用微积分理论证明不等式的方法

用微积分理论证明不等式的方法

高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似．

微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式．

一、用导数定义证明不等式法

1．证明方法根据－导数定义

导数定义：设函数)(x f y =在点。0x 的某个邻域内有定义，若极限

x

y x x x x x x f x f ∆∆→∆→=--lim lim 000)()(0

存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点0x 的导数，记作)(0x f y '=．

2．证明方法：

(1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究．

3．例

例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数，n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ．

证明：因nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则n na a a f +++=' 212)0(． 得：x x f x x f x f x f f x x x )()(lim 0)0()()0(lim lim 0

00→→→==--='．由于x x f sin )(≤． 所以1sin )0(lim 0

=≤'→x x f x ．即1221≤+++n na a a ． 4.适用范围

用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的．

二．用可导函数的单调性证明不等式法

1.证明方法根据－可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理

定理一：若函数)(x f 在),(b a 可导，则)(x f 在),(b a 内递增（递减）的充要条件是： ),(),0)((0)(b a x x f x f ∈≤'≥'.

定理二：设函数)(x f 在],[b a 连续，在),(b a 内可导，如果在),(b a 内0)(>'x f （或

0)(<'x f ）

，那么)(x f 在],[b a 上严格单调增加（或严格单调减少）. 定理三：设函数)(x f 在),(b a 内可导，若0)(>'x f （或0)(<'x f ），则)(x f 在),(b a 内严格递增（或严格递减）.

上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系，因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性.

2.证明方法

（1）构造辅助函数)(x f ，取定闭区间],[b a ；

△如何构造辅助函数？

①利用不等式两边之差构造辅助函数；

②利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数；

③若所证的不等式涉及到幂指数函数，则可通过适当的变形（若取对数）将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数.

(2)研究)(x f 在],[b a 上的单调性，从而证明不等式.

3.例

例2：证明不等式：)0(1)1ln(122>+>+++x x x x x . 证明：令),0[,1)1ln(1)(22+∞∈+-+++=x x x x x x f ，易知)(x f 在),0[+∞上连续，且有),0(,0)1ln()(2+∞∈>++='x x x x f ，由定理二可知)(x f 在),0[+∞上严格单调增加，所以由单调性定义可知)0(,0)0()(>=>x f x f ，即01)1ln(122>+-+++x x x x .因此)0(1)1ln(122>+>+++x x x x x .

例3：求证：b b

a a

b a b

a +++≤+++111.

证明：设辅助函数)0(,1)(≥+=x x

x x f .易知)(x f 在),0[+∞上连续，且有,0)1(1)(2

>+='x x f )0(>x .则由定理二可知)(x f 在),0[+∞上严格单调增加.由

b a b a +≤+≤0，有)()(b a f b a f +≤+， 得到b b

a a

b a b

b a a

b a b

a b a b

a +++≤+++++=+++≤+++111111，所以原不等式

成立.

4.适用范围

利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数)(x f 应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处)(x f 的值为0，然后通过在开区间内)(x f '的符号来判断)(x f 在闭区间上的单调性.

三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法

1．证明方法根据－极值的充分条件定理

定理四（极值的第一充分条件） 设)(x f 在0x 连续，在),(00δx ⋃内可导，

（i ）若当),(00x x x δ-∈时，0)(≥'x f ,当),(00δ+∈x x x 时，0)(≤'x f ,则)(x f 在0x 取得极大值;

(ii) 若当),(00x x x δ-∈时，0)(≤'x f ,当),(00δ+∈x x x 时，0)(≥'x f ,则)(x f 在0x 取得极小值.

定理五（极值的第二充分条件） 设)(x f 在的某领域),(0δx ⋃内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ,(i)若0)(0<''x f ，则)(x f 在0x 取得极大值；(ii)若0)(0>''x f ，则)(x f 在0x 取得极小值.

极值和最值是两个不同的概念.极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某个区间上考虑.若函数在一个区间的内部取得最值，则此最值也是极值.极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系.

2.证明方法

（1）构造辅助函数)(x f ，并取定区间.

△如何构造辅助函数？

①当不等式两边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数；

②当不等式两边含有相同的“形式”时，可利用此形式构造辅助函数；

③当不等式形如a x g ≥)(（或a x g ≤)(）（a 为常数）时，可设)(x g 为辅助函数.