用微积分理论证明不等式的方法
关于用微积分理论证明不等式的方法
关于用微积分理论证明不等式的方法微积分是数学的一个分支，主要研究连续变化的概念和性质。
它提供了一种强大的工具，可以用来证明不等式。
在本文中，我们将介绍一些常用的微积分方法，用于证明不等式。
一、导数的应用导数是微积分中的重要概念，它表示函数在其中一点的变化率。
在证明不等式时，我们可以使用导数的性质来进行推导。
1.极值点的性质：如果函数在其中一点处取得极值，那么在这个点的导数等于零。
这个性质通常用于证明不等式的最优情况。
例如，我们要证明函数f(x)=x^3在[-1,1]上取得最大值为1、首先，计算函数的导数f'(x)=3x^2、然后，找出导数等于零的点：3x^2=0，解得x=0。
进一步，计算二阶导数f''(x)=6x，并代入x=0，可以得到f''(0)=0。
这意味着在x=0处，函数取得极值。
然后，我们可以用数学归纳法证明，在[-1,1]区间上，f(x)的取值范围在[-1,1]之间。
因此，函数的最大值为1，取到极值点(0,1)。
2.函数的单调性：如果函数的导数在一些区间内恒大于等于零（或恒小于等于零），那么函数在该区间上是单调递增（或递减）的。
例如，我们要证明函数f(x)=x^2在[-1,1]上是递增的。
首先，计算函数的导数f'(x)=2x。
然后，计算导数在[-1,1]上的值，可以得知f'(x)在这个区间上恒大于等于零。
根据函数单调性的定义，我们可以得出结论：函数f(x)=x^2在[-1,1]上是递增的。
二、积分的应用积分是微积分中另一个重要的概念，它是导数的逆运算。
在证明不等式时，我们可以使用积分的性质来进行推导。
1. 积分上限的比较：如果函数f(x)在一个区间上恒小于等于另一个函数g(x)，那么在该区间上的函数积分f(x)dx也小于等于g(x)dx。
例如，我们要证明函数f(x)=x在[0,1]上的积分小于等于函数g(x)=x^2在[0,1]上的积分。
「用微积分理论证明不等式的方法02762」
「用微积分理论证明不等式的方法02762」微积分作为数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
在证明不等式时，微积分理论可以提供很多有用的方法和手段。
下面，将介绍一些常用的用微积分理论证明不等式的方法。
一、用函数的单调性函数的单调性是研究不等式的一个重要工具。
对于单调递增的函数，可以利用其性质来证明不等式。
设函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，若有a≤x＜y＜b，则有f(a)≤f(x)＜f(y)≤f(b)。
同时，根据单调递增函数的性质，对于任意的a＜b，有f(x)＜f(y)，那么对应的不等式也成立。
例如，要证明在区间[0,1]上，f(x)=x(1-x)＜1/4，可以利用函数f(x)在该区间上的单调递增性。
当x＜1/2时，有f(x)＜f(1/2)=1/4；当x＞1/2时，有f(x)＜f(1/2)＝1/4，因此不等式f(x)＜1/4在区间[0,1]上成立。
二、用导数或微分的性质导数和微分是微积分的基本概念，它们对研究不等式也起到很大的作用。
通过研究函数的导数或微分的性质，可以得到不等式的证明。
例如，要证明在区间(a,b)上f(x)≤g(x)，可以研究函数h(x)=f(x)-g(x)，若能证明h(x)≤0，则不等式成立。
对h(x)求导，然后研究导数的正负性即可。
又如，要证明不等式f(x)≥g(x)，可以考虑函数h(x)=f(x)-g(x)，若能证明h'(x)≥0，则不等式成立。
通过导数或微分的性质，可以简化不等式的证明过程。
三、用积分的性质积分是微积分的重要工具之一，它在证明不等式中也有广泛的应用。
常用的方法有利用积分的性质来证明不等式的区间逐点性、平均值和中值定理等。
例如，若要证明在区间[a,b]上的函数f(x)满足不等式f(x)≥0，可以考虑利用积分的区间逐点性。
即对于任意一个x∈[a,b]，都有f(x)≥0成立。
又如，若要证明函数f(x)在[a,b]上的平均值大于等于左端点和右端点的函数值之间的平均值，即(∫[a,b]f(x)dx)/(b-a)≥(f(a)+f(b))/2，可以利用积分的性质，将该不等式转化为函数f(x)-(f(a)+f(b))/2的积分大于等于0，然后再进行证明。
微积分中的海森堡不等式
微积分中的海森堡不等式一、微积分中的海森堡不等式微积分是现代数学的重要分支，它广泛应用于物理、工程、经济等领域。
微积分中的海森堡不等式是一条重要的不确定性原理。
它指出，在任何量子态下，粒子的位置和动量无法同时被精确测量，即存在不确定性。
这个原理对于粒子在微观世界中的运动和性质有着重要的意义。
二、不确定性原理的背景20世纪早期，量子力学的诞生为物理学家们带来了极大的惊喜和挑战。
量子力学与经典力学不同，强调量子态和量子力学中的测量和不确定性。
在经典力学中，我们可以通过精确的测量来得到物体的位置和速度，进而预测它的运动轨迹。
但在量子力学中，粒子的运动和性质需要用波函数来描述，并且存在测量不确定性。
为了证明不确定性原理，德国物理学家海森堡进行了严密的推导和思考。
他认为，任何量子态下，实验者无法同时精确测量粒子的位置和速度，这是一种不可避免的测量误差。
他将这个观点提出来并用严密的理论进行证明，最终得出了著名的海森堡不等式。
三、海森堡不等式的表述海森堡不等式是指，对于任意量子态，粒子的位置和速度的不确定性满足以下关系：$$ \Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2} $$其中，$\Delta x$表示粒子位置的不确定度，$\Delta p$表示粒子动量的不确定度，$\hbar$为普朗克常数，其数值为$6.63\times 10^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$。
海森堡不等式表明，无论我们用什么精确度来测量粒子的位置和速度，它们的乘积都不可能小于$\hbar/2$。
如果我们提高了对粒子位置的测量精度，那么对粒子速度的测量精度就会降低，反之亦然。
也就是说，对于粒子的位置和速度，我们无法同时精确地测量它们的值。
四、不确定性原理的意义海森堡不等式所预示的不确定性原理，不仅仅是一个数学定理，也是量子力学中最为重要的原则之一。
它揭示了微观世界的本质规律和运动特性。
微分不等式
微分不等式微分不等式是微积分中比较基础却又十分重要的一类问题，主要包括单变量函数微分不等式、双变量函数微分不等式等。
在学习微分不等式时，我们不仅需掌握微分基本概念和微积分基础理论，还要善于利用不等式性质、求导法则和一些特殊的技巧。
本文将从这几个方面介绍微分不等式的相关知识。
一、单变量函数微分不等式单变量函数微分不等式通常是指含有单一未知数的函数不等式，其中最常见的是单调性和增减性问题。
单调性指函数值的增减情况，可以通过一阶导数和拐点等概念得出；而增减性则对应着导数值的正负情况，可以通过极值、零点等点的求解得到。
下面是一些常见的单变量函数微分不等式例子：例1：若 $f(x)$ 右导数大于左导数，则当 $x>a$ 时，$f(x)$ 单调递增。
例2：若 $f(x)$ 是可导函数，则当 $f'(x)>0$ 时，$f(x)$ 单调递增。
例3：若 $f(x),g(x)$ 可导，且 $f'(x)<g'(x)$，则当 $x>a$ 时，$f(x)<g(x)$。
二、双变量函数微分不等式双变量函数微分不等式是指含有两个未知数的函数不等式，最常见的是优化问题。
在求解双变量函数微分不等式时，需要用到一些数学工具，如拉格朗日乘子法、柯西-施瓦茨不等式等。
下面是一些常见的双变量函数微分不等式例子：例4：设 $a,b>0$，$a+b=2$，求 $\max \{ab^2,b^2a\}$。
解：设 $f(a,b)=ab^2$，则有 $\frac{\partial f}{\partial a}=b^2$，$\frac{\partial f}{\partial b}=2ab$，根据拉格朗日乘子法得到$\frac{a}{b}=2$，$a=\frac{4}{3},b=\frac{2}{3}$，故 $\max\{ab^2,b^2a\}=\frac{4}{27}$。
三、微分不等式的技巧在解决微分不等式问题时，有几个常用的技巧，可以帮助我们更快更准确地得出结论。
微分中值定理的证明及其应用
微分中值定理的证明及其应用[摘要摘要] ] ] 微分中值定理是微分学的基本理论微分中值定理是微分学的基本理论微分中值定理是微分学的基本理论,,也是微分学的理论基础。
数学分析中基础。
数学分析中,,介绍了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理三个中值定理。
本文主要探讨微分中值定理的几何意义及证明过程中辅助函数的构造辅助函数的构造,,结合教学过程中出现的问题结合教学过程中出现的问题,,通过具体实例探讨微分中值定理在函数性态各方面的应用。
微分中值定理在函数性态各方面的应用。
[关键词关键词] ] ] 中值定理中值定理中值定理 辅助函数辅助函数 根的存在性根的存在性 待定系数法待定系数法 数学分析中数学分析中,,一般在证明罗尔定理的基础上一般在证明罗尔定理的基础上,,通过构造辅助函数通过构造辅助函数,,然后验证辅助函数满足罗尔定理的假设条件然后验证辅助函数满足罗尔定理的假设条件,,最后利用罗尔定理的结论得出拉格朗日定理的证明。
其关键是如何构造辅助函数结论得出拉格朗日定理的证明。
其关键是如何构造辅助函数,,一旦辅助函数构造出来辅助函数构造出来,,余下的问题便容易解决了。
余下的问题便容易解决了。
首先介绍微分中值定理的几何意义和辅助函数的构造及定理的证明。
证明。
一、微分中值定理证明中辅助函数的探讨一、微分中值定理证明中辅助函数的探讨若函数在闭区间上连续若函数在闭区间上连续,,其图形是一段连续的曲线弧。
当在区间两个端点的函数值相等两个端点的函数值相等((即)时,线段ab 平行于轴平行于轴,,其斜率为零。
若函数在内每一点都可导函数在内每一点都可导,,对应曲线弧上每一点都有切线对应曲线弧上每一点都有切线,,此时此时,,从图可以看出可以看出,,在曲线弧上在曲线弧上,,至少可以找到一点m,m,弧在此点的切线与线弧在此点的切线与线段ab 平行平行,,即切线的斜率为零。
若记m,m,则切线则切线mt 的斜率为的斜率为,,且。
且。
上述的几何直观进行归纳上述的几何直观进行归纳,,得到如下定理得到如下定理: :定理1:(1:(罗尔定理罗尔定理罗尔定理) )若函数满足下列三个条件若函数满足下列三个条件: :(1)(1)在闭区间上连续在闭区间上连续在闭区间上连续;(2);(2);(2)在开区间内可导在开区间内可导在开区间内可导;(3);(3);(3)。
积分不等式证明技巧解析
∫
2 f ( x ) dx ≤
∫
0
b a
1
f(
1) 1 ( ) d x + f′ 3 3
(x ∫
0
1
2
-
1) 1 dx = f ( ) . 3 3
6 借助于参数表达式来证明积分不等式
引入参数 t , 构造辅助函数
[ f ( x) ∫
- tg ( x ) ] d x ≥ 0 , 得到关于 t 的二次多项式 , 利用判别
n- 1 n- 2
+ … + 6 cn- 3 x + …
例 4 求 ( x 4 - x3 + 2 x 2 - x + 1) co s x d x. 解 列竖式计算 :
x x
4 4 3
∫
- x - x
+ 2x
2 2 2
- x - 6x + 5x
+1 - 20 + 21
3 2
12 x
3
- 10 x
∫
第 12 卷第 6 期
杨和稳 : 积分不等式证明技巧解析
27
1 ( ξ ) < 0 , x ∈ [ 0 , 1 ] , 所以 , 其中ξ介于 与 x 之间 . 因为 f ″ 3
f ( x) < f (
1 0
1) 1 1) 1 1 1) 2 ( ) (x ( ) ( x2 + f′ , f ( x ) < f ( ) + f ′ , 3 3 3 3 3 3
a x
例 4 设 f ( x ) 在 [ a , b] 上有连续导数 , 且 f ( a) = f ( b) = 0 , 证明 : b 4 ( x) | ≥ max | f ′ | f ( x ) | d x. 2
微积分法证明不等式
微积分法证明不等式
微积分法是一种强大的工具，可以用来证明各种不等式，包括在数学中最常见的不等式。
下面我们将着重介绍微积分法证明不等式的步骤和方法。
首先，给出待证明的不等式，并按照其数学符号和形式写出来，例如：f(x)≥g(x)。
其次，使用微积分法证明不等式，可以使用下面这几种方法：
（1）定积分法：
定积分法是指定义一个函数的积分，根据不等式的给定条件来确定积分的范围，然后用定积分公式，即积分的上下限，把函数的积分计算出来，从而证明不等式。
例如，当下限是a，上限是b时，可以用定积分法证明不等式：f(x)≥g(x)，可以把它写成∫a b f(x)dx
≥∫a b g(x)dx。
（2）不定积分法：
不定积分法是指不确定积分的范围，而是采用一些技巧来求解一个未给定的积分。
通常是不定积分，但也有一些情况可以使用定积分，从而证明不等式。
例如，当未给定积分的范围时，可以用不定积分法证明不等式：f(x)≥g(x)，可以把它写成∫f(x)dx≥∫g(x)dx。
（3）柯西不等式：
柯西不等式是一种常用的证明不等式的方法，例如，可以使用柯西不等式来证明不等式：f(x)≥g(x)，可以把它写成f(x)-g(x)≥0。
该不等式只要满足柯西不等式的条件，就可以证明f(x)≥g(x)。
最后，以上是微积分法证明不等式的步骤和方法。
只要使用此方法，就可以更准确地证明不等式，从而解决一些严苛的数学问题。
构造函数法证明泰勒展开不等式的八种方法
构造函数法证明泰勒展开不等式的八种方
法
泰勒展开定理是微积分中一个非常重要的定理，它可以将一个函数在某一点附近展开为无穷的多项式和。
在实际应用中，我们经常需要保留部分项，将函数近似表示，而泰勒展开就可以很好地满足我们的需求。
本文将介绍泰勒展开不等式的八种证明方法，其中均使用了构造函数的方法。
1. 利用 $(1+x)^n$ 的二项式展开式证明。
2. 利用 $e^x$ 的泰勒展开式证明。
3. 利用 $\ln (1+x)$ 的泰勒展开式证明。
4. 利用 $\int_0^x \cos t^2 dt$ 的收敛性证明。
5. 利用 $\int_0^x e^{-t^2} dt$ 的平方证明。
6. 利用 $\tan^{-1} x$ 和 $\tanh^{-1} x$ 的泰勒展开式证明。
7. 利用 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的泰勒展开式证明。
8. 利用 $\int_0^1 x^p (1-x)^q dx$ 的收敛性证明。
这八种证明方法各有不同的特点和难度，涉及到的数学知识也
各有侧重。
但它们都使用了构造函数的方法，通过寻找适当的函数，将展开式转化为极限形式或积分形式，然后进一步证明不等式的成立。
总之，泰勒展开定理和泰勒展开不等式是数学中非常重要的工具，它们不仅有着重要的理论价值，在工程和自然科学中也有着广
泛的应用。
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用微积分理论证明不等式的方法高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似．微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式．一、用导数定义证明不等式法1．证明方法根据－导数定义导数定义：设函数)(x f y =在点。
0x 的某个邻域内有定义，若极限xy x x x x x x f x f ∆∆→∆→=--lim lim 000)()(0存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点0x 的导数，记作)(0x f y '=．2．证明方法：(1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究．3．例例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数，n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ．证明：因nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则n na a a f +++=' 212)0(． 得：x x f x x f x f x f f x x x )()(lim 0)0()()0(lim lim 000→→→==--='．由于x x f sin )(≤． 所以1sin )0(lim 0=≤'→x x f x ．即1221≤+++n na a a ． 4.适用范围用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的．二．用可导函数的单调性证明不等式法1.证明方法根据－可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理定理一：若函数)(x f 在),(b a 可导，则)(x f 在),(b a 内递增（递减）的充要条件是： ),(),0)((0)(b a x x f x f ∈≤'≥'.定理二：设函数)(x f 在],[b a 连续，在),(b a 内可导，如果在),(b a 内0)(>'x f （或0)(<'x f ），那么)(x f 在],[b a 上严格单调增加（或严格单调减少）. 定理三：设函数)(x f 在),(b a 内可导，若0)(>'x f （或0)(<'x f ），则)(x f 在),(b a 内严格递增（或严格递减）.上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系，因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性.2.证明方法（1）构造辅助函数)(x f ，取定闭区间],[b a ；△如何构造辅助函数？①利用不等式两边之差构造辅助函数；②利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数；③若所证的不等式涉及到幂指数函数，则可通过适当的变形（若取对数）将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数.(2)研究)(x f 在],[b a 上的单调性，从而证明不等式.3.例例2：证明不等式：)0(1)1ln(122>+>+++x x x x x . 证明：令),0[,1)1ln(1)(22+∞∈+-+++=x x x x x x f ，易知)(x f 在),0[+∞上连续，且有),0(,0)1ln()(2+∞∈>++='x x x x f ，由定理二可知)(x f 在),0[+∞上严格单调增加，所以由单调性定义可知)0(,0)0()(>=>x f x f ，即01)1ln(122>+-+++x x x x .因此)0(1)1ln(122>+>+++x x x x x .例3：求证：b ba ab a ba +++≤+++111.证明：设辅助函数)0(,1)(≥+=x xx x f .易知)(x f 在),0[+∞上连续，且有,0)1(1)(2>+='x x f )0(>x .则由定理二可知)(x f 在),0[+∞上严格单调增加.由b a b a +≤+≤0，有)()(b a f b a f +≤+， 得到b ba ab a bb a ab a ba b a ba +++≤+++++=+++≤+++111111，所以原不等式成立.4.适用范围利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数)(x f 应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处)(x f 的值为0，然后通过在开区间内)(x f '的符号来判断)(x f 在闭区间上的单调性.三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法1．证明方法根据－极值的充分条件定理定理四（极值的第一充分条件） 设)(x f 在0x 连续，在),(00δx ⋃内可导，（i ）若当),(00x x x δ-∈时，0)(≥'x f ,当),(00δ+∈x x x 时，0)(≤'x f ,则)(x f 在0x 取得极大值;(ii) 若当),(00x x x δ-∈时，0)(≤'x f ,当),(00δ+∈x x x 时，0)(≥'x f ,则)(x f 在0x 取得极小值.定理五（极值的第二充分条件） 设)(x f 在的某领域),(0δx ⋃内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ,(i)若0)(0<''x f ，则)(x f 在0x 取得极大值；(ii)若0)(0>''x f ，则)(x f 在0x 取得极小值.极值和最值是两个不同的概念.极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某个区间上考虑.若函数在一个区间的内部取得最值，则此最值也是极值.极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系.2.证明方法（1）构造辅助函数)(x f ，并取定区间.△如何构造辅助函数？①当不等式两边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数；②当不等式两边含有相同的“形式”时，可利用此形式构造辅助函数；③当不等式形如a x g ≥)(（或a x g ≤)(）（a 为常数）时，可设)(x g 为辅助函数.(2)求出)(x f 在所设区间上的极值与最大、最小值.△极值与最大、最小值的求法①极值求法：（1）求出可疑点，即稳定点与不可导的连续点；（2）按极值充分条件判定可疑点是否为极值点.②最大、最小值的求法：（1）闭区间],[b a 上连续函数的最大、最小值的求法：先求出可疑点，再将可疑点处的函数值与端点b a ,处的函数值比较，最大者为最大值，最小者为最小值.（2）开区间),(b a 内可导函数的最大值、最小值的求法：若)(x f 在),(b a 内可导，且有唯一的极值点，则此极值点即为最大值点或最小值点.3.例例4：证明：当0>x 时有455+≥x x .证明：构造辅助函数)0(,45)(5>--=x x x x f ，则有 ),1)(1)(1(5)1)(1(555)(2224-++=-+=-='x x x x x x x f 令0)(='x f ，解得1±=x ，其中只有1=x 在区间),0(+∞内，由)1(45lim )(lim 511f x x x f x x =--=→→，有)(x f 在1=x 点连续．因当10<<x 时，0)(<'x f ，则)(x f 在)1,0(上为减函数；当1>x 时，0)(>'x f ，则)(x f 在),1(+∞上为增函数；由定理四可知，)(x f 在1=x 处取得极小值，即0)1(=f 为区间),0(+∞上的最小值，所以当0>x 时，有0)1()(=≥f x f ．故),0(0455>≥--x x x 即)0(455>+≥x x x ．4.适用范围利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数)(x f 应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处)(x f 的值为0，然后通过在开区间内)(x f '的符号来判断)(x f 在闭区间上的单调性.三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法1．证明方法根据－极值的充分条件定理定理四（极值的第一充分条件） 设)(x f 在0x 连续，在),(00δx ⋃内可导，（i ）若当),(00x x x δ-∈时，0)(≥'x f ,当),(00δ+∈x x x 时，0)(≤'x f ,则)(x f 在0x 取得极大值;(ii) 若当),(00x x x δ-∈时，0)(≤'x f ,当),(00δ+∈x x x 时，0)(≥'x f ,则)(x f 在0x 取得极小值.定理五（极值的第二充分条件） 设)(x f 在的某领域),(0δx ⋃内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ,(i)若0)(0<''x f ，则)(x f 在0x 取得极大值；(ii)若0)(0>''x f ，则)(x f 在0x 取得极小值.极值和最值是两个不同的概念.极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某个区间上考虑.若函数在一个区间的内部取得最值，则此最值也是极值.极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系.2.证明方法（1）构造辅助函数)(x f ，并取定区间.△如何构造辅助函数？①当不等式两边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数；②当不等式两边含有相同的“形式”时，可利用此形式构造辅助函数；③当不等式形如a x g ≥)(（或a x g ≤)(）（a 为常数）时，可设)(x g 为辅助函数.(2)求出)(x f 在所设区间上的极值与最大、最小值.△极值与最大、最小值的求法①极值求法：（1）求出可疑点，即稳定点与不可导的连续点；（2）按极值充分条件判定可疑点是否为极值点.②最大、最小值的求法：（1）闭区间],[b a 上连续函数的最大、最小值的求法：先求出可疑点，再将可疑点处的函数值与端点b a ,处的函数值比较，最大者为最大值，最小者为最小值.（2）开区间),(b a 内可导函数的最大值、最小值的求法：若)(x f 在),(b a 内可导，且有唯一的极值点，则此极值点即为最大值点或最小值点.3.例例5：证明：当0>x 时有455+≥x x .证明：构造辅助函数)0(,45)(5>--=x x x x f ，则有 ),1)(1)(1(5)1)(1(555)(2224-++=-+=-='x x x x x x x f 令0)(='x f ，解得1±=x ，其中只有1=x 在区间),0(+∞内，由)1(45lim )(lim 511f x x x f x x =--=→→，有)(x f 在1=x 点连续．因当10<<x 时，0)(<'x f ，则)(x f 在)1,0(上为减函数；当1>x 时，0)(>'x f ，则)(x f 在),1(+∞上为增函数；由定理四可知，)(x f 在1=x 处取得极小值，即0)1(=f 为区间),0(+∞上的最小值，所以当0>x 时，有0)1()(=≥f x f ．故),0(0455>≥--x x x 即)0(455>+≥x x x ．4.适用范围（1）所设函数)(x f 在某闭区间上连续，开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单调函数时；（2）只能证不严格的不等式而不能证出严格的不等式.四、用拉格朗日中值定理证明不等式法1.证明方法根据－拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若函数)(x f 满足下列条件：（I ）)(x f 在闭区间],[b a 上连续；（ⅱ）)(x f 在开区间),(b a 内可导，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得a b a f b f f --=')()()(ξ. 拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系.2.证明方法①辅助函数)(x f ，并确定)(x f 施用拉格朗日中值定理的区间],[b a ；②对)(x f 在],[b a 上施用拉格朗日中值定理；③利用ξ与b a ,的关系，对拉格朗日公式进行加强不等式.3.例例6：证明：当x x x x x <+<+>)1ln(1,0. 证明：构造函数t t f ln )(=，因)(t f 在)0](1,1[>+x x 上连续，在)1,1(x +上可导，)(t f 在)0](1,1[>+x x 上满足拉格朗日条件，于是存在)1,1(x +∈ξ，使 ξξ1)(1)1()1()1(='=-+-+f x f x f ，因 1111),1ln(1ln )1ln()1()1(<<++=-+=-+ξx x x f x f ，1)1ln(11<+<+xx x .即)0(,)1ln(1><+<+x x x xx . 4.适用范围当所证的不等式中含有函数值与一阶导数，或函数增量与一阶导数时，可用拉格朗日中值定理来证明.五、用柯西中值定理证明不等式法1.证明方法根据－柯西中值定理柯西中值定理：若⑴函数)(x f 与)(x g 都在闭区间],[b a 上连续；⑵)(x f 与)(x g 都在开区间),(b a 内可导；⑶)(x f '与)(x g '在),(b a 内不同时为0；⑷)()(b g a g ≠. 则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ . 柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系.2.证明方法①构造两个辅助函数)(x f 和)(x g ，并确定它们施用柯西中值定理的区间],[b a ； ②对)(x f 与)(x g 在],[b a 上施用柯西中值定理；③利用ξ与b a ,的关系，对柯西公式进行加强不等式.3.例例7：设20,π<<<>y x e a ，证明a a y x a a xx y ln )cos (cos ->-.. 证明：原不等式等价于a a xy a a x xy ln cos cos -<--，可构造函数t a t f =)(，t t g cos )(=,因),(t f )(t g均在],[y x 上连续，在),(y x 上可导，且0ln )(≠='a a t f t ，由于20π<<<y x ，则y y g x x g t t g cos )(cos )(,0sin )(=≠=≠-='，所以),(t f )(t g 在],[y x 上满足柯西中值条件，于是存在),(y x ∈ξ，使得ξξξξsin ln cos cos )()()()()()(-=--=--=''a a x y a a x g y g x f y f g f x y ，又因),,(,y x e a ∈>ξ,20π<<<y x 有1ln ,1sin 1,>><a a a x ξξ，得：ξξξξsin ln ln ,sin ln ln a a a a a a a a x x ->-< ,因此a a xy a a x xy ln cos cos -<--,即a a y x a a x x y ln )cos (cos ->-. 4.适用范围当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数，或两个函数的函数增量及其一阶导数时，可用柯西中值定理证明.六、上述二、三、四、五种方法小结前面二、三、四、五种方法中，均可利用差式构造函数，但有时应用导数研究函数单调性证明不等式，有时应用导数研究函数极值证明不等式，而有时应用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式.三者有何区别：⑴若所证不等式含有函数值及其导数，宜用中值定理；若所证不等式),(),()(b a x x g x f ∈<，其两端函数)(),(x g x f 均可导，且)()()(a g a f a F -=或)()()(b g b f b F -=有一为0时，宜用函数的单调性.⑵若所证不等式的两端函数有不可导时，不能用函数单调性证明，宜用中值定理. ⑶若所证不等式),(),()(b a x x g x f ∈<，两端函数)(),(x g x f 均可导，但)()()(x g x f x F -=不是单调的函数时，宜用函数的极值来证明.七、用函数的凹凸性证明不等式1.证明方法根据－凹凸函数定义及其定理和詹森不等式定义：设)(x f 为定义在区间I 上的函数，若对于I 上任意两点21,x x 和实数)1,0(∈λ，总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+,则称)(x f 为I 上的凸函数，若总有 )()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+,则称)(x f 为I 上的凹函数.定理六：设)(x f 为I 上的二阶可导函数，则)(x f 为I 上的凸函数（或凹函数）的充要条件是在I 上)0)((0)(≤''≥''x f x f 或 .命题（詹森不等式） 若)(x f 在],[b a 上为凸函数，对任意的)2,1(0],,[n i b a x i i =>∈λ且11=∑=n i i λ,则≤∑=)(1n i i i x f λ)(1i n i i x f ∑=λ.该命题可用数学归纳法证明.函数的凹凸性定理反映了二阶可导函数的二阶导数符号与凹凸函数之间的关系.2.证明方法：①定义证明法：将不等式写成定义的形式，构造辅助函数)(x f ，并讨论)(x f 在所给区间上的凹凸性.②詹森不等式法：对一些函数值的不等式，构造凸函数，应用詹森不等式能快速证此类不等式.3.例例8：证明：当0,0>>y x 时,2ln )(ln ln y x y x y y x x ++>+.. 证明（定义证明法）：设)0(ln )(>=t t t t f .有)0(01)(,1ln )(>>=''+='t t t f t t f .则)(t f 在),0(+∞为凸函数.对任意)(0,0y x y x ≠>>，有)2(2)()(y x f y f x f +>+(取21=λ).(要使)(x f 与)(x g 的系数相同，当且仅当λλ-=1时成立，即21=λ).因此2ln )(ln ln y x y x y y x x ++>+. 4.适用范围当不等式可写成凹凸函数定义的形式或对一些函数值和且能够构造凸函数的不等式.八、用泰勒公式证明不等式法1.证明方法根据－泰勒定理泰勒定理：若函数)(x f 满足如下条件：⑴在闭区间],[b a 上函数)(x f 存在直到n 阶连续导数;⑵在开区间),(b a 内存在)(x f 的1+n 阶导数，则对任何),(b a x ∈，至少存在一点),(b a ∈ξ，使得:1)1()(2)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n a x n a f a x n a f a x a f a x a f a f x f . 泰勒公式揭示了多项式与函数之间的关系.2.证明方法①根据已知条件，围绕证明目标，选取恰当的点将函数在这些点展成泰勒展式；②根据已知条件，向着有利于证明目标不等式的方向对上面的展式作适当的处理，直到可以结合已知条件证出不等式为止.（注意具体的题目应用此方法时要灵活运用，有些题目在进行①前，要先对已知条件或证明目标进行适当的转化，以更有利于证明的进行，使②不会过于繁琐.）3.例例9：设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导，)1()0(f f =,且2)(≤''x f ，试证明：1)(≤'x f . 证明：取10≤≤x ，有：,0,)0)((21)0)(()()0(121x x f x x f x f f <<-''+-'+=ξξ 10,)1)((21)1)(()()1(222<<-''+-'+=ξξx f x x f x f f .由于)1()0(f f =则],)1)(()([21)(2221x f x f x f -''-''='ξξ])1()()([21)(2221x f x f x f -''+''≤'ξξ )0)1(2(,1)1(21)1(])1(22[212222≥-≤--=-+=-+≤x x x x x x x x ．因此原不等式成立.4.适用范围当遇到含有函数或高阶导数，或函数增量与高阶导数，或要证的是导数（一阶或二阶）不等式时，可利用泰勒公式来证明有关的不等式.九、用幂级数展开式证明不等式法１．证明方法根据－几个重要的初等函数的幂级数展开式几个重要的初等函数的幂级数展开式如下：),(,!1!2112+∞-∞∈+++++=x x n x x e n x ； ),(,)!12(1)1(!31sin 1213+∞-∞∈+--++-=--x x n x x x n n ； ),(,)!2(1)1(!41!211cos 242+∞-∞∈+-++-=x x n x x x n n ； )1,0(,1112∈+++++=-x x x x xn ； ]1,1(,)1(3121)1ln(132-∈+-+++-=+-x n x x x x x n n ．初等函数是中学数学教学重点，某些初等函数可展开成幂级数，在展开式中添加或删去某些幂级数时，可很快证明出某些含幂级数的不等式.2.证明方法先把初等函数展开成幂级数，然后在展开式中添加或删去某些幂级数即可快速证明此不等式.3.例例10:当)1,0(∈x ，证明x e x x 211>-+. 证明：因x e x2,11-分别可写成幂级数展开式，有：=++++++=-+)1)(1(112 n x x x x xx )1,0(,22212∈+++++x x x x n ．),(,!2!2221222+∞-∞∈+++++=x x n x x e n n x ． 则左边的一般项为n x 2，右边的一般项为!2n x n n ，因此当!22,3n n n>≥，所以)1,0(,112∈>-+x e xx x . 4.适用范围当不等式中含有上面几个重要初等函数之一时，可用幂级数展开式法来证明此不等式.十、用定积分理论来证明不等式法1.证明方法根据－定积分的性质和变上限辅助函数理论定积分性质之一：设)(x f 与)(x g 为定义],[b a 在上的两个可积函数，若],[),()(b a x x g x f ∈≤则dx x g dx x f b a b a ⎰⎰≤)()(.微积分学基本定理：若函数)(x f 在],[b a 上连续，则由变动上限积分],[,)()(b a x dt t f x xa ∈=Φ⎰， 定义的函数Φ在],[b a 上可导，而且)()(x f x =Φ'.也就是说，函数Φ是被积函数)(x f 在],[b a 上的一个原函数.微积分学基本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系.2.证明方法①利用定积分的性质证明不等式法：对可积函数)(x f ，)(x g ，先证出)()(x g x f ≤，然后由定积分的性质可证dx x g dx x f ba ba ⎰⎰≤)()(（见例14）； ②构造变上限辅助函数证明不等式法：对于含有定积分的不等式，可把常数变为变数构造辅助函数，利用变上限积分⎰x a dt t f )(及函数的单调性解决此类不等式（见例15）. 3.例例11：证明：⎰⎰≤2121ln ln xdx x xdx x . 证明（利用定积分性质）：当]2,1[∈x 时，0ln ,>≤x x x ，则x x x x ln ln ≤.因x x ln ，x x ln 在]2,1[上均为连续函数.则x x x x ln ,ln 在]2,1[均可导.由定积分性质可知：⎰⎰≤2121ln ln xdx x xdx x ． 4.适用范围当不等式含有定积分（或被积函数)()(x g x f ≤时），可用定积分的性质来证明或构造上限辅助函数来证明.十一、引入参数证明不等式法1.证明方法根据－将对数值不等式的证明转化为对函数不等式的证明，用微积分理论研究函数的性质，从而证明不等式.2证明方法引入参数t ，构造辅助函数0])()([2≥-⎰dx x tg x f b a ，得到关于t 的二次多项式，利用判别式0≤∆来证明不等式.3.例例12：设)(),(x g x f 在区间],[b a 上连续，证明：dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a⎰⎰⎰≤)()())()((222（柯西－许瓦茨不等式）. 分析：欲证不等式是函数)(),(22x g x f ，以及)()(x g x f 的积分不等式，引入参数t ，考虑辅助函数 2)]()([x tg x f -在区间],[b a 上的积分.证明：利用定积分的性质易知0])()([2≥-⎰dx x tg x f ba ，即0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰ba b a ba dx x f dx x g x f t dx x g t .这是关于t 的二次多项式不等式，因此，判别式：0)()(4))()((4222≤-=∆⎰⎰⎰ba b a b a dx x g dx x f dx x g x f ，即： dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰≤)()())()((222． 4.适用范围当积分式含有平方项)(2x f ，或)(2x f '的情形.。