控制工程基础第2章答案资料

第2章系统的数学模型(习题答案)

2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？

解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。

2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？

解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。

2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程, 图中x i表示输入位移, x o表示输出位移, 假设输出端无负载效应。

题图2.3

解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得

整理得

将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得

[]

于是传递函数为

②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。引出点处取为辅助点B。则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：

消去中间变量x，可得系统微分方程

对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为

③图(c)：以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：

移项整理得系统微分方程

对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即

则系统传递函数为

2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。

+-+-

C

)

(t u r )

(t u c )

(t r )

(t x c f

1

k 2

k C

R

)

(t u r )

(u c +-

+-

f

)

(t r )

(t x c )(a )

(b )

(c )

(d R 2R

题图2.4

【解】：)(a

方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：

⎪⎩⎪⎨

⎧=+=⎰i R u u dt i C u c

c r 1

消去中间变量，整理得：

dt

du RC u dt du RC

r

c c =+

方法二：

dt

du RC u dt du RC

RCs RCs Cs

R R s U s U r

c c r c =+⇒+=

+

=

1

1

)

()

( 由于无质量，各受力点任何时刻均满足∑=0F ，则有：

c

c r kx dt dx

dt dx f =-)(dt

dx k f x dt dx k f r

c c =

+⇒

()r r c c r c u dt

du

C R u dt du C R R Cs R R Cs R Cs R R Cs

R s U s U +=++⇒+++=+++

=2212122

12)(1111)()( 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程

r r

c c a

a c a r c r x dt

dx k f x dt dx f k k k k dt dx f x x k x x k x x k +=++⇒⎪⎩

⎪

⎨⎧=--=-22121221)()()( 结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。四个系统均为一阶系统。

2.5试求下图（题图2.5）所示各电路的传递函数。

)

(t +

_

1

R +

+

_

_

u )

1

R +

+

u )

_

_

)

(

a +

+

_

_

C u )

)

(b )

(c )

(d

题图2.5

【解】：可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数。

(a)

1

21221222

2212)()(1//)1(//)1

(

)()(R s L C R R LCs R R s LCR R Cs

R Ls R Cs R Ls

R Cs s U s U r c ++++=+⨯+++= (b)

1)(1)(1)1//(1

//

1)()(2122112

2121221122121221111+++++++=++-=s C R C R C R s C C R R s C R C R s C C R R s

C R s C R s

C R s U s U r c (c) 2

1212122

12)()//(1)

//(1

)()(R R s L C R R LCs R Ls R Ls R Cs

R Ls R Cs s U s U r c +++++=+++= (d)

s

C R R

s C R s C R R s

C R s C R s C R s

C s U s U r c 121121211//)1(//)1

(1//)1(1)()(+

⨯

+++

+++=

1

)2(1221221212212+++++=

s RC RC s C C R s RC s C C R

2.6求图( 题图2.6) 所示两系统的微分方程。

题图2.6

解（1）对图（a ）所示系统，由牛顿定律有

即

（2）对图（b ）所示系统，由牛顿定律有