立体几何证明题专题(教师版)

C．可以有两个D．有无数多个
答案B
6.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B.
【证明】方法一如右图，作ME∥BC，交BB1于E；作NF∥AD，交AB于F，连接EF，则EF?平面
AA1B1B.
∵BD＝B1C，DN＝CM，
∴B1M＝BN.
立体几何证明题
考点1：点线面的位置关系及平面的性质
例1.下列命题：
①空间不同三点确定一个平面；
②有三个公共点的两个平面必重合；
③空间两两相交的三条直线确定一个平面；
④三角形是平面图形；
⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；
⑥垂直于同一直线的两直线平行；
⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；
HDGD
∴四边形EFGH为梯形．
设EH与FG交于点P，
则P∈平面ABD，P∈平面BCD.
3
∴P在两平面的交线BD上．
∴EH、FG、BD三线共点．
考点3：异面直线的夹角
1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点．求BD1与CE所成角的余弦值．
【解析】连接AD1，A1D交点为M，连接ME，MC，则∠MEC(或其补角)即为异面直线BD1与CE所成的
②在C中易证PQ∥SR，
∴P、Q、R、S四点共面．
③在D中，∵QR?平面ABC，
PS∩面ABC＝P且P?QR，
∴直线PS与QR为异面直线．
∴P、Q、R、S四点不共面．
④在B中P、Q、R、S四点共面，证明如下：
取BC中点N，可证PS、NR交于直线B1C1上一点，∴P、N、R、S四点共面，设为α.
可证PS∥QN，∴P、Q、N、S四点共面，设为β.
＝
EB
CF
＝2，
FB
AH
＝
HD
CG
＝3，其他条件不变．求证：EH、FG、BD三线共点．
GD
【解析】(1)∵E，H分别是AB，AD的中点，
1
∴由中位线定理可知，EH綊BD.
2
又∵
CF
＝
CB
CG2
＝，
CD3
2
∴在△CBD中，FG∥BD，且FG＝BD.
3
∴由公理4知，EH∥FG，且EH<FG.
∴四边形EFGH是梯形，EH、FG为上、下两底．
角，设AB＝1，CE＝
5
，ME＝
2
1
2
BD1＝
33
222
，CM＝CD＋DM.
＝
22
在△MEC中，cos∠MEC
＝
222
CE＋ME－CM
＝
2CE·ME
15
，因此异面直线BD1与CE所成角的余弦值为
15
15
.
15
2.如图，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正切值是
∵
MEB1M
＝，
BCB1C
NFBN
＝，
ADBD
7
∴
MEBN
＝＝
BCBD
NF
，∴ME＝NF.
AD
又ME∥BC∥AD∥NF，
∴MEFN为平行四边形．
∴NM∥EF.又∵MN?面AA1B1B，
∴MN∥平面AA1B1B.
方法二如图，连接CN并延长交BA的延长线于点P，连接B1P，则B1P?平面AA1B1B.
∵△NDC∽△NBP，
∩EF＝F，
∴平面MNG∥平面CDEF，∴MN∥平面CDEF.
(2)作AH⊥DE于H，由于三棱柱ADE—BCF为直三棱柱，∴AH⊥平面CDE，F且AH＝2.
1
∴VAS
－CDEF＝
3
18
四边形CDEF·AH＝×2×22×2＝.
33
5.若P为异面直线a，b外一点，则过P且与a，b均平行的平面
A．不存在B．有且只有一个
APAM
MB.
＝
PE
又AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ.
∴
APDQ
＝，∴
PEBQ
AMDQ
QB.
＝
MB
∴MQ∥AD.又AD∥BC，
∴MQ∥BC，∴MQ∥平面BCE.又PM∩MQ＝M，
∴平面PMQ∥平面BCE.又PQ?平面PMQ，
∴PQ∥平面BCE.
5.一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC中点)．
＝，
MB1NB
∴
CPDN
＝，∴NP∥DC∥AB.
PBNB
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
∴MN∥平面AA1B1B.
7.如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别为
PC、PD、BC的中点．
(1)求证：PA∥平面EFG；
(2)求三棱锥P—EFG的体积．
由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图(1)所示．
在正方体ABCD—A′B′C′D′中，直线BB′⊥AB，BB′⊥CB，但AB与CB不平行，∴⑥错．AB∥CD，
BB′∩AB＝B，但BB′与CD不相交，∴⑦错．如图(2)所示，AB＝CD，BC＝AD，四边形ABCD不是平行四边
形，故⑧也错．
∴PE＝BQ，∴
APDQ
＝
.
PEBQ
又AD∥BK，∴
DQ
＝
BQ
AQ
，∴
QK
AP
＝
PE
AQ
，∴PQ∥EK.
QK
又PQ?平面BCE，EK?平面BCE，
∴PQ∥平面BCE.
方法三如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE，交AB于点M，连接QM.
∴PM∥平面BCE.
又∵平面ABEF∩平面BCE＝BE，
∴PM∥BE，∴
6
<1>求证：MN∥平面CDE；F
<2>求多面体A—CDEF的体积．
解析(1)证明由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且AB＝BC＝BF＝2，
DE＝CF＝22，∴∠CBF＝90°.
取BF中点G，连接MG，NG，由M，N分别是AF，BC中点，可知：NG∥CF，MG∥EF.又MG∩NG＝G，CF
①若直线a不在α内，则a∥α；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；
④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；
⑥平行于同一平面的两直线可以相交．
答案⑤⑥
解析a∩α＝A时，a不在α内，∴①错；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；l
【答案】④
2.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()
A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
答案B
解析对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾．
命题③正确，由线面平行的判定定理可知．
命题④错，需说明另一条直线在平面外．
3.已知不重合的直线a，b和平面α，
①若a∥α，b?α，则a∥b；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b?α，则a∥α；
④若a∥b，a?α，则b∥α或b?α，
上面命题中正确的是________(填序号)．
答案④
解析①若a∥α，b?α，则a，b平行或异面；②若a∥α，b∥α，则a，b平行、相交、异面都
若a∥b，a?γ，b?γ，则a∥γ，又a?α，α∩γ＝c，则a∥c.
因此三条交线相交于一点或互相平行．
4.如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的点，
且
CF
＝
CB
CG2
＝.
CD3
(1)求证：三条直线EF，GH，AC交于一点．
(2)若在本题中，
AE
______．
答案5
3.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为
A.
10
10
B.
1
5
C.
310
10
D.
3
5
答案C
解析连接BA1，则CD1∥BA1，于是∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成的角(或补角)，设AB＝1，则
BE＝2，BA1＝5，A1E＝1，在△A1BE中，cos∠A1BE＝
∴两腰EF、GH所在直线必相交于一点P.
∵P∈直线EF，EF?平面ABC，
∴P∈平面ABC.同理可得P∈平面ADC.
∴P在平面ABC和平面ADC的交线上．
又∵面ABC∩面ADC＝AC，
∴P∈直线AC.
故EF、GH、AC三直线交于一点．
AE
(2)∵
＝
EB
CF
＝2，
FB
∴EF∥AC.
又
AHCG
＝＝3，∴HG∥AC，∴EF∥HG，且EF>HG.
⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．
其中正确的命题是________．
【解析】由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题①错，②中有可能出现两平面
只有一条公共线(当这三个公共点共线时)，②错．③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若
为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面．⑤中平行四边形及梯形
有EF＝2a，AF＝2a
22
＋a＝5a，AE＝2a
2
＋2a
22
＋a＝3a.在△AEF中，cos∠AEF＝
222222
AE＋EF－AF9a＋4a－5a2
＝＝
.因此，异面直线AE与BC所成的角的余弦值是
2AE·EF2×3a×2a3
2
3
.
4
【答案】
2
3
考点4：直线与平面平行的判定与性质
1.下列命题中正确的是________．
∵α、β都经过P、N、S三点，∴α与β重合，∴P、Q、R、S四点共面．
【答案】D
2.空间四点中，三点共线是这四点共面的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案A
3.下面三条直线一定共面的是()
A．a、b、c两两平行
B．a、b、c两两相交
C．a∥b，c与a、b均相交
5＋2－1
＝
25·2
310
10
，选C.
4.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．
【解析】取A1B1的中点F，连接EF，FA，则有
EF∥B1C1∥BC，∠AEF即是直线AE与BC所成的角或其补角．设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2a，则
对于选项B，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线．
对于选项C，过点P与l、m都相交的直线有一条或零条．
对于选项D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条．
1
3. 已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定
A．与a，b都相交
B．只能与a，b中的一条相交
D．a、b、c两两垂直
答案C
4.已知三个平面两两相交且有三条交线，试证三条交线互相平行或者相交于一点．
【解析】设α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
由a?β，b?β，则a∩b＝O，如图(1)，
或a∥b，如图(2)，若a∩b＝O，
O∈a，a?α，则O∈α，O∈b，b?γ，则O∈γ，
又γ∩α＝c，因此O∈c；
C．至少与a，b中的一条相交
D．与a，b都平行
答案C
解析若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，则a∥b，与a，b异面矛盾．
考点2：共点、共线、共面问题
例1.下列各图是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是
【解析】①在A中易证PS∥QR，
∴P、Q、R、S四点共面．
又AP＝DQ，∴PE＝QB.
又PM∥AB∥QN，∴
PMPEQB
＝＝，
ABAEBD
QN
＝
DC
BQ
BD.
∴
PMQN
＝
.
ABDC
∴PM綊QN，即四边形PMNQ为平行四边形．
∴PQ∥MN.又MN?平面BCE，PQ?平面BCE，
∴PQ∥平面BCE.
方法二如图，连接AQ，并延长交BC延长线于K，连接EK.
∵AE＝BD，AP＝DQ，
②若一条直线与一个平面内的两条直线平行，则这条直线与这个平面平行；
③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行；
④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行．
其中正确命题的个数是________个．
答案1
解析命题①错，需说明这条直线在平面外．
命题②错，需说明这条直线在平面外．
∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；a∥b，b∥α时，a∥α或a?α，故④错；l∥α，则l与
α无公共点，∴l与α内任何一条直线都无公共点，⑤正确；如图，长方体中，A1C1与B1D1都与平面ABCD
平行，∴⑥正确．
2.给出下列四个命题：
①若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行；
∴
DNCN
＝.又CM＝DN，
NBNP
CM
B1C＝BD，
＝
MB1
DNCN
＝，
NBNP
∴MN∥B1P.∵B1P?平面AA1B1B，
∴MN∥平面AA1B1B.
方法三如右图，作MP∥BB1，交BC于点P，连接NP.
∵MP∥BB1，∴
CMCP
＝
.
MB1PB
∵BD＝B1C，DN＝CM，
∴B1M＝BN.∵
CMDN
5
有可能；③若a∥b，b?α，a∥α或a?α.
4.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ
∥平面BCE.
【证明】方法一如图所示．
作PM∥AB交BE于M，
作QN∥AB交BC于N，
连接MN.
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD.