2015年福建省宁德市中考数学试题(word版-含扫描答案)
2015-2016年福建省宁德市周宁县九年级上学期期中数学试卷及参考答案
2015-2016学年福建省宁德市周宁县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确的选项，请用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x+1=0 B．y2+x=1 C．x2+1=0 D．x2=12．（3分）不解方程，判断方程2x2+3x﹣4=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根3．（3分）下列命题正确的是（）A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形B．对角线相等的四边形一定是矩形C．两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形D．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形4．（3分）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（）A．B．C．D．5．（3分）平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD6．（3分）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是47．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（）A．24 B．16 C．2 D．48．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若BD=4，CD=6，则AD 的长为（）A．8 B．9 C．10 D．129．（3分）某城市2013年底有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，要求到2015年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意列方程正确的是（）A．300（1+x）=363 B．300（1+x）2=363 C．300（1+2x）=363 D．363（1﹣x）2=30010．（3分）如图，将一块边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为（）A．12 B．13 C．14 D．15二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置）11．（3分）如果=，那么=．12．（3分）一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共10 000尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现，鲤鱼出现的频率是31%，则这个水塘里大约有鲤鱼尾．13．（3分）在Rt△ABC中，已知直角边长分别是6和8，则斜边上的中线长是．14．（3分）如图所示，要使△ACD∽△ABC，只需要添加条件（只需要写出一种适合条件即可）15．（3分）若关于x的方程3x2+mx+m﹣6=0有一根是0，则m=．16．（3分）已知一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是20cm，则它的宽为（结果保留根号）．17．（3分）如图，直线AC、DF被三条平行线l1，l2，l3所截，交点分别为A，D，B，E，C，F，且AB=3，BC=5，EF=4，则DE=．18．（3分）如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE=3，BE=5，则长AD与宽AB的比值是．三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡的相应位置作答）19．（8分）用适当的方法解下列方程（1）x2+8x+15=0（2）（x﹣3）2=2（3﹣x）20．（8分）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F．（1）求证：OE=CB；（2）如果OC：OB=1：2，OE=，求菱形ABCD的面积．21．（6分）2015年我县体育中考现场考试内容有三项（男生）：1000米为必测项目；另在选考类：立定跳远、一分钟跳绳、引体向上、实心球这四项中选择两项（1）每位男考生有种选择方案；（2）擅长体育的小明与小刚欲通过抽签的方式来选择（1）中的任一方案，请你用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率．（友情提醒：每种方案可用A、B、C、…或①、②、③、…等符号来代表可简化解答过程）22．（6分）九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD=15m，人的眼睛与地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，求旗杆AB的高度．23．（6分）我县某服装柜在销售中发现：其专柜某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，又能尽量减少库存，那么每件童装应降价多少元？24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm，OB=6cm，点P从O 点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：（1）当t=2时，求△POQ的面积．（2）在运动过程中，PQ的长度能否为4cm？试说明理由．（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似？2015-2016学年福建省宁德市周宁县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确的选项，请用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x+1=0 B．y2+x=1 C．x2+1=0 D．x2=1【解答】解：A、2x+1=0未知数的最高次数是1，故错误；B、y2+x=1含有两个未知数，故错误；C、x2+1=0是一元二次方程，正确；D、是分式方程，故错误．故选：C．2．（3分）不解方程，判断方程2x2+3x﹣4=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【解答】解：∵△=b2﹣4ac=9﹣4×2×（﹣4）=41＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：B．3．（3分）下列命题正确的是（）A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形B．对角线相等的四边形一定是矩形C．两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形D．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，一组对边平行，另一组对边相等，不是平行四边形，故本选项为假命题；B、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，故本选项为假命题；C、两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，如图所示：AC⊥BD，但四边形ABCD不是菱形，本选项为假命题；D、两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，已知：四边形ABCD，AC=BD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，求证：四边形ABCD为正方形，证明：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形为平行四边形，又AC=BD，∴四边形ABCD为矩形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为正方形，则本选项为真命题，故选：D．4．（3分）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为故选：B．5．（3分）平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD【解答】解：在▱ABCD中，如果添加一个条件，就可推出▱ABCD是矩形，那么添加的条件可以AC=BD，故选：B．6．（3分）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4【解答】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为，故A选项错误；B、掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率是；故B选项错误；C、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故C选项错误；D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为≈0.17，故D 选项正确．故选：D．7．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（）A．24 B．16 C．2 D．4【解答】解：菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=2，AO=OC=3，∴AB==，∴菱形的周长为4．故选：D．8．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若BD=4，CD=6，则AD 的长为（）A．8 B．9 C．10 D．12【解答】解：根据射影定理，CD2=AD•BD，∵BD=4，CD=6，∴AD=9，故选：B．9．（3分）某城市2013年底有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，要求到2015年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意列方程正确的是（）A．300（1+x）=363 B．300（1+x）2=363 C．300（1+2x）=363 D．363（1﹣x）2=300【解答】解：设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意即可列出方程300（1+x）2=363．故选：B．10．（3分）如图，将一块边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为（）A．12 B．13 C．14 D．15【解答】解：过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∵AD∥BC，∴∠APQ=∠PQM，则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD∴△PQM≌△ADE∴PQ=AE==13．故选：B．二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置）11．（3分）如果=，那么=．【解答】解：∵=∴3x=2y∴3（x+y）=5y∴=．故答案为．12．（3分）一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共10 000尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现，鲤鱼出现的频率是31%，则这个水塘里大约有鲤鱼3100尾．【解答】解：根据题意可得这个水塘里有鲤鱼10000×31%=3100尾，故答案为3100．13．（3分）在Rt△ABC中，已知直角边长分别是6和8，则斜边上的中线长是5．【解答】解：根据勾股定理得：AB===10，∵CD是直角三角形ACB斜边AB上中线，∠ACB=90°，∴CD=AB=×10=5（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），故答案为：5．14．（3分）如图所示，要使△ACD∽△ABC，只需要添加条件∠B=∠ACD或∠ACB=∠ADC或AD：AC=AC：AB（只需要写出一种适合条件即可）【解答】解：欲使△ACD∽△ABC，通过观察发现两个三角形有一个公共角，即∠A，若夹此公共角的两边对应成比例或另有一组角对应相等即可．15．（3分）若关于x的方程3x2+mx+m﹣6=0有一根是0，则m=6．【解答】解：∵x=0是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得m﹣6=0，解此方程得到m=6．16．（3分）已知一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是20cm，则它的宽为（10﹣10）cm（结果保留根号）．【解答】解：设宽为xcm，由题意得，x：20=，解得x=10﹣10．故答案为：（10﹣10）cm．17．（3分）如图，直线AC、DF被三条平行线l1，l2，l3所截，交点分别为A，D，B，E，C，F，且AB=3，BC=5，EF=4，则DE=．【解答】解：∵直线AC、DF被三条平行线l1，l2，l3所截，交点分别为A，D，B，E，C，F，∴=，∵AB=3，BC=5，EF=4，∴DE=，故答案为：．18．（3分）如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE=3，BE=5，则长AD与宽AB的比值是5：4．【解答】解：∵AE=3，BE=5，∴AB=AE+BE=8，由折叠的性质可知，EF=BE=5，由勾股定理得，AF==4，∵∠EFC=∠B=90°，∴△EAF∽△FDC，∴=，即=，解得，DF=6，∴AD=AF+FD=10，∴AD：AB=10：8=5：4，故答案为：5：4．三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡的相应位置作答）19．（8分）用适当的方法解下列方程（1）x2+8x+15=0（2）（x﹣3）2=2（3﹣x）【解答】解：（1）∵（x+3）（x+5）=0，∴x+3=0或x+5=0，解得：x1=﹣3，x2=﹣5．（2）∵（x﹣3）2+2（x﹣3）=0，∴（x﹣3）（x﹣1）=0，∴x﹣3=或x﹣1=0，解得：x1=3，x2=1．20．（8分）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F．（1）求证：OE=CB；（2）如果OC：OB=1：2，OE=，求菱形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∵CE∥BD，EB∥AC，∴四边形OCEB是平行四边形，∴四边形OCEB是矩形，∴OE=CB；（2）解：∵由（1）知，AC⊥BD，OC：OB=1：2，∴BC=OE=．∴在Rt△BOC中，由勾股定理得BC2=OC2+OB2，∴CO=1，OB=2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC=2，BD=4，∴菱形ABCD的面积是：BD•AC=4．21．（6分）2015年我县体育中考现场考试内容有三项（男生）：1000米为必测项目；另在选考类：立定跳远、一分钟跳绳、引体向上、实心球这四项中选择两项（1）每位男考生有6种选择方案；（2）擅长体育的小明与小刚欲通过抽签的方式来选择（1）中的任一方案，请你用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率．（友情提醒：每种方案可用A、B、C、…或①、②、③、…等符号来代表可简化解答过程）【解答】解：（1）用A、B、C、D分别表示立定跳远、一分钟跳绳、引体向上、实心球，则有6种选择方案：AB、AC、AD、BC、BD、CD；故答案为6；（2）有1、2、3、4、5、6表示（1）中的6种方案，画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中小明与小刚选择同种方案的结果数为6，所以小明与小刚选择同种方案的概率==．22．（6分）九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD=15m，人的眼睛与地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，求旗杆AB的高度．【解答】解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴即：∴∴AH=11.9∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5（m）．23．（6分）我县某服装柜在销售中发现：其专柜某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，又能尽量减少库存，那么每件童装应降价多少元？【解答】解：设每件童装应降价x元，则每件童装实际盈利（40﹣x）元．由题意可得：（40﹣x）（20+2x）=1200，整理得：x2﹣30x+200=0，解得：x1=10，x2=20，∵为扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，∴当x=20时更符合题意．∴每件童装应降价20元．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm，OB=6cm，点P从O 点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：（1）当t=2时，求△POQ的面积．（2）在运动过程中，PQ的长度能否为4cm？试说明理由．（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似？【解答】解：（1）当t=2时，OP=2cm，OQ=6﹣2=4cm，∴S=•OP•OQ=4cm2．△POQ（2）设t秒时，PQ的长度为4cm，在RT△POQ中，OP2+OQ2=PQ2，即t2+（6﹣t）2=42，化简得：t2﹣6t+10=0，∵△＜0，∴原方程无解∴PQ的长度不能为4cm．（3）∵OB=6cm，点P从O点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动，∴OQ=（6﹣t）cm，∵点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，∴OP=t（cm），若△POQ∽△AOB时，则有=，即=，整理得：12﹣2t=t，解得：t=4，则当t=4时，△POQ与△AOB相似；若△POQ∽△BOA时，则有=，即=，解得：t=2，则当t=2时，△POQ与△BOA相似；综上所述：当t=4s或2s时，△POQ与△AOB相似；赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
福建省宁德市2015届高三单科质量检测数学(理)试题 Wor
2015年宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，集合{2,3,4,5}A =，{|3}B x x =>，则满足m A ∈且m B ∉的实数m 所组成的集合为 A ．{2}B ．{3}C ．{4,5}D ．{2,3}2．命题“若1x =-，则220x x --=”的逆否命题是A ．若1x ≠-，则220x x --≠B ．若220x x --≠，则1x ≠-C ．若1x =-，则220x x --≠D ．若220x x --≠，则1x =-3．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表：根据表中的数据及随机变量的公式，算得8.12≈．根据临界值表，你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是A ．97.5%B ．99%C ．99.5％D ．99.9%4．某公司将4名新招聘的员工分配至3个不同 的部门，每个部门至少分配一名员工．其中 甲、乙两名员工必须在同一个部门的不同分 配方法的总数为A ．6B ．12 Ｃ．24 D ．5(,)x y 所对应的点都在函数A ．1y x =-的图象上B ．1y =的图象上C ．121x y -=-的图象上D ．2log y x =的图象上6．若变量,x y 满足约束条件,1,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -等于 A ．8 B ．7 C ．6 D ．57．已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A ．53πB ．43πC ．πD ．3π8．已知函数2())cos 12cos f x x x x =π-⋅-+，其中x ∈R ，则下列结论中正确的是A ．()f x 的一条对称轴是2x π=B ．()f x 在[,]36ππ-上单调递增C ．()f x 是最小正周期为π的奇函数D ．将函数2sin 2y x =的图象左移6π个单位得到函数()f x 的图象 9．已知O 为坐标原点，向量(1,0)OA = ，(1,2)OB =-．若平面区域D 由所有满足俯视图侧视图正视图OC OA OB λμ=+（22λ-≤≤，11μ-≤≤）的点C 组成，则能够把区域D 的周长和面积同时分为相等的两部分的曲线是 A ．1y x=B ．cos y x x =+C ．5ln5xy x-=+ D ．e e 1x x y -=+- 10．斜率为(0)k k ≠的两条直线分别切函数32()(1)1f x x t x =+--的图象于A ，B 两点．若直线AB 的方程为21y x =-，则t k +的值为 A ．8B ．7C ．6D ．5第II 卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．已知复数i(1i)z =-(i 是虚数单位)，则z 的模z =_______． 12．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中乙种产品有30件，则样本容量n ＝________．13．如图，直线(0)y kx k =>与函数2y x =的图象交于点O ，P ，过P 作PA x ⊥轴于A ．在OAP ∆中任取一点，则该点落在阴 影部分的概率为________．14．已知长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为,,a b c ，且,,2ba c 成等差数列．若其对角线b 的最大值为________．15．如图，011A B A ∆，122A B A ∆，L ，1n n n A B A -∆均为等腰直角三角形，其直角顶点1B ，2B ，L ，n B *()n ∈N 在曲线1(0)y x x =>上，0A 与坐标原点O 重合，i A *()i ∈N 在x 轴正半轴上．设n B 的纵坐标为n y ，则12n y y y +++=L ________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分13分)某渔池年初放养一批鱼苗，为了解这批鱼苗的生长、 健康状况，一个月后，从该渔池中随机捞出n 条鱼称其 重量（单位:克），并将所得数据进行分组，得到如右频 率分布表．（Ⅰ）求频率分布表中的n ，x ，y 的值；（Ⅱ）从捞出的重量不超过100克的鱼中，随机抽取3条 作病理检测，记这3条鱼中，重量不超过90克的鱼的条 数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17．(本小题满分13分)已知数列{}n a 满足：123a =，且11112()33n n n a a ++=+⨯．（Ⅰ）求证：数列{}3n n a ⋅是等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．18．(本小题满分13分)如图（1）所示，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠= ，//AD BC ，6AD =，3DC BC ==．过B 作BE AD ⊥于E ，P 是线段DE 上的一个动点．将ABE ∆沿BE 向上折起，使平面AEB ⊥平面BCDE ．连结PA ，PC ，AC （如图（2））．（Ⅰ）取线段AC 的中点Q ，问：是否存在点P ，使得//PQ 平面AEB ？若存在，求出PD 的长；不存在，说明理由；（Ⅱ）当23EP ED =时，求平面AEB 和平面APC 所成的锐二面角的余弦值．图（1）图（2）ABE CDA DCEPQP•19．（本小题满分13分）某供货商拟从码头A 发货至其对岸l 的两个商场B ，C 处，通常货物先由A 处船运至BC 之间的中转站D ，再利用车 辆转运．如图，码头A 与两商场B ，C 的距离相等，两商 场间的距离为20千米，且2BAC π∠=．若一批货物从码头A 至D 处的运费为100元/千米，这批货到D 后需分别发车2辆、4辆转运至B 、C 处，每辆汽车运费为25元/千米．设,ADB α∠=该批货总运费为S 元． （Ⅰ）写出S 关于α的函数关系式，并指出α的取值范围； （Ⅱ）当α为何值时，总运费S 最小？并求出S 的最小值．20． (本小题满分14分)已知函数2()2ln ()f x ax x x a =+-∈R ．（Ⅰ）若4a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若()f x '在(0,1)有唯一的零点0x ，求a 的取值范围；（Ⅲ）若1(,0)2a ∈-，设2()(1)21ln(1)g x a x x x =-----，求证：()g x 在(0,1)内有唯一的零点1x ，且对（Ⅱ）中的0x ，满足011x x +>．21．(本小题满分14分) 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）选修4-2:矩阵与变换（本小题满分7分）已知二阶矩阵A 有特征值11λ=，22λ=，其对应的一个特征向量分别为111⎛⎫= ⎪⎝⎭e ，210⎛⎫= ⎪⎝⎭e ．（Ⅰ）求矩阵A ；（Ⅱ）求圆22:1C x y +=在矩阵A 所对应的线性变换作用下得到曲线C '的方程．（2）选修4-4 参数方程与极坐标（本小题满分7分）已知倾斜角为6π，过点(1,1)P 的直线l 与曲线C ：2sin ,22cos x y αα=⎧⎨=+⎩(α是参数)相交于A ，B 两点．（Ⅰ）写出直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程； （Ⅱ）求PA PB ⋅的值．（3）选修4-5：不等式选讲（本小题满分7分）在空间直角坐标系O xyz -中，坐标原点为O ，P 点坐标为(,,)x y z ．（Ⅰ）若点P 在x 轴上，且坐标满足253x -≤，求点P 到原点O 的距离的最小值；B CD l（Ⅱ）若点P 到坐标原点O的距离为，求x y z ++的最大值．2015年宁德市普通高中毕业班单科质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分. 1. D 2. B 3. C 4. A 5. D 6. C 7. A 8. B 9. C 10. B二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分.11. 12. 90 13. 1314. 215.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. 本小题主要考察概率统计的基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，满分13分．解：（Ⅰ）依题意，30.03n=， ………………………………………1分∴100n =． ………………………………………………2分 ∴1000.1010x =⨯=， …………………………………………3分200.20100y ==． ……………………………………………4分（Ⅱ）依题意，ξ的所有可能取值为0，1，2，3， …………5分3731035(0)120C P C ξ===， 123731063(1)120C C P C ξ===，213731021(2)120C C P C ξ=== ， 333101(3)120C P C ξ===， …………9分（说明：以上4个式子，每个1分）故ξ的分布列为所以ξ的数学期望63211()0123120120120E =+⨯+⨯+⨯ξ…………12分． 910=. …………………………………13分 17. 本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分.解法一：（Ⅰ）令3n n n b a =⋅，………………………………………………1分则11133n n n n n n b b a a +++-=⋅-⋅ …………………………………………2分11113(2())333n n n n n a a ++=+⨯-⋅ ……… ………………………3分3232n n n n a a =⋅+-⋅= ………………………………………4分∴数列{}n b 为公差为2的等差数列.即数列{}3n n a ⋅是公差为2的等差数列. ……………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列{}n b 为公差为2的等差数列， 1132b a =⋅=，∴1(1)22n b b n n =+-⋅= ……………………………………………6分 ∴23n nna =． …………………………………………………………7分 ∴2324623333n n nS =++++ ，……………① …………………8分 ∴23411246233333n n nS +=++++ ，……………②……………………9分 ①-②得231222222333333n n n nS +=++++- ， ……………………10分∴2111113333n n n nS -=++++-11(1)31313n nn ⨯-=-- ……………………………………12分332233n nn=--⨯ 323223n n +=-⨯． ………………………………………13分 解法二：（Ⅰ）∵11112()33n n n a a ++=+⨯，ADCBE PMQ∴11332n n n n a a ++⋅=⋅+，……………………………………3分 ∴11332n n n n a a ++⋅-⋅=， …………………………………4分 ∴数列{}3n n a ⋅是公差为2的等差数列. ……………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：数列{}3n n a ⋅是公差为2的等差数列，∴133(1)22n n a a n n ⋅=+-⨯=，∴23n nna =．……………………7分 以下同法一18. 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分13分. 解：（Ⅰ）存在．当P 为DE 的中点时，满足//PQ 平面AEB ．………1分 取AB 的中点M ，连结EM ，QM ．由Q 为AC 的中点，得//MQ BC ，且12MQ BC =，……2分又//PE BC ，且12PE BC =，所以//PE MQ ，=PE MQ ，所以四边形PEMQ 为平行四边形，……………………3分 故//ME PQ ．……………………………………………4分 又PQ ⊄平面AEB ，ME ⊂平面AEB ，所以//PQ 平面AEB ． ………………………………5分从而存在点P ，使得//PQ 平面AEB ，此时3=2PD ．……………… 6分（Ⅱ）由平面AEB ⊥平面BCDE ，交线为BE ，且AE BE ⊥，所以AE ⊥平面BCDE ，又BE DE ⊥以E 为原点，分别以,,EB ED EA为x 轴、y 轴、z 直角坐标系（如图），则(0,0,0)E ，(3,0,0)B ，(0,0,3)A ，(0,2,0)P (3,3,0)C ．…………………………………………………………8分(3,1,0)PC = ，(0,2,3)PA =-．…………………………………9分平面AEB 的一个法向量为1(0,1,0)=n ， ……………………10分 设平面APC 的法向量为2(,,)x y z =n ，由220,0,PC PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得30,230.x y y z +=⎧⎨-+=⎩ ………………………………………11分 取3y =，得2(1,3,2)=-n ， ……………………………………………12分所以12cos,==n n即面AEB和平面APC13分19. 本题主要考查三角函数的恒等变换、解三角形、函数与导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力和运算求解能力，考查应用意识，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想．满分13分.解法一：（Ⅰ）依题意，在Rt ABC∆中，22220AB=，∴AB=1分又∵在ABD∆中，224ABDππ-π∠==,ADBα∠=，由sinsin4AD AB=πα，得10sinADα=………………………………2分由sinsin[()]4BD AB=ππ-+αα，得)4sinBDααπ+=，…………3分∴)420sinCDααπ+=-．…………………………………4分∴100252254S AD BD CD=⨯+⨯⨯+⨯⨯………………………5分))104410050[20]100sin sin sinαααααππ++=⨯+⨯+-⨯1000)42000sinααπ-+=+………………………6分其中α的取值范围是3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭．…………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）1000)42000sinSπ-+=+αα2cos1500500sin-=+⨯αα，…………………………8分令2cos()sinfααα-=，∴22sin sin cos(2cos)12cos()sin sinfαααααααα⋅---'==，……………9分由()0fα'=得：1cos2α=，又∵3,44αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3απ=． …………………………………………………………10分 当,43αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f α'<，当3,34αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f α'>， …………………………………11分∴min 12()()3f f α-π=== …………………………………12分 ∴min 1500S =+（元）， ∴当3απ=时，运输费用S 的最小值为(1500+元．……………13分 20. 本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力，满分14分．解法一：（Ⅰ）当4a =时，2()42ln f x x x x =+-，(0,)x ∈+∞， 21821(41)(21)()82x x x x f x x x x x+--+'=+-==．…………………1分 由(0,)x ∈+∞，令()0f x '=，得14x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：故函数()f x 在1(0,)4单调递减，在1(,)4+∞单调递增，…………………3分()f x 有极小值13()=+ln 444f ，无极大值．………………………………4分（Ⅱ）21221()22ax x f x ax x x+-'=+-=，令()0f x '=，得22210ax x +-=，设2()221h x ax x =+-．则()f x '在(0,1)有唯一的零点0x 等价于()h x 在(0,1)有唯一的零点0x 当0a =时，方程的解为12x =，满足题意；…………………………5分 当0a >时，由函数()h x 图象的对称轴102x a=-<，函数()h x 在(0,1)上单调递增， 且(0)1h =-，(1)210h a =+>，所以满足题意；……………………6分当0a <，0∆=时，12a =-，此时方程的解为1x =，不符合题意；当0a <，0∆≠时，由(0)1h =-，只需(1)210h a =+>，得102a -<<．……………7分 综上，12a >-．…………………8分 （说明：0∆=未讨论扣1分）（Ⅲ）设1t x =-，则(0,1)t ∈，2()(1)23ln p t g t at t t =-=+--，…………………9分 21221()22at t p t at t t+-'=+-=， 由1(,0)2a ∈-，故由（Ⅱ）可知， 方程22210at t +-=在(0,1)内有唯一的解0x ，且当0(0,)t x ∈时，()0p t '<，()p t 单调递减；0(,1)t x ∈时，()0p t '>，()p t 单调递增．…………………11分又(1)=10p a -<，所以0()0p x <．…………………12分取32e (0,1)a t -+=∈，则326432326432(e )=e 2e 3ln e e 2e 332a a a a a a p a a a -+-+-+-+-+-++--=+-+-6432(e 2)2e 0a a a -+-+=-+>，从而当0(0,)t x ∈时，()p t 必存在唯一的零点1t ，且100t x <<，即1001x x <-<，得1(0,1)x ∈，且011x x +>，从而函数()g x 在(0,1)内有唯一的零点1x ，满足011x x +>．……14分解法二：（Ⅰ）同解法一；………………4分 （Ⅱ）21221()22ax x f x ax x x+-'=+-=， 令()0f x '=，由22210ax x +-=，得2112a x x =-．………5分 设1m x=，则(1,)m ∈+∞，22111(1)222a m m m =-=--，………6分 问题转化为直线y a =与函数211()(1)22h m m =--的图象在(1,)+∞恰有一个交点问题． 又当(1,)m ∈+∞时，()h m 单调递增，………7分故直线y a =与函数()h m 的图象恰有一个交点，当且仅当12a >-．……8分 （Ⅲ）同解法一．（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用0t →时，()p t →+∞进行证明，扣1分）21. （1）本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）设矩阵a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭,依题意，得111222,,A A λλ=⎧⎨=⎩e e e e …………………1分 ∴1,1,02,00.a b c d a c +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ ………………………………2分 解得2,1,0,1.a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩ …………………………3分 ∴2101A -⎛⎫= ⎪⎝⎭.…………………4分 （Ⅱ）设圆C 上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y ''',∴2,.x x y y y '=-⎧⎨'=⎩ …………………5分 解得,2.x y x y y ''+⎧=⎪⎨⎪'=⎩…………………6分 又∵221x y += , ∴2212x y y ''+⎛⎫'+= ⎪⎝⎭, ∴曲线C ′的方程为22254x xy y ++=.…………………7分（2）本题主要考查直线和圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想和化归与转化思想，满分7分．（Ⅰ）依题意，得直线l 的参数方程为1cos 61sin 6x t y t π⎧=+⎪⎪⎨π⎪=+⎪⎩，，（t 为参数）………1分即111.2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（t 为参数）…①…………………………………………2分∵曲线C 的参数方程为2sin ,22cos x y αα=⎧⎨=+⎩，∴曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=.………②………………4分（Ⅱ）把①代入②得2211(1)42t ⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴21)20t t +-=，………………5分∴21)80∆=+>，122t t =-，…………………6分∴12||||||2PA PB t t ⋅==.………………………………7分（3）本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，满分7分解：（Ⅰ）由点P 在x 轴上，所以(,0,0)P x ， 又坐标满足253x -≤，所以3253x -≤-≤，………………2分解得14x ≤≤，…………………………………………………3分所以点P 到原点O 的距离的最小值为1.. …………………4分（Ⅱ）由点P 到坐标原点O 的距离为，故22212x y z ++=， …………………………………………5分由柯西不等式，得2222222()(111)()x y z x y z ++++≥++，………6分即2()36x y z ++≤，所以x y z ++的最大值为6，当且仅当2x y z ===时取最大. …………7分。
【真题】宁德市中考数学试题含答案解析(Word版)
福建省宁德市中考数学试卷(解析版)一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂〕1．（4分）（•宁德）﹣3的绝对值是（）A．3 B．C．D．﹣3【考点】15：绝对值．【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．【解答】解：﹣3的绝对值是3．故选A．【点评】本题考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 的绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．2．（4分）（•宁德）已知一个几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（）A．三棱柱B．三棱锥C．圆锥D．圆柱【考点】U3：由三视图判断几何体．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：俯视图为圆的几何体为球，圆锥，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆锥．故选C．【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．3．（4分）（•宁德）如图，点M在线段AB上，则下列条件不能确定M是AB中点的是（）A．BM=AB B．AM+BM=AB C．AM=BM D．AB=2AM【考点】ID：两点间的距离．【分析】直接利用两点之间的距离定义结合线段中点的性质分别分析得出答案．【解答】解：A、当BM=AB时，则M为AB的中点，故此选项错误；B、AM+BM=AB时，无法确定M为AB的中点，符合题意；C、当AM=BM时，则M为AB的中点，故此选项错误；D、当AB=2AM时，则M为AB的中点，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了两点之间，正确把握线段中点的性质是解题关键．4．（4分）（•宁德）在△ABC中，AB=5，AC=8，则BC长不可能是（）A．4 B．8 C．10 D．13【考点】K6：三角形三边关系．【专题】11 ：计算题．【分析】根据三角形三边的关系得到3＜BC＜13，然后对各选项进行判断．【解答】解：∵AB=5，AC=8，∴3＜BC＜13．故选D．【点评】本题考查了三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边．5．（4分）（•宁德）下列计算正确的是（）A．﹣5+2=﹣7 B．6÷（﹣2）=﹣3 C．（﹣1）=1 D．﹣20=1【考点】1G：有理数的混合运算；6E：零指数幂．【专题】11 ：计算题；511：实数．【分析】各项计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、原式=﹣3，不符合题意；B、原式=﹣3，符合题意；C、原式=﹣1，不符合题意；D、原式=﹣1，不符合题意，故选B【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（4分）（•宁德）如图所示的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是（）A．①：同分母分式的加减法法则B．②：合并同类项法则C．③：提公因式法 D．④：等式的基本性质【考点】6B：分式的加减法．【分析】根据分式的加减法法则计算即可．【解答】解：①：同分母分式的加减法法则，正确；②：合并同类项法则，正确；③：提公因式法，正确，④：分式的基本性质，故错误；故选D．【点评】此题考查了分式的加减，熟练掌握法则及运算律是解本题的关键．7．（4分）（•宁德）某创意工作室6位员工的月工资如图所示，因业务需要，现决定招聘一名新员工，若新员工的工资为4500元，则下列关于现在7位员工工资的平均数和方差的说法正确的是（）A．平均数不变，方差变大B．平均数不变，方差变小C．平均数不变，方差不变D．平均数变小，方差不变【考点】W7：方差；W1：算术平均数．【分析】根据平均数、方差的定义即可解决问题．【解答】解：由题意原来6位员工的月工资平均数为4500元，因为新员工的工资为4500元，所以现在7位员工工资的平均数是4500元，由方差公式可知，7位员工工资的方差变小，故选B．【点评】本题考查方差的定义、平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8．（4分）（•宁德）如图，直线ι是一次函数y=kx+b的图象，若点A（3，m）在直线ι上，则m的值是（）A．﹣5 B．C．D．7【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．【分析】待定系数法求出直线解析式，再将点A代入求解可得．【解答】解：将（﹣2，0）、（0，1）代入，得：解得：，∴y=x+1，将点A（3，m）代入，得：+1=m，即m=，故选：C．【点评】本题主要考查直线上点的坐标特点，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．9．（4分）（•宁德）函数y=x3﹣3x的图象如图所示，则以下关于该函数图象及其性质的描述正确的是（）A．函数最大值为2 B．函数图象最低点为（1，﹣2）C．函数图象关于原点对称D．函数图象关于y轴对称【考点】E6：函数的图象；P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标；R6：关于原点对称的点的坐标．【专题】532：函数及其图像．【分析】观察函数图象，得出正确的表述即可．【解答】解：观察图形得：函数没有最大值，没有最低点，函数图象关于原点对称，故选C【点评】此题考查了函数的图象，关于x轴、y轴对称的点的坐标，以及关于原点对称的点的坐标，认真观察图形是解本题的关键．10．（4分）（•宁德）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC 和AC上，若AD=AE，则下列结论错误的是（）A．∠ADB=∠ACB+∠CAD B．∠ADE=∠AEDC．∠CDE=∠BAD D．∠AED=2∠ECD【考点】KH：等腰三角形的性质．【分析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出选项A、B、C正确，选项D错误，即可得出答案．【解答】解：∵∠ADB是△ACD的外角，∴∠ADB=∠ACB+∠CAD，选项A正确；∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，选项B正确；∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠AED=∠CDE+∠C，∴∠CDE+∠C+∠CDE=∠B+∠BAD，∴∠CDE=∠BAD，选项C正确；∵∠AED=∠ECD+∠CDE，∠ECD≠∠CDE，∴选项D错误；故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分.请将答案填入答题卡的相应位置）11．（4分）（•宁德）9月26日，我国自主设计建造的世界最大球面射电望远镜落成启用．该望远镜理论上能接收到13 700 000 000光年以外的电磁信号．数据13 700 000 000光年用科学记数法表示为 1.37×1010光年．【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：13 700 000 000=1.37×1010，故答案为：1.37×1010．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（4分）（•宁德）一元二次方程x（x+3）=0的根是x=0或﹣3．【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】11 ：计算题．【分析】利用分解因式法即可求解．【解答】解：x（x+3）=0，∴x=0或x=﹣3．故答案为：x=0或x=﹣3．【点评】此题主要考查了利用因式分解的方法解一元二次方程，解题的关键是熟练进行分解因式．13．（4分）（•宁德）若矩形的面积为a2+ab，长为a+b，则宽为a．【考点】4H：整式的除法．【分析】根据多项式除以多项式的运算法则计算即可．【解答】解：矩形的宽=（a2+ab）÷（a+b）=a，故答案为：a．【点评】本题考查的是整式的除法，掌握多项式除以多项式的运算法则、因式分解是解题的关键．14．（4分）（•宁德）甲、乙两位同学参加物理实验考试，若每人只能从A、B、C、D四个实验中随机抽取一个，则甲、乙两位同学抽到同一实验的概率为．【考点】X6：列表法与树状图法．【专题】11 ：计算题；543：概率及其应用．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙两位同学抽到同一实验的情况数，即可求出所求概率．【解答】解：列表如下：A B C DA AA BA CA DAB AB BB CB DBC AC BC CC DCD AD BD CD DD所有等可能的情况有16种，其中甲乙两位同学抽到同一实验的情况有AA，BB，CC，DD，4种情况，则P==，故答案为：【点评】此题考查了列表法与树状图法，概率=所求情况数与总情况数之比．15．（4分）（•宁德）将边长为2的正六边形ABCDEF绕中心O顺时针旋转α度与原图形重合，当α最小时，点A运动的路径长为．【考点】O4：轨迹；R3：旋转对称图形．【分析】根据题意α最小值是60°，然后根据弧长公式即可求得．【解答】解：∵正六边形ABCDEF绕中心O顺时针旋转α度与原图形重合，α最小值是60°，∴点A运动的路径长==．故答案为．【点评】本题考查了旋转对称图形，主要考查了学生的理解能力和计算能力，题目是一道比较好的题目，解此题的关键是求出α的最小值．16．（4分）（•宁德）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，AC与OB交于点D （8，4），反比例函数y=的图象经过点D．若将菱形OABC 向左平移n个单位，使点C落在该反比例函数图象上，则n的值为2．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；L8：菱形的性质；Q3：坐标与图形变化﹣平移．【分析】根据菱形的性质得出CD=AD，BC∥OA，根据D （8，4）和反比例函数y=的图象经过点D求出k=32，C点的纵坐标是2×4=8，求出C的坐标，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCO是菱形，∴CD=AD，BC∥OA，∵D （8，4），反比例函数y=的图象经过点D，∴k=32，C点的纵坐标是2×4=8，∴y=，把y=8代入得：x=4，∴n=4﹣2=2，∴向左平移2个单位长度，反比例函数能过C点，故答案为：2．【点评】本题考查了菱形的性质，平移的性质，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点，能求出C的坐标是解此题的关键．三、解答题（本大题有9小题，共86分.请在答题卞的相应位置作答）17．（8分）（•宁德）化简并求值：x（x﹣2）+（x+1）2，其中x=﹣2．【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．【专题】11 ：计算题；512：整式．【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=x2﹣2x+x2+2x+1=2x2+1，当x=﹣2时，原式=8+1=9．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（8分）（•宁德）已知：不等式≤2+x（1）解该不等式，并把它的解集表示在数轴上；（2）若实数a满足a＞2，说明a是否是该不等式的解．【考点】C6：解一元一次不等式；C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．（2）根据不等式的解的定义求解可得．【解答】解：（1）2﹣x≤3（2+x），2﹣x≤6+3x，﹣4x≤4，x≥﹣1，解集表示在数轴上如下：（2）∵a＞2，不等式的解集为x≥﹣1，而2＞﹣1，∴a是不等式的解．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．19．（8分）（•宁德）如图，E，F为平行四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE ⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．求证：AE=CF．【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB=∠CFD=90°，又由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，即可证得∠ABE=∠CDF，则可证得△ABE≌△CDF，继而证得结论．【解答】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，在▱ABCD中，AB∥CD，AB=CD，∴∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE=CF．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△ABE≌△CDF是关键．20．（8分）（•宁德）小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的．写出题中被墨水污染的条件，并求解这道应用题．【考点】9A：二元一次方程组的应用．【专题】12 ：应用题．【分析】被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元，设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果．【解答】解：被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元，设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元，根据题意得：，解得：，则“五一”前同样的电视每台2500元，空调每台3000元．【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．21．（8分）（•宁德）某初中学校组织200位同学参加义务植树活动，每人植树的棵数在5至10之间．甲、乙两位同学分别调查了30位同学的植树情况，并将收集的数据进行了整理，绘制成统计表分别为表1和表2：表1：甲调查九年级30位同学植树情况统计表（单位：棵）每人植树情况78910人数36156频率0.10.20.50.2表2：乙调查三个年级各10位同学植树情况统计表（单位：棵）每人植树情况678910人数363116频率0.10.20.10.40.2根据以上材料回答下列问题：（1）表1中30位同学植树情况的中位数是9棵；（2）已知表2的最后两列中有一个错误的数据，这个错误的数据是11，正确的数据应该是12（3）指出哪位同学所抽取的样本能更好反映此次植树活动情况，并用该样本估计本次活动200位同学一共植树多少棵？【考点】W4：中位数；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．【分析】（1）根据中位数定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数可得答案；（2）乙组调查了30人，根据人数和下面的频率可得错误数据为11，应为12；（3）根据样本要具有代表性可得乙同学抽取的样本比较有代表性，再利用样本估计总体的方法计算即可．【解答】解：（1）表1中30位同学植树情况的中位数是9棵，故答案为：9；（2）已知表2的最后两列中有一个错误的数据，这个错误的数据是11，正确的数据应该是12；（3）乙同学所抽取的样本能更好反映此次植树活动情况，（3×6+6×7+3×8+12×9+6×10）÷30×200=1680（棵），答：本次活动200位同学一共植树1680棵．【点评】此题主要考查了抽样调查，以及中位数，关键是掌握中位数定义，掌握抽样调查抽取的样本要具有代表性．22．（10分）（•宁德）如图，在边长为1的正方形组成的5×8方格中，△ABC 的顶点都在格点上．（1）在给定的方格中，以直线AB为对称轴，画出△ABC的轴对称图形△ABD．（2）求sin∠ABD的值．【考点】P7：作图﹣轴对称变换；T7：解直角三角形．【分析】（1）根据格点的特点作出点C关于直线AB的对称点D，连接AD，BD 即可；（2）根据格点的特点可知∠DBC=90°，再由轴对称的性质可知∠ABD=∠ABC=45°，据此可得出结论．【解答】解：（1）如图，△ABD即为所求；（2）由图可知，∠DBC=90°，∵点C与点D关于直线AB的对称，∴∠ABD=∠ABC=45°，∴sin∠ABD=sin45°=．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．23．（10分）（•宁德）如图，BF为⊙O的直径，直线AC交⊙O于A，B两点，点D在⊙O上，BD平分∠OBC，DE⊥AC于点E．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若BF=10，sin∠BDE=，求DE的长．【考点】ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形．【分析】（1）先连接OD，根据∠ODB=∠DBE，即可得到OD∥AC，再根据DE⊥AC，可得OD⊥DE，进而得出直线DE是⊙O的切线；（2）先连接DF，根据题意得到∠F=∠BDE，在Rt△BDF中，根据=sinF=sin∠BDE=，可得BD=2，在Rt△BDE中，根据sin∠BDE==，可得BE=2，最后依据勾股定理即可得到DE的长．【解答】解：（1）如图所示，连接OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵BD平分∠OBC，∴∠OBD=∠DBE，∴∠ODB=∠DBE，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴直线DE是⊙O的切线；（2）如图，连接DF，∵BF是⊙O的直径，∴∠FDB=90°，∴∠F+∠OBD=90°，∵∠OBD=∠DBE，∠BDE+∠DBE=90°，∴∠F=∠BDE，在Rt△BDF中，=sinF=sin∠BDE=，∴BD=10×=2，∴在Rt△BDE中，sin∠BDE==，∴BE=2×=2，∴在Rt△BDE中，DE===4．【点评】本题主要考查了切线的判定以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰三角形以及直角三角形，解题时注意：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．24．（13分）（•宁德）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B和点D的坐标分别为（m，0），（n，4），且m＞0，四边形ABCD是矩形．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，求m，n的值；（2）在图2中，画出矩形ABCD，简要说明点C，D的位置是如何确定的，并直接用含m的代数式表示点C的坐标；（3）探究：当m为何值时，矩形ABCD的对角线AC的长度最短．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）先判断出∠ADE=∠BAO，即可判断出△ABO≌△ADE，得出DE=OA=3，AE=OB，即可求出m；（2）先根据垂直的作法即可画出图形，判断出△ADE≌△CBF，得出CF=1，再判断出△AOB∽△DEA，即可得出OB=，即可得出结论；（3）先判断出BD⊥x轴时，求出AC的最小值，再求出DM=2，最后用勾股定理求出AE即可得出m．【解答】解：（1）如图1，过点D作DE⊥y轴于E，∴∠AED=∠AOB=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°，∴∠DAE+∠BAO=90°，∴∠ADE=∠BAO，在△ABO和△ADE中，，∴△ABO≌△ADE，∴DE=OA，AE=OB，∵A（0，3），B（m，0），D（n，4），∴OA=3，OB=m，OE=4，DE=n，∴n=3，∴OE=OA+AE=OA+OB=3+m=4，∴m=1；（2）画法：如图2，①过点A画AB的垂线l1，过点B画AB的垂线l2，②过点E（0，4），画y轴的垂线l3交l1于D，③过点D画直线l1的垂线交直线l2于点C，所以，四边形ABCD是所求作的图形，过点C作CF⊥x轴于F，∴∠CBF+∠BCF=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，∴∠ABO+∠CBF=90°，∴∠BCF=∠ABO，同理：∠ABO=∠DAE，∴∠BCF=∠DAE，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF=n，AE=CF=1，易证△AOB∽△DEA，∴，∴，∴n=，∴OF=OB+BF=m+，∴C（m+，1）；（3）如图3，由矩形的性质可知，BD=AC，∴BD最小时，AC最小，∵B（m，0），D（n，4），∴当BD⊥x轴时，BD有最小值4，此时，m=n，即：AC的最小值为4，连接BD，AC交于点M，过点A作AE⊥BD于E，由矩形的性质可知，DM=BM=BD=2，∵A（0，3），D（n，4），∴DE=1，∴EM=DM﹣DE=1，在Rt△AEM中，根据勾股定理得，AE=，∴m=，即：当m=时，矩形ABCD的对角线AC的长最短为4．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是△ABO ≌△ADE ，解（2）的关键是△ADE ≌△CBF 和△AOB ∽△DEA ，解（3）的关键是作出辅助线，是一道中考常考题．25．（13分）（•宁德）如图，抛物线l ：y=（x ﹣h ）2﹣2与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），将抛物线ι在x 轴下方部分沿轴翻折，x 轴上方的图象保持不变，就组成了函数ƒ的图象． （1）若点A 的坐标为（1，0）．①求抛物线l 的表达式，并直接写出当x 为何值时，函数ƒ的值y 随x 的增大而增大；②如图2，若过A 点的直线交函数ƒ的图象于另外两点P ，Q ，且S △ABQ =2S △ABP ，求点P 的坐标；（2）当2＜x ＜3时，若函数f 的值随x 的增大而增大，直接写出h 的取值范围．【考点】HF ：二次函数综合题．【分析】（1）①利用待定系数法求抛物线的解析式，由对称性求点B 的坐标，根据图象写出函数ƒ的值y 随x 的增大而增大（即呈上升趋势）的x 的取值； ②如图2，作辅助线，构建对称点F 和直角角三角形AQE ，根据S △ABQ =2S △ABP ，得QE=2PD ，证明△PAD ∽△QAE ，则，得AE=2AD ，设AD=a ，根据QE=2FD列方程可求得a 的值，并计算P 的坐标；（2）先令y=0求抛物线与x 轴的两个交点坐标，根据图象中呈上升趋势的部分，有两部分：分别讨论，并列不等式或不等式组可得h 的取值．【解答】解：（1）①把A （1，0）代入抛物线y=（x ﹣h ）2﹣2中得：（x﹣h）2﹣2=0，解得：h=3或h=﹣1，∵点A在点B的左侧，∴h＞0，∴h=3，∴抛物线l的表达式为：y=（x﹣3）2﹣2，∴抛物线的对称轴是：直线x=3，由对称性得：B（5，0），由图象可知：当1＜x＜3或x＞5时，函数ƒ的值y随x的增大而增大；②如图2，作PD⊥x轴于点D，延长PD交抛物线l于点F，作QE⊥x轴于E，则PD∥QE，由对称性得：DF=PD，∵S△ABQ =2S△ABP，∴AB•QE=2×AB•PD，∴QE=2PD，∵PD∥QE，∴△PAD∽△QAE，∴，∴AE=2AD，设AD=a，则OD=1+a，OE=1+2a，P（1+a，﹣[（1+a﹣3）2﹣2]），∵点F、Q在抛物线l上，∴PD=DF=﹣[（1+a﹣3）2﹣2]，QE=（1+2a﹣3）2﹣2，∴（1+2a﹣3）2﹣2=﹣2[（1+a﹣3）2﹣2]，解得：a=或a=0（舍），∴P（，）；（2）当y=0时，（x﹣h）2﹣2=0，解得：x=h+2或h﹣2，∵点A在点B的左侧，且h＞0，∴A（h﹣2，0），B（h+2，0），如图3，作抛物线的对称轴交抛物线于点C，分两种情况：①由图象可知：图象f在AC段时，函数f的值随x的增大而增大，则，∴3≤h≤4，②由图象可知：图象f点B的右侧时，函数f的值随x的增大而增大，即：h+2≤2，h≤0，综上所述，当3≤h≤4或h≤0时，函数f的值随x的增大而增大．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的增减性问题、三角形相似的性质和判定，与方程相结合，找等量关系，第二问还运用了。
【精品】2015年福建省宁德市福安市非城关片区八年级上学期期中数学试卷带解析答案
2014-2015学年福建省宁德市福安市非城关片区八年级（上）期中数学试卷一、细心选一选，试试自己的能力，可别猜哟!（每小题3分，共30分．在各个给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在答题卷上）1．（3分）下列四个实数中，绝对值最小的数是（）A．﹣5 B．C．1 D．42．（3分）下列各组数中能够作为直角三角形的三边长的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，63．（3分）在实数，，3.14，，0.，﹣0.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐次加1）中，无理数的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．54．（3分）下列式子正确的是（）A．=±4 B．±=±4 C．=﹣4 D．±=45．（3分）若点A（x，3）与点B（2，y）关于x轴对称，则（）A．x=﹣2，y=﹣3 B．x=2，y=﹣3 C．x=﹣2，y=3 D．x=2，y=36．（3分）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（）A．5m B．12m C．13m D．18m7．（3分）点（﹣2，﹣5）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．（3分）气象台为预测台风，首先要确定台风中心的位置，下列说法能确定台风中心位置的是（）A．距台湾200海里B．位于台湾与海口之间C．位于东经120.8度，北纬32.8度D．位于西太平洋9．（3分）下列函数是正比例函数的是（）A．y=﹣8x B．y=5x2+6 C．y=﹣2x﹣1 D．y=10．（3分）下列图形中，不能体现y是x的函数关系的是（）A．B．C． D．二、耐心填一填，你会发现自己真的很棒！（（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）2的相反数是．12．（3分）如果将电影票上“6排3号”简记为（6，3），那么“10排8号”可表示为．13．（3分）通过估算，比较大小： 2.5（填“＞”、“＜”或“=”）14．（3分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2．15．（3分）已知点P（a，3）在一次函数y=2x﹣9的图象上，则a=．16．（3分）点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，则P点坐标为．17．（3分）在△ABC中，a=3，b=7，c2=58，则△ABC是．18．（3分）如图，正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形，如果两个小正方形的面积分别是6cm2和2cm2，那么两个长方形的面积和为cm2．三、解答题（共46分）19．（15分）用心算一算，要细心哦！（1）×﹣5（2）（+）（﹣）（3）﹣10+．20．（6分）在数轴上画出表示的点．（要画出作图痕迹）21．（7分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）求S．△ABC22．（8分）已知：2a+b的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，求3a+b 的值．23．（10分）探究与发现：112=121；1112=12321；11112=1234321则111112=；猜想=；=；…=；那么=．2014-2015学年福建省宁德市福安市非城关片区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、细心选一选，试试自己的能力，可别猜哟!（每小题3分，共30分．在各个给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在答题卷上）1．（3分）下列四个实数中，绝对值最小的数是（）A．﹣5 B．C．1 D．4【解答】解：|﹣5|=5；|﹣|=，|1|=1，|4|=4，绝对值最小的是1．故选：C．2．（3分）下列各组数中能够作为直角三角形的三边长的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项错误；B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项错误；C、32+42=52，能构成直角三角形，故此选项正确；D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项错误．故选：C．3．（3分）在实数，，3.14，，0.，﹣0.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐次加1）中，无理数的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：﹣=4，无理数有：，﹣0.1010010001…，共2个．故选：A．4．（3分）下列式子正确的是（）A．=±4 B．±=±4 C．=﹣4 D．±=4【解答】解：A、=4，故本选项错误；B、±=±4，故本选项正确；C、=4，故本选项错误；D、±=±4，故本选项错误．故选：B．5．（3分）若点A（x，3）与点B（2，y）关于x轴对称，则（）A．x=﹣2，y=﹣3 B．x=2，y=﹣3 C．x=﹣2，y=3 D．x=2，y=3【解答】解：∵点A（x，3）与点B（2，y）关于x轴对称，∴x=2，y=﹣3，故选：B．6．（3分）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（）A．5m B．12m C．13m D．18m【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理，折断的旗杆为=13m，所以旗杆折断之前高度为13m+5m=18m．故选：D．7．（3分）点（﹣2，﹣5）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：点（﹣2，﹣5）所在的象限是第三象限，故选：C．8．（3分）气象台为预测台风，首先要确定台风中心的位置，下列说法能确定台风中心位置的是（）A．距台湾200海里B．位于台湾与海口之间C．位于东经120.8度，北纬32.8度D．位于西太平洋【解答】解：A、距台湾200海里，位置不确定，故本选项错误；B、位于台湾与海口之间，位置不确定，故本选项错误；C、位于东经120.8度，北纬32.8度，位置非常明确，故本选项正确；D、位于西太平洋，位置不确定，故本选项错误．故选：C．9．（3分）下列函数是正比例函数的是（）A．y=﹣8x B．y=5x2+6 C．y=﹣2x﹣1 D．y=【解答】解：A、是正比例函数，故A正确；B、是二次函数，故B错误；C、是一次函数，故C错误；D、是反比例函数，故D错误；故选：A．10．（3分）下列图形中，不能体现y是x的函数关系的是（）A．B．C． D．【解答】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故A正确；B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故B正确；C、不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故C错误；D、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故D正确；故选：C．二、耐心填一填，你会发现自己真的很棒！（（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）2的相反数是﹣2．【解答】解：2的相反数是﹣2．故答案为：﹣212．（3分）如果将电影票上“6排3号”简记为（6，3），那么“10排8号”可表示为（10，8）．【解答】解：∵“6排3号”简记为（6，3），∴“10排8号”可表示为（10，8）．故答案为：（10，8）．13．（3分）通过估算，比较大小：＜ 2.5（填“＞”、“＜”或“=”）【解答】解：∵2.5=，∴故答案为：＜14．（3分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为49cm2．【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．故答案为：49cm2．15．（3分）已知点P（a，3）在一次函数y=2x﹣9的图象上，则a=6．【解答】解：∵点P（a，3）在一次函数y=2x﹣9的图象上，∴2a﹣9=3，解得a=6．故答案为：6．16．（3分）点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，则P点坐标为（2，0）．【解答】解：∵点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，∴这点的纵坐标是0，∴m+1=0，解得，m=﹣1，∴横坐标m+3=2，则点P的坐标是（2，0）．17．（3分）在△ABC中，a=3，b=7，c2=58，则△ABC是直角三角形．【解答】解：∵32+72=58，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形．故答案为：直角三角形．18．（3分）如图，正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形，如果两个小正方形的面积分别是6cm2和2cm2，那么两个长方形的面积和为4cm2．【解答】解：∵两个小正方形的面积分别是6cm2和2cm2，∴两个正方形的边长分别为和，∴两个矩形的长是，宽是，∴两个长方形的面积和=2××=4cm2．故答案为：4．三、解答题（共46分）19．（15分）用心算一算，要细心哦！（1）×﹣5（2）（+）（﹣）（3）﹣10+．【解答】解：（1）原式=﹣5=﹣5=6﹣5=1；（2）原式=（）2﹣（）2=7﹣3=4；（3）原式=2﹣+=2．20．（6分）在数轴上画出表示的点．（要画出作图痕迹）【解答】解：因为10=9+1，则首先作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是．21．（7分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；．（2）求S△ABC【解答】解：（1）如图所示，由图可知，A1的坐标（﹣2，﹣3）；（2）S=2×2﹣×1×1﹣×1×2﹣×1×2△ABC=4﹣﹣1﹣1=．22．（8分）已知：2a+b的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，求3a+b 的值．【解答】解：依题知：2a+b=9 ①5a+2b﹣2=16 ②由②﹣①得3a+b﹣2=7所以3a+b=9．23．（10分）探究与发现：112=121；1112=12321；11112=1234321则111112=123454321；猜想=22；=333；…=7777777；那么=n个n．【解答】解：从上三个式子中可以发现规律：111112=123454321；=22；=333；…=7777777；那么=n 个n ．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。
福建福州中考数学2015年试题精品word版答案或解析精编
2015年福建省福州市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）a的相反数是（）A．|a| B．C．﹣a D．2．（3分）下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（）A．B．C．D．3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．4．（3分）计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（）A．0.1×107B．0.1×106C．1×107 D．1×1065．（3分）下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（）A．扇形图B．条形图C．折线图D．直方图6．（3分）计算a•a﹣1的结果为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣a7．（3分）如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）A．A点B．B点C．C点D．D点8．（3分）如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（）A．80°B．90°C．100°D．105°9．（3分）若一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能是（）A．0 B．2.5 C．3 D．510．（3分）已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）A．正比例函数 B．一次函数C．反比例函数 D．二次函数二、填空题（共6小题，满分24分）11．（4分）分解因式a2﹣9的结果是．12．（4分）计算（x﹣1）（x+2）的结果是．13．（4分）一个反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），则这个反比例函数的解析式是．14．（4分）一组数据：2015，2015，2015，2015，2015，2015的方差是．15．（4分）一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示，其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm，则正方体的体积为cm3．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是．三、解答题（共10小题，满分96分）17．（7分）计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．18．（7分）化简：﹣．19．（8分）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．20．（8分）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，求m的值．21．（9分）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛．问：篮球、排球队各有多少支？22．（9分）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？（在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）；（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是；（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率．23．（10分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB=，半径为2的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到．（1）求证：AB为⊙C的切线；（2）求图中阴影部分的面积．24．（12分）定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G 处，折痕为BH．操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．则四边形BCEF为矩形．证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD==．由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形．∴∠A=∠BFE．∴EF∥AD．∴=，即=．∴BF=．∴BC：BF=1：=：1．∴四边形BCEF为矩形．阅读以上内容，回答下列问题：（1）在图①中，所有与CH相等的线段是，tan∠HBC的值是；（2）已知四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是矩形；（3）将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则n的值是．25．（13分）如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）求证：DM=DA；（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；（3）在图②中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．26．（13分）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P 的直线y=x+m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；（2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．2015年福建省福州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2015•福州）a的相反数是（）A．|a| B．C．﹣a D．【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：a的相反数是﹣a．故选：C．【点评】本题考查了相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．一个数的相反数就是在这个数前面添上一个“﹣”号．2．（3分）（2015•福州）下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（）A．B．C．D．【分析】利用平行线的判定方法判断即可．【解答】解：如图所示：∵∠1=∠2（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故选B【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．3．（3分）（2015•福州）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】首先根据解一元一次不等式组的方法，可得不等式组的解集是﹣1≤x＜2；然后在数轴上表示出不等式组的解集即可．【解答】解：不等式组的解集是：﹣1≤x＜2，∴不等式组的解集在数轴上表示为：．故选：A．【点评】（1）此题主要考查了解一元一次不等式组的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．（2）此题还考查了用数轴表示不等式的解集的方法，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．4．（3分）（2015•福州）计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（）A．0.1×107B．0.1×106C．1×107 D．1×106【分析】直接根据乘法分配律即可求解．【解答】解：3.8×107﹣3.7×107=（3.8﹣3.7）×107=0.1×107=1×106．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．注意灵活运用运算定律简便计算．5．（3分）（2015•福州）下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（）A．扇形图B．条形图C．折线图D．直方图【分析】根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．【解答】解：在进行数据描述时，要显示部分在总体中所占的百分比，应采用扇形统计图；故选：A．【点评】本题考查统计图的选择，解决本题的关键是明确：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；频率分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频率分布情况，易于显示各组之间频率的差别．6．（3分）（2015•福州）计算a•a﹣1的结果为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣a【分析】利用同底数幂的乘法，零指数幂的计算法则计算即可得到结果．【解答】解：a•a﹣1=a0=1．故选：C．【点评】此题考查了同底数幂的乘法，零指数幂运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．（3分）（2015•福州）如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）A．A点B．B点C．C点D．D点【分析】以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案．【解答】解：当以点B为原点时，A（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），则点A和点C关于y轴对称，符合条件，故选：B．【点评】本题考查的是关于x轴、y轴对称的点的坐标和坐标确定位置，掌握平面直角坐标系内点的坐标的确定方法和对称的性质是解题的关键．8．（3分）（2015•福州）如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（）A．80°B．90°C．100°D．105°【分析】根据题意，可得AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，然后根据直径对的圆周角是90°，可得∠AMB的度数是90°，据此解答即可．【解答】解：如图，，AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，因为直径对的圆周角是90°，所以∠AMB=90°，所以测量∠AMB的度数，结果为90°．故选：B．【点评】（1）此题主要考查了作图﹣基本作图的方法，要熟练掌握，注意结合基本的几何图形的性质．（2）此题还考查了圆周角的知识，解答此题的关键是要明确：直径对的圆周角是90°．9．（3分）（2015•福州）若一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能是（）A．0 B．2.5 C．3 D．5【分析】因为中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中x的大小位置未定，故应该分类讨论x所处的所有位置情况：从小到大（或从大到小）排列在中间；结尾；开始的位置．【解答】解：（1）将这组数据从小到大的顺序排列为1，2，3，4，x，处于中间位置的数是3，∴中位数是3，平均数为（1+2+3+4+x）÷5，∴3=（1+2+3+4+x）÷5，解得x=5；符合排列顺序；（2）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，3，x，4，中位数是3，此时平均数是（1+2+3+4+x）÷5=3，解得x=5，不符合排列顺序；（3）将这组数据从小到大的顺序排列后1，x，2，3，4，中位数是2，平均数（1+2+3+4+x）÷5=2，解得x=0，不符合排列顺序；（4）将这组数据从小到大的顺序排列后x，1，2，3，4，中位数是2，平均数（1+2+3+4+x）÷5=2，解得x=0，符合排列顺序；（5）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，x，3，4，中位数，x，平均数（1+2+3+4+x）÷5=x，解得x=2.5，符合排列顺序；∴x的值为0、2.5或5．故选C．【点评】本题考查了确定一组数据的中位数，涉及到分类讨论思想，较难，要明确中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完整．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数10．（3分）（2015•福州）已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x 的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）A．正比例函数 B．一次函数C．反比例函数 D．二次函数【分析】求出一次函数和反比例函数的解析式，根据其性质进行判断．【解答】解：设一次函数解析式为：y=kx+b，由题意得，，解得，，∵k＞0，∴y随x的增大而增大，∴A、B错误，设反比例函数解析式为：y=，由题意得，k=﹣4，k＜0，∴在每个象限，y随x的增大而增大，∴C错误，当抛物线开口向上，x＞1时，y随x的增大而减小．故选：D．【点评】本题考查的是正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质，掌握各个函数的增减性是解题的关键．二、填空题（共6小题，满分24分）11．（4分）（2015•福州）分解因式a2﹣9的结果是（a+3）（a﹣3）．【分析】直接运用平方差公式分解即可．【解答】解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．故答案为：（a+3）（a﹣3）．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．12．（4分）（2015•福州）计算（x﹣1）（x+2）的结果是x2+x﹣2 ．【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，计算即可．【解答】解：（x﹣1）（x+2）=x2+2x﹣x﹣2=x2+x﹣2．故答案为：x2+x﹣2．【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．13．（4分）（2015•福州）一个反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），则这个反比例函数的解析式是．【分析】设出反比例函数解析式，然后把点的坐标代入求出k值，即可得到解析式．【解答】解：设这个反比例函数解析式为y=，∴=﹣3，解得k=6，∴这个反比例函数的解析式是y=．故答案为：y=．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，灵活运用待定系数法是解题的关键，本题把点的坐标代入函数表达式进行计算即可求解．14．（4分）（2015•福州）一组数据：2015，2015，2015，2015，2015，2015的方差是0 ．【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量．数据2015，2015，2015，2015，2015，2015全部相等，没有波动，故其方差为0．【解答】解：由于方差是反映一组数据的波动大小的，而这一组数据没有波动，故它的方差为0．故答案为：0．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．15．（4分）（2015•福州）一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示，其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm，则正方体的体积为2cm3．【分析】作出该几何体的俯视图，然后确定底面圆的半径，从而求得正方体的棱长，最后求得体积．【解答】解：该几何体的俯视图如图：∵圆柱底面周长为2πcm，∴OA=OB=1cm，∵∠AOB=90°，∴AB=OA=，∴该正方体的体积为（）3=2，故答案为：2．【点评】本题考查了圆柱的计算，解题的关键是确定底面圆的半径，这是确定正方体的棱长的关键，难度不大．16．（4分）（2015•福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC 绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是+1 ．【分析】如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，得到△ACM为等边三角形根据AB=BC，CM=AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO=AC=1，OM=CM•sin60°=，最终得到答案BM=BO+OM=1+．【解答】解：如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM为等边三角形，∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°；∵∠ABC=90°，AB=BC=，∴AC=2=CM=2，∵AB=BC，CM=AM，∴BM垂直平分AC，∴BO=AC=1，OM=CM•sin60°=，∴BM=BO+OM=1+，故答案为：1+．【点评】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．三、解答题（共10小题，满分96分）17．（7分）（2015•福州）计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．【分析】运用﹣1的奇次方等于﹣1，30°角的正弦等于，结合平方差公式进行计算，即可解决问题．【解答】解：原式=﹣1++4﹣3=．【点评】该题主要考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点及其应用问题；牢固掌握特殊角的三角函数值、灵活运用二次根式的混合运算法则是正确进行代数运算的基础和关键．18．（7分）（2015•福州）化简：﹣．【分析】根据同分母分式的减法法则计算，再根据完全平方公式展开，合并同类项后约分计算即可求解．【解答】解：﹣===1．【点评】考查了同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；完全平方公式，合并同类项．19．（8分）（2015•福州）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．【分析】先证出∠ABC=∠ABD，再由ASA证明△ABC≌△ABD，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵∠3=∠4，∴∠ABC=∠ABD，在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（ASA），∴AC=AD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．20．（8分）（2015•福州）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，求m的值．【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△=0即可得到关于m的方程，解方程求出m的值即可．【解答】解：∵x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，∴△=（2m﹣1）2﹣4×4=0，解得m=﹣或m=．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意得出关于m的方程是解答此题的关键．21．（9分）（2015•福州）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛．问：篮球、排球队各有多少支？【分析】设篮球队有x支，排球队有y支，根据共有48支队，520名运动员建立方程组求出其解即可．【解答】解：设篮球队有x支，排球队有y支，由题意，得，解得：．答：篮球队有28支，排球队有20支．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据条件建立二元一次方程组是关键．22．（9分）（2015•福州）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？（在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）；（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是 2 ；（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率．【分析】（1）因为红球和白球的个数一样，所以被摸到的可能性相同；（2）根据摸到绿球的频率稳定于0.25，即可求出n的值；（3）根据树状图即可求出两次摸出的球颜色不同的概率．【解答】解：（1）当n=1时，红球和白球的个数一样，所以被摸到的可能性相同，故答案为：相同；（2）∵摸到绿球的频率稳定于0.25，∴，∴n=2，故答案为：2；（3）由树状图可知，共有12种结果，其中两次摸出的球颜色不同的10种，所以其概率=．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（10分）（2015•福州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB=，半径为2的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到．（1）求证：AB为⊙C的切线；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）过点C作CH⊥AB于H，如图，先在Rt△ABC中，利用正切的定义计算出BC=2AC=2，再利用勾股定理计算出AB=5，接着利用面积法计算出CH=2，则可判断CH为⊙C的半径，然后根据切线的判定定理即可得到AB为⊙C的切线；（2）根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用S阴影部分=S△ACB﹣S扇形CDE进行计算即可．【解答】（1）证明：过点C作CH⊥AB于H，如图，在Rt△ABC中，∵tanB==，∴BC=2AC=2，∴AB===5，∵CH•AB=AC•BC，∴CH==2，∵⊙C的半径为2，∴CH为⊙C的半径，而CH⊥AB，∴AB为⊙C的切线；（2）解：S阴影部分=S△ACB﹣S扇形CDE=×2×5﹣=5﹣π．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径．也考查了勾股定理和扇形面积的计算．24．（12分）（2015•福州）定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH．操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．则四边形BCEF为矩形．证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD==．由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形．∴∠A=∠BFE．∴EF∥AD．∴=，即=．∴BF=．∴BC：BF=1：=：1．∴四边形BCEF为矩形．阅读以上内容，回答下列问题：（1）在图①中，所有与CH相等的线段是GH、DG ，tan∠HBC的值是﹣1 ；（2）已知四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是矩形；（3）将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则n的值是 6 ．【分析】（1）由折叠即可得到DG=GH=CH，设HC=x，则有DG=GH=x，DH=x，根据DC=DH+CH=1，就可求出HC，然后运用三角函数的定义即可求出tan∠HBC的值；（2）只需借鉴阅读中证明“四边形BCEF为矩形”的方法就可解决问题；（3）同（2）中的证明可得：将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，由此就可得到n的值．【解答】解：（1）由折叠可得：DG=HG，GH=CH，∴DG=GH=CH．设HC=x，则DG=GH=x．∵∠DGH=90°，∴DH=x，∴DC=DH+CH=x+x=1，解得x=．∴tan∠HBC===．故答案为：GH、DG，；（2）∵BC=1，EC=BF=，∴BE==．由折叠可得BP=BC=1，∠FNM=∠BNM=90°，∠EMN=∠CMN=90°．∵四边形BCEF是矩形，∴∠F=∠FEC=∠C=∠FBC=90°，∴四边形BCMN是矩形，∠BNM=∠F=90°，∴MN∥EF，∴=，即BP•BF=BE•BN，∴1×=BN，∴BN=，∴BC：BN=1：=：1，∴四边形BCMN是的矩形；（3）同理可得：将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，所以将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，故答案为6．【点评】本题主要考查了轴对称的性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、平行线分线段成比例、勾股定理等知识，考查了阅读理解能力、操作能力、归纳探究能力、推理能力，运用已有经验解决问题的能力，是一道好题．25．（13分）（2015•福州）如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）求证：DM=DA；（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；（3）在图②中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．【分析】（1）证明∠A=∠DMA，用等角对等边即可证明结论；（2）由D、E分别是AB、BC的中点，可知DE∥AC，于是∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，又∠A=∠AFE，∠AFE=∠C+∠FEC，根据等式性质得∠FEC=∠GDE，根据有两对对应角相等的两三角形相似可证；（3）通过证明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BG•BE=EH•EC，又BE=EC，所以EH=BG=1．【解答】（1）证明：如图1所示，∵DM∥EF，∴∠AMD=∠AFE，∵∠AFE=∠A，∴∠AMD=∠A，∴DM=DA；（2）证明：如图2所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，∵∠BDG=∠C，∴∠GDE=∠FEC，∴△DEG∽△ECF；（3）解：如图3所示，∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，∴△BDG∽△BED，∴，∴BD2=BG•BE，∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH，又∵∠FEH=∠CEF，∴△EFH∽△ECF，∴，∴EF2=EH•EC，∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF=DM=DA=BD，∴BG•BE=EH•EC，∵BE=EC，∴EH=BG=1．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质以及三角形相似的判定与性质，第三小题是难点，运用两对三角形相似得到比例中项问题，发现等线段是解决问题的关键．26．（13分）（2015•福州）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是 2 ，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°；（2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可求得对称轴；求得直线与坐标轴的交点坐标，即可证得直线和坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，从而求得直线PQ与x轴所夹锐角的度数；（2）分三种情况分别讨论根据已知条件，通过△OBE∽△ABF对应边成比例即可求得；（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，可得△CHQ是等腰三角形，进而得出AD ⊥PH，得出DQ=DH，从而得出PD+DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，得出PH=PM，因为当PM最大时，PH最大，通过求得PM的最大值，从而求得PH的最大值；由①可知：PD+PH≤6，设PD=a，则DQ﹣a，得出PD•DQ ≤a（6﹣a）=﹣a2+6a=﹣（a﹣3）2+18，当点P在抛物线的顶点时，a=3，得出PD•DQ≤18．【解答】方法一：解：（1）∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，∴抛物线的对称轴是x=2，∵直线y=x+m，∴直线与坐标轴的交点坐标为（﹣m，0），（0，m），∴交点到原点的距离相等，∴直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°，故答案为x=2、45°．（2）设直线PQ交x轴于点B，分别过O点，A点作PQ的垂线，垂足分别是E、F，显然当点B在OA的延长线时，S△POQ=S△PAQ不成立；①当点B落在线段OA上时，如图①，==，由△OBE∽△ABF得，==，∴AB=3OB，∴OB=OA，由y=x2﹣4x得点A（4，0），∴OB=1，∴B（1，0），∴1+m=0，∴m=﹣1；②当点B落在线段AO的延长线上时，如图②，同理可得OB=OA=2，∴B（﹣2，0），∴﹣2+m=0，∴m=2，综上，当m=﹣1或2时，S△POQ=S△PAQ；（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，如图③，可得△CHQ是等腰三角形，∵∠CDQ=45°+45°=90°，∴AD⊥PH，∴DQ=DH，∴PD+DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，∴PH=PM，∴当PM最大时，PH最大，∴当点P在抛物线顶点处时，PM最大，此时PM=6，∴PH的最大值为6，即PD+DQ的最大值为6．②由①可知：PD+DQ≤6，设PD=a，则DQ﹣a，∴PD•DQ≤a（6﹣a）=﹣a2+6a=﹣（a﹣3）2+18，∵当点P在抛物线的顶点时，a=3，∴PD•DQ≤18．∴PD•DQ的最大值为18．方法二：（1）略．（2）过点A作x轴垂线，与直线PQ交于点D，设直线PQ与y轴交于点C，∴C（0，m），D（4，4+m），∵S△POQ=（Q x﹣P x）（Q Y﹣C Y），S△PAQ=（Q x﹣P x）（D Y﹣A Y），∵，∴，∴m1=2，m2=﹣1．（3）①设P（t，t2﹣4t）（0＜t＜4），∵K PQ=1，∴l PQ：y=x+t2﹣5t，∵C（2，2），A（4，0），∴l AC：y=﹣x+4，∴D X=，DY=，∴Q（2，t2﹣5t+2），∵PQ⊥AC，垂足为点D，∴点Q关于直线AC的对称点Q′（﹣t2+5t+2，2），欲使PD+DQ取得最大值，只需PQ′有最大值，PQ′==，显然当t=2时，PQ′的最大值为6，即PD+DQ的最大值为6，②∵（PD+DQ）2≥4•PD•DQ，∴PD•DQ≤==18，∴PD•DQ的最大值为18．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了抛物线的性质，直线的性质，三角形相似的判定和性质，难度较大．。
2015年福建省宁德市中考数学试卷和解析答案
2015年福建省宁德市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）1．（4分）2015地相反数是（）A．B．﹣C．2015 D．﹣20152．（4分）2014年我国国内生产总值约为636000亿元，数字636000用科学记数法表示为（）A．63.6×104B．0.636×106C．6.36×105D．6.36×1063．（4分）下列计算正确地是（）A．a2•a3=a5 B．a2+a3=a5 C．（a3）2=a5D．a3÷a2=14．（4分）如图，将直线l1沿着AB地方向平移得到直线l2，若∠1=50°，则∠2地度数是（）A．40°B．50°C．90°D．130°5．（4分）下列事件中，必然事件是（）A．掷一枚硬币，正面朝上B．任意三条线段可以组成一个三角形C．投掷一枚质地均匀地骰子，掷得地点数是奇数D．抛出地篮球会下落6．（4分）有理数a，b在数轴上对应点地位置如图所示，下列各式正确地是（）A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．a•b＞0 D．＞07．（4分）一元二次方程2x2+3x+1=0地根地情况是（）A．有两个不相等地实数根B．有两个相等地实数根C．没有实数根D．无法确定8．（4分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF地值是（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.59．（4分）一个多边形地每个外角都等于60°，则这个多边形地边数为（）A．8 B．7 C．6 D．510．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y=x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2015地坐标是（）A．（22014，22014）B．（22015，22015）C．（22014，22015）D．（22015，22014）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）不等式2x+1＞3地解集是．12．（4分）如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得△ADE，则∠BAD=度．13．（4分）一次数学测试中，某学习小组5人地成绩分别是120、100、135、100、125，则他们成绩地中位数是．14．（4分）一个口袋中装有2个完全相同地小球，它们分别标有数字1，2，从口袋中随机摸出一个小球记下数字后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，则两次摸出小球地数字和为偶数地概率是．15．（4分）二次函数y=x2﹣4x﹣3地顶点坐标是（，）．16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）地图象交矩形OABC地边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE地面积为6，则k=．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（7分）计算：|﹣3|﹣（5﹣π）0+．18．（7分）化简：•．19．（8分）为开展“争当书香少年”活动，小石对本校部分同学进行“最喜欢地图书类别”地问卷调查，结果统计后，绘制了如下两幅不完整地统计图：根据以上统计图提供地信息，回答下列问题：（1）此次被调查地学生共人；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中，艺术类部分所对应地圆心角为度；（4）若该校有1200名学生，估计全校最喜欢“文史类”图书地学生有人．20．（8分）如图，在边长为1地小正方形网格中，三角形地三个顶点均落在格点上．（1）以三角形地其中两边为边画一个平行四边形，并在顶点处标上字母A，B，C，D；（2）证明四边形ABCD是平行四边形．21．（10分）为支持亚太地区国家基础设施建设，由中国倡议设立亚投行，截止2015年4月15日，亚投行意向创始成员国确定为57个，其中意向创始成员国数亚洲是欧洲地2倍少2个，其余洲共5个，求亚洲和欧洲地意向创始成员国各有多少个？22．（10分）图（1）是一个蒙古包地照片，这个蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组成地几何体，如图（2）所示．（1）请画出这个几何体地俯视图；（2）图（3）是这个几何体地正面示意图，已知蒙古包地顶部离地面地高度EO1=6米，圆柱部分地高OO1=4米，底面圆地直径BC=8米，求∠EAO地度数（结果精确到0.1°）．23．（10分）如图，已知AB是⊙O地直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B．（1）求证：直线AE是⊙O地切线；（2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧地长（结果保留π）．24．（13分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O 是坐标原点，点A地坐标是（﹣1，0），点C地坐标是（0，﹣3）．（1）求抛物线地函数表达式；（2）求直线BC地函数表达式和∠ABC地度数；（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点P地坐标．25．（13分）如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC地中点，MP⊥AB 交边CD于点P，连接NM，NP．（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP=度；（2）求证：NM=NP；（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B地度数．2015年福建省宁德市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）1．（4分）2015地相反数是（）A．B．﹣C．2015 D．﹣2015【分析】根据只有符号不同地两个数互为相反数，可得一个数地相反数．【解答】解：2015地相反数是：﹣2015，故选：D．2．（4分）2014年我国国内生产总值约为636000亿元，数字636000用科学记数法表示为（）A．63.6×104B．0.636×106C．6.36×105D．6.36×106【分析】科学记数法地表示形式为a×10n地形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n地值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n地绝对值与小数点移动地位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数地绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将636000亿用科学记数法表示为：6.36×105亿元．故选：C．3．（4分）下列计算正确地是（）A．a2•a3=a5 B．a2+a3=a5 C．（a3）2=a5D．a3÷a2=1【分析】直接利用同底数幂地乘法运算法则和幂地乘方运算以及同底数幂地除法运算法则分别计算得出即可．【解答】解：A、a2•a3=a5，正确；B、a2+a3无法计算，故此选项错误；C、（a3）2=a6，故此选项错误；D、a3÷a2=a，故此选项错误．故选：A．4．（4分）如图，将直线l1沿着AB地方向平移得到直线l2，若∠1=50°，则∠2地度数是（）A．40°B．50°C．90°D．130°【分析】根据平移地性质得出l1∥l2，进而得出∠2地度数．【解答】解：∵将直线l1沿着AB地方向平移得到直线l2，∴l1∥l2，∵∠1=50°，∴∠2地度数是50°．故选：B．5．（4分）下列事件中，必然事件是（）A．掷一枚硬币，正面朝上B．任意三条线段可以组成一个三角形C．投掷一枚质地均匀地骰子，掷得地点数是奇数D．抛出地篮球会下落【分析】必然事件是指一定会发生地事件．【解答】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故A错误；B、在同一条直线上地三条线段不能组成三角形，故B错误；C、投掷一枚质地均匀地骰子，掷得地点数是奇数，是随机事件，故C错误；D、抛出地篮球会下落是必然事件．故选：D．6．（4分）有理数a，b在数轴上对应点地位置如图所示，下列各式正确地是（）A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．a•b＞0 D．＞0【分析】根据a，b两数在数轴地位置依次判断所给选项地正误即可．【解答】解：∵﹣1＜a＜0，b＞1，∴A、a+b＞0，故错误，不符合题意；B、a﹣b＜0，正确，符合题意；C、a•b＜0，错误，不符合题意；D、＜0，错误，不符合题意；故选：B．7．（4分）一元二次方程2x2+3x+1=0地根地情况是（）A．有两个不相等地实数根B．有两个相等地实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】先求出△地值，再判断出其符号即可．【解答】解：∵△=32﹣4×2×1=1＞0，∴方程有两个不相等地实数根．故选：A．8．（4分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF地值是（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．【解答】解：∵直线a∥b∥c，AC=4，CE=6，BD=3，∴=，即=，解得DF=4.5．故选：B．9．（4分）一个多边形地每个外角都等于60°，则这个多边形地边数为（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】根据多边形地边数等于360°除以每一个外角地度数列式计算即可得解．【解答】解：360°÷60°=6．故这个多边形是六边形．故选：C．10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y=x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2015地坐标是（）A．（22014，22014）B．（22015，22015）C．（22014，22015）D．（22015，22014）【分析】根据OA1=1，可得点A1地坐标为（1，0），然后根据△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，求出A1A2，B1A2，A2A3，B2A3…地长度，然后找出规律，求出点B2015地坐标．【解答】解：∵OA1=1，∴点A1地坐标为（1，0），∵△OA1B1是等腰直角三角形，∴A1B1=1，∴B1（1，1），∵△B1A1A2是等腰直角三角形，∴A1A2=1，B1A2=，∵△B2B1A2为等腰直角三角形，∴A2A3=2，∴B2（2，2），同理可得，B3（22，22），B4（23，23），…B n（2n﹣1，2n﹣1），∴点B2015地坐标是（22014，22014）．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）不等式2x+1＞3地解集是x＞1．【分析】先移项，再合并同类项，把x地系数化为1即可．【解答】解：移项得，2x＞3﹣1，合并同类项得，2x＞2，把x地系数化为1得，x＞1．故答案为：x＞1．12．（4分）如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得△ADE，则∠BAD=60度．【分析】根据旋转地性质：对应点与旋转中心所连线段地夹角等于旋转角，依此即可求解．【解答】解：∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得△ADE，∴∠BAD=60度．故答案为：60．13．（4分）一次数学测试中，某学习小组5人地成绩分别是120、100、135、100、125，则他们成绩地中位数是120．【分析】根据中位数地定义：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据地平均数）叫做中位数，进行求解即可．【解答】解：按大小顺序排列为：100，100，120，125，135，中间一个数为120，这组数据地中位数为120，故答案为120．14．（4分）一个口袋中装有2个完全相同地小球，它们分别标有数字1，2，从口袋中随机摸出一个小球记下数字后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，则两次摸出小球地数字和为偶数地概率是．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得两次摸出小球地数字和为偶数地情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：如图所示，∵共有4种结果，两次摸出小球地数字和为偶数地有2次，∴两次摸出小球地数字和为偶数地概率==．故答案为：．15．（4分）二次函数y=x2﹣4x﹣3地顶点坐标是（2，﹣7）．【分析】先把y=x2﹣4x﹣3进行配方得到抛物线地顶点式y=（x﹣2）2﹣7，根据二次函数地性质即可得到其顶点坐标．【解答】解：∵y=x2﹣4x﹣3=x2﹣4x+4﹣7=（x﹣2）2﹣7，∴二次函数y=x2﹣4x+7地顶点坐标为（2，﹣7）．故答案为（2，﹣7）．16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）地图象交矩形OABC地边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE地面积为6，则k=3．【分析】连接OB，由矩形地性质和已知条件得出△OBD地面积=△OBE地面积=四边形ODBE地面积=3，在求出△OCE地面积，即可得出k地值．【解答】解：连接OB，如图所示：∵四边形OABC是矩形，∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，△OAB地面积=△OBC地面积，∵D、E在反比例函数y=（x＞0）地图象上，∴△OAD地面积=△OCE地面积，∴△OBD地面积=△OBE地面积=四边形ODBE地面积=3，∵BE=2EC，∴△OCE地面积=△OBE地面积=，∴k=3；故答案为：3．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（7分）计算：|﹣3|﹣（5﹣π）0+．【分析】先根据绝对值，零指数幂，二次根式地性质求出每一部分地值，再代入求出即可．【解答】解：原式=3﹣1+5=7．18．（7分）化简：•．【分析】先把分子分母分解因式，进一步约分计算得出答案即可．【解答】解：原式=•=．19．（8分）为开展“争当书香少年”活动，小石对本校部分同学进行“最喜欢地图书类别”地问卷调查，结果统计后，绘制了如下两幅不完整地统计图：根据以上统计图提供地信息，回答下列问题：（1）此次被调查地学生共40人；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中，艺术类部分所对应地圆心角为72度；（4）若该校有1200名学生，估计全校最喜欢“文史类”图书地学生有300人．【分析】（1）根据条形图可知喜欢“社科类”地有5人，根据在扇形图中占12.5%可得出调查学生数；（2）根据条形图可知喜欢“文学类”地有12人，即可补全条形统计图；（3）计算出喜欢“艺术类”地人数，根据总人数可求出它在扇形图中所占比例；（4）用该年级地总人数乘以“文史类”地学生所占比例，即可求出喜欢地学生人数．【解答】解：（1）5÷12.5%=40（人）答：此次被调查地学生共40人；（2）40﹣5﹣10﹣8﹣5=12（人）（3）8÷40=20%360°×20%=72°答：扇形统计图中，艺术类部分所对应地圆心角为72度；（4）1200×=300（人）答：若该校有1200名学生，估计全校最喜欢“文史类”图书地学生有300人．20．（8分）如图，在边长为1地小正方形网格中，三角形地三个顶点均落在格点上．（1）以三角形地其中两边为边画一个平行四边形，并在顶点处标上字母A，B，C，D；（2）证明四边形ABCD是平行四边形．【分析】（1）过A点作AB∥CD，且AB=CD，即可得到平行四边形ABCD，如图；（2）根据一组对边平行且相等地四边形是平行四边形进行证明．【解答】（1）解：如图，四边形ABCD为平行四边形；（2）证明：∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．21．（10分）为支持亚太地区国家基础设施建设，由中国倡议设立亚投行，截止2015年4月15日，亚投行意向创始成员国确定为57个，其中意向创始成员国数亚洲是欧洲地2倍少2个，其余洲共5个，求亚洲和欧洲地意向创始成员国各有多少个？【分析】设欧洲地意向创始成员国有x个，亚洲地意向创始成员国有2x﹣2个，根据题意得出方程2x﹣2+x+5=57，解得即可．【解答】解：设欧洲地意向创始成员国有x个，亚洲地意向创始成员国有2x﹣2个，根据题意得：2x﹣2+x+5=57，解得：x=18，∴2x﹣2=34，答：亚洲和欧洲地意向创始成员国各有34个和18个．22．（10分）图（1）是一个蒙古包地照片，这个蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组成地几何体，如图（2）所示．（1）请画出这个几何体地俯视图；（2）图（3）是这个几何体地正面示意图，已知蒙古包地顶部离地面地高度EO1=6米，圆柱部分地高OO1=4米，底面圆地直径BC=8米，求∠EAO地度数（结果精确到0.1°）．【分析】（1）根据图2，画出俯视图即可；（2）连接EO1，如图所示，由EO1﹣OO1求出EO地长，由BC=AD，O为AD中点，求出OA地长，在直角三角形AOE中，利用锐角三角函数定义求出tan∠EAO地值，即可确定出∠EAO地度数．【解答】解：（1）画出俯视图，如图所示：（2）连接EO1，如图所示：∵EO1=6米，OO1=4米，∴EO=EO1﹣OO1=6﹣4=2米，∵AD=BC=8米，∴OA=OD=4米，在Rt△AOE中，tan∠EAO===，则∠EAO≈26.6°．23．（10分）如图，已知AB是⊙O地直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B．（1）求证：直线AE是⊙O地切线；（2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧地长（结果保留π）．【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，进而可得∠CBA+∠CAB=90°，由∠EAC=∠B可得∠CAE+∠BAC=90°，从而可得直线AE是⊙O地切线；（2）连接CO，计算出AO长，再利用圆周角定理可得∠AOC地度数，然后利用弧长公式可得答案．【解答】解：（1）∵AB是⊙O地直径，∴∠ACB=90°，∴∠CBA+∠CAB=90°，∵∠EAC=∠B，∴∠CAE+∠BAC=90°，即BA⊥AE．∴AE是⊙O地切线．（2）连接CO，∵AB=6，∴AO=3，∵∠D=60°，∴∠AOC=120°，∴==2π．24．（13分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O 是坐标原点，点A地坐标是（﹣1，0），点C地坐标是（0，﹣3）．（1）求抛物线地函数表达式；（2）求直线BC地函数表达式和∠ABC地度数；（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点P地坐标．【分析】（1）直接将A，C点坐标代入抛物线解析式求出即可；（2）首先求出B点坐标，进而利用待定系数法求出直线BC地解析式，进而利用CO，BO地长求出∠ABC地度数；（3）利用∠ACB=∠PAB，结合相似三角形地判定与性质得出BP地长，进而得出P点坐标．【解答】解：（1）将点A地坐标（﹣1，0），点C地坐标（0，﹣3）代入抛物线解析式得：，解得：，故抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）由（1）得：0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，故B点坐标为：（3，0），设直线BC地解析式为：y=kx+d，则，解得：，故直线BC地解析式为：y=x﹣3，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴BO=OC=3，∴∠ABC=45°；（3）过点P作PD⊥x轴于点D，∵∠ACB=∠PAB，∠ABC=∠PBA，∴△ABP∽△CBA，∴=，∵BO=OC=3，∴BC=3，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4，∴=，解得：BP=，由题意可得：PD∥OC，∴DB=DP=，∴OD=3﹣=，则P（，﹣）．25．（13分）如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC地中点，MP⊥AB 交边CD于点P，连接NM，NP．（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP=30度；（2）求证：NM=NP；（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B地度数．【分析】（1）根据直角三角形地中线等于斜边上地一半，即可得解；（2）延长MN交DC地延长线于点E，证明△MNB≌△ENC，进而得解；（3）NC和PN不可能相等，所以只需分PN=PC和PC=NC两种情况进行讨论即可．【解答】解：（1）∵MP⊥AB交边CD于点P，∠B=60°，点P与点C重合，∴∠NPM=30°，∠BMP=90°，∵N是BC地中点，∴MN=PN，∴∠NMP=∠NPM=30°；（2）如图1，延长MN交DC地延长线于点E，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∴∠BMN=∠E，∵点N是线段BC地中点，∴BN=CN，在△MNB和△ENC中，，∴△MNB≌△ENC，∴MN=EN，即点N是线段ME地中点，∵MP⊥AB交边CD于点P，∴MP⊥DE，∴∠MPE=90°，∴PN=MN=ME；（3）如图2∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，又∵M，N分别是边AB，BC地中点，∴MB=NB，∴∠BMN=∠BNM，由（2）知：△MNB≌△ENC，∴∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE，又∵PN=MN=NE，∴∠NPE=∠E，设∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE=∠NPE=x°，则∠NCP=2x°，∠NPC=x°，①若PN=PC，则∠PNC=∠NCP=2x°，在△PNC中，2x+2x+x=180，解得：x=36，∴∠B=∠PNC+∠NPC=2x°+x°=36°×3=108°，②若PC=NC，则∠PNC=∠NPC=x°，在△PNC中，2x+x+x=180，解得：x=45，∴∠B=∠PNC+∠NPC=x°+x°=45°+45°=90°．③NP=NC时，不可能．故∠B为108°或90°．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
2015中考数学模拟试卷
2015年宁德市初中数学毕业、升学考试模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．下列各数中，最大的数是A ．1B ．0C ．－2D ．－12．地球绕太阳公转的速度用科学记数法表示为1.1×105 km/h ，把它写成原数是A ．1100000 km/hB ．110000 km/hC ．11000 km/hD ．0.000011 km/h3． 下列计算，正确的是A ．3x 2+2x 2＝6x 2B ．x 3·x 2＝x 6C ．x 3÷x 2＝xD ．(2x 2)3＝6x 64． 图中三角形①、②、③中与有阴影的三角形构成中心对称的有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5． 有3 cm ，3 cm ，6 cm ，6 cm ，12 cm ，12 cm 的六条线段，任选其中的三条线段组成一个等腰三角形，则最多能组成等腰三角形的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．46． 函数y =21--x x 中，自变量x 的取值范围是 A ．x ＞1且x ≠2 B ．x ≥1 C ．x ＞2 D ．x ≥1且x ≠27． 如图，用尺规作出∠AOB 的角平分线OE ，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是 A ．ASAB ．SSSC ．SASD ．AAS8． 如图，点O 是线段AB 上一点，AB =4cm ，AO =1cm ，若线段AB 绕点O 顺时针 旋转120°到线段A ′B ′的位置，则线段AB 在旋转过程中扫过的图形的面积为A ．π6cm 2B ．π310cm 2C ．9 cm 2D ．π3cm 29． 如图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．其中x 表示时间，y表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上． 根据图中提供的信息，有下列说法：（1）食堂离小明家0.4 km ；（2）小明从食堂到图书馆用了3 min（3）图书馆在小明家和食堂之间；（4）小明从图书馆回家的平均速度是0.04km/min ．其中正确的有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．如图，对折矩形纸片ABCD ，使BC 与AD 重合，折痕为EF ，把纸片展平；（第4（第7题）A OB CDE y /m （第9题）IADE F G H MN（第8题）AB ′OA ′ B再一次折叠纸片，使BC 与EF 重合，折痕为GH ，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A 落在GH 上的点N 处，并使折痕经过点B ，折痕BM 交GH 于.I ．若AB =4 cm ，则GI 的长为A ．410cm B ．43cm C ．54 cm D ．515cm 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答．题卡相应位置．．．．．．上） 11．正比例函数y=kx 的图象经过点（1，2），则k = ▲ ．12．如图，点O 是直线AB 上一点，OD 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ，若∠COE 等于64°，则∠AOD等于 ▲ 度．13．一个几何体的主视图、俯视图和左视图如图所示，则这个几何体是 ▲ ．14．若等腰三角形两边为4，10，则底角的正弦值是 ▲ ． 15．已知一组数据4、6、8、x 的平均数与它的唯一众数相等，则x = ▲ ． 16．如图，已知A （-2，2），B （n ，-4）是一次函数y 1=kx +b 的图象与反比例函数y 2＝xm(m ≠0)的图象的两个交点，则当0＜y 1≤y 2时，x 的取值范围是 ▲ ．17．如图，已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于平面直角坐标系的坐标原点，若BD=5，A 的坐标为（-1，2），则点D 的坐标为 ▲ ．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本小题满分11分）计算0)4(-－2sin 45°－（－5）+105⨯； （2）先化简，再求代数式的值：112)(22+++÷+a a a ab b a ，其中a =5+2，b = 5﹣219．（本小题满分8分）某校举办了一次科技知识竞赛，满分106分以上（包括6分）为合格，达到9分以上（包括9分）为优秀．这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图ED CBA O（第12题）（第16y1=如图所示．（1）补充完成下面的成绩统计分析表:（2）小明同学说:“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游偏上!”观察上表可知，小明是 ▲ 组的学生；（填“甲”或“乙”）（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出两条支持乙组同学观点的理由．20．（本小题满分10分）一个口袋中放有10个球，其中红球5个，白球和黑球各若干个，每个球除了颜色以外没有任何区别．（1）若随机取出一个球，它是黑球的概率为51，请你计算袋中黑球和白球的个数；（2）若小李和小王将袋中的5个红球全部取出后，用袋子的剩余球做游戏，约定：从袋中随机摸取一个，接着从剩下的球中再随机摸取一个，若两球颜色相同则小李胜，若颜色不同则小王胜．求两个人获胜的概率各是多少？21．（本小题满分8分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点C 作CE ∥BD ，过点D 作DE ∥AC ，CE 、DE 交于点E ，连接OE ． 求证：OE =BC ．22．（本小题满分8分）如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点M ，弦MN ∥BC 交AB 于点E ，且ME ＝1，AM ＝2，AE （1）求证BC 是⊙O 的切线； （2）求BN 的长．EOADBC（第21题）(B（第22题）23．（本小题满分8分）某商场以每件20元的价格购进一种T 恤衫，先试销一周，试销期间每天的销量y （件）与每件的销售价x （元/件）如下表：假定试销中每天的销售量y （件）与销售价x （元/件）之间满足一次函数．（1）试求y 与x 之间的函数关系式；（2）在商品不积压且不考虑其它因素的条件下，每件T 恤衫的销售定价为多少时，该商场销售这种T 恤衫每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？（注：每件T 恤衫销售的毛利润=每件服装的销售价-每件服装的进货价）24．（本小题满分13分）如图，抛物线y =ax 2+bx+c 的开口向上，顶点M 在第三象限，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，点A 坐标为（－3，0），点B 坐标为（1，0）． （1）试用含a 的式子表示b ，c ；（2）连接AM 、CM 、CB ，试说明△OCB 与四边形AMCO 的面积之比是一个定值，并求出这个定值；（3）连接AC ，若∠AC M =90°，解决下列问题：①求抛物线解析式并证明∠MAO =∠ACB ；②线段AM 上是否存在点D ，使以点A 、O 、D 出点D 坐标；若不存在，说明理由．（第24题）c。
2015年宁德市质检参考答案(数学)
2015年宁德市初中毕业班质量检测数学试题参考答案及评分标准⑴本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案的评分标准的精神进行评分． ⑵对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的立意，可酌情给分．⑶解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数． ⑷评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分． 一、选择题：（本大题有10小题，每小题4分，满分40分）1．B 2．D 3．B 4．B 5．D 6．A 7．A 8．B 9．C 10．C 二、填空题：（本大题有6小题，每小题4分，满分24分）11．(2)(2)a a +- 12．132 13．1 14．105 15．1916．2-三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡．．．的相应位置作答） 17．（本题满分7分）解：原式=212+-， ························································································· 6分=1. ······································································································· 7分18．（本题满分7分）解：去分母，得 321x --=， ········································································ 3分解这个方程，得 6x =. ········································································· 5分检验：当6x =时，左边=13=右边，∴6x =是原方程的解. ∴原方程的解是6x =. ········································································ 7分19．（本题满分8分）（1）100； ············································································································· 2分 （2）图略（图上数据为30）； ··············································································· 4分 （3）800； ············································································································· 6分 （4）30%. ············································································································· 8分 20．（本题满分8分）解：（1）作图如下：所以，图中∠F AB 就是所求作的角.（或者在DC 上截取DF =BE ，连接AF ，亦可）····················································· 3分A BE D C F（2）证法一：由（1）得∠F AB=∠CEB，∴AF∥CE.········································································································· 4分∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴四边形AECF是平行四边形． ······································································ 6分∴AF=CE．········································································································· 8分证法二：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠D=∠B，AB∥CD.······································································ 5分∴∠DF A=∠F AB.由（1）得∠F AB=∠CEB，∴∠DF A=∠CEB. ······························································································ 6分∴ΔADF≌ΔCBE.······························································································· 7分∴AF=CE．········································································································· 8分（第一小题作答正确与否，不影响第二小题得分）21．（本题满分10分）解：（1）105(20)15100y x x x=--=-； ···························································· 4分（2）依题意得15x–100>90.···················································································· 6分x>383. ·················································································· 8分∵x取最小整数，∴x=13.答：他至少要答对13道题． ·········································································· 10分22．（本题满分10分）解：∵360°÷24=15°15×5°=75°，∴小明绕点O旋转了75度. ·····························2分过点C作CE⊥OA于点E，则四边形BDCE是矩形，∴CD=BE．由题意可知∠AOC=75°，OC=40m，OB=45m. ··················4分在Rt△OEC中，∵cos∠COE=OE OC，∴OE=OC·cos∠COE=40cos75°.·····················8分∴CD=OB–OE=45–40cos75°≈34.6(m)． ········ 10分答：他离地面的高度CD是34.6m．23．（本题满分10分）解：(1) ∵BC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径∴∠ABC=90°，∠ADB=90°.································2分DBACOEBAE C OD∵∠ACB =60°，∴∠A =90°–∠ACB =30°. ······································· 3分 ∴BD =21AB =21×10=5. ·········································· 5分(2)连接OD ．由（1）得 ∠BDC =90° ∵点E 是BC 的中点， ∴DE=21BC=BE . ·················································· 6分∴∠DBE=∠BDE . ················································· 7分 ∵OB=OD ，∴∠OBD=∠ODB . ················································ 8分 ∴∠BDE+∠ODB=∠DBE+∠OBD . 即∠ODE=∠OBE =90°.又∵DE 过半径OD 的外端， ································ 9分 ∴DE 是⊙O 的切线． ······································ 10分 24．（本题满分13分）解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=CD ，AB ∥CD .∴∠ABP =∠CDQ . ············································· 2分 ∵AP ∥CQ ， ∴∠APD =∠CQB .∴∠APB =∠CQD . ················································· 3分 ∴ΔABP ≌ΔCDQ . ·················································· 4分 (2)∵∠ABC =90°， ∴菱形ABCD 是正方形.∴∠ABD =45°，∠BAD =90° .………………………5分 ∴在Rt △ABD 中，BA BABD 245cos =︒=. ………………………………………6分由(1)得ΔABP ≌ΔCDQ . ∴BP =DQ ，∴BP+BQ=DQ+BQ=BD . ……………………………………………………………7分 ∴2BP BQ BA +=. ……………………………………………………………8分 (3)BP 、BQ 、BA 之间的数量关系是3BQ BP BA -=. …………………………10分C APBQD图1理由如下：连接AC 交BD 于点H ． ∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°， ∴∠ABH =30°，∠AHB =90°，BD =2BH . ∴3cos 2BH AB ABH BA =⋅∠=.························ 12分 由（1）得 BP =DQ ，∴3BQ BP BQ DQ BD BA -=-==. ················ 13分 25．（本题满分13分）解：（1）将A （–1，0）、C （0，2）代入c bx x y ++-=221，得 1022.b c c ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩，···························································································· 2分 解得 3,22.b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的表达式为223212++-=x x y . ················································ 4分 （2）①由题意可知，点A 不可能是直角顶点．∴∠P AN =45°，如图，作∠BAP =45°，AP 交抛物线于点P . 1）当点N 是直角顶点时，过点P 作PN 1⊥x 轴于点N 1，则PN 1=AN 1， 设点P 坐标是（t ，223212++-t t ）， ∴223212++-t t =t+1． ………………6分 解得 t 1=2，t 2=–1（不合题意，舍去）． ∴N 1的坐标是（2，0）． ………………7分 2）当点P 是直角顶点时，过点P作PN 2⊥AP ，PN 2交x 轴于点N 2，则AP =PN 2， ∴N 1N 2=AN 1=2-(-1)=3． ∴ON 2=2+3=5． ∴N 2的坐标是（5，0）．综上所述，点N 坐标是（2，0）或（5，0）． …………………………………9分 ②点N 坐标是（5，0）或（6.5，0）或（8，0）或（44，0）． ……………13分yCBxAOPN 1N 2ABCDQ图2PH。
2015年中考数学试题及答案(Word版)
2015年初中毕业暨升学考试试卷数学本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共28小题，满分130分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符；2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题；3．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．2的相反数是A．2 B．12C．-2 D．-122．有一组数据：3，5，5，6，7，这组数据的众数为A．3 B．5 C．6 D．73．月球的半径约为1 738 000m，1 738 000这个数用科学记数法可表示为A．1.738×106B．1.738×107C．0.1738×107D．17.38×1054．若()2m=-，则有A．0＜m＜1 B．-1＜m＜0 C．-2＜m＜-1 D．-3＜m＜-2 5．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：则通话时间不超过15min的频率为A．0.1 B．0.4 C．0.5 D．0.96．若点A（a，b）在反比例函数2yx=的图像上，则代数式ab-4的值为A．0 B．-2 C．2 D．-67．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 中点，∠BAD =35°，则∠C 的度数为 A ．35° B ．45°C ．55°D ．60°8．若二次函数y =x 2+bx 的图像的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，则关于x的方程x 2+bx =5的解为 A ．120,4x x ==B ．121,5x x ==C ．121,5x x ==-D ．121,5x x =-=9．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为B ，连接AO ，AO 与⊙O 交于点C ，BD 为⊙O 的直径，连接CD ．若∠A =30°，⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为 A．43πB．43π-C．πD．23π10．如图，在一笔直的海岸线l 上有A 、B 两个观测站，AB =2km ，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为 A ．4kmB．(2kmC．D．(4-km二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 11．计算：2a a ⋅= ▲ ．12．如图，直线a ∥b ，∠1=125°，则∠2的度数为 ▲ °．DCB A（第7题）（第9题）（第10题）l13．某学校在“你最喜爱的球类运动”调查中，随机调查了若干名学生（每名学生分别选了一项球类运动），并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图．已知其中最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，则该校被调查的学生总人数为 ▲ 名． 14．因式分解：224a b -= ▲ ．15．如图，转盘中8个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为 ▲ ．16．若23a b -=，则924a b -+的值为 ▲ ．17．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 是中线，CE =CB ，点A 、D 关于点F 对称，过点F作FG ∥CD ，交AC 边于点G ，连接GE ．若AC =18，BC =12，则△CEG 的周长为 ▲ ．18．如图，四边形ABCD 为矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E ，取BE 的中点F ，连接DF ，DF =4．设AB =x ，AD =y ，则()224x y +-的值为 ▲ ． 三、解答题：本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卡相应位置上．．．．．．．．，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔．（第17题）GF E D CBA F EDC B A （第18题）ba（第13题）20%10%30%40%其他乒乓球篮球羽毛球（第15题）19．（本题满分5分）(052--． 20．（本题满分5分）解不等式组：()12,31 5.x x x +≥⎧⎪⎨-+⎪⎩＞21．（本题满分6分）先化简，再求值：2121122x x x x ++⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中1x ．22．（本题满分6分）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少面彩旗？23．（本题满分8分）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是 ▲ ；（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．24．（本题满分8分）如图，在△ABC中，AB=AC．分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BC=6，∠BAC＝50︒，求 DE、 DF的长度之和（结果保留π）．25．（本题满分8分）如图，已知函数kyx=（x＞0）的图像经过点A、B，点B的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b的图像经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E．（1）若AC=32OD，求a、b的值；（2）若BC∥AE，求BC的长．（第24题）F EDCBA26．（本题满分10分）如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A 、B 、D 三点，过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连接ED ． （1）求证：ED ∥AC ；（2）若BD =2CD ，设△EBD 的面积为1S ，△ADC 的面积为2S ，且2121640S S -+=，求△ABC 的面积．27．（本题满分10分）如图，已知二次函数()21y x m x m =+--（其中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接P A 、PC ，P A =PC ． （1）∠ABC 的度数为 ▲ °；（2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．（第26题）28．（本题满分10分）如图，在矩形ABCD 中，AD =a cm ，AB =b cm （a ＞b ＞4），半径为2cm的⊙O 在矩形内且与AB 、AD 均相切．现有动点P 从A 点出发，在矩形边上沿着A →B →C →D 的方向匀速移动，当点P 到达D 点时停止移动；⊙O 在矩形内部沿AD 向右匀速平移，移动到与CD 相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O 回到出发时的位置（即再次与AB 相切）时停止移动．已知点P 与⊙O 同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．（1）如图①，点P 从A →B →C →D ，全程共移动了 ▲ cm （用含a 、b 的代数式表示）； （2）如图①，已知点P 从A 点出发，移动2s 到达B 点，继续移动3s ，到达BC 的中点．若点P 与⊙O 的移动速度相等，求在这5s 时间内圆心O 移动的距离；（3）如图②，已知a =20，b =10．是否存在如下情形：当⊙O 到达⊙O 1的位置时（此时圆心O 1在矩形对角线BD 上），DP 与⊙O 1恰好相切？请说明理由．（第28题）（图②）（图①）2015年苏州市初中毕业暨升学考试数学试题答案一、选择题1．C 2．B 3．A 4．C 5．D6．B 7．C 8．D 9．A 10．B二、填空题11．3a12．55 13．60 14．()()22a b a b+-15．1416．3 17．27 18．16三、解答题19.解：原式＝3+5-1 ＝7．20.解：由12x+≥，解得1x≥，由()315x x-+＞，解得4x＞，∴不等式组的解集是4x＞．21.解：原式＝()21122xxx x++÷++＝()2121211x xx xx++⨯=+++．当1x===．22.解：设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做（x+5）面彩旗．根据题意，得60505x x=+．解这个方程，得x=25．经检验，x=25是所列方程的解．∴x+5=30．答：甲每小时做30面彩旗，乙每小时做25面彩旗．23.解：（1）1．（2）用表格列出所有可能的结果：由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两次都摸到红球”有2种可能．∴P（两次都摸到红球）=212=16．24.证明：（1）由作图可知BD =CD ．在△ABD 和△ACD 中，,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD （SSS ）．∴∠BAD ＝∠CAD ，即AD 平分∠BAC ．解：（2）∵AB =AC ，∠BAC =50°，∴∠ABC ＝∠ACB=65°．∵BD = CD = BC ，∴△BDC 为等边三角形． ∴∠DBC ＝∠DCB=60°． ∴∠DBE ＝∠DCF=55°． ∵BC =6，∴BD = CD =6．∴ DE的长度= DF 的长度=556111806ππ⨯⨯=． ∴ DE、 DF 的长度之和为111111663πππ+=． 25．解：（1）∵点B （2，2）在ky x=的图像上，∴k =4，4y x=． ∵BD ⊥y 轴，∴D 点的坐标为（0，2），OD =2． ∵AC ⊥x 轴，AC =32OD ，∴AC =3，即A 点的纵坐标为3． ∵点A 在4y x=的图像上，∴A 点的坐标为（43，3）．∵一次函数y =ax +b 的图像经过点A 、D ， ∴43,3 2.a b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 解得3,42.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ （2）设A 点的坐标为（m ，4m），则C 点的坐标为（m ，0）． ∵BD ∥CE ，且BC ∥DE ，∴四边形BCED 为平行四边形． ∴CE = BD =2．∵BD ∥CE ，∴∠ADF =∠AEC ．∴在Rt △AFD 中，tan ∠ADF =42AF mDF m -=， 在Rt △ACE 中，tan ∠AEC =42AC mEC =， ∴4422m m m -=，解得m =1．∴C 点的坐标为（1，0），BC26．证明：（1）∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD =∠DAC ．∵∠E=∠BAD ，∴∠E =∠DAC ． ∵BE ∥AD ，∴∠E =∠EDA ． ∴∠EDA =∠DA C ． ∴ED ∥AC ．解：（2）∵BE ∥AD ，∴∠EBD =∠ADC ．∵∠E =∠DAC ，∴△EBD ∽△ADC ，且相似比2BDk DC==． ··················· ∴2124S k S ==，即124S S =． ∵2121640S S -+=，∴222161640S S -+=，即()22420S -=．∴212S =． ∵233ABC S BC BD CD CD S CD CD CD +==== ，∴32ABC S = ． 27．解：（1）45．理由如下：令x =0，则y =-m ，C 点坐标为（0，-m ）．令y =0，则()210x m x m +--=，解得11x =-，2x m =．∵0＜m ＜1，点A 在点B 的左侧，∴B 点坐标为（m ，0）．∴OB =OC =m ．∵∠BOC ＝90°，∴△BOC 是等腰直角三角形，∠OBC ＝45°． （2）解法一：如图①，作PD ⊥y 轴，垂足为D ，设l 与x 轴交于点E ，由题意得，抛物线的对称轴为12mx -+=． 设点P 坐标为（12m-+，n ）． ∵P A = PC ， ∴P A 2= PC 2，即AE 2+ PE 2=CD 2+ PD 2．∴()222211122m m n n m -+-⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得12m n -=．∴P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭． 解法二：连接PB ．由题意得，抛物线的对称轴为12m x -+=． ∵P 在对称轴l 上，∴P A =PB ． ∵P A =PC ，∴PB =PC ．∵△BOC 是等腰直角三角形，且OB =OC ，∴P 在BC 的垂直平分线y x =-上．∴P 点即为对称轴12mx -+=与直线y x =-的交点． ∴P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭．图①图②（3）解法一：存在点Q 满足题意．∵P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭， ∴P A 2+ PC 2=AE 2+ PE 2+CD 2+ PD 2=222221111112222m m m m m m -+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵AC 2=21m +，∴P A 2+ PC 2=AC 2．∴∠APC ＝90°． ∴△P AC 是等腰直角三角形．∵以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似， ∴△QBC 是等腰直角三角形．∴由题意知满足条件的点Q 的坐标为（-m ，0）或（0，m ）． ①如图①，当Q 点的坐标为（-m ，0）时，若PQ 与x 轴垂直，则12m m -+=-，解得13m =，PQ =13． 若PQ 与x 轴不垂直， 则22222221151521222222510m m PQ PE EQ m m m m --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ ．＜13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（25-，0）时， PQ 的长度最小．②如图②，当Q 点的坐标为（0，m ）时，若PQ 与y 轴垂直，则12m m -=，解得13m =，PQ =13． 若PQ 与y 轴不垂直， 则22222221151521222222510m m PQ PD DQ m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ．＜13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（0，25）时， PQ 的长度最小．综上：当Q 点坐标为（25-，0）或（0，25）时，PQ 的长度最小．解法二： 如图①，由（2）知P 为△ABC 的外接圆的圆心． ∵∠APC 与∠ABC 对应同一条弧AC ，且∠ABC ＝45°， ∴∠APC ＝2∠ABC ＝90°．下面解题步骤同解法一．28．解：（1）a +2b ．（2）∵在整个运动过程中，点P 移动的距离为()2a b +cm ，圆心O 移动的距离为()24a -cm ， 由题意，得()224a b a +=-． ①∵点P 移动2s 到达B 点，即点P 用2s 移动了b cm ，点P 继续移动3s ，到达BC 的中点，即点P 用3s 移动了12a cm ．∴1223a b =． ② 由①②解得24,8.a b =⎧⎨=⎩∵点P 移动的速度与⊙O 移动的速度相等，∴⊙O 移动的速度为42b=（cm/s ）． ∴这5s 时间内圆心O 移动的距离为5×4=20（cm ）． （3）存在这种情形．解法一：设点P 移动的速度为v 1cm/s ，⊙O 移动的速度为v 2cm/s ，由题意，得()()1222021052422044v a b v a ++⨯===--．FE如图，设直线OO 1与AB 交于点E ，与CD 交于点F ，⊙O 1与AD 相切于点G ． 若PD 与⊙O 1相切，切点为H ，则O 1G =O 1H ． 易得△DO 1G ≌△DO 1H ，∴∠ADB =∠BDP ． ∵BC ∥AD ，∴∠ADB =∠CBD ． ∴∠BDP =∠CBD ．∴BP =DP ．设BP =x cm ，则DP =x cm ，PC =（20-x ）cm ，在Rt △PCD 中，由勾股定理，可得222PC CD PD +=，即()2222010x x -+=，解得252x =．∴此时点P 移动的距离为25451022+=（cm ）． ∵EF ∥AD ，∴△BEO 1∽△BAD ． ∴1EO BE AD BA =，即182010EO =． ∴EO 1=16cm ．∴OO 1=14cm ．①当⊙O 首次到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的距离为14cm ， ∴此时点P 与⊙O 移动的速度比为454521428=．∵455284≠， ∴此时PD 与⊙O 1不可能相切．②当⊙O 在返回途中到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的距离为2×(20-4)-14=18（cm ）， ∴此时点P 与⊙O 移动的速度比为45455218364==． ∴此时PD 与⊙O 1恰好相切． 解法二：∵点P 移动的距离为452cm （见解法一）， OO 1=14cm （见解法一），1254v v =，∴⊙O 应该移动的距离为4541825⨯=（cm ）． ①当⊙O 首次到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的距离为14cm ≠18 cm ， ∴此时PD 与⊙O 1不可能相切．②当⊙O 在返回途中到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的距离为2×(20-4)-14=18（cm ），∴此时PD 与⊙O 1恰好相切．解法三：点P 移动的距离为452cm ，（见解法一） OO 1=14cm ，（见解法一） 由1254v v =可设点P 的移动速度为5k cm/s ，⊙O 的移动速度为4k cm/s ， ∴点P 移动的时间为459252k k=（s ）．①当⊙O 首次到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的时间为1479422k k k=≠， ∴此时PD 与⊙O 1不可能相切．②当⊙O 在返回途中到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的时间为2(204)14942k k⨯--=， ∴此时PD 与⊙O 1恰好相切．。
2015年福州中考数学试卷含答 案(word版)
2015年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试题（全卷共4页，三大题，26小题；满分150分；考试时间：120分钟）友情提示：请把所有答案填写（涂）在答题卡上，请不要错位、越界答题！毕业学校_______________________姓名_______________考生号__________一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分；每小题只有一个正确选项．）1．a的相反数是（C）A．|a| B． C．－a D．2．下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（B）3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（A）4．计算，结果用科学记数法表示为（D ）A． B． C． D．5．下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（A ）A．扇形图 B．条形图 C．折线图 D．直方图6．计算的结果为（ C）A．－1 B．0 C．1 D．－a7．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ B ）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点8．如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（B）A．80º B．90º C．100º D．105º9．若一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能是（C）A．0 B．2．5 C．3 D．510．已知一个函数图象经过（1，－4），（2，－2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（D）A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）11．分解因式的结果是___（a＋3）（a－3）_______．12．计算（x－1）（x＋2）的结果是__________．13．一个反比例函数图象过点A（－2，－3），则这个反比例函数的解析式是________．14．一组数据：2015，2015，2015，2015，2015的方差是____0____．15．一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示．其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2cm，则正方体的体积为____cm．15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90º，AB＝BC＝．将△ABC绕点C逆时针旋转60º，得到△MNC，连接BM，则BM的长是______．三、解答题（共10题，满分96分）17．（7分）计算：＋sin30º＋．解：原式＝－1＋＋1＝．18．（7分）化简：．解：原式＝＝＝1．19．（8分）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD．证明：∵∠3＝∠4，∴∠ABC＝∠ABD．∵∠1＝∠2，AB＝AB，∴△ABC≌△ABD．∴AC＝AD．20．（8分）已知关于x的方程有两个相等的实数根，求m的值．解：∵方程有两个相等的实数根，∴△＝．解得m＝，或m＝．21．（9分）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？解：设有x支篮球队参赛，则有（48－x）支排球队参赛．依题意列方程10x＋12（48－x）＝520．解得x＝28．所以48－x＝20．答：篮球、排球队各有28、20支参赛．22．（9分）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）当n＝1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？（在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）；（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回．大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0．25，则n的值是________;（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率．解：（1）相同（2）2（3）由树状图得一次试验中一共有12种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件“两次摸出的球颜色不同”包含其中的10种结果，所以所求概率为＝．23．（10分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90º，AC＝，tan B＝．半径为2的⊙C分别交AC、BC于点D、E，得到．（1）求证：AB为⊙C的切线；（2）求图中阴影部分的面积．解：（1）过点C作CF⊥AB，F为垂足．∵AC＝，tan B＝＝，∴BC＝．∴AB＝＝5．∵＝AC·BC＝AB·CF．∴CF＝＝2．∴点C到AB的距离等于⊙C的半径．∴AB为⊙C的切线．（2）由（1）得＝AC·BC＝5，而＝，阴影部分的面积＝5－．24．（12分）定义：长宽比为∶1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH．操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．则四边形BCEF为矩形．证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD＝．由折叠性质可知BG＝BC＝1，∠AFE＝∠BFE＝90º，则四边形BCEF为矩形．∴∠A＝∠BFE．∴EF∥AD．∴，即．∴．∴BC∶BF＝1∶＝∶1．∴四边形BCEF为矩形．阅读以上内容，回答下面问题：（1）在①中，所有与CH相等的线段是___GH，GD____，tan∠HBC的值是________;（2）已知四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是矩形．（3）将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则n的值是____6_____．解：（2）证明：设矩形BCEF的边长BF＝1，则BC＝，则BE＝．由折叠性质可知BP＝BC＝，∠FNM＝∠BNM＝90º，则四边形BCMN为矩形．∴∠F＝∠BNM．∴MN∥FE．∴，即．∴．∴BC∶BN＝∶＝∶1．∴四边形BCMN为矩形．（3）附录：证明矩形经过上述操作后得到矩形．如附录图，设矩形BCEF的边长BF＝1，则BC＝，则BE＝．由折叠性质可知BP＝BC＝，∠FNM＝∠BNM＝90º，则四边形BCMN为矩形．∴∠F＝∠BNM．∴MN∥FE．∴，即．∴．∴BC∶BN＝∶＝∶1．∴四边形BCMN为矩形．25．（13分）如图①，在锐角△ABC中，D、E分别为AB、BC中点，F为AC上一点，且∠AFE＝∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）求证：DM＝DA；（2）点G在BE上，且∠BDG＝∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF;（3）在图②中，取CE上一点H，使∠CFH＝∠B，若BG＝1，求EH的长．解：（1）证明：∵DM∥EF，∴∠AMD＝∠AFE．∵∠AFE＝∠A，∴∠AMD＝∠A．∴DM＝DA．（2）证明：∵∠DGB＝180º－∠B－∠BDG，∠A＝180º－∠B－∠C，∠BDG＝∠C，∴∠DGB＝∠A．∵∠A＝∠AFE，∴∠DGB＝∠AFE．∵∠DGE＝180º－∠DGB，∠EFC＝180º－∠AFE，∴∠DGE＝∠EFC．又∵DE是中位线，∴DE∥AC．∴∠DEB＝∠C．∴△DEG∽△ECF．（3）提示：如答图，由△BDG∽△BED，得，由△EFH∽△ECF，得．由BD＝DA＝DM＝EF，且BE＝EC，得EH＝BG＝1．26．（13分）如图，抛物线与x轴交于O、A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y＝x＋m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是___ __，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是______;（2）若两个三角形面积满足＝，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD＋DQ的最大值；②PD·DQ的最大值．解：（1）x＝2 45º（2）设直线PQ交x轴于点B，分别在△POQ和△PAQ中作PQ边上的高OE和AF．按点B的不同位置分三种情况讨论如下：①如答图①，若点B在线段OA的延长线上，OE>AF，＝不成立．②如答图②，若点B在线段OA上，∵＝，∴．∵OB＝，AB＝．∴AB＝3OB．∵A（4，0），∴OA＝4．∴OB＝1．∴B（1，0）．∵点B在直线y＝x＋m上，∴m＝－1．③若点B在线段AO的延长线上，与②类似，可得OB＝＝2．∴B（－2，0）．∴m＝2．综上所述，当m＝－1或2时，＝．（3）①如答图④，过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H．则△CHQ是等腰直角三角形．由C（2，2），A（4，0）得直线AC与x轴所夹锐角的度数为45º．∴CD是等腰直角三角形CHQ斜边上的高．∴DQ＝DH．∴PD＋DQ＝PH．过点P作PM⊥CH于点M，则△PMH也是等腰直角三角形．∴PH ＝．∵点P在抛物线上，设它的横坐标为n，则它的纵坐标为．∴点M的纵坐标为2，∴PM＝．配方，得＝．∵0＜n＜4，∴当n＝2时，PM取得最大值是6．∵PD＋DQ＝PH＝，∴PD＋DQ的最大值为．②由①可得PD＋DQ≤．设PD＝a，则DQ≤－a．∴PD·DQ≤＝＝．∵a的取值范围是0＜a≤，∴当a＝时，PD·DQ的最大值为18．附加说明：（对a的取值范围的说明）设点P的坐标为（n，），延长PM交AC于点N．PD＝a＝＝＝＝．∵＜0，0＜n＜4，∴当n＝时，a有最大值为．∴0＜a≤．说明：本卷解答由张越初中数学提供，仅供参考！如有疏漏或谬误之处，尚祈专家、同行不吝指教!。
2015年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查
2015年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则。
二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．B 2．B 3．D 4．A 5．D 6．A 7．C 8．D 9．B 10．C 11．C 12．A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．2i --； 14．34； 15．； 16．①③．三、解答题：本大题共6小题，共74分．17.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识；考查推理论证与运算求解能力，满分12分．解：（Ⅰ）∵2n n S r =+,∴112a S r ==+，2212a S S =-=，3324a S S =-=. ·································· 3分 ∵数列{}n a 是等比数列,∴2213a a a =⋅，即224(2)r =+， ·························································· 4分∴1r =- . ······················································································ 5分 ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列， ···································· 6分 ∴ 12()n n a n -*=∈N . ·········································································· 7分 （Ⅱ）∵12n n a +=，∴12log 2n n n b b n +-==， ·········································· 8分 当2n ≥时，121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-112(1)n =++++- ····················································· 9分(1)12n n-=+211122n n =-+ ······························································ 11分 又11b =符合上式，∴2111()22n b n n n *=-+∈N . ································································ 12分18．本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解 能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（Ⅰ）时间分组为[0,10)的频率为110(0.060.020.0030.002)0.15-+++=， ················································ 2分∴0.150.01510a ==， 所以所求的频率直方图中a 的值为0.015. ··············································· 3分 （Ⅱ）100个非住校生上学路上单程所需时间的平均数： 0.1550.6150.2250.03350.0245x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ··································· 4分 0.7595 1.050.9=++++ 16.7=. ··························································································· 5分 因为16.720<，所以该校不需要推迟5分钟上课. ························································ 6分（Ⅲ）依题意满足条件的单程所需时间在[30,40)中的有3人，不妨设为123,,a a a ， 单程所需时间在[40,50]中的有2人，不妨设为12,b b ， ····························· 7分 从单程所需时间不小于30分钟的5名学生中，随机抽取2人共有以下10种情况：12(,)a a ，13(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，23(,)a a ，21(,)a b ，22(,)a b ，31(,)a b ，32(,)a b ，12(,)b b ； ······························································ 10分 其中恰有一个学生的单程所需时间落在[40,50]中的有以下6种：11(,)a b ，12(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，31(,)a b ，32(,)a b ； ······················ 11分 故恰有一个学生的单程所需时间落在[40,50]中的概率63105P ==. ··········· 12分 19．本题主要考查解三角形，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．满分12分． 解：（Ⅰ）由图像可知：函数()f x 的周期4()312T πππ=⨯-=， ························· 1分∴22ωπ==π. ··················································································· 2分 又()f x 过点(,2)12π,∴()2sin()2126f ππϕ=+=，sin()16πϕ+=， ············································ 3分∵2πϕ<，2(,)633πππϕ+∈-，∴62ππϕ+=，即3πϕ=. ····································································· 4分∴()2sin(2)3f x x π=+. ········································································ 5分（Ⅱ）∵()2sin()23A f A π=+即sin()3A π+=，又4(0,),(,)333A A ππππ∈+∈∴233A ππ+=，即3A π=. ··································································· 7分在ABC ∆中，,33A a c π===，由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-， ················································· 8分 ∴21393b b =+-，即2340b b --=， 解得4b =或1b =-（舍去）. ······························································ 10分∴11sin 43sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯⨯=············································ 12分20．本题主要考查空间线与线、线与面的位置关系、体积的计算等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力，满分12解：（Ⅰ）取CD 中点G ，连接AG ，2,//,CD AB AB CD= //,,AB GC AB GC ∴=∴四边形AGCB 为平行四边形，090AGD DCB ABC ∴∠=∠=∠=在Rt AGD ∆中，11,1,2AG BC DG CD ====AD ∴ ························································ 1分 2223,123,PD PA AD ∴=+=+=222,PD PA AD =+090,PAD ∴∠= 即,PA AD ⊥ ································································ 2分平PAD ⊥面平ABCD 面，平PAD 面平ABCD AD =面PA ∴⊥平ABCD 面 ············································································ 3分 112ACD S CD AG ∆=⋅=, ······································································· 4分 A PCD P ACD V V --∴= ··············································································· 5分13ACD S PA ∆=⋅⋅ 111133=⨯⨯=. ········································································· 6分 （II ）棱PB 上存在点E ，当13BE BP =时，//PD 平面ACE .···························· 7分 证明：连结BD 交AC 于点O ，连结OE .∵//,2AB CD CD AB =∴1,2BO AB OD CD == ········································· 8分 G∴13BO BD =,又13BE BP = ∴BO BEBD BP =， ∴//,OE DP ······················································································ 10分 又,OE ACE PD ACE ⊂⊄面，面 //PD ACE ∴面. ················································································· 12分 21．本题主要考查直线、椭圆、轨迹等基础知识及直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查特殊与一般的思想、化归与转化思想．满分12分． 解法一：（Ⅰ）设(,)E x y ，依题意得1,2EA EB k k ⋅==-(x ≠,································· 1分 整理得2212xy +=,∴动点E 的轨迹C 的方程为221(2x y x +=≠. ·································· 3分 （Ⅱ）（ⅰ）(1,0)F ，设11(,),P x y 则 221112x y =-, ···································· 4分∴1||PF d =····································································· 5分1=1=. ·················································································· 7分 (说明：直接给出结论正确，没有过程得1分)（ⅱ）依题意,设直线22:1,(,)PQ x my Q x y =+,联立221,12x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(2)210m y my ++-=, ····································· 8分 显然12220,,2my y m ∆>+=-+ ······························································ 9分 所以线段PQ 的中点T 坐标为222(,),22mm m-++ ······································· 10分 又因为1,FM l ⊥故直线FM 的方程为(1)y m x =--,所以点M 的坐标为(2,)m -,所以直线OM 的方程为:,2my x =-······················································ 11分 因为222(,)22m T m m -++满足方程,2my x =-故OM 平分线段.PQ ········································································· 12分 解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）同解法一（ⅱ）当直线1l 的方程为1x =时，显然OM 平分线段PQ ； ······················ 8分当直线1l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠时，设22(,)Q x y 联立22(1),12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2222(21)4220k x k x k +-+-=, 显然212240,,21k x x k ∆>+=+ ································································ 9分 所以线段PQ 的中点坐标为2222(,)2121k kT k k -++ ······································ 10分 又因为1,FM l ⊥故直线FM 的方程为1(1)y x k=--,所以点M 的坐标为1(2,)k-,所以直线OM 的方程为:1,2y x k=- ····················································· 11分 因为2222(,)2121k k T k k -++满足方程1,2y x k =-故OM 平分线段.PQ ········································································· 12分 22．本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程的思想、分类整合思想、数形结合思想．满分14分．解：（Ⅰ） 2a =-时，()ln 1f x x x =+-，1()1,f x x'=+ ························· 1分∴切点为(1,0)，(1)2k f '==································································ 3分 2a ∴=-时，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为22y x =-. ··············· 4分（II ）（i ）1()ln (1)2f x x a x =--，12()22a axf x x x-'∴=-=， ··································································· 5分 ① 当0a ≤时，(1,)x ∈+∞，()0f x '>,∴()f x 在(1,)+∞上单调递增， ()(1)0f x f >=，∴0a ≤不合题意. ············································································· 6分②当2a ≥即201,a <≤时，2()2()022a x ax a f x x x --'==-<在(1,)+∞上恒成立， ()f x ∴在(1,)+∞上单调递减，有()(1)0f x f <=，∴2a ≥满足题意. ············································································· 7分 ③若02a <<即21,a >时，由()0f x '>，可得21x a <<，由()0f x '<，可得2x a>， ∴()f x 在2(1,)a上单调递增，在2(,)a +∞上单调递减，∴2()(1)0f f a>=，∴02a <<不合题意. ········································································ 9分 综上所述，实数a 的取值范围是[2,).+∞ ················································· 10分 （ii ）2a ≥时，“比较2a e -与2e a -的大小”等价于“比较2a -与(2)ln e a -的大小” 设()2(2)ln (2)g x x e x x =---≥ 则2(2)()10,e x eg x x x-+-'=-=> ∴()g x 在[2,)+∞上单调递增， ····························································· 12分 ()0,g e =当[2,)x e ∈时,()0,g x <即2(2)ln x e x -<-，22x e e x --∴< 当(,)x e ∈+∞时,()0g x >，即2(2)ln x e x ->-，22x e e x --∴> 综上所述，当[2,)a e ∈时，2a e -<2e a -；当a e =时，2a e -=2e a -；当(,)a e ∈+∞时，2a e ->2e a -. ················································ 14分。
福建省宁德市2015届高中毕业班第二次质量检查数学(文)试卷
2015年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查数学（文科）试卷参考公式：第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|320}M x x x =-+=，{2,1,1,2}N =--，则M N =IA ．{2,1}--B ．{1,2}C ．{2,1}-D ．{2,1,1,2}-- 2．若x ∈R ，则“21x <”是“10x -<<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人. 现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取 A ．55人，80人，45人 B ．40人，100人，40人 C ．60人，60人，60人D ．50人，100人，30人4．经过圆22(2)1x y -+=的圆心且与直线210x y -+=平行的直线方程是 A ．240x y --= B ．240x y -+= C ．220x y +-= D ．220x y ++= 5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列正确的是A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥βD ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α，，(n x x ++-6．已知sin α，(0,)2απ∈，则tan 2α= A ．43- B ．43 C ．12- D ．27．下列函数中，既为奇函数又在(0,)+∞内单调递减的是A ．()sin f x x x =B ．12()f x x -=C ．1()1xxe f x e -=+D ．3()f x x x=-8．运行如图所示的程序，若输出y 的值为1，则可输入x 的个数．．为A ．0B ．1C ．2D ．39．已知实数,x y 满足122x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若不等式3ax y -≤恒成立，则实数a 的取值范围为A ．(,4]-∞B ．3(,]2-∞ C10．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示,则此四棱锥的侧面积为A ．6+B ．9+C ．12+D ．20+11．已知点P 是ABC ∆所在平面上一点，AB 边的中点为D ，若23PD PA CB =+，则ABC ∆与ABP ∆的面积比为A ．3B ．2C ．1D ．1212. O 为坐标原点，,A B 为曲线y =上的两个不同点，若6OA OB ⋅=，则直线AB 与圆2249x y +=的位置关系是A. 相交B. 相离C. 相交或相切D. 相切或相离第8题图侧视图俯视图第10题图第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置． 13．复数i(12i)z =+（i 为虚数单位），则z = .14．在区间(0,4)内任取一个实数x ，则使不等式2230x x --<成立的概率为 . 15．关于x 的方程2log 0x a -=的两个根为1212,()x x x x <，则122x x +的最小值为 . 16．已知函数()sincos (22x x f x a a =+∈R)，且()()3f x f 2π≤恒成立. 给出下列结论： ①函数()y f x =在[0,]32π上单调递增；②将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位，所得图象对应的函数为偶函数；③若2k ≥，则函数()(2)3g x kx f x π=--有且只有一个零点.其中正确的结论是 .（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和2n n S r =+. （Ⅰ）求实数r 的值和{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足11b =，121log n n n b b a ++-=，求n b .18．（本小题满分12分）某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生．．．．上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课. 为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间(单位：分钟)，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50].（Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值；（Ⅱ）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课； （Ⅲ）若从样本单程时间不小于30分钟的学生中， 随机抽取2人，求恰有一个学生的单程时间落在[40,50]上的概率.19．（本小题满分12分）已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,)2ωϕπ><在一个周期内的图象如图所示，其中M (,2)12π，N (,0)3π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是a,b,c且3,()2Aa c f ===，求ABC ∆的面积．20．（本小题满分12分）如图四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AB CD ， 90ABC ︒∠=，且2,1CD AB BC PA ====，PD =（Ⅰ）求三棱锥A PCD -的体积；（Ⅱ）问：棱PB 上是否存在点E ，使得//PD 平面ACE ？ 若存在，求出BEBP的值，并加以证明；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知点(A B ，动点E 满足直线EA 与直线EB 的斜率之积为12-.（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点()1,0F 的直线1l 与曲线C 交于点,P Q ，记点P 到直线2:2l x =的距离为d .（ⅰ）求PF d的值；（ⅱ）过点F 作直线1l 的垂线交直线2l 于点M ，求证：直线OM 平分线段PQ .22．（本小题满分14分）已知函数1()ln (1)2f x x a x =--（a ∈R ）．（Ⅰ）若2a =-，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若不等式()0f x <对任意(1,)x ∈+∞恒成立．（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）试比较2a e -与2e a -的大小，并给出证明（e 为自然对数的底数， 2.71828e ≈）．2015年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共12小题，每小题5分，共60分．1． B 2．B 3．D 4．A 5．D 6．A 7．C 8．D 9．B 10．C 11．C 12．A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．2i --； 14．34； 15．； 16．①③．三、解答题：本大题共6小题，共74分．17.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识；考查推理论证与运算求解能力，满分12分． 解：（Ⅰ）∵2n n S r =+,∴112a S r ==+，2212a S S =-=，3324a S S =-=. ·································· 3分 ∵数列{}n a 是等比数列,∴2213a a a =⋅，即224(2)r =+， ··························································· 4分∴1r =- . ······················································································ 5分 ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，····································· 6分 ∴ 12()n n a n -*=∈N . ·········································································· 7分 （Ⅱ）∵12n n a +=，∴12log 2n n n b b n +-==， ··········································· 8分 当2n ≥时，121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-112(1)n =++++- ······················································ 9分 (1)12n n-=+211122n n =-+ ······························································· 11分 又11b =符合上式，∴2111()22n b n n n *=-+∈N . ································································ 12分18．本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解 能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（Ⅰ）时间分组为[0,10)的频率为110(0.060.020.0030.002)0.15-+++=， ················································ 2分 ∴0.150.01510a ==， 所以所求的频率直方图中a 的值为0.015.················································ 3分 （Ⅱ）100个非住校生上学路上单程所需时间的平均数：0.1550.6150.2250.03350.0245x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ···································· 4分 0.7595 1.050.9=++++16.7=. ··························································································· 5分因为16.720<，所以该校不需要推迟5分钟上课. ························································ 6分 （Ⅲ）依题意满足条件的单程所需时间在[30,40)中的有3人，不妨设为123,,a a a ， 单程所需时间在[40,50]中的有2人，不妨设为12,b b ， ····························· 7分 从单程所需时间不小于30分钟的5名学生中，随机抽取2人共有以下10种情况：12(,)a a ，13(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，23(,)a a ，21(,)a b ，22(,)a b ，31(,)a b ，32(,)a b ，12(,)b b ； ······························································ 10分 其中恰有一个学生的单程所需时间落在[40,50]中的有以下6种：11(,)a b ，12(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，31(,)a b ，32(,)a b ； ······················ 11分 故恰有一个学生的单程所需时间落在[40,50]中的概率63105P ==.············ 12分 19．本题主要考查解三角形，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．满分12分．解：（Ⅰ）由图像可知：函数()f x 的周期4()312T πππ=⨯-=， ························· 1分∴22ωπ==π. ··················································································· 2分 又()f x 过点(,2)12π,∴()2sin()2126f ππϕ=+=，sin()16πϕ+=， ············································ 3分∵2πϕ<，2(,)633πππϕ+∈-，∴62ππϕ+=，即3πϕ=. ······································································ 4分 ∴()2sin(2)3f x x π=+. ········································································ 5分（Ⅱ）∵()2sin()23A f A π=+=即sin()3A π+=又4(0,),(,)333A A ππππ∈+∈∴233A ππ+=，即3A π=. ···································································· 7分在ABC ∆中，,33A a c π===，由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-， ·················································· 8分 ∴21393b b =+-，即2340b b --=， 解得4b =或1b =-（舍去）. ······························································· 10分∴11sin 43sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯⨯=. ·············································· 12分20．本题主要考查空间线与线、线与面的位置关系、体积的计算等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力，满分12解：（Ⅰ）取CD 中点G ，连接AG ，2,//,CD AB AB CD=//,,AB GC AB GC∴=∴四边形AGCB为平行四边形，90 AGD DCB ABC∴∠=∠=∠=在Rt AGD∆中，11,1,2AG BC DG CD====AD∴===························································· 1分2223,123,PD PA AD∴=+=+=222,PD PA AD=+90,PAD∴∠=即,PA AD⊥ ································································ 2分平PAD⊥面平ABCD面，平PAD面平ABCD AD=面PA∴⊥平ABCD面 ············································································ 3分112ACDS CD AG∆=⋅=, ······································································· 4分A PCD P ACDV V--∴=················································································ 5分13ACDS PA∆=⋅⋅111133=⨯⨯=. ········································································· 6分（II）棱PB上存在点E，当13BEBP=时，//PD平面ACE. ···························· 7分证明：连结BD交AC于点O，连结OE.∵//,2AB CD CD AB=∴1,2BO ABOD CD== ········································· 8分∴13BOBD=,又13BEBP=∴BO BEBD BP=，∴//,OE DP················································ 10分又,OE ACE PD ACE⊂⊄面，面//PD ACE∴面. ·················································································· 12分21．本题主要考查直线、椭圆、轨迹等基础知识及直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查特殊与一般的思想、化归与转化思想．满分12分．解法一：（Ⅰ）设(,)E x y，依题意得1,2EA EBk k⋅==-(x≠, ································· 1分整理得2212xy+=,∴动点E的轨迹C的方程为221(2xy x+=≠. ·································· 3分（Ⅱ）（ⅰ）(1,0)F，设11(,),P x y则221112xy=-, ···································· 4分∴||PFd=···································································· 5分==. ··················································································· 7分 (说明：直接给出结论正确，没有过程得1分)（ⅱ）依题意,设直线22:1,(,)PQ x my Q x y =+,联立221,12x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(2)210m y my ++-=, ······································ 8分 显然12220,,2my y m∆>+=-+ ······························································ 9分 所以线段PQ 的中点T 坐标为222(,),22mm m -++ ········································ 10分 又因为1,FM l ⊥故直线FM 的方程为(1)y m x =--, 所以点M 的坐标为(2,)m -,所以直线OM 的方程为:,2my x =-······················································ 11分 因为222(,)22m T m m -++满足方程,2my x =-故OM 平分线段.PQ ········································································· 12分解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）同解法一（ⅱ）当直线1l 的方程为1x =时，显然OM 平分线段PQ ； ······················ 8分当直线1l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠时，设22(,)Q x y联立22(1),12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2222(21)4220k x k x k +-+-=, 显然212240,,21k x x k ∆>+=+································································· 9分 所以线段PQ 的中点坐标为2222(,)2121k kT k k -++ ······································· 10分 又因为1,FM l ⊥故直线FM 的方程为1(1)y x k =--,所以点M 的坐标为1(2,)k-,所以直线OM 的方程为:1,2y x k=-····················································· 11分因为2222(,)2121k k T k k -++满足方程1,2y x k=- 故OM 平分线段.PQ ········································································· 12分 22．本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程的思想、分类整合思想、数形结合思想．满分14分．解：（Ⅰ） 2a =-时，()ln 1f x x x =+-，1()1,f x x'=+ ·························· 1分∴切点为(1,0)，(1)2k f '== ································································ 3分 2a ∴=-时，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为22y x =-. ··············· 4分 （II ）（i ）1()ln (1)2f x x a x =--，12()22a axf x x x-'∴=-=， ···································································· 5分 ① 当0a ≤时，(1,)x ∈+∞，()0f x '>,∴()f x 在(1,)+∞上单调递增， ()(1)0f x f >=，∴0a ≤不合题意. ············································································· 6分 ②当2a ≥即201,a<≤时，2()2()022a x ax a f x x x --'==-<在(1,)+∞上恒成立， ()f x ∴在(1,)+∞上单调递减，有()(1)0f x f <=，∴2a ≥满足题意. ············································································· 7分 ③若02a <<即21,a >时，由()0f x '>，可得21x a <<，由()0f x '<，可得2x a >，∴()f x 在2(1,)a 上单调递增，在2(,)a+∞上单调递减，∴2()(1)0f f a>=，∴02a <<不合题意.········································································· 9分 综上所述，实数a 的取值范围是[2,).+∞ ·················································· 10分（ii ）2a ≥时，“比较2a e -与2e a -的大小”等价于“比较2a -与(2)ln e a -的大小” 设()2(2)ln (2)g x x e x x =---≥ 则2(2)()10,e x eg x x x-+-'=-=> ∴()g x 在[2,)+∞上单调递增，······························································ 12分 ()0,g e =当[2,)x e ∈时,()0,g x <即2(2)ln x e x -<-，22x e e x --∴< 当(,)x e ∈+∞时,()0g x >，即2(2)ln x e x ->-，22x e e x --∴> 综上所述，当[2,)a e ∈时，2a e -<2e a -；当a e =时，2a e -=2e a -；当(,)a e ∈+∞时，2a e ->2e a -. ················································· 14分。
2015年福建中考数学真题卷含答案解析
2015年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷(选择题,共30分)一、选择题(共10小题,每题3分,满分30分;每小题只有一个正确选项)1.a的相反数是( )A.|a|B.1C.-aD.√aa2.下列图形中,由∠1=∠2能得到AB∥CD的是( )的解集在数轴上表示正确的是( )3.不等式组{x≥-1,x<24.计算3.8×107-3.7×107,结果用科学记数法表示为( )A.0.1×107B.0.1×106C.1×107D.1×1065.下列选项中,显示部分在总体中所占百分比的统计图是( )A.扇形图B.条形图C.折线图D.直方图6.计算a·a-1的结果为( )A.-1B.0C.1D.-a7.如图,在3×3的正方形网格中有四个格点A,B,C,D,以其中一点为原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称,则原点是( )A.A点B.B点C.C点D.D点8.如图,C,D分别是线段AB,AC的中点,分别以点C,D为圆心,BC长为半径画弧,两弧交于点M,测量∠AMB的度数,结果为( )A.80°B.90°C.100°D.105°9.若一组数据1,2,3,4,x的平均数与中位数相同,则实数x的值不可能是( )A.0B.2.5C.3D.510.已知一个函数图象经过(1,-4),(2,-2)两点,在自变量x的某个取值范围内,都有函数值y 随x的增大而减小,则符合上述条件的函数可能是( )A.正比例函数B.一次函数C.反比例函数D.二次函数第Ⅱ卷(非选择题,共120分)二、填空题(共6小题,每题4分,满分24分)11.分解因式a2-9的结果是.12.计算(x-1)(x+2)的结果是.13.一个反比例函数图象过点A(-2,-3),则这个反比例函数的解析式是.14.一组数据:2015,2015,2015,2015,2015,2015的方差是.15.一个工件,外部是圆柱体,内部凹槽是正方体,如图所示.其中,正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上,若圆柱底面周长为2πcm,则正方体的体积为cm3.16.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=√2.将△ABC绕点C逆时针旋转60°,得到△MNC,连结BM,则BM的长是.三、解答题(共10小题,满分96分)17.(7分)计算:(-1)2015+sin30°+(2-√3)(2+√3).18.(7分)化简:(a+b)2a 2+b 2-2aba 2+b 2.19.(8分)如图,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AC=AD.20.(8分)已知关于x 的方程x 2+(2m-1)x+4=0有两个相等的实数根,求m 的值.21.(9分)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛,其中每支篮球队10人,每支排球队12人,每名运动员只能参加一项比赛,篮球、排球队各有多少支参赛?22.(9分)一个不透明袋子中有1个红球,1个绿球和n个白球,这些球除颜色外无其他差别.(1)当n=1时,从袋中随机摸出1个球,摸到红球和摸到白球的可能性是否相同?(2)从袋中随机摸出一个球,记录其颜色,然后放回.大量重复该试验,发现摸到绿球的频率稳定于0.25,则n的值是;(3)在一个摸球游戏中,所有可能出现的结果如下:根据树状图呈现的结果,求两次摸出的球颜色不同的概率..半径为2的☉C,分别交AC,BC于点D,E, 23.(10分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=√5,tan B=12得到DE⏜.(1)求证:AB为☉C的切线;(2)求图中阴影部分的面积.24.(12分)定义:长宽比为√n∶1(n为正整数)的矩形称为√n矩形.下面,我们通过折叠的方式折出一个√2矩形,如图①所示.操作1:将正方形ABCD沿过点B的直线折叠,使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处,折痕为BH.操作2:将AD沿过点G的直线折叠,使点A,点D分别落在边AB,CD上,折痕为EF.则四边形BCEF为√2矩形.图①证明:设正方形ABCD的边长为1,则BD=√12+12=√2.由折叠性质可知BG=BC=1,∠AFE=∠BFE=90°,则四边形BCEF为矩形,∴∠A=∠BFE.∴EF∥AD.∴BGBD =BFAB,即√2=BF1.∴BF=12.∴BC∶BF=1∶1√2=√2∶1.∴四边形BCEF为√2矩形.阅读以上内容,回答下列问题:(1)在图①中,所有与CH相等的线段是,tan∠HBC的值是;(2)已知四边形BCEF为√2矩形,模仿上述操作,得到四边形BCMN,如图②,求证:四边形BCMN 是√3矩形;(3)将图②中的√3矩形BCMN沿用(2)中的方式操作3次后,得到一个“√n矩形”,则n的值是.图②25.(13分)如图①,在锐角△ABC中,D,E分别为AB,BC中点,F为AC上一点,且∠AFE=∠A,DM∥EF交AC于点M.(1)求证:DM=DA;(2)点G在BE上,且∠BDG=∠C,如图②,求证:△DEG∽△ECF;(3)在图②中,取CE上一点H,使∠CFH=∠B,若BG=1,求EH的长.26.(13分)如图,抛物线y=x2-4x与x轴交于O,A两点,P为抛物线上一点,过点P的直线y=x+m 与对称轴交于点Q.(1)这条抛物线的对称轴是,直线PQ与x轴所夹锐角的度数是;S△PAQ,求m的值;(2)若两个三角形面积满足S△POQ=13(3)当点P在x轴下方的抛物线上时,过点C(2,2)的直线AC与直线PQ交于点D,求:①PD+DQ 的最大值;②PD·DQ的最大值.备用图答案全解全析：一、选择题1.C只有符号不同的两个数叫做互为相反数,所以a的相反数是-a,故选C.2.B根据内错角相等,两直线平行,可知B选项正确,故选B.3.A不等式组的解集为-1≤x<2,故选A.4.D 3.8×107-3.7×107=0.1×107=1×106,故选D. 5.A 扇形图可以反映部分在总体中所占的百分比,故选A. 6.C a ·a -1=a 1-1=a 0=1,故选C.7.B 以点B 为坐标原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,则点A,C 关于坐标轴对称,故选B.8.B 在以C 为圆心的圆中,AB 是直径,M 为圆周上一点,所以∠AMB=90°,故选B. 9.C 当x ≤2时,中位数是2,此时1+2+3+4+x5=2,解得x=0,符合题意;当2<x<3时,中位数是x,此时1+2+3+4+x5=x,解得x=2.5,符合题意;当x ≥3时,中位数是3,此时1+2+3+4+x5=3,解得x=5,符合题意.故符合题意的x 的值为0,2.5,5,不可能是3,故选C. 评析 本题重点考查平均数和中位数的概念,属于中等难度题.10.D 易知经过点(1,-4),(2,-2)的直线不经过原点,所以所求函数不是正比例函数,A 不符合;若为一次函数或反比例函数,则在自变量x 的某个取值范围内,函数值y 随x 的增大而增大,所以B 、C 不符合题意;只有D 正确,故选D.二、填空题11.答案 (a+3)(a-3) 解析 a 2-9=a 2-32=(a+3)(a-3).12.答案 x 2+x-2解析 (x-1)(x+2)=x 2+2x-x-2=x 2+x-2.13.答案 y=6x解析 设这个反比例函数的解析式为y=kx (k ≠0),代入点A 的坐标,得k=6,故这个反比例函数的解析式为y=6x . 14.答案 0解析 该组数据的平均数为2 015,方差s 2=16×[6×(2 015-2 015)2]=0.15.答案 2√2解析 由题意可知圆柱底面的直径为2 cm,则圆柱底面内接正方形的对角线长为2 cm,边长为√2 cm,故正方体的体积是2√2 cm 3.16.答案 √3+1解析 如图,连结AM,易知△AMC 是等边三角形,所以CM=AM,易证△BMC ≌△BMA,所以∠CBM=∠ABM=45°,∠CMB=∠AMB=30°,所以∠CDM=∠CDB=90°.在Rt △CDB 中,CD=CB ·sin 45°=1,所以BD=CD=1.在Rt △CDM 中,DM=CM ·sin 60°=√3,所以BM=BD+DM=√3+1.评析 解决本题的关键是证出BM ⊥AC,再利用含有特殊角的直角三角形分别求得BD 、DM 的长,从而求出BM,综合性较强,属于难题.三、解答题17.解析 原式=-1+12+(4-3)=12. 18.解析 原式=(a+b)2-2ab a 2+b 2=a 2+b 2+2ab -2ab a 2+b 2=a 2+b 2a 2+b 2=1.19.证明 ∵∠3=∠4,∴∠ABC=∠ABD. 在△ABC 和△ABD 中,{∠1=∠2,AB =AB,∠ABC =∠ABD.∴△ABC ≌△ABD(ASA). ∴AC=AD.20.解析 ∵关于x 的方程x 2+(2m-1)x+4=0有两个相等的实数根,∴Δ=(2m -1)2-4×1×4=0. ∴2m -1=±4. ∴m=52或m=-32.21.解析 解法一:设有x 支篮球队和y 支排球队参赛, 依题意得{x +y =48,10x +12y =520.解得{x =28,y =20.答:篮球、排球队各有28支与20支.解法二:设有x 支篮球队,则排球队有(48-x)支, 依题意得10x+12(48-x)=520. 解得x=28. 48-x=48-28=20.答:篮球、排球队各有28支与20支. 22.解析 (1)相同. (2)2.(3)由树状图可知:共有12种结果,且每种结果出现的可能性相同.其中两次摸出的球颜色不同(记为事件A)的结果共有10种,∴P(A)=1012=56. 23.解析 (1)过点C 作CF ⊥AB 于点F, 在Rt △ABC 中,tan B=AC BC =12, ∴BC=2AC=2√5.∴AB=√AC 2+BC 2=√(√5)2+(2√5)2=5. ∴CF=AC ·BC AB=√5×2√55=2. ∴AB 为☉C 的切线.(2)S 阴影=S △ABC -S 扇形CDE =12AC ·BC-nπr 2360 =12×√5×2√5-90π×22360=5-π. 24.解析 (1)GH,DG;√2-1.(2)证明:∵BF=√22,BC=1,∴BE=√BF 2+BC 2=√62.由折叠性质可知BP=BC=1,∠FNM=∠BNM=90°,则四边形BCMN 为矩形,∴∠BNM=∠F. ∴MN ∥EF.∴BP BE =BN BF ,即BP ·BF=BE ·BN. ∴√62BN=√22.∴BN=√3. ∴BC∶BN=1∶√3=√3∶1. ∴四边形BCMN 是√3矩形.(3)6.25.解析图① (1)证明:∵DM ∥EF,∴∠AMD=∠AFE.∵∠AFE=∠A,∴∠AMD=∠A.∴DM=DA.(2)证明:∵D,E 分别为AB,BC 的中点,∴DE ∥AC.图② ∴∠DEB=∠C,∠BDE=∠A.又∠AFE=∠A,∴∠BDE=∠AFE.∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC.∵∠BDG=∠C,∴∠EDG=∠FEC.∴△DEG ∽△ECF.(3)解法一:如图③所示,∵∠BDG=∠C=∠DEB,∠B=∠B,图③ ∴△BDG ∽△BED.∴BD BE =BG BD ,即BD 2=BE ·BG.∵∠A=∠AFE,∠B=∠CFH,∴∠C=180°-∠AFE-∠CFH=∠EFH.又∵∠FEH=∠CEF,∴△EFH ∽△ECF.∴EH EF =EF EC ,即EF 2=EH ·EC. ∵DE ∥AC,DM ∥EF,∴四边形DEFM 是平行四边形.∴EF=DM=AD=BD.∵BE=EC,∴EH=BG=1.解法二:如图④,在DG 上取一点N,使DN=FH.图④ ∵∠A=∠AFE,∠ABC=∠CFH,∠C=∠BDG,∴∠EFH=180°-∠AFE-∠CFH=∠C=∠BDG.∵DE ∥AC,DM ∥EF,∴四边形DEFM 是平行四边形.∴EF=DM=AD=BD.∴△BDN ≌△EFH.∴BN=EH,∠BND=∠EHF.∴∠BNG=∠FHC.∵∠BDG=∠C,∠DBG=∠CFH,∴∠BGD=∠FHC.∴∠BNG=∠BGD.∴BN=BG.∴EH=BG=1.解法三:如图⑤,取AC 中点P,连结PD,PE,PH,则PE ∥AB.图⑤∴∠PEC=∠B.又∠CFH=∠B,∴∠PEC=∠CFH.又∠C=∠C,∴△CEP ∽△CFH.∴CE CF =CP CH .∴△CEF ∽△CPH.∴∠CFE=∠CHP.由(2)可得∠CFE=∠DGE,∴∠CHP=∠DGE.∴PH ∥DG.∵D,P 分别为AB,AC 的中点,∴DP ∥GH,DP=12BC=BE.∴四边形DGHP 是平行四边形.∴DP=GH=BE.∴EH=BG=1.解法四:如图⑥,作△EHF 的外接圆交AC 于另一点P,连结PE,PH.图⑥ 则∠HPC=∠HEF,∠FHC=∠CPE.∵∠B=∠CFH,∠C=∠C,∴∠A=∠CHF.∴∠A=∠CPE.∴PE ∥AB.∵DE ∥AC,∴四边形ADEP 是平行四边形.∴DE=AP=12AC.∴DE=CP.由(2)可得∠GDE=∠CEF,∠DEB=∠C,∴∠GDE=∠CPH.∴△DEG ≌△PCH.∴GE=HC.∴EH=BG=1.解法五:如图⑦,取AC 中点P,连结PE,PH,则PE ∥AB.图⑦∴∠PEC=∠B.又∠CFH=∠B,∴∠PEC=∠CFH.又∠C=∠C,∴△CEP ∽△CFH.∴CE CF =CP CH .∴△CEF ∽△CPH.∴∠CEF=∠CPH.由(2)可得∠CEF=∠EDG,∠C=∠DEG.∵D,E 分别是AB,BC 的中点,∴DE=12AC=PC.∴△DEG ≌△PCH.∴CH=EG.∴EH=BG=1.26.解析 (1)x=2;45°.(2)设直线PQ 交x 轴于点B,分别过点O,A 作PQ 的垂线,垂足分别是E,F.显然当点B 在OA 的延长线上时,S △POQ =13S △PAQ 不成立.①当点B 落在线段OA 上时,如图1,图1S △POQ S △PAQ =OE AF =13. 由△OBE ∽△ABF 得OB AB =OE AF =13. ∴AB=3OB.∴OB=1OA.由y=x 2-4x 得点A(4,0), ∴OB=1.∴B(1,0).∴1+m=0.∴m=-1.②当点B 落在AO 的延长线上时,同理可得OB=12OA=2.图2∴B(-2,0).∴-2+m=0.∴m=2.综上所述,当m=-1或2时,S△POQ=1S△PAQ.3(3)①解法一:过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H,如图3,可得△CHQ是等腰三角形.∵∠CDQ=45°+45°=90°,∴AD⊥PH.∴DQ=DH.∴PD+DQ=PH.过点P作PM⊥直线CH于点M,则△PMH是等腰直角三角形.∴PH=√2PM.∴当PM最大时,PH最大.当点P在抛物线顶点处时,PM取最大值,此时PM=6.∴PH的最大值为6√2,即PD+DQ的最大值为6√2.图3解法二:如图4,过点P作PE⊥x轴,交AC于点E,作PF⊥CQ于点F,图4 则△PDE,△CDQ,△PFQ 是等腰直角三角形.设点P(x,x 2-4x),则E(x,-x+4),F(2,x 2-4x). ∴PE=-x 2+3x+4,FQ=PF=|2-x|.∴点Q(2,x 2-5x+2).∴CQ=-x 2+5x.∴PD+DQ=√22(PE+CQ) =√22(-2x 2+8x+4) =-√2(x-2)2+6√2(0<x<4).∴当x=2时,PD+DQ 的最大值为6√2.②由①可知:PD+DQ ≤6√2.设PD=a,则DQ ≤6√2-a.∴PD ·DQ ≤a(6√2-a)=-a 2+6√2a=-(a-3√2)2+18.∵当点P 在抛物线的顶点时,a=3√2,∴PD ·DQ ≤18.∴PD ·DQ 的最大值为18.附加说明:(对a 的取值范围的说明)设P 点坐标为(n,n 2-4n),延长PM 交AC 于N. PD=a=√22PN=√22[4-n-(n 2-4n)] =-√2(n 2-3n-4)=-√2(n -3)2+25√2. ∵-√22<0,0<n<4,∴当n=32时,有最大值,为258√2.∴0<a ≤258√2. 评析 在第(2)问中,因为△PQA 和△PQO 共用底边PQ,可以作高,把面积的比转换为高的比,再利用相似三角形求得OA 和OB 的关系,构造方程,求出m 的值;第(3)问构造等腰直角三角形是解题的突破口,综合性较强,属于难题.。
福建省宁德市2015年5月普通高中毕业班质量试卷文科数学试卷及答案
D． { 2, 1,1,2}
2．若 x R ，则“ 2x 1”是“ 1 x 0”的
A ．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．某全日制大学共有学生 5400 人，其中专科生有 1500 人，本科生有 3000 人，研究生有 900 人 . 现
采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为
20 分钟，则学
校推迟 5 分钟上课 . 为此，校方随机抽取 100 个非住校生，调查其上学路上单程所需时间 ( 单
位：分钟 ) ，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为
[0,10) ， [10,20) ，
[20,30) ， [30,40) ， [40,50] . （Ⅰ）求频率分布直方图中 a 的值；
2015 年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查
数学（文科）试卷
本试卷分第 I 卷（选择题） 和第 Ⅱ卷（非选择题） 两部分． 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 注意事项 :
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超
PF
（ⅰ）求
的值；
d
（ⅱ）过点 F 作直线 l1 的垂线交直线 l 2 于点 M ，求证：直线 OM 平分线段 PQ .
22．（本小题满分 14 分）
已知函数 f (x)
ln x
1 a( x 1) （ a
R ）．
2
（Ⅰ）若 a 2 ，求曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程；
180 人，则应在专
科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取
2015年中考数学试题(含答案)
2015年河南初中学业水平暨高级中等学校招生考试试题数 学注意事项：1. 本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2. 本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。
答在试卷上的答案无效。
一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1. 下列各数中最大的数是（ ）A. 5B.3C. πD. －8 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）3. 据统计，2014年我国高新技术产品出口总额达40 570亿元，将数据40 570亿用科学记数法表示为（ ） A.4.0570×109 B. 0.40570×1010 C. 40.570×1011 D. 4.0570×10124. 如图，直线a ，b 被直线c ，d 所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（ ） A. 55° B. 60° C.70° D. 75°5. 不等式组⎩⎨⎧>-≥+13,05x x 的解集在数轴上表示为（ ）6. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试，面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ）A. 255分B. 84分C. 84.5分D.86分7. 如图，在□ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF =6，AB =5，则AE 的长为（ ）C DB A 正面 第2题dc ba第4题-52 0 -520 -52 0 -520 CDBAA. 4B. 6C. 8D. 108. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，… 组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是（ ）A.（2014,0）B.（2015，－1）C. （2015,1）D. （2016,0）二、填空题（每小题3分，共21分） 9.计算：(－3)0+3－1=.10. 如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB ，BC 上，DE //AC ，若DB =4，DA =2，BE =3，则EC = . 11. 如图，直线y =kx 与双曲线)0(2>=x xy 交于点 A （1，a ）,则k = .12. 已知点A （4，y 1），B （2，y 2），C （－2，y 3）都在二次函数y =(x －2)2－1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 . 13. 现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再 背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数 字不同的概率是 .14. 如图，在扇形AOB 中，∠AOB =90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交AB 于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径 作CD 交OB 于点D ，若OA =2，则阴影部分的面积为 .15. 如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE =3，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B ′处，若△CDB ′恰为等腰三角形，则DB ′的长为 .E FCDBGA第7图第8题E CDBA第14题EFCDBA 第15题B ′三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16.（8分）先化简，再求值：)11(22222ab b a b ab a -÷-+-，其中15+=a ，15-=b .17.（9分）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是半圆上不与点A 、B 重合的一个动点，延长BP 到点C ，使PC =PB ，D 是AC 的中点，连接PD ，PO . （1）求证：△CDP ≌△POB ； （2）填空：① 若AB =4，则四边形AOPD 的最大面积为 ； ② 连接OD ，当∠PBA 的度数为 时，四边形BPDO18.（9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图。
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2015年宁德市初中毕业班质量检测
数 学 试 题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
友情提示：1．所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效；
2．抛物线2
y ax bx c =++的顶点坐标是（2b
a
-，244ac b a
-）．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡．．．的相应位置填涂） 1．-3的相反数是 A ．-3
B ．3
C ．1
3
-
D ．13
2．下列汽车标志中，可以看作中心对称图形的是
3．下列运算正确的是 A ．224a a a +=
B ．325a a a ⨯=
C ．632a a a ÷=
D ．
3252)a b a b =（ 4．如图所示几何体的主视图是
5．为了解本地区老年人一年中生病次数，下列样本抽取方式最合理的是 A ．到公园调查100名晨练老人 B ．到医院调查100名老年病人
C ．到某小区调查10名老年居民
D ．利用户籍资料，按规则抽查10%老年人
6．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000 000
076克．将0.000 000 076用科学记数法表示为 A ．87.610-⨯
B ．90.7610-⨯
C ．87.610⨯
D ．90.7610⨯
7．已知点A （-2，y 1）和点B （1，y 2）是如图所示的一次函数y = 2x +b 图象上的两点，则1与y 2
的大小关系是 A ．y 1＜y 2
B
．y 1＞y 2
C ．y 1 = y 2
D ．y
1≥y 2
8．不等式组124
，
≤x x >-⎧⎨
⎩的解集在数轴上表示正确的是
A ．
B ．
C ．
D ．
9．甲、乙两名队员在5次射击测试中，命中环数的平均数都是8环，各次成绩分别如下：
x
第7题图
y
O 0 1 -1 3
-2 0 1 -1 2 3
-2 0 1 -1 3
-2 0 1 -1 2 3
-2
以下关于甲乙射击成绩的比较，正确的说法是 A ．甲的中位数较大，方差较小 B ．甲的中位数较小，方差较大 C ．甲的中位数和方差都比乙小
D ．甲的中位数和方差都比乙大
10．如图1，已知AC 是矩形纸片ABCD 的对角线，AB =3，∠ACB =30°．现将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ABC
沿着AD 方向平移，得到图2中△A′BC′，当四边形A′ECF 是菱形时，平移距离A A′
的长是
A ．3
B ．
33
C ．23
D ．
92
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡．．．
的相应位置） 11．因式分解:24a -=_______．
12．如图，已知a ∥b ，∠1= 48°，则∠2 =_______°．
13．如果方程220x x a -+=有两个相等的实数根，那么a 的值是_______．
14．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠A =75°，则∠C =_______°．
15．现有三张完全相同的卡片，上面分别标有数字0，-2，3．把卡片背面朝上洗匀，
然后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则两次都
抽到负数的概率是_______． 16．如图，A 是反比例函数x
y 4=
(x ＞0)图象上一点，以OA 为斜边作等腰直角△ABO ，将△ABO 绕点O 逆时针旋转135°，得到△A 1B 1O ，若反比例函数k
y x
=的图象经过点B 1，则k 的值是_______．
三、解答题（本大题有9小题，共86分．请在答题卡．．．
的相应位置作答） 17．（本题满分7分）
计算：0
432π+
---（） ． 18．（本题满分7分）
解方程：21
133
x x -
=
--． 19．（本题满分8分）
为了解学生对各种球类运动的喜爱程度，小红采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一种项目），对调查结果进行统计后，绘制了如下两幅不完整的统计图：
a 1 2
b
第12题图 乒乓球
足球
第16题图
A 1
y O k y x
=
x
B 1
B
A
4y x
=
第
14题图 B
C A
D
O B A
C D 图2 E F
C' A'
A
图1 D
C B 第10题图
根据以上统计图提供的信息，回答下列问题： （1）此次被调查的学生共 人； （2）补全条形统计图；
（3）若该校有2000名学生，估计全校喜欢“篮球”的学生大约有 人； （4）若随机抽取一名被调查学生，则此人恰好是喜欢“乒乓球”的概率是 ．
20．（本题满分8分）
已知：如图，在□ABCD 中，点E 在边AB 上，连接CE ．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不必写出作法．注意：答题卡上作图痕迹需用签字笔描黑）：
以点A 为顶点，AB 为一边作∠FAB =∠CEB ，AF 交CD 于点F ； （2）求证：AF = CE ．．
21．（本题满分10分）
宁德一中代表队荣获“中国谜语大会”金奖后，某校也准备举行“谜语”竞赛，规定每位参赛者需完成20道题，每答对一题得10分，答错或不答都扣5分．
（1）设某位参赛者答对x 题，得分为y 分，求y 与x 之间的函数关系式；
（2）已知学校规定竞赛成绩超过90分为一等奖．若小辉参加本次比赛，他想获得一等奖，则他至少要答对多少道题？
22．（本题满分10分）
图1是某游乐场的摩天轮，图2是它的正面示意图．已知摩天轮的半径为40米，它绕圆心O 匀速旋转1一周需要24分钟，最低点A 离地面的距离AB 为5米．小明从点A 处登上摩天轮，5分钟后旋转到点C ，此时小明绕点O 旋转了多少度？他离地面的高度CD 是多少米？（结果精确到0.1米）
图2
D B
A C
O
图1
B
23．（本题满分10分）
如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，弦AD 的延长线交直线BC 于点C ． （1）若AB =10，∠ACB =60°，求BD 的长；
（2）若点E 是线段BC 的中点，求证：DE 是⊙O 的切线．
24．（本题满分13分）
如图，已知菱形ABCD ，点P 、Q 在直线BD 上，点P 在点Q 左侧，AP ∥CQ ． （1）求证：△ABP ≌△CDQ ；
（2）如图1，当∠ABC =90°，点P 、Q 在线段BD
上时，求证：BP BQ +=；
（3）如图2，当∠ABC =60°，点P 在线段DB 的延长线上时，试探究BP 、BQ 、BA 之间的数量关系，并说明理由．
25．（本题满分13分）
如图，抛物线21
2y x bx c =-++交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ，点A 的坐标是（-1，0），点C 的坐标是
（0，2）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）已知点P 是抛物线上的一个动点，点N 在x 轴上．
①若点P 在x 轴上方，且△APN 是等腰直角三角形，求点N 的坐标； ②若点P 在x 轴下方，且△APN 与△BOC 相似，请直接写出点N 的坐标．
A
B
C
D
Q
图2
P
C
A
P
B Q
D
图1
y
C
A O
B x。