北京市2014年高考考试说明及样题(数学文)

Ⅰ．试卷结构全卷包括两部分：一、选择题，二、非选择题．全卷20题，分为选择题、填空题和解答题三种题型．选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出计算过程或证明过程；解答题包括计算题、证明题、应用题等，要求写出文字说明、演算步骤或证明过程．三种题型的题目个数分别为8、6、6；分值分别为40、30、80．试卷由容易题、中等难度题和难题组成，并以中等难度题为主，总体难度适当．Ⅱ．考试内容及要求一、考核目标与要求数学科高考注重考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及分析问题和解决问题的能力．根据普通高等学校对新生文化素质的要求，依据教育部2003年颁布的《普通高中课程方案（实验）》和《普通高中数学课程标准（实验）》，以及《北京市普通高中新课程数学学科教学指导意见和模块学习要求（试行）》，确定必修课程、选修课程系列1的内容为文史类高考数学科的考试内容．关于考试内容的知识要求和能力要求的说明如下：1．知识要求对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，分别用A,B,C,D表示，且高一级的层次要求包括低一级的层次要求．了解、理解、掌握是对知识的基本要求（详见考试范围与要求层次），灵活和综合运用不对应具体的考试内容．（1）了解（A）：对所列知识内容有初步的认识，会在有关的问题中识别和直接应用．（2）理解（B）：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用所列的知识解决简单问题．（3）掌握（C）：对所列的知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有关问题．（4）灵活和综合运用（D）：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决比较综合的问题．2．能力要求能力是指空间想像能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及分析问题和解决问题的能力．（1）空间想像能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变形．（2）抽象概括能力：能在对具体的实例抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或作出新的判断．（3）推理论证能力：会根据已知的事实和已获得的正确数学命题，来论证某一数学命题的正确性．（4）运算求解能力：会根据概念、公式、法则正确地对数、式、方程、几何量等进行变形和运算；能分析条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计，并能近似计算．（5）数据处理能力：会依据统计中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题．（6）分析问题和解决问题的能力：能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科，生产、生活中简单的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述；能选择有效的方法和手段对新颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究，创造性地解决问题．3．个性品质要求考生能以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神.4．考查要求（1）对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合．（2）数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括．对数学思想和方法的考查与数学知识的考查结合进行，考查时，从学科整体意义和思想含义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧．（3）对数学能力的考查，以抽象概括能力和推理论证能力为核心，全面考查各种能力．强调探究性、综合性、应用性．突出数学试题的能力立意，坚持素质教育导向．（4）注重试题的基础性、综合性和层次性．合理调控综合程度，坚持多角度，多层次的考查．二、考试范围与要求层次1．集合与常用逻辑用语2．函数概念与指数函数、对数函数、幂函数与对数函数互为反函数（幂函数的图象及其性质3．三角函数、三角恒等变换、解三角形4．数列5．不等式6．推理与证明7．平面向量8．导数及其应用) 9．数系的扩充与复数的引入10．立体几何初步11．平面解析几何初步12．圆锥曲线与方程13．算法初步14．框图15．统计16．概率北京市2014年高考文科数学参考样题为让考生对高考试题获得一定的认识，我们从近几年高考数学（北京卷）中选择了部分试题编制成参考样题。

除部分试题之外，其他试题均有答案、说明、当年高考实测难度，参考样题与2014年高考试卷的结构、形式、测试内容、题目排序、题量、难度等均没有对应关系。

一、选择题：在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【试题1】(2006年文史类第1题)设集合{|213}A x x =+<，{|32}B x x =-<<，则A B 等于( ) A.{|31}x x -<< B.{|12}x x << C.{|3}x x >- D.{|1}x x < 【答案】A【说明】本题主要考查集合、交集的概念，一元一次不等式的解法. 本题难度为0.94【试题2】(2003年文史类第1题)设0.914y =，0.4818y =， 1.511()2y -=，则 A.312y y y >> B.213y y y >> C.123y y y >> D.132y y y >>【答案】D【说明】本题考查指数函数的概念、指数的运算和指数函数的单调性. 把1y 、2y 、3y 都化成以2为底的指数幂，得 1.812y =， 1.4412y =， 1.512y =.由函数2x y =在(,)-∞+∞上是增函数，且1.8 1.5 1.44>>，得132y y y >>. 本题难度为0.61【试题3】(2013年文史类第4题) 在复平面内，复数(2)i i -对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限【答案】A【说明】本题考查复数的代数运算以及复数代数表示的几何意义. 对应的点位于第一象限，所以选（A ）. 本题难度为0.95【试题4】(2006年文史类第2题)函数1cos y x =+的图象A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线2x π=对称【答案】B【说明】本题考查余弦函数的性质、函数的奇偶性及其图像的对称性. 本题难度为0.72【试题5】(2004年文史类第3题)设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同平面.给出下列四个命题：①若m α⊥，//n α，则m n ⊥；②若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③若//m α，//n α，则//m n ； ④若αγ⊥，βλ⊥，则//αβ.其中正确命题的序号是A.①②B.②③C.③④D.①④ 【答案】A【说明】本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系，并考查把符合语言、文字语言、图形语言进行转换的能力，以及空间想象能力. 本题难度0.71【试题6】(2012年文史类第3题) 设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） （A ）4π（B ）22π- （C ）6π（D ）44π-【答案】D【说明】本题主要考查几何概型.如图，区域D 是边长为2的正方形及其内部，区域D 中的点Q 到原点距离大于2当且仅当点Q 在阴影区域内.所求概率为阴影区域面积与正方形面积的比值，等于44π-.故选D. 本题难度为0.78【试题7】(由2005年文史类第5题改编)从原点向圆2212270x y y +-+=作两条切线，则这两条切线所成锐角的大小为Ａ．π6 Ｂ．4π Ｃ．3π Ｄ．512π【答案】C【说明】本题主要考查圆的方程、圆的切线的性质，考查数形结合的思想方法.把圆的方程化为22(6)9x y +-=，可知该圆圆心坐标为(0,6)，半径为3.依题意作出图形(如图)，即可求AOB ∠.在Rt BOC ∆中，由于||3BC =，||6OC =，故3AOB π∠=.【试题8】(2011年文史类第7题) 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 （A ） 60件 （B ）80件 （C ）100件 （D ）120件 【答案】B【说明】本题主要考查了数学应用意识和实践能力，考查了分析问题和解决问题的能力.设平均到每件产品的生产准备费用之和为y ，则8001208x y x =+⋅≥=， 当且仅当8008xx =，即80x =时，y 取得最小值.故选B. 本题难度为0.62【试题9】(2011年文史类第6题) 执行如图所示的程序框图， 若输入A 的值为2，则输出P 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5【答案】C【说明】执行过程为3111,1;2,;3,;26P S P S P S ======111254,26412P S ==+=>,所以输出P 的值为4. 本题难度为0.88【试题10】(2012年文史类第7题) 某三棱锥的三视图如图所示， 该三棱锥的表面积是（ ）（A）28+ （B）30+ （C）56+（D ）60+【答案】B 【说明】本题主要考查三视图及阅读能力，在从三视图还原直观图的过程中考查考生空间想象能力、逻辑推理和计算能力.根据题目条件，三棱锥P-ABC 的直观图如右图所示，其中△PCA 和Rt △ACB 的面积都是(23)4102+⨯=. 在Rt △PP ’A,Rt △PP ’C 中分别求得=,5PC AC ===.因此Rt △PCB 的面积为54102⨯=，等腰△ACP 中底边PA 上的 高CM=2PCA S PA ==△. 在Rt △BCM中，6BM ==.由于Rt △ACB 与Rt △PCB 全等，故AB=PB,于是等腰△PBA面积为·2PA BM=.故三棱锥表面积为.故选B. 本题难度为0.65【试题11】(2006年文史类第5题)已知(3)4(1)()log (1)aa x a x f x x x --<⎧=⎨⎩…是(,)-∞+∞上的增函数，那么a 的取值范围是 A.(1,)+∞ B.(,3)-∞ C.3[,3)5D.(1,3)【答案】D【说明】本题以分段定义函数为载体，考查函数单调性的概念以及一次函数及对数函数的性质.函数()f x 在(,1)-∞内为增函数的条件是30a ->.函数()f x 在[1,)+∞内为减函数的条件是1a >.要使()f x 是(,)-∞+∞上的增函数，还应有(3)14log 1a a a -⋅-….由上可解得13a <<. 本题难度为0.68【试题12】(2006年文史类第8题)图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A 、B 、C 的机动车辆数如图所示，图中1x 、2x 、3x 分别表示该时段单位时间通过路段AB 、BC 、CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则 A.123x x x >> B.132x x x >> C.231x x x >> D.321x x x >>【答案】C【说明】本题是一道以环岛交通流量为背景的应用题，主要考查方程的思想和不等式的性质，对阅读理解能力以及在新颖的情境中选择和建立适当的数学模型的能力等都有一定要求.依题意，可有122331203035305550x x x x x x-+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩，于是可得231x x x >>.本题难度为0.47【试题13】(2009年文史类第8题)设D 是正123PP P ∆及其内部的点构成的集合，点0P 是123PP P ∆的中心，若集合0{|,||||,1,2,3}i S P P D PP PP i =∈=…，则集合S 表示的平面区域是 A ．三角形区域 B ．四边形区域 C ．五边形区域D ．六边形区域【答案】D 【说明】本题主要考查数形结合的思想方法，考查综合应用所学知识选择有效的方法和手段对新颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究，创造性地解决问题的能力.如图，作线段01P P 的中垂线MN ，则在直线MN 的下方(包括线上)的点满足01||||PP PP ….同样，作02P P 、03P P 的中垂线，得到集合S 表示的平面区域是如图的六边形区域.本题难度为0.32二、填空题：把答案填在题中横线上.【试题14】(2008年测试题改编)口袋中有形状大小都相同的4只小球，其中有2只红球2只黄球，从中依次不放回地随机摸出2只球，那么2只都是黄球的概率为 ；2只球颜色不同的概率为 【答案】1623【说明】本题主要考查随机事件的概率及性质，考查古典概型的概率求解方法.由于基本事件的总数为12，2只都是黄球的事件包含的基本事件的个数为2，2只球颜色不同的事件包含的基本事件的个数为8，因此2只都是黄球的概率为16；2只球颜色不同的概率为 23【试题15】(2006年文史类第13题)在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则::a b c = ，B ∠的大小是 【答案】5:7:83π【说明】本题主要考查正弦定理、余弦定理.由正弦定理得::a b c =5:7:8，由余弦定理得1cos 2B =，所以3B π∠=.本题难度为0.66【试题16】(2013年文史类第11题) 若等比数列{}n a 满足243520,40a a a a +=+=，则公比q =__________;前n 项n S =_____.【答案】2，122n +-【说明】本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式.由于3524a a q a a +=+=2，22411(1)1020a a a q q a +=+==，所以12a =，11(1)2(21)221n n n n a q S q +-==-=--. 本题难度为0.77【试题17】(2012年文史类第13题) 已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为 ；DE DC ⋅的最大值为 .【答案】 1 1【说明】本题主要考查平面向量的概念和运算.记DE 与DA 的夹角为θ.则·=|DE|1cos |DA |1DE CB θ⨯⨯==,·=|DE|1cos()|DE |sin |AE |12DE DC πθθ⨯⨯-=⨯=≤,当4πθ=，即E 与B 重合时，·DE DC 达到最大值1.本题也可以运用向量的几何意义来考虑，由于·DE CB 为向量DE 在单位向量CB 方向上的投影，·DE DC 为向量DE 在单位向量DC 方向上的投影.因此，·DE CB =1，·DE DC 的最大值为1.本题难度为0.52【试题18】(2008年文史类第13题)如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C 、、的坐标分别为(0,4)(2,0)(6,4)、、，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '=【答案】2 2-【说明】本题主要考查函数的概念和导数的几何意义.根据函数()f x 的图像可知(0)4f =，(4)2f =，因此((0))(4)2f f f ==.由导数的几何意义可知(1)f '为函数()f x 的图像在1x =处的切线斜率 直线AB 的斜率，所以40(1)202f -'==--. 本题难度为0.59【试题19】(2006年文史类第14题)已知点(,)P x y 的坐标满足条件41 x y y x x +⎧⎪⎨⎪⎩………，点O 为坐标原点，那么||PO 的最小值等于 ,最大值等于 .【说明】本题主要考查线性规划等基础知识.依题意，作出满足约束条件的平面区域，为如图所示的ABC ∆及其内部，(1,3)A 、(2,2)B 、(1,1)C ，分别求||OA 、||OB 、||OC ，并比较大小可得结论. 本题难度为0.54【试题20】(2007年文史类第13题)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于 【答案】725【说明】本题主要考查三角恒等变换、求值等基础知识.设直角三角形的短边长为x ，则由已知条件可得222(1)5x x ++=，解得3x =，从而3sin 5θ=，27cos212sin 25θθ=-=. 本题难度为0.46 【试题21】】(2010年文史类第14题) 14、如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动｡设顶点p (x ,y )的纵坐标与横坐标的函数关系是()y f x =,则()f x 的最小正周期为__________;()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积为__________｡ 说明:“正方形PABC 沿x 轴滚动”包含沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动｡ 沿x 轴正方向滚动是指以顶点A 为中心顺时针旋转,当顶点B 落在x 轴上时, 再以顶点B 为中心顺时针旋转,如此继续,类似地,正方形PABC 可以沿着x 轴负方向滚动｡【答案】4，1π+【说明】本题主要考查了函数的周期、图象、零点以及图形的面积等内容，考查学生的阅读能力、观察分析能力、图形直观能力等数学素质和学习潜能，考查学生对周期的本质理解的水平等.由题意可以画出函数()f x 在一个周期内的图象，由图象可知，()f x 的最小正周期为4.()y f x =在其两个相邻零点间的图象与轴所围成的面积是+1=+124S πππ=+⨯2.本题难度为0.24三、解答题：解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.【试题22】(2009年文史类第15题)已知函数()2sin()cos f x x x π=-. ⑴求()f x 的最小正周期；⑵求()f x 在区间[,]62ππ-上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）∵()()2sin cos 2sin cos sin 2f x x x x x x π=-==，∴函数()f x 的最小正周期为π. （Ⅱ）由2623x x ππππ-≤≤⇒-≤≤，∴sin 21x ≤≤， ∴()f x 在区间[,]62ππ-上的最大值为1，最小值为. 【说明】本题主要考查三角函数的图像及性质，考查诱导公式、二倍角的正弦公式、函数sin()y A x ωϕ=+的周期及最大值最小值.本大题难度为0.65【试题23】(2012年文史类第16题) 如图1，在Rt △ABC 中， ∠C=90°，D,E 分别是AC ，AB 上的中点，点F 为线段CD 上的一点.将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置， 使A 1F ⊥CD ，如图2.（1）求证：DE ∥平面A 1CB; （2）求证：A 1F ⊥BE;（3）线段A 1B 上是否存在点Q,使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由. 【答案】（1）因为D,E 分别为AC,AB 的中点，所以DE ∥BC.又因为DE ⊄平面A 1CB,所以DE ∥平面A 1CB. （2）由已知得AC ⊥BC 且DE ∥BC,所以DE ⊥AC.所以DE ⊥A 1D,DE ⊥CD.所以DE ⊥平面A 1DC.而A 1F ⊂平面A 1DC,所以DE ⊥A 1F.又因为A 1F ⊥CD,所以A 1F ⊥平面BCDE.所以A 1F ⊥BE （3）线段A 1B 上存在点Q,使A 1C ⊥平面DEQ.理由如下：如图， 分别取A 1C,A 1B 的中点P,Q,则PQ ∥BC.又因为DE ∥BC,所以DE ∥PQ.所以平面DEQ 即为平面DEP. 由（2）知DE ⊥平面A 1DC,所以DE ⊥A 1C.又因为P 是等腰三角形DA 1C 底边A 1C 的中点，所以A 1C ⊥DP,所以A 1C ⊥平面DEP,从而A 1C ⊥平面DEQ. 故线段A 1B 上存在点Q,使得A 1C ⊥平面DEQ.【说明】本题主要考查直线与直线、直线与平面平行、垂直的位置关系.要求文科考生能清晰分辨图形折叠前后线面的对应关系，证明逻辑清楚，推理严密.考查空间想象能力、逻辑思维能力.本大题难度为0.55【试题24】(2011年文史类第16题)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树，乙组记录中有数据模糊，无法确认，在图中以X 表示。