九年级数学下册第26章二次函数26.1二次函数及其图象2二次函数y=ax2的图象习题

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(3)抛物线y=ax2(a3≠0)上,若两个点的纵坐标相同,那么这两个
点的横坐标互为相反数. ( ) √
知识点 1 二次函数y=ax2的图象与性质
【例1】函数
是关于x的二次函数,求:
y m 2 xm2m4
(1)满足条件的m的值.
(2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时当x为何
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3.已知(x1,y1),(x2,y2)都在抛物线y=3x2上,下列说法正确的是 ()
A.若y1=y2,则x1=x2 B.若x1=x2,则y1=-y2 C.若0<x1<x2,则y1>y2 D.若x1<x2<0,则y1>y2
【解析】选D.对于y=3x2,当函数值相等时,根据对称性可知,其 所对应的自变量的值相等或互为相反数,故A错误;当自变量的值 相等时,函数值也相等,故B错误;在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大,故C错误;在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,故D正确.
由①得:m>-1, ∴m=1. 此时,二次函数解析式为y=2x2.
题组二:求二次函数y=ax2的解析式
1.(2013·丽水中考)若二次函数y=ax2的图象经过点P(-2,4),则
该图象必经过点 ( )
A.(2,4)
B.(-2,-4)
C.(-4,2)
D.(4,-2)
【解析】选A.将(-2,4)代入y=ax2,计算a的值,写出抛物线解析
【总结提升】二次函数y=ax2的“两关系四对等” 1.a＞0⇔开口向上⇔有最小值⇔
x＞0时，y随x的增大而增大， 2x.a＜＜0时0⇔，y开随口x的向增下大⇔而有减最小大. 值⇔
x＞0时，y随x的增大而减小， x＜0时，y随x的增大而增大.
知识点 2 求二次函数y=ax2的解析式
【例2】(2013·山西中考)如图是我省某地一座抛物线形拱桥,
（3）类似地，由小y=-x2,y=- x2和y=-2x2的图象，可知：当a＜
0时，抛物线y=ax2开口_____1，顶点是抛物线上位置_____的点，
|a|越大，抛物线的开口向越下__2_.
最高
小
【归纳】
1.二次函数y=ax2的图象及其性质：
(1)图象:y=ax2(a≠0)的图象是一条_曲__线__,这条__曲__线_叫做抛物线.
辆故10障0 车,此时刹车
有危险(选填“会”或“不会”).
【解析】把v=100代入函数关系式得s=100>80,所以此时刹车会
有危险.
答案:会
4.如图所示,已知抛物线的顶点为坐标原点O,矩形ABCD的顶点 A,D在抛物线上,且AD平行x轴,交y轴于点F,AB的中点E在x轴 上,B点的坐标为(2,1),点P(a,b)在抛物线上运动.(点P异于点 O).
找出它们的异同点2:
2
（1）函数y=ax2（a≠0）的图象是一条抛物线，它关于_y_轴对
称，它的顶点坐标是_(_0_，__0_)．
（2）由y=x2,y= 1 x2,y=2x2的图象，可知：当a>0时，抛物线
y=ax2开口_____，2 顶点是抛物线上位置_____的点，a越大，
向上
最低
抛物线的开口越___.
式,将选项逐一代入解析式验证即可知A正确.
2.二次函数y=ax2与y=2x2的图象,开口大小、形状都相同,开口
方向相反,则a=
.
【解析】由题意得|a|=2,因为二次函数y=ax2的图象开口向下,
所以a=-2.
答案:-2
3.汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式是
s= 1 v2,在一辆车速为100km/h的汽车前方80m处发现停放一
(2)对称性:抛物线y = ax2关于_____对称. y轴
(3)开口方向:当a>0时,抛物线y = ax2开口_____;
当a<0时,抛物线y = ax2开口_____.
向上
向下
(4)顶点:抛物线与__对__称__轴_的交点,叫做抛物线的顶点.抛物线
y=ax2的顶点是原__点___,当a>0时,顶点是抛物线上位置最__低___的点; 当a<0时,顶点是抛物线上位置_最__高__的点. (5)开口大小:|a|越大,抛物线的开口越___.
(1)求此抛物线的解析式. (2)过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R, 求证:PF=PR.
【解析】(1)由题意可得:点A的坐标为(2,-1),
∵抛物线的顶点为坐标原点O,
∴可设抛物线的解析式为:y=ax2,
将点A(2,-1)代入可得:4a=-1,解得a=- ,
1
∴抛物线的解析式为y=- x2.
【自主解答】以顶点C为坐标原点,建立如图所示的坐标系,设 抛物线y=ax2,
由题意得B(18,-9),把B(18,-9)代入y=ax2,
得a×182=-9,解得a=-
所以抛物线的解析式为1y=. - x2,当y=-9-7=-16时,-16=- x2,
解得x=±24,∴DE=48m36. 1
1
答案:48
36
36
【总结提升】解二次函数y=ax2的应用题的三步骤
题组一:二次函数y=ax2的图象与性质
1.抛物线y= 1 x2不具有的性质是 ( ) A.对称轴是y3轴
B.开口向上 C.当x<0时,y随x的增大而减小 D.有最高点 【解析】选D.当a>0时,抛物线开口向上,并且向上无限延伸,所 以没有最高点,只有最低点.
4.已知抛物线y=ax2(a<0)上有三点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3), 其中x1<x2<0<x3,且|x3|>|x1|,则y1,y2,y3之间的大小关系是
. 【解析】当a<0时,抛物线的开口方向向下,在对称轴的左侧, y 随x的增大而增大,所以y1<y2;根据对称性可知,点(x3,y3)关于y 轴的对称点在点(x1,y1)的左侧,所以y3<y1.所以y3<y1<y2. 答案:y3<y1<y2
值时,y随x的增大而增大?
(3)m为何值时,抛物线的开口方向向下?这时当x为何值时,y随x
的增大而减小?
【解题探究】(1)函数是二次函数的条件是自变量的最高次数
是__,二次项的系数不为__.由此得到关于m的方程组是
2
0
__m_2___m___4__2_,解得m=___或m=____. (2m)若 2抛物0, 线有最低点,2则抛物线-3的开口方向_____,所以二次
【高手支招】比较抛物线y=ax2(a≠0)上两点函数值大小的方 法 (1)当两点位于对称轴的同侧时,根据y随x的变化规律判断. (2)当两点位于对称轴的异侧时,根据开口方向和这两点距对称 轴的距离的远近判断.
5.已知 y m 1 xm2m是二次函数且其图象开口向上,求m的值
和函数解析式.
【解析】依题意有: m 1＞0 ①， 解②得:m1=-2,m2=1m, 2 m 2 ②，
PF=
=|b-1|=1-b,
∴PF=PR.
b 12 a2 b 12－4b
【想一想错在哪？】已知A(-2,y1),B(-1,y2),C(2,y3)分别是 抛物线y=(-a2-1)x2上的三个点,试比较y1,y2,y3的大小.
提示:在对称轴的两侧,二次函数的增减性是不相同的.对称的 两个点的函数值是相同的.
4
1
4
(2)如图,过点P作PG⊥y轴,垂足为G.连接PF.
由题意可知:F(0,-1),G(0,b),R(a,1),
∴GF=|b-(-1)|=|b+1|,PG=|a|,PR=1-b,
∵点P(a,b)为抛物线y=- x2上的动点,
1
∴b=- a2,变形得:a2=-4b4,
在Rt△P1 GF中,由勾股定理可得: 4
向上 项的系数_____零,由此确定符合条件的m值是___.在对称轴的
___侧,即x_大__于0时,y随x的增大而增大.
2
右
>
(3)二次项的系数满足什么条件时,抛物线的开口方向向下?由 此确定符合条件的m值是多少?在对称轴的哪一侧,y随x的增大 而减小? 提示:二次项的系数小于零时,抛物线的开口向下,所以,符合条件 的m的值为-3,在对称轴的右侧,即x>0时,y随x的增大而减小.
26.1.2 二次函数y=ax2的图象
1.探索二次函数y=ax2的图象的作法.(重点) 2.根据二次函数y=ax2的图象理解y=ax2的性质(图象的形状、 开口方向、对称轴、顶点坐标、开口大小等).(重点) 3.能应用二次函数y=ax2的性质解决相关问题.(难点)
观察函数y=x2,y= 1 x2,y=2x2,y=-x2,y=- 1 x2和y=-2x2的图象,
桥拱在竖直平面内,与水平桥面相交于A,B两点,桥拱最高点C到
AB的距离为9m,AB=36m,D,E为桥拱底部的两点,且DE∥AB,点E到
直线AB的距离为7m,则DE的长为
m.
【思路点拨】以C为坐标原点建立坐标系→设出抛物线解析式 →把B点坐标代入解析式→求出解析式→把D,E纵坐标代入解 析式→D,E横坐标→DE的长.
小 2.二次函数y=ax2与y=-ax2(a>0)的关系：
(1)抛物线y=ax2与y=-ax2关于___轴对称. (2)抛物线y=ax2与y=-ax2关于x_____成中心对称.
原点
(打“√”或“×”) (1)抛物线y=ax2,y=bx2,当a>b时,抛物线y=ax2的开口大. ( × ) (2)抛物线y=(- x)2的开口向下. ( )
2.如图,四个二次函数的图象中,分别对应的关系式是:
①y=ax2;
②y=bx2;
③y=cx2;
④y=dx2,
则a,b,c,d的大小关系是 ( )
A.a>b>c>d
B.a>b>d>c
C.b>a>c>d
D.b>a>d>c
【解析】选A.由图象可知a>0,b>0,c<0,d<0,且
a>b>0,d<c<0.