控制工程基础第二章 数学基础
控制工程基础 第二章
( x − x0 ) 2 + ⋯⋯
x0
忽略二次以上的各项， ∆y = y − y 0
dy k = dx
x
0
∆x = x − x0
作用下， 例1.机械平移系统 求在外力 机械平移系统 求在外力F(t)作用下， 作用下 物体的运动轨迹。 物体的运动轨迹。
k
弹簧 F(t)
m
阻尼系数f
x(t)位移
阻尼器
首先确定：输入 输出x(t) 首先确定：输入F(t),输出 输出 其次： 其次：理论依据 1.牛顿第二定律 物体所受的合外力等于物 牛顿第二定律 体质量与加速度的乘积 2.牛顿第三定律 作用力等于反作用力 现在 牛顿第三定律 作用力等于反作用力,现在 我们单独取出m进行分析 进行分析， 我们单独取出 进行分析，这里不考虑重 力的影响。 力的影响。
y y0
A(x0,y0) 0 x0 x
α
y=f(x)
饱和（放大器）
A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可 平衡点， 平衡点 函数在平衡点处连续可微， 将函数在平衡点附近展开成台劳级数
dy y = f ( x) = y 0 + dx
1 d2y ( x − x0 ) + 2! dx 2 x0
第二章 控制系统的数学模型
2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 引言 微分方程的建立及线性化 传递函数 结构图 信号流图
一.数学模型 数学模型
2-1 引言
1.定义：控制系统的输入和输出之间动态关 定义： 定义 系的数学表达式即为数学模型。 系的数学表达式即为数学模型。数学模型是 分析和设计自动控制系统的基础。 分析和设计自动控制系统的基础。 2.为什么要建立数学模型：我们需要了解系 为什么要建立数学模型： 为什么要建立数学模型 统的具体的性能指标， 统的具体的性能指标，只是定性地了解系统 的工作原理和大致的运动过程是不够的， 的工作原理和大致的运动过程是不够的，希 望能够从理论上对系统的系统的性能进行定 量的分析和计算。要做到这一点， 量的分析和计算。要做到这一点，首先要建 立系统的数学模型。 立系统的数学模型。它是分析和设计系统的 依据。 依据。
第2章 控制工程的数学基础1
第2章 控制工程的数学基础拉普拉斯变换（简称拉氏变换或者L 变换）是研究控制系统的一种基本数学工具。
它是一种积分变换，它可将时域中的微分方程变换成复域中的代数方程。
利用拉氏变换求解微分方程时，初始条件将包含在微分方程的拉氏变换式中，使求解大为简化。
在控制工程中，使用微分变换的目的不仅仅是为了求解微分方程，更主要的是用它去直接分析系统及其组成的特性，基于拉氏变换和富利叶变换引进传递函数、频率特性之后，就可以不必求解微分方程，而是利用它们直接去分析、设计系统。
2.1 拉氏变换2.1.1 拉氏变换的定义设函数)(t f 当0≥t 时有定义，而且积分⎰+∞-0)(dt e t f st在复参量s 的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为dt e t f s F st-+∞⎰=0)()( （2.1）则称（2.1）式为函数)(t f 的拉普拉斯变换式（简称拉氏变换式）。
记为)]([)(t f L s F =，)(s F 称为)(t f 的拉氏变换（或称为象函数）。
在拉氏变换定义式中，积分的下限是指-0。
因为当)(t f 在原点包含有脉冲函数或其导数时，)(t f 在0=t 是无定义的，为了确保脉冲函数或其导数包含在积分限内，定义式中积分下限约定为-0，而不再声明。
实际工程中遇到的函数)(t f 一般都能使广义积分式（2.1）收敛，所以在此不加讨论，可参见工程数学课程中的“拉氏变换的存在定理”。
2.1.2 几种常用函数的拉氏变换1. 单位脉冲函数单位脉冲函数又称δ函数，它是一个脉冲面积为1，在0=t 时出现无穷跳变的特殊函数，其数学表达式为()⎩⎨⎧=∞≠=000t t t δ 并且 ()⎰∞+∞-=1dt t δ （2.2）根据拉氏变换的定义（2.1）式，并利用性质：⎰+∞∞-=)0()()(f dt t t f δ，有()[]()⎰+∞-=dt e t t L st δδ()()100=====-+∞∞--+∞-⎰⎰-t stst st e dt e t dt e t δδ单位脉冲函数的拉氏变换为()[]1=t L δ （2.3）2. 单位阶跃函数单位阶跃函数的数学表达式为()()⎩⎨⎧≥<==01001t t t t f （2.4）根据拉氏变换的定义（2.1）式，有t()[]sse dt e t L stst1110=-==+∞-∞+-⎰这种函数的拉氏变换是()[]st L 11=（2.5） 3. 单位斜坡函数单位斜坡函数的数学表达式为()()⎩⎨⎧≥<=⋅=001t t t t t t f （2.6）根据拉氏变换的定义（2.1）式，有()[]⎰⎰∞+--∞+-+∞+-==0010dt e s e st dt te t f L stst st21s =这种函数的拉氏变换是()[]21st f L =（2.7） 4. 指数函数指数函数的数学表达式为()⎩⎨⎧≥<=-000t et t f tα （2.8）其中α为常数。
《控制工程基础》电子教案
《控制工程基础》电子教案第一章：绪论1.1 课程介绍了解《控制工程基础》的课程目标和重要性掌握课程的主要内容和预期学习成果1.2 控制系统的基本概念解释控制系统的定义和作用了解控制系统的分类和基本组成第二章：数学基础2.1 线性代数基础复习向量、矩阵和行列式的基本运算掌握线性方程组的求解方法2.2 微积分基础复习函数、极限和导数的基本概念学习微分和积分在控制系统中的应用第三章：线性时不变系统3.1 系统的描述学习系统的状态空间表示和传递函数理解系统输入、输出和状态之间的关系3.2 系统的性质掌握系统的稳定性、可观性和可控性学习系统矩阵的特征值和特征向量第四章：反馈控制系统4.1 反馈控制原理理解反馈控制系统的结构和原理学习闭环系统的传递函数和稳定性分析4.2 控制器设计掌握PID控制器和比例积分微分控制器的设计方法学习控制器参数调整和优化第五章：非线性控制系统5.1 非线性系统的描述学习非线性系统的状态空间表示和传递函数理解非线性系统输入、输出和状态之间的关系5.2 非线性控制方法掌握非线性控制系统的分析和设计方法学习非线性控制器的设计和实现第六章：根轨迹法6.1 根轨迹的基本概念理解根轨迹的定义和作用学习根轨迹的绘制方法和规则6.2 根轨迹的设计与应用掌握根轨迹的设计原则和技巧学习根轨迹在控制系统分析和设计中的应用第七章：频率响应法7.1 频率响应的基本概念理解频率响应的定义和作用学习频率响应的测量和分析方法7.2 频率响应的设计与应用掌握频率响应的设计原则和技巧学习频率响应在控制系统分析和设计中的应用第八章：数字控制系统8.1 数字控制系统的概述理解数字控制系统的定义和特点学习数字控制系统的结构和原理8.2 数字控制器的设计掌握数字控制器的设计方法和算法学习数字控制器参数调整和优化第九章：状态空间法的应用9.1 线性时不变系统的状态观测器设计学习状态观测器的定义和作用掌握状态观测器的设计方法和算法9.2 线性时不变系统的状态反馈控制器设计理解状态反馈控制器的定义和作用学习状态反馈控制器的设计方法和算法第十章：控制系统的设计实践10.1 控制系统设计的一般流程掌握控制系统设计的基本步骤和方法学习控制系统设计的注意事项和经验10.2 控制系统设计案例分析分析典型控制系统的应用案例学习控制系统设计中的问题和解决方案重点解析一、绪论：理解控制系统的基本概念和重要性，掌握课程的主要内容。
控制工程基础_第二章(2017)
时，
R F (s) s
18
例 求单位斜坡函数f(t)=t的拉氏变换。 f (t )
单位斜坡函数如图（b） 所示，定义为
0 t 0 f (t ) t t 0
解：利用定义式，可得
O
t
（b）单位斜坡函数
F (s)
0
1 1 st 1 1 st 1 st t e dt t ( e ) e dt 0 e 2 0 0 s s s s 0 s
12
二．举例
1．机械系统的微分方程式
机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的。它们之间的区 别在于前者施加的力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生 的是转角。
牛顿定律和虎克定律等物理定律是建立机械系统数学模型的基础
c1 m c2 xo xi
例1（1）如图所示机械系统。求其微分方程，图中Xi 表示输入位移，Xo 表示输出位移，假设输出端无负 载效应。（c、c1、c2为阻尼系数，k1、k2为弹性系数） 由牛顿定律有： 化为标准式得：
st
例 求单位脉冲函数的拉氏变换。 单位脉冲函数如图（c）所示。定义为
0 t 0 且 (t ) t 0
0
f (t )
(t )
O
0
(t )dt 1
0
t
F ( s) (t )e st dt (t )e st dt (t )e st dt f (0) e st
图c
14
（4）机械旋转系统 图中所示转动惯量为J的转子与弹性系数为k的弹性轴和阻尼 系数为B的阻尼器连接。假设外部施加扭矩m(t),则系统产生一个 偏离平衡位置的角位移(t) 。研究外扭矩m(t)和角位移(t)的关系。
控制工程基础第二章
1 i
c
c
第二章 控制系统的数学模型
2-3 典型环节及其传递函数
环节：具有某种确定信息传递关系的元件、元件 组或元件的一部分称为一个环节。 系统传递函数可写为：
G( s)
K ( i s 1) ( s 2 j j s 1)
2 2 j
b
c
s
(T s 1) (T
max
u (t )
U ( s) E G( s) Kp (s) max
第二章 控制系统的数学模型
一对与上面相同的电位器可以组成误差检测器。
u (t ) u1 (t ) u2 (t ) K p (1 (t ) 2 (t )) K p (t )
U ( s) G ( s) Kp ( s )
fms
M m J m s 2m (s) f msm (s)
m ( s) Cm Km 2 U a ( s) J m s ( f m C ) s s(Tm s 1)
第二章 控制系统的数学模型
绳轮传递 ：
L(s) rm (s)
测量电位计 ：
m (s)
r
L(s)
I 2 (s) U1 (s)Cs
U1(s)
CS
I2(s)
U1 (s) U r (s) Uc (s)
Ur(s) +
U1(s) Uc(s)
第二章 控制系统的数学模型
将上面的各环节（元件）的部分综合有：
Ur(s) +
U1(s) -
1 R1
Cs
I1(s) I(s) R2 + + I2(s)
Uc(s)
《控制工程基础》电子教案
《控制工程基础》电子教案第一章：绪论1.1 课程介绍解释控制工程的定义、目的和重要性概述控制工程的应用领域和学科范围1.2 控制系统的基本概念介绍控制系统的定义和组成解释输入、输出、反馈和控制器的概念1.3 控制工程的历史和发展回顾控制工程的发展历程和重要里程碑讨论现代控制工程的挑战和发展趋势第二章：数学基础2.1 线性代数介绍矩阵、向量的基本运算和性质讲解线性方程组的求解方法2.2 微积分复习微积分的基本概念和公式讲解导数和积分的应用2.3 离散时间信号介绍离散时间信号的定义和特点讲解离散时间信号的运算和处理方法第三章：连续控制系统3.1 连续控制系统的概述介绍连续控制系统的定义和特点解释连续控制系统的应用领域3.2 传递函数讲解传递函数的定义和性质介绍传递函数的绘制和分析方法3.3 控制器设计讲解PID控制器和模糊控制器的原理和方法讨论控制器设计的考虑因素和优化方法第四章：离散控制系统4.1 离散控制系统的概述介绍离散控制系统的定义和特点解释离散控制系统的应用领域4.2 差分方程和离散传递函数讲解差分方程的定义和求解方法介绍离散传递函数的定义和性质4.3 控制器设计讲解离散PID控制器和模糊控制器的原理和方法讨论控制器设计的考虑因素和优化方法第五章：状态空间方法5.1 状态空间模型的概述介绍状态空间模型的定义和特点解释状态空间模型的应用领域5.2 状态空间方程讲解状态空间方程的定义和求解方法介绍状态空间方程的稳定性分析5.3 状态控制器设计讲解状态控制器的原理和方法讨论状态控制器设计的考虑因素和优化方法第六章：频域分析6.1 频率响应介绍频率响应的定义和作用讲解频率响应的实验测量方法6.2 频率特性分析系统频率特性的性质和图形讨论频率特性对系统性能的影响6.3 滤波器设计讲解滤波器的基本类型和设计方法分析不同滤波器设计指标的选择和计算第七章：数字控制系统7.1 数字控制系统的概述介绍数字控制系统的定义和特点解释数字控制系统的应用领域7.2 数字控制器设计讲解Z变换和反变换的基本原理介绍数字PID控制器和模糊控制器的设计方法7.3 数字控制系统的仿真与实现讲解数字控制系统的仿真方法和技术讨论数字控制系统的实现和优化第八章：非线性控制系统8.1 非线性系统的概述介绍非线性系统的定义和特点解释非线性系统的应用领域8.2 非线性模型和分析方法讲解非线性系统的建模方法和分析技术分析非线性系统的稳定性和可控性8.3 非线性控制策略讲解非线性PID控制器和模糊控制器的原理和方法讨论非线性控制策略的设计和优化第九章：鲁棒控制9.1 鲁棒控制的概述介绍鲁棒控制的定义和目的解释鲁棒控制在控制工程中的应用领域9.2 鲁棒控制设计方法讲解鲁棒控制的基本设计和评估方法分析不同鲁棒控制策略的性能和特点9.3 鲁棒控制在实际系统中的应用讲解鲁棒控制在工业和航空航天等领域的应用案例讨论鲁棒控制在实际系统中的挑战和限制第十章：控制系统的设计与实践10.1 控制系统的设计流程讲解控制系统设计的基本流程和方法分析控制系统设计中的关键环节和技术选择10.2 控制系统实践案例分析不同控制系统实践案例的设计和实现过程讲解控制系统实践中的注意事项和优化方法10.3 控制系统的发展趋势讨论控制系统未来的发展方向和挑战分析新兴控制技术和方法在控制系统中的应用前景重点和难点解析重点环节1：控制系统的基本概念和组成控制系统定义和组成的理解输入、输出、反馈和控制器的相互作用重点环节2：传递函数和控制器设计传递函数的定义和性质PID控制器和模糊控制器的设计方法和应用重点环节3：差分方程和离散传递函数差分方程的求解方法离散传递函数的定义和性质重点环节4：状态空间模型的建立和分析状态空间方程的定义和求解状态空间模型的稳定性和可控性分析重点环节5：频率响应和滤波器设计频率响应的实验测量和分析滤波器设计方法和应用重点环节6：数字控制系统和控制器设计Z变换和反变换的应用数字PID控制器和模糊控制器的设计方法重点环节7：非线性系统的建模和控制策略非线性系统的建模方法非线性控制策略的设计和优化重点环节8：鲁棒控制的设计和评估鲁棒控制的基本设计和评估方法鲁棒控制策略的性能和特点重点环节9：控制系统的设计流程和实践案例控制系统设计的基本流程和方法控制系统实践案例的设计和实现过程重点环节10：控制系统的发展趋势和新兴技术控制系统未来的发展方向新兴控制技术和方法在控制系统中的应用前景本教案涵盖了控制工程基础的十个重点环节，包括控制系统的基本概念和组成、传递函数和控制器设计、差分方程和离散传递函数、状态空间模型的建立和分析、频率响应和滤波器设计、数字控制系统和控制器设计、非线性系统的建模和控制策略、鲁棒控制的设计和评估、控制系统的设计流程和实践案例以及控制系统的发展趋势和新兴技术。
控制工程基础第二章-2
§2-2 拉氏变换及反变换 卷积定理
L f (t ) g(t ) F ( s)G( s)
其中，f(t)g(t)表示函数f(t)和g(t)的卷积。 若t<0时， f(t)＝g(t)＝0，则f(t)和g(t)的卷积可 表示为：
f (t ) * g(t ) f (t ) g( )d f ( ) g(t )d
0 0
f(t) 1
0 1 s lim (1 e ) 单位脉冲函数 0 s s 1 ( 1 e ) s lim (1 e ) lim 由洛必达法则： 0 s 0 ( s ) e s 1 所以： L (t ) lim [e
at
] e e
0
e dt dt
0 t
st
( s a )t
1 , (Re(s a ) 0) sa
指数函数
第二章 控制系统的数学模型
§2-2 拉氏变换及反变换 正弦函数与余弦函数 (sinusoidal & cosine function)
0
st e df ( t ) e st f (t )e dt f (t ) 0 dt s 0 dt s
st
f (0) 1 df (t ) L 即： F ( s ) s s dt
第二章 控制系统的数学模型
§2-2 拉氏变换及反变换
F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数， 它是一个复变函数；f(t)称为F(s)的原函数； L为拉氏变换的符号。
第二章 控制系统的数学模型
§2-2 拉氏变换及反变换
2.2 几种典型函数的拉氏变换
控制工程基础：第二章 控制系统的数学模型及传递函数
用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统； 如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时 变系统。
线性系统的重要性质是可以应用叠加原理:
（1）多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入 单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出 亦增大同样的倍数。
一、 拉氏变换的定义
§2.2 拉普拉斯积分变换
1. 拉氏变换的定义
如果有一个以时间t为自变量的实函数f (t),
它的定义域是t 0，那么函数f (t)的拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
复变量：s j
原函数： f (t) 象函数： F (s)
F(s) L[ f (t)]
(6)式即为二阶常系数线性微分方程。
四、小结：
§2.1系统运动微分方程的建立
（1）物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。
机械平移动力学系统:
d2 m dt2
xo
(t
)
B
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
电网络系统:
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
L[Ax1(t) Bx2 (t)] AX1(s) BX 2 (s)
2. 微分定理和积分定理
（1）微分定理
在所有初始条件均 为零时
L[ df (t)] sF (s) dt
L[ f (t)] F(s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t)] s 2 F (s) sf (0) f (0) dt 2
控制工程基础董景新第四版
控制工程基础董景新第四版简介《控制工程基础董景新第四版》是董景新教授所著的一本控制工程入门教材，通过全面介绍控制工程的基本概念、基本理论和基本方法，帮助读者建立起对控制工程的基础知识和基本技能的理解和掌握。
内容第一章：引言本章主要介绍控制工程的基本概念和发展历程，为后续章节的学习奠定基础。
首先对控制系统和控制工程的定义进行了阐述，并介绍了控制工程的主要任务和发展方向。
其次，对控制系统的分类进行了介绍，包括开环控制系统和闭环控制系统。
最后，介绍了控制系统的相关术语和符号，为后续章节的学习做好铺垫。
第二章：数学基础本章主要介绍控制工程所需要的数学基础知识。
首先介绍了常见的数学函数和符号，包括常用数学函数、求和符号、积分符号等。
其次，介绍了常用的数学运算法则，包括加法、乘法、指数运算等。
最后，介绍了常见的数学方程和常用的数学方法，包括线性方程组、矩阵运算、微积分等。
第三章：信号与系统本章主要介绍信号与系统的基本概念和分析方法。
首先介绍了信号的定义和分类，包括连续信号和离散信号、周期信号和非周期信号。
其次，介绍了信号的表示与分解方法，包括傅里叶级数和傅里叶变换。
最后，介绍了系统的定义和分类，包括线性系统和非线性系统、因果系统和非因果系统。
同时，介绍了系统的时域分析方法和频域分析方法。
第四章：传递函数与系统响应本章主要介绍传递函数和系统的响应特性。
首先介绍了传递函数的定义和性质，包括零极点分布和传递函数的单一性。
其次，介绍了系统的稳定性和系统的稳定判据，包括极点位置的判断和Nyquist判据。
最后，介绍了系统的时域响应和频域响应，包括单位冲击响应、单位阶跃响应、频率响应等。
第五章：控制系统的稳定性分析本章主要介绍控制系统的稳定性分析方法。
首先介绍了控制系统的稳定性的概念和判据，包括极点位置的判断和Nyquist稳定性判据。
其次，介绍了控制系统的根轨迹法和频率响应法，用于稳定性分析和设计。
最后，介绍了控制系统的相角裕度和增益裕度的概念和计算方法。
《控制工程基础》电子教案
《控制工程基础》电子教案第一章：绪论1.1 课程介绍了解控制工程的概念、内容和研究方法理解控制工程在工程实践中的应用和重要性1.2 控制系统的基本概念定义系统、输入、输出和反馈区分开环系统和闭环系统1.3 控制工程的目标掌握稳定性、线性、非线性和时变性等控制系统的特性学习控制系统的设计方法和步骤第二章：数学基础2.1 线性代数基础掌握向量、矩阵和行列式的基本运算学习线性方程组和特征值、特征向量的求解方法2.2 微积分基础复习极限、连续性和微分、积分的基本概念和方法应用微积分解决实际问题2.3 复数基础了解复数的概念、代数表示法和几何表示法学习复数的运算规则和复数函数的性质第三章：控制系统分析3.1 传递函数定义传递函数的概念和性质学习传递函数的绘制和解析方法3.2 频率响应分析理解频率响应的概念和特点应用频率响应分析方法评估系统的性能3.3 根轨迹分析掌握根轨迹的概念和绘制方法分析根轨迹对系统稳定性的影响第四章：控制系统设计4.1 控制器设计方法学习PID控制器的设计原理和方法了解模糊控制器和神经网络控制器的设计方法4.2 控制器参数调整掌握控制器参数调整的目标和方法应用Ziegler-Nichols方法和频域方法进行参数调整4.3 系统校正和优化理解系统校正的概念和目的学习常用校正方法和优化技术第五章：现代控制理论5.1 状态空间描述了解状态空间的概念和表示方法学习状态空间方程的求解和状态反馈控制5.2 状态估计和最优控制掌握状态估计的概念和方法学习最优控制的目标和求解方法5.3 鲁棒控制和自适应控制理解鲁棒控制的概念和特点了解自适应控制的设计方法和应用场景第六章：线性系统的稳定性分析6.1 稳定性的定义和性质理解系统稳定性的概念和重要性学习稳定性分析的基本方法6.2 劳斯-赫尔维茨准则掌握劳斯-赫尔维茨准则的原理和应用应用劳斯-赫尔维茨准则判断系统的稳定性6.3 李雅普诺夫方法了解李雅普诺夫方法的原理和分类学习李雅普诺夫第一和第二方法判断系统的稳定性第七章：线性系统的控制器设计7.1 控制器设计概述理解控制器设计的目标和重要性学习控制器设计的基本方法7.2 PID控制器设计掌握PID控制器的设计原理和方法应用PID控制器进行系统控制7.3 状态反馈控制器设计了解状态反馈控制器的设计原理和方法学习状态反馈控制器的设计和应用第八章：非线性控制系统分析8.1 非线性系统概述理解非线性系统的概念和特点学习非线性系统分析的基本方法8.2 非线性系统的描述方法学习非线性系统的数学模型和描述方法应用非线性系统分析方法研究系统的性质8.3 非线性控制系统的应用了解非线性控制系统在工程实践中的应用学习非线性控制系统的设计和优化方法第九章：鲁棒控制理论9.1 鲁棒控制概述理解鲁棒控制的概念和重要性学习鲁棒控制的基本方法9.2 鲁棒控制设计方法掌握鲁棒控制设计的原则和方法应用鲁棒控制设计方法设计控制器9.3 鲁棒控制在控制系统中的应用了解鲁棒控制在实际控制系统中的应用学习鲁棒控制在控制系统中的设计和优化方法第十章：控制系统仿真与实验10.1 控制系统仿真概述理解控制系统仿真的概念和重要性学习控制系统仿真的基本方法10.2 MATLAB控制系统仿真掌握MATLAB控制系统仿真工具的使用应用MATLAB进行控制系统仿真和分析10.3 控制系统实验了解控制系统实验的目的和重要性学习控制系统实验的方法和技巧重点和难点解析重点环节1：控制系统的基本概念和特性控制系统的基本概念，包括系统、输入、输出和反馈区分开环系统和闭环系统掌握稳定性、线性、非线性和时变性等控制系统的特性重点环节2：传递函数和频率响应分析传递函数的概念和性质，传递函数的绘制和解析方法频率响应的概念和特点，频率响应分析方法分析根轨迹对系统稳定性的影响重点环节3：控制器设计方法和参数调整控制器设计方法，包括PID控制器、模糊控制器和神经网络控制器的设计原理和方法控制器参数调整的目标和方法，应用Ziegler-Nichols方法和频域方法进行参数调整重点环节4：状态空间描述和最优控制状态空间的概念和表示方法，状态空间方程的求解和状态反馈控制状态估计和最优控制的目标和求解方法重点环节5：非线性控制系统分析和鲁棒控制理论非线性系统的概念和特点，非线性系统分析的基本方法鲁棒控制的概念和重要性，鲁棒控制的基本方法重点环节6：控制系统仿真与实验控制系统仿真的概念和重要性，控制系统仿真的基本方法MATLAB控制系统仿真工具的使用，应用MATLAB进行控制系统仿真和分析控制系统实验的目的和重要性，控制系统实验的方法和技巧全文总结和概括：本教案涵盖了控制工程基础的十个章节，主要包括控制系统的基本概念和特性、传递函数和频率响应分析、控制器设计方法和参数调整、状态空间描述和最优控制、非线性控制系统分析和鲁棒控制理论以及控制系统仿真与实验。
第2章 机电控制工程数学基础
− 1 −st e F [s ] = L[1(t )] = ∫ u (t )e dt = ∫ e dt = s 0 0
这里应用了积分学中的分部积分法， 即
∞
0
1 = s
( Re (s) > 0)
∫ udυ = uυ − ∫ υdu
二、斜坡函数（速度函数） 斜坡函数（速度函数）
1、斜坡函数表达式：
0 x(t) = At
四、 延迟性质
如图2 如图2-1-2所示，原函数沿时间轴平移τ，平移 所示，原函数沿时间轴平移τ 后的函数为f (t-τ)。该函数满足下述条件 后的函数为f (t-τ)。该函数满足下述条件 t<0时，f (t)=0 t<τ时, t<0时，f t<τ时 f (t-τ)=0若L[f(t)]= F(s)，则 (t-τ)=0若 F(s)，则
(8) 终值定理
若L[f(t)]= F(s)，且 lim f (t ) 存在，则 f (∞) = lim f (t ) = lim sF (s) t →∞ s →0
1 2 t 2
e − at
1 s3 1 s+a 1 ( s + a) 2
1 (e − at − e −bt ) (b − a)
e − at sin ωt
1 ( s + a)( s + b)
ω
(s + a) 2 + ω 2 s+a (s + a) 2 + ω 2
2
te − at
e − at cos ωt
∞
t <0 t ≥0 ≥0
x(t)=t 称为单位速度函数（单位斜坡 单位速度函数（ 单位速度函数 函数） 函数），如图2-1-1（b）所示，这种 信号表征的是匀速变化信号。如果控 制系统的实际输入大部分是随时间逐 渐增加的信号则可选用此信号作试验 信号
《控制工程基础》第二章
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-6 下图所示为一电网络系统，其输入为电压u(t)， 输出为电容器的电量q(t)，列写该系统微分方程。
L
R
解：根据克希荷夫电压定律，得
u
i
C
u(t)Ldd(ti)tR(ti)C 1i(t)dt
∵
i(t) dq(t) dt
消去中间变量i(t)，并整理得，
轴平移了时间T。 例 求f(t)＝ 1 － 1 1(t-T)的拉氏变换
TT
4. 微分定理
若L[f(t)]＝F(s)，则有L[ df ( t ) ]＝s F(s) - f(0)
初始状态为0时，L[
d
n
d
f
n
( t
t
)
dt
]＝
s
n
F(s)
第二章 系统的数学模型 2.3 拉氏变换与拉氏反变换
5. 积分定理
解： 1)明确系统的输入与输出，
f( t) k
输入—f(t) ， 输出—x(t)
m
2)进行受力分析，列写微分方程，
cx ( t) f(t) kx(t) 利用 Fma，得
图2-1
பைடு நூலகம்
m f( t ) k ( t ) x c x ( t ) m x ( t )
c· x(t)
3)整理微分方程，得
m x ( t ) c x ( t ) k ( t ) x f ( t )
本章教学大纲
1. 掌握机械、电气系统微分方程的建立方法； 2. 了解非线性方程的线性化； 3. 熟悉拉氏变换及反变换、线性定常微分方程的解法； 4. 掌握传递函数基本概念及典型环节传递函数； 5. 掌握系统传递函数方框图的化简。 教学重点：微分方程建立、传递函数概念与求法、典
《控制工程基础》课件第2章
第2章 系统的数学模型
二、建立系统微分方程的一般步骤
（1） 分析系统和组成系统的各元件（环节）的性质、
第2章 系统的数学模型
（2） 从输入端开始，按照信号的传递顺序，列写系统 各组成元件（环节）的微分方程。对于复杂的系统，不能直 接写出输入量和输出量之间的关系式时，可以引入中间变量， 依据支配系统工作的基本规律，如力学中的牛顿定律、电学 中的克希荷夫定律等，逐个列写出各元件（环节）的微分方 程。另外，在列写各元件（环节）微分方程时，应注意元件
第2章 系统的数学模型
但是，由于目前非线性系统的理论和分析方法还不很成 熟，因此对于某些非本质的非线性系统，在一定条件下可进 行线性化处理，以简化分析。线性化是指将非线性微分方程 在一定条件下近似转化为线性微分方程的过程。一般的线性 化方法是在工作点附近用切线来代替，即将非线性函数在工 作点附近展开成台劳级数，并略去高于一次的项，可得近似 的线性差分方程。上述线性化是以变量偏离预定工作点很小 的假定条件为基础的，即偏差为微量，所以有时也把上述线 性化称之为小偏差线性化。小偏差线性化的几何意义是：在 预期工作点附近，用通过该点的切线近似代替原来的曲线。
J
f
(2-18)
式中，J为等效转动惯量，f为摩擦系数。将式(2-17)、(2-18)
代入式(2-16)，得
Ua
La Ki
ddt(J
f )
Ra (J
Ki
f )
Kb
即
La J La f Ra(J f ) KbKi KiUa
(2-19)
测量环节：
第2章 系统的数学模型
U f Kn
(2-20)
第2章 系统的数学模型
线性系统满足叠加原理。叠加原理说明，两个不同的输 入同时作用于系统的响应，等于两个输入单独作用的响应之 和。因此，线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个 一个地处理，然后对响应结果进行叠加。也就是说，当有几 个输入量同时作用于系统时，可以逐个输入，求出对应的输 出，然后把各个输出进行叠加，即为系统的总输出。另外， 线性系统还有一个重要的性质，就是均匀性，即当输入量的 数值成比例增加时，输出量的数值也成比例增加，而且输出 量的变化规律只与系统的结构、参数及输入量的变化规律有 关，与输入量数值的大小是无关的。
第二章控制工程基础
的形式，则 Z1 , Z 2 , Z 3 Z m和 P 1 , P2 , P 3 Pn 为G(S)的零点和极点。
不同物理结构的系统可以有相同的传递函数。
Xi
变化曲线
0
Xo
t
方框图
Xi(s)
K
Xo(s)
二、惯性环节
微分方程
o xo Kxi Tx
传递函数
K G( s ) Ts 1
变化曲线
x0
0
方框图
Xi(s)
t
Xo(s)
K Ts+1Biblioteka 三、微分环节 微分方程
i xo Tx
传递函数
G ( s ) Ts
第二章 控制系统数学模型
§2-1 系统数学模型 §2-2 微分方程 §2-3 传递函数 §2-4 典型环节传递函数 §2-5 系统方框图
§2-1 系统数学模型
控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压 的，气动的等等，然而描述这些系统的数学模 型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关 系而抓住这些系统的共同运动规律，控制系统 的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系 统的克希霍夫定律等都是用来描述系统模型的 基本定律。
四、拉普拉斯变换
定义
Fs Lf t f t e st dt
0
f ( t )：像原 F(s)：像
《控制工程基础》课件第二章数学模型
非线性系统数学模型的线性化 ➢ 泰勒级数展开法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数 展开式为：
y
f
(x)
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
1 2!
d
2 f (x) dx2
x
x0
(x
x0
)2
1 3!
d
3 f (x) dx3
x
x0
(x
x0
)3
略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0 ) x0
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：
K
df (x) dx x x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。
y0 = f (x0)称为系统的静态方程； 由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，这种线
Raia t
La
dia t
dt
em t
电磁感应定律
em t
Ke
do t
dt
LaJo (t) LaD RaJ o (t) RaD KT Ke o (t) KTei (t)
为电枢控制式直流电动机的控制系统的动态数学模型。 当电枢电感较小时，通常可忽略不计，系统微分方程 可简化为
Ra Jo (t) Ra D KT K e o (t) KT ei (t)
b0
dm dt m
xi (t) b1
d m1 dt m1
控制工程第二章_控制系统的数学基础和数学模型
第二章控制系统的数学基础和数学模型基本要求1.掌握拉氏变换、拉氏反变换的定义、定理。
2.了解数学模型的基本概念。
能够运用动力学、电学及专业知识，列写机械系统、电网络系统的微分方程。
3.掌握传递函数的概念、特点，会求传递函数的零、极点。
4.掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理意义。
5.掌握闭环系统中前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。
掌握干扰作用下，系统传递函数的求法和特点。
6.了解传递函数框图的组成及意义；能够根据系统的微分方程，绘制系统传递函数框图，并实现简化，从而求出系统的传递函数。
7.了解相似原理的概念。
本章重点1.拉氏变换定理。
2.列写系统的微分方程。
3.传递函数的概念、特点及求法。
4.典型环节的传递函数。
5.系统的方框图及其化简。
本章难点1.列写系统微分方程。
2.系统的方框图及其化简。
∞ 2.1 拉普拉斯(L a p l a c e )变换2.1.1 拉氏变换概述1.拉氏变换的定义F (s ) = L [ f (t )] = ⎰0f (t )e -std tf (t )：原函数（实域、时间域） F (s )：象函数（s 域、复数域） s ：复变量，s=σ+j ωe - st: 拉氏算子j ω[s]σδ ( t )e -atsin ωtcos ωt2.基本函数的拉氏变换1tkttttu ( t ) r ( t )x i ( t ) k 序号原函数 f (t ) 象函数F (s )1 单位脉冲函数 δ (t ) 12单位阶跃函数 1(t ) 1 s 3 K常数k s4t 单位斜坡函数1 s2 5 tnn ! s n +16 e- at1 s + a7sin ωtω s 2 + ω 28cos ωts s 2 + ω 22.1.2 拉氏变换的主要性质1.线性性质设L [f 1(t )]=F 1(s )，L [f 2(t )]=F 2(s )，k 1，k 2为常数 ，则L [k 1 f 1 (t ) + k 2 f 2 (t )] = k 1L [ f 1 (t )] + k 2 L [ f 2 (t )]= k 1F 1 (s ) + k 2 F 2 (s )2.微分性质若L [f (t )]=F (s )，且f (0)=0，（初始条件为零）则L [ df (t )] =sF (s ) dt3.积分定理若L[f(t)]=F(s)，且初始条件为零，则L[⎰ f (t )dt ]= 1 F (s)s4.平移定理若L[[f(t)]=F(s)，]则L ⎰e-a t f (t)dt =F (s +a)5.初值定理若L[f(t)]=F(s)，则f (0+) = limt →0 f (t) = lim s ⋅F (s)s→∞∞6.终值定理若L [f (t )]=F (s )，则有f (∞) = lim t →∞f (t ) = lim s ⋅ F (s )s →07.延迟定理若L [f (t )]=F (s )，对任一正实数a ，则有L [ f (t - a )]= ⎰0f (t - a )e -st d t = e -as F (s )2.1.2 拉氏变换的主要性质1.线性性质设L [f 1(t )]=F 1(s )，L [f 2(t )]=F 2(s )，k 1，k 2为常数 ，则L [k 1 f 1 (t ) + k 2 f 2 (t )] = k 1L [ f 1 (t )] + k 2 L [ f 2 (t )]= k 1F 1 (s ) + k 2 F 2 (s )2.微分性质若L [f (t )]=F (s )，且f (0)=0，（初始条件为零）则L [ df (t )] =sF (s ) dt3.积分定理若L[f(t)]=F(s)，且初始条件为零，则L[⎰ f (t )dt ]= 1 F (s)s4.平移定理若L[[f(t)]=F(s)，]则L ⎰e-a t f (t)dt =F (s +a)5.初值定理若L[f(t)]=F(s)，则f (0+) = limt →0 f (t) = lim s ⋅F (s)s→∞∞6.终值定理若L [f (t )]=F (s )，则有f (∞) = lim t →∞f (t ) = lim s ⋅ F (s )s →07.延迟定理若L [f (t )]=F (s )，对任一正实数a ，则有L [ f (t - a )]= ⎰0f (t - a )e -st d t = e -as F (s )2.1.3拉氏反变换定义:f(t)=L-1[F(s)],将象函数变换成原函数s：复变量F(s)：象函数（s 域、复数域）f(t)：原函数（实域、时间域）2.2系统的数学模型数学模型就是描述系统的输出、输入与系统本身结构与参数之间的数学表达式。
控制工程基础第二章_第二节
T—时间常数，表征环节的惯性，和
环节结构参数有关
2014
13
惯性环节的单位阶跃响应
Xi (s) xi (t)
K Ts 1
Xo (s)
x0 (t)
1
1
0
0
t
t
输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上的延滞，延 滞时间长短与T大小有关，T越大延滞时间越长
2014
14
第二章 数学模型
如：弹簧-阻尼器环节
(n m)
当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换
可得系统传递函数的一般形式：
G(s)
X o (s) X i (s)
b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
(n m)
2014
4
第二章 数学模型
特征方程、零点和极点
特征方程
G(s)
s2
n2 2 ns
n2
,
n
1 T
n称为无阻尼固有频率。
2014
22
第二章 数学模型
如：质量-弹簧-阻尼系统
m
d2 dt 2
xo (t) C
d dt
xo (t) Kxo (t)
fi (t)
传递函数：
G(s)
ms2
1 Cs
K
T 2s2
1/ K
2 Ts 1
xo (t)
2
T
d dt
xo (t)
xo (t)
Kxi (t),
0 1
传递函数：
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故复数s也可用指数表示
s r e
j
(3)复变函数
有复数s j ,以s为自变量，按某一确定法则 构成的函数G(s)称为复变函数，G(s)可写成 G(s)=u+jv
U，v分别为复变函数的实部和虚部，在线性控制系 统中，通常遇到的复变函数G(s)是s的单值函数，对 应于s的一个给定值，G(s)就唯一地被确定。
式中：f
1
0 表示当t 0 时 f t dt的值
t 0
＝0 Ø 特别注意： 如果f 1 0
t F s 则：L f t dt 0 s
当是n重积分时，
t t F s L f t (dt ) n n 0 0 s
工程实际中的冲击等都可近似地看做脉冲函数
(2) 单位阶跃函数的拉普拉斯变换
阶跃函数的定义
0 t 0 r t A t 0 Ø 对系统输入阶跃函数就是在t=0时，给 系统加上一个恒值输入量。如左图所示
如果A＝1,称为单位阶跃函数,记为1（t），即
A
0 t 0 1t 1 t 0
L[ f 2 t ] s 2 F s sf 0 f 1 0
L[ f n t ] s n F s s n 1 f 0 s n 2 f 1 0 sf n 2 0 f n 1 0
d 2x dx dy 2 t dy t m 2 f k x a b c y t dt dt dt dt 2
u目的：将微分方程转换为代数方程（实质是将微积分 运算转换为乘除运算），使求解大大简化，是工程技术 人员常用的分析控制系统的数学方法——拉氏变换。
S j
幅角 arctan
r S 2 2
向量的长度－即模
3) 三角表示法和指数表示法
r cos r sin
因此，复数的三角表示法为： 利用欧拉公式
j
s r (cos j sin )
e cos j sin
e coswt
at
3.拉氏变换的性质
1）线性性质
Lk1 f1tk2 f2t k1L f1tk2L f2t k1F 1Sk2F 2S
例 已知 f (t ) 1 e 2t 求 f (t ) 的拉氏变换。 解：应用线性性质，则 1 1 2 F ( s ) L[ f (t )] s s 2 s ( s 2) Ø该定理表示：①常数与原函数乘积的拉氏变换等 于常数与该原函数的拉氏变换的乘积。②若干原 函数之代数和的拉氏变换等于各原函数拉氏变换 之代数和。
Ø t 函数的图形如图所示。脉冲
t
函数的积分就是阶跃函数
脉冲函数拉氏变换为:
Rs Lrt
0
0
A t e st dt
0
A t e dt A t e st dt
st
A
0
n 单位脉冲函数的拉氏变换为R(s)=1。
该函数的拉氏变换为：
A A Rs L f t A e st dt A e st | 0 ( ) 0 0 s s s
n 单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s。
(3)单位斜坡函数的拉普拉斯变换
斜坡函数也称速度函数，其定义
第二章 数学基础-拉普拉斯变换
拉氏变换与反变换
本节的重点： Ø 常见函数的拉氏变换 Ø 拉氏变换的运算规则 Ø 基于分部积分法的拉氏反变换
• 本节的难点： Ø 拉氏变换严格的数学推导与变换
问题的引入
d 2x dx m 2 f k x y t dt dt
如此时将y(t)改变为一时变作用力，那么运动状态时又如何分析呢？
脉冲函数的积分，即脉冲的面积为:
r t dt
0
如果A＝1，即面积为1的函数称为单位脉冲函数，记为 t ，即
A A lim dt lim t A 0 0 0
0 t 0 t t 0
Байду номын сангаас
(1) 单位脉冲函数的拉普拉斯变换
几个重要的拉氏变换（P34） 记住
f(t) δ(t) 1(t) t F(s) 1 1/s f(t) sinwt coswt
2
F(s) w 2 (s w 2 )
s
1s
at
e sinwt
at
e
w (s a)2 w 2
sa (s a)2 w 2
(s 2 w 2 )
1/(s+a)
2）延迟性质
如图所示，原函数沿时间轴平移a， 平移后的函数为f (t-a)。 若L[f(t)]= F(s)，则
L f (t a ) e as F ( s )
0 , 例1： 求函数 u (t ) 1 ,
解：由延迟性质得：
t t
s
的拉氏变换。
Lu (t ) e
t s 0
7）初值定理：若函数f(t)的拉氏变换为F(s)
lim f t lim sF s
t 0 s
例1： F (s)
1 s 5
5t
求 f ( )
lim f (t )不存在
t
f (t ) e
不能用终值定理
而 F (s) 1
s f () lim 0 s 0 s 5
s
L1(t ) e
s
例2：求图示方波的拉氏变换。 解：方波可表达为
例3 求右图所示函数的拉氏变换。
解：分步骤分析 （ 1）
（2 ）
（ 3）
（4）
进行拉氏变换，则有：
3）位移性质
Le
at
f t F s a
at e sin t 的拉氏变换。 例： 求 解：因为 L[sin t ] 2 s 2
1. 拉氏变换的定义
函数f(t)，t为自变量，如果线性积分 记为F(S)或L[f(t)]，即为：
L f t F S f t e st dt
0
0
f t e st dt
存在，则称其为函数 f(t)的拉普拉斯变换。
式中： S为复数，s j f(t)为原函数，F(S)为象函数
例：有复变函数G(s)=S2+1,当s＝ σ＋j ω， 求其实部u和虚部v。
G( s) s 1 ( j ) 1
2 2
j 2 1
2 2
( 2 2 1) j 2 u 1, v 2
2 2
例 已知 f (t ) sin ktdt
k 为实数，求 f (t ) 的拉氏变换。
解：根据拉氏变换的积分性质得
L f (t ) L sin ktdt
1 k L sin kt 2 2 s s(s k )
6）终值定理：若函数f(t)的拉氏变换为F(s)
lim f t lim sF s
e j cos j sin j e cos j sin
e j 2j e j 2
Lsin t sin te st dt 0 0
s Lcos t 2 s 2
e j e j st e dt 2 2j s 2
0 t0 r t At t 0 Ø 输入斜坡函数相当于对系统输入一个随 时间作等速变化的信号，如右图所示
如果A＝1，称为单位斜坡函数，如图所示 该函数的拉氏变换为：
分部积分法
1
Rs L f t
A 2 s
0
A st Ae st 1 st )dt 0 Ae dt At e dt t e | 0 0 ( s s s 0
拉式变换及反变换是线性工程系统动态分析的 基本数学方法
第一节 复数和复变函数
(1) 复数的概念
x2 1 0 由于解方程的需要，人们引进一个新数j, 称为虚单 位，并规定 2 j 1
从而j是方程 x 2 1 0 的一个根。
对于任意二实数σ, ω， s j 称为复数，其中 σ, ω分别称为s的实部和虚部，记作
Re ( z ) I m ( z )
当σ=0 时, s j 称为纯虚数； 当ω=0时, s 0 j s就是实数。
• 要注意复数与实数有一些不同, 如:两个复 数相等,必须它们的实部和虚部分别相等。 一般说来，任意两个复数不能比较大小。
共轭复数 • 实部相同而虚部正负号相反的两个复数称为 共轭复数。 s j 的共轭复数为 s j (2) 复数的表示方法： 1)点表示法 2)向量表示法
式中：f 0 , f 1 0 , , f n 1 0 为函数f t 及各阶导数在 t 0时的值。
Ø 特别注意： 如果f 0 ＝f
1
0 ＝＝f 0 ＝0
n 1
则：L f n t s n F s
由于 s ja 是 sF ( s) 的奇点，位于虚轴上，不能 应用终值定理，既 f ( ) 不存在。 注意：当 f (t ) 是周期函数，如正弦函数sinω t 时，由于它 没有终值，故终值定理不适用。
第三节 拉氏反变换及其数学方法
由象函数F(s)求原函数f(t)称拉氏反变换，用 L1[ F s ] 表示， 数学定义为：