初中数学基础知识点第二章实数

初中数学基础知识点第二章实数

第二章实数

2.1平方根的有关概念

考点一：算术平方根

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根(有些同学容易弄混，所以直接可以理解为，一个非负数开平方出来，其中的正数就是算术平方根，例：+-√36=+-6，其中6就是算术平方根，+-6整体就是平方根)

注意：1. 0的算术平方根是0 ①当a≧0时，a

2.√a≧0（a≧0）；（√a）2=a（a≧0）；√a2=|a|= ②当a<0时，-a（紫色是一起的，分为两种情况）

考点二：平方根

1. 概念：若果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果x2=a，那么x叫做a的平方根，记作+-√a（a≧0）（有些同学容易弄混，所以直接可以理解为，一个非负数开平方出来，其中的正数就是算术平方根，例：+-√36=+-6，其中6就是算术平方

根，+-6整体就是平方根）

2. 平方根的性质：一、正数有两个平方根，它们互为相反数

二、0的平方根是0

三、负数没有平方根

注意：一、根号下面的整体必须大于等于0（例子：√x-3（根号下x-3）中隐含着x-3≧0，）

考点三：开平方

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

2.2立方根的有关概念

考点一：立方根

1. 概念：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或者三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作3 √a，读作“三次根号a”

2. 立方根的性质：①正数只有一个正立方根

②负数只有一个负立方根

③0的立方根是0

注意：一、任何数都有立方根，而且只有一个立方根

二、若a=b，则3 √a=3 √b；若3 √a=3 √b，则a=b

三、立方根等于本身的数有0、1、-1

四、3 √-a=-3 √a 、3 √a3=a 、（3 √a）3=a

开立方的概念：求一个数a的立方根的运算叫做开立方；例：8的立方根为3 √8=2

考点二：方根中小数点的移动规律

一、在开平方的运算中，被开方数的小数点，向左（右）移动两位时，其平方根的小数点相应地向左（右）移动一位；

二、在开立方的运算中，被开方数的小数点，向左（右）移动三位时，其立方根的小数点相应的向左（右）移动一位

例：1.开立方时：3 √216=6 则3 √0.216=0.3 则3 √216000=60

2.开平方时：√36=6 则√0.36=0.6 则√3600=60

2.3实数

考点一：实数及其分类

1. 概念：有理数和无理数统称为实数

2. 分类：

考点二：实数的性质

1. 实数的相反数、倒数、绝对值、与数轴的关系、运算、运算顺序都跟前面的一样，在此不多做补充

2. 无理数小数部分的确定：

确定一个非完全平方的算术平方根的小数部分的方法：一、把这个无理数夹在相邻的两个整数之间；二、则较小的整数就是这个数的整数部分，再用无理数减去整数部分就得到它的小数部分

例：已知a，b分别是6-√13的整数部分和小数部分，则2a-b=√13

解析：因为9<13<16，所以√9<√13<√16，所以3＜√13＜4，所以6-4＜6-√13＜6-3，所以6-√13的整数部分是a=2，用6-√13减去它的整数部分2，剩下的就是小数部分；所以小数部分b=6-√13-2=4-√13，所以2a-b=√13

3.非负数概念：在实数范围内，正数和零统称为非负数。

4.非负数性质：①若两个非负数的和为0，那么这两个数一定都为0

②非负数有最小值，最小值为0

③有限个非负数之和依然为非负数

注意：1.判断一实数的属性（如有理数、无理数）应遵循：一化简，二辨析，三判

2.初中常见的无理数有三种类型：①含根号且开放开不尽的数，但切不可以认为带根号的数都是无理数

②化简后含π

③无限不循环小数，如：0.3030030003......

2.4二次根式

考点一：二次根式的有关概念和性质

1. 二次根式概念：形如√a（a≧0）的式子叫做二次根式，其中“√”叫做二次根号，二次根号下面的数叫做被开方数（注意：二次根式定义中，a≧0是定义的一个组成部分，不能省略，这样说吗，二次根号下面的必须为非负数）

2. 使二次根式有意义的条件：二次根号下面的必须为非负数

考点二：最简二次根式

1. 最简二次根式的满足条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含开得尽方的因数或因式

2. 化成最简二次根式的一般方法：①将被开方数中能开的尽方的因数或因式进行开方②化去根号下面的分母（1.如果有带分数就化成假分数；2.若果有小数就化成分数；

3.若果是多项式就先因式分解）考点三：二次根式的性质（注意下面4和5 的）

2.5二次根式的运算

考点一：二次根式的乘法（考虑根号下面的正负性）

一般地，二次根式的乘法法则是，√a*√b=√ab（a≧0，b≧0）反过来就是√ab=√a*√b利用它可以进行二次根式的化简

考点二：二次根式的乘法（考虑根号下面的正负性）

一般地，二次根式的乘法则是√a/√b=√a/b（a≧0，b>0），反过来就是√a/b=√a/√b（a≧0，b>0）,利用它进行二次根式的化简。

考点三：二次根式的加减法

一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。例子：2√6+5√6=7√6考点四：二次根式的混合运算

一、二次根式的混合运算跟实数的运算顺序一样，先乘方、后乘除、再加减，有括号的先算括号里面的

二、在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算任然适用

注意：1.被开方数不同的二次根式不能合并。

2.根号外面的系数因数必须是假分数的形式。

3.运算结果是根式的，应表示为最简二次根式。