第三讲 平滑技术和季节调整
第三讲 平滑技术和季节调整
三 平滑技术和季节调整【实验目的与要求】1.准确掌握平滑技术和季节调整的各种形式和方法原理。
2.熟练掌握运用Eviews 软件进行平滑和季节调整。
3.学会利用加法模型和乘法模型对样本序列进行季节调整。
4.熟练掌握运用指数平滑方法对样本序列进行外推预测。
5. 在老师的指导下独立完成实验，得到正确的结果，并完成实验报告。
【实验准备知识】平滑技术，是消除或至少减少时间序列短期波动的一个手段。
这样做不仅可以使我们容易识别序列的趋势和周期变动类型，而且平滑后进行直觉的分析也会简单。
季节调整是平滑的一种特殊形式，它消除时间序列季节波动的影响，更好地反映时间序列的运动规律。
1. 简单移动平均方法对于时间序列t y ，n 期简单移动平均公式为：)(~111+--+++=n t t t n t y y y y Λ （3.1）其中，t y ~为简单移动平均平滑后的序列，n 为移动平均的期数。
n 期简单移动平均应用非常广泛，比如在股票投资分析中，经常看到的5日均线、10日均线、30日均线，都是为了更好地看清股价的走势，而对股价序列进行的平滑方法。
当然，n 越大，平滑的程度越高，越能体现长期的趋势。
2. 季节调整季节变动是指以一年为一个周期的变化。
时间序列的季度、月度观测值常常出现季度或月度的循环变动。
这种变动的影响因素主要是四季更迭，还有人文或制度等方面的因素。
季节变动往往会掩盖经济发展的客观规律，妨碍我们对某些问题的认识。
因此，通常在利用季度或月度数据进行分析之前，我们需要对时间序列进行季节调整。
传统的时间序列分析把时间序列的波动归结为四大因素：趋势变动（L ）、季节变动（S ）、循环变动（C ）、和不规则变动（I ）。
循环变动指周期为数年的变动，通常指经济周期。
不规则变动即随机变动。
四种变动与原序列（Y ）的关系被概括成两种模型：乘法模型 Y = LSCI （3.2） 加法模型 Y = L+S+C+I （3.3） 其中，乘法模型适用于L 、S 、C 相关的情形，比如，季节变动的幅度随趋势上升而增加。
经济时间序列的季节调整、分解和平滑方法
季节调整的方法与步骤
方法
移动平均法、指数平滑法、ARIMA模 型等。
步骤
识别季节性影响、选择合适的季节调 整方法、进行季节调整、评估调整效 果。
季节调整的注意事项
选择合适的季节调整方法需要根据数据的特性 和研究目的来确定，不同的方法可能得到不同
的结果。
季节调整后的数据需要进行进一步的分析和处理，以 揭示其内在的基本趋势和周期性变化。
意义
季节调整、分解和平滑有助于揭示经济时间序列数据中的长期趋势和周期性变 化，为政策制定者、经济学家和投资者提供更准确的决策依据。
季节调整、分解和平滑的目的
01
02
03
季节调整
消除时间序列数据中的季 节性成分，以分解为趋 势成分、季节成分和不规 则成分，以便更好地理解 数据的结构和变化。
季节调整适用于存在明显季节性影响的时间序 列数据，对于非季节性数据，进行季节调整可 能没有意义。
季节调整可能无法完全消除季节性影响，特别是 对于一些强季节性数据，调整效果可能不理想。
04 分解方法
分解的原理
01 时间序列数据由趋势、季节和随机三部分组成。
02 分解的目的是将这三部分分离出来，以便更好地 理解数据的内在结构和变化规律。
研究展望
改进季节调整方法
尽管现有的季节调整方法已经取得了很大的成功，但仍然存在一些问题，如对异常值的敏 感性、对季节性成分变化的适应性等。未来的研究可以探索新的季节调整方法和技术，以 提高季节调整的准确性和稳定性。
开发新的分解方法
现有的分解方法虽然已经比较成熟，但仍然存在一些局限性，如对不规则成分的估计和解 释等。未来的研究可以开发新的分解方法和技术，以更好地揭示时间序列数据的结构和变 化规律。
经济时间序列的季节调整、分解和平滑方法
1．季节调整的模型选择
X12季节调整方法的核心算法是扩展的X11季节调整程序。 共包括4种季节调整的分解形式：乘法、加法、伪加法和对数 加法模型。注意采用乘法、伪加法和对数加法模型进行季节 调整时，时间序列中不允许有零和负数。
① 加法模型
Yt TCt St It
② 乘法模型：
Yt TCt St It
① X11方法（X11 Method）
这一部分指定季节调整分解的形式：乘法；加法；伪加 法（此形式必须伴随ARIMA说明）；对数加法。注意乘法； 伪加法和对数加法不允许有零和负数。
② 季节滤波(Seasonal Filter)
当估计季节因子时，允许选择季节移动平均滤波（可能 是月别移动平均项数），缺省是X12自动确定。近似地可选 择(X11 defaul)缺省选择。需要注意如果序列短于20年，X12 不允许指定3×15的季节滤波。
2.2.2 X12季节调整方法
美国商务部国势普查局的X12季节调整程序是在X11方 法的基础上发展而来的，包括X11季节调整方法的全部功 能，并对X11方法进行了以下3方面的重要改进：
(1) 扩展了贸易日和节假日影响的调节功能，增加了季 节、趋势循环和不规则要素分解模型的选择功能；
(2) 新的季节调整结果稳定性诊断功能； (3) 增加X12-ARIMA模型的建模和模型选择功能。
这两个程序往往联合起来使用，先用TRAMO对数据进 行预处理，然后用SEATS将时间序列分解为趋势要素、循环 要素、季节要素及不规则要素4个部分。
2.2.4 季节调整相关操作 (EViews软件)
本节主要介绍利用EViews软件对一个月度或季度时间序 列进行季节调整的操作方法。在EViews工作环境中，打开一 个月度或季度时间序列的工作文件，双击需进行数据处理的 序列名，进入存放时间序列的工作表中，在序列窗口的工具 栏中单击Proc按钮将显示菜单：
经济时间序列的季节调整、分解和平滑方法_s
X12季节调整方法的核心算法是扩展的X11季节调整程序。 共包括4种季节调整的分解形式：乘法、加法、伪加法和对数 加法模型。注意采用乘法、伪加法和对数加法模型进行季节 调整时，时间序列中不允许有零和负数。
① 加法模型 ② 乘法模型：
Yt TCt St I t Yt TCt St It
当选择了Pross/Seasonal Adjustment/Tramo Seats 时， EViews执行外部程序，将数据输给外部程序，然后将结果返 回EViews。
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§2.3 趋势分解
本章第2节介绍的季节调整方法可以对经济时间序列进 行分解，但在季节调整方法中，趋势和循环要素视为一体 不能分开。本节专门讨论如何将趋势和循环要素进行分解 的方法。测定长期趋势有多种方法，比较常用的方法有回 归分析方法、移动平均法、阶段平均法(phase average，PA 方法)、HP滤波方法和频谱滤波方法（frequency (band-pass) filer， BP滤波）。本节主要介绍HP滤波方法和BP滤波方法。
图3 工业总产值的季节变动要素 S 图形
图4 工业总产值的不规则要素 I 图形 3
季节调整的概念
季节性变动的发生，不仅是由于气候的直接影响， 而且社会制度及风俗习惯也会引起季节变动。经济统计中 的月度和季度数据或大或小都含有季节变动因素，以月份 或季度作为时间观测单位的经济时间序列通常具有一年一 度的周期性变化，这种周期变化是由于季节因素的影响造 成的，在经济分析中称为季节性波动。经济时间序列的季 节性波动是非常显著的，它往往遮盖或混淆经济发展中其 他客观变化规律，以致给经济增长速度和宏观经济形势的 分析造成困难和麻烦。因此，在进行经济增长分析时，必 须去掉季节波动的影响，将季节要素从原序列中剔除，这 就是所谓的“季节调整” (Seasonal Adjustment)。
经济时间序列的季节调整分解和平滑方法
第三阶段 计算最终的趋势循环要素和最终的不规则要素
① 利用Henderson移动平均公式计算最终的趋势循环要素
H
TCt(3) h(j2H1)TCt(2I)j jH
② 计算最终的不规则要素
(2.2.15)
It(3) TC t(2)ITC t(3)
(2.2.16)
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§2.2.4 季节调整相关操作 (EViews软件)
本节主要介绍利用EViews软件对一个月度或季度时间序 列进行季节调整的操作方法。在EViews工作环境中，打开一 个月度或季度时间序列的工作文件，双击需进行数据处理的 序列名，进入这个序列对象，在序列窗口的工具栏中单击 Proc按钮将显示菜单：
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一、 X11方法
X-11法是美国商务部标准的季节调整方法(乘法模型、加法 模型)，乘法模型适用于序列可被分解为季节调整后序列（趋 势·循环·不规则要素项）与季节项的乘积，加法模型适用于序 列可被分解为季节调整后序列与季节项的和。乘法模型只适用 于序列值都为正的情形。
(2.2.11)
③ 通过3×5项移动平均计算暂定的季节因子
S ˆ t ( 2 ) ( S t ( 2 3 ) 2 I 6 S t ( 2 2 ) 3 I 4 S t ( 2 1 ) 3 2 I S t ( 2 ) 3 S I t ( 2 1 ) 2 2 I S t ( 2 2 ) S I 4 t ( 2 3 ) ) / 1 I 6 (2.2.15 2)
12
美国商务部国势普查局的X12季节调整程序是在X11方 法的基础上发展而来的，包括X11季节调整方法的全部功 能，并对X11方法进行了以下3方面的重要改进：
(1) 扩展了贸易日和节假日影响的调节功能，增加了季 节、趋势循环和不规则要素分解模型的选择功能；
经济时间序列的季节调整、分解与平滑
经济时间序列的季节调整、分解与平滑经济时间序列是对经济指标随时间变化的观察和记录。
由于经济活动往往受到季节性影响，所以在分析经济时间序列数据时，需要进行季节调整、分解和平滑等处理，以使其更具有可比性和可解释性。
季节调整是指消除季节性影响，以揭示出经济指标的长期趋势。
季节性影响是指同一个季节的经济指标值在不同年份之间的波动。
例如，零售销售额往往在假日季节高峰期达到顶峰，而在其他季节则较为平稳。
为了消除这种季节性影响，可以使用统计方法，如移动平均法、季节指数法、回归分析等。
其中，移动平均法是指按照固定的时间跨度进行平均，并将季节性波动减去，以得到去季节性的经济指标值。
分解是将经济指标分解为长期趋势、季节性和随机成分的过程。
长期趋势反映了经济指标在长期内的增长或下降趋势，主要受到经济结构、技术进步和人口等因素的影响。
季节性成分是指反映季节性影响的变动，可以通过计算季节指数得到。
随机成分是指无法解释的非周期性或随机波动，可能受到一些随机事件的影响。
分解经济指标可以帮助我们更好地理解其内在的结构和规律。
平滑是对经济指标数据进行平滑处理，以便更好地观察和预测其变动趋势。
平滑方法常用的有移动平均法、指数平滑法和趋势平滑法等。
移动平均法是指按照固定时间跨度进行平均，以减少季节性和随机波动的影响，从而揭示长期趋势。
指数平滑法是根据过去的观测值加权计算当前值，以反映最新观测值的重要性更高。
趋势平滑法则是在指数平滑法的基础上引入趋势因素，以更好地预测经济指标的未来趋势。
通过季节调整、分解和平滑等处理，我们可以更准确地分析和解释经济时间序列数据的长期趋势、季节性和随机波动。
这些处理方法使我们能够更好地理解经济指标的特征和影响因素，从而做出更准确的预测和决策。
当我们分析经济时间序列数据时，季节调整、分解和平滑是非常重要的工具和技术。
它们帮助我们去除季节性的影响，揭示经济指标的长期趋势，并平滑数据以更好地观察和预测变动趋势。
第三讲 时间序列平滑预测法讲解
如：yt＝Tt·St＋Ct＋It
yt＝Tt＋St·Ct·It
§3.2 移动平均法
简单平均法
利用一定时期历史数据的平均值作为下期的 预测值。
记：n—已知历史数据的期数；
yt—第t个时间序列数据； yˆ t 1—预测值
计算公式
yˆ t1
1 n
n t 1
yt
加权平均法
在预测时，一般近期的数据比远期数据对预 测期的影响更大，因而更为重要。
yˆ t1
n
n
Wt
t 1
yt
Wt 1
t 1
例：已知某物品前3周的需求量
y1=140， y2=156， y3=184
简单平均值＝1 140＋156＋184＝160
3
若取w1＝1，w2＝2，w3＝3
加权平均值＝1
140＋2 156＋3 1＋2＋3
184＝167
一、时间序列的因素分析
3、循环变动 指以数年为周期的周期变动。
与长期趋势的不同：不是朝单一方向持续发 展，而是涨落相间的波浪式起伏变动。
与季节变动的不同：波动时间较长，变动周 期长短不一，周期难以预料。
一、时间序列的因素分析 4、不规则变动 指由于各种偶然性因素引起的无周期变动。 又分为突然变动和随机变动 突然变动
（二）二次移动平均法
1、计算一次移动平均值及二次移动平均值
M(1) t Nhomakorabeayt
yt1 N
ytN 1 ，t
N
M (2) t
M (1) t
M
(1) t 1
经济时间序列的季节调整分解和平滑方法
经济时间序列的季节调整分解和平滑方法经济时间序列的季节调整分解和平滑方法季节调整是经济时间序列分析的一个重要方面，它的目的是消除时间序列数据中的季节变动，以便更好地分析和预测经济趋势。
季节调整的一个常用方法是季节调整分解。
季节调整分解是将原始时间序列分解成季节性、趋势性和随机性三个成分。
其中，季节性成分表示一年内同一个季节中的平均值的变动；趋势性成分表示随时间推移的总体变动方向；随机性成分是不能解释的波动和不规则性。
季节调整分解的常用方法有X-11方法和X-12方法。
X-11方法是由美国人口调查局开发的一种季节调整方法，它适用于对于较长时间段内的季节调整。
X-12方法是在X-11方法的基础上进行的改进，可以更好地解决不规则性和趋势性成分的问题，并且提供了更多的季节调整选项。
季节调整分解的过程一般包括四个步骤。
首先，确定时间序列的季节周期。
季节周期可以根据数据的性质来确定，例如，对于销售数据，季节周期可能是一年；对于产量数据，季节周期可能是季度。
第二，对原始时间序列进行平滑处理，以得到趋势估计。
平滑方法有移动平均法、指数平滑法等。
第三，计算趋势估计的残差。
第四，根据季节周期计算季节指数。
季节指数表示每个季度相对于整个时间周期的平均值的变动。
季节调整分解的结果可以帮助我们更好地理解和解释时间序列数据。
通过去除季节性成分，我们可以更准确地分析和预测经济趋势。
此外，季节调整分解还可以帮助我们发现短期和长期的周期性变动，并帮助我们进行政策制定和经济管理。
除了季节调整分解，还有许多其他的时间序列平滑方法可以用于经济数据的分析和预测。
常见的时间序列平滑方法有移动平均法、指数平滑法和季节指数平滑法等。
移动平均法是最简单的平滑方法之一，它根据某个时间窗口内的数据的平均数来进行平滑。
移动平均法的优点是简单易用，但它的缺点是对于突发事件的反应较慢。
指数平滑法是一种基于加权平均的平滑方法，它对历史数据的权重进行指数级递减。
经济时间序列的季节调整分解和平滑方法
经济时间序列的季节调整分解和平滑方法经济时间序列是指一段时间内一些经济指标的连续观测值，如GDP、CPI、失业率等。
这些指标往往受到季节因素的影响，因为经济活动往往呈现出很强的周期性。
为了更好地研究和分析经济时间序列，我们需要进行季节调整和平滑处理。
季节调整是指通过消除季节因素的影响，来分析和描述时间序列的基本趋势和长期变化。
季节调整分解方法是常用的季节调整方法之一、它将时间序列分解为四个部分：长期趋势、季节波动、周期性变化和随机波动。
其中，长期趋势表示时间序列的整体变化趋势；季节波动表示固定时间间隔内的周期性变化，如一年的四季；周期性变化表示长于一年的周期性变化，如经济发展的牛熊周期；随机波动表示无法归因于已知因素的波动。
通过季节调整分解方法，我们可以提取出长期趋势和周期性变化，以便更好地分析和预测经济时间序列。
平滑方法是指通过对经济时间序列进行平滑处理，来获得趋势和季节因素的估计值。
常用的平滑方法有移动平均法和指数平滑法。
移动平均法是将观测值按照一些固定窗口大小的时间段进行平均，以去除较短期的波动，得到趋势估计值。
指数平滑法是基于加权平均的思想，给予近期观测值更高的权重，以对整体趋势更加敏感。
平滑方法的核心思想是通过平均多个时间点的观测值，来减少随机波动的影响，从而更好地反映经济指标的基本趋势。
在实际应用中，季节调整分解和平滑方法可以结合使用。
首先，我们可以利用季节调整分解方法，将时间序列分解为长期趋势和季节因素，以便更好地了解和解释观测值的基本变化规律。
然后，我们可以对季节调整后的数据利用平滑方法进行处理，获得更平滑的趋势估计值，以便更好地分析和预测经济指标的长期变化趋势。
总之，经济时间序列的季节调整分解和平滑方法是处理和分析经济指标的重要工具。
通过消除季节因素的影响和平滑观测值，我们可以更好地理解和预测经济时间序列的基本趋势和长期变化，为经济决策和政策制定提供更可靠的依据。
时间序列的季节调整、分解与平滑
一、 Hodrick-Prescott（HP）滤波
在宏观经济学中，人们非常关心序列组成成分中的长 期趋势，Hodrick-Prescott滤波是被广泛使用的一种方法。 该方法在Hodrick and Prescott(1980) 分析战后美国经 济周期的论文中首次使用。我们简要介绍这种方法的原理。
EViews是将美国国势调查局的X12季节调整程序直接 安装到EViews子目录中，建立了一个接口程序。 EViews 进行季节调整时将执行以下步骤：
1．给出一个被调整序列的说明文件和数据文件；
2．利用给定的信息执行X12程序；
3．返回一个输出文件，将调整后的结果存在EViews 工作文件中。
X12的EViews接口菜单只是一个简短的描述， EViews还提供了一些菜单不能实现的接口功能，更一般的 命令接口程序。
• 使数据序列之间在经济意义上具有可比性．
– 在研究经济序列不同月份(或季度)之间的关系时， 必须去掉季节部分的影响，才可以进行经济意义 上的比较。
8 云南大学发展研究院
4991.50
单位：亿元
3871.49
4204.20 单位：亿元
3304.66
2751.49
2405.12
1631.48
1505.59
6 云南大学发展研究院
季度GDP数据
7 云南大学发展研究院
季节调整的经济意义和作用
• 进行短期预报
– 估计当前趋势，以便对近期的未来作出判断
• 研究经济发展中的外部分事件和政策变量之 间的关系
– 季节项的存在往往混淆序列和序列之间、序列和 外部事件之间及政策变量之间的关系，只有经过 季节调整后，这些关系才变得易于研究。
经济时间序列的季节调整、分解和平滑方法PPT教案
y1
y2 12
y12
y2
y3 12
y13
2
MAt
1 2
1 12
6
yt
i 5
i
1 12
i
5 6
y
t
i
1 1
5
1
12
2
yt6
i第65页y/t共i109页2
yt
6
t 7,8,,T 6
7
需 要 指 出 的是 由于采 用12个 月中心 化移动 平均后 ，序列 的两端 各有6个 欠项值 ，需要 用插值 或其它 数值计 算方法 将其补 齐。
1 3
2 yT
yT 1
1.1.2 中心化移动平均
考 虑 消 除 季 节变 动时， 最简单 的方法 是对月 度数据 进行12个 月移 动平均 。此时 ，由于 项数是 偶数， 故常常 进行所 谓“移 动平均 的中心 化”， 即取连 续的两 个移动 平均值 的平均 值作为 该月的 值。
第5页/共109页
6
图3 工业总产值的季节变动要素 S 第图1形页/共109页图4 工业总产值的不规则要素 I 图 形
2
二、季节调整的概念
季 节 性 变 动的 发生， 不仅是 由于气 候的直 接影响 ，而且 社会制 度及风 俗习惯 也会引 起季节 变动。 经济统 计中的 月度和 季度数 据或大 或小都 含有季 节变动 因素， 以月份 或季度 作为时 间观测 单位的 经济时 间序列 通常具 有一年 一度的 周期性 变化， 这种周 期变化 是由于 季节因 素的影 响造成 的，在 经济分 析中称 为季节 性波动 。经济 时间序 列的季 节性波 动是非 常显著 的，它 往往遮 盖或混 淆经济 发展中 其他客 观变化 规律， 以致给 经济增 长速度 和宏观 经济形 势的分 析造成 困难和 麻烦。 因此， 在进行 经济增 长分析 时，必 须去掉 季节波 动的影 响，将 季节要 素从原 序列中 剔除， 这就是 所谓的 “季节 调整” (Seasonal Adjustment)。
经济时间序列的季节调整分解和平滑方法
经济时间序列的季节调整分解和平滑 方法
季节要素 (S ): 是每年重复出现的循环变动，以12个月或4
个季度为周期的周期性影响，由温度、降雨、每年中的假期和
政策等因素引起。季节要素和循环要素的区别在于季节变动是
固定间距（如季或月）中的自我循环，而循环要素是从一个周
期变动到另一个周期，间距比较长且不固定的一种周期性波动。
不规则要素 (I ): 又称随机因子、残余变动或噪声，其变动
这两个程序往往联合起来使用，先用TRAMO对数据进 行预处理，然后用SEATS将时间序列分解为趋势要素、循环 要素、季节要素及不规则要素4个部分。
经济时间序列的季节调整分解和平滑 方法
2.2.4 季节调整相关操作 (EViews软件)
本节主要介绍利用EViews软件对一个月度或季度时间序 列进行季节调整的操作方法。在EViews工作环境中，打开一 个月度或季度时间序列的工作文件，双击需进行数据处理的 序列名，进入存放时间序列的工作表中，在序列窗口的工具 栏中单击Proc按钮将显示菜单：
2.2.3 TRAMO/SEATS方法
TRAMO(Time Series Regression with ARIMA Noise, Missing Observation, and Outliers)用来估计和预测具有缺失 观测值、非平稳ARIMA误差及外部影响的回归模型。它能 够对原序列进行插值，识别和修正几种不同类型的异常值， 并对工作日变化及复活节等特殊回归因素及假定为ARIMA 过程的误差项的参数进行估计。SEATS(Signal Extraction in ARIMA Time Series)是基于ARIMA模型来对时间序列中不 可观测成分进行估计。
常用的经济计量模型cgki
三、平滑技术
（目的是“消除”时间序列中的不规则成分引起的随 机波动，适用于稳定的时间序列）
1、移动平均模型
移动平均数=最近n期数据之和/n
例如3期移动平均
~yt
1 3 ( yt1
yt 2
yt3 )
中心移动平均
3期中心移动平均
~yt
1 3
(
yt
1
yt
yt 1 )
2、指数加权移动平均模型
（EWMA—Exponentially Weighted Moving Averages）
y2是1月份的数据，
y3是1月份的数据，
y4是1月份的数据，总共4年数据。
则
1 z1 4 (z1 z13 z25 z37 )
z2
1 4
(z2
z14
z26
z38 )
1 z12 4 (z12 z24 z36 z48 )
第四步 调整S的估计，使其连乘积等于1或和等于12。
sm
12
zm zi
严平稳性的条件很严格，我们希望稍微放松限制条件。 于是从实际角度考虑，我们可以用联合分布的矩的平稳性来 定义随机过程的平稳性。
m阶弱平稳过程（Weakly Stationary）是指随机过程的联合 概率分布的矩直到m阶都是相等的。
若一个过程 {r(t)} 是2阶弱平稳过程，那么它会满足下列条件： （1）随机过程的均值保持不变； （2）随机过程的方差不随时间变化； （3）r(i)和r(j)之间的相关性只取决于时间之差 j- i。
[例] 带漂移项的随机游走过程 Pt Pt1 t
过程是非平稳的
平稳AR(1)过程的自相关函数
不妨设常数项为0
方差 0 E[(1 yt1 t )2 ]
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三 平滑技术和季节调整【实验目的与要求】1.准确掌握平滑技术和季节调整的各种形式和方法原理。
2.熟练掌握运用Eviews 软件进行平滑和季节调整。
3.学会利用加法模型和乘法模型对样本序列进行季节调整。
4.熟练掌握运用指数平滑方法对样本序列进行外推预测。
5. 在老师的指导下独立完成实验，得到正确的结果，并完成实验报告。
【实验准备知识】平滑技术，是消除或至少减少时间序列短期波动的一个手段。
这样做不仅可以使我们容易识别序列的趋势和周期变动类型，而且平滑后进行直觉的分析也会简单。
季节调整是平滑的一种特殊形式，它消除时间序列季节波动的影响，更好地反映时间序列的运动规律。
1. 简单移动平均方法对于时间序列t y ，n 期简单移动平均公式为：)(~111+--+++=n t t t n t y y y y Λ （3.1）其中，t y ~为简单移动平均平滑后的序列，n 为移动平均的期数。
n 期简单移动平均应用非常广泛，比如在股票投资分析中，经常看到的5日均线、10日均线、30日均线，都是为了更好地看清股价的走势，而对股价序列进行的平滑方法。
当然，n 越大，平滑的程度越高，越能体现长期的趋势。
2. 季节调整季节变动是指以一年为一个周期的变化。
时间序列的季度、月度观测值常常出现季度或月度的循环变动。
这种变动的影响因素主要是四季更迭，还有人文或制度等方面的因素。
季节变动往往会掩盖经济发展的客观规律，妨碍我们对某些问题的认识。
因此，通常在利用季度或月度数据进行分析之前，我们需要对时间序列进行季节调整。
传统的时间序列分析把时间序列的波动归结为四大因素：趋势变动（L ）、季节变动（S ）、循环变动（C ）、和不规则变动（I ）。
循环变动指周期为数年的变动，通常指经济周期。
不规则变动即随机变动。
四种变动与原序列（Y ）的关系被概括成两种模型：乘法模型 Y = LSCI （3.2） 加法模型 Y = L+S+C+I （3.3） 其中，乘法模型适用于L 、S 、C 相关的情形，比如，季节变动的幅度随趋势上升而增加。
加法模型则适用于L 、S 、C 相互独立的情形。
季节调整的基本思路就是将季节变动S （季节因子，又称季节指数）从序列中去除。
以乘法模型为例，首先，我们剔除长期趋势和循环变动的结合项L ×C ，我们可以用移动平均t y ~作为L ×C 的估计值，因为我们可大致认为t y ~已无季节和不规则波动。
这里的t y ~是中心化的移动平均，即 ⎩⎨⎧++++++++=--++-+，季度数据，月度数据4/)5.05.0(12/)5.05.0(~211266t t t t t t t t t Y Y Y Y Y Y Y Y y ΛΛ （3.4）然后，我们用原序列除以L ×C 的估计值t y ~就得到季节和不规则变动的结合项S ×I 的一个估计：t t t z y y I S C L I C S L ==⨯=⨯⨯⨯⨯~ （3.5）下一步尽可能从t z 中彻底消除I ，得到季节因子S 。
由于对同一月份或季度的季节和不规则变动的结合项进行平均将大体上消除不规则变动，于是我们对S ×I 同一月份的数据进行平均，得到平均值j z ~，就可以作为季节指数的估计值。
这里我们需要将季节因子标准化，方法为：k k j j z z z z S ~~~/~21•••=Λ （3.6） j S 称为标准化的季节因子，对于季度数据j = 1，2，3，4，k = 4；对于月度数据j = 1，2，…，12，k = 12，调整后季节因子的乘积等于１。
最后我们来消除季节变动：从每个序列数值中除以对应的季节因子j S ，消除季节变动成分后，剩下其他三部分。
季节调整后的序列即为：j t a t S y y /= （3.7） 对于加法模型，只要做一些对应的变化即可。
将（3.5）中的除法变成减法，即t t t z y y =-~；将（3.6）变为∑=-=ki ik j j z z S 11~~，使得调整后季节因子的和等于０；将（3.7）中的除法变成减法，即j t a t S y y -=。
Eviews3.1软件中还提供了Census X11方法，更高版本中还提供了Census X12方法，这里就不作详细介绍，有兴趣的读者可参看Eviews 操作说明。
3. 指数平滑方法（1）一次指数平滑（Single Exponential Smoothing ）从公式（2.1）可以看到，简单移动平均将每期的权重赋予相同的值。
然而我们通常认为t y 的近期值比早期的值更重要才合乎情理，即近期值应有更大的权重。
因此，我们引入指数加权移动平均模型，其基本形式为：Λ+-+-+=--221)1()1(~t t t t y y y y ααααα （3.8） 其中，t y ~为平滑之后的序列。
将t y ~换为1~-t y 方程左右乘以)1(α-得到 Λ+-+-=----2211)1()1(~)1(t t t y y y ααααα （3.9）两式相减，得到计算t y ~的迭代公式。
1~)1(~--+=t t t y y y αα（3.10）这里0≤≤α1，叫做平滑系数，又叫衰减因子。
可以看到，α越接近1，现值越重要，即对应的权重越大。
因此α越小，时间序列的平滑程度就越高。
上面就是我们通常所说的一次指数平滑，是实际值序列的加权平均，适用于比较平稳的序列，即序列值在一个常数均值上下随机波动、无趋势及季节要素的情况。
由于权数成指数衰减，越早的数据被赋予越小的权重，因此预测值主要倚重近期样本数据，远期数据对它影响较小。
同时，与实际序列的变化相比有滞后现象。
一次指数平滑的预测公式为：T k T y y ~~=+ 对于所有k ≥1 （3.11） 其中T 是时间序列的最末期。
（2）二次指数平滑（Double Exponential Smoothing ）如果我们希望被平滑的光滑程度较高，但又不对历史数据加权过重，即使α较小可能也达不到要求。
此时可使用二次指数平滑，即对一次平滑好的序列t y ~再平滑一次。
计算公式为：1~)1(~--+=t t t y y y αα1~~)1(~~~--+=t t t y y y αα （3.12） 其中，t y ~是一次指数平滑序列，t y ~~是二次指数平滑序列，α是平滑系数，0≤≤α1。
二次指数平滑适用于有线性趋势的序列。
二次指数平滑的预测公式为： k b a y T T k T +=+~ 对于所有k ≥1（3.13） 其中，T T T y y a ~~~2-=，)~~~(1T T T y y b --=αα，T 是时间序列的最末期。
可见，二次指数平滑的预测值具有以T a 为截距，T b 为斜率的线性趋势。
（3）Holt-Winters 非季节性模型（Holt-Winters-No Seasonal ）该模型与二次指数平滑方法类似，不过有两个平滑系数α和β）（1,0≤≤βα。
平滑后的序列t y ~为： k b a y t t k t +=+~ 对于所有k ≥1（3.14）其中))(1(11--+-+=t t t t b a y a αα11)1()(---+-=t t t t b a a b ββ （3.15） 其中，t a 表示截距，t b 表示斜率，可以看出它们都是通过平滑计算得到，需要用简单的方法给出它们的初值。
Holt-Winters 非季节性模型的预测公式为：k b a y T T k T +=+~ 对于所有k ≥1 （3.16） 其中， T 是时间序列的最末期。
可见，该模型与二次指数平滑方法一样，适用于预测有线性趋势的序列。
（4）Holt-Winters 加法模型（Holt-Winters-Additive ）Holt-Winters 加法模型与Holt-Winters 非季节性模型相比，主要不同是加入了加法模型季节因子。
该模型有三个平滑系数α、β和γ）（1,,0≤≤γβα。
平滑之后的序列t y ~为： k t t t k t S k b a y ++++=~ 对于所有k ≥1（3.17）其中，))(1()(11---+-+-=t t s t t t b a S y a αα11)1()(---+-=t t t t b a a b ββs t t t t S a y S --+-=)1()(γγ （3.18） 其中，t a 表示截距，t b 表示斜率，k b a t t +表示趋势，t S 为加法模型季节因子，s 表示季节周期长度，季度数据s = 4，月度数据s = 12。
需要用简单的方法给出季节因子的第一年的初值，以及截距和斜率的初值。
Holt-Winters 加法模型的预测公式为：s k T T T k T S k b a y -++++=~ 对于所有k ≥1 （3.19） 其中，s k T S -+使用样本数据最后一年的季节因子。
可以看出，Holt-Winters 加法模型适用于既有线性趋势又有加法季节变化的序列。
（5）Holt-Winters 乘法模型（Holt-Winters-Multiplicative ）Holt-Winters 乘法模型是将Holt-Winters 非季节性模型中的加法模型季节因子换成乘法模型季节因子。
该模型也有三个平滑系数α、β和γ）（1,,0≤≤γβα。
平滑之后的序列t y ~为： k t t t k t S k b a y +++=)(~ 对于所有k ≥1（3.20）其中， ))(1(11---+-+=t t st t t b a S y a αα 11)1()(---+-=t t t t b a a b ββs t t t t S a y S --+=)1(γγ （3.21）其中，t a 表示截距，t b 表示斜率，k b a t t +表示趋势，t S 为乘法模型季节因子，s 表示季节周期长度，季度数据s = 4，月度数据s = 12。
需要用简单的方法给出季节因子的第一年的初值，以及截距和斜率的初值。
Holt-Winters 加法模型的预测公式为：s k T T T k T S k b a y -+++=)(~ 对于所有k ≥1 （3.22） 其中，s k T S -+使用样本数据最后一年的季节因子。
可以看出，Holt-Winters 乘法模型适用于既有线性趋势又有乘法季节变化的序列。
以上介绍的5种指数平滑方法虽然都有各自适用的数据对象，但是它们的总体思想都是利用加权移动平均的方法对序列进行平滑，因此主要反映的都是近期数据的变化，适用于短期预测。
【实验数据】我国流通中现金（M0）月度数据，样本范围1996年1月到2007年12月（参见数据集/平滑技术和季节调整数据/流通中现金（M0）月度数据.xls）。