2020中考数学 压轴训练：二次函数综合题(含答案)

2020中考数学压轴训练：二次函数综合题（含答案）

1. 已知抛物线C：y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B(A在B的左侧)两点，与y轴交于点D(0，3)，且顶点为E(1，4).

(Ⅰ)求抛物线C的解析式；

(Ⅰ)将抛物线C经过某种平移后得到抛物线C′，顶点变为E′(1，k)(k＜4)，设平移后D的对应点为D′，且OD′＝2.

Ⅰ求抛物线C′的解析式；

Ⅰ点Q在抛物线C′的对称轴上，若AD′＝AQ，求点Q的坐标.

解：(Ⅰ)设抛物线C的解析式为y＝a(x－1)2＋4，

代入D(0，3)，得a＋4＝3，解得a＝－1，

Ⅰ抛物线C的解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3；

(Ⅰ)ⅠⅠE(1，4)，E′(1，k)(k＜4)，

Ⅰ抛物线向下平移了(4－k)个单位长度，

ⅠD′(0，3－4＋k)，即D′(0, k－1)，

ⅠOD′＝2，

k－1＝2，解得k＝3或k=－1，

Ⅰ||

Ⅰ抛物线C′的解析式为y＝－(x－1)2＋3或y＝－(x－1)2－1，

即y＝－x2＋2x＋2或y＝－x2＋2x－2；

ⅠⅠOD′＝2，

ⅠD ′(0，2)或D ′(0，－2)．

令y ＝0，则有－x 2＋2x ＋3＝0，

解得x ＝－1或x ＝3，

Ⅰ点A 的坐标为(－1，0)．

设点Q 坐标为(1，m )．

ⅠAD ′2＝(0+1)2＋(±2－0)2＝5，

AQ 2＝(－1－1)2＋(0－m )2＝m 2＋4，

Ⅰm 2＋4＝5，解得m ＝±1.

ⅠQ 点坐标为(1，1)或(1，－1)．

2. 已知二次函数y ＝ x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点．

(Ⅰ)若A (－2，0)，B (3，0)，求二次函数的解析式；

(Ⅰ)若b ＝－(3m －1)，c ＝2m 2－2m (其中m ＞－1)．

Ⅰ二次函数与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)(x 1＜x 2)两点，且－1≤12x 1－13x 2≤1，试求m 的取值范

围；

Ⅰ当1≤x ≤3时，二次函数的最小值是－1，求m 的值．

解：(Ⅰ)把A (－2，0)，B (3，0)代入y ＝ x 2＋bx ＋c ，

得⎩⎪⎨⎪⎧4－2b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1c ＝－6

， Ⅰ二次函数的解析式为y ＝x 2－x －6；

(Ⅰ)Ⅰ令y ＝0，则x 2－(3m －1)x ＋2m 2－2m ＝0，

b 2－4a

c ＝(3m －1)2－4×(2m 2－2m )＝(m +1)2，

Ⅰx 1＝

3m －1－（m ＋1）22＝m －1， x 2＝3m －1＋（m ＋1）22

＝2m ， Ⅰ－1≤12x 1－13x 2≤1，

Ⅰ－1≤m －12－2m 3≤1，

整理得－9≤m ≤3，

Ⅰm ＞－1，

Ⅰ－1＜m ≤3；

Ⅰ若对称轴x ＝3m －12≤1，当x ＝1时，二次函数有最小值－1，此时－1＜m ≤1，

代入(1，－1)得：1－(3m －1)＋2m 2－2m ＝－1，

化简得2m 2－5m ＋3＝0，

解得m ＝1或m ＝32(舍去)；

若对称轴x ＝3m －12≥3，当x ＝3时，二次函数有最小值－1，此时m ≥73，

代入(3，－1)得：9－3(3m －1)＋2m 2－2m ＝－1，

化简得2m 2－11m ＋13＝0，

解得m ＝11＋174或m ＝11－174

(舍去)； 若对称轴1＜3m －12＜3，当x ＝3m －12时，二次函数有最小值－1，此时1＜m ＜73，

代入(3m －12，－1)，

得（3m －1）24－（3m －1）22

＋2m 2－2m ＝－1， 化简得m 2＋2m －3＝0，

解得m ＝1或m ＝－3，(均舍去)

综上所述，m 的值为11＋174

或1. 3. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，该抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 和B ，与y 轴的交点为C (0，－3)，其中A (－1，0)．

(Ⅰ)求点B 的坐标；

(Ⅰ)若抛物线上存在一点P ，使得ⅠPOC 的面积是ⅠBOC 的面积的2倍，求点P 的坐标；

(Ⅰ)点M 是线段BC 上一点，过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点D ，求线段MD 长度的最大值． 解：(Ⅰ)Ⅰ抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，A (－1，0)，

Ⅰ点B 的坐标为(3，0)；

(Ⅰ)将点A （-1，0）、B （3，0）、C （0，-3）代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，

得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝09a ＋3b ＋c ＝0c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2c ＝－3

，

Ⅰ抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3， ⅠS ⅠBOC ＝12×3×3＝92.

ⅠS ⅠPOC ＝2S ⅠBOC ＝9.

设点P 的横坐标为xP ，则12×3×|x p |＝9，解得x P ＝±6.

Ⅰ点P 的坐标为(6，21)或(－6，45)；

(Ⅰ)Ⅰ点B (3，0)，C (0，－3)，

Ⅰ直线BC 的解析式为y ＝x －3.

设点M (a ，a －3)，则点D (a ，a 2－2a －3)．

ⅠMD ＝a －3－(a 2－2a －3)＝－a 2＋3a ＝－(a －32)2＋94，

Ⅰ当a ＝32时，线段MD 长的最大值为94.

4. 抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c (b ，c 为常数)与y 轴相交于点C ，经过点C 作直线CD Ⅰx 轴，交抛物

线于点D ，将直线CD 向上平移t 个单位长度，交抛物线于点A 、B (A 在B 的左侧)，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E .

(Ⅰ)当b ＝－2，c ＝1时，求抛物线顶点P 的坐标；

(Ⅰ)若ⅠACB ＝90°，求t 的值；

(Ⅰ)在(Ⅰ)的条件下，当以点A ，C ，D ，E 为顶点的四边形为平行四边形时，求b 的值．

解：(Ⅰ)当b ＝－2，c ＝1时，y ＝12x 2－2x ＋1＝12(x －2)2－1，

Ⅰ抛物线的顶点P 的坐标为(2，－1)；

(Ⅰ)如解图，连接AC ，BC ，CE ，

ⅠⅠACB ＝90°，AE ＝EB ，

ⅠCE ＝12AB ，