Mathematics中数据处理插值拟合和编程基础
MATLAB软件中软件拟合与插值运算的方法
MATLAB软件中软件拟合与插值运算的方法内容目录
1MATLAB中软件拟合与插值运算的方法1
1.1拟合函数的选择1
1.1.1线性拟合1
1.1.2非线性拟合2
1.2拟合函数的求解2
1.2.1直接法2
1.2.2迭代法3
1.3MATLAB插值函数4
1.3.1样条插值函数4
1.3.2拉格朗日插值函数5
1.3.3指数插值函数5
结论6
近来，随着科学技术的进步，数据采集技术的发展，大量的实验数据和实验结果越来越多，如何合理地分析处理数据，描绘实际趋势，就变得十分重要，MATLAB中的软件拟合与插值是目前应用最多的数据处理技术之一、本文介绍了MATLAB中软件拟合与插值运算的方法及其具体实现。
1.1拟合函数的选择
1.1.1线性拟合
线性拟合是指拟合函数可以用一元线性方程描述，MATLAB中的拟合
函数有polyfit、polyval和 polyconf等。
其中，polyfit函数用来根据
输入的拟合数据拟出一元多项式，polyval函数用来求出拟合后的拟合值，polyconf函数用来计算拟合的参数的置信范围。
例如，用polyfit函数
拟合下面的数据，输入x = [1 2 3 4 5]和y = [4.3 7.3 11.1 14.1
18.4]，拟出的拟合函数为y = 4.1 + 2.3x，即拟合函数为y = 4.1 +
2.3x。
1.1.2非线性拟合。
数据插值、拟合方法的MATLAB实现
hours=0:1:23;
temps=[12 12 12 11 10 10 10 10 11 13 15 18 19 20 22 21 20 19 18 16 15 15 15 15]
n=6;
p=polyfit(hours,temps,n)
t=linspace(0,23,100);
z=polyval(p,t); %多项式求值
plot(hours,temps,'o',t,z,'k:',hours,temps,'b',’r’,'linewidth',1.5)
legend('原始数据','6阶曲线')
2.3用8阶多项式拟合的命令
hours=0:1:23;
temps=[12 12 12 11 10 10 10 10 11 13 15 18 19 20 22 21 20 19 18 16 15 15 15 15]
实验结果：
1.一元插值图像
图1.1一元插值图
经分析三次样条插值法效果最好，以三次样条插值法得出每个0.5小时的温度值：
时间
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
温度
12
11.9
12
12.0
12
11.6
11
10.4
10
9.9
10
10.0
时间
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
10.5
11
11.5
MATLAB数据拟合与插值PPT课件
% linear interpolation » zcubic=interp2(width, depth, temps, wi,d, ' cubic ') ;
% cubic interpolation »plot(wi, zlinear, ' - ' , wi, zcubic)
spline ') • t =9.6734，30.0427，31.1755，25.3820
一个最常用的样条插值是对数据平滑。也就是，给定一组 数据，使用样条插值在更细的间隔求值。例如， » h=1:0.1:12;
% estimate temperature every 1/10 hour » t=interp1(hours, temps, h, ' spline ') ; »plot(hours, temps, ' - ' , hours, temps, ' + ' , h, t)
p =-9.8108 20.1293 -0.0317 polyfit 的输出是一个多项式系数的行向量。其解是
y = －9.8108x^2 ＋20.1293x－0.0317 为了将曲线拟合解与数据点比较，让我们把二者都绘成图。
» xi=linspace(0, 1, 100); % x-axis data for plotting » z=polyval(p, xi); » plot(x, y, ' o ' , x, y, xi, z, ' : ' ) » xlabel(' x '), ylabel(' y=f(x) '), title(' Second Order Curve Fitting ')
插值、拟合与MATLAB编程
插值、拟合与MATLAB 编程相关知识在生产和科学实验中，自变量x 与因变量y 间的函数关系()y f x =有时不能写出解析表达式，而只能得到函数在若干点的函数值或导数值，或者表达式过于复杂而需要较大的计算量。
当要求知道其它点的函数值时，需要估计函数值在该点的值。
为了完成这样的任务，需要构造一个比较简单的函数()y x ϕ=，使函数在观测点的值等于已知的值，或使函数在该点的导数值等于已知的值，寻找这样的函数()y x ϕ=有很多方法。
根据测量数据的类型有以下两类处理观测数据的方法。
（1）测量值是准确的，没有误差，一般用插值。
（2）测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。
在MATLAB 中，无论是插值还是拟合，都有相应的函数来处理。
一、插 值1、一维插值：已知离散点上的数据集1122{(,),(,),,(,)}n n x y x y x y ，即已知在点集X=12{,,,}n x x x 上的函数值Y=12{,,,}n y y y ，构造一个解析函数（其图形为一曲线）通过这些点，并能够求出这些点之间的值，这一过程称为一维插值。
MATLAB 命令：yi=interp1(X, Y, xi, method)该命令用指定的算法找出一个一元函数()y f x =，然后以()f x 给出x 处的值。
xi 可以是一个标量，也可以是一个向量，是向量时，必须单调，method 可以下列方法之一：‘nearest’：最近邻点插值，直接完成计算；‘spline’：三次样条函数插值；‘linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算； ‘cubic’：三次函数插值；对于[min{xi},max{xi}]外的值，MATLAB 使用外推的方法计算数值。
例1：已知某产品从1900年到2010年每隔10年的产量为：75.995, 91.972, 105.711, 123.203, 131.699, 150.697, 179.323, 203.212, 226.505, 249.633, 256.344, 267.893，计算出1995年的产量，用三次样条插值的方法，画出每隔一年的插值曲线图形，同时将原始的数据画在同一图上。
1 数据插值、拟合在MATLAB中的应用
多项式优于一次多项 式拟合。曲线几乎穿 过各结点。若再想更 精确，可使用 N 次 多项式进行拟合。
图5 一次、二次、三次多项式拟合效果图
23
05
PART FIVE
课堂小结与课后作业
Class Closing and Homework
5 课堂小结与课后作业
(1) 课堂小结 总结一
了解数据插值、数据拟合的基本概念以及主要应
21
4 数据插值、拟合例题分析
(2) 最小二乘法的曲线拟合应用
从而可得出二次多项式拟合，可得下图4 ※显然二次多项 式拟合效果更好， 曲线几乎穿过各 结点。若再想更 精确，可使用三 次多项式，进行 拟合。
图4 二次多项式拟合效果图
22
4 数据插值、拟合例题分析
(2) 最小二乘法的曲线拟合应用
※显然拟合效果： 三次多项式优于二次
>> yi=interp1(x,y,xi,'cubic');plot(xi,yi,'y'); 一维插值(cubic)
>> xlabel('时刻'),ylabel('温度')
16
4 数据插值、拟合例题分析
(1) 一维插值的应用
从而可得出每一秒时的温度，并可画出不同的插值方法 描绘的温度曲线图。
(a)图表示最近插值法
时间 环境温度 时间 环境温度 时间 环境温度
0 2 4 6 8
12 9 12 15 23
10 12 14 16 18
30 36 35 31 27
20 22 24
20 16 13
推测在每一秒时的温度，并利用不同的插值方法描绘温度曲线。
15
matlab插值与拟合
matlab插值与拟合
在MATLAB中，插值和拟合都是通过函数来实现的。
插值是通过创建新的数据点来填充在已知数据点之间的空白。
MATLAB提供了几种不同的插值方法，例如分段线性插值、三次样条插值、立方插值等。
具体使用哪种插值方法取决于数据的特性和所需的精度。
插值函数的一般形式是`interp1(x, y, xi, 'method')`，其中`x`和`y`是已知的数据点，`xi`是待插值点的横坐标向量，`method`是插值方法，例如最近邻点插值、线性插值、三次样条插值、立方插值等。
拟合是通过调整一个数学模型来使得该模型尽可能地接近给定的数据点。
在MATLAB中，可以使用`polyfit`函数进行多项式拟合。
该函数的一般形式是`p = polyfit(x, y, n)`，其中`x`和`y`是已知的数据点，`n`是多项式的阶数。
该函数返回一个向量`p`，表示多项式的系数。
可以使用`polyval`函数来评估这个多项式模型在给定数据点上的值。
需要注意的是，插值和拟合都是数学上的近似方法，它们只能尽可能地逼近真实的情况，而不能完全准确地描述数据的变化。
因此，选择合适的插值和拟合方法是非常重要的。
Matlab数据插值与拟合
分段线性插值方法在速度和误差之间取得 了比较好的均衡，其插值函数具有连续性， 但在已知数据点处的斜率一般不会改变， 因此不是光滑的。分段线性插值方法是 MATLAB一维插值默认的方法。 MATLAB一维插值默认的方法。
2.Spline（样条插值） 2.Spline（样条插值）
样条插值是用分段低次多项式去逼近函数。样条函 样条插值是用分段低次多项式去逼近函数。样条函 数可以给出光滑 的插值曲线，只要在插值区间端 点提供某些导数信息，样条插值可以适应不同光滑 需求。三次样条是使用最为广泛的样条插值，它在 需求。三次样条是使用最为广泛的样条插值，它在 每个子区间[x 每个子区间[xi,xi+1]上都是有二阶连续导数的三次多 项式，即
4.1.1 一元插值函数
MATLAB中的一元插值函数为interp1( )，它的功能是一维 MATLAB中的一元插值函数为interp1( )，它的功能是一维 数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间进行计算内 插值，它出一元函数f(x)在中间点的数值，其中函数f(x)由 插值，它出一元函数f(x)在中间点的数值，其中函数f(x)由 所给数据决定。 一元插值函数interp1( )的几种调用格式如表4 一元插值函数interp1( )的几种调用格式如表4-1所示。 表4-1 一维插值插值函数interp1的语法格式 一维插值插值函数interp1的语法格式
例4-1 用interp1对sin函数进行分段线性插值。 interp1对sin函数进行分段线性插值 函数进行分段线性插值。
解：在MATLAB命令窗口中输入以下命令： 解：在MATLAB命令窗口中输入以下命令： >> x=0:2*pi; >> y=sin(x); >> xx=0:0.5:2*pi >> yy=interp1(x,y,xx); >> plot(x,y,'s',xx,yy) 注：例 注：例4-1中用默认的 (分段线性插值的linear) 分段线性插值的linear) 对已知的7 sin函数的 对已知的7个sin函数的 数据点进行插值，用 plot画出插值结果。从图中可以看出分段线性就是联结两个 plot画出插值结果。从图中可以看出分段线性就是联结两个 邻近的已知点的线性函数插值计算该区间内插值点上的函数 值。
MATLAB 插值与拟合
ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method) %用指定的算法method计算二维插值：
这里method与前面的一维插值方法相同。
’linear’：双线性插值算法（缺省算法）； ’nearest’：最临近插值； ’spline’：三次样条插值； ’cubic’ or ‘pchip’：立方插值。
则有：y a0 a1t
即：将指数规律的方程转换 成一次多项式方程
算出 a0=2.9943,a1=-0.2347. 故k=0.2347, 由ln(d / v) a0 v 15.02
%先观察数据的大致规律 t=[0.250.5 1 1.5 2 3 4 6 c=[19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 3.01]; subplot(2,1,1),plot(t,c,'+'),xlabel('t'),ylabel('c') %不是简单的线性关系，则考虑是否为指数关系 pause y=log(c); subplot(2,1,2),plot(t,y,'+'),xlabel('t'),ylabel('logc') y=log(c); %对元数据求对数； a=polyfit(t,y,1); a1=a(1),a2=a(2) %得到两个参数a1和a2 d=300; k=-a1,v=d*exp(-a2);
问题7 给药问题
在快速静脉注射下，研究血药浓度的变化规律
观测的数据如下：t=0时注入300mg
T(h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
C(μg/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
第四章数据处理1. 插值与拟合2. MATLAB指令的用法
1. 插值与拟合
插值问题 :已知函数f (x)的离散值,用已知函数g(x)逼近f (x)。 g(x)称为插值函数，可以是代数多项式，三角多项式或有理函数等。 按插值范围分为内插:在已知数据点范围之内插入数据
外插:在已知数据点的范围之外插入数据。 按插值方法分为
• 多项式插值 二点可连直线，三点可定抛物线，通常n + 1个数据点可定不高于n次的代 数多项式，使其代表的曲线通过这n + 1个数据点。 插值多项式有：拉格朗日多项式，牛顿多项式，埃尔米特多项式。
l1(x)
=
(x (x1
− −
x0)(x − x2) x0)(x1 − x2)
l2(x)
=
(x (x2
− −
x0)(x − x1) x0)(x2 − x1)
L2(x)
=
(x (x0
− −
x1)(x − x2) x1)(x0 − x2)
y0
+
(x (x1
− −
x0)(x − x2) x0)(x1 − x2)
解：设所求的最小二乘二次拟合多项式是P2(x) = a0 + a1x + a2x2,此问题的
正则方程组是
9a0 + 0 + 3.75a2 = 18.1732
0 + 3.75a1 3.75a0 + 0
a2 =
7.6173
其解为a0 = 2.0034, a1 = 2.2625, a3 = 0.0378，所求多项式为
l1(x0) = 0, l1(x1) = 1, l1(x2) = 0,
也就是
l2(x0) = 0, l2(x1) = 0, l2(x2) = 1.
插值与拟合的MATLAB实现
插值与拟合的MATLAB实现插值和拟合是MATLAB中常用的数据处理方法。
插值是通过已知数据点之间的数值来估计未知位置的数值。
而拟合则是通过已知数据点来拟合一个曲线或者函数，以便于进行预测和分析。
插值方法：1.线性插值：使用MATLAB中的interp1函数可以进行线性插值。
interp1函数的基本语法为：yinterp = interp1(x, y, xinterp)，其中x和y为已知数据点的向量，xinterp为待插值的位置。
函数将根据已知数据点的线性关系，在xinterp位置返回相应的yinterp值。
2.拉格朗日插值：MATLAB中的lagrangepoly函数可以使用拉格朗日插值方法。
lagrangepoly的基本语法为：yinterp = lagrangepoly(x, y, xinterp)，其中x和y为已知数据点的向量，xinterp为待插值的位置。
函数将根据拉格朗日插值公式，在xinterp位置返回相应的yinterp值。
3.三次样条插值：使用MATLAB中的spline函数可以进行三次样条插值。
spline函数的基本语法为：yinterp = spline(x, y, xinterp)，其中x和y为已知数据点的向量，xinterp为待插值的位置。
函数将根据已知数据点之间的曲线关系，在xinterp位置返回相应的yinterp值。
拟合方法：1.多项式拟合：MATLAB中的polyfit函数可以进行多项式拟合。
polyfit的基本语法为：p = polyfit(x, y, n)，其中x和y为已知数据点的向量，n为要拟合的多项式的次数。
函数返回一个多项式的系数向量p，从高次到低次排列。
通过使用polyval函数，我们可以将系数向量p应用于其他数据点，得到拟合曲线的y值。
2.曲线拟合：MATLAB中的fit函数可以进行曲线拟合。
fit函数的基本语法为：[f, goodness] = fit(x, y, 'poly2')，其中x和y为已知数据点的向量，'poly2'表示要拟合的曲线类型为二次多项式。
MATLAB中的数据插值与拟合方法介绍
MATLAB中的数据插值与拟合方法介绍概述数据处理是科学研究和工程实践中的重要环节之一。
对于实验或观测数据，我们常常需要通过插值和拟合方法来获取更加精确和连续的函数或曲线。
在MATLAB中，有多种方法和函数可以用于实现数据插值和拟合，本文将介绍其中的一些常用方法。
一、数据插值数据插值是指利用有限个数据点，通过某种方法构建一个连续的函数，以实现在这些点之间任意位置的数值估计。
在MATLAB中，常用的数据插值方法有线性插值、多项式插值、三次样条插值等。
1. 线性插值线性插值是最简单的插值方法之一，假设我们有两个数据点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，要在这两个点之间插值一个新的点 (x, y)，线性插值即为连接 (x1, y1) 和 (x2, y2) 这两个点的直线上的点(x, y)。
在MATLAB中，可以通过interp1函数进行线性插值。
2. 多项式插值多项式插值是使用一个低次数的多项式函数来拟合数据的方法。
在MATLAB 中，可以通过polyfit函数进行多项式拟合，然后利用polyval函数来进行插值。
具体的插值效果与所选用的多项式阶数有关。
3. 三次样条插值三次样条插值算法利用相邻数据点之间的三次多项式来拟合数据，从而构成一条光滑的曲线。
在MATLAB中，可以通过spline函数进行三次样条插值。
二、数据拟合除了插值方法外，数据拟合也是处理实验或观测数据的常见方法之一。
数据拟合是指通过选择一个特定的数学模型，使该模型与给定的数据点集最好地拟合。
在MATLAB中，常用的数据拟合方法有多项式拟合、指数拟合、非线性最小二乘拟合等。
1. 多项式拟合在MATLAB中，可以使用polyfit函数进行多项式拟合。
该函数通过最小二乘法来拟合给定数据点集，并得到一个多项式函数。
根据所选用的多项式阶数，拟合效果也会有所不同。
2. 指数拟合指数拟合常用于具有指数关系的数据。
在MATLAB中，可以通过拟合幂函数的对数来实现指数拟合。
Mathematics中数据处理插值拟合和编程基础
{{x0,f0},{x1,f1},…,{xn,fn}} (平面点的坐标) {f1,…,fn} (点的纵坐标，第i个点的横坐标为i) {{x0,{f0,df0}},{x1,{f1,df1}},…,{xn,{fn,dfn}}} (点的函数 值及一阶导数值) {{x0,y0,z0},{x1,y1,z1},…,{xn,yn,zn}} (三维空间点列)
m=i^3 ;Module[{i=b},i+m] m=i^3 ;Block[{i=b},i+m]
二、条件控制结构
逻辑表达式和逻辑运算符
关系运算符：= = != > >= 逻辑运算符： ！ && || 意义： 非 与 或 < <=
逻辑表达式的值
真、假、非真非假
If语句的结构
设有一组实验观测数据(xi,yi),i=0,1,…n, 如何揭示自变量x与因变量y 之间的关系？ 寻找近似的函数关系表达式y=f(x) 常用的方法:插值与拟合
一、插值
给定n+1个插值点(xi,yi), i=0,1,2,…,n, 构造次数不超过n的多 项式p(x), 使p(xi)=yi, 则称p(x)为插值多项式。 构造插值对象的函数： Interpolation[data,InterpolationOrder—>n] 功能： 对数据data进行插值运算，并可设置插值多项式的次数n, 默认 值为3。 注: 生成一个InterpolatingFunction[插值范围，<>]目标，不显 示所构造的函数。 所得目标为近似函数 数据data的表示形式
程序设计
一、过程的基本构成
过程是用分号隔开的表达式序列,也称为复合表达式. 复合表达式的值是该表达式序列最后一个表达式的值. 全局变量与局部变量 局部变量的说明： Module[{局部变量表},表达式] Block[{局部变量表},表达式] 注： 变量表中只列变量名,可赋初值,变量间用逗号隔开. Module与Block函数中的表达式常常是复合表达式. Module与Block函数的函数值即为表达式的值. 例: wc[n_]:= Module[{i, f}, b = Table[x^i, {i, 1, n}]; f[x_] = Fit[data, b, x]; Sum[(data[[i, 2]] - f[data[[i, 1]]])^2, {i, 1, Length[data]}]]
matlab学习——05插值和拟合（一维二维插值,拟合）
matlab学习——05插值和拟合（⼀维⼆维插值,拟合）05插值和拟合1.⼀维插值(1) 机床加⼯零件，试⽤分段线性和三次样条两种插值⽅法计算。
并求x=0处的曲线斜率和13<=x<=15范围内y的最⼩值。
x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];y0=[0 1.2 1.7 2 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];x=0:0.1:15;% interp1现有插值函数，要求x0单调，'method'有% nearest 最近项插值 linear 线性插值% spline ⽴⽅样条插值 cubic ⽴⽅插值y1=interp1(x0,y0,x);y2=interp1(x0,y0,x,'spline');pp1=csape(x0,y0);y3=fnval(pp1,x);pp2=csape(x0,y0,'second');y4=fnval(pp2,x);[x',y1',y2',y3',y4']subplot(1,4,1)plot(x0,y0,'+',x,y1)title('Piecewise linear 分段线性')subplot(1,4,2)plot(x0,y0,'+',x,y2)title('spline1')subplot(1,4,3)plot(x0,y0,'+',x,y3)title('spline2')subplot(1,4,4)plot(x0,y0,'+',x,y4)title('second')dx=diff(x);dy=diff(y3);dy_dx=dy./dx;dy_dx0=dy_dx(1);ytemp=y3(131:151);ymin=min(ytemp);index=find(y3==ymin);xmin=x(index);[xmin,ymin](2) 已知速度的四个观测值,⽤三次样条求位移S=0.15到0.18上的vd(t)积分t 0.15 0.16 0.17 0.18vt 3.5 1.5 2.5 2.8format compact;% 已知速度的四个观测值,⽤三次样条求位移S=0.15到0.18上的vd(t)积分% t 0.15 0.16 0.17 0.18% vt 3.5 1.5 2.5 2.8clc,clearx0=0.15:0.01:0.18;y0=[3.5 1.5 2.5 2.8];% csape 三次样条插值,返回要求插值的的函数值pp=csape(x0,y0) % 默认的边界条件,Lagrange边界条件format long gxishu = pp.coefs % 显⽰每个区间上三次多项式的系数s=quadl(@(t)ppval(pp,t),0.15,0.18) % 求积分format % 恢复短⼩数的显⽰格式% 画图t=0.15:0.001:0.18;y=fnval(pp,t);plot(x0,y0,'+',t,y)pp =包含以下字段的 struct:form: 'pp'breaks: [0.1500 0.1600 0.1700 0.1800]coefs: [3×4 double]pieces: 3order: 4dim: 1xishu =1 ⾄2 列-616666.666666667 33500-616666.666666667 15000-616666.666666668 -3499.999999999993 ⾄4 列-473.333333333334 3.511.6666666666671 1.5126.666666666667 2.5s =0.0686252.⼆维插值(1) 丘陵测量⾼度。
Matlab中的插值与拟合方法介绍
Matlab中的插值与拟合方法介绍在数据分析与处理的过程中，插值与拟合是非常重要的工具。
Matlab作为一种常用的数据处理与分析工具，提供了许多插值与拟合函数，方便用户进行数据处理和分析。
本文将介绍Matlab中的插值和拟合方法，并提供相应的示例和应用场景。
一、插值方法1. 线性插值线性插值是最简单的插值方法之一，通过连接已知数据点的直线进行插值。
在Matlab中，可以使用interp1函数进行一维线性插值。
下面以一个简单的例子来说明线性插值的应用：```x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];xi = 2.5;yi = interp1(x, y, xi)```在这个例子中，已知一组数据点(x, y)，要求在x=2.5处的插值结果。
通过interp1函数，可以得到插值结果yi=5。
线性插值适用于数据点较少且近邻点的变化趋势比较明显的情况。
2. 三次样条插值三次样条插值是一种更精确的插值方法，它利用多个小区间的三次多项式进行插值。
在Matlab中，可以使用interp1函数的'spline'选项进行三次样条插值。
以下是一个示例：```x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];xi = 2.5;yi = interp1(x, y, xi, 'spline')```通过设置'spline'选项，可以得到插值结果yi=5.125。
三次样条插值适用于数据点较多且变化较为复杂的情况。
3. 二维插值除了一维插值，Matlab还提供了二维插值函数interp2，用于处理二维数据的插值问题。
以下是一个简单的二维插值示例：```x = 1:4;y = 1:4;[X, Y] = meshgrid(x, y);Z = X.^2 + Y.^2;xi = 2.5;yi = 2.5;zi = interp2(X, Y, Z, xi, yi)```在这个例子中，首先生成一个二维数据矩阵Z，然后利用interp2函数在给定的坐标(xi, yi)处进行插值，得到插值结果zi=12.25。
Mathematica第6章 插值与拟合
第6章 插值、拟合、数学规划
6.1 一元 插值 6.1.1插值函数中数据输入方式： data1={{x1,y1},{x2,y2},…,{xn,yn}} data2={y1,y2,y3,…} data3={{xБайду номын сангаас,{y1,dy1}},{x2,{y2,dy2}},…,} data4={{x1,y1,z1},{x2,y2,z2},…} data5=Table[fi,{I,imin,imax}] 6.1.2 整区间上的插值 InterpolatingPolynomial[data,x]
6.3 曲线拟合
给定一组数据，Mathematica可按最小二乘法的原 理对这组数据进行线性拟合或n次多项式等曲线拟 合，调用函数格式： 函数 Fit[data,funs,vars] 意义 用变量为vars的函数 funs拟合一组数据 线性拟合,拟合函数形式 为a+bx 二次曲线拟合,拟合函数 形式为a+bx+cx2 n阶多项式拟合
Fit[{f1,f2,…},{1,x},x]
Fit[{f1,f2,…},{1,x,x^2},x] Fit[data,Table[x^i,{i,0,n}],x]
练习
已知函数为2e-x 1、求x从0到10的函数表（为近似值）。 2、求第一题所得数据的线性拟合。 3、求第一题所得数据的二次线性拟合。 4、把两次拟合的图形与原图形进行比较。
6.5.2无约束非线性规划
函数 意义
FindMinimum[f,{x,x0}] 从点x=x0开始，求函数f局 部最小值 FindMinimum[f,{x,x0,x 1}] FindMinimum[f,{x,x0}, {y,y0},…] FindMinimum[f,{x,x0, xmin,xmax},{y,y0,ymin ,ymax},…] 以x0,x1作为x的开始两个 值，求局部最小值 求多自变量函数的极小值 (xmin,xmax),(ymin,ymax)局 部极小点的上下界估计值
插值与拟合matlab实现
插值与拟合matlab实现插值与拟合的Matlab实现王正盛编写在科技工程中，除了要进行一定的理论分析外，通过实验、观测数据，做分析、处理也是必不可少的一种途径。
由于实验测定实际系统的数据具有一定的代表性，因此在处理时必须充分利用这些信息；又由于测定过程中不可避免会产生误差，故在分析经验公式时又必须考虑这些误差的影响。
两者相互制约。
据此合理建立实际系统数学模型的方法成为数值逼近法。
一、插值法1、数学原理工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据中，求自变量与因变量的一个近似的函数关系式。
例如：观测行星的运动，只能得到某时刻所对应的行星位置（用经纬度表示），想知道任何时刻的行星位置。
例如：大气压测定问题；导弹发射问题；程序控制铣床加工精密工件问题；飞机船舶制造问题等等。
都属于此类问题。
因为考虑到代数多项式既简单又便于计算，所以人们就用代数多项式近似地表示满足个点的函数关系式——插值法建模。
（1）计算方法课程中学习了两种多项式插值：Lagrange插值和Newton均差插值：已知n+1个数据点：n次Lagrange插值公式：特别地，当n=1时，————线性插值当n=2时，———————抛物线插值或二次插值Newton均差插值公式：，其中是k阶均差，可由均差表方便计算得到。
Lagrange插值和Newton均差插值本质上是一样的，只是形式不同而已，因为插值多项式是唯一的。
（2）Runge现象和分段低次插值：如在[-5，5]上各阶导数存在，但在此区间取n个节点构造的Lagrange插值多项式在区间并非都收敛，而且分散得很厉害。
（matlab\bin\ Lagrange.m是自己编写的M文件）[例]取n=-10hold offx=[-5:1:5];y=1./(1+x.^2);x0=[-5:0.1:5];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.^2);plot(x0,y0)hold onplot(x0,y1,'b:')legend('插值曲线','原数据曲线')因此插值多项式一般不要超过四次为宜。
Matlab插值与拟合教程
也可由函数给出数据。 例 3：x=1:20,y=x+3*sin(x) 程序： x=1:20; y=x+3*sin(x); p=polyfit(x,y,6) xi=1inspace(1,20,100); z=poyval(p,xi); %多项式求值函数 plot(x,y,’o’,xi,z,’k:’,x,y,’b’) legend(‘原始数据’,’6 阶曲线’) 结果： p= 0.0000 -0.0021 0.0505 -0.5971 3.6472 -9.7295 11.3304
分析：稳健拟合(实线)对数据的拟合程度好些，忽略了异常值。最小二乘拟合(点线)则
受到异常值的影响，向异常值偏移。 6. 6. 向自定义函数拟合 对于给定的数据，根据经验拟合为带有待定常数的自定义函数。 所用函数：nlinfit( ) 调用格式： [beta,r,J]=nlinfit(X,y,’fun’,betao) 说明：beta 返回函数’fun’中的待定常数；r 表示残差；J 表示雅可比矩阵。X,y 为数据； ‘fun’自定义函数；beta0 待定常数初值。 例 6：在化工生产中获得的氯气的级分 y 随生产时间 x 下降，假定在 x≥8 时，y 与 x 之间有如下形式的非线性模型：
MATLAB插值与拟合
§1 曲线拟合
实例：温度曲线问题 气象部门观测到一天某些时刻的温度变化数据为： t 0 1 2 3 4 5 6
7
8
9
10
T 13 15 17 14 16 19 26 24 26 27 29 试描绘出温度变化曲线。 曲线拟合就是计算出两组数据之间的一种函数关系， 由此可描绘其变化曲线及估计非采 集数据对应的变量信息。 曲线拟合有多种方式，下面是一元函数采用最小二乘法对给定数据进行多项式曲线拟 合，最后给出拟合的多项式系数。 1. 1. 线性拟合函数：regress() 调用格式： b=regress(y,X) [b,bint,r,rint,stats]= regress(y,X) [b,bint,r,rint,stats]= regress(y,X,alpha) 说明：b=regress(y,X)返回 X 处 y 的最小二乘拟合值。该函数求解线性模型： y=Xβ+ε β是 p1 的参数向量；ε是服从标准正态分布的随机干扰的 n1 的向量；y 为 n1 的向 量；X 为 np 矩阵。 bint返回β的 95%的置信区间。 r中为形状残差， rint中返回每一个残差的 95%置信区间。 2 Stats向量包含R 统计量、回归的F值和p值。 例 1：设 y 的值为给定的 x 的线性函数加服从标准正态分布的随机干扰值得到。即 y=10+x+ε ；求线性拟合方程系数。 程序： x=[ones(10,1) (1:10)’] y=x*[10;1]+normrnd(0,0.1,10,1) [b,bint]=regress(y,x,0.05) 结果： x = 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 y = 10.9567 11.8334
Matlab数学建模学习笔记——插值与拟合
Matlab数学建模学习笔记——插值与拟合⽬录插值与拟合插值和拟合的区别图⽚取⾃知乎⽤户yang元祐的回答插值：函数⼀定经过原始数据点。
假设f(x)在某区间[a,b]上⼀系列点上的值y_i=f(x_i),i=0,1,\dots,n。
插值就是⽤较简单、满⾜⼀定条件的函数\varphi(x)去代替f(x)。
插值函数满⾜条件\varphi(x_i)=y_i,i=0,1,\dots,n拟合：⽤⼀个函数去近似原函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最⼩。
插值⽅法分段线段插值分线段插值就是将每两个相邻的节点⽤直线连起来，如此形成的⼀条折线就是就是分段线性插值函数，记作I_n(x),它满⾜I_n(x_i)=y_i,且I_n(x)在每个⼩区间[x_i,x_{i+1}]上是线性函数(i=0,1\dots,n-1)。
I_n(x)可以表⽰为I_n(x)=\sum_{i=0}^n y_il_i(x)，其中l_i(x)= \begin{cases} \frac{x-x_{i-1}}{x_i-x_{i-1}},&x\in [x_{i-1},x_i],i \neq 0,\\ \frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}},&x\in [x_i,x_{i+1}],i \neq n,\\ 0,&其他 \end{cases}I_n(x)有良好的收敛性，即对x\in [a,b],有\lim _{n \rightarrow \infin}I_n(x)=f(x)⽤I_n(x)计算x点的插值的时候，只⽤到x左右的两个点，计算量与节点个数n⽆关。
但是n越⼤，分段越多，插值误差越⼩。
拉格朗⽇插值多项式朗格朗⽇(Lagrange)插值的基函数为\begin{aligned} l_i(x)&=\frac{(x-x_0)\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_n)}{(x_i-x_0)\cdots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_n)}\\ &= \prod_{j=0\\j\neq i}^{n} \frac{x-x_j}{x_i -x_j},i=0,1,\cdots,n。
mathematica插值与拟合 (1)
第6章插值与拟合
插值：
在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。
6.1一元插值
6.1.1数据的给出方式
6.1.2整区间上的插值
6.1.3分段区间上的插值
分段区间上插值的调用函数及其调用格式如下：
这种插值函数还可以用在区间端点处带有导数条件的问题上，要求输入的数据必须具有data3的形式。
6.2二元插值
6.3一元拟合
6.4二元拟合。
MATLAB中的数据插值与曲线拟合技术
MATLAB中的数据插值与曲线拟合技术概述：数据插值和曲线拟合是在科学研究和工程实践中常用的技术手段。
在MATLAB中，有丰富的函数库和工具箱可用于实现各种插值和拟合算法。
本文将介绍MATLAB中的一些常见的数据插值和曲线拟合技术，并分析它们的原理和适用场景。
一、数据插值技术：1. 线性插值：线性插值是最简单且常用的数据插值技术之一，它通过在已知数据点之间的直线上进行插值。
MATLAB中的interp1函数可以实现线性插值，其基本原理是根据已知数据点的横纵坐标值，计算出待插值点的纵坐标值。
2. 拉格朗日插值：在拉格朗日插值中，我们通过一个多项式函数来描述已知数据点之间的曲线。
MATLAB中的polyfit和polyval函数可以帮助我们实现拉格朗日插值。
首先，polyfit函数用于拟合一个多项式函数，然后polyval函数可以根据拟合得到的多项式计算插值点的纵坐标值。
3. 样条插值：样条插值是一种光滑插值技术，通过使用多个低次多项式来拟合数据点之间的曲线。
MATLAB中的spline函数可以实现样条插值。
该函数将已知数据点的横纵坐标传入，然后自动计算出曲线段之间的控制点，并进行插值操作。
二、曲线拟合技术：1. 多项式拟合：多项式拟合是一种常用的曲线拟合技术，它通过拟合一个多项式函数来逼近已知数据点。
MATLAB中的polyfit和polyval函数同样可以应用于多项式拟合，我们可以选择合适的多项式阶次进行拟合。
2. 非线性拟合：有些数据集并不能用简单的多项式函数进行拟合，可能需要更复杂的非线性函数来逼近。
在MATLAB中，我们可以使用curve fitting工具箱中的fit函数来实现非线性拟合。
该函数可以根据给定的模型类型和数据集，自动拟合出最优的曲线。
3. 递归最小二乘拟合：递归最小二乘拟合是一种高级的数据拟合算法，可以有效地处理大型数据集。
MATLAB中的regress函数可以进行递归最小二乘拟合。
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引例1:在一天24小时内,从零点开始每间隔2小时测得的 环境温度数据分别为(度) 12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13. 推测中午 1点(即13点)时的温度。 解：
data={{0,12},{2,9},{4,9},{6,10},{8,18},{10,24},{1 2,28},{14,27},{16,25},{18,20},{20,18},{22,15},{24 ,13}} ListPlot[data] 选取不同的阶数n,构造插值多项式 Interpolation[data,InterpolationOrder—>n] 绘出一天24小时的温度曲线 依据散点图，推测插值多项式的阶数 分段插值 三次插值多项式较为通用
格式：If[逻辑表达式，表达式1，表达式2，表达式3] 意义：逻辑表达式的值为真，计算表达式1 为假，计算表达式2 非真非假，计算表达式3 格式：If[逻辑表达式，表达式1，表达式2] 意义：逻辑表达式的值为真，计算表达式1 为假，计算表达式2 格式：If[逻辑表达式，表达式1] 意义：逻辑表达式的值为真，计算表达式1
数据处理与程 2. 第7章 Mathematica的编程基础
问题的引入
引例1:在一天24小时内,从零点开始每间隔2小时测得的环境温度数据分 别为(度) 12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13.请推测中午1点 （即13点）时的温度。
格式：Fit[数据，拟合函数的基，变量] 功能：用数据data，按给定的变量和拟合函数的基构造拟合函数。 常用的几种格式： Fit[data,{1,x},x]
用数据data作线性拟合函数a+bx 做n次多项式拟合 拟合曲线为ea+bx
Fit[data,Table[x^i,{i,0,n}],x] Exp[Fit[Log[data],{1,x},x]]
引例2:对某一地区或国家,如何根据测绘部门测量的数据绘制一张该地区 的地图?
利用已给出的值,计算相关的值
根据一系列的点,绘制一条封闭的曲线 例3:在化学反应中,为研究某化合物的浓度随时间的变化规律,测得一 组数据如下,请给出变化规律,以此推测20,40分钟时的值.
t(分) y t(分) y 1 4 9 10 2 6.4 10 10.2 3 8 11 10.32 4 8.4 12 10.42 5 9.28 13 10.5 6 9.5 14 10.55 7 9.7 15 10.58 8 9.86 16 10.6
While 循环 格式: While[条件，循环体] For循环 For[初始值，条件，修正循环变量，循环体] 若循环体有多个表达式组成，中间用；号隔开. 重复应用函数的方法 Nest[f,expr,n] 对表达式expr作用f函数n次. NestList[f,expr,n] 从表达式expr开始,运用f函数0到n次, 并给出列表结果. FixedPoint[f,expr] 从表达式expr开始,运用f函数, 直到结果不变.
数据拟合的一般过程： 首先考察数据来源,确定有无经验公式,有则可直接根据经验公 式进行拟合; 若无经验公式,观察其散点图,分析与其形状大致相似的函数图 形(必要时可将函数分段).选择拟合函数的类型,特别是确定逼 近基函数; 确定拟合函数,画出拟合函数的图形; 将拟合函数的图形与数据点的图形比较,调整拟合函数. 插值与拟合 插值要求函数在每一个观测点处一定要满足yi=f(xi). 拟合主要考虑到观测数据受随机误差的影响,寻求整体误 差最小、较好反映观测数据的近似函数. 当最小二乘拟合中逼近基函数的个数等于所给的数据点的个数 时，所做的拟合即为插值。
例3:在化学反应中,为研究某化合物的浓度随时间的变化规律,测得 一组数据如下,请给出变化规律,以此推测20,40分钟时的值.
t(分) y t(分) y 1 4 9 10 2 6.4 10 10.2 3 8 11 10.32 4 8.4 12 10.42 5 9.28 13 10.5 6 9.5 14 10.55 7 9.7 15 10.58 8 9.86 16 10.6
与循环有关的语句
Return[expr]
退出函数中的所有过程和循环, 返回值expr.
Break[]
结束本层循环.
Continue[]
转向下一次循环
解：构造数据表： data={{1,4},{2,6.4},{3,8.0},{4,8.4},{5,9.28},{6,9.5}, {7,9.7},{8,9.86},{9,10},{10,10.2},{11,10.32},{12,10. 42},{13,10.5},{14,10.55},{15,10.58},{16,10.6}} 画出散点图，并分别作3次、4次、5次、6次多项式拟合，求出其 误差，比较、判断几次拟合较为合适。 选取其它基： , x , 3 x , 4 x 作拟合，并作比较。 1
程序设计
一、过程的基本构成
过程是用分号隔开的表达式序列,也称为复合表达式. 复合表达式的值是该表达式序列最后一个表达式的值. 全局变量与局部变量 局部变量的说明： Module[{局部变量表},表达式] Block[{局部变量表},表达式] 注： 变量表中只列变量名,可赋初值,变量间用逗号隔开. Module与Block函数中的表达式常常是复合表达式. Module与Block函数的函数值即为表达式的值. 例: wc[n_]:= Module[{i, f}, b = Table[x^i, {i, 1, n}]; f[x_] = Fit[data, b, x]; Sum[(data[[i, 2]] - f[data[[i, 1]]])^2, {i, 1, Length[data]}]]
设有一组实验观测数据(xi,yi),i=0,1,…n, 如何揭示自变量x与因变量y 之间的关系？ 寻找近似的函数关系表达式y=f(x) 常用的方法:插值与拟合
一、插值
给定n+1个插值点(xi,yi), i=0,1,2,…,n, 构造次数不超过n的多 项式p(x), 使p(xi)=yi, 则称p(x)为插值多项式。 构造插值对象的函数： Interpolation[data,InterpolationOrder—>n] 功能： 对数据data进行插值运算，并可设置插值多项式的次数n, 默认 值为3。 注: 生成一个InterpolatingFunction[插值范围，<>]目标，不显 示所构造的函数。 所得目标为近似函数 数据data的表示形式
{{x0,f0},{x1,f1},…,{xn,fn}} (平面点的坐标) {f1,…,fn} (点的纵坐标，第i个点的横坐标为i) {{x0,{f0,df0}},{x1,{f1,df1}},…,{xn,{fn,dfn}}} (点的函数 值及一阶导数值) {{x0,y0,z0},{x1,y1,z1},…,{xn,yn,zn}} (三维空间点列)
注：
二、拟合
根据一组二维数据，要求确定一个一元函数y=f(x)，使这些点与曲线 y=f(x)总体来说尽量接近，这就是数据拟合成曲线的思想，简称为曲 线拟合。 曲线拟合的目的是根据实验获得的数据去建立因变量与自变量之间有 效的经验函数关系，为进一步的深入研究提供线索。 拟合的原理：最小二乘法
三、循环控制结构
Do循环 格式: Do[循环体,{循环范围}] 格式1: Do[expr, {i,i0,i1,s}] 作用: 循环变量i从i0到i1,每次增加s,计算表达式 expr. 格式2: Do[expr, {i,i1}] 作用: 同上. 此时, i0=1, s=1. 格式3: Do[expr, {n}] 作用: 计算表达式expr n次.
Which与Switch语句
Which语句的结构
格式： Which[条件1，表达式1，…，条件n，表达式n] Which[条件1，表达式1，…条件n，表达式n, True，表达式]
Switch语句的一般形式
格式: Switch[expr，模式1，表达式1，模式2，表达式2，…] 作用: 将表达式expr的值与模式1,模式2,…依次比较,给出第一个与expr 匹配的模式i对应的表达式的值, 若无匹配的, 整个结构的值为Null.
m=i^3 ;Module[{i=b},i+m] m=i^3 ;Block[{i=b},i+m]
二、条件控制结构
逻辑表达式和逻辑运算符
关系运算符：= = != > >= 逻辑运算符： ！ && || 意义： 非 与 或 < <=
逻辑表达式的值
真、假、非真非假
If语句的结构