三级火箭发射卫星数学模型ppt课件

(4)
由假设3.1，取u =3km, 1，便得火箭末速度上限
9
v03ln96.6km /s
而卫星能进入 600km 高空轨道, 火箭末速度最低为
7.6km/s.
即便忽略空气阻力、重力、不携带任何东西的情况下
，火箭末速度最大才6.6km/s。因此，用一级火箭发射卫
星，在目前技术条件下无法达到在相应高度所需的速
m (t)v(t) m (t)d v t v(t)d m t( t)
d t
d t
m (tt)m (t)dmt(t) dt
v(tt)v(t)dvt(t) dt
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因为喷出气体相对地球的速度为v(t)-u，则由动量守恒 定律有
m (t) v (t) m (t t) v (t t) d d m t t ( t) v (t) u
dt
dt
表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度(相
对火箭)的乘积。
v(t)
v0
uln
mm(0t)
表明，在一定的条件下，火箭升空速度由喷气速度(相 对火箭)及质量比决定。这为提高火箭速度找到了正确途
径：尽可能提高火箭燃烧室产生的气体喷出的速度，这需
要从燃料上想办法；尽可能减少在时刻火箭的质
量，这要从结构上想办法。
数学建模
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第六讲 运载火箭发射卫星数学模型
火箭是一个复杂的系统，为 了使问题简单明了，我们只从动力 系统和整体结构上分析，并且总假 设火箭的推动力是足够强大 的。
一、为什么不能用一级火箭发射 人造卫星
二、理想火箭模型 三、多级火箭系统
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一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度. 1)模型假设 1.1 卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周 ，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀 速圆周运动； 1.2 地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集 中于球心； 1.3 其它星球对卫星的引力忽略不计。
度，也就是说单级火箭不能用于发射卫星。
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3) 模型分析
单级火箭一直将将燃料仓和发动 机带到了末端，而未将这些丢弃,火 箭发动机作了许多无用功。也就是 说发动机必须把整个沉重的火箭加 速到最后,但是当燃料耗尽时,发动 机加速的仅仅是一个空的燃料仓.
这就是单级火箭设计方面的最大 缺点，因此我们必须反思，有必要 改进火箭的设计。
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1）模型假设
2.1 火箭在喷气推动下作直线运动，火
箭所受的重力和空气阻力忽略不计；
2.2 在t时刻火箭质量为m(t)，速度为v(t)
，且均为时间t的连续可微函数；
v
2.3 从火箭末端喷出气体相对火箭本身
u
的速度u为常数,即气体相对于地球的速度为
v(t)-u
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2）建模与分析 由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不断
3.2得到其末速度为
v
uln
m0 mp ms
(2)
令 m s(m F m s)(m 0 m p )，代入上式，得
v(vt)uv0lnulnm 0mm(0t(m )10)mp
(3)
由此可见，对于给定u值，当有效负荷mp=0时，火箭末
速度达到最大，即火箭末速度上限的数学模型
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1 v0 u ln
引力定律可知其引力大小为
Mm
F G r2
(1)
如果把卫星放在地球表面，则由（1）式，得
mg
G
Mm R2
F
m
g
R r
2
mg
R r
2
mv2 r
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vR g r
v7.6km/s
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一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度. 2.火箭推进力及升空速度 火箭的简单模型是由一台发动机和 一个燃料仓组成。燃料燃烧产生大量 气体从火箭末端喷出，给火箭一个向 前的推力。火箭飞行要受地球引力、 空气阻力、地球自转与公转等的影响 ，使火箭升空后作曲线运动。
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一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度.
设地球半径为R， 中心为 O，质量为M，曲线C表示地 球表面， C′表示卫星轨道， C′的半径为r，卫星的质量为 m。
r
O C
R C′
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2）建模与求解
根据假设1.2、1.3，卫星只受地球引力，由牛顿万有
例，在现有技术条件下，要使燃料与发动机的质量和小于
所载燃料的1/9是很难做到的。 目前技术条件下不妨设相
对火箭的喷气速度u=3km/s.
3.2 初速度v0忽略不计，即v0 =0.
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2）建模与求解
因为升空火箭的最终(燃料已耗尽)质量为mp+ms。然后 将燃料仓和发动机丢弃，只剩下净载体，由式(1)及假设
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3. 一级火箭末速度上限
火箭——卫星系统的质量可分为三部分：净载质量(有
效负载，如卫星)mp, ， 燃料质量mF ，结构质量(如外壳、
燃料容器及推进器) mS。一级火箭末速度上限主
要是受目前技术条件的限制。
ms 1
1) 模型假设wk.baidu.com
mF ms 9
3.1 一般来说，结构质量mS在mS+ mF中占有一定的比
m (t t) v (t t) m (t) v (t) d d m t t ( t) v (t) u
m (t)v(t)v(t)d m tud m t( t)
d t
d t
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m ( t t) v ( t t) m ( t) v ( t) v ( t) d m t u d m t ( t) d t d t
减少，在[t, t+△t ]内的减少量可由微分公式表示为
m (tt)m (t)dmt(t) dt
dv v(tt)v(t) t(t)
dt
即 m (tt)m (t)dmt(t) dt
v(tt)v(t)dvt(t) dt
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m (tt)v(tt)
m (t)d d m t t( t) v(t)d d v t t( t)
m ( t t) v ( t t) m ( t) v ( t) m ( t) d v t v ( t) d m t ( t)
d t
d t
m dv u dm
dt
dt
v(0) v0
v(t)
v0
uln
mm(0t)
dv u dm m v(0) v0
（1）
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m dv u dm