过程类似.
若R = 0，假设存在一点z4 ≠ a, 使得I在点 z4 收敛.
第四章 解析函数的级数表示
级数是研究解析函数的又一重要工具， 两种：1. 幂级数 2. 洛朗级数
4.1 幂级数
定义
设有复数列{zn
=
xn
+
i
yn , n
=
1, 2,},其中xn ,
yn
∈
,
+∞
称 ∑ zk = z1 + z2 + z3 + + zk + 为复数项无穷级数. k =1
n
∑ (1)若{zn}部分和复数列Sn = zk = z1 + z2 + + zn , n = 1, 2,有极限 k =1
⇒
ak
=
f
(
k)( k!
a
)
,
k ≥ 0.
定理5(P 78)
2)在收敛圆内曲线C上,可以逐项积分：
2n
是否绝对收敛？
∑ ∑ ∑ +∞ (−1)n +∞ 1
解.因为
=
+∞ (−1)n
发散，故
不是绝对收敛.
n=1 n n=1 n
n=1 n
∑ 从而由定理2(P75)知
+∞ (−1)n
复变函数4章幂级数
则存在M 使对所有的n有 | c z | M
n n 0
|z| 如果 | z || z0 |, 则 q 1, | z0 |
z 而 | cn z || cn z | z0
n n 0 n
Mq
n
7
z n | cn z || c z | Mq z0
中心的圆域. 对幂级数(4.2.2)来说, 收 敛范围是以z=a为中心的圆域. 在收敛
圆上是否收敛, 则不一定.
12
例1 求幂级数
z
n 0
n
1 z z z
2 n
的收敛范围与和函数.
[解] 级数实际上是等比级数, 部分和为
sn 1 z z
2
1- z z , ( z 1) 1- z
称为这级数的部分和.
3
如果对于D内的某一点z0, 极限
lim sn ( z0 ) s( z0 )
n
存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而s(z0) 称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则它的和 一定是z的一个函数s(z): s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...
处处收敛 , 即 R=. 如果 =+, 则对复平 面内除 z=0 外的一切 z, 级数 收敛, 因此
n0
n0
都不
cn z n
也不能收敛, 即 R=0.
18
定理三 (根值法 ) 敛半径 R
1
如果 n
lim n | c n | 0
, 则收
.
19
高等数学中的复变函数与幂级数展开
高等数学中的复变函数与幂级数展开复变函数是高等数学中一个重要的概念，它是指自变量和函数值都是复数的函数。
复变函数的研究在数学和物理学等领域具有广泛的应用。
其中，幂级数展开是复变函数研究中的一个重要内容，它在解析函数、函数逼近和数值计算等方面有着重要的作用。
一、复变函数的定义与性质复变函数的定义与实变函数类似，只是将自变量和函数值都扩展到复数域。
复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy为复数，u(x,y)和v(x,y)分别为实部和虚部。
复变函数的导数定义也类似于实变函数，即f'(z)=lim┬(Δz→0)(f(z+Δz)-f(z))/Δz。
复变函数的一些性质包括解析性、调和性和全纯性等。
二、幂级数展开的概念与应用幂级数展开是将一个函数表示为幂级数的形式，其中幂级数是指形如∑_(n=0)^∞▒〖a_n z^n 〗的级数。
幂级数展开在复变函数研究中具有重要的作用。
通过幂级数展开，可以将复变函数表示为无穷级数的形式，从而方便进行进一步的计算和分析。
幂级数展开在解析函数中的应用十分广泛。
解析函数是指在某个区域内处处可导的函数。
通过幂级数展开，可以将解析函数表示为幂级数的形式，从而方便进行导数和积分的计算。
例如，常见的指数函数、三角函数和对数函数等都可以通过幂级数展开来表示。
幂级数展开在函数逼近中也有重要的应用。
函数逼近是指用一系列简单的函数来逼近复杂的函数。
通过幂级数展开，可以将复杂的函数逼近为幂级数的形式，从而方便进行近似计算。
例如，泰勒级数就是一种常用的函数逼近方法，它可以将函数在某个点附近展开为幂级数的形式。
幂级数展开还在数值计算中具有重要的作用。
在实际计算中，有时需要对复杂的函数进行数值计算，而幂级数展开可以将函数表示为无穷级数的形式，从而方便进行数值逼近和计算。
例如，通过截断幂级数展开，可以将无穷级数截断为有限项的级数，从而得到函数的数值逼近值。
三、幂级数展开的计算方法幂级数展开的计算方法包括泰勒级数展开和洛朗级数展开等。
数学物理方法-复变函数-第三章-幂级数
在复平面上，幂级数的收敛域是由收 敛半径决定的圆环或点集。对于形如 (a_n(z-a)^n)的幂级数，其收敛域可 能是圆环、半圆、点或全平面。
幂级数的可微性
幂级数的导数
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数 ，其导数也是形如(a_n(z-a)^n) 的幂级数。
可微性
如果一个幂级数在某点处可微， 则该点处函数的值可以通过幂级 数的导数来近似计算。
在求解波动方程时，幂级数展开可以提供一种简洁的近似方法，用于分析波动现 象的近似解。这种方法在处理复杂波动问题时特别有效，如非线性波动和多维波 动问题。
在热传导方程中的应用
热传导方程是描述热量传递过程的偏微分方程，广泛应用于 工程和科学领域。通过将热传导方程转化为幂级数形式，可 以方便地求解热量传递问题。
收敛性和应用
分式函数的幂级数展开在x不等于0时 收敛，可以用于计算分式函数的近似 值，尤其在处理分式函数的积分和微 分时非常有用。
04
幂级数展开在物理问题中的 应用
在波动方程中的应用
波动方程是描述波动现象的基本方程，如声波、光波和水波等。通过将波动方程 转化为幂级数形式，可以方便地求解波动问题，得到波的传播规律和性质。
幂级数展开在处理复杂电磁场问题时特别有用，如非均匀 介质中的电磁波传播和多维电磁场问题。这种方法能够提 供近似解，帮助我们更好地理解电磁场的规律和性质。
05
幂级数展开的进一步研究
幂级数展开的误差分析
01
02
03
误差来源
主要来源于截断误差和舍 入误差。
误差估计
通过泰勒级数展开，可以 估计幂级数展开的误差大 小。
幂级数的可积性
幂级数的积分
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数，其积分也是形如(a_n(z-a)^n)的幂级数。
《复变函数论》第四章
第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。
按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。
设0z 是一个复常数。
如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。
如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。
令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。
由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。
注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。
注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。
定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。
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得及过目。不过，我认为这是一件非常有价值的工 作，我很想能尽快听到科学院权威人士的意见，现 在正昂首以待...。”
可是，负责给阿贝尔审稿的柯西把论文放进抽屉 里，一放了之。（这篇论文原稿于1952年在佛罗伦 萨重新发现）阿贝尔等到年末，了无音信。一气之 下离开了巴黎，在柏林作短暂停留之后于1827年5 月20日回到了挪威。由于过渡疲劳和营养不良，在 旅途上感染了肺结核。这在当时是不治之症。当阿 贝尔去弗鲁兰与女朋友肯普（Christine Kemp）欢 度圣诞节时，身体非常虚弱，但他一边与病魔作斗 争一边继续进行数学研究。
(3)存在一点z1≠a,使级数收敛(此时,根据定理4.4 的第一部分知,它必在圆周|z-a|=|z1-a|内部绝对收 敛),另外又存在一点z2,使
发散.(肯定|z2-a|≥|z1-a|);根据推论4.4知,它必在 圆周|z-a|=|z2-a|外部发散.)
在这种情况下,可以证明,存在一个有限正数R, 使得级数(4.3)在圆周|z-a|=R内部绝对收敛,在 圆周|z-a|=R外部发散.R称为此幂级数的收敛半 径;圆|z-a|<R和圆周|z-a|=R分别称为它的收敛 圆和收敛圆周.在第一情形约定R=0;在第二情 形,约定R=+∞,并也称它们为收敛半径.
y
z.2
.
R
z1
o
收敛圆 收敛半径
x 收敛圆周
幂级数 cnzn的收敛范围是以a点为中心的圆域.
n0
问题1: 幂级数 cn(z a)n的收敛范围是何区域?
n0
答案: 是以 z a 为中心的圆域.
问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?
注意 在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出 一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.
4.2 幂级数
4.2.1 幂级数的敛散性 4.2.2 幂级数的收敛半径的求法 4.2.3 幂级数的和函数的解析性 4.2.4例题 4.2.5小结
4.2.1 幂级数的敛散性
1 幂级数的定义： 具有
cn (z a)n c0 c1(z a) c2(z a)2
n0
4.3
形式的复函数项级数称为幂级数,其中 c0,c1, c2 ,…,a都是复常数.
zn 收敛,
n1
和函数 S(z) zn 1 zn 1 1 ,
n1
z n0
z 1 z
所以
I
c(1z
1
1
z
)dz
c1z dz
c1
1
z
dz
2i 0 2i.
4.2.5 小结与思考
这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定 理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级 数的运算性质.
1 z
例2 求下列幂级数的收敛半径:
zn
(1) n1 n3
(并讨论在收敛圆周上的情形)
(2) (z 1)n (并讨论 z 0 , 2 时的情形)
n1 n
解 (1) 因为 lim cn1 lim ( n )3 1,
n cn
n n 1
或
lim n
n
cn
lim n n
1 n3
lim 1 1. n n n3
利用逐项积分,得:
所以 R 1.
z
(n 1)zndz
z
(n
1) z ndz
zn1
z
.
0 n0
0 n0
n0
1 z
所以
(n
n0
1) z n
( 1
z
) z
1 (1 z)2
.
z 1
例7 求级数 (2n 1)zn1的收敛半径与和函数.
n0
解
因为
lim cn1 n cn
lim
n
2n1 1 2n 1
把函数
1 zb
表成形如
cn(z a)n 的幂
n0
级数, 其中 a与b 是不相等的复常数 .
解
把函数
1 zb
写成如下的形式:
1 zb
(z
a)
1
(b
a
)
b
1
a
1
1 z
a
凑出 1
ba
1 g(z)
代数变形 , 使其分母中出现 (z a)
当 z a 1时， ba
1
1 z
a
1
(z b
a) a
(z b
|
za z1 a
收敛
|n
cn(z a)n 在圆K内绝对收敛. n0
其次,对K内任一闭圆 K : z a o z1 a
上的一切点来说,有:
|
cn (z
a)n
|
M
|
za z1 a
|n
M( |
z1
a
)n |
a
cn (z a)n n0
在圆K上有收敛的优级数
M(
)n
n0 | z1 a |
因而它在K上一致收敛. 此级数必在圆K内
内闭一致收敛.
推论4.4 若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发 散,则它在以a为圆心并且通过点z2的圆周外 部发散.
z1 z2
a
2.幂级数的敛散性讨论
对于一个幂级数, 首先它在z=a点处总是收敛的，
其敛散性有以下三种情况:
(1) 对所有的复数z都收敛. 由阿贝尔定理知:
例如, 级数:
R 均为1, 收敛圆周 z 1
zn
n0
收敛圆周上无收敛点;
zn
n0 n
在点z 1发散, 在其它点都收敛;
zn
n0 n2
在收敛圆周上处处收敛.
一个幂级数在其圆周上的敛散性有如下三种 可能:
(1)处处发散; (2)既有收敛点,又有发散点; (3)处处收敛.
4.2.2幂级数的收敛半径的求法
e,
故收敛半径 R 1 . e
例4 求 (1 i)n zn的收敛半径.
n0
解 因为 1 i 2(cos i sin )
4
4
cn (1 i)n (
2)n
e
n 4
i
;
i
2e 4 ,
lim cn1 n cn
( lim n (
2)n1 2)n
2.
所以 R 1 2 . 22
例5
若令z←z-a,则以上幂级数还可以写成如下形式
cnzn c0 c1z c2z2 .
n1
幂级数是最简单的解析函数项级数,为了搞清 楚它的敛散性,先建立以下的阿贝尔(Abel)定理.
定理4.4：如果幂级数(4.3)在某点z1(≠a) 收敛,则它必在圆K:|z-a|<|z-z1|(即以a为圆心 圆周通过z1的圆)内绝对收敛.
证:设z是所述圆内任意点.因为
cn z1 a n
a
n0
收敛,它的各项必然有界,即有正数M,使
| cn (z1 a)n | M
(n=0,1,2,…),
| cn (z a)n || cn (z1 a)n (
注意到|z-a|<|z1-a|, 故级数
z a )n | M
z1 a
n
za
M
n1 z1 a
级数在复平面内处处绝对收敛.
例如,
级数
1
z
z2 22
zn nn
对任意固定的z, 从某个n开始, 总有
z 1,
n2
于是有
zn nn
1 2
n
,
故该级数对任意的z均收敛.
(2) 除 z=a 外都发散.
此时, 级数在复平面内除原点外处处发散.
例如,级数 1 z 22 z2 nnzn
当 z 0时, 通项不趋于零, 故级数发散.
a )2 a
(z b
a )n a,Biblioteka ba故z1
b
b
1
a
(b
1 a)2
(z
a)
(b
1 a)3
(z
a)2
(b
1 a)n1
(z
a)n
设 b a R, 那末当 z a R时, 级数收敛,
且其和为 1 . zb
例6 求级数 (n 1)zn 的收敛半径与和函数.
n0
解 因为 lim cn1 lim n 2 1, n cn n n 1
定理4.5 如果幂级数(4.3)的系数cn有如下关系： lim cn1 l,(达朗贝尔D' Alembert） 或
c n n
lim
n
n
|
cn
|
l , (柯西Cauchy )
或
则幂级数 cn (z a)n 的收敛半径为: n0
1/l (l≠0,l≠+∞);
R= 0 (l=+∞);
(4.4)
+∞ (l=0).
思考题
幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?
思考题答案
由于在收敛圆周上 z 确定, 可以依复数项级 数敛散性讨论.
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非凡的数学家——阿贝尔
阿贝尔（Abel,Niels Henrik,1802-1829）挪威数学 家。1802年8月5日生于芬岛，1829年4月6日卒于 弗鲁兰。是克里斯蒂安尼亚（现在的奥斯陆）教 区穷牧师的六个孩子之一。尽管家里很贫困，父 亲还是在1815年把阿贝尔送进克里斯蒂安尼亚的 一所中学里读书，15岁时优秀的数学教师洪堡 （Bernt Michael Holmbo 1795-1850）发现了阿 贝尔的数学天才，对他给予指导。使阿贝尔对数 学产生了浓厚的兴趣。16岁时阿贝尔写了一篇解 方程的论文。丹麦数学家戴根（Carl Ferdinand Degen 1766-1825）看过这篇论文后，为阿贝尔的