数学竞赛-奇数和偶数
新课标小学数学奥林匹克辅导及练习 奇数与偶数(一)(含答案)-
奇数与偶数（一）阅读思考：其实，在日常生活中同学们就已经接触了很多的奇数、偶数。
凡是能被2整除的数叫偶数，大于零的偶数又叫双数；凡是不能被2整除的数叫奇数，大于零的奇数又叫单数。
因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数（这里k是整数）。
因为任何奇数除以2其余数都是1，所以通常用式子21k+来表示奇数（这里k是整数）。
奇数和偶数有许多性质，常用的有：性质1 两个偶数的和或者差仍然是偶数。
例如：8+4=12，8-4=4等。
两个奇数的和或差也是偶数。
例如：9+3=12，9-3=6等。
奇数与偶数的和或差是奇数。
例如：9+4=13，9-4=5等。
单数个奇数的和是奇，双数个奇数的和是偶数，几个偶数的和仍是偶数。
性质2 奇数与奇数的积是奇数。
例如：91199⨯=等偶数与整数的积是偶数。
例如：25102816，等。
⨯=⨯=性质3 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。
例1. 有5张扑克牌，画面向上。
小明每次翻转其中的4张，那么，他能在翻动若干次后，使5张牌的画面都向下吗？分析与解答：同学们可以试验一下，只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下。
要想使5张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次。
5个奇数的和是奇数，所以翻动的总张数为奇数时才能使5张牌的牌面都向下。
而小明每次翻动4张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数。
所以无论他翻动多少次，都不能使5张牌画面都向下。
例2. 甲盒中放有180个白色围棋子和181个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子，李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒；如果两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。
那么他拿多少后，甲盒中只剩下一个棋子，这个棋子是什么颜色的？分析与解答：不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子，他总会把一个棋子放入甲盒。
所以他每拿一次，甲盒子中的棋子数就减少一个，所以他拿180+181-1=360次后，甲盒里只剩下一个棋子。
小学奥数数论专题--奇数与偶数(六年级)竞赛测试.doc
小学奥数数论专题--奇数与偶数（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】的和是奇数还是偶数？【答案】奇数【解析】在1至1993中，共有1993个连续自然数，其中997个奇数，996个偶数，即共有奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数.【题文】得数是奇数还是偶数？【答案】偶数【解析】偶数。
原式中共有60个连续自然数，奇数开头偶数结尾说明有30个奇数，为偶数个。
【题文】得数是奇数还是偶数？【答案】偶数【解析】200至288共89个数，其中偶数比奇数多1，44个奇数的和是偶数；151至233共83个数，奇数比偶数多1，42个奇数，为偶数；偶数减去偶数仍为偶数。
【题文】的计算结果是奇数还是偶数，为什么？【答案】奇数【解析】特殊数字：“”．在这个算式中，所有做乘法运算的都是奇数偶数，所以它们的乘积都是偶数，这些偶数相加的结果还是偶数，只有是奇数，又因为奇数偶数奇数，所以这个题的计算结果是奇数．【题文】的和是奇数还是偶数？为什么？【答案】偶数【解析】在算式中，都出现了次，所以是偶数，而也是偶数，所以的和是偶数．【题文】东东在做算术题时，写出了如下一个等式：，他做得对吗？【答案】不对【解析】等式左边是偶数，是奇数，是偶数，根据奇数偶数奇数，等式右边是奇数，偶数不等于奇数，因此东东写出的等式是不对的．【题文】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由（1）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10（2）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27【答案】（1）不能（2）可以【解析】不能。
很多学生拿到这个题就开始试数，试了半天也试不出来因为，这时给他讲解，原式有5个奇数，无论经加、减运算后结果一定是奇数。
初中数学竞赛整数的性质及应用(一) 奇数与偶数
整数的性质及应用（一） 奇数与偶数全体整数可以分为两大类,一类是奇数，一类是偶数。
任何一个整数不是偶数就是奇数，奇数和偶数，有以下几条性质：一、性质1：任何奇数不可能与偶数相等。
性质2：奇数±奇数=偶数 偶数±偶数=偶数 奇数±偶数=奇数性质3：奇数X 奇数=奇数 奇数X 偶数=偶数 偶数X 偶数=偶数性质4：整数a 的a n 幂与a 的奇偶性相同 性质5：两个连续整数的积是偶数。
二、例题：例1.设4个正整数之和为9，求证：它们的立方和不可能为100例2.若n 是大于1的整数，那么数2)1(12)1(n n n p ---+=的值一定是偶数？一定是奇数？还是可以是偶数也可以是奇数。
例3.是否有满足x 2-y 2=1986的整数解x 和y?例4.平面上有15个点，任意三点不共线，试问能不能从每个点都引三条线段，且仅引三条线段和其余的某三点相连？证明你的结论。
例5.设有n 盏亮着的灯，规定每次拉动n-1个拉线开关，试问：能否将所有的灯都关闭？证明你的结论。
例6.用15个由4个小方格组成的L 字形纸片和1个田字形纸片，能否盖满1个8X8的方格棋盘 例7.设a 1,a 2,…,a n 是一组数，它们中的每一个数都取1或-1，而且013221=+++a a a a a a n ，证明：n 必是4的倍数。
例8. 在1，2，3，…，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？例9 设a ，b 是自然数，且满足关系式(11111+a)(11111-b)=123456789．求证：a-b 是4的倍数． 例10 某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分．证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．*例11.是否存在整数m,n,使得5m 2-6mn+7n 2=1987*例12.设正整数d 不等于2，5，13，证明从数2，5，13，d 中可以找到两个数a,b,使得ab-1不是整数的平方。
初中数学竞赛：奇数和偶数
初中数学竞赛讲座－奇数和偶数整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数.关于奇数和偶数，有下面的性质：（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数.以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.1.代数式中的奇偶问题例1（第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？□+□=□，□-□=□，□×□＝□□÷□＝□.解因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.例2 （第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组是整数，那么（A）p、q都是偶数. （B）p、q都是奇数.（C）p是偶数，q是奇数（D）p是奇数，q是偶数分析由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶数，将其代入第二方程中，于是11x也为偶数，从而27y=m-11x为奇数，所以是y=q奇数，应选（C）例3 在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数.分析因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+…+1992==996×1993为偶数于是题设的代数和应为偶数.2.与整除有关的问题例4（首届“华罗庚金杯”决赛题）70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，….问最右边的一个数被6除余几？解设70个数依次为a1,a2,a3据题意有a1=0, 偶a2=1 奇a3=3a2-a1, 奇a4=3a3-a2, 偶a5=3a4-a3, 奇a6=3a5-a4, 奇………………由此可知：当n被3除余1时，a n是偶数；当n被3除余0时，或余2时，a n是奇数，显然a70是3k+1型偶数，所以k必须是奇数，令k=2n+1，则a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.解设十位数，五个奇数位数字之和为a，五个偶数位之和为b(10≤a≤35,10≤b≤35)，则a+b=45，又十位数能被11整除，则a-b应为0，11，22（为什么？）.由于a+b与a-b有相同的奇偶性，因此a-b=11即a=28，b=17.要排最大的十位数，妨先排出前四位数9876，由于偶数位五个数字之和是17，现在8+6=14，偶数位其它三个数字之和只能是17-14=3，这三个数字只能是2，1，0.故所求的十位数是9876524130.例6（1990年日本高考数学试题）设a、b是自然数，且有关系式123456789=（11111+a）（11111-b），①证明a-b是4的倍数.证明由①式可知11111（a-b）=ab+4×617②∵a＞0,b＞0,∴a-b＞0首先，易知a-b是偶数，否则11111(a-b)是奇数，从而知ab是奇数，进而知a、b 都是奇数，可知(11111+a)及(11111-b)都为偶数，这与式①矛盾其次，从a-b是偶数，根据②可知ab是偶数，进而易知a、b皆为偶数，从而ab+4×617是4的倍数，由②知a-b是4的倍数.3.图表中奇与偶例7（第10届全俄中学生数学竞赛试题）在3×3的正方格（a）和（b）中，每格填“+”或“-”的符号，然后每次将表中任一行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从一张表变化为另一张表.解按题设程序，这是不可能做到的，考察下面填法：在黑板所示的2×2的正方形表格中，按题设程序“变号”，“+”号或者不变，或者变成两个.表(a)中小正方形有四个“+”号，实施变号步骤后，“+”的个数仍是偶数；但表(b)中小正方形“+”号的个数仍是奇数，故它不能从一个变化到另一个.显然，小正方形互变无法实现，3×3的大正方形的互变，更无法实现.例8（第36届美国中学生数学竞赛试题）将奇正数1，3，5，7…排成五列，按右表的格式排下去，1985所在的那列，从左数起是第几列？（此处无表）解由表格可知，每行有四个正奇数，而1985=4×496+1，因此1985是第497行的第一个数，又奇数行的第一个数位于第二列，偶数行的第一个数位于第四列，所以从左数起，1985在第二列.例9 如图3-1，设线段AB的两个端点中，一个是红点，一个是绿点，在线段中插入n个分点，把AB分成n+1个不重叠的小线段，如果这些小线段的两个端点一个为红点而另一个为绿点的话，则称它为标准线段.证明不论分点如何选取，标准线段的条路总是奇数.分析 n个分点的位置无关紧要，感兴趣的只是红点还是绿点，现用A、B分别表示红、绿点；不难看出：分点每改变一次字母就得到一条标准线段，并且从A点开始，每连续改变两次又回到A，现在最后一个字母是B，故共改变了奇数次，所以标准线段的条数必为奇数.4.有趣的应用题例 10（第2届“从小爱数学”赛题）图3-2是某一个浅湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.（1）如果P点在岸上，那么A点在岸上还是在水中？（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果有一点B，他脱鞋次数与穿鞋的次数和是个奇数，那么B点是在岸上还是在水中？说明理由.解（1）连结AP，显然与曲线的交点数是个奇数，因而A点必在水中.（2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数和为2，由于 A点在水中，所以不管怎样走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数，可见B点必在岸上.例11 书店有单价为10分，15分，25分，40分的四种贺年片，小华花了几张一元钱，正好买了30张，其中某两种各5张，另两种各10张，问小华买贺年片花去多少钱？分析设买的贺年片分别为a、b、c、d（张），用去k张1元的人民币，依题意有10a+15b+25c+40d=100k,(k为正整数)即 2a+3b+5c+8d=20k显然b、c有相同的奇偶性.若同为偶数，b-c=10 和a=b=5，不是整数；若同为奇数，b=c=5和a=d=10,k=7.例12 一个矩形展览厅被纵横垂直相交的墙壁隔成若干行、若干列的小矩形展览室，每相邻两室间都有若干方形门或圆形门相通，仅在进出展览厅的出入口处有若干门与厅外相通，试证明：任何一个参观者选择任何路线任意参观若干个展览室（可重复）之后回到厅外，他经过的方形门的次数与圆形门的次数（重复经过的重复计算）之差总是偶数.证明给出入口处展览室记“+”号，凡与“+”相邻的展览室记“-”号，凡与“-”号相邻的展览室都记“+”号，如此则相邻两室的“+”、“-”号都不同.一参观者从出入口处的“+”号室进入厅内，走过若干个展览室又回到入口处的“+”号室，他的路线是+-+-…+-+-，即从“+”号室起到“+”号室止，中间“-”、“+”号室为n+1（重复经过的重复计算），即共走了2n+1室，于是参观者从厅外进去参观后又回到厅外共走过了2n+2个门（包括进出出入口门各1次）.设其经过的方形门的次数是r次，经过圆形门的次数是s，则s+r=2n+2为偶数，故r-s也为偶数，所以命题结论成立.例13 有一无穷小数A=0.a1a2a3…a n a n+1a n+2…其中a i(i=1,2)是数字，并且a1是奇数，a2是偶数，a3等于a1+a2的个位数…，a n+2是a n+a n+1(n=1,2…,)的个位数，证明A 是有理数.证明为证明A是有理数，只要证明A是循环小数即可，由题意知无穷小数A的每一个数字是由这个数字的前面的两位数字决定的，若某两个数字ab重复出现了，即0.…ab…ab…此小数就开始循环.而无穷小数A的各位数字有如下的奇偶性规律：A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……又a是奇数可取1，3，5，7，9；b是偶数可取0，2，4，6，8.所以非负有序实数对一共只有25个是不相同的，在构成A的前25个奇偶数组中，至少出现两组是完全相同的，这就证得A是一循环小数，即A是有理数.练习1.填空题（1）有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最大数与最小数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是______.（2）有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数和的多18，这五个偶数之和是____.（3）能否把1993部电话中的每一部与其它5部电话相连结？答____.2.选择题（1）设a、b都是整数，下列命题正确的个数是（）①若a+5b是偶数，则a-3b是偶数；②若a+5b是偶数，则a-3b是奇数；③若a+5b是奇数，则a-3b是奇数；④若a+5b是奇数，则a-3b是偶数.（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（2）若n是大于1的整数，则的值（）.（A）一定是偶数（B）必然是非零偶数（C）是偶数但不是2 （D）可以是偶数，也可以是奇数（3）已知关于x的二次三项式ax2+bx+c（a、b、c为整数），如果当x=0与x=1时，二次三项式的值都是奇数，那么a（）（A）不能确定奇数还是偶数（B）必然是非零偶数（C）必然是奇数（D）必然是零3.（1986年宿州竞赛题）试证明11986+91986+81986+61986是一个偶数.4.请用0到9十个不同的数字组成一个能被11整除的最小十位数.5.有n 个整数，共积为n，和为零，求证：数n能被4整除6.在一个凸n边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n边形顶点之间，用线段连续起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n边形分为只朋角形的小块，试证这种小三我有形的个数与n有相同的奇偶性.7.（1983年福建竞赛题）一个四位数是奇数，它的首位数字泪地其余各位数字，而第二位数字大于其它各位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，求这四位数.8.（1909年匈牙利竞赛题）试证：3n+1能被2或22整除，而不能被2的更高次幂整除.9.（全俄15届中学生数学竞赛题）在1，2，3…，1989之间填上“+”或“-”号，求和式可以得到最小的非负数是多少？练习参考答案１．（１）３０．（最小两位奇数是１１，最大数与最小数同为奇数）（２）１８０．设第一个偶数为ｘ，则后面四个衣次为ｘ＋２，ｘ＋４，ｘ＋６，ｘ＋８．（３）不能．２．Ｂ．Ｂ．Ａ３．１１９８６是奇数１，９１９８６的个位数字是奇数１，而８１９８６，６１９８６都是偶数，故最后为偶数．４．仿例５１２０３４６５８７９．５．设ａ１，ａ２，…，ａｎ满足题设即ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝０①ａ１·ａ２……ａｎ＝ｎ②。
初中数学竞赛教程及练习之奇数 偶数附答案
奇数偶数一、内容提翼.奇数和偶数是在整数集合里定义的.能被2整除的整数是偶数，如2,0—2…，不能被2整除的整数是奇数，如一1,3。
如果n是整数，那么2n是偶数，2n-I或2n+l是奇数。
如果n是正整数，那么2n是正偶数，2n-l是正奇数。
.奇数、偶数是整数的一种分类。
可表示为：［奇数整数或整数集合偶数这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数。
.奇数偶数的运算性质：奇数土奇数=偶数，奇数土偶数=奇数，偶数土偶数=偶数奇数X奇数=奇数奇数X偶数=偶数.偶数X偶数=偶数奇数的正整数次第是奇数，偶数的正整数次第是偶数，两个速续整数的和是奇数，积是偶数。
二、例题-求证：任意奇数的平方减去1是8的倍数证明：设k为整数，那么2k-l是任意奇数，(2k-l)2-1=4k2-4k+1-1 =4k(k-1)Vk(k-l)是两个速续整数的积，必是偶数.・.4k(k-l)是8的倍数即任意奇数的平方减去1是8的倍数.已知：有n个整数它们的积等于n,和等于0求证：n是4的倍数证明：设n个整数为X.X2冬,…七根据题意得x l x2x3…工”=〃①X,+工2+工3----X n=0②如果n为正奇数，由方程(1)可知X|,X2,X3,“・Xn都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适合方程(2)右边的0,所以n一定是偶数：当n为正偶数时，方程(1)左边的Xl,x2,x3,-x n中，至少有一个是偶数，而要满足方程(2)右边的0,左边的奇数必滇是偶数个，偶数至少有2个。
所以n是4的倍数。
例3己知：a,b,c都是奇数求证：方程ax2+bx+c=0没有整数解证明：设方程的有整数解x,若它是奇数，这时方程左边的ax?,bx,c都是奇数，而右边0是偶数，故不能成立：若方程的整数解x是偶数，那么ax2,bx,都是偶数，c是奇数，所以左边仍然是奇数，不可能等于0o既然方程的解不可能是奇数，也不能是偶数，..・方程ax2+bx+c=0没有整数解(以上的证明方法是反证法) 例4求方程x2-y2=60的正整数解解：(x+y)(x —y)=60,60 可分解为：1X60, 2X30, 3X20, 4X15, 5X12, 6X10 左边两个因式(x+y), (x —y)至少有一个是偶数因此x, y 必滇是同奇数或同偶数，且x>y>0,适合条件的只有两组x + y = 30x-y = 2x = 16y = 14x + y = 10 x-y = 6x = 8,J = 2解得4x = 16 x = 8••・方程x 2-y 2=6O 的正整数解是< _ -j = 14 [y = 2三、练习171.选择题① 设n 是正整数，那么n 斗n-1的值是( )(A)偶数(B)奇数(C)可能是奇数也可能是偶数② 求方程85x-324y=101的整数解.下列哪一个解是错误的？()②能被9和15整除的最小正奇数是—最大的三位数 —(A) ,x = 5(B) )=1x = 329(C)* = 86x = 653(D) y = 171x = 978y = 2562.填空:①能被3,5, 7都整除的最小正偶数是③ 1+2+3 + •••+2001+2002的和是奇数或偶数？答④ 正整数1234-20012002是奇位数或偶位数？答—⑤ 性业能被11整除，那么n 是正奇数或正偶数？答.~~3. 任意三个整数中，必有两个的和是偶数，这是为什么？4. 试说明方程2x+10y=77没有整数解的理由5. 求证：两个速续奇数的平方差能被8整除6. 试涯明：任意两个奇数的平方和的一半是奇数7. 求方程(2x-y-2) 2+ (x+y+2)的整数解8. 方程 19x+78y=8637 的解是()fx = 78 * = 84 [x = 88 [x = 81(A)； (B){ (C)《 (D)《y = 91 [y = 92 [* = 93 \y = 919.卜进制中.六位数19^87能被33整除，求a,b 的值练习17掺考答案：】.①B,②D2. ①210,②45.945③奇数(有奇数个奇数)，④奇数位，⑤正偶数3. 整数按奇数.偶数分为两类，3个整数中必有两个同是奇数或同偶数，故它们的和是偶数4二•左边2, 10、都是偶数，x.y 不论取什么整数，都是偶数，而右边是奇数，等式不能成 立5. (2n+l)2-(2n-l)2=8n6. 任意两个奇数可设为2m-l,2n-l7....两个整数的平方和5为，只有(±[>^±2)2=5或(±2p+(±l)2=5可得四个方程组，2x - y-2 = 1,2,—1,-2x + y + 2 = 2,1,-2,-18. (D) 9. a=9, b=2： a=2, b=6： a=5 , b=9o。
初中数学竞赛奇数与偶数
奇数与偶数例1在1，2，3，…，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？例2设1，2，3，…，9的任一排列为a1，a2，…，a9.求证：(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是一个偶数．例3有n个数x1，x2，…，x n，它们中的每一个数或者为1，或者为-1．如果x1x2+x2x3+…+x n-1x n+x n x1=0，求证：n是4的倍数．例4设a，b是自然数，且满足关系式(11111+a)(11111-b)=123456789．求证：a-b是4的倍数．例5某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分．证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．例6证明15块4×1的矩形骨牌和1块2×2的正方形骨牌不能盖住8×8的正方形.练习1．设有101个自然数，记为a1，a2，…，a101．已知a1+2a2+3a3+…+100a100+101a101=s是偶数，求证：a1+a3+a5+…+a9９+a101是偶数．2．设x1，x2，…，x1998都是+1或者-1．求证：x1+2x2+3x3+…+1998x1998≠0．3．设x1，x2，…，x n(n＞4)为1或-1，并且x1x2x3x4+x2x3x4x5+…+x n x1x2x3=0．求证：n是4的倍数．4．(1)任意重排某一自然数的所有数字，求证：所得数与原数之和不等于99…9(共n个9，n是奇数)；(2)重排某一数的所有数字，并把所得数与原数相加，求证：如果这个和等于1010，那么原数能被10整除．5．(1)有n个整数，其和为零，其积为n．求证：n是4的倍数；(2)设n是4的倍数，求证：可以找到n个整数，其积为n，其和为零．6．7个杯子杯口朝下放在桌子上，每次翻转4个杯子(杯口朝下的翻为杯口朝上，杯口朝上的翻为杯口朝下)，问经过若干次这样的翻动，是否能把全部杯子翻成杯口朝上？7．能否把1，1，2，2，3，3，4，4，5，5这10个数排成一行，使得两个1中间夹着1个数，两个2之间夹着2个数，…，两个5之间夹着5个数？奇数与偶数参考答案1．a1+a3+…+a101=S-(2a2+2a3+4a4+4a5+…+100a100+100a101)为偶数.2．x1+2x2+3x3+…+1998x=(2x2+4x4+…+1998x1998)+(x1+3x3+…+1997x1997)后一括号中的每一加数均为奇数，且1-1997中共有999个奇数，故它是奇数个奇数的和为奇数.3．在n个加数中，+1的个数和-1的个数一样多，故n为偶数，令n=2k，又(x1x2x3x4)(x2x3x4x5) …(x n x1x2x3)= (x1x2x3…x n)4 =1，故这个加数中-1的个数是偶数，即k为偶数，从而n是4的倍数.4.（1）若原数和所得数之和为99…9，则此加法没有进位，且原数中的各位上的奇数和偶数一样多，这与是偶数矛盾.（2）如果原数末位不为0，则它与重排数的末位数字之和为10，而其余9个数位上的数字之和都为9，故原数与重排数之和为9×9+10=91，这与它应为奇数矛盾.5．（1）设a1a2a3…a n=n ①, a1+a2+a3+…+a n=0 ② 若n为奇数，由①知a1,a2,a3,…,a n均为奇数，这n个数之和为奇数，与②矛盾，故n为偶数。
高一年级竞赛数学数论专题讲义：7.奇数偶数
高一竞赛数论专题7.奇数偶数1.求所有的正整数2n ≥使得对于任意的两个整数,(0,)i j i j n ≤≤均有i j +与i j n n C C +同奇偶.2.在一个国家里,国王要建n 座城市,并且在它们之间建1n -条道路,使得从每座城市可通往任何一座城市(每条道路连接两座城市,道路不相交,也不经过其他城市).国王要求：沿着道路网,两座城市之间的最短距离分别为1公里,2公里,3公里,,(1)2n n -公里. (1)若6n =；国王的要求能实现？(2)若2017n =；国王的要求能实现？3.设111212122212(4)n n n n nn a a a a a a A n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=≥ ⎪ ⎪⎝⎭中的1(1,)ij a i j n =±≤≤,现将矩阵A 中n 个两两既不同行也不同列的的数的乘积称为一个基本项,例如1122nn a a a 就是一个基本项.证明：矩阵A 的全部基本项的和总能被4整除.4.求所有使得212122x x y +++=的整数对(,).x y高一竞赛数论专题7.奇数偶数解答1.求所有的正整数2n ≥使得对于任意的两个整数,(0,)i j i j n ≤≤均有i j +与i jn n C C +同奇偶. 解：i j +与i j n n C C +同奇偶就是说()i j n n C C i j +-+是偶数,也就是,i j n n C i C j --同奇偶.注意到当0i =时,对任意的正整数2n ≥都有1i n C i -=,所以i n C i -的只能都是奇数.再注意到当i n =时,对任意的正整数2n ≥都有1n n C n n -=-,所以n 一定是偶数.所以当i 为奇数时,i n C 为偶数,当i 为偶数时,i n C 为奇数,且n 是偶数.于是111i i i n n n C C C +++=+必为奇数.若111i i i n n n C C C +++=+为奇数,注意到01n C =时奇数,所以i 为奇数时,i n C 为偶数,当i 为偶数时,i n C 为奇数.从而我们证明了i j +与i j n n C C +同奇偶的充要条件是11i n C ++为奇数.若11i n C ++为奇数,则2(1,2,,1)k n C k n +=+都是偶数,因为1212.k k n n n C C k -+++= 由任意性可取11212s s k n +≤=≤+<,因为2n ≥,所以1s ≥,则221212.2ss n n s n C C -+++=于是2| 2.s n + 所以1222s s n +<+≤,于是122.s n ++=于是12222(2)s k n k +=-=-≥.另一方面若22(2)kn k =-≥,我们证明21(2)k q C k -≥都是奇数. 21(21)(22)(2)12k k k k qq C q----=⋅,2k t -与t 所含的2的方幂相同,这是因为2||,u t 则u k <,2|2,u k t - 但因为12u t +Œ,12|2,u k +所以122.u k t +-Œ即2||2.u k t -所以21(2)k q C k -≥都是奇数. 法2：i j +与i j n n C C +同奇偶就是说()i j n n C C i j +-+是偶数,也就是,i j n n C i C j --同奇偶.注意到当0i =时,对任意的正整数2n ≥都有1i n C i -=,所以in C i -的只能都是奇数.再注意到当i n =时,对任意的正整数2n ≥都有1n n C n n -=-,所以n 一定是偶数.101022,22k k k k n a a a i b b b =+++=+++,,0,1.i i a b =因为n 一定是偶数,00.a =①若i 是奇数,则01,b =由Lucas 定理知道011101100(mod2).k k k k b b b b b i n a a a a a C C C C C C C ≡=≡ 所以in C i -是奇数.满足条件.②若i 是偶数,则00,b =若存在i i b a >,则0i i b a C =, 于是由Lucas 定理知道01100(mod2).ki k i b b b b i n a a a a C C C C C ≡≡所以i n C i -是偶数矛盾. 所以对任意的0,1,,i n =都有.i i a b ≥取最大的12120k i =⋅++⋅+, 则此时的n 只能是11212022(1)22(2).k k m n k m +=⋅++⋅+=-≥=-≥ 此时由Lucas 定理知道01101101101(mod2).kk b b b in a a a C C C C C C C ≡=≡ 所以i n C i -是奇数.满足条件. 若22(2),m n m =-≥则12120.k n =⋅++⋅+由Lucas 定理i nC i -是奇数. 所以22(2).m n m =-≥2.在一个国家里,国王要建n 座城市,并且在它们之间建1n -条道路,使得从每座城市可通往任何一座城市(每条道路连接两座城市,道路不相交,也不经过其他城市).国王要求：沿着道路网,两座城市之间的最短距离分别为1公里,2公里,3公里,,(1)2n n -公里. (1)若6n =；国王的要求能实现？(2)若2017n =；国王的要求能实现？解：首先由要建n 座城市,并且在它们之间建1n -条道路知道从任何一座城市到另外一座城市只有唯一的线路,若不然,一定存在某几座城市可以形成环线,不妨设00(2)n n ≥座城市形成环线,这个环线至少需要0n 条道路,每增加一座城市,至少需要建1条道路,所以增加0n n -座城市至少需要建0n n -条道路,从而总共至少要建n 条道路.矛盾.。
(完整版)四年级奥数奇数与偶数(教师用含答案)
第二讲：奇数与偶数教学目标本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。
无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。
知识点拨一、奇数和偶数的定义整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
二、奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数三、两个实用的推论：推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
推论2：对于任意2个整数a,b ,有a+b 与a-b 同奇或同偶模块一：奇数偶数基本概念及基本加减法运算性质【例 1】 1231993++++……的和是奇数还是偶数？【解析】 在1至1993中，共有1993个连续自然数，其中997个奇数，996个偶数，即共有奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数【巩固】 123456799100999897967654321+++++++++++++++++++++L L 的和是奇数还是偶数？为什么？【解析】 在算式中，1~99都出现了2次，所以123499999897964321++++++++++++++L L 是偶数，而100也是偶数，所以1234567991009998979676++++++++++++++++L L54321+++++的和是偶数．【巩固】 2930318788+++++……得数是奇数还是偶数？【解析】 偶数。
小学数学竞赛五、奇数与偶数
五、奇数与偶数小学数学课本第十册“数的整除”这部分教材中指出，凡是能被2整除的数叫偶数.大于零的偶数，又叫双数.凡是不能被2整除的数叫奇数，大于零的奇数又叫单数.因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数（这里k是整数）.因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子2k+1来表示奇数（这里k是整数）.奇数和偶数有许多性质，常用的有：性质1 两个偶数的和或差仍是偶数.例如8+4=12，8-4=4等.两个奇数的和或差也是偶数.例如9+3=12，9-3=6等.奇数与偶数的和或差是奇数.例如9+4=13，9-4=5等.单数个奇数的和是奇数，双数个奇数的和是偶数，几个偶数的和仍是偶数.性质2 奇数与奇数的积是奇数.例如9×11=99等.偶数与整数的积是偶数.例如2×5=10，2×8=16等.性质3 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数.下面用这些性质来解几道题.例1 有九只杯口向上的杯子放在桌上，每次将其中四只杯同时“翻转”，使其杯口向下.问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使九只杯口全部向下？为什么？分析与解对每只杯口向上（下）的杯子，只有“翻转”1次、3次、……后才能使杯口向下（上）.即对每只杯子，只有“翻转”单数次后，其杯口的朝向才能改变.现在要求九只杯口向上的杯子杯口全部朝下，那么每只杯子必须经过奇数次“翻转”，根据前面性质1中指出的：单数个奇数的和是奇数可知，这九个奇数的和一定是个奇数.即只有经过奇数次“翻转”，才能使九只杯口向上的杯子的杯口变为全部朝下.另外每次只能同时“翻转”四只杯子.这就是说，不管如何“翻转”，最后“翻转”的总次数一定是4的倍数.4是偶数，所以“翻转”的总次数是个偶数.前面要求“翻转”总次数必须是奇数，这里又说它一定是个偶数，前后矛盾，所以按要求无论怎样“翻转”，都不能使九只杯口全部向下.例2 能否在下式的各□内填入加号或减号，使下式成立，为什么？9□8□7□6□5□4□3□2□1=10分析与解因为每个□内都可以填入加号或减号，一共有8个□，所以共（28=）256种填法，故不能采用试验的方法解这道题.我们还是从简单情况开始.因为9是奇数，8是偶数，所以根据前面提到的性质，9□8当□内不管填“＋”或“－”，9□8一定是奇数.因为9□8是奇数，7也是奇数，所以9□8□7中7前面那个□内不管填“＋”或“－”，9□8□7一定是偶数.同理可以推出：因为9□8□7是偶数，6也是偶数，所以9□8□7□6一定是偶数.因为9□8□7□6是偶数，5是奇数，所以9□8□7□6□5一定是奇数.因为9□8□7□6□5是奇数，4是偶数，所以9□8□7□6□5□4一定是奇数.因为9□8□7□6□5□4是奇数，3也是奇数，所以9□8□7□6□5□4□3是偶数.因为9□8□7□6□5□4□3是偶数，2也是偶数，所以9□8□7□6□5□4□3□2一定是偶数.因为9□8□7□6□5□4□3□2是偶数，1是奇数，所以9□8□7□6□5□4□3□2□1是奇数.以上推理过程告诉我们，不管题目中8个□内如何填“+”或“-”，9□8□7□6□5□4□3□2□1总是一个奇数，而10是个偶数.根据前面的性质3，不管8个□如何填“+”、“-”，9□8□7□6□5□4□3□2□1≠10.这题也可以这样想，根据同一级运算的“搬家性质”，当8个□内的“+”、“-”一经填好后，一定有9□8□7□6□5□4□3□2□1=（9□7□5□3□1）□（8□6□4□2）.第一个括号内的9、7、5、3、1都是奇数，故不管第一个括号内的4个□内如何填“+”、“-”，9□7□5□3□1一定是个奇数.第二个括号内的8、6、4、2都是偶数，所以不管第二个括号内3个□内如何填“+”、“-”，8□6□4□2一定是偶数.这一来，不管两个括号中间那个□内如何填“+”、“-”，最后结果是奇数，而10是偶数，根据前面的性质3，不管题中8个□内如何填“+”、“-”，9□8□7□6□5□4□3□2□1≠10.例3 有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7，从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？分析与解先按题目中的要求，在1、9、8、7这4个数字的后面写出一些数来，便可得出下列的数串：1，9，8，7，5，9，9，0，3，1，3，7，4，…这串数单从数字看乱七八糟，又因为按要求可以无限写下去，所以不能采用直接写的方法来解这题.可是如果把这串数按奇、偶数来分类，可得下面数串：奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，…（奇、偶分别代表奇数与偶数）我们来分析这串数有什么规律.根据奇数加奇数和是偶数，奇数加偶数和是奇数，可以推出第五、六、七个数全是奇数，第八个数是偶数.再利用第五、六、七、八这四个数的奇偶性，又可推出第九、十、十一、十二个数又全是奇数，第十三个数又是偶数，…….这一来，便发现这串数从第四个数开始，以后各数按四个奇数一个偶数的规律循环排列着，而1、9、8、8是两个奇数接两个偶数，所以数串中不会出现1、9、8、8这四个数.例4 能不能在（形如图1的）6×6正方形棋盘格中的各个小方格内，分别写上1至36这36个数（每个数必须用一次），使得棋盘中任何一个如图2中所给四种形状图形中所放的四个数的和都是偶数？如果能办到，请给出一种具体的方法；如果办不到，请说明理由.分析与解将1～36这36个自然数随意填在6×6正方形棋盘格的36个小方格内，填法太多，要想用试验法找到满足要求的填法，比较麻烦，下面我们倒着来想这个问题.如果能找到一种填法，使题中的要求得到满足，那么在图1中，一定有一个图3的十字形图形，当它的五个小方格中的数分别用a1、a2、a3、a4、a5表示时，可得到下面的四个等式：a1+a2+a3+a4=偶数（1）a1+a2+a3+a5=偶数（2）a1+a3+a4+a5=偶数（3）a2+a3+a4+a5=偶数（4）将（1）、（2）两式相减，等号前面是a4、a5的差，等号后面是两偶数相减，这说明a4与a5的差是偶数，所以a4与a5要么同是奇数，要么同是偶数.同样，（1）、（3）两式相减，可以得出a2与a5同是奇数或同是偶数.（1）、（4）两式相减，可以得出a1与a5同是奇数或同是偶数.这一来，a1、a2、a4、a5同是奇数或同是偶数.再看（1）式，当a1、a2、a4同是奇数时，为保证a1、a2、a3、a4之和是偶数，a3也应是奇数.当a1、a2、a4、a5同是偶数时，为保证a1、a2、a3、a4之和是偶数，a3也是偶数.这就说明a1、a2、a3、a4、a5这五个数要么同是奇数，要么同是偶数.另外图3那样的十字形图形，除了不能出现在（图1的）6×6棋盘格的四个角外，其他地方都可以出现.这一来，图1除掉四个角之外的32个小方格中的数要么都是奇数，要么都是偶数.但1至36这36个自然数中最多只有18个数同是奇数，或同是偶数，不可能有32个数同是奇数或同是偶数，这说明满足要求的填法不存在.上面例4告诉我们，解决这类问题除了用奇数与偶数的性质外，还用了一种倒着想的方法.就是先假定某一说法正确，然后利用这一说法和其他性质进行分析，最后得到一个不可能正确的结论来，从而说明假定的某一说法不对.这种想法在数学上叫“反证法”，以后在中学数学的学习中你会再次遇到.。
小学数学竞赛四十九 奇偶性分析
四十九奇偶性分析同学们知道，能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数．通常偶数记作2n，奇数记作2n＋1（n为整数）．一个整数要么是奇数，要么是偶数，二者必居其一，这是整数的最基本的性质．一个整数是奇数还是偶数是这个数自身的属性，称为这个数的奇偶性．用奇数、偶数性质解题的方法称做奇偶分析．问题49．17个学生围成一圈，依逆时针方向依次编号为1，2，…，7号．老师按下述规则叫号，设某一次叫到第k（1≤k≤7）号，则下一次被叫到的是第k号后面的第k个学生．试说明不论第一次叫到哪一号，至少有一个学生永远叫不到．分析分k＝7与k≠7两种情况进行讨论．解设第k号学生后面被叫到的是第n号学生，则2k≤7时， n＝2k；2k＞7时，n＝2k—7．故当k＝7时，n＝7，即除了第7号学生外，其余学生都叫不到．当k≠7时，2k≠ 7，2k—7≠7，所以第7号学生永远叫不到．综上所述，说明不论第一次叫到哪一号，至少有一个学生永远叫不到．问题49．2有七个杯口全部向上的杯子，每次将其中四个同时“翻转”．问能否经过这样有限多次的“翻转”使杯口全部向下？为什么？分析对每一个杯口向上的杯子，只要“翻转”奇数次就能使杯口向下．解要把七个杯子翻得杯口向下，每个杯子要翻奇数次，而七个（奇数个）奇数的和仍是奇数，即不管怎么“翻转”，七个杯子“翻转”次数的总和是奇数．但是，问题要求每次都是四个杯子同时“翻转”，因此无论怎么“翻转”，最终杯子“翻转”次数总和一定是偶数．这与上面所述“翻转”次数的总和是奇数发生矛盾．因此，按规定不可能经过有限多次的“翻转”，使得七个杯子的杯口全部向下．问题49．3任意改变某一个三位数的各位数字的顺序，得到一个新三位数．试说明新数与原数之和不能等于999．分析从反面思考．]设新数与原数之和能等于999，即因为C＋C′最大只能是且8，不可能是19，所以C＋C′＝9．同理b＋b′＝9，a＋a′＝9．因为a＋b＋c＝a′＋b′＋c′，所以（a＋a′）＋（b＋b′）＋（c＋c′）＝9＋9＋9，故2（a＋b＋c）＝27．而这个等式左边是偶数，右边是奇数，发生矛盾，因此，新数与原数之和不能等于999．问题49．4三个各不相同的质数之积恰好等于它们和的7倍，求这三个质数．中必有一个质数等于7．解设这三个质数分别为x、y、z，则因此，这三个质数中必有一个质数是7，不妨设x＝7．于是，y×z＝y＋z＋7，即y×z－（y＋z）＝7．根据偶数－奇数＝奇数，奇数－偶数＝奇数，分别进行讨论．若y×z是偶数，则y与z中必有一个为偶数2，不妨设y＝2．而2×3－（2＋3）＝1，2×5－（2＋5）＝3，2×11－（2＋11）＝9，……其它情况都不合条件y×z－（y＋z）＝7．若y×z是奇数，则y与z都为奇数．而3×5－（3＋5）＝7，符合条件．其它情况都不合条件y×z－（y＋z）＝7．所以，这三个质数分别为3、5、7．问题49．5沿江均匀分布着A、B、C、D四个码头，每两个相邻码头间的距离相等．早晨有甲、乙两船从A出发，各自去这些码头多次往返运送货物（假设船在相邻两码头航行时，中途不改变航向）．傍晚，甲船停在A 码头，乙船停在D码头．请说明：无论两船如何航行，它们一天中的航程总不相等．分析甲的航程是个偶数，乙的航程是个奇数，它们不可能相等．解四个码头把这段水路均匀分成3小段，设每小段水路长为a．由于船从一个码头出发，再返回本码头时，往返每小段在计算航程时，都应重复计算．故甲由A出发再回到A，它的航行路程应是a的偶数倍．而乙由A出发，最后至D，所以乙的航程应是a的3倍加上a的偶数倍，其和是a的奇数倍．因为a的偶数倍不等于a的奇数倍．所以无论两船如何航行，它们一天中的航程总不相等．问题49．6在如图49－1所示的“十字形”图中，已填入两个数字1与8．问在其余的格子中能否填满整数，使得横行任相邻二数左边减右边所得之差都相等，使得纵列任二相邻二数下面减上面所得之差也都相等．分析具有上述性质的一列数：a，a＋d，a＋2d，a＋3d，…无论a的奇偶性如何，a与a＋2d的奇偶性总相同．解设图49－1中的横行与纵列相交处所填的数字为p，则根据分析中所指出的性质，p与8的奇偶性相同，p应为偶数，又p也应与1的奇偶性相同，p应为奇数，于是发生矛盾．因此，在其余的格子中不能填满整数，使得横行任相邻二数左边减右边所得之差都相等，使得纵列任相邻两数下面减上面所得之差也都相等．问题49．7圆周上有1993个点，分两次给每个点分别染色（红色或蓝色）．染色结果共有1993个点染红色，1993个点染蓝色．试说明至少有一个点第一次与第二次染不同颜色．分析从反面思考．解假设没有一点两次染不同颜色，比如第一次染m（m＜1993）个红色点，第二次仍需且仅需染这m个点为红色．但红色点共1993（奇数）个，不能等于2m（偶数）个．因此，至少有一个点第一次与第二次染不同颜色．问题49．8如图49－2是一个两色显示盘，每行左边有一个按键，如图中A、B、C，每按一个键，这一行的三个小方框同时改变一次颜色（即白变黑，黑变白）；同样，每列上方也有一个按键，如图中甲、乙、丙，每按一个键，这一列的三个小方框同时改变一次颜色．现在问：能否按若干次键，使左图变成右图？如果能，请说出按键步骤；如果不能，请说出理由．分析每格只有两种颜色变化，因此颜色的改变与按键的奇、偶次数有关．解仔细观察左图和右图，除左上角第一格外，各格都改变了颜色，说明各行或各列应按奇数次键，但左上第一格却需按偶数次键，但每个键管一行（或一列），不可能只管一格．因此，不能按若干次键，使左图变成右图．问题问题49．9设有一线段，A点涂以红色，B点涂以蓝色，在线段AB中任选10个点，任意涂上红色或蓝色，这样就构成了11条小线段．如果小线段的两个端点颜色不同，则称这小线段为“甲等的”；如果两个端点颜色相同，称为“乙等的”．问“甲等的”线段的条数是奇数还是偶数？说明理由．分析每增加一个点，不论涂什么颜色，“甲等的”线段的条数要么不增加，要么增加2．解原线段AB的两个端点颜色不同，应属于“甲等的”线段．当“AB”中插入一个点时，这一点不论是红色还是蓝色，“甲等的”线段的条数仍是1，即“甲等的”线段增加的条数为0．以后插入的点有两种情况，如果插入的点在“甲等的”线段中，则“甲等的”线段增加的条数为0；如果插入的点在“乙等的”线段中，则当该点与两端点的颜色相同时，“甲等的”线段增加的条数为0，当插入的点与两端点的颜色不同时，“甲等的”线段增加的条数为2．因此，每增加一个点，不论涂什么颜色，“甲等的”线段增加的条数为0或2．设增加2的点数为n，则增加0的点数为10—n．1＋2n＋0×（10—n）＝2n＋1．所以“甲等的”线段的条数是奇数．问题49．10甲、乙二人做游戏，先任意指定5个整数（允许有相同的）．甲先把这5个整数以任意的顺序填在图49－3中第一行的方格内，然后乙再将这5个数以任意的顺序填在第二行的方格内，最后将所有同一列的两个数的差（共有5个差）相乘．约定：如果积为偶数，算甲胜；如果积为奇数，算乙胜．你能判断谁胜吗？图49-3分析在5个整数中，奇数的个数与偶数的个数是不相等的．解因为在5个整数中，奇数的个数与偶数的个数是不相等的，所以每一列的两个数不可能奇偶性都不相同（否则，这5个整数中奇数的个数与偶数的个数相等，但这是不可能的），即至少有一列的两个数的奇偶性相同，这两个数的差是偶数．因此，所有同一列的两个数的差相乘的积为偶数，故甲必胜．1．如果十个互不相同的两位奇数之和等于898，那么这十个数中最小的一个是多少？2．围棋盘上有19×19个交叉点，现在放满了黑子与白子，且黑子与白子相间地放，并使黑子（或白子）的上、下、左、右的交叉点放着白子（或黑子）．问能否把黑子全移到原来白子的位置上，而白子也全部移到原来黑子的位置上？3．中国象棋盘的任意位置上有一匹马，它跳了若干步正好回到原来的位置．问马所跳的步数是偶数还是奇数？4．将任意6个整数填入2×3的方格中，试说明一定存在一个矩形，它的4个角上的4个数字之和为偶数．5．桌上放着一排硬币有若干个，背面国徽图案都朝外．两个小朋友做翻硬币的游戏．规定每人每次只能翻一枚或相邻两枚硬币使之正面朝外，两人轮流翻动，最后一个把硬币全翻成正面朝外者为胜．请你想一想，怎样做才能一定获胜？6．有编号为1到100的100盏关着的灯，每盏灯都有一根拉线开关．第一次将所有灯的拉线开关拉一下，第二次将所有编号为2的倍数的灯的拉线开关拉一下，第三次将所有编号为3的倍数的灯的拉线开关拉一下，…，直到第100次将编号为100的灯的拉线开关拉一下．问最后有哪几盏灯是亮着的？练习49答案1．898－（83＋85＋87＋89＋91＋93＋95＋97＋99）2．因为19×19＝361是奇数，所以必有奇数个白子（或黑子），偶数个黑子（或白子），但奇数不等于偶数，故不能做到黑子与白子对调．3．把棋盘上的所有交叉点分别“染成”黑、白两色，使同一直线上的点黑、白相间．不妨设马从黑点出发，一步只能跳到白点，下一步再从白点跳到黑点．要使马跳了若干步回到原来黑点的位置，所跳的步数必须是偶数才行．4．如下图所示，设所填格中整数分别为a1、a2、a3、b1、b2、b3．则3个小矩形4角上4数之和分别为：a1＋b1＋a2＋b2，a1＋b1＋a3＋b3，a2＋b2＋a3＋b3．假设这3个和数都为奇数，把三式相加得：2×（a1＋b1＋a2＋b2＋a3＋b3）＝奇数．而等式左边是偶数，右边是奇数，发生矛盾．所以上述3个和数中至少有一个是偶数．因此，一定存在一个矩形，它的4个角上的4个数字之和为偶数．5．要想一定获胜，必须第一个翻动硬币．如果硬币总数为奇数，则首先把居中的一枚硬币翻过来，然后，不管后翻者翻动一枚或两枚，先翻者总是对称地翻动相同枚数的硬币，照此下去，先翻者一定获胜．如果硬币总数为偶数，则首先把居中的两枚硬币翻过来，后面采取的方法与第一种情形完全一样，这样先翻者也一定获胜．6．因为只有完全平方数的约数的个数是奇数，所以编号为完全平方数的灯的拉线开关被拉了奇数次，灯才是亮着的．因此，最后灯是亮着的为编号1、4、9、16、25、36、49、64、81、100的灯，共10盏灯．。
小学五年级奥数题及答案：奇数与偶数
【导语】海阔凭你跃，天⾼任你飞。
愿你信⼼满满，尽展聪明才智;妙笔⽣花，谱下锦绣第⼏篇。
学习的敌⼈是⾃⼰的知⾜，要使⾃⼰学⼀点东西，必需从不⾃满开始。
以下是⽆忧考为⼤家整理的《⼩学五年级奥数题及答案：奇数偶数》供您查阅。
某校举⾏数学竞赛，共有20道题。
评分标准规定，答对⼀题给3分，不答给1分。
答错⼀题倒扣1 分，全校学⽣都参加了数学竞赛，请你判断，所有参赛学⽣得分的总和是奇数还是偶数？
答案：
以⼀个学⽣得分情况为例。
如果他有m 题答对，就得3m 分，有n题答错，则扣n分，那么，这个学⽣未答的题就有（20-m-n）道，即还应得（20-m-n）分。
所以，这个学⽣得分总数为：
3m-n+（20-m-n）
=3m-n+20-m-n
=2m-2n+20 =2（m-n+10）
不管（m-n+10）是奇数还是偶数，则2（m-n+10）必然是偶数，即⼀个学⽣得分为偶数。
由此可见，不管有多少学⽣参赛，得分总和⼀定是偶数。
奇数与偶数(初中数学竞赛教案)
课题：数的整除性、质数和合数的复习与奇偶分析授课时间：2006-10-22一、本课知识点和能力目标1．知识点：①数的整除性、质数与合数的复习；②奇数与偶数.2．能力目标：通过典型例题的分析，提高学生的逻辑思维能力，培养学生的分析、解决问题的能力.二、数学思想与方法分类与讨论、转化与化归、反证法.三、本次授课节次及内容安排第1课时：数的整除性、质数与合数的复习.第2课时：奇数与偶数.第3课时：典型例题剖析.第4课时：课堂反馈.四．课外延伸、思维拓展第一课时【知识要点】1．整数的整除性复习；2．质数与合数的复习.【经典例题】例1 （第六届“汉江杯”数学竞赛）三个质数p、q、r满足p＋q＝r，且1＜p＜q，求p的值.解：∵p＋q＝r，p、q，r均为质数，∴r必为奇数，从而p、q中必有一个为2.又∵1＜p＜q，∴p=2.例2 设n是大于1的正整数，求证：n4+4是合数．证我们只需把n4+4写成两个大于1的整数的乘积即可．n4+4=n4+4n2+4-4n2＝(n2+2)2-4n2＝(n2-2n+2)(n2+2n+2)，因为n2+2n＋2＞n2-2n+2=(n-1)2+1＞1，所以n4+4是合数．例3a、b是整数，求证：a b-、ab中，至少有一个是3的倍数.+、a b证明若a、b中有一个数是3的倍数，则显然ab显然是3的倍数；若a、b被3除余1或余2，则a b-是3的倍数；若a、b被3除的余数不同，则a b+是3的倍数.【尝试练习】1．在自然数1，2，3，…，100中，能被2整除，但不能被3整除的数的个数是（ B ）A．33；B．34；C．35；D．36.提示：在1，2，3，…，100中，能被2整除的有50个，能被2整除，且能被3整除的有16个，故能被2整除，但不能被3整除的数的个数为34个。
2．若2001是两个质数的和，则这两个质数的乘积是 3998 .3．（第5届希望杯·94）已知199219931994199319941995N =⨯⨯+⨯⨯199419951996199519961997+⨯⨯+⨯⨯，则N 的末位数字是 4 .（提示：第一项的末位数字是4，其他三项的末位数字都是0）4．若a 是正整数，证明：(1)1a a ++不是完全平方数.证明：由于两个连续的正整数的平方数之间，不存在完全平方数. 而22(1)1(1)a a a a <++<+，故(1)1a a ++不是完全平方数.第二课时【知识要点】在整数中能被2整除的数叫做偶数，通常用2k 表示；不能被2整除的数叫做奇数，通常用21k +（或21k -）表示。
小学数学竞赛奇数和偶数
奇数和偶数【知识要点】整数可以分为奇数和偶数两类。
能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整数的整数叫做奇数。
一般地，偶数可以写作2n，奇数可以写作2n＋1（其中n是整数）。
奇数和偶数有下面一些重要性质：1.一个整数是奇数就不能是偶数，是偶数就不能是奇数，奇数不能等于偶数。
2.奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±偶数＝偶数。
3.奇数个奇数的和（或差）为奇数；偶数个奇数的和（或差）为偶数。
任意多个偶数的和（或差）总是偶数。
4.两个奇数之积为奇数，一个偶数与一个整数之积为偶数。
5.若干个整数相乘，其中若有一个因数是偶数，积就是偶数；如果所有的因数都是奇数，积就是奇数。
6.如果若干个整数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个整数的积是奇数，那么所有的因数都有奇数。
7.偶数的平方能被4整除；奇数的平方被4除余1；奇数的平方被8除也余1。
8.相邻两个整数的和一定是奇数，积一定是偶数。
【典型例题】例1.一次“手拉手”活动中，小朋友互相赠送小礼品，如果每人只要收到对方的礼品就一定要回赠，那么赠送了奇数件礼品出去的小朋友人数是奇数还是偶数？为什么？分析：由于每人只要收到礼品就一定要回赠，所以每人赠出的礼品与收到的礼品数目相等，也就是说小朋友们相互赠送的礼品总件数是偶数。
解：将赠送礼品的人分成两类：一类是赠送了偶数件礼品的人，他们赠送出去的礼品的总和是偶数。
因为若干个偶数的和是偶数。
另一类是赠送了奇数件礼品的人。
他们赠送的礼品总数＝总件数－赠送偶数件礼品的人送出的礼品总数＝偶数－偶数＝偶数。
只有偶数个奇数相加，其和才能是偶数。
所以赠送了奇数件礼品的人数一定是偶数。
例2.平面上有9个点，每三个点都不在同一条直线上。
现在从每个点都正好引7条线段和其余的任意7个点相连，你能连成吗？说明道理。
分析：用实际画线的方法是不可取的。
解决这个问题的关键在于依题意计算出线段的总条数。
解：若一条线段从A画到B，同样可以看作是从B画到A。
系列2奇数与偶数
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二.例题分析:
例1. 在1,2,3, …,2006每一个数前任意添 加一个正号或负号,他们的代数和是奇数还 是偶数?
拓展:你能在1,2,3…,2006前添加正号和负 号,使其代数和等于1吗?等于0吗?还能等于 其他的值吗?试一试?
(1)如果这41名运动员任意站成一排,是否 存在任意相邻的两位运动员的号码数之和 都是质数?
(2)能否让这41名运动员站成一个圆圈, 使得任意相邻的两位运动员的号码数之 和也都是质数?
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2.设a,b,c中有两个奇 数,一个偶数,试说明 (a+1)(b+2)(c+3)一定 为偶数.
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3.在黑板上写上1,2,…,2006,
只要黑板上还有两个或两个
以上的数就擦去其中的任意
两个数a,b,并写上|a－b|,问
最后黑板上剩下的数是奇数
还是偶数?
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4.某校七年级5个班
奇数与偶数
数学竞赛系列1
整2.奇数和偶数有哪些性质: (1).加乘法则:
+\－ 奇 偶 奇 偶奇 偶 奇偶
× 奇偶 奇 奇偶 偶 偶偶
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2.奇数和偶数有哪些性质:
(2)奇数≠偶数 奇数+偶数≠0 (3)两个整数的和与差的奇偶性有何关系? (4)整数a与|a|奇偶性有什么关系?
的足球队参加比赛,
能否安排出,使每个
五年级上册数学竞赛试题-第十六节 奇偶问题 (B班) 全国通用(无答案)
第十六节奇偶问题姓名：__________日期：__________ 【知识要点】奇数±奇数=偶数奇数±偶数=奇数偶数±偶数=偶数奇数×奇数=奇数奇数×偶数=偶数偶数×偶数=偶数【典型例题】例1．在图中有15个数，选出5个数，使它们之和等于30，你能做到吗？为什么？例2．桌子上有7个杯子，7个杯子的口都朝下，区区想把7个杯子的口都翻朝上，每次翻4个杯子，次数不限，问区区能否将7个杯子的口都翻朝上？例3．甲同学一手握有写着23的纸片，另一只手握有写着32的纸片，乙同学请甲回答如下一个问题：“请将左手中的数乘以3，右手中的数乘以2，再将这两个积相加，这个和是奇是还是偶数？”当甲说出和为奇数时，乙马上就猜出写有23的纸片握在甲的左手中，你能说出是什么道理吗？例4．有如图所示的12张扑克牌，2点、6点、10点各4张，你能从中选出7张牌，使上面点数之和恰好等于52吗？说明理由。
例5．平面上有11个齿轮咬合成一圈（如图所示），试问，能否使这些齿轮同时转动起来？聪明的商人这是古希腊哲学家喜欢讲的一个故事:强盗抢劫了一个商人，将他捆在树上准备杀掉。
为了戏弄这个商人，强盗头子对他说："你说我会不会杀掉你，如果说对了，我就放了你，决不反悔! 如果说错了，我就杀掉你。
"大家想一想商人回答什么强盗会放了商人?为什么?随堂小测1．判断下列各式的结果是奇数还是偶数（1）如果n为奇数，2n+21的和是（），3n-111的差是（）。
（2）1+2+3+…+2002+2003的和是（）数。
（3）2003+2002-2001+2000-1999+…+2-1是（）数。
（4）1+2×3+4×5+6×7+…50×51的和是（）数。
2．五个连续奇数的和是85，其中最大的数是，最小的数是。
3．能不能在下式的每个方框中，分别填入加号或减号，使等式成立？1□2□3□4□5□6□7□8□9=104．在八个房间中，有七个房间开着灯，一个房间关着灯，如果每次同时拨动四个房间的开关，能不能把全部房间的灯关上？为什么？5．一个工人将零件装进两种盒子中，每个大盒子12只零件，每个小盒子装5只零件，恰好装完，如果零件一共是99只，盒子个数大于10，这两种盒子各有多少个？☆6．甲盒中放90个白球和91个黑球，乙盒中放着91个白球，肖义每次任意从甲盒中摸出两个球，如果两个球同色，他就从乙盒中拿出一个白球放入甲盒，如果两个异色，他就把黑球放回甲盒，那么他拿多少次后，甲盒中只剩下一个球，这个球是什么颜色？课后作业姓名：__________成绩：__________ 1．选择正确答案的序号填在（）里（1）某数学竞赛，共20道题，评分标准是每道题答对给3分，不答给1分，答错扣1分，则参加竞赛学生总得分的奇偶性为（）。
初中数学竞赛精品标准教程及练习17奇数偶数
初中数学竞赛精品标准教程及练习17奇数偶数奇数和偶数是数学中一个基本的概念。
在初中数学竞赛中，关于奇数和偶数的题目经常出现，掌握好奇数和偶数的性质和运算规律对于解决问题非常重要。
下面是一份关于奇数和偶数的综合性教程及练习，帮助初中生们更好地理解和应用奇数和偶数。
一、奇数和偶数的定义1.整数除以2的余数为0的数称为偶数，如2、4、6、8等。
2.整数除以2的余数为1的数称为奇数，如1、3、5、7等。
二、奇数和偶数的性质1.任何整数与2的倍数的和、差和乘积都是偶数。
2.任何整数与奇数的和是奇数，与偶数的和是偶数。
3.奇数与奇数的和是偶数，偶数与偶数的和是偶数。
4.奇数与奇数的乘积是奇数，偶数与偶数的乘积是偶数，奇数与偶数的乘积是偶数。
5.在正整数的平方序列中，奇数的数字只有奇数个。
三、奇数和偶数的运算规律1.偶数加（或减）偶数，结果为偶数；奇数加（或减）奇数，结果为偶数。
2.偶数加奇数，结果为奇数；奇数加偶数，结果为奇数。
3.偶数乘以（或除以）偶数，结果为偶数；奇数乘以（或除以）奇数，结果为奇数。
4.偶数乘以奇数，结果为偶数；奇数乘以偶数，结果为偶数。
四、奇数和偶数的应用1.奇数和偶数的运算在统计领域中有广泛的应用，比如人口统计、数据分析等。
2.在排列组合中，奇数和偶数的性质对于解决问题非常重要。
3.在图形题中，奇数和偶数的性质常常用来判断图形的性质，如正方形、矩形等。
4.奇数和偶数的性质也常常出现在数学证明题中，通过利用奇数和偶数的性质，可以简化问题的分析过程。
练习题：1.把10个不同的奇数排成一排，其中前3个数之和是多少？2.把10个不同的偶数排成一排，其中任意5个数之和是多少？3.一个数的个位是2，十位是4，百位是6，千位是8，这个数是奇数还是偶数？4.一个数的个位是1，十位是5，百位是9，千位是4，这个数是奇数还是偶数？5.一批苹果共有24个，每天需要分给学生，要求每个学生分到的苹果个数是偶数个，那么最多可以分给多少个学生？答案：1.奇数的和仍然是奇数，因此前3个数之和是奇数。
竞赛专题：奇数、偶数及奇偶分析
奇数、偶数及奇偶分析一、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．若按奇偶性分类，则12+22+32+…+20022002是_________数．2．能不能在下式的各个方框中分别填入“+”号或“一”号，使等式成立？答：_________．3．已知三个质数a、b、c满足a+b+c+abc=99，那么|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|的值等于_________．4．在1，2，3，…，1998之前任意添上“十”或“一”号，然后相加，这些和中最小的正整数是_________．5．1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两整数的平方差的个数是_________．6．在一次象棋比赛中，每两个选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，平局每个选手各记1分，今有4个人统计百这次比赛中全部得分总数，由于有的人粗心，其数据各不相同，分别为1979，1980，1984，1985，经核实，其中有一人统计无误，则这次比赛共有_________名选手参加．7．已知p、q、pq+1都是质数，且p﹣q＞40，那么满足上述条件的最小质数p=_________，q=_________．8．三个质数之和为86，那么这三个质数是_________．二、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）9．已知n为整数，现有两个代数式：（1）2n+3，（2）4n﹣1，其中，能表示“任意奇数”的（）A．只有（1）B．只有（2）C．有（1）和（2）D．一个也没有10．如果a，b，c都是正整数，且a，b是奇数，则3a+（b﹣1）2c是（）A．只当c为奇数时，其值为奇数B．只当c为偶数时，其值为奇数C．只当c为3的倍数，其值为奇数D．无论c为任何正楚数，其值均为奇数11．设a，b为整数，给出下列4个结论：（1）若a+5b是偶数，则a﹣3b是偶数；（2）若a+5b是偶数，则a﹣3b是奇数；（3）若a+5b是奇数，则a﹣3b是偶数；（4）若a+5b是奇数，则a﹣3b是奇数，其中结论正确的个数是（）A．0个B．2个C．4个D．1个或3个12．下面的图形，共有（）个可以一笔画（不重复也不遗漏；下笔后笔不能离开纸）A．0 B．1 C．2 D．313．π的前24位数值为3.14159265358979323846264…，在这24个数字中，随意地逐个抽取1个数字，并依次记作a1，a2，…a24，则（a1﹣a2）（a3﹣a4）…（a23﹣a24）为（）A．奇数B．偶数C．奇数或偶数D．质数14．如a、b、c是三个任意整数，那么、、（）A．都不是整数B．至少有两个整数C．至少有一个整数D．都是整数15．（2001•荆州）将正偶数按下表排成五列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行 2 4 6 8第2行16 14 12 10第3行18 20 22 24………28 26根据上面排列规律，则2000应在（）A．第125行第1列B．第125行第2列C．第250行第1列D．第250行第2列16．如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为a，右图轮子上方的箭头指着的数字为b，数对（a，b）所有可能的个数为n，其中a+b恰为偶数的不同数对的参数为m，则m/n等于（）A．B．C．D．17．已知a、b、c中有两个奇数、一个偶数，n是整数，如果S=（a+2n+1）（b+2n+2）（c+2n+3），那么（）A．S是偶数B．S是奇数C．S的奇偶性与n的奇偶性相同D．S的奇偶性不能确定三、解答题（共16小题，满分88分）18．（1）是否有满足方程x2﹣y2=1998的整数解x和y？如果有，求出方程的解；如果没有，说明理由．（2）一个立方体的顶点标上+1或一1，面上标上一个数，它等于这个面的4个顶点处的数的乘积，这样所标的14个数的和能否为0？19．甲、乙两人玩纸牌游戏，甲持有全部的红桃牌（A作1，J，Q，K分别作11，12，13，不同），乙持有全部的黑桃牌，两人轮流出牌，每次出一张，得到一对牌，出完为止，共得到13对牌，每对牌彼此相减，问这13个差的乘积的奇偶性能否确定？20．没标有A、B、C、D、C、F、G记号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关，现在A、C、E、G4盏灯开着，其余3盏灯是关的，小刚从灯A开始，顺次拉动开关，即从A到G，再从A始顺次拉动开关，即又从A到G…，他这样拉动了1999次开关后，问哪几盏是开的？21．有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下．现要求每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反，问能否经过有限次翻转之后，使所有硬币的国徽都朝上？给出你的结论，并给予证明．22．对一个正整数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到1时操作停止，求经过9次操作变为l的数有多少个？23．高为50cm，底面周长为50cm的圆柱，在此圆柱的侧面上划分（如图所示）边长为lcm的正方形，用四个边长为lcm的小正方形构成“T”字形，用此图形是否能拼成圆柱侧面？试说明理由．24．（1）设1，2，3，…，9的任一排列为a l，a2，a3…，a9．求证：（a l l一1）（a2﹣2）…（a9﹣9）是一个偶数．（2）在数11，22，33，44，54，…20022002，20032003，这些数的前面任意放置“+”或“一”号，并顺次完成所指出的运算，求出代数和，证明：这个代数和必定不等于2003．25．已知x1、x2、x3、…、x n都是+1或﹣1，并且，求证：n是4的倍数．26．游戏机的“方块”中共有下面7种图形．每种“方块”都由4个l×l的小方格组成．现用这7种图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．问：最多可以用这7种图形中的几种图形？27．桌上放着七只杯子；杯口全朝上，每次翻转四个杯子：问能否经过若干次这样的翻动，使全部的杯子口都朝下_________（能或不能）？28．在1，2，3，…，2005前面任意添上一个正号或负号，它们的代数和是奇数还是偶数_________？29．“元旦联欢会上，同学们互赠贺卡表示新年的：良好祝愿．“无论人数是什么数，用来交换的贺卡的张数总是偶数．”这句话正确吗？试证明你的结论．30．桌面上放有1993枚硬币，第1次翻动1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第3次翻动其中的1991枚，…，第1993次翻动其中一枚，试问：能否使桌面上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上？并说明理由．31．在6张纸片的正面分别写上整数：1、2、3、4、5、6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1﹣6这6个整数，然后，计算每张纸片的正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数．请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的．32．有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间，问：（1）若最初小船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数？如果它最后到了右岸，情况又是怎样呢？（2）若小船最初在左岸，它过河99次之后，是停在左岸还是右岸？33．黑板上写了三个整数，任意擦去其中一个，把它改写成另两个数的和减去1，这样继续下去，得到1995、1996、1997，问原来的三个数能否是2、2、2？新课标七年级数学竞赛培训第25讲：奇数、偶数及奇偶分析参考答案与试题解析一、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．若按奇偶性分类，则12+22+32+…+20022002是奇数．考点：整数的奇偶性问题。
2023年初中数学培优竞赛讲座第讲奇数偶数与奇偶分析
第二十五讲奇数、偶数与奇偶分析整数按能否被2整除分为两大类：奇数和偶数，奇数与偶数有下列基本性质：1．奇数≠偶数2．两个整数相加(减)或相乘，结果的奇偶性如下表所示3．若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数；偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和为偶数．4．设m、n是整数，则m土n，nm±的奇偶性相同．5．设m是整数，则m与m，m n的奇偶性相同．奇偶性是整数的固有属性，通过度析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析法．例题【例1】三个质数之和为86，那么这三个质数是．(“希望杯”邀请赛试题)思绪点拨运用奇数、偶数、质数、合数性质，从分析三个加数的奇偶性人手．注：18世纪的哥尼斯堡，有7座桥把这儿的普雷格尔河中两个小岛与河岸联系起来，在这迷人的地方，人们议论着一个有趣的问题．一个游人如何才干不反复地一次走遍7座桥，而最后又回到出发点．1736年彼得堡院士欧拉巧妙地解决了这个问题．欧拉把一个复杂的实际问题化为一个简朴的几何图形，他指出只要我们能从一点出发，不反复地一笔把这样的图形画出来，那么就可说明游人可以不反复地一次走遍这7座桥，这就是著名的“一笔画”问题的来历．运用奇偶分析不难得到一般的结论：凡是能一笔画成的图形，它上面除了起点和终点外的每一个点总是一笔进来，一笔出去．因此，除了起点和终点外的每一个点都有偶数条线和它相连．简朴地说，当且仅当图形中的奇结点(每点出发有奇数字线)的个数不大于2时，这个图形才干一笔画．【例2】假如a、b、c是三个任意的整数，那么222accbba+++、、（）．A．都不是整数B．至少有两个整数C．至少有一个整数D．都是整数(2023年TI杯全国初中数学竞赛题)思绪点拨 举例验证或从a 、b 、c 的奇偶性说明．【例3】 (1)设1，2，3，…，9的任一排列为a l ，a 2，a 3…，a 9．求证：(a l l 一1)( a 2 —2)…(a 9—9)是一个偶数．(2)在数11，22，33，44，54，…20232023，20232023，这些数的前面任意放置“+”或“一”号，并顺次完毕所指出的运算，求出代数和，证明：这个代数和必然不等于2023．思绪点拨 (1)转换角度考察问题，化积的奇偶性为和的奇偶性来研究；(2)由于任意添“十”号或“一”号，形式多样，因此不也许一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质人手．【例4】已知n x x x x 、、、、 321都是+1或一1，并且011433221=+++++-x x x x x x x x x x n n n ，求证：n 是4的倍数．思绪点拨 可以分两步，先证n 是偶数2k ，再证明k 是偶数，解题的关键是从已知等式左边各项的特点受到启发，挖掘隐含的一个等式．【例5】 游戏机的“方块”中共有下面?种图形．每种“方块”都由4个l ×l 的小方格组成．现用这7种图形拼成一个7× 4的长方形(可以反复使用某些图形)．问：最多可以用这7种图形中的几种图形?思绪点拨 为了形象化地说明问题，对7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，除“品字型”必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，其余6个方格各占2个黑格2个白格．注：对同一个数学对象，从两个方向考虑(n 项和与积)，再将这两个方面合在一起整体考虑，得出结论，这叫计算两次原理，通过计算两次可以建立方程，证明恒等式等．在一定的规则下，进行某种操作或变换，问是否(或证明)可以达成一个预期的目的，这就是所谓操作变换问题，此类问题变化多样，解法灵活，解题的关键是在操作变换中，挖掘不变量，不变性．一些非常规数字问题需要恰本地数学化，以便计算或推理．引入字母与赋值法是数学化的两种常用方式方法．所谓赋值法就是在解题时，将问题中的某些元素用适当的数表达，然后运用这些数值的大小，正负性、奇偶性等进行推理论证的一种解题方法．【例6】桌上放着七只杯子；杯口全朝上，每次翻转四个杯子：问能否通过若干次这样的翻动，使所有的杯子口都朝下?思绪点拨 这不也许．我们将口向上的杯于记为：“0”，口向下的杯子记为“1”．开始时，由于七个杯子全朝上，所以这七个数的和为0，是个偶数．一个杯子每翻动一次，所记数由0变为1，或由l 变为0，改变了奇偶性．每一次翻动四个杯子，因此，七个之和的奇偶性仍与本来相同．所以，不管翻动多少次，七个数之和仍为偶数．而七个杯子所有朝下，和为7，是奇数，因此，不也许．整数可以分为奇数和偶数两类．【例7】在1，2，3，…，2023前面任意添上一个正号或负号，它们的代数和是奇数还是偶数?思绪点拨 两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，只要知道1+2+3+...+2023的奇偶性即可． 因两个整数的和与差的奇偶性相同，所以，在1，2，3，...，2023中每个数前面添上正号或负号，其代数和应与1+2+3+...+2023的奇偶性相同，而1+2+3+ (2023)21(1+ 2023)×2023=1003 ×2023为奇数；因此，所求代数和为奇数．注：抓住“a+b 与a —b 奇偶性相同”，通过特例1十2十3十…十2023得到答案．【例8】“ 元旦联欢会上，同学们互赠贺卡表达新年的：良好祝愿．“无论人数是什么数，用来互换的贺卡的张数总是偶数．”这句话对的吗?试证明你的结论．思绪点拨 用分类讨论的思想方法，从“无论人数是什么数”入手，考虑人数为奇数或偶数的两种情况．这句话是对的的．下面证明之．若联欢会上的人数为偶数，设为2m (m 为整数)，则每个人赠送给同学们的贺卡张数为奇数，即(2m —1)．那么，贺卡总张数为2m(2m —1)=4m 2-2m ，显然是偶数．若联欢会上的人数为奇数，设为2m+1(m 为整数，则每个人赠送给同学们的贺卡张数应是2m ，为偶数．贺卡总张数为(2m+1)·2m ，仍为偶数．故“用来互换的贺卡张数总是偶数”是对的．注：按奇数和偶数分类考虑问题是常见的解决此类问题的策略之一．【例9】桌面上放有1993枚硬币，第1次翻动1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第3次翻动其中的1991枚，…，第1993次翻动其中一枚，试问：能否使桌面上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上?并说明理由．思绪点拨 若要把一枚硬币原先朝下的一面朝上，应当翻动该硬币奇数次．因此，要把1993枚硬币原先朝下的一面都朝上，应当翻动这1993枚硬币的总次数为奇数．现在1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997是个奇数，故猜想可以使桌面上1993枚硬币原先朝下的一面都朝上． 理由如下：按规定，1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997，所以翻动的次数为奇数，并且可见每个硬币平均翻动了997次．而事实上，只要翻动一枚硬币奇数次，就能使这枚硬币原先朝下的一面朝上．按如下的方法进行翻动：第1次翻动所有1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第1993次翻动第2次未翻动的那1枚，第3次翻动其中的1991枚，第1992次翻动第3次未翻动的2枚，第997次翻动其中的997枚，第998次翻动第997次未翻动的996枚．这样，正好每枚硬币被翻动了997次，就能使每一枚硬币本来朝下的一面都朝上．注：灵活、巧妙地运用奇俩性分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题，并故意想不到的效果．【例10】在6张纸片的正面分别写上整数：1、2、3、4、5、6，打乱顺序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1-6这6个整数，然后，计算每张纸片的正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数．请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的．思绪点拨 从反面人手，即设这6个数两两都不相等，运用bi a i -与i i b a - (i =1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同，引入字母进行推理证明．设6张卡片正面写的数是654321a a a a a a 、、、、、，反面写的数相应为654321b b b b b b 、、、、、，则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为11b a -，22b a -，33b a -，44b a -，55b a -，66b a -．设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值．于是11b a -+22b a -+33b a -+44b a -+55b a -+66b a -=0+1+2+3+4+5=15是个 奇数． 另一方面，bi a i -与i i b a - (i =1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同．所以11b a -+22b a -+33b a -+44b a -+55b a -+66b a -与(a 1一b 1)+(a 2一b 2)+(a 3一b 3)+(a 4一b 4)+(a 5一b 5)+(a 6一b 6)= )(654321a a a a a a +++++一)(654321b b b b b b +++++ =(1+2+3+4+5+6)一(1+2+3+4+5+6)=O 的奇偶性相同，而0是个偶数，15是奇数，两者矛盾．所以，11b a -，22b a -，33b a -，44b a -，55b a -，66b a -这6个数中至少有两个是相同的． 注：反证法是解决奇、偶数问题中常用的方法．【例11】有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间，问：(1)若最初小船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数? 假如它最后到了右岸，情况又是如何呢?(2)若小船最初在左岸，它过河99次之后，是停在左岸还是右岸?思绪点拨 (1)小船最初在左岸，过一次河就到了右岸，再过一次河就由右岸回到左岸，即每次由左岸出发到右岸后再回到左岸，都过了两次河．因此，小船由左岸开始，往返多次后又回到左岸，则过河的次数必为2的倍数，所以是偶数．同样的道理，不难得出，若小船最后停在右岸，则过河的次数必为奇数．(2)通过(1)，我们发现，若小船最初在左岸，过偶数次河后，就回到左岸；过奇数次河后，就停在右岸．现在小船过河99次，是奇数次．因此，最后小船该停在右岸．注 关键是对过河次数的理解：一个单程，即由左岸到右岸(或由右岸到左岸)就过河一次；往返一个来回就过河两次．【例12】黑板上写了三个整数，任意擦去其中一个，把它改写成另两个数的和减去1，这样继续下去，得到1995、1996、1997，问本来的三个数能否是2、2、2？思绪点拨 假如本来的三个整数是2、2、2，即三个偶数，操作一次后，三个数变成二偶一奇，这时假如擦去其中的奇数，操作后三个数仍是二偶一奇．假如擦去的是其中的一个偶数，操作后三个数仍是二偶一奇．因此，无论如何操作，得到的三个数都是二偶一奇，不也许得到1995、1996、1997． 所以，本来的三个数不也许是2、2、2．注 解决本题的诀窍在于考察数字变化后的奇偶性．【例13】(苏州市中考题)将正偶数按下表排成五列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行 2 4 6 8第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24… … 28 26根据上面的排列规律，则2023应位于( )A ．第125行，第1列B ．第125行，第2列C ．第250行，第1列D ．第250行，第2列思绪点拨 观测表格，第1行最右边的数为8，第2行最左边的数为16，第3行最右边的数为24，于是可猜测：当行数为奇数时，该行最右边的数为8×行数；当行数为偶数时，该行最左边的数为8×行数．通过验证第4行、第5行、第6行知，上述猜想是对的的，由于2023=8×250，所以2023应在第250行，又由于250为偶数，故2023应在第250行最左边，即第250行第1列，故应选C ．注：观测、寻找规律是解决这类问题的妙招．【例14】(2023年山东省竞赛题)如图18—1，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字．若左轮子上方的箭头指着的数字为a ，右轮子上方的箭头指着的数字为b ，数对(a ，b)所有也许的个数为n ，其中a+b 恰为偶数的不同数对的个数为m ，则nm 等于( ) A ．21 B ．61 C ．125 D ．43 思绪点拨 依题意可知所有的数对n=4×3=12，其中a+b 恰为偶数的数对m=3×1+1×2=5．因此，n m =125，故选C ． 【例15】(第江苏省竞赛题)已知a 、b 、c 中有两个奇数、一个偶数，n 是整数，假如S=(a+2n+1)(b+2n 十2)(c+2n 十3)，那么( )A ．S 是偶数B ．S 是奇数C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同D ． S 的奇偶性不能拟定思绪点拨 弄清a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3的奇偶性即可．依题得：(a+2n+1)+(b+2n+2)+(c+2n+3)=a+b+c+6(n+1)．∵a+b+c 为偶数，6(n+1)为偶数，∴a+b+c+6(n+1)为偶数∴a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3中至少有一个为偶数，∴S 是偶数．故选A ．注：三个数的和为偶数，则至少有一个为偶数；三个数中有一个为偶数，则三数之和为偶数．学力训练1．若按奇偶性分类，则12+22+32+…+20232023是 数．2．能不能在下式， 的各个方 框中分别填入“+”号或“一”号，使等式成立?答： ．3．已知三个质数a 、b 、c 满足a+b+c+abc ＝99，那么a c c b b a -+-+-的值等于 ．4．已知n 为整数，现有两个代数式：(1)2n+3，(2)4n 一1，其中，能表达“任意奇数”的( )A ．只有(1)B ．只有(2)C ．有(1)和(2)D ．一个也没有5．假如a ，b ，c 都是正整数，且a ，b 是奇数，则3a +(b 一1)2c 是( )．A ．只当c 为奇数时，其值为奇数B ．只当c 为偶数时，其值为奇数C ．只当c 为3的倍数，其值为奇数D ．无论c 为任何正楚数，其值均为奇数6．已知a ，b ，c 三个数中有两个奇数、一个偶数，n 是整数，假如S=(a+n+1)(b+ 2n+2)(c+3n+3)，那么( )．A ． S 是偶数B ．S 是奇数C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同D ．S 的奇偶性不能拟定(第16届江苏省竞赛题)7．(1)是否有满足方程x 2－y 2=1998的整数解x 和y?假如有，求出方程的解；假如没有，说明理由．(2)一个立方体的顶点标上+1或一1，面上标上一个数，它等于这个面的4个顶点处的数的乘积，这样所标的14个数的和能否为0?8．甲、乙两人玩纸牌游戏，甲持有所有的红桃牌(A 作1，J ，Q ，K 分别作11，12，13，不同)，乙持有所有的黑桃牌，两人轮流出牌，每次出一张，得到一对牌，出完为止，共得到13对牌，每对牌彼此相减，问这13个差的乘积的奇偶性能否拟定?9．在1，2，3，…,1998之前任意添上“十”或“一”号，然后相加，这些和中最小的正整数是 ． 10．1，2，3，…，98共98个自然数，可以表达成两整数平方差的数的个数是 ．(全国初中数学联赛试题)11．在一次象棋比赛中，每两个选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，平局每个选手各记1分，今有4个人记录百这次比赛中所有得分总数，由于有的人粗心，其数据各不相同，分别为1979，1980，1984，1985，经核算，其中有一人记录无误，则这次比赛共有名选手参与．12．已知p、q、pq+1都是质数，且p一q>40，那么满足上述条件的最小质数p＝；q＝．(第15届“希望杯”邀请赛试题)13．设a，b为整数，给出下列4个结论：(1)若a+5b是偶数，则a一3b是偶数；(2)若a十5b是偶数，则a一3b是奇数；(3)若a+5b是奇数，则a一3b是偶数；(4)若a+5b是奇数，则a一3b是奇数其中结论对的的个数是( )．A．0个B．2个C．4个D．1个或3个14．下面的图形，共有( )个可以一笔画(不反复也不漏掉；下笔后笔不能离开纸) ．A．0 B．1 C ．2 D．3 ( “五羊杯”竞赛题)15．π的前24位数值为3....，在这24个数字中，随意地逐个抽取1个数字，并依次记作a1，a2， (24)则(a1一a2)( a3一a4)…(a23一a24)为( )．A．奇数B．偶数C．奇数或偶数D．质数16．没标有A、B、C、D、C、F、G记号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关，现在A、C、E、G 4盏灯开着，其余3盏灯是关的，小刚从灯A开始，顺次拉动开关，即从A到G，再从A始顺次拉动开关，即又从A到G…，他这样拉动了1999次开关后，问哪几盏是开的?17．有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下．现规定每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反，问能否通过有限次翻转之后，使所有硬币的国徽都朝上?给出你的结论，并给予证明．(太原市竞赛题)18．对一个正整数作如下操作：假如是偶数则除以2，假如是奇数则加1，如此进行直到1时操作停止，求通过9次操作变为l的数有多少个？( “华杯赛”决赛题)19．高为50cm，底面周长为50cm的圆柱，在此圆柱的侧面上划分(如图所示)边长为lcm的正方形，用四个边长为lcm的小正方形构成“T”字形，用此图形是否能拼成圆柱侧面?试说明理由．(汉城国际数学竞赛题)参考答案。
五年级秋季数学竞赛第15讲 奇数与偶数
奇数与偶数月日姓名教学重点奇数、偶数的运算规律。
教学难点把奇、偶数的运算规律用来分析、解决问题，学会灵活的运用。
【知识要点】奇数与偶数的特点：性质1 任何一奇数一定不等于任何一个偶数（例如3≠4）性质2 相邻的两个自然数总是一奇一偶。
性质3 有趣的运算规律：偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数。
偶数±奇数=奇数，奇数±奇数=偶数。
偶数×偶数=偶数，偶数×奇数=偶数。
奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数。
性质4 奇数个奇数相加和为奇数。
偶数个奇数相加和为偶数。
无论多少个偶数相加和都为偶数。
无论多少个数相乘，如果乘数里含有偶数，则乘积必为偶数，如果乘数里没有偶数，则乘积必为奇数【典型例题】典型例题例1 在“”上适当地填上“奇”字或“偶”字。
（1）奇数×奇数+偶数= 数。
（2）奇数×数×奇数+奇数=奇数。
（3）（奇数+ 数）×奇数+偶数=偶数。
例2 四个连续的偶数的和是100，则这四个连续偶数分别是多少？例3 算式1×2+3×4+5×6+…+99×100的得数是奇数还是偶数？例4 桌上有9只茶杯，全部是杯底朝上，你每次翻转4只茶杯，称为一次翻动，经过若干次翻动能不能使这9只茶杯的杯口全部朝上？例5 已知a，b，c中有一个是9，一个是10，一个是11，求证：a－1，b－2，c－3的乘积一定是偶数。
随堂小测姓名成绩1．下面各题的结果是奇数还是偶数：偶数+奇数×偶数+5= 。
奇数×奇数+偶数×偶数= 。
2．1+2+3+4+5+6+7+8+……+2000+2001的和是奇数还是偶数？3. 有六个连续的奇数的和为120，求这六个奇数分别是多少？4．有一列数1，1，2，4，7，13，24，44，81，149，274，……问第100个数，是奇数还是偶数？5．5只杯子全部杯口朝下，每次翻动其中的4只杯子，能否用这种方法将5只杯子翻过来，使得杯口全部朝上？6．教室里有男女同学若干人，男生衣服上有5个扣子，女生衣服上有4个扣子，如果学生人数是奇数，扣子总数是偶数，问女生人数是奇数还是偶数7．能否在下面的各()内填入加号或减号，使下式成立，为什么？10()9()8()7（）6（）5（）4（）3（）2（）1=10☆8．有如图所示的12张扑克牌，2点、6点、10点各4张。
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奇数和偶数整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数.关于奇数和偶数，有下面的性质：（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数.以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.1.代数式中的奇偶问题例1（第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？□+□=□，□-□=□，□×□＝□□÷□＝□.解因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.例2 （第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组是整数，那么（A）p、q都是偶数. （B）p、q都是奇数.（C）p是偶数，q是奇数（D）p是奇数，q是偶数分析由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶数，将其代入第二方程中，于是11x也为偶数，从而27y=m-11x为奇数，所以是y=q奇数，应选（C）例3 在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数.分析因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+…+1992==996×1993为偶数于是题设的代数和应为偶数.2.与整除有关的问题例4（首届“华罗庚金杯”决赛题）70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，….问最右边的一个数被6除余几？解设70个数依次为a1,a2,a3据题意有a1=0, 偶a2=1 奇a3=3a2-a1, 奇a4=3a3-a2, 偶a5=3a4-a3, 奇a6=3a5-a4, 奇………………由此可知：当n被3除余1时，a n是偶数；当n被3除余0时，或余2时，a n是奇数，显然a70是3k+1型偶数，所以k必须是奇数，令k=2n+1，则a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.解设十位数，五个奇数位数字之和为a，五个偶数位之和为b(10≤a≤35,10≤b≤35)，则a+b=45，又十位数能被11整除，则a-b应为0，11，22（为什么？）.由于a+b与a-b有相同的奇偶性，因此a-b=11即a=28，b=17.要排最大的十位数，妨先排出前四位数9876，由于偶数位五个数字之和是17，现在8+6=14，偶数位其它三个数字之和只能是17-14=3，这三个数字只能是2，1，0.故所求的十位数是9876524130.例6（1990年日本高考数学试题）设a、b是自然数，且有关系式123456789=（11111+a）（11111-b），①证明a-b是4的倍数.证明由①式可知11111（a-b）=ab+4×617②∵a＞0,b＞0,∴a-b＞0首先，易知a-b是偶数，否则11111(a-b)是奇数，从而知ab是奇数，进而知a、b 都是奇数，可知(11111+a)及(11111-b)都为偶数，这与式①矛盾其次，从a-b是偶数，根据②可知ab是偶数，进而易知a、b皆为偶数，从而ab+4×617是4的倍数，由②知a-b是4的倍数.3.图表中奇与偶例7（第10届全俄中学生数学竞赛试题）在3×3的正方格（a）和（b）中，每格填“+”或“-”的符号，然后每次将表中任一行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从一张表变化为另一张表.解按题设程序，这是不可能做到的，考察下面填法：在黑板所示的2×2的正方形表格中，按题设程序“变号”，“+”号或者不变，或者变成两个.表(a)中小正方形有四个“+”号，实施变号步骤后，“+”的个数仍是偶数；但表(b)中小正方形“+”号的个数仍是奇数，故它不能从一个变化到另一个.显然，小正方形互变无法实现，3×3的大正方形的互变，更无法实现.例8（第36届美国中学生数学竞赛试题）将奇正数1，3，5，7…排成五列，按右表的格式排下去，1985所在的那列，从左数起是第几列？（此处无表）解由表格可知，每行有四个正奇数，而1985=4×496+1，因此1985是第497行的第一个数，又奇数行的第一个数位于第二列，偶数行的第一个数位于第四列，所以从左数起，1985在第二列.例9 如图3-1，设线段AB的两个端点中，一个是红点，一个是绿点，在线段中插入n个分点，把AB分成n+1个不重叠的小线段，如果这些小线段的两个端点一个为红点而另一个为绿点的话，则称它为标准线段.证明不论分点如何选取，标准线段的条路总是奇数.分析 n个分点的位置无关紧要，感兴趣的只是红点还是绿点，现用A、B分别表示红、绿点；不难看出：分点每改变一次字母就得到一条标准线段，并且从A点开始，每连续改变两次又回到A，现在最后一个字母是B，故共改变了奇数次，所以标准线段的条数必为奇数.4.有趣的应用题例 10（第2届“从小爱数学”赛题）图3-2是某一个浅湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.（1）如果P点在岸上，那么A点在岸上还是在水中？（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果有一点B，他脱鞋垢次数与穿鞋的次数和是个奇数，那么B点是在岸上还是在水中？说明理由.解（1）连结AP，显然与曲线的交点数是个奇数，因而A点必在水中.（2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数和为2，由于 A点在水中，氢不管怎样走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数，可见B点必在岸上.例11 书店有单价为10分，15分，25分，40分的四种贺年片，小华花了几张一元钱，正好买了30张，其中某两种各5张，另两种各10张，问小华买贺年片花去多少钱？分析设买的贺年片分别为a、b、c、d（张），用去k张1元的人民币，依题意有10a+15b+25c+40d=100k,(k为正整数)即 2a+3b+5c+8d=20k显然b、c有相同的奇偶性.若同为偶数，b-c=10 和a=b=5，不是整数；若同为奇数，b=c=5和a=d=10,k=7.例12 一个矩形展览厅被纵横垂直相交的墙壁隔成若干行、若干列的小矩形展览室，每相邻两室间都有若干方形门或圆形门相通，仅在进出展览厅的出入口处有若干门与厅外相通，试证明：任何一个参观者选择任何路线任意参观若干个展览室（可重复）之后回到厅外，他经过的方形门的次数与圆形门的次数（重复经过的重复计算）之差总是偶数.证明给出入口处展览室记“+”号，凡与“+”相邻的展览室记“-”号，凡与“-”号相邻的展览室都记“+”号，如此则相邻两室的“+”、“-”号都不同.一参观者从出入口处的“+”号室进入厅内，走过若干个展览室又回到入口处的“+”号室，他的路线是+-+-…+-+-，即从“+”号室起到“+”号室止，中间“-”、“+”号室为n+1（重复经过的重复计算），即共走了2n+1室，于是参观者从厅外进去参观后又回到厅外共走过了2n+2个门（包括进出出入口门各1次）.设其经过的方形门的次数是r次，经过圆形门的次数是s，则s+r=2n+2为偶数，故r-s也为偶数，所以命题结论成立.例13 有一无穷小数A=0.a1a2a3…a n a n+1a n+2…其中a i(i=1,2)是数字，并且a1是奇数，a2是偶数，a3等于a1+a2的个位数…，a n+2是a n+a n+1(n=1,2…,)的个位数，证明A 是有理数.证明为证明A是有理数，只要证明A是循环小数即可，由题意知无穷小数A的每一个数字是由这个数字的前面的两位数字决定的，若某两个数字ab重复出现了，即0.…ab…ab…此小数就开始循环.而无穷小数A的各位数字有如下的奇偶性规律：A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……又a是奇数可取1，3，5，7，9；b是偶数可取0，2，4，6，8.所以非负有序实数对一共只有25个是不相同的，在构成A的前25个奇偶数组中，至少出现两组是完全相同的，这就证得A是一循环小数，即A是有理数.练习1.填空题（1）有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最大数与最小数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是______.（2）有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数和的多18，这五个偶数之和是____.（3）能否把1993部电话中的每一部与其它5部电话相连结？答____.2.选择题（1）设a、b都是整数，下列命题正确的个数是（）①若a+5b是偶数，则a-3b是偶数；②若a+5b是偶数，则a-3b是奇数；③若a+5b是奇数，则a-3b是奇数；④若a+5b是奇数，则a-3b是偶数.（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（2）若n是大于1的整数，则的值（）.（A）一定是偶数（B）必然是非零偶数（C）是偶数但不是2 （D）可以是偶数，也可以是奇数（3）已知关于x的二次三项式ax2+bx+c（a、b、c为整数），如果当x=0与x=1时，二次三项式的值都是奇数，那么a（）（A）不能确定奇数还是偶数（B）必然是非零偶数（C）必然是奇数（D）必然是零3.（1986年宿州竞赛题）试证明11986+91986+81986+61986是一个偶数.4.请用0到9十个不同的数字组成一个能被11整除的最小十位数.5.有n 个整数，共积为n，和为零，求证：数n能被4整除6.在一个凸n边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n边形顶点之间，用线段连续起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n边形分为只朋角形的小块，试证这种小三我有形的个数与n有相同的奇偶性.7.（1983年福建竞赛题）一个四位数是奇数，它的首位数字泪地其余各位数字，而第二位数字大于其它各位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，求这四位数.8.（1909年匈牙利竞赛题）试证：3n+1能被2或22整除，而不能被2的更高次幂整除.9.（全俄15届中学生数学竞赛题）在1，2，3…，1989之间填上“+”或“-”号，求和式可以得到最小的非负数是多少？练习参考答案１．（１）３０．（最小两位奇数是１１，最大数与最小数同为奇数）（２）１８０．设第一个偶数为ｘ，则后面四个衣次为ｘ＋２，ｘ＋４，ｘ＋６，ｘ＋８．（３）不能．２．Ｂ．Ｂ．Ａ３．１１９８６是奇数１，９１９８６的个位数字是奇数１，而８１９８６，６１９８６都是偶数，故最后为偶数．４．仿例５１２０３４６５８７９．５．设ａ１，ａ２，…，ａｎ满足题设即ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝０①ａ１·ａ２……ａｎ＝ｎ②。